Cours de mathématique : (Terminale Scientifique (S))

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1 Cours de mathématique : (Terminale Scientifique (S)) Chapitre 10 : Les probabilités discrètes 1. Les probabilités conditionnelles A. Conditionnement Soient A et B deux événements, avec A de probabilité non nulle. On définit la probabilité de B sachant A par : B. Indépendance Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si : THÉOREME Soient A et B deux événements de probabilités non nulles : C. La formule des probabilités totales Soit un ensemble E. Les événements de probabilités non nulles forment un système complet ou une partition de E si et seulement si : THÉOREME Soit l'univers Ω. un système complet d'événements de D'après la formule des probabilités totales, pour tout événement A de E : ; les événements deux à deux incompatibles ; et leur réunion est égale à l'ensemble E. sont La formule des probabilités totales peut s'illustrer à l'aide d'un arbre pondéré : Par M. Mohamadou SINGARÉ (mohamadou.singare@gmail.com ) Page 1 sur 14

2 Dans cet exemple, forme une partition de l'univers de l'expérience. La formule des probabilités totales permet de calculer P(A) : Soit : La formule des probabilités totales revient ainsi à sommer les probabilités de tous les chemins de l'arbre menant à l'événement A : 2. Les lois de probabilité discrètes A. Les variables aléatoires Une variable aléatoire réelle est une fonction qui associe un réel à chaque événement de l'univers d'une expérience aléatoire. Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs :. La loi de probabilité de associe à chaque réel la probabilité ASTUCE On présente en général une loi de probabilité à l'aide d'un tableau. REMARQUE L'espérance d'une variable aléatoire X est le réel : PROPRIÉTÉS Pour tous réels et : Soit : La variance d'une variable aléatoire X est le réel : PROPRIÉTÉS Pour tous réels a et b : L'écart-type d'une variable aléatoire X est le réel : Par M. Mohamadou SINGARÉ (mohamadou.singare@gmail.com ) Page 2 sur 14

3 B. La loi de Bernoulli DÉFINTION Soit un réel p compris entre 0 et 1. Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ne présentant que deux issues possibles : succès, de probabilité échec, de probabilité. Soit un réel compris entre 0 et 1. Une variable aléatoire suit la loi de Bernoulli de paramètre si : THÉOREME Si suit la loi de Bernoulli de paramètre, on a : C. La loi binomiale Soit un réel compris entre 0 et 1 et n un entier naturel non nul. Le nombre de succès dans la répétition de binomiale de paramètres et. épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes suit la loi Une variable aléatoire suit ainsi la loi binomiale de paramètres et, notée, si : Le coefficient est égal au nombre de possibilités de placer les succès parmi les répétitions. THÉOREME Si suit la loi binomiale de paramètres et, on a : Par M. Mohamadou SINGARÉ (mohamadou.singare@gmail.com ) Page 3 sur 14

4 QUIZ Enoncé 1 Que vaut? 2 Que vaut? L'exprimer de deux façons différentes. 3 A quelle condition deux événements et sontils indépendants? et sont indépendants si et seulement si. 4 Si, les variables et sont-elles indépendantes? 5 et forment une partition de l'univers. Citer la formule des probabilités totales. 6 Comment note-t-on les valeurs prises par dans une loi de probabilités discrètes. Si, on ne peut pas conclure directement que les variables sont indépendantes. Il faudrait que Si et forment une partition de l'univers, alors pour tout événement, on a L'ensemble des valeurs prises par. dans une loi de probabilités discrètes est noté.. 7 Que vaut? 8 A quelle condition a-t-on? On a lorsque et sont incompatibles. 9 Dans une loi de probabilités discrètes, que vaut? 10 Que vaut la variance d'une variable aléatoire discrète? Si est une variable aléatoire discrète, alors. La variance d'une variable aléatoire discrète vaut : 11 Soient et deux réels. Que vaut Si et sont deux réels alors et 12 suit une loi binomiale de paramètres et. Donner et pour tout de, la valeur de. 13 suit une loi binomiale de paramètres et, que vaut et? Si suit une loi binomiale de paramètres et, alors Et Si suit une loi binomiale de paramètres et, et Par M. Mohamadou SINGARÉ (mohamadou.singare@gmail.com ) Page 4 sur 14

