Chirurgie sur les applications holomorphes

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1 Proceedings of the International Congress of Mathematicians Berkeley, California, USA, 1986 Chirurgie sur les applications holomorphes A. DOUADY Introduction. Si / est une fraction rationnelle complexe, on note J(f) son ensemble de Julia: l'application / opère sur la sphère de Riemann C, et J(f) est l'ensemble des z tels que les itérées f n de / ne forment une famille équicontinue sur aucun voisinage de z. Si / est un polynôme, «/(/) est la frontière de l'ensemble K(f) des z tels que la suite f n (z) reste bornée (ensemble de Julia rempli). Soit / un polynôme monique de degré d tel que K(f) soit connexe. Sur C K(f), l'application / est holomorphiquement conjuguée à /o: z z d sur C D. Si en outre K(f) est localement connexe, la représentation conforme ip : C D > C K(f) se prolonge au bord, et définit une surjection 7/ : T = R/Z -> dk(f) (lacet de Caratheodory). On a f(i f (t)) = 7/(d *) On note P c le polynôme z > z 2 +c, et on écrit K c pour K(P C ). L'ensemble des c pour lesquels K c est connexe est noté M (ensemble de Mandelbrot). Les figures 1, 2 et 3 représentent K c pour c x = -0, ,74486h", c 2 = -0, ,032247«, c 3 = -0, l,03770i repectivement. Ce sont des valeurs de c pour lesquelles le point critique 0 est périodique de période fci = 3, fe = 4 et fe = 12 pour P c. L'ensemble K Cl est connu comme le "lapin." Pour c tel que 0 soit périodique de période k pour P c, notons U n (c) la composante connexe de l'intérieur de K c contenant ^(0). On a PJ?(U n ) = E/ n +fc = U n. Sur un voisinage de la fermeture de U n, l'application P fc c est topologiquement conjuguée à z» z 2 au voisinage de D. Toute composante de l'intérieur de K c tombe en un temps fini sur le cycle des U n (c). On peut décrire le système dynamique défini par P C3 opérant sur C en disant qu'il est obtenu à partir de celui de P C2 en remplaçant la fermeture de chaque composante de l'intérieur de K C2 par un lapin. Sur le lapin contenant 0, l'application P^3 est topologiquement conjuguée à P Cl sur K Cl (conjugaison holomorphe à l'intérieur). On exprime cette situation en disant que P C3 est obtenu en modulant (tuning) P C2 par P Cl. Dans M, il y a une copie homéomorphe M C2 de M centrée en c<i, et C3 est le point de M C2 correspondant a c±. Dans cet exposé, nous allons essayer de faire un inventaire des cas découverts recemments ou l'on peut ainsi enlever à un système dynamique holomorphe un 1987 International Congress of Mathematicians

2 CHIRURGIE SUR LES APPLICATIONS HOLOMORPHES 725 morceau, le remplacer par un morceau d'un autre système dynamique holomorphe, et obtenir un nouveau système dynamique, holomorphe malgré la couture, Cette idée remonte au théorème d'uniformisation simultanée de L. Bers, et au théorème de recombinaison de Klein-Maskit, mais dans ces deux cas le temps est remplacé par un groupe dénombrable, et nous n'en parlerons pas ici. Tous les résultats obtenus utilisent le Théorème d'intégrabilité d'ahlfors-bers (Measurable Riemann-Mapping Theorem). C'est Sullivan qui a inauguré l'usage de ce théorème pour les systèmes dynamiques holomorphes à temps discret, c'est à dire pour l'itération des fractions rationnelles, Tous les résultats obtenus par l'auteur l'ont été en collaboration avec J, H, Hubbard. Nous allons examiner successivement les applications à allure polynomiale et les opérations de modulation et d'accouplement. Puis nous décrirons un travail de M. Shishikura, qui a affiné la technique, et enfin deux applications, par Bodil Branner et par l'auteur, qui montrent la souplesse à laquelle on parvient, Applications à allure polynomiale. Une application à allure polynomiale (polynomial-like mapping) est une application holomorphe propre / ; [/' ï/, où U et U' sont des ouverts de C isomorphes a D, avec U' relativement compact dans U. On note alors K(f) l'ensemble des z tels que f n (z) soit défini et appartienne à U f pour tout n, Soient / : U f U et g : V' * V deux applications à allure polynomiale, avec K(f) et K(g) connexes, Une équivalence holomorphe (resp. quasi-conforme) entre f et g est un isomorphisme analytique (resp. un homéomorphisme quasiconforme) (j)\ Ui Vi, où U\ et V% sont des voisinages de K(f) et K(g), tel que g o (j) = (j) o f sur U[ = f~ 1 (Ui), Une équivalence hybride est une équivalence quasi-conforme 0 telle que d<j) = 0 presque partout sur K(f). Une équivalence extérieure est un isomorphisme analytique (ß: U\ K(f) Vi K(g) tel que go<t> = (j>ofmtu[-k(f). THÉORÈME. Etant donné deux applications à allure polynomiale f: U 1 U et g: V 1 V de même degré d, avec K(f) et K(g) connexes, il existe une application à allure polynomiale h: W 1 W, hybridement équivalente à f et extérieurement équivalente a g, Autrement dit, on peut recoller les sytèmes dynamiques K(f) V K(g) muni de g en un système dynamique holomorphe, muni de / et PRINCIPE DE LA DEMONSTRATION. Quitte a rétrécir, on peut supposer que U et V sont à bord R-analytique, ainsi que [/' et V, et que f et g se prolongent au bord. Soit 0o un difféomorphisme de du sur dv. On peut trouver un difféomorphisme fo de du 1 sur dv f tel que g o fa = (ß 0 o /, puis étendre (<^i, 0o) en un difféomorphisme ^ de U U' sur V V >. On note a la structure complexe <^Vo sur U U f, où ao est la structure standard, On peut étendre a en une structure presque complexe sur U K(f) invariante par /, puis à U tout entier en prenant OQ sur K(f). On note encore a la structure obtenue,

