Comment habiller une variété de dimension 3

Transcription

1 Comment habiller une variété de dimension 3 Chloé Perin Université de Strasbourg 8 novembre 2012

2 La forme de la terre Modèle plat (pré Aristote) Modèle sphérique

3 Variétés Une variété de dimension n est un espace qui ressemble localement à R n, c'est-à-dire: chaque point a un voisinage U homéomorphe avec un ouvert de R n par un homéo h: on appelle (U, h) une carte; X U x h R n h(x) h(u)

4 Variétés Une variété de dimension n est un espace qui ressemble localement à R n, c'est-à-dire: chaque point a un voisinage U homéomorphe avec un ouvert de R n par un homéo h: on appelle (U, h) une carte; X U U V V x h f R n h(u) h(x) f (V )

5 Variétés Une variété de dimension n est un espace qui ressemble localement à R n, c'est-à-dire: chaque point a un voisinage U homéomorphe avec un ouvert de R n par un homéo h: on appelle (U, h) une carte; les changements de cartes sont des homéomorphismes. X U U V V x h f h 1 f R n h(u) h(x) f (V )

6 On considère les variétés à homéomorphisme près.

7 Variétés à bord Une variété à bord ressemble localement soit à R n, soit à R n 1 R + X y x f h f (y) h(x) R n

8 Construction de surfaces par recollement La sphère S 2 peut être obtenue en recollant deux boules de dimension 2 (càd des disques) le long de leur bord:

9 Construction de surfaces par recollement Le tore T 2 peut être obtenu en recollant les bords d'un carré:

10 Diérencier la sphère du tore Théorème Tout lacet fermé sur la sphère S 2 se déforme continument en un point. On dit que S 2 est simplement connexe. Remarque Ce n'est pas le cas du tore. Cela montre que ce sont bien deux variétés distinctes...

11 L'opération somme connexe On peut construire de nouvelles surfaces à partir d'anciennes grâce à l'opération suivante: 1. On retire un disque ouvert de chacune des surfaces. 2. On recolle les deux bords ainsi obtenus. X 1 X 2 X 1 D X 2 D X 1 #X 2

12 Classication des surfaces Théorème ( 1907: Möbius, von Dyck, Dehn, Heegard) Toute surface orientable, compacte, sans bord peut être obtenue comme somme connexe de tores

13 Exemples de variétés de dimension 3 La sphère de dimension 3 est dénie par: S 3 = {(x, y, z, w) R 4 x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = 1} Elle peut être obtenue en recollant deux boules de dimension 3 le long de leur bord. Le tore de dimension 3, noté T 3, peut être obtenu en recollant les bords d'un cube.

14 Conjecture de Poincaré Propriété La sphère de dimension 3 est simplement connexe, alors que T 3 ne l'est pas. Conjecture de Poincaré (1904) La sphère de dimension 3 est la seule variété compacte sans bord de dimension 3 qui soit simplement connexe. Cette conjecture n'a été démontrée qu'en 2003 (c'est une conséquence de la Conjecture de géométrisation de Thurston démontrée par Perelman).

15 L'opération somme connexe en dimension 3 On peut construire de nouvelles variétés de dimension 3 à partir d'anciennes par l'opération suivante: 1. On retire une boule ouverte de chacune des variétés X 1, X On recolle les deux bords ainsi obtenus (chacun d'entre eux est homéomorphe à S 2 ). On note le résultat X 1 #X 2. Remarque On a X #S 3 = X.

16 L'opération somme connexe en dimension 3 Théorème (Kneser) Soit X une variété compacte orientable sans bords de dimension 3. Alors X se décompose en X = X 1 #X 2 #... #X n où chacun des X i est premier, c'est-à-dire que si X i = Y #Z alors l'un de Y, Z est S 3.

17 Variétés euclidienne Une variété euclidienne de dimension n est un espace qui ressemble localement à R n muni de sa structure d'espace euclidien, c'est-à-dire: chaque point a un voisinage V homéomorphe avec un ouvert de R n par un homéo h: on appelle (V, h) une carte; les changements de cartes sont des isométries de R n. X U U V V x h f h 1 f R n h(u) h(x) f (V )

18 Variétés sphérique Une variété sphérique de dimension n est un espace qui ressemble localement à S n muni de sa structure sphérique, c'est-à-dire: chaque point a un voisinage V homéomorphe avec un ouvert de S n par un homéo h: on appelle (V, h) une carte; les changements de cartes sont des isométries de S n (où l'on voit S n comme l'ensemble des points à distance 1 de l'origine dans R n ). X h f h 1 f S n

19 Espace hyperbolique de dimension 2 Hyperboloïde Disque de Poincaré

20 Géométrisation des surfaces Théorème Toute surface orientable, fermée et compacte admet une géométrie sphérique, euclidienne ou hyperbolique. Sphère S 2 : géométrie sphérique; Tore T 2 : géométrie euclidienne; Surface de genre g 2: géométrie hyperbolique.

21 Conjecture de géométrisation de Thurston Thurston a montré en 1982 qu'il existe exactement 8 type de géométries modèle en dimension 3 (sphérique, euclidienne, hyperbolique + 5 autres) qui peuvent être mises sur des variétés compactes de dimension 3. Il a alors émis la conjecture que toute variété de dimension 3 pouvait être découpée en morceaux qui chacun admettent l'une de ces géométries. Cette conjecture a été nalement démontrée en 2003 par Perelman. Théorème de géometrisation de Perelman Toute variété orientable, compacte, sans bord, et première de dimension 3 peut être découpée le long de tores en un nombre ni de pièces, dont l'intérieur peut être muni de l'une des 8 géométries de la liste de Thurston.