Modélisation et prévision. F. Sur - ENSMN. 1 Limites des modèles ARMA (SARIMA) Cours de l action Danone. Propriétés des séries financières

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Marie-Ange Leduc
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1 Cours GIMAS8AD Séries chronologiques - Séance 8 Modèles ARCH et Frédéric Sur École des Mines de Nancy des séries Modèles Séance 7 1 des séries 3 Modèles des séries Modèles 4 5 1/30 /30 Rappel Processus ARMA avec résidus gaussiens Modélisation ARMA d un processus stationnaire : X t = m + Φ(B) Θ(B) ε t avec (ε t ) bruit blanc gaussien. hypothèse de gaussianité. Important pour : validité intervalles de confiance, maximum de vraisemblance, espérance conditionnelle vue comme un projecteur linéaire... et : non-corrélation = indépendance. des séries Modèles X t = m + Φ(B) + Θ(B) ε t = m + a j ε t j avec (ε t ) bruit blanc gaussien. j=0 sous-classe des processus stationnaires : processus linéaires Gaussiens (stationnaires). En particulier : Kurtosis : t, κ(x t ) = Cste = 3 (sous sas : 0) Skewness : t, s(x t ) = Cste = 0. la distribution des (X t ) est aussi plate que la gaussienne, et symétrique. des séries Modèles 3/30 4/30

2 Exemple : cours de l action (1) Exemple : cours de l action () des séries des séries Modèles Rendement instantané (return) : r t = log(x t ). Analogie avec actif non-risqué et temps continu : dx = X r dt donc X (t) = X 0 e rt et log(x (t)) = r. Modèles Observations sur la distribution des r t : périodes de forte volatilité distribution aplatie ; non stationnaire. volatilité plus faible à la hausse qu à la baisse? asymétrie par rapport à la valeur moyenne. 5/30 6/30 Exemple : cours de l action (3) Exemple : cours de l action (4) des séries des séries Modèles Modèles Distribution à queue épaisse : Kurtosis Asymétrie : Skewness Remarque : contradictoire avec modèle ARMA Gaussien pour (r t ). ACF du rendement : bruit blanc gaussien? 7/30 8/30

Exemple : cours de l action (5) Exemple : cours de l action (6) des séries des séries Portmanteau du rendement : bruit blanc gaussien? Modèles Modèles Mais : ACF du rendement au carré.

3 Exemple : cours de l action (5) Exemple : cours de l action (6) des séries des séries Portmanteau du rendement : bruit blanc gaussien? Modèles Modèles Mais : ACF du rendement au carré. présence d autocorrélation... 9/30 10/30 Exemple : cours de l action (7) générales des séries...confirmé par Portmanteau du rendement au carré. rejet de l hypothèse de bruit blanc gaussien pour r t. : rt non indépendants (car présence de corrélations), donc r t non plus a fortiori r t n est pas un b.b. gaussien (même si absence de corrélations). des séries Modèles les chroniques ne sont pas stationnaires ; les rendements r t sont stationnaires ; kurtosis > 3 : distribution leptokurtique ; (queue de distribution épaisse) skewness < 0 (en tout cas 0) : asymétrie ; présence de clusters de volatilité ; les ACF et Portmanteau des rendements font penser à un bruit blanc ; mais autocorrélations pour le carré du rendement. : modèle ARMA-Gaussien pas adapté. des séries Modèles 11/30 1/30

Évaluation de l incertitude de la Benoît Mandelbrot (194-010) Remarque : avec un modèle à volatilité constante, l incertitude de la est.

4 Évaluation de l incertitude de la Benoît Mandelbrot ( ) Remarque : avec un modèle à volatilité constante, l incertitude de la est... surestimée dans les périodes de volatilité faible, sous-estimée dans les périodes de volatilité forte. des séries entretien Le Monde, octobre 009 des séries Exemple : (cours d action) Modèles Modèles LEN LEN_F1 LEN_F1+*LEN_S1 LEN_F1-*LEN_S1 LEN LEN_F LEN_F+*LEN_S LEN_F-*LEN_S (source : Johannes Kepler Universität Linz 007) problème pour la couverture des risques... Merton & Scholes : Prix de la Banque de Suède en sciences économiques en mémoire d Alfred Nobel /30 14/30 Séance 7 1 des séries 3 Modèles des séries Modèles Le modèle ARCH (198 : Robert Engle - Nobel 003) Nouveau modèle (non linéaire) pour les chroniques stationnaires, davantage adapté à la modélisation stochastique des séries. : ARCH(p) (X t ) est un processus ARCH(p) s il vérifie : avec h t = a 0 + i, a i 0, a i Xt i, X t = h t ε t où (ε t ) b. b. gaussien N (0, 1). des séries Modèles 15/ /30 Apport : changements de volatilité (h t ) prédits par les valeurs passées de la chroniques. ne sont pas (uniquement) dus à des causes exogènes...