3 726 A. DOUADY D'après le Théorème d'ahlfors-bers, on peut trouver un homéomorphisme quasiconforme -0 de U sur un ouvert W de C tel que ip*o~o = o. L'application h = ip o / o ^> -1 : W 1 W, définie sur W! = ^(U 1 ), répond à la question. REMARQUE. En degré 2, l'application h ainsi obtenue est unique à équivalence holomorphe près. En degré supérieur, le choix de la classe de (j>, une fois choisis (j)q et 0i, produit d 1 classes d'équivalence holomorphe pour h. COROLLAIRE. (Théorème de redressement, straightening theorem.) Toute application à allure polynomiale de degré d admet une équivalence hybride avec un polynôme de degré d. PRINCIPE DE LA DEMONSTRATION. Parmi les applications à allure polynomiale de degré d, celles qui sont holomorphiquement équivalentes à des polynômes sont celles qui sont extérieurement équivalentes à z > z d. REMARQUES. (1) Avec les définitions ci dessus, ceci ne s'applique qu'aux cas où K(f) est connexe, mais on peut les modifier de façon à couvrir le cas général. (2) Si on veut on polynôme monique centré, on a d 1 choix si K est connexe, une infinité sinon. (3) Soit f = (fx) une famille d'applications à allure polynomiale de degré d dépendant analytiquement d'un paramètre A. Si d = 2, on peut choisir pour chaque A un c = x(a) tel que P c rectifie fx, de façon que x s it continue (et même quasi-régulière sous certaines hypothèses, qui sont probablement inutiles en fait). L'énoncé analogue en degré > 3 est faux, même si on se restreint à l'ensemble Mf des valeurs de A pour lesquelles K(fx) est connexe. Ceci n'est pas dû aux d 1 choix possibles: l'ensemble K(fx) dépend de facon discontinue de A en chaque point ou fx a un cycle parabolique, et il en est de même de ax et ipx- Ce n'est que par miracle que, en degré 2, on peut récupérer la continuité pour P\ = V>A 0 /A 0^Ä 1 (4) En degré 2, si A parcourt un disque A dans lequel Mf est compact, cet ensemble Mf, muni de x> est un revêtement ramifié de M. Le degré S de ce revêtement ramifié (degré paramétrique) est égal au nombre de tours que fait la valeur critique autour du point critique quand A longe le bord de A. Si 6 = 1, l'application x es^ un homéomorphisme, et on dit que que f est une famille Mandelbrotesque. Modulation en degré 2. En degré 2, nous avons le résultat suivant: Soit co tel que 0 soit péroidique de période k pour P Co. Notons W la composante de l'intérieur de M qui contient CQ, et c\ la racine de cette composante (point du bord de W où le multiplicateur du cycle attractif devient égal à 1). On dit que W est une composante primitive si le bord de W a en c\ un point de rebroussement; sinon W est rattachée en c\ à une composante de période plus petite. THÉORÈME DE MODULATION, (a) Si W est une composante primitive, on peut trouver un voisinage A de W, et deux familles d } ouverts (U c,u' c ) c ea telles que les f c = P fc c :U' C^U C forment une famille Mandelbrotesque.