5 Méthode Méthode 01 : Établir la loi d une variable aléatoire quelconque Description Méthode La loi de probabilité d'une variable aléatoire X se présente généralement sous forme de tableau. Elle donne les valeurs possibles prises par X et les probabilités associées. Etape 1Déterminer les valeurs possibles que peut prendre X Grâce à l'énoncé, expliquer selon chaque situation les valeurs possibles que peut prendre X. Pour chaque valeur, donner le ou les événements qui doivent être réalisés. Exemple On tire un nombre au hasard entre 1 et 22. X est la variable aléatoire qui donne la somme des chiffres obtenus. Donner la loi de probabilité de X. Pour chaque nombre possible, calculons la somme des chiffres : Les valeurs possibles de X sont donc : Etape 2Calculer les probabilités associées Pour chaque valeur que peut prendre X, calculer la probabilité que X prenne cette valeur. Parfois, on a déjà calculé les probabilités dans les questions précédentes. Etape 3Ecrire la loi sous la forme de tableau 1 pour les nombres 1 et 10 2 pour les nombres 2, 11 et 20 3 pour les nombres 3, 12 et 21 4 pour les nombres 4, 13 et 22 5 pour les nombres 5 et 14 6 pour les nombres 6 et 15 7 pour les nombres 7 et 16 8 pour les nombres 8 et 17 9 pour les nombres 9 et pour le nombre 19 Chaque nombre a la même probabilité d'être tiré. Entre 1 et 22, il y a 22 numéros possibles. On obtient : On donne alors en loi de probabilité de X sous forme de tableau : On récapitule les résultats sous la forme d'un tableau du type : ASTUCE Dans une loi de probabilité, la somme des probabilités vaut 1. On peut ainsi vérifier son résultat. CONSEILS Afin de déterminer les valeurs possibles de X, on peut parfois récapituler toutes les issues de l'expérience dans un tableau, et pour chaque issue donner la valeur de X associée. Par M. Mohamadou SINGARÉ (mohamadou.singare@gmail.com ) Page 5 sur 14

6 Méthode 02: Distinguer la probabilité d une intersection et la probabilité conditionnelle Méthode Exemple Description On distingue de. * est la probabilité que A et B soient réalisés en même temps. * est la probabilité que B soit réalisé sachant que A est réalisé. Etape 1Comprendre la différence entre L'événement et est réalisé lorsqu'on choisit au hasard un élément (ou individus) de la population et qu'il possède les critères de A et de B. est la probabilité qu'un individu de la population A possède le critère B. Dans cette probabilité, on ne choisit pas un individu au hasard dans la population, on sait que cet individu appartient à la population qui possède le critère A. Etape 2Utiliser les informations de l'énoncé L'énoncé donne avec une phrase du type : "On choisit au hasard un individu de la population, quelle est la probabilité pour que cet individu soit A et B?" des élèves d'une classe sont blonds. sont roux. Les autres sont bruns. La moitié des roux sont des filles, les garçons représentent le quart des bruns, des élèves sont des filles blondes. Interpréter les données de l'énoncé en terme de probabilité. On note : R : "l'élève est roux" B : "l'élève est brun" L : "l'élève est blond" F : "l'élève est une fille" Lorsque l'on étudie le pourcentage de blonds ou de buns qui sont des filles ou des garçons, il s'agit de probabilités conditionnelles. Lorsque l'on donne la proportion d'élèves d'un certain sexe et d'une certaine couleur de cheveux dans la classe, il s'agit d'intersections. L'énoncé donne d'abord :,. Et par calcul on a : Ensuite l'énoncé donne trois probabilités :. L'énoncé donne avec des phrases du type : Quelle est la probabilité que B soit réalisé sachant que A est réalisé? "La moitié des roux sont des filles ". On choisit ici une fille roux et on donne la probabilité que ce soit un fille.. Parmi les individus de type A, 50% ont le caractère B. 20% des individus de type A ont le caractère B. "Les garçons représentent le quart des bruns". On choisit un brun et on détermine la probabilité que ce soit un garçon. Ainsi. "10% des élèves sont des filles bondes". Ici, sur l'ensemble des élèves on donne la probabilité d'être à la fois une fille et d'avoir les cheveux blonds. Ainsi. Par M. Mohamadou SINGARÉ (mohamadou.singare@gmail.com ) Page 6 sur 14

