Plan du chapitre «Milieux magnétiques»

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1 Plan du chapitre «Milieux magnétiques» 1. Sources microscopiques de l aimantation en régime statique 2. Etude macroscopique de l aimantation en régime statique 3. Aimantation en régime variable 4. Les divers types de milieux magnétiques 5. Aspects énergétiques des milieux magnétiques Milieux magnétiques 1

2 Aimantation Le moment magnétique total dm d un petit volume dv permet de définir l aimantation du milieu : A/m M = d m dv A.m 2 Aimantation : Densité volumique de moment magnétique «M» car magnetization L aimantation M est une quantité macroscopique nivelée Sur le plan calculatoire, l aimantation M joue pour les milieux magnétiques un rôle analogue à celui joué pour les milieux diélectriques par la polarisation P Milieux magnétiques 2

3 Hypothèse d Ampère L expérience montre que certains milieux (milieux aimantés) peuvent être source de champs B important, au même titre que ceux créés par les courants qui circulent dans un conducteur Par exemple, un barreau aimanté produit un champ B dont la structure est identique à celle du champ extérieur d un solénoïde de même forme Hypothèse d Ampère : tout volume dv d un matériau aimanté se comporte comme une boucle de courant de moment : d m = M dv aussi bien du point de vue du champ B qu il créé que des actions mécaniques qu il subit M : aimantation Milieux magnétiques 3

4 Plan du chapitre «Milieux magnétiques» 1. Sources microscopiques de l aimantation en régime statique 2. Etude macroscopique de l aimantation en régime statique 3. Aimantation en régime variable 4. Les divers types de milieux magnétiques 5. Aspects énergétiques des milieux magnétiques Milieux magnétiques 4

5 Moment magnétique orbital atomique (1/2) Une particule de charge q, de vitesse v, décrivant une trajectoire fermée de surface S crée en tout point de l espace un champ B périodique Situation analogue à une boucle de courant parcourue par une intensité moyenne I = q/t, possédant un moment magnétique : m = I S = q T S Si on note r un point de la trajectoire fermée (C),le vecteur surface s écrit : S = 1 r dr 2 (C) Milieux magnétiques 5

6 Moment magnétique orbital atomique (2/2) On en déduit l expression de m : m = q 2 T r d r (C) dt dt = 1 2 T (C)( r q v ) dt On généralise ceci à tout mouvement, périodique ou non, tant que la particule reste localisée dans une région finie de l espace On écrira finalement que le moment magnétique orbital, associé à une particule chargée en mouvement, sera : m = 1 2 r q v <> représente la moyenne temporelle Milieux magnétiques 6

7 Moment cinétique orbital atomique On considère tout d abord un mouvement à force centrale. Le moment cinétique d une particule de masse m par rapport au centre des forces est une constante du mouvement : σ = r m v = Cste De même, le moment magnétique associé est constant : m = 1 r q v = q r m v = q σ 2 2 m 2 m Il y a proportionnalité entre le moment magnétique et le moment cinétique orbital. Le coefficient de proportionnalité est caractéristique de la particule Milieux magnétiques 7

8 Rapport gyromagnétique Pour un atome, la situation est plus délicate mais conduit au même résultat Cette propriété est tout à fait générale : les faits expérimentaux associent à tout moment cinétique σ (nucléaire, particulaire, atomique, moléculaire) un moment magnétique m tel que : m = γ σ γ : rapport gyromagnétique Milieux magnétiques 8

9 Modèle de Bohr Les e- de charge -e et de masse m e décrivent une orbite circulaire de rayon r autour du noyau On assimile chaque orbite à une spire parcourue par l intensité i = -e/t = -e ω/(2π) et on lui associe un σ moment magnétique : m = i π r 2 u z = e ω r2 2 Le mouvement orbital de l e- est à l origine d un moment cinétique : σ = r m e v = m e r 2 ω u z On a donc : m = u z Noyau Milieux magnétiques 9 z v Electron e σ γ e = e Pour des électrons dans une 2 m e 2 m e théorie classique m

10 L expérience confirme qualitativement l existence d un lien entre les moments cinétiques et magnétiques : Un corps dont on modifie l aimantation se met en rotation (effet Einstein-De Hass ) Un corps mis en rotation s aimante (effet Barnett ) Quantitativement, on observe plutôt pour des électrons : où g caractérise l état quantique et est appelé facteur de Landé m = γ e σ = g e σ 2 m e Milieux magnétiques 10

