Comment valider une méthode de morphologie mathématique couleur

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1 Comment valider une méthode de morphologie mathématique couleur Audrey LEDOUX Laboratoire XLIM-SIC UMR CNRS 6172 GDR ISIS jeudi 13 octobre /36

2 Contexte La morphologie mathématique est : développée à partir des opérations de Minkowski par Matheron [Mat75] et Serra [Ser82] ; fondée sur la recherche d extrema dans un ensemble de valeurs définies sur un domaine spatial [Ron90] ; étendue à la couleur de différentes manières dans la littérature. FIGURE: Quelques couleurs dans l espace RGB 2/36

3 Écriture de notre opérateur de dilatation Écriture de notre opérateur de dilatation à partir de distances couleur : C 1 C 2 C 1 O + C 2 O + 3/36

4 Écriture de notre opérateur de dilatation Écriture de notre opérateur de dilatation à partir de distances couleur : S D8 = S D7 = S D6 = { C y : C y O = Cx S D7 { C y : C y C i = Cx S D6 { C y : C y O + = x (D f D g ) { C x O } } ; { C x C i } } ; { C x O + } } ; 3/36

5 Écriture de notre opérateur de dilatation Écriture de notre opérateur de dilatation à partir de distances couleur : S D10 = {f (x)} = x (D f D g ) S D9 = S D8 = S D7 = S D6 = { C y,c y = Cx S D9 { Cx β } } ; { C y : C y = { } } Cx α ; Cx S D8 { C y : C y O = Cx S D7 { C y : C y C i = Cx S D6 { C y : C y O + = x (D f D g ) { C x O } } ; { C x C i } } ; { C x O + } } ; 3/36

6 Résultats (après 5 dilatations) méthode d Hanbury [HS01] méthode de Lopez [AS03] notre méthode [RCLIL10] (ES croix 3x3) (ES croix 3x3) (Noir/Blanc, ES croix 3x3, E 2000 ) 4/36

7 Résultats (après 5 dilatations) méthode d Hanbury [HS01] méthode de Lopez [AS03] notre méthode [RCLIL10] (ES croix 3x3) (ES croix 3x3) (Noir/Blanc, ES croix 3x3, E 2000 ) Quelle est la meilleure approche? 4/36

8 Comment valider? Validation visuelle quels critères subjectifs? Dépend des images choisies et de l application Validation des opérateurs par les propriétés bas niveaux Dualité Idempotence Associativité... Validation statistique de l ordonnancement. Vitesse de convergence. Vérification de la stabilité numérique dans un schéma multi-échelle (dimension fractale). 5/36

9 Déroulement 1 La propriété de dualité 2 Validation statistique 3 Vitesse de convergence 4 Dimension fractale 5 Applications 6 Apports et perspectives 6/36

11 Pourquoi la dualité? Pour que les opérateurs de dilatation et d érosion soient valides, ils doivent être duaux. (F c B) c (x,y) = (F B)(x,y) (1) (F c B) c (x,y) = (F B)(x,y) (2) 8/36

12 Preuve de la dualité 9/36

13 Principe de la démonstration FIGURE: Relation de dualité entre un pixel couleur et son complémentaire A ce jour, seule méthode bénéficiant d une démonstration théorique de la dualité. Démonstration décomposée, étape par étape, pour vérifier que chaque contrainte répond à la propriété. Validation numérique nécessaire pour vérifier la faisabilité numérique et palier au manque de démonstration des autres méthodes. 10/36

18 Validation numérique FIGURE: schéma de calcul des différences entre les images 1 et 2 initiales 11/36

19 Images des différences : méthodes d Hanbury et de Lopez méthode d Hanbury [HS01] méthode de Lopez [AS03] notre méthode [RCLIL10] (Noir/Blanc, E 2000 ) Somme des différences = 7908 Somme des différences = 1742 Somme des différences = 0 FIGURE: image des différences entre l image dilatée et l image complémentaire de l érodée de la complémentaire, avec les différentes méthodes 12/36