7 Méthode 03 : Utiliser la formule des probabilités totales Méthode Exemple DESCRIPTION On utilise la formule des probabilités totales pour calculer lorsque la réalisation de A dépend de ou non de la réalisation d'autres événements. Une usine fabrique 80% de composés A et 20% de composés B. Un centième des composés A sont défectueux et 5% des composés B sont défectueux. On note : A : "Le composé est de type A" B : "Le composé est de type B" D : "Le composé est défectueux" Calculer?. Etape 1Dresser un arbre de probabilités On dresse un arbre de probabilités correspondant à la situation. On cherche ici. L'énoncé donne,, et. On calcule alors : On obtient l'arbre de probabilités suivant : Etape 2Déterminer une partition de l'univers Des événements forment une partition de l'univers si dans l'arbre ils sont les événements des branches partant toutes d'un même point. A et B forment une partition de l'univers. Ici, A, B et C forment une partition de l'univers. Etape 3Appliquer la formule D'après la formule des probabilités totales : D'après la formule des probabilités totales : Etape 4Développer la formule et calculer On obtient : Ainsi : On remplace par les valeurs connues : On remplace par les valeurs connues et on calcule. Par M. Mohamadou SINGARÉ (mohamadou.singare@gmail.com ) Page 7 sur 14

8 Méthode 04 : Représenter une expérience à l aide d un arbre de probabilités Méthode Exemple DESCRIPTION On peut représenter une expérience comportant plusieurs apparitions chronologiques à l'aide d'un arbre de probabilités. Dans un bocal, 15% des poissons sont rouges, 50% des poissons sont gris et les autres sont jaunes. 20% des poissons rouges ont moins de 1an, ainsi que le quart des poissons gris et le dixième des jaunes. On note : R : "le poisson est rouge" G : "le poisson est gris" J : "le poisson est jaune" A : "le poisson a moins d'un an" Etape 1Interpréter les données de l'énoncé On écrit toutes les probabilités données dans l'énoncé. En général, il y a deux critères : Un premier critère pour lequel les probabilités sont données. Un second critère dont les probabilités sont données sachant le premier critère. Dresser un arbre de probabilités correspondant à la situation. L'énoncé donne :, et. R, G, et J correspondent au premier critère, la couleur des poissons., et. et correspondent au deuxième critère : l'âge des poissons. On calcule alors : Etape 2Dresser l'arbre de probabilités On dresse l'arbre de probabilités en notant les événements en présence et les probabilités. Partent d'un même point les événements correspondant tous au même critère. On dresse l'arbre de probabilités correspondant à la situation, avec les couleurs des poissons dans les premières branches et l'âge ensuite. Par M. Mohamadou SINGARÉ (mohamadou.singare@gmail.com ) Page 8 sur 14