11 Effet Einstein-De Haas O Dispositif : un barreau cylindrique de fer doux (de moment d inertie I) suspendu à un fil de constante de torsion négligeable est soumis à B 0 parallèle à m Comme B 0 // m, le couple reste constant : σ sol : somme des moments cinétiques de chaque atome dû à la rotation autour de l axe σ el : somme des moments électroniques associés à chaque atome σ tot = 0 si initialement le barreau est immobile ω m σ tot = σ sol +σ el = Cste L apparition de B 0 modifie σ el = m/γ et sera compensé par la mise en rotation du barreau avec le couple σ sol = I ω = - m/γ Expérimentalement, on obtient pour γ le bon signe mais environ le double de la valeur prédite : c est le facteur de Landé! B 0 Milieux magnétiques 11

12 Facteur de Landé La MQ permet de calculer g : Elle prédit g = 1 (comme en classique) si les moments orbitaux sont seuls en cause Elle prédit g = 2 si seuls les spins sont en cause Les valeurs observées (entre 1 et 2) résultent d un mélange entre les contributions orbitales et de spin L électrodynamique quantique conduit pour des électrons à : g = 2 (1+ε) avec ε =1, en excellent accord avec les résultats expérimentaux. Ce test est à l heure actuelle le plus précis de toutes les théories fondamentales de la physique moderne Milieux magnétiques 12

13 Plan du chapitre «Milieux magnétiques» 1. Sources microscopiques de l aimantation en régime statique 2. Etude macroscopique de l aimantation en régime statique 1. Approche intuitive des charges d aimantation 2. Densités de courant équivalentes 3. Vecteur H 4. Exemple de la sphère magnétique. Champ démagnétisant 5. Relations constitutives 6. Séparation de deux milieux lhi 3. Aimantation en régime variable 4. Les divers types de milieux magnétiques 5. Aspects énergétiques des milieux magnétiques Milieux magnétiques 13

14 Aimantation uniforme La présence de moments magnétiques identiques est équivalente à un courant surfacique Milieux magnétiques 14

15 Aimantation variable y z x M z x > 0 J y = M z x < 0 La présence de moments magnétiques différents est équivalente à un courant surfacique auquel on superpose un effet volumique Milieux magnétiques 15

17 Traitement analogue à celui des charges de polarisation liées. On considère le potentiel vecteur créé en Q par une aimantation M. Finalement : A (Q) = µ 0 4 π M n (Σ) ds + µ 0 r 4 π (D) P M r d 3 P Le potentiel vecteur est le même que celui créé par une distribution volumique et une distribution surfacique données par : s J m = M n et J m = M n Normale sortante Cette modélisation n est valable que si les distances d observation sont grandes devant l épaisseur de la couche sur laquelle les courants se répartissent (approximation dipolaire!) Milieux magnétiques 17

18 Exemple d un barreau cylindrique uniformément aimanté selon son axe u r u z i M u θ i M M M Aimantation uniforme selon Oz : J M = M = 0 et J M s = M u r = M u θ Interprétation : les éléments adjacents de deux «boucles de courant lié» sont opposés deux à deux. Seuls interviennent comme source de B et H les éléments de courant situés sur la surface du barreau qui constituent la nappe de courant surfacique Ces courants équivalents sont souvent appelés courants ampériens Milieux magnétiques 18

19 Les charges ainsi introduites sont les charges d aimantation Ce sont des charges liées, au même titres que les charges de polarisation Milieux magnétiques 19

21 Le champ B engendré par une distribution comportant à la fois des courants libres et des dipôles magnétiques vérifie : avec. B = 0 On introduit le vecteur H : J lié = J M = M Dimension : [B] = MT -2 A -1 et [H] = [M] = L -1 A et A/m (MA) s écrit alors simplement : B = J libre + M B M µ 0 µ 0 B = µ 0 ( J libre + J lié ) H = B µ 0 M T A/m = H = J libre H. dl = I libre Milieux magnétiques 21

22 Quelques remarques sur B et H (1/2) On peut décomposer les champs B et H en deux termes produits par les courants (B I et H I ) et par l aimantation (B M et H M ) : B = B I + B M et H = H I + H M avec : H I = B I µ 0 et H M = B M µ 0 M H I est le champ créé dans le vide par les courants de conduction H M vérifie :. H M =. M et B H M = M M = µ 0 J lié J lié = car pas de 0 courant µ 0 µ 0 libre pour H M!! H M est donc irrotationnel (au contraire de H et H I ) Milieux magnétiques 22

23 Quelques remarques sur B et H (2/2) Les équations qui déterminent H M sont équivalentes aux équations qui déterminent ε 0 E d en fonction de la polarisation P qui crée E d H M peut donc parfois être déterminé par transposition d un problème analogue en électrostatique/diélectrique Milieux magnétiques 23

