UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire Statistiques Descriptives

Transcription

1 UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire L1 Économie Cours de B. Desgraupes Statistiques Descriptives Séance 13: Correction de l examen Table des matières Correction du QCM Grille des réponses 12 1

2 Correction du QCM Il y a une et une seule bonne réponse à chacune des 30 questions, et quatre modalités pour chacune d entre elles. Les réponses figurent à droite des lettres A, B, C, D. Il y a un système de points négatifs (3 points pour une bonne réponse, -1 pour une mauvaise). Les non-réponses ne sont pas notées. En cas de problème d arrondi, reportez la réponse la plus proche de vos résultats numériques. (Questions 1 à 5) Une population d adultes de sexe masculin a été découpée en cinq classes de poids. On dispose des résultats suivants: Classe Intervalle de poids (kg) Fréquence de la classe 1 [50, 60[ 5% 2 [60, 70[ 20% 3 [70, 80[ 40% 4 [80, 100[ 30% 5 [100, 120[ 5% Question 1 Quelle est la classe modale au niveau de la densité de répartition? A : la deuxième; B : la troisième; C : la quatrième; D : la cinquième La densité est le quotient de la fréquence par l amplitude de l intervalle. La troisième classe a la fréquence la plus élevée et aussi l amplitude la plus faible (avec les deux premières classes). Question 2 Soit F la fonction de répartition. Lequel des résultats suivants est vrai? A : F (80) = 40%; B : F (80) = 0, 65; C : F (80) = 10; D : F (100) = 100% La fonction de répartition représente les fréquences cumulées. Cela invalide les autres réponses. 2

3 Pour les deux questions suivantes, on suppose que la répartition des individus dans les classes est uniforme. Question 3 La médiane des poids obtenue par interpolation linéaire est égale à A : 75; B : 75, 8; C : 50%; D : 76, 25 On a l encadrement: F (70) = 0, 25 < 0, 5 = F (médiane) < F (80) = 0, 65. On applique ensuite la formule F (médiane) F (70) F (80) F (70) On en déduit = médiane , 5 0, 25 0, 25 = = 0, , 65 0, 25 0, 40 médiane = 70 + (0, 625 (80 70)) = 76, 25. Question 4 La moyenne des poids est égale à A : 75; B : 78; C : 78, 25; D : 80. La moyenne vaut x = i f i m i = i f i a i + a i 1. 2 (on considère que la moyenne est au milieu de l intervalle si la distribution y est uniforme). Donc x = (0, 05 55) + (0, 2 65) + (0, 4 75) + (0, 3 90) + (0, ) = 2, , 5 = 78, 25. Question 5 En déduire une valeur de la courbe de Lorenz A : L(70) = 25%; B : L(25%) = 20, 13%; C : L(25%) = 25%; D : L(1) = 0. 3

4 Ici On a L(f 1 + f 2 ) = f 1m 1 + f 2 m 2 x L(f f i ) = f 1m f i m i. x L(0, 25) = L(0, , 2) = 2, = 15, 75 78, 25 (0, 05 55) + (0, 2 65) 78, 25 = 0, Question 6 Comment appelle-t-on la fonction qui s apparente à une réciproque de la fonction de répartition? A : quartile; C : quantile; B : décile; D : centile C est la fonction quantile. Question 7 Soit x une variable de taille en centimètres, dont la moyenne x sur un échantillon vaut 175 et la moyenne des carrés x 2 vaut Quelle est la bonne réponse, concernant la variance V (x)? A : V (x) = 45 cm 2 ; B : V (x) = cm 2 ; C : V (x) = cm 2 ; D : V (x) = 45cm On a l égalité V (x) = x 2 x 2 = = = 45, avec une unité en centimètres carrés. La bonne réponse est A. Question 8 Que vaut l écart-type associé? A : σ(x) = 45 cm; C : σ(x) = 6, 71cm; B : σ(x) = 45 cm; D : σ(x) = 0, 67 m On a σ(x) = V (x) = 45 = 6, 71, avec une unité en centimètres. 4

5 Question 9 Dans son livre Pour une révolution fiscale, Thomas Piketty et ses co-auteurs écrivent ceci: Dans tous les pays, à toutes les époques, les plus pauvres (50% de la population) possèdent toujours moins de 10% du patrimoine total, et les plus riches (10% de la population) plus de 50%. Comment se traduit cette affirmation avec la courbe de Lorenz L associée au patrimoine? A : L(0, 5) 0, 1; L(0, 1) 0, 5; B : L(0, 5) 0, 1; L(0, 9) 0, 5 C : L(0, 5) 0, 1; L(0, 9) 0, 5; D : L(0, 5) 0, 1; L(0, 9) 0, 5 La deuxième affirmation veut dire également que les 90% les moins riches ont moins de 50% du patrimoine total. Question 10 Soit une courbe de Lorenz dont on sait que L(0, 5) = 0, 1; L(0, 9) = 0, 5. Donner une inégalité relative à l indice de Gini, qui est associée à un calcul de surfaces. A : Gini 0, 5; B : Gini 0, 28; C : Gini 0, 56; D : Gini 0, 9. Le double des surfaces des deux triangles et du trapèze compris entre la diagonale et les trois segments de droite est égal à (0, 5 0, 4) + (0, 4 (0, 4 + 0, 4)) + (0, 1 0, 4) = 0, 2 + 0, , 04 = 0, 56 avec le produit base somme des hauteurs. C est un minorant de l indice de Gini, du fait de la convexité de la courbe de Lorenz. Question 11 Le tableau suivant indique le nombre de voyages professionnels effectués par les cadres d une entreprise : Nombre de voyages Effectifs Calculer le nombre moyen de voyages. A : 3, 5; B : 2, 33; C : 3; D : 10 C est le nombre total (163, somme des produits), divisé par l effectif total (70). 5

