Onde ou corpuscule? La particule quantique dans l'espace libre. Pourquoi enseigner la mécanique quantique en tronc commun de l'x?

Transcription

1 Pourquoi enseigner la mécanique quantique en tronc commun de l'x? Démarche, outils et buts du cours Point de départ : epériences «fondatrices» Révolution conceptuelle La mécanique quantique est une «théorie cadre» de la physique. Une particule possède un double aspect corpusculaire et ondulatoire. Remise en cause des concepts de «bon sens»: trajectoires, mesures, déterminisme. Révolution technologique Plus de 50% du PIB des pays développés découle directement de la technologie à base quantique. Composants électroniques, lasers, nucléaire, systèmes d'imagerie, Interférences de particules matérielles, effet tunnel Illustrations epérimentales : polarisation, transformée de Fourier Les outils mathématiques Distributions de probabilité Transformation de Fourier Algèbre linéaire Perspectives Epliquer des points fondamentau comme la stabilité de la matière, la radioactivité, la liaison chimique. Comprendre le fonctionnement de dispositifs high tech comme le laser, le microscope à effet tunnel, l'imagerie par résonance magnétique. Le cours de mécanique quantique Cours en amphi : Manuel Joffre & Philippe Grangier J-L Basdevant & Jean Dalibard Petites classes : Jacqueline Bloch Antoine Browaeys Sébastien Corde Bruno Gérard Mark Oliver Goerbig Jongwook Kim Mathias Kobylko Yann Le Bouar Karyn Le Hur Thierry Mélin Pascal Paganini Jean-Eric Wegrowe Onde ou corpuscule? La particule quantique dans l'espace libre Un logiciel Java : illustrations et simulations du cours, Manuel Joffre Une page web : enseignement/annee-/mecanique-quantique-phy3 QCM : en ligne le mercredi matin, réponse avant le lundi suivant 23h59 Chapitre et début du chapitre 2

2 Les deu nuages de Lord Kelvin. 27 avril 900, Lord Kelvin : «La beauté de la théorie dynamique, qui pose que la chaleur et la lumière sont des modes de mouvement, est actuellement obscurcie par deu nuages» Des nuages de Lord Kelvin à l'onde de Louis de Broglie Détection du mouvement de la terre par rapport à l'éther? Résultat négatif de l'epérience de Michelson et Morley (887) Equipartition de l'énergie à l'équilibre thermodynamique? Gaz de molécules, rayonnement du corps noir théorie de la relativité mécanique quantique technologie nucléaire électronique & lasers Lord Kelvin ( ) Louis de Broglie ( ) abandon de la notion de temps absolu abandon du déterminisme Lumière émise par un corps matériel quand il est en équilibre thermique à la température T Eemple : la surface du soleil Le rayonnement du «corps noir» intensité (Watts/m²/nm) 2 0 I Planck (,T)= 2 hc2 5 I cl. (,T)= 2 c 4 k BT longueur d'onde (micromètre) e hc k B T Les premiers quanta : Planck (900) Eplique le rayonnement du corps noir en faisant l'hypothèse que des oscillateurs mécaniques chargés, de fréquence ν, ne peuvent émettre ou absorber l'énergie lumineuse que par quantités discrètes 98 Courbe universelle, ne dépendant que de T, que la physique classique ne sait pas epliquer 4

3 Le photon d'einstein (905) L'hypothèse de Louis de Broglie (923) Etude de l'effet photo-électrique => la lumière elle-même a des propriétés quantiques. Pour une lumière de pulsation ω et de vecteur d'onde, le quantum de rayonnement (baptisé «photon» par Lewis en 926) a une énergie et une impulsion: Cette nature granulaire est-elle en contradiction avec une équation d'onde qui est continue (Mawell)? Comment comprendre cette dualité des propriétés de la lumière qui peuvent être à la fois ondulatoires (epériences des fentes d'young) et corpusculaires? 92 Cette dualité eiste-t-elle également pour les particules matérielles? A toute particule matérielle de masse m et d'impulsion p =mv, on peut associer une onde de vecteur d'onde soit une longueur d'onde ou encore 929 Einstein à Langevin, 924 : «Le travail de Louis de Broglie m'a grandement impressionné. Il a soulevé un coin du grand voile [ ]. Si vous le voyez, veuillez lui témoigner toute mon estime et ma sympathie.» Maurice de Broglie, 945 : «C'est donc une véritable révolution de la pensée qui s'est opérée depuis vingt ans [...]. C'est un chambardement général, et vous en êtes grandement responsable.» Epériences d'interférences avec des électrons 2. Les ondes de matière et leurs interférences A. Tonomura et son équipe Hitachi Research Laboratory dispositif voisin de l'epérience du «bi-prisme» de Fresnel diffraction d'électrons 927 H = m Davisson & Germer George Thomson énergie E = 50 kev vitesse v = 0.4 c 0 électrons par seconde 937 filament de diamètre de l'ordre de µm