24 Quand utiliser B ou H? On utilisera plutôt H quand ne on connaît que les courants libres. Si on peut connaître les courants liés (donc M), on pourra utiliser B Dans le cas d une aimantation uniforme : M = 0 Milieux magnétiques 24

25 Importance de H L importance pratique de H dans l étude des milieux aimantés vient de son lien avec I libre, mesuré par les ampèremètres Pour les diélectriques, on a : D. ds = Q libre D est beaucoup moins intéressant que H car les voltmètres ne mesurent pas Q libre mais la charge totale : V 1 V 2 = 1 2 E. dl Milieux magnétiques 25

26 «Comparaison» entre matériaux diélectriques et magnétiques En négligeant les effets de bord E = 1 ε 0 ( D P ) B = µ 0 ( H + M ) Les charges libres ne sont pas affectées par la présence du diélectrique. Tous les vecteurs pointent vers la droite. Sans le diélectrique, E = D / ε 0. Avec le diélectrique, E est plus faible car les charges liées s opposent à l effet des charges libres La bobine crée H. Tous les vecteurs pointent vers la droite. Sans le milieu magnétique, B = µ 0 H. Avec le milieu magnétique, B est plus élevé parce que le champ des courants liés s ajoute à celui des courants libres Milieux magnétiques 26

28 Exemple de la sphère uniformément aimantée (1/3) On a uniquement un courant superficiel : S J M = M n = M sin(θ) u ϕ On peut calculer le champ à partir du potentiel vecteur : A = µ 0 4 π Analogie électrostatique : on sait que E = u M r r dv = µ 0 M 2 4 π ρ u r 4 π ε 0 r dv 2 u r r 2 dv est le champ d une sphère uniformément chargée avec ρ uniforme. Le théorème de Gauss donne : r < a E i = D où : A i = µ 0 3 ρ r et r > a E e = 3ε 0 M r et A e = µ 0 3 M a3 r 2 u r ρ a 3 3ε 0 r 2 u r Milieux magnétiques 28

29 Exemple de la sphère uniformément aimantée (2/3) A i = µ 0 3 M r et A e = µ 0 3 M a3 r 2 u r On sait que le potentiel-vecteur d un champ B uniforme est A = 1 2 B r A l intérieur de la sphère : B i et H i sont uniformes B i = 2 3 µ 0 M H i = B i µ 0 M = M 3 A l extérieur de la sphère : Champ identique à celui d un moment magnétique B e = µ 0 4 π 3 ( m. u r ) u r m r 3 H e = B e µ 0 m = 4 3 π a3 M Milieux magnétiques 29

30 Exemple de la sphère uniformément aimantée (3/3) B i = 2 3 µ 0 M B e = µ 0 4 π 3 ( m. u r ) u r m r 3 m = 4 3 π a3 M Contrairement au cas d une sphère uniformément polarisée, ce sont ici les composantes normales de B qui sont continues Milieux magnétiques 30

31 Attention, l analogie entre E et H est purement mathématique L analogie avec les milieux diélectriques est une simple astuce mathématique pour remplacer un calcul d aimantation par un calcul de polarisation parfois plus simple D un point de vue physique, les champs E et B sont analogues, de même que les inductions D et H L existence d une analogie FORMELLE entre E et H a longtemps fait prendre H pour une grandeur fondamentale, par analogie avec E (D et B étaient mis en parallèle - et appelés induction électrique et induction magnétique) Milieux magnétiques 31

32 Champ démagnétisant Le champ H i créé à l intérieur d une sphère uniformément aimantée est : M H i = 3 On peut généraliser ceci et montrer que le champ H i est toujours de sens opposé à M. On l appelle parfois champ démagnétisant Expression malheureuse car elle ne supprime pas l aimantation Eviter d utiliser cette expression. Malheureusement, on la trouve dans pas mal d ouvrages Attention à garder en mémoire que c est B qui agit sur les dipôles magnétiques, et non H (qui n est concerné que par les charges libres) Milieux magnétiques 32

33 Généralisation à une géométrie ellipsoïdale Ellipsoïde : surface quelconque de l espace à 3D Le champ B créé par le milieu sera de la forme B i = µ 0 M µ 0 [ N] M où [N] est une matrice 3x3. Dans une base dont les axes coïncident avec ceux de l ellipsoïde, [N] est diagonale et on a N xx +N yy +N zz = 1 La sphère correspond à N xx = N yy = N zz = 1/3 d où B i = 2 3 µ 0 M Le cylindre est un ellipsoïde allongé (N xx = N yy = 1/2 et N zz = 0) : B i = µ 0 M H i = 0 Une feuille est un ellipsoïde infiniment aplati (N xx = N yy = 0 et N zz = 1) H i = M B i = 0 Milieux magnétiques 33

