Chapitre 4 : CINEMATIQUE S 4 F

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1 I) Système, référentiel, repère : 1) Système : Un système mécanique est un corps ou un ensemble de corps que l'on distingue de son environnement pour en faire une étude particulière. Son environnement est appelé milieu extérieur ou "reste de l'univers".

2 I) Système, référentiel, repère : 2) Référentiel et repère : Un référentiel (R) est un objet matériel solide et étendu (de grande dimension) par rapport auquel on étudie le mouvement d'un mobile. Exemple : On étudie le mouvement d'une mouche M dans un train : on pourra décrire le mouvement observé par un voyageur immobile dans un compartiment (référentiel R) ou celui décrit par une personne assise sur un banc du quai (référentiel R'). Dans l'espace physique à trois dimensions, un repère d'espace est un être mathématique défini par un point O particulier du référentiel et par trois axes orientés orthogonaux. Remarque : En 4 ème année, nous ne considérerons que des mouvements à une seule dimension.

3 II) Repérage d un point : 1) Mouvement quelconque : On considère un mobile ponctuel M dont la trajectoire par rapport à un référentiel (R) est connue. On choisit un point particulier O de la trajectoire comme origine et on choisit arbitrairement une orientation de la trajectoire. La position d un mobile peut être repérée par son abscisse curviligne, mesure algébrique de l'arc OM : s(t) = OM

4 II) Repérage d un point : 2) Mouvement rectiligne : Dans le cas particulier d'un mouvement rectiligne, nous pouvons repérer la position du mobile par son abscisse x sur un axe orienté porté par la trajectoire, après avoir choisi une origine O. Remarque : Le choix de l'orientation de l'axe est arbitraire et n'est donc pas lié au sens du mouvement. L'origine peut être choisie arbitrairement également.

5 III) Vitesse d un point mobile : 1) Vitesse moyenne : A l'aide du compteur kilométrique d'un véhicule, il est possible de connaître la distance L qu il a parcourue pendant une durée t. L La vitesse moyenne du véhicule est alors : v moy = t Dans le système international (S.I.) les longueurs s'expriment en mètre (m) et les durées en seconde (s), la mesure de la vitesse s'exprime donc en m.s 1 (ou en km.h 1 ). Si la trajectoire du mobile est connue, on repère sa position par son abscisse curviligne. A un instant τ 1 de date t 1 le mobile est en M 1 d'abscisse curviligne s 1, et à un instant τ 2 de date t 2 le mobile est en M 2 d'abscisse curviligne s 2. Pendant l'intervalle de temps t = t 2 t 1 le mobile s'est déplacé de M 1 en M 2 et a parcouru sur sa trajectoire dans le référentiel R, la distance algébrique M 1 M 2 = s = s 2 s 1. La mesure de la vitesse moyenne du véhicule est alors : v moy = s t

6 III) Vitesse d un point mobile : 2) Vitesse instantanée : On considère le mobile à différents instants τ i de date t i où le mobile occupe une position M i d'abscisse curviligne s i. Si nous considérons deux instants trop éloignés, la vitesse moyenne ne représente pas bien l évolution du mouvement du mobile au cours du temps. Si nous considérons deux instants très voisins τ i et τ j tels que δt = t j t i soit très petit : le déplacement du mobile est très faible et M j M i = δs = s j s i est lui aussi très petit. Nous admettrons que la mesure v de la vitesse instantanée d'un point mobile M à l'instant τ de date t est pratiquement égal à sa vitesse moyenne entre deux instants très voisins encadrant t : v = δs δt

7 IV) Accélération d un point mobile : 1) Accélération moyenne : A l'aide d un indicateur de vitesse d'un véhicule, il est possible de connaître la mesure v de la vitesse à chaque instant. Intuitivement on sait que l'accélération représente le "taux" de variation de la vitesse. Exemple : Pour un mobile se déplaçant en ligne droite et dont la vitesse varie de 20 m.s 1 (72 km/h) à 30 m.s 1 (108 km/h) en 5 s, nous dirons que l'accélération moyenne est 10 m.s 1 en 5 s, soit a = 2 m.s 2. A un instant τ 1 de date t 1 un mobile a une vitesse de mesure v 1 et à un instant τ 2 de date t 2 le mobile a une vitesse de mesure v 2. Pendant l'intervalle de temps t = t 2 t 1 le mobile a vu sa vitesse varier de : v = v 2 v 1. Par définition la mesure de l accélération moyenne est donnée par : v 2 v 1 v a moy = = t 2 t 1 t

