=ax i. Feuille d'exercices Statistiques

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1 Feuille d'exercices Statistiques Exercice n 1 On donne le relevé du chiffre d'affaire (Hors Taxes) mensuel d'une entreprise de menuiserie aluminium et PVC sur 6 mois (en millions d'euros) mois janvier février mars avril mai juin C.A. 1,1 0,9 1,3 1,5 1, Calculer le C.A. Mensuel moyen ainsi que l'écart type de cette distribution de C.A. (aide: pour chaque valeur l'effectif est de 1) 2. Sachant que les coûts variables représentent 60% du C.A. Et que les coûts fixes mensuels sont de 80 milliers d'euros, calculer le bénéfice (avant impôts!) de chaque mois, puis le bénéfice mensuel moyen ainsi que l'écart type de cette distribution de bénéfice. Exercice n 2 Une population de N individus est étudiée au regard d'un caractère quantitatif x qui prend les valeurs x i. On l'étudie au regard d'un autre caractère quantitatif y lié au précédent par une relation y=ax b donc pour tout entier i allant de 1 à 3: y i =ax i b 1. Démontrer que y=a x b puis que V y =a 2.V x, donner une expression de y (l'écart type de la variable y) en fonction de x (l'écart type de la variable x) 2. Retrouver les résultats de l'exercice 1 question 2 avec ces formules. Exercice n 3 Déterminer la médiane, les quartiles et l intervalle interquartiles de la série : Exercice n 3 Le tableau ci dessous indique les résultats au différentes séries du baccalauréat dans l académie de Bordeaux en 1999 (Sources : Direction de la programmation et du développement, MENRT) Bac Général Bac Technologique Bac Pro Total Admis Refusés Total 1) Reproduire et compléter ce tableau d effectifs en remplissant la dernière ligne et la dernière colonne qui sont appelées distributions marginales (marges). 2) Présenter un tableau similaire dans lequel seront indiquées les fréquences (en pourcentage avec une décimale) calculées par rapport à l effectif total. Que représente la valeur se trouvant à l intersection de la colonne «Bac Général» et de ligne «Total»? Cette valeur s appelle fréquence marginale de la catégorie «Bac général» Que représente la valeur se trouvant à l intersection de la ligne «admis» et de la colonne «Total»? Cette valeur s appelle fréquence marginale de la catégorie «Admis». 3) Présenter un tableau similaire dans lequel seront indiquées les fréquences (en pourcentage avec une décimale) calculées par rapport au total de chaque colonne. Que représente la valeur se trouvant à l intersection de la colonne «Bac Général» et de ligne «Admis»? Cette valeur s appelle fréquence conditionnelle de la catégorie «Admis» dans la catégorie «Bac général» 1

2 4) Présenter un tableau similaire dans lequel seront indiquées les fréquences (en pourcentage avec une décimale) calculées par rapport au total de chaque ligne. Que représente la valeur se trouvant à l intersection de la colonne «Bac Général» et de ligne «Admis»? Cette valeur s appelle fréquence conditionnelle de la catégorie «Bac Général» dans la catégorie «Admis» 5) À partir tableaux précédents, répondre aux questions suivantes : Quelle est la fréquence des admis au Baccalauréat? Quelle est la fréquence des Bacs Pro? Quelle est la fréquence des élèves refusés sachant qu ils présentaient un Bac Technologique? Quelle est la fréquence des Bac Pro parmi les admis? Exercice n 4 Le tableau suivant donne la consommation sénégalaise en tonnes d une certaine matière première M pour la période de 2001 à 2008 Année Consommation en tonnes On appelle x i le rang de l année exprimée à partir de 2000 et y i la consommation sénégalaise en tonnes de la matière M. 1) Représenter le nuage de points de coordonnées x i ; y i On choisira un repère orthogonal avec 2 cm pour 1 unité en abscisses et 1 cm pour 20 unités en ordonnées. 2) Dans le but de prévoir la consommation de la matière M pour les années suivantes, on décide de procéder à un ajustement affine de la série statistique x i ; y i par la droite de Mayer. On appelle G 1 le point moyen du sous nuage formé par les points d abscisses : 1 ; 2 ; 3 et 4 et G 2 le point moyen du sous nuage formé par les autres points. Calculer les coordonnées de G 1 et de G 2. Donner une équation de la droite de Mayer sous la forme y = mx + p. Tracer cette droite. Calculer, en utilisant cet ajustement, une valeur approchée à une tonne près, de la consommation sénégalaise de matière M prévisible pour Exercice n 5 Au cours d une séance d essais, un pilote automobile doit, quand il reçoit un signal sonore dans son casque, arrêter le plus rapidement possible son véhicule. Au moment du top sonore, on mesure la vitesse v t (en km/h) de l automobile, puis la distance d t (en m) nécessaire pour arrêter le véhicule. Pour sept expériences on a obtenu les résultats suivants : vitesse v t distance d arrêt d t 3,5 20,5 35,9 67,8 101,2 135,8 168,5 1) Dans le repère de la feuille suivante, représenter le nuage de points de coordonnées v t ;d t Un ajustement affine semble t il pertinent? Argumenter! 2