6 Question 12 Un cycliste effectue le trajet d une ville A à une ville B à la vitesse de 20 km/h et revient au point de départ à la vitesse de 15 km/h. Quelle est sa vitesse moyenne en km/h? Indication: considérez une distance entre A et B (par exemple 15 km). A : 17, 14; B : 17, 5; C : 17, 32; D : 17, 68 Il faut 15/20=0,75 heures=45 minutes pour faire l aller, et une heure pour faire le retour. Il faut donc 1,75 heure pour faire 30 kilomètres, soit 30/1,75=17,14km/h. La bonne réponse est A. Question 13 Dans la question précédente, quel est le type de la moyenne calculée, si les poids sur les deux villes sont de 1/2? A : arithmétique; B : géométrique; C : harmonique; D : quadratique Si v i et d i sont les vitesses et durées du trajet ( i = 1 pour l aller, et i = 2 pour le retour), et si v est la vitesse moyenne, on a d i = 15, i = 1, 2; v = 30 = 30 v i d 1 + d 15 2 v v 2 v = 0, 5 + 0, 5. v 1 v 2 Question 14 Une quantité Q a augmenté de 18% en un an. Quel taux de variation faudrait-il lui appliquer l année suivante pour la ramener à sa valeur initiale? A : 17, 5%; B : 9%; C : 18%; D : 15, 25% (1/1,18)-1=-0,1525. Question 15 Une quantité Q augmente de 12% sur une année: calculer, en pourcentage, le taux mensuel qui donnerait le même accroissement. A : 1%; B : 1, 05%; C : 0, 95%; D : 0, 88% 6

7 1, 12 1/12 1 = 1, = 0, 95%. Question 16 Une quantité Q a varié de 2%, -1%, -0,5% et 1,2% sur quatre trimestres consécutifs. Calculer, en pourcentage, le taux annuel correspondant. A : 1, 68%; B : 1, 7%; C : 0, 425%; D : 0, 425% 1, 02 0, 99 0, 995 1, 012 = 1, La bonne réponse est A. Question 17 Les revenus d un salarié ont augmenté de 5% sur une année mais pendant la même période les prix à la consommation ont augmenté de 3%. Calculer en pourcentage la variation de son pouvoir d achat. A : 2%; B : 1, 67%; C : 1, 94%; D : 1, 9% 1, 05/1, 03 = 1, Une entreprise a produit 3 biens dont les prix P et les quantités Q pour les années 2010 et 2014 sont indiqués dans le tableau suivant : Bien 1 Bien 2 Bien 3 P Q P Q P Q , , , , ,1 50 Question 18 Calculer l indice de Laspeyres des prix pour l année 2014 en prenant une base 100 en A : 95, 12; B : 105, 14; C : 101, 33; D : 102, 27 L 2014/2010 (p) = h ph 1q h 0 h ph 0 qh 0 = 2477 = 105, 14% =

8 Question 19 Calculer l indice de Paasche des quantités pour l année 2014 en prenant une base 100 en L 2014/2010 (q) = A : 94, 25; B : 98, 33; C : 96, 55; D : 104, 8 h ph 1q h 1 h ph 1 qh 0 = 2596 = 104, 80% 2477 Question 20 On sait que l indice de Laspeyres est la moyenne arithmétique pondérée des indices élémentaires. Quels sont les poids utilisés pour calculer cette moyenne (ils ont été arrondis au % inférieur, donc leur somme peut varier entre 99 et 101 )? A : 57, 29 et 15%; B : 55, 23 et 21%; C : 70, 18 et 12%; D : 20, 33 et 47% α0 h p h = 0q0 h h ph 0 qh 0 = V 0 = 2356 ; α1 0 = ; α2 0 = ; α3 0 = ; Questions 21 et 22: on dispose de données en classes sur les revenus annuels des ménages en milliers d euros (noté R) et sur leur consommation énergétique pour les biens d équipements électriques en kwh (noté E). La distribution de 120 ménages selon R et E est donnée dans le tableau suivant: E [ [ [ [ [ [ [ [ R [12-16[ [16-20[ [20-24[ Question 21 x% des ménages touchant un salaire entre et euros consomment entre 1200 et 1300 kwh. Quelle est la valeur de x? A : 28, 49; B : 13, 95; C : 30, 76; D : 19, 51 8

