CALCUL ET RÉSOLUTION DE PROBLÈMES

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1 CALCUL ET RÉSOLUTION DE PROBLÈMES TEXTES OFFICIELS LES PROGRAMMES - Cycle 1 : à la fin de l école maternelle les problèmes constituent une première entrée dans l univers du calcul mais on n instaure pas le symbolisme (+,- ) - Cycle 2 : une pratique régulière du calcul mental est nécessaire. Résolution de problèmes concernant les additions et les soustractions et problèmes de groupement et de partage qui permettent d aborder la division. Résolution de problèmes portant sur des longueurs, des masses Au niveau du calcul, ils connaissent les tables d addition et de multiplication, et apprennent les techniques opératoires de l addition, de la soustraction et de la multiplication. Dans le nombre au cycle 2, on explique que les élèves doivent se dégager progressivement de la manipulation / modélisation pour aller vers la conceptualisation. - Cycle 3 : Les problèmes choisis relèvent du quotidien ce qui permet de donner du sens et renforcer la pratique des opérations ainsi que de développer le gout de la rigueur et du raisonnement. On a aussi des problèmes de reproduction ou de construction de figures. Plusieurs types de calcul sont distingués : Mental : les tables, pratiqué quotidiennement pour approprier des nb et leurs propriétés Posé : technique opératoire Avec la calculatrice : utilisation raisonnée, en fonction de la complexité des calculs. CP CALCULS PROBLEMES mental : Doubles (à 10) et moitiés (à 20), table de multiplication par 2, calculer mentalement des sommes et des différences, posé : calculer en ligne des sommes, des différences et des opérations à trous, techniques opératoires de l addition et de la soustraction (<100) problèmes simples à une opération et problèmes de la vie courante pour les grandeurs et mesures. CE1 CALCULS PROBLEMES Mental : doubles et moitiés des nombres courants, tables de multiplication par 2,3,4 et 5, calculer mentalement des sommes différences et produits, Posé : calculer en ligne des suites d opérations, techniques opératoires de l addition et de la soustraction (<1000), technique opératoire de la multiplication par un nombre à un chiffre, diviser par 2 ou 5. Problèmes relevant de l addition, de la soustraction et de la multiplication, approcher la division par des problèmes de partage, résoudre des problèmes de longueur et de masse. Utiliser les fonctions de base de la calculatrice.

2 CE2 CALCULS PROBLEMES Mental : mémoriser et mobiliser les résultats des tables d addition et de multiplication, calculer des sommes, des différences et des produits. Posé : addition, soustraction et multiplication, technique opératoire de la division avec un diviseur à un chiffre Organiser ses calculs pour trouver un résultat Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations, reproduire des figures, construire un carré ou un rectangle de dimensions données, résoudre des problèmes dont la résolution impliquant les grandeurs, savoir organiser les données d un problème. Utiliser les touches des opérations de la calculatrice CM1 CALCULS PROBLEMES Mental : consolider les connaissances et les capacités en calcul mental sur les nombres entiers, multiplier mentalement un nombre un nombre entier ou décimal par 10, 100, 1000, estimer mentalement un ordre de grandeur. Posé : addition et soustraction de 2 nombres décimaux, multiplication d un nombre décimal par un nombre entier, division euclidienne de 2 entiers, division décimale de 2 entiers. Résoudre des problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes, compléter une figure géométrique, tracer une figure à partir d un programme de construction, résoudre des problèmes dont la résolution implique éventuellement des conversions. Connaitre quelques fonctionnalités de la calculatrice utiles pour effectuer une suite de calculs. CM2 CALCULS PROBLEMES Mental : consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers et décimaux, diviser un nombre entier par 10, 100, Posé : addition, soustraction, multiplication de 2 nombres entiers ou décimaux, division d un décimal par un entier, Utiliser sa calculatrice à bon escient. Résoudre des problèmes de plus en plus complexes, tracer une figure à partir d un programme de construction ou d un dessin à main levée, résoudre des problèmes dont la résolution implique des conversions, résoudre des problèmes dont la résolution implique des unités différentes de mesure, résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité et notamment relatifs aux pourcentages, échelles, vitesses moyennes, conversions d unité en utilisant des procédures variées dont la règle de 3. LE SOCLE COMMUN Pallier 1 : fin CE1 - Calculer : addition, soustraction, multiplication - Diviser par 2 et 5 des nombres inférieurs à Restituer et utiliser les tables d additions et de multiplication par 2,3,4 et 5. - Calculer mentalement en utilisant des additions, des soustractions et des multiplications simples - Résoudre des problèmes très simples.