5 17/30 Exemple de simulation ARCH(1), a 1 = des séries Modèles ARCH : propriétés (cf poly) X t = h t ε t avec : h t = a 0 + p a ixt i Propriété des ARCH(1) stationnaires (idem pour ARCH(p)) Variance : Var(X t ) = a 0 /(1 a 1 ) Variance conditionnelle : Var(X t X t 1 ) = h t = a 0 + a 1 Xt 1 Kurtosis : κ = 3(1 a1)/(1 3a1) E(X t ) = E( h t ) E(ε t ) = 0 (variables décorrélées) si s > t alors Cov(X t, X s ) = E( h t ε t hs ε s ) = E( h t ε t hs ) E(ε s ) = 0. Remarques : ARCH = autoregressive conditional heteroscedasticity, Variance conditionnelle croissante avec les valeurs passées de X t. bien sûr, non-conditionnellement homoscédastique, Kurtosis > 3, processus ARCH = bruit blanc faible (non gaussien). (attention : non-corrélation mais pas indépendance) 18/30 des séries Modèles de l ordre X t = h t ε t avec : h t = a 0 + a i Xt i Propriété : ARCH(p) et processus AR(p) Soit (X t ) ARCH(p) stationnaire t.q. (X t ) stationnaire. Alors (X t ) est un processus AR(p) : X t = a 0 + a i Xt i + Z t où Z t = (ε t 1)h t est un bruit blanc faible (non-gaussien). Justification : E(Z t ) = 0, et si s > t : Cov(Z t, Z s ) = E((ε t 1)h t (ε s 1)h s ) = E((ε t 1)h t h s )E(ε s 1) = 0 : pour identifier p, on regarde PACF de (X t ). des séries Modèles Test (d absence) d effet ARCH Question : les (X t ) étant non-corrélés, y-a-t il intérêt à utiliser un modèle ARCH? Réponse : si les (X t ) sont corrélés, oui. Test d effet ARCH : (Q-Test dans archtest, procédure autoreg de SAS) Hypothèse H 0 : indépendance des (X t ), normaux. Portmanteau sur (X t ) : suit une loi du χ sous (H 0 ). si p-valeur < 5% : rejet de l indépendance des X t. (donc des X t ) les (X t ) peuvent être corrélés, (X t ) peut suivre un ARCH. des séries Modèles Remarque : attention, les intervalles de confiance donnés par SAS sont sous hypothèse de résidus gaussiens... 19/30 0/30

6 Test de Jarque-Bera Séance 7 X t = h t ε t où (ε t ) i.i.d. N (0, 1) (H 0 ). Test de Jarque-Bera sur les ε t : (Normality Test dans la procédure SAS autoreg) ( ) s (κ 3) JB = T suit (asymptotiquement) un χ à deux degrés de liberté sous hypothèse (H 0 ). des séries Modèles 1 des séries 3 Modèles des séries Modèles 4 5 1/30 /30 Le modèle (1986 : Tim Bollerslev) Rappel : ARCH X t = h t ε t avec : h t = a 0 + p a ixt i : (p,q) (X t ) est un processus (p,q) s il vérifie : avec h t = a 0 + a i Xt i + i, a i, b j 0, X t = h t ε t q b j h t j, j=1 (ε t ) b. b. gaussien N (0, 1) indépendant du passé de X t. introduction d une partie autorégressive pour modéliser un processus ARCH(+ ). Intérêt : persistance de la volatilité, processus à mémoire longue. où des séries Modèles de l ordre X t = h t ε t avec h t = a 0 + a i Xt i + q b j h t j j=1 Propriété : (p,q) et ARMA(max(p,q),p) Soit (X t ) (p,q) stationnaire t.q. (X t ) stationnaire. Alors (X t ) est un processus ARMA(max(p,q),q) : max(p,q) Xt = a 0 + (a i + b i )Xt i q b j Z t j + Z t j=1 où Z t (= X t h t ) est un bruit blanc faible (non gaussien). identification de p et q sur ACF/PACF de (X t ). Remarque : ne suffit bien sûr pas. On peut comparer les σ et AIC/SBC de différents modèles candidats... des séries Modèles 3/30 4/30

7 Modèles de régression à erreur Séance 7 Rappels : Régression linéaire (multiple) : m X t = a 0 + a i Yt i + Z t. Modèle autorégressif (AR(p)) : X t = µ + φ i X t i + Z t. Jusque maintenant (cours régression & séries chrono.) : résidus Z t bruit blanc gaussien (i.i.d. N (0, σ )). Raffinement : modèles AR ou sur les résidus. Permet de généraliser la régression au cadre des résidus autocorrélés, ou conditionnellement hétéroscédastiques. des séries Modèles 1 des séries 3 Modèles 4 5 des séries Modèles 5/30 6/30 : procédure autoreg (1) 1. X t = µ + (1, ) model X= / archtest garch=(p=,q=1); Attention. p et q sont inversés sous SAS!!! archtest : teste l effet ARCH. cev : variance conditionnelle (h t ).. X t = ARCH() des séries Modèles : procédure autoreg () 3. X t = a + b t + (1, 1) model X= t / archtest garch=(p=1,q=1); 4. X t = µ + φ X t 1 + ARCH() model X= / nlag=1 archtest garch=(q=); des séries Modèles 7/30 model X= / archtest garch=(q=) noint; 8/30 5. X t = µ + αy t + βy t 1 + ARCH(1) model X= Y lagy / archtest garch=(q=1);

8 Séance 7 1 des séries 3 Modèles 4 5 des séries Modèles A major contribution of the ARCH literature is the finding that apparent changes in the volatility of economic time series may be predictable and result from a specific type of nonlinear dependence rather than exogenous structural changes in variables. Berra & Higgins 1993 Financial decisions are generally based upon the tradeoff between risk and return ; the econometric analysis of risk is therefore an integral part of asset pricing, portfolio optimization, option pricing and risk management. This paper has presented an example of risk measurement that could be the input to a variety of economic decisions. The analysis of ARCH and models and their many extensions provides a statistical stage on which many theories of asset pricing and portfolio analysis can be exhibited and tested. Engle 001 des séries Modèles 9/30 30/30

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