CHAPITRE 6 : L aire et le volume des solides 6.1 Le vocabulaire

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1 CHAPITRE 6 : L aire et le volume des solides 6.1 Le vocabulaire Volume : l espace (en 3-D) occupé par un objet. L'unité de mesure est le cube (m 3, cm 3, mm 3 ). Aire : l'aire mesure la surface. L'unité de mesure est le carré (m, cm, mm ). Aire latérale d un solide : aire de toutes les faces qui ne sont pas des bases. Aire totale d un solide : la somme de l aire latérale et l aire de la ou des bases (l aire de toutes les faces du solide). Bases d un solide: les deux faces isométriques (identiques) et parallèles du solide. Nom de la figure plane Illustration Aire (A) Carré c A = c c Rectangle h b A = b x h Triangle b h A b h Parallélogramme h b A = b x h Losange D d D d A Trapèze Polygone régulier à n côtés Cercle b h B (a : apothème) c a r 187 ( B b) h A n x c a A ou périmètre a A A = r et C = r ou C = d

2 Rappel : L aire TOTALE des solides Nom du solide Illustration Développement A base(s) (A b ) A latérale (A l ) Aire totale (A t ) Cylindre r r h A b A disque A b r A l A l Circ h r h A t A b A l Pyramide c a Ab A carré A b c A A l 4 l A triangle c a 4 A t A b A l 6. L aire d un cône droit apex apothème hauteur Surface latérale (ou surface conique) base Développement rayon ( Cône r A totale = A base + A latérale a A totale = π r + π r a 188

3 Exemple : calcule l aire totale du cône droit suivant : 6 cm 3 cm L aire d une sphère Explication : A sphère = Sphère de rayon r. Exemples : a) calcule l aire de la sphère suivante : 5 cm b) calcule l aire d une sphère de 1 cm de diamètre. c) Calcule le rayon de la sphère suivante : r A sphère = 700 mm 189

4 d) Calcule l aire latérale d un cône qui a une hauteur de 6 cm et un apothème de 10 cm. Fais-toi un dessin! e) Détermine l'apothème du cône suivant sachant que son aire totale est de 100 cm. 5 cm 1. Calcule l aire latérale des solides suivants. EXERCICES a) b) c) 9 cm 8 cm a = 5,6 dm 4 cm 3 m, dm 190

5 . Détermine la hauteur des solides suivants. a) A latérale = 40 dam b) A totale = cm c) A latérale = 4 dm h dam h 0 cm 8 cm h 8 dm 6 m 3. Calcule l aire totale des solides suivants. a) b) c) 5 dm 10 dm 6 dm hm 191

6 4. Complète le tableau suivant. Rayon de la base Circonférence de la base Apothème Aire latérale Aire totale Cône Cône Cône Calculs: 5. Détermine la mesure manquante. a) A totale = 616 cm x 14 cm b) A = 56 cm x 19

7 6.3 Le volume de prismes droits et de cylindres droits On calcule le volume d un prisme ou d un cylindre en multipliant du prisme ou du cylindre par. Exemples : Prisme droit à base pentagonale 6 cm 4 cm 3 cm V = Calcul du volume Cylindre droit Calcul du volume V = 5 cm V = V = 4 cm V = V = V = Le volume de pyramides droites ou de cônes droits Le volume d une pyramide ou d un cône équivaut du volume d un prisme ou d un cylindre de même base et de même hauteur. V = Pyramide droite à base hexagonale 4 cm Calcul du volume Cône droit Calcul du volume V = V = 3 cm 6 cm cm 3 cm 193

8 Le volume d une boule V boule = Boule de rayon r. Exemples : a) Calcule le volume de la boule suivante : b) Calcule le rayon de la boule suivante : cm V boule = 0 cm 3 EXERCICES 6. Calcule le volume des solides suivants. a) b) c) 0 m 8 m 6 m 10 m 6,1 cm 7 cm 13 cm 7 m 194

9 d) e) f) 6 cm 10 cm 6 cm 8 cm 8 cm 1 cm g) h) i) 40 mm 1 cm 13 mm 100 mm 18 cm 7 mm 5 mm 195

