Chapitre 13 Techniques de prévision et de gestion commerciale

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1 Chapitre 13 Techniques de prévision et de gestion commerciale Corrigé de l exercice Vérification Par le graphique Corrigés des entraînements du manuel Ventes Budget de publicité Le nuage n est pas franchement allongé. La corrélation semble faible. Par le coefficient de corrélation Désignons par x... le budget publicitaire y... les ventes Σx i = 199 Σy i = Σx i y i = Σx² i = 9 Σy² i = ² 9 0² Avec décalage entre publicité et ventes Décalage d un mois Σx i = 171 Σy i = Σx i y i = = 0,3 Corrélation très faible.

2 Σx² i = 3 5 Σy² i = ² 8 750² = 0,6 Corrélation médiocre. Décalage de deux mois Σx i = 150 Σy i = 8 0 Σx i y i = Σx² i = 3 00 Σy² i = ² 80² Conclusion = 0,1 Très mauvaise corrélation. Il semble qu il y ait une certaine corrélation entre publicité et ventes quand le décalage est de un mois mais cette corrélation reste insuffisante pour justifier un ajustement linéaire. Corrigé de l exercice Représentation graphique Ventes Années 1. Coefficient de corrélation Désignons par x... les années (de 1 à ) y... les ventes (en milliers de tonnes) Σx i = 55 Σy i = 1 0 Σx i y i = 7 960

3 Σx² i = 385 Σy² i = ² 1 0² = 0,98 Excellente corrélation. 3. Ajustement linéaire a = = 15,15 x = 6,5 y = 1 55² = 15,15 5,5 + b b = 38,7 L équation est : y = 15,15 x + 38, 7. Prévision des ventes en N+11 En N+11, x = 1 y = 15, ,7 = 0,5 milliers de tonnes. 5. Corrélation avec Rondor Désignons par x... les ventes totales françaises y... les ventes de Rondor Σx i = 783 Σy i = 130 Σx i y i = Σx² i = Σy² i = ² 130² Prévision des ventes de Rondor Droite ajustée a = 5 783² = 0,16 x = 156,6 y = 6 6 = 0,16 156,6 + b b = 0,3 L équation est : y = 0,16 x + 0,3 Prévision pour N+11 y = 0,16 0,5 + 0,3 = 36,5 milliers de tonnes = 0,997 Corrélation pratiquement parfaite

4 Corrigé de l exercice Représentation graphique 30 Demande (en millions) Prix (en dollars) La demande est une fonction décroissante du prix. La courbe ressemble à celle d une fonction puissance avec un exposant négatif.. Transformation logarithmique des données y = b.x a log y = a.log x + log b Prix x Log x,00000,303,771,6006,69897,77815,85,90309,95 3,00000 Demande y ,5 5,5,3 3,5 Log y 1,3979 1,1761 1,01 0,95 0,851 0,819 0,6990 0,653 0,6335 0,51 3. Corrélation 3.1. Graphique Log de la demande 1,6000 1,000 1,000 1,0000 0,8000 0,6000 0,000 0,000 0, ,5 1 1,5,5 3 3,5 Log du Prix

5 Les points sont sensiblement alignés ce qui justifie une régression linéaire. 3.. Coefficient de corrélation Σlog x i = 6,56 Σlog y i = 8,757 Σlog x i.log y i =,9 Σ(log x i )² = 71,5 Σ(log y i )² = 8,3 6,56 8,757,9 6,56² 8,757² 71,5 8,3. Paramètres de la droite des moindres carrés = - 0,995 Corrélation négative parfaite 6,56 8,757,9 a = = -0,8 l og x =,66 l og y = 0,8757 6,56² 71,5 0,8757 = -0,8,66 + log b log b = 3,11 L équation est : log y = -0,8 log x + 3,11 5. Équation de la fonction puissance b = 3,11 = 1 88 y = 1 88 x -0,8 6. Élasticité demande/prix Prix (x) Δx Δx / x Δy Δy / y Élasticité = Δy y Δx x 0 1 0,01-0,39-0,0083-0, ,00-0,0117-0,0017-0, ,001-0,0033-0, ,85 On remarque que l élasticité est ici sensiblement constante. Elle est égale à l exposant de la fonction puissance.

