1 Équations du mouvement. 1.1 Approximation de Boussinesq Flottabilité... 2

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1 Plan du cours Plan 1. Entropie, énergie interne et conservation de l énergie 2. Fluide stratifié 3. Effets combinés de la rotation et de la stratification 4. Dynamique lente de grande échelle 5. Stabilité des écoulements Fluides stratifiés Table des matières 1 Équations du mouvement Approximation de Boussinesq Flottabilité Étude linéaire : stabilité et ondes internes Stratification et stabilité : mouvement en bloc Ondes internes Milieux lentement variable Réflexion des ondes internes Stabilité d un écoulement stationnaire Instabilité de Kelvin-Helmholtz Développement de l instabilité Stratification et bidimensionalisation Écoulement dominé par la stratification Stratification et rotation Équations du mouvement 1.1 Approximation de Boussinesq Simplification de l équation de conservation de l entropie En négligeant les effets de compressibilité, la densité est fonction de la seule entropie (seul les effets thermiques comptent) : ρ ρ 0 + ( ρ s ) (S S 0 ) ρ 0 [1 + α(t T 0 )]. p En introduisant le facteur de compressibilité isotherme : ρ ρ 0 [1 + α(t T 0 )], α(t T 0 ) ρ 0. Quelques valeurs : α = K 1 et les capacités calorifiques C p C v J kg 1 K 1. T DS Dt = C DT p Dt αt Dp ρ Dt C p Dρ α Dt = S Q f Q

2 Approximation de Boussinesq L approximation de Boussinesq consiste à conserver les variations de densité seulement dans l équation de l entropie et dans l équation de conservation de la quantité de mouvement verticale. 1.2 Flottabilité On décompose la densité : t u + u u + p ρ 0 + g ρ ρ 0 k = 0, t ρ + u ρ = 0, u = 0. ρ = ρ 0 + ρ s (z) + ρ (x, y, z, t) p = p 0 ρ 0 g z + p s (z) + p (x, y, z, t) La flottabilité (buoyancy en anglais, terme venant du français bouillance) est dans le cas océanique : b = (ρ ρ 0)g ρ 0 et elle représente la force d Archimède (au facteur ρ 0 près). Si on note p la quantité (p s (z) + p (x, y, z, t))/ρ 0 t u h + u u h + h p = 0, t w + u w + z p b = 0, t b + u b = 0, u = 0. 2 Étude linéaire : stabilité et ondes internes Étude dynamique la plus simple : étude linéaire que l on sait toujours conduire. État de base : état de repos à l équilibre hydrostatique. ū =0 v =0 w =0 z p = b(z) 2.1 Stratification et stabilité : mouvement en bloc Mouvement spatialement homogènes Considérons tout d abord le cas particulier les mouvements homogènes, hypothèse simplificatrice pouvant intervenir lors de l étude des mouvements à petite échelles, d un fluide stratifié au repos. Seul le champ de densité moyen admet des variations selon la profondeur représenté par b(z). Équations linéaires t u h + h p = 0, t w + z p b = 0, t b + w z b = 0, u = 0. Mouvement vertical en bloc : tt w + z b w = tt w + N 2 w = 0 On retrouve les oscillations à la fréquence de Brunt-Väisälä. 2