10 7. Trouve les mesures manquantes. a) V = 1 48 cm 3, h =? b) V = 46 cm 3 c) V = 150 m 3 x 18 m 18 cm 13 cm 1 cm x d) V = cm 3 e) V = 64 m 3 f) V = 60 cm 3 5 cm 3 cm x m 4 m x x 196

11 6.4 La conversion d unités de mesure de longueur Le système international (SI) d unités de mesure est un système décimal, c est-à-dire que pour convertir une unité de mesure de longueur, il faut multiplier ou diviser le nombre par une puissance de. km hm dam m dm cm mm 0,001 0,01 0, Exemples : 1. 19,5 m cm mm dam 3. 34,7 hm dm mm km La conversion d unités d aire Comme l aire est une mesure bidimensionnelle, il faut multiplier ou diviser le nombre par une puissance de pour convertir une unité de mesure d'aire. km hm dam m dm cm mm 0, , , Exemples : 1. 3,7 cm mm mm dm 3. 3,94 dam cm 4. 3, m hm La conversion d unités de mesure de volume Comme le volume est une mesure tridimensionnelle, il faut multiplier ou diviser le nombre par une puissance de pour convertir une unité de mesure de volume. km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 0, , , Exemples : 1. 9,4 m 3 = cm mm 3 m dam 3 km hm 3 m 3 197

12 6.5 Les relations entre les unités de mesure de volume et de capacité Il est possible de convertir des mesures de volume en mesures de capacité. Voici les principales mesures de capacité du système international : kl hl dal L dl cl ml 0,001 0,01 0, Prenons un cube de 1 cm d arête. Volume du cube = cm 3 1 cm Capacité = ml Prenons maintenant un cube dont la mesure de l arête est 10 fois plus grande : Volume du cube = cm 3 = dm 3 Capacité = ml = L 1 dm Prenons maintenant un cube dont la mesure de l arête est encore 10 fois plus grande : Volume du cube = dm 3 = m 3 Capacité = L = kl 1 m On déduit ainsi les principales équivalences : 1 cm 3 = ml 1 dm 3 = litre 1 m 3 = kl Ex. : Convertis les mesures de volume ou de capacité suivantes dans l unité demandée. a) 15 cm 3 = L b) 0,35 m 3 = cl c) 0,46 kl = dm 3 d) ml = m 3 e) 1 dm 3 = hl f) 1,45 m 3 = dl g) 15 dal = cm 3 h) 0,35 ml = dm 3 198

13 Comme nous pouvons l'observer, nous pouvons placer 10 cm 3 (cube dont l'arête est 1 cm) sur une arête de 1 dm (1 dm = 10 cm), soit 10x10 sur une couche. V = 1 dm 3 V = 1 litre Un cube de 1 cm 3 contient 1 ml. Comme nous pouvons placer 10 couches verticalement pour remplir notre cube => 1 dm 1 cm 3 = 1 ml 1dm 3 = 10x10x10 cm 3. 1 dm 3 = 1000 cm 3 V = 1 m 3 V = 1 kl Nous pouvons également placer 10 dm 3 (cube dont l'arête est 1dm) sur une arête de 1m (1m=10dm), soit 10x10 sur une couche. On sait qu un cube de 1 dm 3 contient 1 litre. Comme nous pouvons placer 10 couches verticalement pour remplir notre cube => 1m 3 = 10x10x10 dm 3 1 m 3 = 1000 dm 3 1 m 3 = 1000 litres = 1 kl 8. Sachant que ce contenant contient 00 ml de jus, détermine: a) quel pourcentage du volume de la boîte est occupé par de l'air? 3,7 cm 11,7 cm b) quelle est la hauteur de l'espace inoccupé par le jus? 4,7 cm 199

14 9. Convertis les mesures de volume ou de capacité suivantes dans l unité demandée. a) 3 dm 3 équivalent à dl b) 7 00 m 3 = km 3 c) L = 0, kl d) cl équivalent à 0,36 dm 3 e) 1,1 km 3 = dam 3 f) dm 3 = 90,1 mm 3 g) 3 71 cm 3 = m 3 h) L équivaut à 13 cm 3 i) dm 3 équivalent à 711 L j) 703 dl équivalent à dm Convertis les mesures de volume ou de capacité suivantes dans l unité demandée. a) 7 L équivalent à cm 3 b) cm 3 équivalent à 8 kl c) 7 37 cm 3 = L d) dl équivaut à 9 cm 3 e) 0,6 kl équivaut à dam 3 f) dm 3 équivalent à 431 dal g) 57 dm 3 équivalent à dl h) L équivalent à 0, km 3 i) cl équivalent à 0,01 3 dm 3 f) dm 3 équivalent à 431 dal 00