4 CHIRURGIE SUR LES APPLICATIONS HOLOMORPHES 727 Julia sets % H> z 1 + e c^o Lapin : Rabbit ; Cone jo j c-i = ,

5 728 A. DOUADY (b) Si W n y est pas primitive, on peut seulement construire A, let U c et les U' c de façon que A soit un voisinage dew-ci, et que x induise un homéomorphisme de Mf sur M - {1/4}. Pour a: G M, le point X -1 0*0 de A est appelé le modulé de c 0 par x (c 0 tuned by x). Dans le cas non primitif, l'application x -1 admet un prolongement continu appliquant \ sur ci, ce qui permet de définir le modulé pour tout x de M. La démonstration consiste à construire A, les U c et les U' c. Cette construction utilise les propriétés combinatoires des rayons externes décrites dans [6]. Comme elle n'est pas publiée, nous en donnons ici un plan assez détaillé, en nous basant sur des notes de P. Lavaurs. Donnons d'abord quelques définitions: Soit K un compact de C. Il existe un unique couple (r,<ß) tel que <j> soit un isomorphisme de C - K sur C - D r tangent a l'identité à l'infini. On dit que r(k) = r est le rayon de capacité (ou diamètre transfirn) de K, les équipotentielles et les rayons externes de K sont les images réciproques des cercles centrés en 0 et des demi-droites. Le potentiel créé par K est Log 0. Vargument d'un rayon externe est son argument à l'infini, i.e., l'argument de la demi-droite correspondante. Les arguments sont comptés en prenant comme unité le tour complet et non le radian. Si le rayon externe R(K, t) d'argument t aboutit en un point x de K, on dit que x admet t comme argument externe; si K est localement connexe cela équivaut à7x(t) = a;, ou 7x est le lacet de Caratheodory. On sait que M est un compact connexe de rayon de capacité 1. On ne sait pas démontrer qu'il est localement connexe, mais on sait que ci admet dans M deux arguments externes de la forme 6 8 = p 8 (2 k - 1), s = \,2 (k est la période de 0 pour P Co ). On peut supposer 0 < 9 ± < 0 2 < 1 (en excluant le cas trivial c 0 = 0). Pour c G C, on peut définir le rayon externe R(K c,t) même si c n'est pas dans M, sauf si l'argument externe de c relativement à M est de la forme 2 n t. En effet, on peut définir 0 C au voisinage de l'infini comme la fonction conjuguant P c k Po, le potentiel défini au voisinage de l'infini par G = Log < se prolonge a C - K c grâce à l'équation fonctionnelle G(z) = \G(P c (z)), et on peut prolonger

6 CHIRURGIE SUR LES APPLICATIONS HOLOMORPHES 729 R(K c,t) comme ligne othogonale aux équipotentielles, sauf s'il bute sur un col de potentiel, Fixons c p= co, écrivons K pour if Co, etc. Les rayons externes R(K,6{) et R(K, 62) aboutissent en un même point y\ de du\. Notons A l'ouvert limité par L = R(K, 0\) UR(K, 62) U {2/1} et une équipotentielle de niveau rj. Notons A' la composante connexe de P~ k (A) qui contient U\. LEMME 1. L'ouvert A 1 est contenu dans A. Il est limité par quatre rayons externes, deux d'arguments 6\, 62 et deux autres d'arguments 6' x et 6 f 2) et deux arcs de läquipotentielle de niveau r} 1 = 1/2^ 77. L'application P k induit une application propre de degré 2 de A' dans A, Notons Ai l'ouvert de C limité par les rayons externes d'argument 61,62 de M, et une équipotentielle de M de niveau rf < r\, et contenant W. LEMME 2. Pour CE A, les rayons externes R(K C,9\) et R(K C,Ô2) aboutissent en un même point y\(c); les rayons R(K C,6[) et R(K C,02) aboutissent en un même point y[. Ceci permet de définir des ouverts A(c) et A'(c). L'ouvert A f (c) est contenu dans A(c), et P k induit une application propre de degré 2 de A'(c) dans A(c). L'application P k : A f (c) > A(c) n'est pas à allure polynomiale, car A f (c) n'est pas relativement compact dans A(c). En effet, ils ont en commun dans leur frontière le point yi(c) et des arcs de R(K C,6\) et R(K C) 02)- On remédie à cela en deux temps. Dans le premier, on remplace les rayons externes par des "paraboles de potentiel" d'équation h = e(t 6 8 ) 2, où t est l'argument externe et h le potentiel, la constante e choisie petite et du signe qu'il faut pour que l'ouvert modifié A\(c) soit contenu dans A(c). On pose A f t(c) = A'(c) D P~ k (A\(c)). L'ouvert A[(c) est encore contenu dans Ai(c), et ces deux ouverts n'ont plus en commun dans leur frontière que le point yi(c). Jusqu'ici, la construction peut se faire pour c dans un ouvert A2 obtenu en modifiant A de la même façon, et également pour c = c\. Pour le deuxième temps, on définit U c en ajoutant à Ai(c) un disque À(c) centré en 2/1 (c) et en posant U c = A'i(c) U A'(c), où A'(c) est la composante connexe de P~ k (A(c)) contenant yi(c). Pour c G A 2, sj on a choisi A(c) assez petit, l'application P k induit une application à allure polynomiale f c \ U f c-^ U c. Si W est une composante primitive, on peut effectuer ce deuxième temps aussi pour c = ci, car au voisinage de 2/1 le complémentaire de A± (c) est contenu dans Tunique interpétale de la fleur de Fatou, où P k a un effet faiblement répulsif. Par stabilité, on obtient finalement des ouverts U c, U' c définissant une famille f d'applications à allure polynomiale induites par les P k, pour c parcourant un ouvert A réunion de A2 et d'un petit voisinage de ci* On calcule le degré paramétrique et on montre que cette famille est Mandelbrotesque. Si W n'est pas primitive, on a seulement une famille f = (/ c ) indexée par A = A2. Il faut alors montrer que x( c ) tend vers \ quand c tend vers ci dans Mf. Ceci peut se faire en utilisant une majoration de Yoccoz de la "taille des

