Lycée Janson De Sailly Devoir Surveillé n 3 MPSI 3H Incidence des pâles d'un hélicoptère. x 7

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Pierre-Marie Lefrançois
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1 Incidence des pâles d'un hélicoptère z A z 6 y 7 B 6 y 9 y 4 x 8 7 x 7 x 8 z 7 x 4 y 4 y 8 z 9 z 8 traînée z 8 z 4 z incidence y 7 4 C x 4 y 9 x 9 x 7 y 8 y 4 x 9 x 7 y 9 QUESTIN : Effectuer le graphe des liaisons du mécanisme simplifié représenté ci-dessus. QUESTIN 2: (aucun calcul n est nécessaire) battement 8 z 8 z 9 Déterminer le lieu géométrique sur lequel le point B peut se situer dans le mouvement de la pièce (7) par rapport à la pièce (4) (considérer la biellette (6) démontée); La liaison entre la pièce 4 et la pièce 7 est une liaison sphérique de centre A. La trajectoire du point B est donc sur la sphère de centre A et de rayon AB QUESTIN 3: (aucun calcul n est nécessaire) Déterminer le lieu géométrique lequel le point B peut se situer dans le mouvement à la pièce (6) par rapport à la pièce (4) (considérer la pale (7) démontée). La liaison entre la pièce 4 et la pièce 6 est une liaison sphérique de centre C. La trajectoire du point B est donc sur la sphère de centre C et de rayon CB x QUESTIN 4: (aucun calcul n est nécessaire) Déterminer la trajectoire du point B dans le mouvement de la pièce (7) par rapport à (4). Préciser ses caractéristiques. La liaison entre la pièce 6 et la pièce 7 est une liaison sphérique de centre B. La trajectoire du point B dans le mouvement de 4 par rapport à 7 et donc la même que celle du mouvement entre 4 et 6. La trajectoire est donc un cercle correspondant à l intersection des sphères de centre A et de centre C. L axe du cercle est donc la droite (AC) et il passe par B. Page sur 6

2 Corps : en liaison pivot d axe avec le bâti, Tige 2: en liaison glissière de direction avec le corps, Plateau 3: en liaison pivot d axe avec le tige 2. Bâti Repère attaché à la pièce on notera b la base. ; 3 y y E F x 3 2 Tige Repère attaché à la pièce, on notera b la base. Corps 2 Repère attaché à la pièce 2. Plateau 3 Repère attaché à la pièce 3, on notera b 3 la base. Paramétrage des liaisons Liaison / : Cette liaison sera paramétrée par l angle (t) = ( ). Liaison 2/ : Cette liaison sera paramétrée par la distance (t) avec : Liaison 3/ : Cette liaison sera paramétrée par l angle (t) = ( ). Liaison 3/2 : n ne définira pas ce paramètre angulaire, car il n est pas utile ici. G x QUESTIN 5: Effectuer le graphe des liaisons du mécanisme simplifié représenté sur la figure. QUESTIN 6: Dessiner les 2 figures de calculs de changement de base : base b à b et base b à b 3. QUESTIN 7: Ecrire l équation de fermeture géométrique des origines (appelée encore équation de fermeture géométrique linéaire). QUESTIN 8: Ecrire les deux équations scalaires obtenues en projetant l équation vectorielle dans la base b. Sur X : Sur Y : QUESTIN 9: Montrer que la loi de commande d élongation du vérin λ(t) peux s'écrire en fonction de l angle d inclinaison du plateau cyclique (t) sous la forme: En déduire les A,B,C constantes en fonction des paramètres r et g. Leur unité est le mètre. A²= B=2r C²= Pour la suite on pourra considérer que A=C n souhaite tracer l'évolution de l'angle en fonction de la variable λ(t) à partir d'une interface python pour cela nous avons besoin de définir une fonction reliant les deux variables λ et. n considère que les coefficients A, B et C sont connues ainsi que la longueur y. Page 2 sur 6

3 Au début de votre code on pourra lire : #-*- coding : latin- -*- from pylab import * QUESTIN : Que signifie les instruction suivantes : from pylab import * A quoi sert la bibliothèque pylab? L instruction «from pylab import *» permet d importer toutes les fonctions de bibliothèque pylab. Cette bibliothèque contient la bibliothèque Numpy permettant d effectuer des calculs numériques sous python (calcul par vectorisation entre autre) et également la bibliothèque pyplot de matplotlib permettant de tracer des graphiques. QUESTIN : Proposer l'écriture d'une fonction verin(loc_gamma) qui permet de renvoyer la longueur du vérin λ en fonction de l'angle loc_gamma d'inclinaison du plateau. Voir programme QUESTIN 2: Ecrire la ligne d'instruction permettant d'affecter à gamma la liste de 2 points vérifiant: Rappel : la fonction pi représente le nombre. Voir programme QUESTIN 3: Quelle est la différence fondamentale entre le type basique list et le type array de la bibliothèque numpy. Sachant que chaque flottant est codé sur 64 bits en python déterminer, en octet, l'espace en mémoire occupé par l'array gamma. Dans le type array, tous les éléments sont de même type alors que pour le type list, les éléments peuvent être de types différents. Un flottant de 64 bits est composé de 8 octets (8*8=64). Si gamma contient 2 éléments alors, il prend au moins une place de 8*2=6 octets =,57 ko La ligne d'instruction plot(gamma,verin(gamma)) permet d'obtenir le graphique ci-contre. Sur ce graphique il est possible de constater que la longueur du vérin admet un minimum. QUESTIN 4 : Ecrire une fonction permettant de trouver la valeur du minimum d'une liste de point. minimum(loc_liste) Voir programme Pour une position initiale Y de 52 mm, la longueur minimum trouver par minimum(verin(gamma))est de mm QUESTIN 5 : Le vérin peut avoir une course de 28 mm autour de sa position initiale moyenne. Déterminer le débattement angulaire de l'inclinaison du plateau autour de la position moyenne. Page 3 sur 6