9 Méthode 05 : Reconnaître un schéma de Bernoulli et une loi binomiale Méthode Exemple DESCRIPTION Une variable aléatoire X suit une loi binomiale lorsqu'elle dénombre les succès dans une suite d'expériences de Bernoulli répétées de manière indépendantes. Afin de démontrer qu'une variable X suit une loi binomiale, il convient de respecter scrupuleusement les étapes de la rédaction suivante. Etape 1Identifier un schéma de Bernoulli Dans une usine, des machines fabriquées sont défectueuses. On prélève un échantillon de 100 machines (on peut alors considérer que les tirages sont indépendants). On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de machines défectueuses de l'échantillon. Montrer que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. On identifie un expérience à deux issues possibles : Le succès, obtenu avec la probabilité que l'on détermine. L'échec, obtenu avec la probabilité. L'expérience "prélever une machine" a deux issues possibles : * succès (la machine est défectueuse), obtenu avec la probabilité * échec (la machine n'est pas défectueuse), obtenu avec la probabilité Nous sommes dans un schéma de Bernoulli. Etape 2Expliquer la répétition de l'expérience On justifie que l'expérience est répétée fois, de manière indépendante. Etape 3Conclure que X suit une loi binomiale On précise que X est la variable aléatoire qui dénombre les succès lors de répétition de l'expérience de Bernoulli. X suit alors une loi binomiale de paramètre et. ASTUCE Lorsque X suit une loi binomiale de paramètre n et p, on sait que : Cette expérience est répétée 100 fois, de manière indépendante. X est la variable aléatoire qui dénombre les succès. X suit donc une loi binomiale de paramètre et. pour tout de, Par M. Mohamadou SINGARÉ (mohamadou.singare@gmail.com ) Page 9 sur 14

10 Exercices Exercice 01 : Suite de tirages successifs avec remise Une urne contient 5 boules noires et 5 boules rouges indiscernables. Soit. On effectue n tirages successifs d'une boule, avec remise après chaque tirage. 1 A = "On a tiré des boules d'une seule couleur". 2 B = "On a tiré des boules noires et des boules rouges". 3 C = "On a tiré exactement une boule rouge". 4 D = "On a tiré au plus une boule rouge". 5 B D. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : Exercice 02 : Loi du sexe des naissances dans une famille Dans un pays A, la probabilité d'avoir un garçon est la même que celle d'avoir une fille. On admet que les sexes de deux enfants nés à la suite sont indépendants. 1 Dans le pays A, on appelle X la variable aléatoire qui associe le nombre de garçons d'une famille de trois enfants. Déterminer la loi de probabilité de X. 2 Calculer l'espérance et l'écart-type de X. 3 Dans le pays A, quelle est la probabilité qu'une famille de trois enfants ait au moins un garçon? 4 Dans le pays B, les familles de cinq enfants ont en moyenne trois garçons. Que peut-on en déduire pour ce pays? Note : on ne considèrera que le cas de naissances séparées (pas de jumeaux, triplés...). Exercice 03 : Dénombrement, combinaisons et tirages simultanés de jetons Partie A Cette question est une restitution organisée de connaissances. On rappelle que, si et sont deux entiers naturels tels que : Démontrer que pour tout entier naturel n et tout entier naturel p tels que : Partie B Un sac contient jetons indiscernables au toucher : jetons blancs numérotés de à jetons noirs numérotés de à. On tire simultanément deux jetons de ce sac. Par M. Mohamadou SINGARÉ (mohamadou.singare@gmail.com ) Page 10 sur 14