7 730 A. DOUADY membres de M." On voit alors que Mf est un revêtement ramifié de degré fini de M {j}, et il ne reste plus qu'à montrer que ce degré est 1. Modulation en degré supérieur. Soit P un polynôme de degré d admettant un cycle superattractif d'ordre fc. On suppose que ç contient un seul point critique a et on note 6 le degré local de P en a (c'est a dire que la multiplicité de a comme zéro de P' est 6 1). On suppose également que tous les points critiques de P sont prépériodiques, et qu'aucun autre que a ne tombe sur le cycle ç. La fermeture du bassin immédiat C/ a de a est alors homéomorphe au disque fermé, et sur un voisinage de cette fermeture, P k induit une application à allure polynomiale hybridement équivalente à z z 6. Sur du a, il y a 6 1 points fixes de P k. Choisissons l'un d'eux comme point de base. Soit Q un polynôme monique de degré 6 tel que K(Q) soit connexe et localement connexe. On peut définir un système dynamique en remplaçant la fermeture de chaque composante de l'intérieur de K(P) qui tombe sur U a par une copie de K(Q), en prenant soin de recoudre le point de base au point de K(Q) d'argument externe 0. Si ce système dynamique est topologiquement équivalent à celui défini par un polynôme PQ, avec conjugaison holomorphe la ou c'est possible, on dit que PQ est un modulé de P par Q. Si tous les points critiques de P et Q sont périodiques (ou prépériodiques mais tombant sur un cycle superattractif) on peut démontrer l'existence du modulé en utilisant le Théorème de Thurston cractérisant topologiquement les fractions rationnelles parmi les revêtements ramifiés à ensemble postcritique fini. Un résultat démontré indépendamment par Israel Berstein et Silvio Levy entraine que le critère de Thurston est satisfait dans ce cas. Si on suppose seulement les points critiques de P et Q prépériodiques, il y a des difficultés, peut-être purement formelles. Notons C(d) l'ensemble des polynômes moniques centrés de degré d dont l'ensemble de Julia rempli est connexe. QUESTION. Le polynôme P satisfaisant aux hypothèse ci-dessus, et un point de base fixe par P k étant choisi sur dll a, existe-t-il une application continue injective de C(6) dans C(d) qui à Q associe un modulé de P par Q lorsque K(Q) est localement connexe? On conjecture une réponse positive pour 8 = 2. Mais on ne peut évidemment pas utiliser la méthode qui réussit lorsque d = 2, qui repose sur une connaissance détaillée de la combinatoire de M. Pour 6 > 2, il est raisonnable de penser que les phénomènes qui créent des discontinuités pour le redressement des applications à allure polynomiale se produisent aussi, entraînant une réponse negative. On peut faire des variantes. Si P admet deux cycles disjoints superattractifs de degré 2, i.e., contenant chacun un point critique simple, on peut chercher à les moduler indépendamment. Mais, pour certains P, on n'obtiendra au mieux qu'une application de M 2 {(, )} dans C(d). Par exemple, Milnor a regarde la partie réelle RC(3) de C(3), et on observe le phénomène suivant: Le polynôme

8 CHIRURGIE SUR LES APPLICATIONS HOLOMORPHES 731 z > z s + z a deux points fixes superattractifs imaginaires purs conjugués. Si on les module l'un par c, l'autre par c avec c E M { }, on obtient un polynôme réel. Mais l'application de M { } dans RC(3) ainsi définie étale le point de rebroussement de la cardioide sur la courbe T formée des polynômes ayant un point fixe double. Les images des "éléphants" qui se trouvent près de ce point de rebroussement s'accumulent sur un arc de T, leur hauteur tendant vers une limite strictement positive tandis que leur largeur tend vers 0, En particulier, R(7(3) n'est pas localement connexe. Ces faits, observés expérimentalement, peuvent se justifier un utilisant les "cylindres d'ecalle." Remarquons qu'on sait (Branner-Hubbard) que C(3) et RC(3) sont des compacts connexes, et même cellulaires (intersections décroissantes de boules topologiques). Le polynôme z z 3 z a un cycle superattractif contenant deux points critiques. Les objets par lesquels on peut espérer le moduler sont les systèmes dynamiques formés de deux copies de C, chacune étant appliquée dans l'autre par un polynôme de degré 2. Pour un tel système dynamique Q = (Qi, Q2), on pose Kx(Q) = K(Q2 o Qi) et K 2 (Q) = K(Qi o Q 2 ). Ces deux ensembles sont connexes si aucun des deux points critiques ne s'échappe vers l'infini. Sinon, ils ont chacun une infinité de composantes connexes. On peut donc s'attendre à trouver dans C(3) une copie de l'ensemble (7(2,2) des couples (ci,c2) tels que les Ki(z 2 + ci,z 2 + C2) soient connexes, Accouplements. Soient Pi et P2 deux polynômes moniques de même degré d, et posons Ki = K(Pi). Supposons K\ et K2 connexes et localement connexes, et notons 7^ le lacet de Caratheodory de Ki. On définit un espace topologique E en identifiant dans la réunion disjointe de K± et K 2 les points 71 (t) et ^( t). On a une application F: E E induisant Pi sur K\ et P2 sur K 2 - Si E est homéomorphe à la sphere S 2 et F topologiquement conjuguée à une fraction rationnelle /, avec une conjuguante holomorphe aux points intérieurs à l'un des Ki, on dit que / réalise l'accouplement de Pi et P 2. On a de nombreux exemples où ce miracle se produit. Soit / une fraction rationnelle de degré d à ensemble postcritique fini. S'il existe une courbe simple 7 évitant l'ensemble postcritique de /, telle que / _1 (7) soit une courbe simple isotope a 7 modulo l'ensemble postcritique, alors / réalise l'accouplement de deux polynômes de degré d. On peut modifier cette situation de façon à autoriser dans certains cas la courbe 7 à passer par certains points post-critiques. Ainsi l'application de Lattes z-+(i/2)-(z + l/z), déduite de la multiplication complexe par 1+i dans C/(Z + Zi), réalise l'accouplement de deux copies du polynôme z z 2 +c où c est le point de M d'argument externe. Remarquons qu'ici les deux Ki sont d'intérieur vide, et leur lacet de Caratheodory commun décrit une courbe de Peano dans la sphere de Riemann. On ne voit pas du tout d'où vient la structure complexe sur E. Elle est cependant unique.