6 Corrigé de l exercice Représentation graphique Chiffre d'affaires Trimestre. Transformation semi-logarithmique des données y = b.a x log y = x.log a + log b Trimestre Chiffre d affaires y Log y 3,30 3,51 3,95,1761,771,819

7 3. Corrélation 3.1. Graphique 6,0000 5,0000 Logarithme du CA,0000 3,0000,0000 1,0000 0, Trimestre Les points sont sensiblement alignés ce qui justifie une régression linéaire. 3.. Coefficient de corrélation Σ x i = 1 Σlog y i =,66 Σx i.log y i = 90,19 Σ x i ²= 91 Σ(log y i )² = 99,7 1,66 90,19 6 1²,66² 91 99, Paramètres de la droite des moindres carrés = 0,998 Corrélation positive parfaite 1,66 90,19 log a = 6 = 0,303 x = 3,5 l og y =,0 1² 91 6,0 = 0,303 3,5 + log b log b =,986 L équation de la droite est : log y = 0,303 x +, Équation de la fonction exponentielle a = 0,303 =,006 b =,986 = 969 y = 969,006 x

8 6. Extrapolation de la tendance Le 1 er trimestre N+ est le trimestre de rang 7. y = 969,006 7 = milliers d euros. L extrapolation repose sur l hypothèse que le taux d accroissement du chiffre d affaires trimestriel (plus de 00 %) va se maintenir. C est une hypothèse hasardeuse. La croissance des ventes devrait se ralentir. Corrigé de l exercice Tendance 1.1. Coefficient de corrélation Σx i = 36 Σy i = 35 Σx i. y i = 990 Σx i ² = 0 Σy i ² = ² 35² Les ventes sont indépendantes du temps 1.. Ajustement linéaire = 0, Absence de corrélation a = 8 = 0,77 x =,5 y = 30,3 36² ,3 = 0,77,5 + b b = 300,8 L équation de la droite est : y = 0,77 x + 300,8 Les ventes ne progressent en moyenne que de 0,77 millions par an pour un total de 300 millions. Cette progression est négligeable. La droite ajustée est presque horizontale Conclusion La tendance est pratiquement stationnaire ; le lissage exponentiel est donc une méthode pertinente de prévision.. et 3. Lissage Année Ventes Prévision

9 Corrigé de l exercice Étude de la tendance 1.1. Choix du modèle CA N-5 N- N-3 N- N-1 N Années L'étude graphique à échelles arithmétiques montre que la tendance n'est pas loin d'être linéaire mais que la pente de la courbe tend à se redresser vers la droite ; ceci pourrait donc être le reflet d'une croissance exponentielle C.A. 0 Sur un graphique à échelles semi-logarithmiques, la représentation de la série des chiffres d'affaires est sensiblement rectiligne ce qui confirme l'hypothèse d'une croissance exponentielle. 1 N-5 N- N-3 N- N-1 N Années 1.. Ajustement d'une fonction exponentielle En désignant le rang de l'année par x (x = 1 pour l'année N-5) et le chiffre d'affaires par y, la fonction exponentielle est de la forme y = a. b x log y = log a + x.log b. Ajustons cette dernière fonction par la méthode des moindres carrés. Années x y log y x.log y x² (log y)² (a) N , , ,6939 N , ,056593,0615 N , , ,6976 N- 65 8, , ,17757 N ,867898, , N , ,558 36, Total 1 8, , ,98303 (a) Cette colonne sera utilisée pour la question 1.3. x = 1 6 = 3,5 log 8, y = =,786 6

10 log b = x.log y n x log y 1, 6 3, 5,786 = x n x ,5 = 0,053 b = 0,053 = 1,13 log a = log y log b. x =,786 3,5 0,053 =,6 a =,6 = La fonction ajustée est donc : y = , Corrélation x.logy n x logy ( x )( ) ( )( ) n x (logy) n logy ,5 137,5 6, 786 La corrélation est presque parfaite. 1.. Estimation du CA de N+1 = x 1, 6 3,5,786 = 0,999 Pour N+1, x = 7 et l'estimation du chiffre d'affaires est y = , 13 7 = Étude des variations saisonnières.1. Moyennes mobiles Moyennes mobiles de quatre trimestres consécutifs (a) (b) (c) (a) = (b) = (c) = etc... Moyennes mobiles deux à deux des moyennes mobiles ci-dessus 1 er trimestre e trimestre 3 e trimestre e trimestre N (a) (b) N (c) N (a) = (b) = (c) = etc...