3 2.2 Ondes internes Onde : tentative de définition Definition 1. Une onde est un phénomène capable de transporter de l énergie sans transporter de matière. Concept essentiels : propagation et d énergie. L absence de transport de masse est une propriété fondamentale des ondes qui les distinguent des processus advectifs qui eux transportent les propriétés via le transport de matière, i.e. les particules fluides dotées de masse. La propagation repose sur un mécanisme de rappel (type rappel élastique) vers la position d équilibre. En dynamique des fluides géophysiques il n y a que deux types de rappel : la force de gravité (combinée à la poussée d Archimède) et la présence d un gradient de vorticité potentielle ambiant. Definition 2 (Onde monochromatique). χ(r, t) = R [ A 0 e i(k0 r ω(k0)t)] = R A 0 δ(k k 0 )e i(k0 r ω(k0))t dk. Fig. 1 Transformée de Fourier spatiale d une onde (cas monochromatique et cas d un paquet d onde). Definition 3 (Onde paquet d onde)). χ(r, t) = R A(k)e i(k r ω(k)) dk. Développons : χ(r, t) = R A(k)e i(k r ω(k)) dk = R A(k 0 + δk)e i(k0 r ω(k0)) e i(δk r δωt) dk À t = 0, il est possible d écrire : χ(r, 0) = F (r) e ik0 r, F (r) = R A(k 0 + δk) e iδk r dk, où F est une fonction enveloppe. À t > 0, il est possible d écrire : χ(r, t) = [ R 0 ω iδk (r A(k 0 + δk) e t) ] k e i(k0 r ω0t) dk = F (r c g t) e i(k0 r ω0t), où c g = ( ω k, ω l, ω m ) est la vitesse de groupe. La vitesse de phase vaut c = ω. k 2 3

4 Fig. 2 Paquet d onde dans l espace physique Ondes internes Champ de densité moyen admet des variations selon la profondeur représenté par b(z). Équations linéaires : t u h + h p = 0, t w + z p b = 0, t b + w N 2 = 0, u = 0. Dans un domaine infini homogène (N 2 = cst), il est légitime chercher des solutions sous forme d ondes planes monochromatiques (e i(k r ωt) ). Équation d onde et relation de dispersion En manipulant les équations linéaires : 2 p = z b, tt b + N 2 (b z p) = 0. En supposant à présent N constant, l équation d ondes s écrit : La relation de dispersion est donc : (N 2 + tt ) 2 p N 2 zz p = 0, ω 2 = N 2 k2 h k 2 = N 2 k 2 + l 2 k 2 + l 2 + m 2 = N 2 cos 2 θ, où θ est l angle du vecteur d onde k avec l horizontale. Exercice : Retrouver la relation de dispersion et les relations de polarisation liant les différents champs en utilisant le fait qu une onde est une solution non triviale du système linéaire. 4

5 Propriétés 0 ω N (modifiée par la rotation). La fréquence ne dépend pas de la norme du vecteur d onde. les ondes internes sont anisotropes (cône de dispersion) les ondes sont transversales i.e. k u = 0 (car u = 0) Vitesse de groupe Vitesse de phase k z iso-ω c = ωk/ k 2 c g = ω/ k = k ω la vitesse de groupe est perpendiculaire à la vitesse de phase ( c est porté par le cône, le cône étant une surface équi-ω, c g lui est perpendiculaire. L énergie se propage donc sous un angle θ par rapport à la verticale) θ ω croissant c g k x c Illustrations Considérons un fluide stratifié de fréquence de Brunt-Väisälä N = 2π/(3.9) 2.3 Milieux lentement variable Milieux lentement variable Dans la réalité il est très fréquent que l écoulement de base ou le milieu lui même sur lequel se propagent les perturbations soit non stationnaire et non homogène ; nous noterons génériquement que la relation de dispersion se met sous la forme ω = Ω(k, λ(x, t)) où λ est un paramètre entrant dans la relation de dispersion, par exemple la profondeur H pour les ondes de gravité, le courant moyen U(x, t) etc. Dire que le milieu est lentement variable signifie que les variations sont faibles par rapport aux caractéristiques de l onde ce qu on traduit par x λ/λ k et t λ/λ ω. Théorie des rayons On considère des ondes localement planes, c est à dire se mettant sous la forme et l on pose que φ(x, t) = A(x, t)e iθ(x,t) k = θ et ω = t θ. On en déduit la conservation du nombre de crètes, t k + ω = 0. 5