9 732 A. DOUADY Il arrive souvent qu'une même fraction rationnelle réalise plusieurs accouplements. Partons maintenant de deux polynômes moniques Pi et P 2 donnés, et cherchons à savoir s'ils sont accouplables. Si tous les points critiques de Pi et P2 sont périodiques, la question relève en principe du théorème de Thurston mentionné plus haut. On peut definir l'accouplement topologique de la façon suivante: Choisissons un potentiel rj et notons L(Pì) l'ensemble des points où le potentiel par rapport à K(PÌ) est < r\. L'ouvert Ai = L(P{) K(Pi) est alors un anneau de module 77/271-. En recollant L(Pi) et L(P 2 ) suivant l'isomorphisme de Ai sur A 2 donné par s i-> rj s pour le potentiel et t \-> t pour l'argument, on obtient une sphère de Riemann X v. L'application F v : X v > X v qui induit Pi sur K(Pì), et qui sur l'anneau A = A± = A 2 double l'argument sans changer le potentiel, est un revêtement ramifié à points critiques périodiques. Sa classe de Thurston ne dépend pas du choix de 77: c'est Vaccouplement topologique. THÉORÈME. Supposons que F v soit équivalente au sens de Thurston à une application rationnelle f. Alors (a) Pi et P 2 sont accouplables, et f réalise l'accouplement', (b) en choisissant pour chaque ri un isomorphisme (p^ : X n > C de façon appropriée, f n = (p v o F v o ip' 1 tend vers f quand r\ tend vers 0; (c) avec ces choix, la restriction de (p n à K(Pi) a une limite ti (non nécessairement injective) quand r) tend vers 0. De fait, la construction de Thurston transforme f v en f v / 2. Cependant le critère de Thurston est très difficile à rendre explicite. Pour les polynômes de degré 2, on a une condition necessaire conjecturalement suffisante. Notons Wo la grande cardioide de M. La representation conforme de Wo permet de definir pour chaque point de dwo un argument interne. Pour chaque t G Q/Z, notons Mt le membre de M d'argument interne t, i.e., l'ensemble des points de M qu'on ne peut joindre à 0 par un ensemble connexe qu'en passant par le point de Wo d'argument interne t. L'ensemble M est réunion de W et des M t. Soient ci et C2 deux points de M tels que 0 soit périodique pour P Cl. Si ci et C2 sont dans des membres de M conjugués (i.e. symétriques par rapport à R), ils ne sont pas accouplables. On conjecture que dans tous les autres cas ils le sont. Traduisant le critère de Thurston, Silvio Levy a réduit le problème de l'accouplabilité à l'impossibilité de trouver une courbe ayant certaine propriété combinatoire. Tan Lei a alors obtenu le résultat suivant: supposons ci et C2 dans M tl et M t2 respectivement, avec t\ ^ 1. Supposons en outre que ci soit le modulé d'un point ci de la nervure principale de M tl par un point c\, et que ni t\ ni t 2 ne soit de la forme 1/n ou -1/rc. Alors ci et C2 sont accouplables. 1 La traduction du théorème de Thurston pour les polynômes à ensemble postcritique fini presente quelque complication formelle. Pour l'extension aux polynômes qui ne sont pas à ensemble postcritique fini, ou pour la continuité en fonction des données, il n'y a aucun résultat domontré. 1 Added in proof: Mary Rees a obtenu la conjecture complète.