15 6.6 Le volume et l aire de solides décomposables Il est possible de considérer un solide comme étant formé de solides plus simples pour calculer son volume ou son aire. L aire d un solide décomposable correspond à la surface visible de chacun des solides simples qui le composent. Pièges Pièges et et astuces Certaines faces des solides qui forment un solide décomposable ne doivent pas être considérées dans le calcul de l aire totale du solide décomposable. C est notamment le cas des bases de la demi-sphère, du cylindre et du cône dans l exemple cicontre. Solide décomposable Solides plus simples et recherche de mesures manquantes 10 mm 5 mm 50 mm 1 mm 13 mm V crayon Volume A totale (crayon) Aire V = V + V 1 cylindre + V cône sphère A = A + A latérale (cylindre) + A latérale (cône) latérale( 1 sphère) 01

16 11. a) Calcule le volume (en litres) de ce solide. EXERCICES 30 cm 7 cm 7 cm b) Calcule l'aire totale de ce même solide (en m ). 1. a) Calcule le volume de ce solide (en ml) formé d un prisme droit et d une pyramide droite. a = 7 dm 3,5 dm 9 dm 9 dm b) Calcule l aire totale de ce solide (en cm ). 0

17 13. Un aquarium est formé d un prisme droit à base rectangulaire et de deux demi-cylindres. Si l aquarium est rempli à 90 % de sa capacité, quel volume d eau contient-il (en litres)? 85 cm 50 cm 105 cm 14. Le grand obélisque! L obélisque ci-contre fait 0 m de hauteur. Il est formé d un prisme droit à base carrée de 6 m de côté et d une pyramide dont l apothème mesure 5 m. Quel est le volume de l obélisque? 15. Jeanne désire recouvrir de tissu un abat-jour ayant la forme d un tronc de cône. Quel sera le coût de ce projet si le tissu se vend 35 $ le mètre carré? 0 cm 6 cm 0 cm 4 cm 03

18 16. Au parc du Muguet, les enfants peuvent s amuser à faire naviguer des bateaux télécommandés dans un réservoir comme celui-ci. Quelle est la capacité de ce réservoir en litres?, m 4, m 17. Quelle est la surface à peindre de cette cabane à oiseaux si la circonférence de l ouverture en forme de disque est de 11,6 cm? 1,5 cm 0 cm 0 cm 37 cm 18. Un récipient en forme de prisme droit à base rectangulaire mesure 40 dm de longueur, 30 dm de largeur et 80 dm de hauteur. Combien peut-on y ranger de boîtes de lait de soya qui ont une base carrée de 10 cm de côté et une hauteur de 0 cm sans perte d espace? 04

19 19. En sachant que le diamètre des cylindres est de 0 mm, quelle est la capacité, en litres, de ce solide? 40 mm 80 mm 10 mm 0. Le conteneur d essence (CD) Tu es le propriétaire d une compagnie qui remplit les conteneurs d essence situés dans le sol des stations-service Ultramar. Ultramar Dion t appelle pour aller remplir son conteneur mesurant 17 m de longueur, 10 m de largeur et 5 m de hauteur, en forme de prisme à base rectangulaire. M. Dion t informe qu il reste seulement 50Kl d essence à l intérieur et que tu dois le remplir le plus rapidement possible avant l heure de la fermeture. Il est 1h00, la station-service ferme à 3 heures. Chacun de tes camions-citernes déverse l'essence selon la règle ci-dessous : Q(t) = 0t où t représente le temps en seconde et Q(t) représente la quantité totale déversée en litres. Sans tenir compte du temps que tes camions-citernes prendront pour se rendre au Ultramar Dion, tu dois calculer rapidement le nombre minimum de camions-citernes que tu dois envoyer au Ultramar Dion afin de remplir son conteneur dans le délai demandé. 05