11 .. Coefficients saisonniers multiplicatifs Rapports des données brutes aux moyennes mobiles 1 er trimestre e trimestre 3 e trimestre e trimestre N- 1, (a) 1, (b) N-1 0, , , , N 0, , (a) = 1, (b) = 1,0517 etc... Moyenne des rapports 1 er trimestre e trimestre 3 e trimestre e trimestre Total 0,599 (a) 0, , , , , ,599 (a) = 0,59 Ajustement des rapports La somme des rapports devrait théoriquement être égale à. Ceci est réalisé par un ajustement des rapports. 1 er trimestre e trimestre 3 e trimestre e trimestre Total 0, (a) 0, , , (a) 0,59 3,9817 = 0,5950 Les rapports ajustés seront retenus comme coefficients saisonniers..3. Estimation des ventes de N+1 Tendance exponentielle des ventes trimestrielles Rappelons que la tendance des ventes annuelles est donnée par la fonction exponentielle : y = , 13 x (voir question 1.). La tendance des ventes trimestrielles est égale au quart de la tendance des ventes annuelles. Le milieu de l'année N+1 (30.06.N+1) correspond à x = 7. Les milieux des quatre trimestres 15, de N+1 correspondent respectivement à x = 7 = 6,65 pour le 15.0.N+1, x = 7 05, = 6,875 pour le N+1, x = , = 7,15 pour le N+1 et x = , = 7,375 pour le N er trimestre e trimestre 3 e trimestre e trimestre x 6,65 6,875 7,15 7, ,13 x

12 Application des coefficients saisonniers à la tendance des ventes trimestrielles 3. Discussion 1 er trimestre e trimestre 3 e trimestre e trimestre Total de l'année N (a) (b) (a) 369 0,595 = 13 3(b) ,939 = etc Validité des méthodes La prévision par extrapolation de la tendance est fondée sur l'hypothèse de la continuation de la tendance passée. Cette hypothèse est contestable dans un environnement changeant et incertain. Elle n'est à la rigueur admissible qu'à court terme. De plus, cette méthode n'explique pas les causes du phénomène. 3.. Autres approches Modèles de causalité Identification des variables explicatives. Étude de leur corrélation avec les ventes. Prévision des ventes basée sur la prévision des variables explicatives. Techniques de simulation Tests de plusieurs scénarios affectés de probabilités subjectives. Corrigé de l exercice Étude de la fonction de demande 1.1. Variation de la demande ΔD en fonction de la variation du prix ΔP La variation relative de la demande par rapport au prix est exprimée par la fonction d élasticité : ΔD Élasticité demande/prix = D = ΔD ΔP D Δ PP = Δ D ΔP P D = P ΔD = ( ) D ΔP = ( ) ΔP = 30 ΔP P 600 ΔD = 30 ΔP 1.. Niveau de la demande, chiffre d'affaires et résultat Soit x le taux de variation du prix qui devient 600 (1 + x) = x ΔP = 600 x Niveau de la demande = ( x) = x Chiffre d affaires correspondant = ( x) ( x) = x² x Résultat correspondant = chiffre d affaires coûts variables coûts fixes = x² x ( x) 30

13 . Étude de rentabilité.1. Recherche de la zone de rentabilité = x² x Nous devons chercher les valeurs de x pour lesquelles le résultat est nul. Il faut, à cet effet, identifier les racines du trinôme du second degré qui représente le résultat. Soit Δ le discriminant : Δ = b² ac = ² ( ) = 1,506 E + 13 Le trinôme admet deux racines entre lesquelles le trinôme (et donc le résultat) est positif : x = b + Δ = 1,7 % x = b Δ = + 1,39 % a a L activité est rentable pour tout prix situé dans la fourchette 511,68 et 78,3 (prix obtenus d'après les variations de 1,7 % et + 1,39 %)... Calcul de la marge Variation du prix 88,3 18,3 Variation de la demande Nouveau prix 511,68 78,3 Quantités vendues Marge sur coûts variables - unitaire 171,68 388,3 - totale Coûts fixes Résultat 3 17 Remarque : les résultats sont très proches de zéro ; les valeurs non nulles sont dues à l arrondi à la deuxième décimale des pourcentages de variation des prix. 3. Étude du prix optimal 3.1. Détermination du prix optimal La fonction de résultat admet un extremum pour la valeur de x qui annule la dérivée. f (x) = résultat = x² x f ' (x) = x = 0 f ' (x) est égale à zéro pour x = 3,33 % Le résultat est maximal pour une progression du prix de 3,33 %. À l optimum : - prix = 60 - quantités vendues = (0 30) = 8 00 unités - résultat = [8 00 (60 30) ] =

14 Remarque : on vérifie l amélioration du résultat par rapport à la situation actuelle qui dégage un résultat de [ ( ( ) ] = Fixation du prix de vente Le prix doit être fixé en fonction des objectifs de l entreprise : - gain de parts de marché prix de 51 qui assure un marché de montres tout en couvrant les charges ; - résultat maximal prix de 60. Le prix doit rester fixé dans la fourchette [51 ; 60 ]. Corrigé de l exercice 13.8 J F M A M J Q V Q V Q V Q V Q V Q V M M M Total J A S O N D Q V Q V Q V Q V Q V Q V M M M Total