10 CHIRURGIE SUR LES APPLICATIONS HOLOMORPHES 733 Mais il y a une très belle étude expérimentale de Ben Wittner sur les fractions rationnelles de degré 2 ayant un cycle superattractif d'ordre 3. Ces fractions rationnelles forment une famille à 1 paramètre, et dans le plan du paramètre on voit l'image de M mutilé d'un membre, correspondant aux accouplements avec un lapin, le symétrique et on voit aussi les points correspondant aux accouplements avec le point réel -1, de période 3. Ben Wittner a des algorithmes, basés sur une mise en oeuvre de la méthode de Thurston, qui lui permettent de tracer les nervures de M et leurs images par accouplement avec un polynôme donne (à point critique périodique), Cela suggère très fortement que ces applications sont continues (encore qu'avec un assez mauvais module de continuité). On peut repérer les fractions rationnelles qui peuvent être obtenues par accouplement de plusieurs façons, et celles qui, bien qu'ayant deux cycles super attract if s, ne peuvent pas être obtenues par accouplement. Les inégalités de Shishikura. Dans un article récent, Mitsuhiro Shishikura utilse une méthode de chirurgie pour démontrer les conjectures qui circulaient sur le nombre maximum de cycles non répulsifs ou de cycles de composantes du complémentaire de l'ensemble de Julia d'une fraction rationnelle de degré donné. Pour ce faire, il a affiné l'outil: il obtient le lemme suivant: LEMME. Soit g: C C une application quasi-régulière. Soient Ei des ouverts disjoints de C (i = 1,...,m), soient fa: Ei -^ E[ des applications quasiconformes, où les Ei sont des ouverts de G, et soit N un entier. On suppose satisfaites les conditions suivantes: (i) g(e) est contenu dans E, ou E = [JEï, (ii) <t> o g ((j>ï 1 ) est analytique sur E[, ou (j>: E > C a pour restriction les Ei\ (iii) dg/dz = 0 presque partout sur C g~ n (E), Il existe alors une application quasi-conforme (/>: G -» C telle que (j)ogo(f>~ 1 soit une fraction rationnelle. De plus, ^o^r 1 est conforme sur E[, et d(j)/dz = 0 presque partout sur G - \Jg~ n (E). La démonstration est une adaptation de celle du théorème de redressement des applications à allure polynomiale. Une application rationnelle / de degré d étant donnée, notons n a le nombre de cycles attractifs (en comptant les superattractifs), n p le nombre de cycles paraboliques (i.e., indifférents rationnels), np le nombre de cycles de domaines paraboliques (on a np > n p car plusieurs cycles de domaines paraboliques peuvent être attachés à un même cycle de points), m T r le nombre de cycles indifférents irrationnels, et n# le nombre d'anneaux de Herman. Quand il y a lieu de préciser, on écrira n a (f), etc. THÉORÈME (SHISHIKURA). Soit f une application rationnelle de degré d. On a n a + np + ni rr + 2 nn < 2d 2. Commençons par un résultat intermédiaire. Pour un polynôme, notons n* le nombre de cycles attractifs à distance finie, soit n* = n a 1.

11 734 A. DOUADY PROPOSITION, (a) Pour un polynôme de degré d, on a n*+np+ni rr < d 1. (b) Pour une fraction rationnelle de degré d, on an a +np + ni rr < 2d 2. INDICATION DE DÉMONSTRATION, (a) Le résultat était connu [7], il découle de la notion même d'application à allure polynomiale. Comme chaque bassin attractif ou parabolique contient au moins un point critique, on a n a + np < d 1. Il n'est pas évident que l'on peut perturber un polynôme /, sans changer son degré, de facon à rendre les points indifférents irrationnels attractifs et à conserver le nombre des bassins paraboliques. Mais cela est facile dans le cadre des applications à allure polynomiale: soit f:u f >U une application à allure polynomiale de degré d, et choisissons un polynôme h (de degré élevé) tel que: (i) h s'annule aux points périodiques non répulsifs de /; (ii) Re(h f (x)/f'(x)) < 0 si x est un point périodique indifférent irrationnel; (iii) Si x est un point parabolique, h s'annule en a; à un ordre suffisant pour que le nombre de pétales de la fleur de Fatou en x soit le même pour f -h eh et pour /. Soit U\ l'ouvert U légèrement rétréci. Pour e assez petit, f + eh induit une application à allure polynomiale f : U > U±, vérifiant: n a (f ) > n a (f) + nirr(/), n P (f e ) > n P (f). Onadoncn a (/)+n irr (/)+n P (/) < n a (/ e )+n P (/ e ) < d-1. (b) Soit / une fraction rationnelle telle que n- ur (f) > 0. On peut supposer que 0 est un point périodique indifférent irrationnel, que /(oo) = 0, mais que oo n'appartient pas au cycle de 0. Choisissons un polynôme h satisfaisant aux conditions (i), (ii), (iii) énoncées plus haut. Pour e > 0, notons V le bassin immédiat de 0 pour e, et p(e) la distance de 0 a dv. Si 0 est une point de Siegel, p(e) ne tend pas vers 0; sinon, il tend vers 0, mais plus lentement que e& pout tout ß. D'autre part, on peut choisir un disque D, de rayon R tendant vers l'infini comme 1/e^ pour un certain ß, de facon que f ressemble à / sur D. Pour e assez petit, f (dd ) est donc contenu dans V. On peut alors raccorder f a / sur le complémentaire de D. On obtient une application qui n'est plus holomorphe, mais qui peut le devenir si on change la structure complexe de la sphère de Riemann. Pour cette dernière application g, on a n a (g) > n a (f) + ni rr (/), et np(g) > np(f). D'où l'inégalité cherchée. Shishikura et les anneaux de Herman. Pour terminer la démonstration de son théorème, Shishikura doit traiter le cas où il y a des anneaux de Herman. Indiquons quelques constructions pour se faire la main. Comment obtenir un anneau de Herman en accouplant des disques de Siegel: Soient /i et f 2 des applications rationnelles de degré d\,d 2, ayant des disques de Siegel invariants D\, D 2, de nombre de rotation t\ et t 2 = t±. Nous allons construire à partir de /i et f 2, une application rationnelle /3 ayant un anneau de Herman de nombre de rotation t\ ou t 2 suivant l'orientation choisie.