4 Corps : en liaison pivot d axe avec le bâti, Tige 2 : en liaison glissière de direction corps, Plateau 3 : en liaison pivot d axe tige 2. Paramétrage des solides avec le avec le Bâti : Corps Repère attaché à la pièce, on notera b la base. Corps 2 Repère attaché à la pièce 2 Plateau 3 : Paramétrage des liaisons Liaison / : Cette liaison sera paramétrée par l angle (t) =( ). Liaison 2 / : Cette liaison sera paramétrée par la distance (t) avec : G F y 3 y y E F G x 3 x 2 QUESTIN 6: Montrer que la loi de commande d élongation du vérin λ'(t) peux s'écrire en fonction de l angle d inclinaison du plateau cyclique (t) sous la forme: n remplace g par g et r par r. Donc A est inchangé C aussi par contre B change de signe d où la relation trouvée. Pour modifier l angle moyen d incidence des pales sans modifier leur amplitude de variation cyclique, on déplace le plateau cyclique en translation. La liaison entre 3 et est désormais modélisée par une liaison sphère cylindre d axe (E, y ). F y 3 y y E F x 3 2 n conserve un modèle plan de ce dispositif. Pour éviter les calculs on se contentera d une étude graphique. G G x QUESTIN 7: Afin de montrer qu il est possible de déplacer le plateau cyclique en translation, compléter le dessin du document réponse en représentant les positions des points F, F et E. E étant tel que: Page 4 sur 6

5 Pour cela on propose la fonction suivante: def hauteur(loc_lambda,loc_lambda2): if loc_lambda<loc_lambda2: inf=loc_lambda**2 sup=loc_lambda2**2 else: inf=loc_lambda2**2 sup=loc_lambda**2 P=2*A**2-inf-sup Q=(P/2)**2-A**4 R=A**4/B**2*(inf-sup)**2/4 mil=(sup+inf)/2 while sup-inf> **(-6): mil=(sup+inf)/2 if mil**3+p*mil**2+q*mil+r>: sup=mil else: inf=mil return mil**.5 QUESTIN 8: Prouver que la fonction est correcte et renvoie bien la solution approchée positive de l'équation () n définit la fonction suivante pour calculer les valeurs du polynôme : L invariant de boucle est forcément une racine telle que inf<r<sup et. Comme f est continue cela montre qu il existe Précondition : Avant l entrée de la boucle while on vérifie inf < sup avec la structure conditionnée if else. Et, en calculant on montre, ; Hérédité : n suppose à l entrée de la boucle : n calcul le milieu mil k =(sup k +inf k )/2 n teste le signe de f(mil k ), si il est positif et donc du même signe de f(sup k ), on remplace la borne supérieure par le milieu sup k+ = mil k et inf k+ =inf k et donc on vérifie Dans l autres cas, il est de même signe que et on change la borne inférieure. sup k+ = sup k et inf k+ mil k on vérifie également Dans les 2 cas l hérédité est démontrée. Postcondtion : En sortie de boucle, nous vérifions toujours inf<mil<sup avec une taille d intervalle inférieure à -6. Et donc inf<r<sup et => r-mil < -6 Mil est bien une approximation à -6 près du polynôme f et la fonction renvoie la racine positive de l équation polynomiale bicarrée Page 5 sur 6

6 L=arange(38,56,.35) L2=arange(38,56,.35) Y=[] gamma=[] for i in range(len(l)): for j in range(len(l2)): Y.append(hauteur(L[i],L2[j]) gamma.append((8/pi)*asin((l[i]**2- L2[j]**2)/2/B/hauteur(L[i],L2[j]))) QUESTIN 9: Déterminer le nombre de points contenues dans la variable lambda ou lambda2. Quel est alors, en octet, l'espace mémoire occupé par l'array Y sachant que les flottants contenus à l'intérieur sont codés en 64 bits. En divisant par 2 le pas, c'est à dire en augmentant la précision des valeurs prises au niveau des longueurs de vérin, quel est l'impact sur l'espace occupé par l'array Y. Dans L nous avons un nombre de point égale à (stop-start)//step+=8//.35+=55 L array Y contient donc 8*55*2 octets soit 8ko envrions. Si on divise par 2 la précision, l espace en mémoire sera multiplié par 2*2=4 car Y à 2 composantes. QUESTIN 2: Déterminer la complexité asymptotique en temps (dans le pire des cas), de la fonction hauteur. n prendra une unité de temps pour les opérations basiques. Pour la complexité asymptotique seule la boucle while compte. Le reste de la fonction est en temps constant. Trouvons un majorant de la boucle while. A chaque itération l intervalle est divisé par 2, on en déduit que l algorithme se termine au bout de n itérations avec n vérifiant : La complexité asymptotique est logarithmique par rapport aux données d entrée. Page 6 sur 6

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