20 1. L embarras du choix (CD) Une entreprise qui se spécialise dans la fabrication d accessoires de bureau te propose trois modèles de coffre à crayons. Chaque modèle a un volume de cm 3. 6 cm Modèle 1 : 14 cm Prisme droit à base rectangulaire auquel des demi-cylindres ont été ajoutés aux extrémités 9 cm 1 cm Modèle : Prisme droit à base rectangulaire 4,8 cm Modèle 3 : Prisme droit régulier à base hexagonale Tu dois faire un choix parmi les 3 modèles proposés selon certains critères que tu as établis : le coffre doit être suffisamment long pour contenir des crayons dont la longueur maximale est de 18 cm et sa fabrication doit nécessiter le moins de tissus possible. Choisis le modèle qui, selon toi, respecte ces critères. Petite aide: un hexagone est composé de 6 triangles équilatéraux. 06

21 6.7 LA SIMILITUDE DE SOLIDES Deux solides sont semblables si le rapport des mesures de tous leurs segments homologues est constant. Le rapport de similitude est le rapport entre les mesures des côtés homologues de figures semblables. Ce rapport entre deux mesures linéaires est représenté par la lettre K. RAPPORT DES PÉRIMÈTRES a) Détermine les mesures manquantes dans la paire de figures semblables suivantes (trapèzes isocèles) x 5 b) Détermine le rapport des périmètres des deux trapèzes. y 6 On déduit que P' P où P et P sont les périmètres de deux figures semblables. RAPPORT DES AIRES a) Soit trois rectangles semblables, détermine les rapports de similitude (les mesures sont en cm) b) Détermine l aire de chacun des rectangles. 3 6 A 1 = A = A 3 = c) Détermine le rapport des aires des rectangles. A A A A A A et K -1 = et K 3-1 = et K 3- = 07 Que remarques-tu?

22 On déduit que A' A où A et A sont les aires de deux figures semblables. Exemples : Ex1. : Soit les deux prismes semblables suivants. 6 S R 3 P W Q V 1 D H B C G T 9 U E 3 F a) Détermine le rapport des périmètres des bases. b) Détermine le rapport des aires des bases. Ex. : Détermine les mesures manquantes dans les paires de figures semblables suivantes. a) b) 0 dm 4 dm A base = 4 dm? A base =? 15 dm A base = 15 dm A base = 500 dm 08

23 RAPPORT DES VOLUMES a) Soit trois prismes semblables, détermine les rapports de similitude (les mesures sont en cm) b) Détermine le volume de chacun des prismes. V 1 = V = V 3 = 3 6 c) Détermine le rapport des volumes des prismes. V V V V V V et K -1 = et K 3-1 = et K 3- = Que remarques-tu? On déduit que V ' V où V et V sont les volumes de deux solides semblables. Exemples : Ex1. : Soit les deux prismes semblables suivants. S 3 R 1,5 P T W 4,5 Q U V 1 E D H 3 B F C G Détermine le rapport des volumes des prismes. 09

24 Ex. : Voici deux cylindres semblables. Réponds aux questions suivantes. a) Quel est le rapport de similitude entre ces deux cylindres? b) Que vaut le volume du grand cylindre? 1,5 cm V = 0 cm 3 3 cm Ex3. : Détermine la mesure manquante. Les paires de solides sont semblables. a) 5 dm 15 dm V =? V = 360 dm 3 b) r =? r = 0,75 dm V= 960 dm 3 V = 15 dm 3 c) 10 A base = 4 dm V = 6 dm 3 A base = 100 dm V =?

25 EXERCICES. Détermine en a) les figures semblables et en b) les solides semblables. a) 1 1 E B 3 A 3 C D 6 4,5 4,5 9 b) C A A C A 1 D D 9 A E 6 B B , Pour chaque paire de figures ou de solides semblables, détermine le rapport de similitude et la mesure demandée. Laisse les traces de ta démarche. a) L aire de la base du grand cylindre. 15 cm,5 cm A base = 1500 cm Réponses : K = A = b) La hauteur du grand triangle. 0 cm P = 87,5 cm P = 50 cm Réponses : K = h = 11