12 CHIRURGIE SUR LES APPLICATIONS HOLOMORPHES 735 Soient 7i et 72 des cercles invariants dans D± et D 2, et notons D f x et D 2 les sous-disques de D\ et D 2 limites par 71 et 72. On peut construire un difféomorphisme iß de C ayant les propriétés suivantes: (i) ^( 7l ) - 72j if; o /1 = f 2 o iß sur 71, iß(d[) = C - D 2 \ (ii) Le support de diß est contenu dans A = D% H iß~ l (D 2 ). Définissons alors g par g f x sur C - D' x et g iß~ % o f 2 o iß sur Di, L'application 0 a les propriétés suivantes: 9(A) =A; g est holomorphe sur un voisinage de C - A\ La structure presque complexe a A que coincide avec la structure standard ao sur C et avec iß*(ao) sur A H D[ est invariante par g. On peut alors étendre a A en une structure presque complexe a sur C invariante par g. Par Ahlfors-Bers, il existe un homéomorphisme quasi-conforme (ß de C qui est holomorphe de a vers 00. Alors /3 <ß o g o 0" 1 est une application rationnelle, admettant (j)(a) comme anneau de Herman. REMARQUES. (1) En comptant les points critiques, on trouve ds 1 = (di - 1) + (d2-1), soit d 3 = di + d 2-1. (2) L'application fs n'est pas déterminée par f\ et f 2 : un anneau de Herman comporte un module. Gomment découper un anneau de Herman invariant en disque de Siegel: Soit / une application rationnelle de degré d avec un anneau de Herman A, On suppose que f(a) = A, et que / opère sur A avec un angle de rotation t (ou t suivant l'orientation choisie). Choisissons un cercle invariant 7 dans A, qui coupe C en deux pièces #1 et B 2. On peut construire un difféomorphisme iß de C tel que: (i) ^(7) = S 1 (cerle unité), et iß conjugue / sur 7 à la rotation d'angle t] (ii) le support de diß est contenu dans A. Pour i = 1,2, soit gi : C C l'application qui coincide avec iß o f o iß -1 sur iß(bi) et avec la rotation d'angle t sur le complémentaire. Soit af la structure complexe qui coincide avec iß*ao sur iß(af)bi) e^ avec ao sur le complémentaire dans A. Alors af est une structure presque complexe sur iß(a) invariante par g. On peut l'étendre en une structure presque complexe ai sur C invariante par gi avec rapport de dilatation borné puisque g est holomorphe en dehors de iß(a). On peut alors trouver pour i = 1,2 une application quasi-conforme fa holomorphe de ai vers ao, et fi = fa o ^ o (ßT 1 est une application rationnelle ayant un disque de Siegel de nombre de rotation t ou t. On peut reconstruire / à partir de /1 et f 2 comme il a ete explique plus haut. Et s'il y a plusieurs anneaux de Herman,.. Soit / une fraction rationnelle de degré d avec des anneaux de Herman périodiques (^i)^/. Choisissons dans chaque Ai une courbe périodique 7^ de façon que f(li) = 7/ (i), et notons T la réunion des 7^. Chaque anneau A est coupé par 7^ en deux demi anneaux A[ et A" avec f(a[) = A f (, Appelons n-pièces les composantes connexes de C / -n (r). Appelons objets les demi-anneaux ou les points périodiques non répulsifs. Nous dirons que deux objets sont séparés au

13 736 A. DOUADY niveau n s'ils sont dans deux n-pièces différentes. On peut trouver un niveau N qui sépare tout ce qui est destine a être séparé. Soit (Bj)j e j la famille des TV-pièces. On peut écrire J = J' U J"; les pièces Bj, j G J 1, sont celles qui contiennent un objet. Pour j E J', notons #/ # y) la iv-pièce qui contient les images des objets de Bj. On prend la réunion disjointe des Bj pour j G J*', et on colle à chacun d'eux le nombre de disques nécessaires pour en faire une sphère topologique Sj. On peut définir des applications gj\ SJ S/*y) de façon à ce que gj coincide avec / sur Bjf\f~ 1 (Bf^). En changeant la structure complexe des Si comme on l'a fait plus haut, on transforme les gj en des applications rationnelles fj. Les Bj pour j G J", on les oublie. On se retrouve finalement avec un système dynamique holomorphe où l'espace sous-jacent est une réunion disjointe de sphères de Riemann indexée par «/'. A un tel système dynamique F, on peut appliquer les théorèmes classiques de Fatou, Julia, Sullivan, etc. sur les appli r cations rationnelles. Egalement la méthode de perturbation de Shishikura pour rendre les cycles indifférents irrationnels attractifs. En notant x(^) le nombre de points critiques de F, on peut étendre la Proposition. DEMONSTRATION DU THÉORÈME DE SHISHIKURA. Soit / une application rationnelle de degré d, et soit F le système dynamique construit à partir de /. Chaque anneau de Herman est remplacé par deux disques de Siegel, les points périodiques et les bassins paraboliques sont conserves, de sorte que l'on a: n a (F) > n a (f), n P (F) > n P (f), n ilt (F) > n iri (f) + 2 n H (F). On peut perturber F en un système dynamique d'applications rationnelles F de façon que les cycles indifférents irrationnels deviennent attractifs, sans perturber les bassins paraboliques. On a alors n a (F ) > n a (F) + n[ TT (F). D'où n a (f) + n P (f) -r- n irr (/) + 2 n H (f) < n a (F) + n P (F) + n ilt (F) <n a (F )-r-n P (F )<x(f ) = X(F)<x(f)=2d-2. Ceci achève la démonstration du Théorème. Copies d'un membre de M dans des espaces de paramètres. Notons Mi/2 le membre de l'ensemble de Mandelbrot M d'argument interne, i.e., la partie de M située à gauche du point. Partant d'une idée de J. C. Yoccoz, Bodil Branner obtient un homéomorphisme de Mi/ 2 sur l'ensemble des polynômes moniques centrés de degré 3 tels que l'image d'un des points critiques soit le point fixe d'argument externe 0. Nous esquissons la construction: Partons d'un polynôme quadratique P avec c G Mi/ 2 - H y a deux points fixes: a d'arguments externes et, et ß d'argument externe 0. Le point o! = a a pour arguments externes et. Fixons un potentiel s et notons V, V et V" les compacts limités par les équipotentielles de niveau s, f et. Les lignes L = R 1/3 UR 2 /sö{a} et l! = R 1/G U Ä 5/6 U {a'}