8 IV) Accélération d un point mobile : 2) Accélération instantanée : Si on effectue des mesures de vitesse à intervalle de temps δt très court, on obtient la valeur de l'accélération instantanée. Nous admettrons que la mesure de l'accélération instantanée d'un point mobile M, se déplaçant en ligne droite, à l'instant τ de date t est pratiquement égal à son accélération moyenne entre deux instants très voisins encadrant τ : δv a = δt

9 V) Etude de deux cas particuliers : 1) Mouvement rectiligne uniforme : a) Définition : Dans un référentiel (R), un point mobile M se déplace sur une droite avec une vitesse de mesure constante et donc son accélération a une mesure nulle.

10 V) Etude de deux cas particuliers : 1) Mouvement rectiligne uniforme : b) Loi horaire du mouvement : On définit un axe orienté Ox, rectiligne, sur lequel se déplace le point mobile M dans (R), et on choisit un point O comme origine des abscisses. Remarque : Le choix de l orientation de l axe est indépendant du sens de déplacement du mobile mais détermine le signe de la vitesse. Soit v C la mesure algébrique ( positive ou négative) constante de la vitesse. Soit x 0 = x(0) l'abscisse du point mobile à l'instant pris comme origine des dates (t = 0 s). On a v = v x = v c. Nous admettrons que l'abscisse x(t) du mobile est une fonction linéaire du temps. La loi horaire est donc : x(t) = v c.t + x 0

11 V) Etude de deux cas particuliers : 2) Mouvement rectiligne uniformément varié : a) Définition : Dans un référentiel (R), un point mobile M se déplace sur une droite avec une accélération de mesure constante.

12 V) Etude de deux cas particuliers : 2) Mouvement rectiligne uniformément varié : b) Loi horaire du mouvement : On définit un axe orienté Ox, rectiligne, sur lequel se déplace le point mobile M dans (R), et on choisit un point O comme origine des abscisses. Remarque : Le choix de l orientation de l axe est indépendant du sens de déplacement du mobile mais détermine le signe de la vitesse à chaque instant et celui de l accélération. Soit a c la mesure algébrique constante de l accélération. Soit x 0 = x(0) l'abscisse algébrique du point mobile à l'instant pris comme origine des dates (t = 0 s). Soit v x0 = v x (0) la mesure algébrique de la vitesse du point mobile à l'instant pris comme origine des dates (t = 0 s). Nous admettrons que la mesure algébrique de la vitesse v x (t) du mobile est une fonction linéaire du temps : v x (t) = a c.t + v 0 Nous admettrons que l abscisse est une fonction du second degré du temps. La loi horaire est de la forme : x(t) =.a 1 c.t 2 + v 0.t + x 2 0

13 VI) Les diagrammes : 1) Diagrammes des "espaces" : Lorsqu'on a affaire à un problème à une dimension (mouvement rectiligne ou abscisse curviligne lorsqu'on connaît la trajectoire) il est possible de représenter dans un repère muni de deux axes, l'évolution de l'abscisse x(t) du mobile en fonction de la date t : on construit le diagramme des espaces. Exemple : Lors de l étude d'un mouvement rectiligne et uniforme l'abscisse est une fonction linéaire du temps. x(t) = v c.t + x 0 : le diagramme des espaces sera donc une droite. x 0 x x 0 = x(0) abscisse à l origine des dates pente v c de la droite, ici v c < 0 date t 1 à laquelle le mobile passe par l origine O des abscisses O origine des abscisses et des dates t 1 t

14 VI) Les diagrammes : 2) Diagrammes des "vitesses" : Dans un problème à une dimension, il est parfois plus intéressant de construire le diagramme représentant sur l axe des ordonnées, l'évolution de la mesure algébrique de la vitesse en fonction de la date t : on construit le diagramme des vitesses. Exemple : Lors de l étude d'un mouvement rectiligne et uniformément varié la vitesse est une fonction linéaire du temps. v x (t) = a c.t + v 0 : le diagramme des vitesses sera donc une droite. v 0 v x v 0 = v x (0) mesure de la vitesse à l origine des dates pente a c de la droite, ici a c < 0 date t 1 à laquelle la mesure de la vitesse s annule O origine des mesures de la vitesse et des dates t 1 t