20 Différences sur la base Vistex n image LSH IRGB CMMBW n image LSH IRGB CMMBW TABLE: distance cumulée entre les images calculées par les deux chemins possible pour obtenir l image érodée, pour une vingtaine d images de la base Vistex méthodes LSH IRGB CMM BW moyenne écart type TABLE: moyennes et écart types des distances cumulées pour chaque méthode sur toute la base d images Vistex 13/36

22 Pourquoi une validation statistique? L ordonnancement des valeurs est essentiel à la morphologie mathématique couleur. 1 ère étape : validation visuelle critère subjectif. 2 ème étape : validation statistique critère objectif. 15/36

23 Comparaison E et E 2000 Problème de linéarité perceptuelle observé a b c FIGURE: Dilatation de l image "Le chanteur" de Miro avec le blanc comme point de convergence et un élément structurant carré 5x5 (a) zoom sur l image dilatée avec E ; (b) zoom sur l image originale ; (c) zoom sur l image dilatée avec E Comment valider le critère de l ordonnancement? 16/36

24 La propriété de dualité Validation statistique Vitesse de convergence Dimension fractale Applications Apports et perspectives Génération de dégradés 17/36 A. LEDOUX Laboratoire XLIM-SIC UMR CNRS 6172

25 Comparaison statistique generators E E 2000 IRGB LSH SLH grey level 0% 0% 0% 0% 0% RGB < 1% < 10% > 95% > 95% > 95% S 0% 0% 0% 0% 0% HSL L < 16% < 7% 0% 0% 0% H < 25% < 27% 30% < 26% < 25% CIELAB 0% 0% 3 > 90% > 90% > 90% TABLE: taux d erreurs d ordonnancement de chaque méthode en fonction des différents générateurs 3 si E 2000 < 35 18/36

27 Pourquoi la vitesse de convergence? Morphologie : filtrage avancée (ASF), Spectres (ouverture, motifs,...) dépendant de la taille de l ES dépendant du nombre d itération L ordonnancement influe sur la réduction du nombre de couleurs différentes considérées impact sur la décroissance du nombre de couleurs /itérations ou taille des éléments structurants. impact sur le nombre d itération ou taille de l élément structurant induisant une couleur unique en réponse à l opérateur Base pour un critère d efficacité numérique du traitement (aspect complexité combinatoire) 20/36

28 Définition soit I ±, les coordonnées couleur idempotentes pour l image : I ± sont définies telles que pour une taille d ES suffisante, le résultat de l opération morphologique soit une image uniforme de couleur I ± I + = I = C x (3) x D f,d f D g D f C x (4) x D f,d f D g D f soit N I ±, le nombre d itérations nécessaires pour un ES de taille 3x3 pour obtenir une image uniforme de couleur I ± 21/36

29 Résultats CMM BW MmGRB IRGB BGR 100 itérations 100 itérations 108 itérations 128 itérations 22/36

30 Critère valide? Critère non discriminable en dehors d un contexte applicatif particulier (connaissance de la couleur de convergence finale par exemple). Vitesse de réduction des nuages comparables et apparemment indépendante des choix d ordonnancement. 23/36

32 Pourquoi la dimension fractale? Serra dans [Ser82], propose un estimateur de dimension fractale basée sur les opérateurs morphologique : ( ) (M (V (X ρb)) (V (X))) d bm = lim d (5) ρ 0 ρ formule largement utilisée en images Niveau de gris : méthode du Covering-Blanket traitement multi-échelle morphologique : évolution de la dilatation vs erosion selon les itérations. Critère de précision morphologique : estimation de la dimension fractale calculée pour des images de synthèse connues (colour aproache with midpoint diplacement (Ivanovici, Richard [IR10]) Plusieurs critères de comparaison (R 2, corrélation,...) 25/36

33 Résultats BUT : Calculer la dimension fractale de l image et la comparer avec la théorique Premiers résultats sur 50 images fractales par dimension : méthode d Hanbury méthode de Lopez notre méthode 26/36