14 CHIRURGIE SUR LES APPLICATIONS HOLOMORPHES 737 coupent V en trois pièces Vb, V% et V_i, avec 0 G Vb, -/? G Vi et /? G V-i- Posons y, 0 = V / nvb, etc, On définit un espace X en identifiant dans Vo U VL-i les rayons Äi/ 3 et Ä2/3, potentiel par potentiel. Appliquons VL\ dans -Y par P c et VQ dans X par P 2 c. On a une discontinuité le long de V. En la lissant, on obtient une application g\ X 1 X qui est un revêtement ramifié de degré 3, avec X 1 contenu dans l'intérieur de X. Si on s'y est bien pris, on peut trouver sur X une structure presque complexe invariante par g, à rapport de dilatation borné, On l'intègre et on obtient une application à allure polynomiale de degré 3, En la redressant, on obtient un polynôme cubique Q c. La continuité de c i-> Q c n'est pas évidente, mais on la démontre en utilisant de façon repétée la méthode qui réussit pour le redressement en degré 2. Pour montrer l'injectivité, on fait la construction dans l'autre sens. Dans le même ordre d'idées, et en m'inspirant de la technique de Shishikura, je construis une application continue de M1/2 dans le membre M1/3, appliquant la racine sur la racine, et 2 = 7M(^) sur 7M( )- Cela montre que la nervure de M qui mène à 7M(i) est effectivement un arc (un pas en direction de la connexité locale). Partant d'un polynôme P c comme ci-dessus, on définit un espace Y en prenant Vb UV-i et deux copies V} * et Vi de Vi, et en cousant V-y ' à Vb suivant Ri/s, V{ 2) à Vo suivant R 2/3, et Vi (1) à V^] par P c sur fl{^ n V{. On applique Vb' dans v} X) par P c, Vi (1) dans v/ 2) par l'identité, Vi' (2) sur VbUV-i par P c, et aussi VL\ sur VbUV_i par P c. On lisse les discontinuitéset on obtient une application g:y'-+y qui est un revêtement ramifié. On construit une structure complexe invariante par g avec rapport de dilatation bornée, ce qui est un peu plus délicat que dans le cas précédent, et on termine de même. REFERENCES 1. P. Blanchard, Complex analytic dynamics on the Riemann sphere, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 11 (1984), , 2. B. Branner et A. Douady, Surgery on complex polynomials, Proceedings of the Symposium on Dynamical Systems (Mexico, 1986), Preprint D. T. H., Lyngby, Danemark (to appear). 3. A. Douady, Systèmes dynamiques holomorphes, Bourbaki seminar, Vol. 1982/83, Astérisque, , Soc, Math. Prance, Paris, 1983, pp ,, Veins of the Mandelbrot set, MSRI, , Algorithms for computing angles in the Mandelbrot set, Chaotic Dynamics and Fractals (Barnsley-Demko), Proceedings of the Conference on Chaotic Dynamics (Georgia Tech., April 1985), Academic Press, New York. 6. A. Douady et J. H. Hubbard, Itération des polynômes complexes, Pubi. Math. Orsay, , , On the dynamics of polynomial-like mappings, Ann. Sci. École Norm, Sup, (4) 18 (1985). 8,, A proof of Thurston topological characterization of rational functions, Preprint, Inst. Mittag-Leffler, Stockholm, 1985, 9. Tan Lei, Accouplement des polynômes quadratiques complexes, Note C.R. Acad, Sci. Paris, February 1986.

15 738 A. DOUADY 10. S. V. F. Levy, Critically finite rational maps, Thèse Ph.D., Princeton Univ., M. Shishikura, On the quasi-conformal surgery of rational functions, Preprint, Kyoto, 1986 (to appear in Ann. Sci. Ecole Norm. Sup.). 12. D. Sullivan, Quasi-conformal homeomorphisms and dynamics, Preprint, I.H.E.S., Bures-sur- Yvette, W. P. Thurston, notes intimes. UNIVERSITé DE PARIS-SUD, ORSAY, FRANCE ECOLE NORMALE SUPéRIEURE, PARIS, FRANCE

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