26 c) Le périmètre du grand rectangle. 10 cm 3 cm A = 97, cm Réponses : K = P = d) Le volume du grand prisme. h = 1 h = 10 V = 30 cm 3 Réponses : K = V = e) La hauteur du petit cylindre. 160 cm V = 1000 cm 3 V = 4096 cm 3 Réponses : K = h = f) La hauteur du grand triangle. 13 cm A = 4 cm A = 50 cm Réponses : K = h = 1

27 g) L aire de la base du grand cylindre. V = 500 cm 3 A base = 150 cm V = 1687,5 cm 3 Réponses : K = h) Le volume du petit prisme. A base = V = 10 cm 3 Aire totale = 7 cm Aire totale = 50 cm Réponses : K = V = 4. L aire des bases de deux prismes rectangulaires semblables est de 1 m et de 108 m respectivement. Si l aire latérale du petit prisme est de 168 m, quelle est l aire totale du grand prisme? 5. Si le rapport de similitude de deux prismes semblables est 1/, trouve les valeurs suivantes (en fractions) : a) Le rapport des aires de la base sera de. b) Le rapport des volumes sera de. 6. Si le rapport des aires de la base de deux pyramides semblables est 1/16, trouve les valeurs suivantes (sous forme de fractions) : a) Le rapport de similitude sera de. b) Le rapport des volumes sera de. 13

28 7. Si le rapport des volumes de deux solides semblables est 1/7, trouve les valeurs suivantes (sous forme de fractions) : a) Le rapport de similitude sera de. b) Le rapport des aires (de la base) sera de. 8. Karine désire s acheter un bocal à poisson. Elle a le choix entre deux modèles semblables. Lorsqu on compare la hauteur du 1 er bocal par rapport au e, on obtient un rapport de 8/5. a) La hauteur du premier bocal est de 3 cm. Quelle est la hauteur du second? b) L aire de la vitre ovale à l avant du deuxième bocal est de 500 cm. Quelle est l aire correspondante du premier bocal? c) Si le premier bocal a un volume de cm 3, quel est le volume du second bocal? 9. Le rapport des aires des cylindres X et Y est de 5. Le rapport des aires des cylindres X et Z est de 16. Quel est le volume du cylindre Z? X Y 10 dm Z 10 dm 14

29 CD1 et CD de pratique! 30. LES CENTRES DE TABLE (CD) Lors du bal des finissants, l organisateur a décidé de déposer au centre de chacune des tables les deux objets suivants. Il s agit de décorations fabriquées par un artisan local. Le premier modèle est constitué d un cône en verre dont l intérieur est vide. Le deuxième modèle est aussi composé d une demi-boule en verre dont l intérieur est aussi vide. Il est à noter que chacune des faces reposant sur la table n est pas fabriquée en verre. L aire latérale du cône mesure 69,55 cm et le rayon de sa base est de 6,6 cm. Le volume du cône est égal à celui de la demi-boule. L organisateur aura besoin de 4 centres de table, c est-à-dire 1 fois chacun des modèles. L artisan qui concevra ces centres a besoin que tu détermines la superficie de verre qui sera utilisée pour la fabrication des 4 centres. 15

30 31. L'USINE À TENTES (CD1) Un nouveau fabricant de tentes est arrivé sur le marché. Ses tentes ont la merveilleuse particularité d être résistantes à toutes les intempéries. Les ventes seront sans doute au-delà des attentes! Le fabricant a cependant des décisions à prendre. Il doit choisir parmi deux modèles de tentes celui qu il fabriquera, il doit déterminer le nombre d employés nécessaire pour la fabrication de 500 tentes et finalement, il doit s assurer que le coût de la fabrication des tentes ainsi que le salaire des employés respecte un budget. Vous devez l aider à réaliser ces tâches. Le choix de la tente Deux modèles de tentes peuvent être fabriqués. Cependant, le fabricant veut n en produire qu un seul. Modèle A : Modèle B : 15 dm dm 16 dm 0 dm Il désire faire usiner le modèle de tente qui a le plus grand taux volume dela tente. aire du tissu Cela permettra aux clients d avoir le maximum d espace possible tout en pouvant ranger leur tente plus facilement. Le nombre d employés nécessaire Le fabricant doit pouvoir produire les 500 tentes demandées par les fournisseurs en une semaine. En calculant le temps nécessaire pour la conception en usine, le fabricant représente dans le tableau suivant une répartition possible du nombre d heures travaillées durant une semaine selon le nombre d employés. Nombre d employés Nombre d heures travaillées (par employé) Par contre, le fabricant sait qu il doit respecter certaines règles concernant le nombre d heures que chaque employé peut travailler. Ce nombre doit être au minimum 35 heures et au maximum, 40 heures. 16