35 Corps diamagnétiques et paramagnétiques (1/3) Milieux non aimantés en l absence de champ B qui acquièrent une faible aimantation sous l action d un champ B (milieux forcément linéaires) : Substance anisotrope M = 1 [ χ] B µ 0 [χ] : tenseur de susceptibilité magnétique Substance homogène et isotrope (SEUL CAS CONSIDERE DANS CE COURS) B M = χ m µ 0 χ m (ou χ s il n y a pas ambiguïté) est la susceptibilité magnétique (sans dimension) Homologue de P = ε 0 χ e E pour les diélectriques Milieux magnétiques 35

36 Corps diamagnétiques et paramagnétiques (2/3) Dans la (très) grande majorité des cas, χ m est très faible ( 10-5 pour les liquides et les solides et 10-9 pour les gaz) et négatif Corps diamagnétique Dans quelques cas (O 2, Na, AL, FeCl 3 ), χ m est un peu moins faible (valeur max 3x10-3 pour les cristaux de FeCl 3 ) et positif Corps paramagnétique Pour ces deux types de corps, on a : M << B µ 0 et H = B µ 0 M B µ 0 B On peut donc écrire M = χ m sous la forme µ 0 M = χ m H Pour des raisons Milieux historiques, magnétiques c est cette relation 36 qui est la définition «officielle» de χ m

37 Corps diamagnétiques et paramagnétiques (3/3) Le fait que χ m soit << 1 a une conséquence importante : le champ B créé par une substance magnétique (dia ou paramagnétique) pourra toujours être négligé devant le champ extérieur appliqué Pour les milieux dia et paramagnétiques, on ne fera pas la distinction entre champ appliqué, champ macroscopique et champ local (comme on l a fait pour les diélectriques) Milieux magnétiques 37

38 Corps ferromagnétiques Les propriétés magnétiques les plus intenses sont celles de quelques corps tels que le fer, le nickel, le gadolinium, etc.. Corps ferromagnétiques L aimantation d un ferromagnétique dépend de manière complexe du champ appliqué mais également du champ antérieur Il n existe pas de relation constitutive simple et unique reliant B à H pour un ferromagnétique Milieux magnétiques 38

39 Milieux lhi (dia ou paramagnétiques) Un milieu sera dit linéaire si : B = µ 0 H + M ( ) M χ m H B = µ H = µ 0 µ r H avec µ r =1+ χ m Perméabilité absolue Perméabilité relative µ r est très légèrement inférieur à 1 pour les diamagnétiques et très légèrement supérieur à 1 pour les paramagnétiques Cette relation est le pendant de ε r = 1 + χ e pour les milieux diélectriques Milieux magnétiques 39

41 Equations de Maxwell dans les milieux magnétiques (non diélectriques). E = ρ tot ε 0 H = J libre E = 0. B = 0 Il ne suffit pas de connaître H = J libre et. B = 0 pour déterminer H. Il faut également connaître la relation constitutive entre B et H Attention : H n est pas nul en l absence de «ses» sources, les courants libres! Pour une sphère uniformément aimantée, on a J libre = 0 mais H i = - M / 3 Milieux magnétiques 41

42 Conditions aux limites (1/3) Surface de séparation entre deux milieux aimantés ou un milieu aimanté et le vide On note : Densité superficielle de courant libre sur la surface : Normale sortante du milieu magnétique : n 1 2 K libre En se basant sur des méthodes identiques à celles des milieux diélectriques ou du vide :. B = 0 B 2 n 1 2 = 0 B N2 = ( B 1 ). H = J libre n 1 2 B N1 ( H H 2 1 ) = K libre H 2T H 1T = K libre Milieux magnétiques 42 n 1 2

43 Conditions aux limites (2/3) B 2 ( B 1 ). n 1 2 n 1 2 = 0 ( H H 2 1 ) = 0 En supposant K = 0 Pour un milieu linéaire : B = µ H B 2. n 1 2 = B 1. n 1 2 H 2. n 1 2 = µ 1 H 1. n 1 2 µ 2 H 2 n 1 2 = H 1 n 1 2 B 2 n 1 2 = µ 2 B 1 n 1 2 µ 1 En supposant K = 0 Milieux magnétiques 43

44 Conditions aux limites (3/3) On a parfois (rarement) intérêt à utiliser la continuité de A : A 2 = A 1 Les conditions de passage sur E restent inchangés wrt au vide : E 2t = E 2 n 1 2 = σ tot E 1t ( E 1 ). ε 0 Milieux magnétiques 44