9 x = 8/( ) = 8/41 = 19, 51%. Question 22 On suppose que les revenus des ménages sont égaux au milieu de l intervalle auquel ils appartiennent (exemple: les ménages avec un revenu dans l intervalle [12, 16ke[ ont tous un revenu de 14ke). Quel est l écart-type des salaires (en euros) des ménages consommant entre 900 et 1000 kwh? A : 3494; B : 3116; C : 2957; D : 2675 La variance est la moyenne des carrés des milieux, pondérée par les effectifs, moins le carré de la moyenne (calculée avec la même pondération). La racine carrée donne l écart-type en milliers d euros. On a donc classe de revenu i effectif n i salaire x i (ke) x 2 i i = = 196 i = = 324 i = = 484 V (x) = x 2 x 2 ; σ(x) = V (x). i x = n ix i = = 356 i n = 17, 8. i = = 20 x 2 i = n ix 2 i = = 6480 i n = 324. i = = 20 V (x) = x 2 x 2 = 324 (17, 8) 2 = 7, 16. σ(x) = V (x) = 7, 16 = 2, 6758 ke 2676 e Le tableau suivant contient l information sur le nombre d années de scolarisation (noté S) et les salaires en euros (noté W) de 5 individus (i=1,...,5). La scolarisation moyenne est de 14,4 ans et le salaire moyen est de 1820 euros. i S W En utilisant ces données on estime le modèle de régression linéaire suivant: W i = α + βs i + ε i 9

10 avec la méthode des moindres carrés. Les questions relatives à cette estimation vont de 23 à 26. Question 23 Quelle est la valeur de ˆα? A : 281, 06; B : 293, 44; C : 297, 18; D : 309, 63 S = 14, 4; W = 1820; S W = /5 = 27760; Cov(S, W ) = S W (S W ) = 1552; S 2 = 1110/5 = 222; V (S) = S 2 S 2 = 14, 64; β = Cov(S, W )/V (S) = 106, 01; ˆα = W βs = 293, 44. Question 24 Indiquer parmi les affirmations suivantes sur le coefficient de détermination (R 2 ), celle qui est fausse. A: R 2 est donné par le rapport entre la variance expliquée et la variance totale. B: R 2 peut prendre toutes les valeurs comprises entre -1 et +1. C: Plus l estimation est bonne, plus R 2 augmente. D: Plus la covariance entre les deux variables de la régression augmente, plus R 2 est élevé. Le R 2 est positif. Question 25 Quelle est la valeur de R 2? A : 0, 75; B : 0, 75; C : 0, 81; D : 0, 85 10

11 R 2 = V (Ŵ )/V (W ) = V ( βs)/v (W ) = β 2 V (S)/V (W ) = 0, 85. Question 26 Avec les résultats de l estimation, indiquer l effet sur le salaire de deux années de scolarisation supplémentaire. A : +212 euros; B : +586 euros; La hausse est de 2 β. La bonne réponse est A. C : 586 euros; D : 5% Le tableau ci-dessous présente l évolution trimestrielle du taux de chômage (en %) chez les hommes en France entre 2006 et T1 T2 T3 T ,7 8,7 8,3 8, ,2 7,9 7,8 7, ,1 7,3 7,2 7,5 On note le taux de chômage au temps t par U t avec t = 1,..., 12. La moyenne 12 de la variable U t sur cette période est de 7, 85. On a également t U t = 591, 3; 12 et t 2 = 650. t=1 On estime un modèle linéaire sur le temps pour cette série chronologique. Question 27 Quelle est l équation du trend dans le cadre d un modèle additif? A : f t = 0, 292t 5, 6; B : f t = 0, 435t + 7, 742; t=1 C : f t = 0, 147t + 8, 804; D : f t = 0, 091t 12, 606 Les formules ont été rappelées à la question 23. Question 28 Quel est l effet saisonnier du troisième trimestre, i.e. S 3? A : 0, 01; B : 0, 066; C : 0, 066; D : 0,

12 S 3 = ((8, 3 + 7, 8 + 7, 2)/3) f 7 = 0, 01. La bonne réponse est A. Question 29 Quelle est la valeur de la série corrigée des variations saisonnières pour le troisième trimestre de 2008? A : 7, 65; B : 7, 21; C : 7, 21; D : 6, 05 On retire l effet saisonnier à l observation courante. Question 30 Quelle est la valeur prévisionnelle du taux de chômage au troisième trimestre de 2010? Prévision: f 19 + s 3 = 6, 004. Réponses A : 5, 26; B : 7, 38; C : 7, 11; D : 6 Grille des réponses Question 1 B Question 16 A Question 2 B Question 17 C Question 3 D Question 18 B Question 4 C Question 19 D Question 5 B Question 20 B Question 6 C Question 21 D Question 7 A Question 22 D Question 8 C Question 23 B Question 9 D Question 24 B Question 10 C Question 25 D Question 11 B Question 26 A Question 12 A Question 27 C Question 13 C Question 28 A Question 14 D Question 29 B Question 15 C Question 30 D 12