34 Résultats Quelques paramètres calculés à partir des courbes : LSH IRGB CMM BW R 2 0,9905 0,9907 0,9835 Cor 0,9955 0,9952 0,9917 equation y = 0,777x + 0,1823 y = 0,955x + 0,1161 y = 0,973x + 0,0616 D y 0, , , /36

35 Comparaison des résultats pour la dimension fractale Pas une meilleure méthode! Chaque méthode est meilleure pour un seul critère! Limites générateur dans RGB pas représentatif de la physique des matériaux ou de la perception humaine. corrélation entre les plans dépendantes de l espace de génération choisi, indépendant de la physique de perception ou de génération limites connues du générateur pour les faibles et fortes dimensions Problématique de l intégrale de Surface ou de Volume Couleur Définition de Serra, Peleg, Minkowski : induit un ES Non Plat traitement sur ESP pour des résultats comparables Seule l approche CMM proposée permet une extension sur ESNP 28/36

37 Importance du points de convergence Le choix du point de convergence permet de faire ressortir ou disparaître les éléments voulus : vers le blanc vers le fond 30/36

38 Importance du points de convergence Le choix du point de convergence permet de faire ressortir ou disparaître les éléments voulus : vers le blanc vers le fond 30/36

39 Gradient Exemple de gradient : 31/36

40 Signatures fractales Comparaison signatures fractales : 32/36

46 Apports et perspectives Apports théoriques : Nouvelle méthode perceptuellement linéaire avec une expression pleinement vectorielle ; Recherches de critères pour comparer et valider une méthode ; Validation de notre méthode pour la propriété de dualité. Validation statistique de notre méthode pour l ordonnancement. Critère de la vitesse de convergence : non déterminant Détermination de la dimension fractale : limitation des résultats connue Perspectives : Validation de l idempotence pour l ouverture et la fermeture Validation applicative : Filtrage Compléter l étude fractale avec un ESNP 34/36

47 Merci de votre intérêt. 35/36

48 J. Angulo and J. Serra. Morphological coding of color images by vector connected filters. In Signal Processing and Its Applications, Proceedings. Seventh International Symposium on, volume 1, pages IEEE, A. Hanbury and J. Serra. Mathematical morphology in the hls colour space. In Proceedings of the British Machine Vision Conference, pages Citeseer, M. Ivanovici and N. Richard. Fractal dimension of colour fractal images. IEEE TRansactions on Image Processing, PP(99) :DOI : /TIP , July G. Matheron. Random sets and integral geometry. John Wiley & Sons Inc, New-York, February N. Richard, A.S. Capelle-Laizé, M. Ivanovici, and A. Ledoux. Colour mathematical morphology based on colour distances : Theory and validation. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, page Submitted, C. Ronse. Why mathematical morphology needs complete lattices. Signal Processing, 21(2) : , J. Serra. Image Analysis and Mathematical Morphology, volume I. Academic Press, /36

49 Écriture de notre opérateur de dilatation Écriture de notre opérateur de dilatation à partir de distances couleur : C i C j C i D C j D OU C i D = C j D ET C i C q C j C q OU C i D = C j D ET C i C q = C j C q ET C i E C j E OU C i D = C j D ET C i C q = C j C q ET C i E = C j E ET α Ci α Cj OU C i D = C j D ET C i C q = C j C q ET C i E = C j E ET α Ci = α Cj ET β Ci β Cj 36/36

50 Écriture de notre opérateur de dilatation Écriture de notre opérateur de dilatation à partir de distances couleur : C i C j C i D C j D OU C i D = C j D ET C i C q C j C q OU C i D = C j D ET C i C q = C j C q ET C i E C j E OU C i D = C j D ET C i C q = C j C q ET C i E = C j E ET α Ci α Cj OU C i D = C j D ET C i C q = C j C q ET C i E = C j E ET α Ci = α Cj ET β Ci β Cj 36/36