11 1 On note A l'événement : "obtenir deux jetons blancs". Démontrer que la probabilité de l'événement A est égale à. 2 On note B l'événement : "obtenir deux jetons portant des numéros impairs". Calculer la probabilité de B. 3 Les événements A et B sont-ils indépendants? 4 Soit X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de jetons blancs obtenus lors de ce tirage simultané. Déterminer la loi de probabilité de X. 5 Calculer l'espérance mathématique de X. Exercice 04 : Dénombrement et jeu de 32 cartes On joue avec un jeu de 32 cartes. Une main est composée de 4 cartes. Déterminer le nombre de mains composées de : 1 quatre coeurs. 2 exactement deux rois. 3 exactement deux trèfles et un pique. 4 au moins un valet. Indication : on précise que. Exercice 05 : Maladie contagieuse et arbre pondéré de probabilités Suite à l'épidémie de grippe B qui sévit depuis plusieurs semaines dans les régions voisines, un village lance une large campagne de vaccination, qui permet à 80% de ses habitants d'être vaccinés contre la maladie. En réponse à la polémique sur l'efficacité du vaccin utilisé, une étude a été menée : seulement 5% des habitants vaccinés ont été contaminés ; et 50% des habitants non vaccinés ont également été contaminés. 1 Quelle est la probabilité qu'un habitant croisé au hasard soit contaminé par la maladie? 2 Une association prétend que si on sélectionne au hasard un habitant contaminé, il y a plus d'une chance sur trois qu'il ait été vacciné au préalable. Est-ce cohérent avec les résultats de l'étude? Exercice 06 : Probabilités conditionnelles et formule des probabilités totales Dans un magasin spécialisé en ordinateurs portables, les clients ont le choix entre : deux tailles d'écrans différentes, 10 pouces ou 13 pouces ; deux systèmes d'exploitation différents, Windows ou Linux. Selon le responsable du magasin : 60% des clients optent pour un modèle 10 pouces ; 45% des clients achetant un modèle 10 pouces ne choisissent pas Windows ; 80% des clients achetant un modèle 13 pouces choisissent Windows. Par M. Mohamadou SINGARÉ (mohamadou.singare@gmail.com ) Page 11 sur 14

12 1 Présenter les données fournies par le responsable sur un arbre pondéré, en renseignant la probabilité de chacune des branches. 2 Un client souhaite acheter un ordinateur portable : quelle est la probabilité qu'il choisisse un modèle 13 pouces équipé de Windows? 3 Un client souhaite acheter un ordinateur portable : quelle est la probabilité qu'il choisisse le système d'exploitation Windows? 4 Un client sort du magasin avec un ordinateur portable équipé de Windows : est-il juste d'affirmer qu'il y a plus d'une chance sur deux pour que ce client ait porté son choix sur un modèle 13 pouces? Exercice 07 : Étudier l espérance d une loi pour fixer le prix d un ticket Une entreprise de jeux de hasard souhaite sortir un nouveau jeu de grattage, où le joueur aurait : une chance sur cent de remporter 100 une chance sur cinquante de remporter 50 une chance sur vingt de remporter 20. La direction s'interroge sur le tarif t (en ) du ticket à appliquer. On désigne par X le bénéfice perçu par l'entreprise lors de la vente d'un ticket, égal à la différence entre le tarif t et le gain du joueur. 1 Déterminer la loi de probabilité de X en fonction de t. 2 Calculer l'espérance de X en fonction de t. 3 A quel niveau fixer le tarif t pour que l'entreprise ne perde en moyenne pas d'argent sur ce jeu? 4 A quel niveau fixer le tarif t pour que l'entreprise gagne en moyenne 1 par ticket vendu? Exercice 08 : Chemins d un arbre de probabilités et match de tennis Deux joueuses de tennis A et B vont s'affronter à Roland Garros. D'après leur classement respectif : la probabilité que A gagne le premier set est de 0,6 la probabilité que A gagne un set après avoir remporté le set précédant est de 0,8 la probabilité que A gagne un set après avoir perdu le set précédant est de 0,4. On rappelle qu'un match de tennis féminin se joue en deux sets gagnants : le match s'arrête dès qu'une des deux joueuses a remporté deux sets. 1 Quelle est la probabilité que A remporte la partie? 2 Quelle est la probabilité que B remporte la partie en perdant le premier set? 3 Quelle est la probabilité que B remporte la partie en perdant le deuxième set? Exercice 09 : Probabilités d au moins une panne, d au plus une panne Dans une usine, trois machines identiques sont utilisées pour répondre aux besoins de production à l'approche des fêtes de fin d'année. Une usine voisine utilise également trois machines du même modèle depuis plusieurs années, et a pu établir la loi suivante : 1 La production ralentit si au moins une des machines est en panne. Quelle est la probabilité que la production ralentisse? Par M. Mohamadou SINGARÉ (mohamadou.singare@gmail.com ) Page 12 sur 14