3 2) On pose y t = d t Compléter le tableau suivant (On arrondira les résultats au centième). v t y t Dans le repère de la feuille suivante, construire le nuage de points de coordonnées v t ;d t associé à la nouvelle série double. La forme du nuage permet elle d envisager un ajustement affine? Argumenter! Donner l équation de la droite de régression de y en v obtenue par la méthode des moindres carrés (on arrondira les coefficients au millième) et la tracer. A l aide de cette équation estimer (arrondis au centième) : la vitesse v d un véhicule lorsque sa distance d arrêt est de 180 m. La distance d arrêt d d un véhicule s il roule à 150 km/h Le manuel du code de la route donne pour calculer la distance d arrêt (en m), la méthode suivante : «Prendre le carré de la vitesse exprimé en dizaines de km/h» Comparer les résultats précédents avec ceux que l on obtiendrait avec cette méthode. 3

4 Exercice n 6 Un hypermarché dispose de 20 caisses, Le tableau ci dessous donne le temps moyen d attente à une caisse en fonction du nombre de caisses ouvertes : Nombre de caisses ouvertes x Temps moyen d attente (en minutes) y ,6 7,9 6 4,7 4 1) Construire le nuage de points M i x i ; y i correspondant à cette série statistique (Unités graphiques : en abscisse 1 cm pour une caisse ouverte ; en ordonnée 1 cm pour une minute d attente) 2) Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage et le placer sur le graphique. 3) Un ajustement affine : Déterminer l équation de la droite de régression D de y en x par la méthode des moindres carrés. La représenter sur le graphique. Estimer, à l aide d un calcul utilisant l équation de D : Le nombre de caisses à ouvrir pour que le temps d attente à une caisse soit de 5 minutes. Le temps moyen d attente à la caisse lorsque 15 caisses sont ouvertes Pensez vous dans ce cas que l ajustement affine soit fiable? 4) Un ajustement non affine : On considère la fonction f définie sur ]0 ; [ par f x = et C sa représentation graphique. x Déterminer de façon à avoir f 3 =16 Tracer alors C dans le repère utilisé pour le nuage. Estimer à l aide d un calcul utilisant la fonction f : o le nombre de caisses à ouvrir pour que le temps moyen d attente à une caisse soit de 5 min. o Le temps moyen d attente à la caisse lorsque 15 caisses sont ouvertes. 4

5 Exercice n 6 Le tableau suivant représente l évolution du chiffre d affaires en millier d euros d une entreprise pendant dix années, entre 1999 et 2008 : Année rang de l année xi chiffe d affaires y i ) Représenter le nuage de points M i x i ; y i On choisira un repère orthogonal ayant pour unités 2 cm en abscisse et 1 cm pour 20 milliers d euros en ordonnée. 2) Quel est, en pourcentage, l augmentation du chiffre d affaires entre les années 1999 et 2008? (On donnera le résultat à 1% près par excès) 3) Soit G le point moyen du nuage. Calculer les coordonnées de G et placer G sur le dessin. 4) Justifier qu il est judicieux de procéder pour cette série à un ajustement affine. Donner, en utilisant la calculatrice, l équation de la droite d ajustement D obtenue par la méthode des moindres carrés. 5) Vérifier que G appartient à la droite D et tracer D sur le dessin. 6) En admettant que l évolution continue au même rythme et en utilisant l ajustement affine, quel chiffre d affaires peut on attendre pour l année 2014? 7) On suppose qu à partir de l année 2008, le chiffre d affaire progresse de 8% par an. Quel est alors le chiffre d affaire prévisible en 2014?