45 Réfraction des lignes de champ Pour une surface sans courant libre, on introduit les angles α 1 = ( n, B 1 ) et α 2 = ( n, B 2 ) (2) (1) n α 2 α 1 B 1 B 2 Les relations de continuité deviennent pour un milieu linéaire : B 1N = B 2N B 2 cos(α 2 ) = B 1 cos(α 1 ) H 1t = H 2t B 2 sin(α 2 ) = B tan(α 2 ) = tan(α 1 ) 1 sin(α 1 ) µ 2 µ 1 µ 2 µ 1 Caractérise la réfraction des lignes de B : plus µ augmente, plus les lignes de champ «se couchent» sur la surface de séparation : elles «préfèrent» passer à travers des milieux de µ élevé Milieux magnétiques 45

46 Exemple du champ d une bobine Les milieux de µ élevé canalisent les lignes du champ Noyau en «fer doux» Les lignes de champ se répartissent dans tout l espace Les lignes de champ sont canalisées dans le fer doux Milieux magnétiques 46

47 Plan du chapitre «Milieux magnétiques» 1. Sources microscopiques de l aimantation en régime statique 2. Etude macroscopique de l aimantation en régime statique 3. Aimantation en régime variable 1. Les équations de Maxwell 2. Une nouvelle forme pour u et R 4. Les divers types de milieux magnétiques 5. Aspects énergétiques des milieux magnétiques Milieux magnétiques 47

48 Cas général d un milieu quelconque Milieux diélectriques P : Densité volumique de moment dipolaire (polarisation) D = ε 0 E + P Charges liées (de polarisation) ρ P =. P et σ P = P. n Milieux magnétiques M : densité volumique de moment magnétique (aimantation) B = µ 0 ( H + M ) Charges liées (d aimantation) J M = M et J M s = M n Milieux magnétiques 48

49 Relations de Maxwell dans les milieux Deux relations intrinsèques au champ EM : E = B t. B = 0 Deux relations reliant les sources aux champs. E = ρ tot ρ tot = ρ libre + ρ P avec ρ P =. P ε 0 J tot = J libre + J P + J M avec J P = P B 1 E et c 2 t = µ 0 J tot t ou de manière équivalente :. D = ρ libre H D t = J libre J M = M Savoir refaire ce calcul Milieux magnétiques 49

50 Les champs fondamentaux sont E et B car ils vérifient les relations intrinsèques (aux champs) : E = B t. B = 0 Les champs D et H rendent compte, en moyenne, des contributions des charges et des courants du milieu par l intermédiaire de ρ et J (grandeurs moyennées) Ce système d équations a un intérêt essentiellement pratique Il n existe que peu (pas?) de milieux possédant à la fois P et M Milieux magnétiques 50

51 . D = ρ libre Conservation de la charge H = J libre + D t En prenant la divergence de (MA) : J liée = M + P t E = B t. J libre + ρ libre = 0 t. B = 0 (MG) (MA) (MF) (MΦ) Pour les charges liées : En prenant la divergence de J lié :. J liée + ρ liée t bien pour les charges libres que pour les charges liées (donc pour les charges totales également) et ρ liée =. P L équation de conservation de la charge est vérifiée aussi = 0 Milieux magnétiques 51

52 Plan du chapitre «Milieux magnétiques» 1. Sources microscopiques de l aimantation en régime statique 2. Etude macroscopique de l aimantation en régime statique 3. Aimantation en régime variable 1. Les équations de Maxwell 2. Une nouvelle forme pour u et R 4. Les divers types de milieux magnétiques 5. Aspects énergétiques des milieux magnétiques Milieux magnétiques 52

53 On cherche une nouvelle expression de u et R basée sur le formalisme en D et H, utilisant uniquement les charges libres Si u et R existent, ils doivent vérifier la forme locale de la conservation de l énergie :. R ʹ + u ʹ t = J libre. E Pour un lhi, on peut écrire : D = ε E et Déjà vu u ʹ = E. dd + H. db B = µ H u ʹ = d ε E2 2 + B2 2 µ On verra plus tard Milieux magnétiques 53

54 . R ʹ + u ʹ t = J libre. E u ʹ = d ε E2 2 + B2 2 µ L identité de Poynting pour un milieu magnétique devient :.( E H ) + E. D t + H. B t = J libre. E Elle est compatible avec la forme locale de la conservation de la charge si on pose : u ʹ = 1 E. D + H. ( B ) et R ʹ = E H 2 En présence d un milieu linéaire, on utilise plutôt u et R que u et R Milieux magnétiques 54