31 Budget à respecter Afin de faire un profit intéressant, le fabricant désire que le coût total de production (coût des tentes et salaire des employés) ne dépasse pas $. Le coût du matériel pour la fabrication des 500 tentes est de 1,75 $ / m. Le salaire de chacun des employés dépend du nombre d heures travaillées. Par exemple, un employé travaillant 3 heures durant la semaine gagnera 697 $ et un employé travaillant 30 heures gagnera 795 $. En respectant le budget, déterminez: le modèle de tente qui sera fabriqué et le coût des 500 tentes; Défi! Le nombre d employés qui seront au travail durant la semaine; le nombre d heures que chacun travaillera. 17

32 18

33 3. Des balles de golf en tricycle (CD1) Pour s amuser durant la pause du dîner, les élèves de 3 e secondaire organisent des défis à l extérieur de l école. Tes amis et toi avez préparé un défi appelé «Des balles de golf en tricycle». Deux équipes s affrontent. À tour de rôle, chaque membre de l équipe utilise un tricycle pour franchir une certaine distance sur un terrain plat et monter sur une estrade en utilisant une rampe d accès. Il peut alors, en se penchant au-dessus d un aquarium contenant de l eau, vider les balles de golf contenues dans un récipient fixé sur le dessus du casque de protection qu il porte. Puis, toujours en utilisant le tricycle, l élève revient à la ligne de départ. C est alors à l un de ses coéquipiers de prendre la relève. La première équipe qui met assez de balles pour faire déborder l aquarium gagne le défi. Facultatif! Bonne pratique de fin d année. Après l analyse de l activité, la direction de l école a approuvé sa réalisation et a octroyé au comité organisateur 80 $ pour couvrir les frais associés à l achat de tout le matériel nécessaire. Les aquariums prêtés par le laboratoire de sciences sont isométriques et ont la forme d un prisme droit à base rectangulaire ayant chacun une capacité de 5,6 L. Chaque aquarium a une base mesurant 0 cm sur 40 cm. Avant le début du défi, les aquariums doivent contenir la même quantité d eau. L eau qui sera versée dans chaque aquarium devra atteindre une hauteur de 8 cm. On achètera des balles de golf usagées coûtant 3 $ la douzaine. Il doit y avoir suffisamment de balles pour faire déborder les aquariums. Il faut aussi prévoir un supplément de 5 % de balles, car les risques d en échapper durant le trajet en tricycle sont grands. Le diamètre d une balle de golf est de 4 cm. Voici une représentation du trajet que devra effectuer chacune des deux équipes. départ angle d élévation rampe estrade 90 à 10 cm 4,5 m terrain plat base de la rampe 300 cm base de l estrade Les estrades seront prêtées par l école. Chacune a une hauteur ajustable entre 90 et 10 cm et une base mesurant 300 cm. La distance à parcourir sur le terrain plat est de 4,5 m et la longueur totale disponible sur le terrain de l école est de 10 mètres. 19

34 Il faudra cependant faire fabriquer les rampes d accès. Elles seront construites par des étudiants en menuiserie. La longueur de ces rampes n a pas été déterminée, mais il faut s assurer que l angle d élévation de la rampe ne dépassera pas 45. La relation entre le coût de fabrication et la longueur d une rampe est représentée par le graphique ci-dessous. Coût ($) Coût d une rampe selon sa longueur 6 4 0,3 0,7 Longueur (m) Les tricycles et les casques seront prêtés par des enseignants. Parmi toutes les possibilités, détermine une longueur totale du terrain qui pourra être utilisée pour le trajet, une longueur de rampe ainsi qu une hauteur à laquelle pourra être ajustée l estrade. N oublie pas que le budget de 80$ doit être respecté. 0

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