3 Pallier 2 : fin CM2 - Restituer le stables usuelles d additions et de multiplication de 2 à 9 - Utiliser les techniques opératoires des 4 opérations sur les nombres entiers et décimaux (le diviseur est toujours un nombre entier) - Calculer mentalement en utilisant les 4 opérations - Résoudre des problèmes relavant des 4 opérations, de la proportionnalité, et faisant intervenir différents objets mathématiques : nombres, mesures, règle de trois, figures géométriques, schémas. PEDAGOGIE CALCUL - Le calcul s appuie sur la mémorisation de résultats qui est faite progressivement : tables d addition, de multiplication, doubles et moitiés des nombres significatifs. Cependant, les résultats doivent être construits par les élèves en s appuyant sur le sens de l opération avant d être appris : pour l'addition : S'appuyer sur les doubles et la commutativité (8+3 = 3+8) pour la multiplication : doubles pour la table de 2, régularités (0 et 5) dans la table de 5, et règle du zéro pour la table de 10 par exemple. - Le calcul mental ne doit pas être posé ni réalisé avec la calculatrice. Parfois la trace écrite intermédiaire est autorisée. Il existe 2 types de calcul mental : Calcul mental automatisé : calculs simples, orientés vers la production de résultats immédiatement disponibles, et qui font appel à des procédures automatisées (complément à la dizaine ou à la centaine par exemple). Calcul mental réfléchi : nécessite le développement d une procédure et contribue au développement des capacités de réflexion des élèves. - Dans le document d accompagnement le nombre au cycle 2 on explique : Il faut d abord automatiser certaines procédures (décomposition des nombres en dizaines et unités, compléments à 10, ) pour éviter que les élèves ne s enferment dans des automatismes qui correspondent à des procédures coûteuses et lentes (poser l opération dans sa tête). C est surtout vrai pour les élèves en difficultés. Des recherches ont montré qu une pratique régulière du calcul mental favorise une prise de sens lors de la résolution de problèmes. Ce sont donc 2 domaines complémentaires. - Pour l usage de la calculatrice, il faut l utiliser à bon escient : lorsque le calcul mental n est pas efficace ou trop long. On peut aussi l utiliser en résolution de problèmes où l objectif principal n est pas le calcul mais le raisonnement. Il faut insister sur le fait que souvent calculer mentalement est plus rapide que de prendre la calculatrice