6 Évolution de la fréquence et du vecteur d onde Il est alors très simple de montrer que t ω + c g ω = λ Ω t λ t k + c g k = λ Ω λ Les rayons sont les lignes définies par dx dt = c g le long desquelles ω et k peuvent varier. Distinguons deux cas : le milieu est stationnaire alors t λ = 0 et donc ω = cste. La conservation de la pulsation n est donc pas une propriété intrinsèque de l onde, cette conservation est liée à la stationarité du milieu. le milieu est homogène alors λ = 0 et donc k = cste. Inversement dans un milieu non homogène, k est modifié en cours de route, c est le phénomène bien connu de la réfraction. La théorie des rayons ne présuppose en rien du type d onde, elle est donc parfaitement applicable aux ondes électromagnétiques et permet de retrouver les phénomènes de d optique géométrique. 2.4 Réflexion des ondes internes Réflexion sur la topographie Conservation de la fréquence à la réflexion. L angle que fait l onde avec la verticale est donc conservé! Sur des parois horizontales ou verticales : l angle l incidence est égal à l angle de réflexion α i = α r Sur des parois inclinées, comme un topographie par exemple, la relation entre ces angles est différente. Lors de la réflexion la largeur du faisceau est modifiée. Si la largeur diminue donc la densité d énergie augmente. α r α i α Réflexion sur la topographie À la réflexion, seule la composante perpendiculaire de k est modifié selon la théorie des rayons (la composante parallèle est conservée) : k i k r n et donc la longueur d onde diminue. 6

7 c g k r n c g k i Réfléxion sur une pente Dans tous les phénomènes de réflexion l angle de la pente α joue un rôle important. Lorsque l angle incident α i = α, on parle alors d incidence critique, le faisceau réfléchi est alors infiniment mince ce qui conduit à une concentration d énergie infinie. On ne peut plus alors se contenter de l approximation linéaire. Réfléxion sur un talus La réflexion d un mode barocline sur une pente conduit à l apparition d un rayon comme l indique la figure ci-dessous. Fig. 3 Réflexion d un premier mode barocline sur une pente, l onde réfléchie se concentre dans un rayon. 3 Stabilité d un écoulement stationnaire 3.1 Instabilité de Kelvin-Helmholtz Nombre de Richardson On considère un écoulement cisaillé stratifié : ū(z) 0, v = 0, w = 0, z p = b(z) 0 7

8 La stabilité dépend du nombre de Richardson Ri = N 2 ( z ū) 2. Richardson critique? La condition pour qu un pendule n oscille pas autour d une position d équilibre stable mais effectue un tour complet : E c = mv2 2 > 2mgh = E p u/2 z = z u = 0 z = z ρ u/2 z = 0 u = 0 z = 0 Variations d énergies : E c = ρ0( u)2 Cisaillement stratifié instable : 3.2 Développement de l instabilité 8 + ρ0( u)2 8 = ρ0( u)2 4, Ep = g ρ z. ρ 0 ( u) 2 g ρ z > 0 = Ri = N 2 4 ( z ū) 2 < 1 4 Instabilité de Kelvin-Helmholtz Quand l écoulement est instable, il y formation de rouleaux qui mélange le fluide instable. Il y a conversion d énergie cinétique en énergie potentielle. Simulation numérique d un instabilité de KH. Mélange par déferlement des rouleaux instables. 4 Stratification et bidimensionalisation 4.1 Écoulement dominé par la stratification Bidimensionalisation de l écoulement F r 1 t u h + u h h u h + F 2 w z u h + h p = 0, δ 2 F 2 t w + δ 2 F 2 u h h w + δ 2 F 4 w z w + z p b = 0, t b + u h h b + F 2 w z b + wn 2 = 0, h u h + F 2 z w = 0. où F = U 2 N 2 H est le nombre de Froude 2 Pour tout z : système Euler 2D avec couches autonomes. h u h = 0 = u = y ψ v = x ψ t 2 ψ + J ( ψ, 2 ψ ) = 0 Variables dynamiques : u h. Variables diagnostiques : p puis b puis w. 8

9 4.2 Stratification et rotation Conclusion La stratification tout comme la rotation bidimensionalise l écoulement. Mais en des termes différents : La rotation gèle les variations du champ de vitesse selon la verticale. La stratification inhibe les mouvements verticaux. Le nombre de Froude joue le rôle de paramètre de contrôle similaire au nombre de Rossby dans le cas de la rotation. Il mesure l effet de la stratification par rapport aux termes d accélération nonlinéaires. 9