13 2 La production a une semaine d'avance sur les délais si au plus une machine est en panne. Quelle est la probabilité que la production ait une semaine d'avance? 3 L'usine atteint ses objectifs de production si au plus deux machines sont en panne. Quelle est la probabilité que les objectifs de production soient atteints? 4 Le fabricant de ces machines a assuré que ce modèle n'avait qu'une chance sur cent de tomber en panne. Dit-il la vérité? Exercice 10 : Deux urnes, un dé et probabilités totales On dispose de deux urnes, A et B, contenant 4 boules indiscernables chacune. L'urne A contient : L'urne B contient : On lance un dé (à 6 faces) équilibré : si le résultat est un multiple de 3, on tire une boule l'urne A ; une boule rouge trois boules jaunes. une boule rouge une boule jaune une boule verte une boule bleue. sinon, on tire une boule de l'urne B. 1 Tracer un arbre pondéré qui traduit cette expérience. 2 Quelle est la probabilité de tirer une boule jaune? 3 Une personne tire une boule jaune. Est-il vrai qu'elle a plus de chances d'avoir tiré dans l'urne A que dans l'urne B? Exercice 11 : Tirages avec remise et maximisation de l espérance des gains On dispose d'une urne contenant ( ) : 2 boules rouges 3 boules vertes boules bleues. boules indiscernables Une partie se déroule de la manière suivante : on effectue un premier tirage au hasard d'une boule dans l'urne. Si la boule est rouge, on gagne 15 ; si elle est verte, on perd 15 ; si elle est bleue, on la remet dans l'urne et on procède à un second tirage d'une boule ; si la boule tirée au cours de l'éventuel second tirage est rouge, on gagne 10 ;si elle est verte, on perd 5 ; si elle est bleue, on perd 3. Un joueur disposant de 15 avant de jouer fait une partie. On s'intéresse à la somme totale S dont il dispose après avoir joué. 1 Représenter les différents événements possibles à l'aide d'un arbre pondéré, en reportant notamment pour chaque chemin la somme totale dont dispose le joueur à l'issue de la partie. 2 Déterminer la loi de probabilités de S. 3 Montrer l'espérance de cette loi est égale à. 4 Dresser le tableau de variations de la fonction f définie sur par : Par M. Mohamadou SINGARÉ (mohamadou.singare@gmail.com ) Page 13 sur 14

14 Problème Problèmes 01 : Lancer de pièces et suite récurrente de probabilités Enoncé On dispose de deux pièces et : la pièce est équilibrée ; la pièce donne pile avec la probabilité et face avec la probabilité. en début de partie, on choisit au hasard une des deux pièces et on la lance ; à l'issue de chaque lancer, si on obtient pile, on garde la pièce pour le lancer suivant, sinon on change de pièce. Pour tout entier naturel n non nul, on note : l'événement : "Le -ième lancer s'effectue avec la pièce " la probabilité de l'événement. On effectue une succession de lancers de la manière suivante : 1 A l'aide d'un arbre pondéré, préciser les valeurs de et. 2 Montrer que pour tout entier naturel non nul n : 3 On considère la suite ( ) définie pour tout entier naturel non nul par :. Démontrer que la suite ( ) est géométrique. 4 En déduire l'expression de puis celle de en fonction de. 5 En déduire la limite de ( ). Comment peut-on interpréter ce résultat? Problèmes 02 : Loi de probabilité du nombre de piles avec une pièce truquée Enoncé On lance une pièce truquée, donnant pile avec la probabilité, trois fois de suite. 1 Décrire la loi de probabilité du nombre de piles obtenus, à l'aide d'un arbre pondéré. 2 Calculer l'espérance du nombre de piles obtenus. 3 Soient deux entiers naturels strictement positifs et, tels que. On lance n fois une pièce truquée donnant pile avec la probabilité. Donner, sans calcul et en expliquant le raisonnement, l'espérance du nombre de piles obtenus. Par M. Mohamadou SINGARÉ (mohamadou.singare@gmail.com ) Page 14 sur 14