4 RESOLUTION DE PROBLEMES Typologie des problèmes Selon les capacités des élèves et l avancée dans la séquence, les élèves peuvent résoudre un problème en utilisant une procédure experte ou une procédure personnelle. Il existe plusieurs types de problèmes : Problèmes visant la construction d une nouvelle connaissance : utilisés en situation-problème pour construire une nouvelle notion et créer un déséquilibre. Ils n ont pas encore l usage de la procédure experte. Ils utilisent une procédure personnelle qui sera forcément plus laborieuse que la procédure experte qui va être construite dans la séquence. Problèmes ouverts : pour apprendre à chercher, quand toutes le connaissances nécessaires sont en place. L élève doit trier les données et élaborer une stratégie. Les objectifs sont plus méthodologiques que notionnels. Problèmes d'application ou d entrainement : entrainement de la maitrise du sens d une nouvelle connaissance. Les élèves possèdent la procédure experte et doivent la mettre en place pour résoudre le problème. Problème de réinvestissement ou de transfert : utilisation de la connaissance dans un contexte différent, l élève doit adapter la connaissance. Problème de synthèse : permettent aux élèves de mobiliser simultanément plusieurs compétences acquises Mise en œuvre pédagogique Comment se construit la représentation d'un problème chez un élève? 1. L'élève lit le problème et sélectionne des données, qui sont stockés dans la mémoire de travail (ou mémoire à court terme). La MT stocker des informations à très court terme, et sa capacité est limitée à 7 ou 8 unités d information. Quand cette mémoire est saturée, il y a surcharge cognitive, et certaines informations sont alors effacées ou de nouvelles informations ne sont pas stockées. 2. L'élève récupère certaines connaissances dans la mémoire à long terme : les connaissances déclaratives : ce sont par exemple les définitions, les propriétés etc. les connaissances procédurales : savoirs liés à l expérience scolaire : problèmes résolus, procédures de résolution automatisées, résultats mémorisés, règles du contrat didactique... les connaissances sociales liées au vécu de l élève et qui lui permettent d associer un problème à concret. un contexte 3. L'élève traite le problème Quelles stratégies de recherche et d élaboration d une procédure chez les élèves? Chainage avant : aller des données vers la question : exploitation des données au fur et à mesure de la lecture. Procédure prend appui sur des «schémas généraux de procédures» ou «schémas de problèmes» qui permettent un résolution quasi-automatique de qq pb.

5 Chainage arrière : aller de la question vers les données : identifier ce qu il faudrait connaître pour répondre à la question. Remarque : Ces deux stratégies ont leur limite, il convient souvent de mixer ces deux stratégies pour être efficace dans la résolution de problème. Démarche scientifique (pour les problèmes ouverts) : faire l'inventaire exhaustif des différents cas, stratégie par essais et erreurs, ou l analogie avec un problème proche que l on sait traiter, ou avoir recours à la généralisation, ou opérer un changement de cadre (passer du cadre numérique au cadre géométrique, en schématisant les données...) Il existe évidement d autres stratégies possibles et les élèves utilisent parfois des stratégies personnelles inattendues mais efficaces pour certains problèmes. Comment aider les élèves (surtout de cycle 2) face à la résolution de problèmes? Le plus important, est de ne pas induire de procédure. Examiner si un résultat est conforme ou non aux contraintes ne dit pas comment l'obtenir. 1. Le matériel est présent, visible, mais non disponible pour résoudre (pas de manipulation) Ex : partage de 12 jetons dans 3 enveloppes, on montre juste les jetons et enveloppes. 2. le matériel est présent mais pas assez complet pour résoudre. Ex : partage de 96 œufs dans des boîtes de 6, on peut montrer 2 ou 3 boîtes. 3. Les élèves procèdent d'abord à une résolution avec matériel, puis on leur demande une résolution sans matériel pour laquelle les valeurs des variables sont changées. 4. L'enseignant mime la situation pour faire anticiper la suite. Ex : activité la cible, on place des palets au hasard sur la cible, voit le total obtenu, puis pose une nouvelle question. 5. Proposer un exemple de solution. Ex : partage équitable de 18 jetons en 3, proposer "je mets 5 jetons dans la 1, 5 dans la 2 et 8 dans la 3, est-ce que cela va?" Que faire si des élèves restent bloqués? Aide de l'enseignant : vérification de l'appropriation du problème, coup de pouce (cf question précédente), proposer plusieurs débuts de piste, sélection des données nécessaires... Organisation d'une phase collective : demander à ceux qui ont des idées de les communiquer, en les arrêtant suffisamment tôt pour permettre juste un démarrage, et ne pas dévoiler toute la procédure. Lors de la mise en commun des solutions d un problème de recherche il est nécessaire de commencer par les productions correctes? Faux. On peut justement choisir une production erronée qui donnera lieu à explications et qui permettra aux auteurs de prendre conscience, en exposant leur méthode à la classe, de leur erreur.