4 La détection des électrons Le résultat de l'epérience Un électron est détecté en un point de l'écran, et pas sur une tache étendue : particule ponctuelle Le point d'impact (,y) d'un électron donné semble aléatoire. y ( 2,y 2 ) (,y ) Deu électrons préparés dans ce qui paraît être des conditions initiales identiques ont des points d'impacts différents. Nombre d'électrons accumulés sur l'écran : (a) 8 électrons; (b) 270 électrons; (c) 2000 électrons; (d) électrons. Le temps d'eposition total jusqu'à l'étape (d) est d'environ 30 min. La fonction d'onde et son interprétation probabiliste Principe : La description complète de l'état d'une particule de masse m dans l'espace à l'instant t se fait au moyen d'une fonction d'onde complee : Interprétation probabiliste On prépare successivement N particules, toutes dans la même fonction d'onde : fonction continue des variables d'espace La probabilité de trouver la particule à l'instant t dans un volume entourant le point est : : amplitude de probabilité : densité de probabilité fonction d'onde «normée» Pour chaque particule, on fait une mesure de position avec un détecteur de résolution spatiale δ, et on fait un histogramme des résultats : n i / N δ n i : nombre d'atomes détectés dans le canal i On pourra reconstruire avec une bonne précision si N >>

5 Position moyenne : dp () Variance : Valeur moyenne et écart-type 2 = h( hi) 2 i = h 2 i hi 2 avec Point-clé du principe «La description complète de l'état d'une particule de masse m dans l'espace à l'instant t se fait au moyen d'une fonction d'onde» La fonction d'onde contient toute l'information disponible : il n'y a pas d'autre élément dans le formalisme quantique qui pourrait permettre de savoir, avant de faire la mesure, où la particule va être détectée. Le caractère probabiliste et aléatoire ne résulte pas d'une mauvaise connaissance des conditions initiales (comme en théorie cinétique des gaz par eemple), mais fait partie intégrante du formalisme quantique. Einstein («Dieu ne joue pas au dés») s'opposait à ce rôle central de l'aléatoire au sein de la théorie quantique. Ecart-type ou dispersion : dp () Preuve théorique et epérimentale : inégalités de Bell, amphi 6 Point-clé du principe (suite) «La fonction d'onde est une amplitude de probabilité» Si ψ et ψ 2 sont deu fonctions d'onde possibles, correspondant au lois de probabilité P = ψ 2 et P 2 = ψ 2 2, alors 3. L'équation de Schrödinger (particule libre) est également une fonction d'onde possible, correspondant à la loi Interférences! Principe de superposition Ce principe sera essentiel quand on étendra le formalisme à un système physique quelconque 933

6 Quelle équation pour cette onde? Une piste pour chercher l'équation d'onde Equations de Mawell dans l'espace libre : 6 fonctions réelles telles que avec On va utiliser la «relation de dispersion» qui relie : la fréquence et le vecteur d'onde ou, d'une manière équivalente : l'énergie et l'impulsion sachant que le lien onde-corpuscule se fait par: On va chercher de même une équation pour ψ sous la forme: Lumière Matière Corpuscule où F(ψ) fait intervenir ψ et/ou ses dérivées par rapport au variables d'espace, y, z. Einstein multiplié par ~ " divisé par ~ # et on voudrait avoir des solutions de la forme : = 0 e i( k. r t) Onde de Broglie Une piste pour chercher l'équation d'onde (suite) L'équation de Schrödinger On veut que l'onde plane progressive avec soit solution de où F(ψ) fait intervenir ψ et/ou ses dérivées par rapport à,y,z. Imposer au ondes de de Broglie d'être solutions de l'équation d'onde conduit donc au choi : Pour l'onde plane progressive, on a : et il faut donc : i ~ pour 2m k2 = F ( ) = 0 e i( k. r t) Sachant que gradient et Laplacien vérifient : On multiplie les deu membres par et on arrive au : Principe 2 Si la particule est dans le vide et ne subit aucune interaction, la fonction d'onde satisfait l'équation au dérivées partielles une possibilité simple apparaît :

7 Conservation de la norme : Points-clé du principe 2 Points-clé du principe 2 (suite) Traitement quantitatif du phénomène d'interférence en utilisant et on vérifie que a i fr. principe de superposition Essentiel pour l'interprétation de 2 comme une densité de probabilité Les ondes planes de de Broglie D La résolution numérique eacte de avec les conditions au limites appropriées (en particulier ψ nulle sur l'écran hormis les deu trous) rend bien compte du phénomène observé : sont solutions de l'équation de Schrödinger, mais ne sont pas normalisées : cas limite d'une onde normalisée très étalée (comme en électromagnétisme). Diffraction par chacune des fentes Valeur de l'interfrange dans la zone de recouvrement i fr. = D a Utilisation des ondes de de Broglie (I) Utilisation des ondes de de Broglie (II) Le pouvoir de résolution d'un microscope est limité par la longueur d'onde qu'on utilise : en lumière visible, une fraction de micromètre. Microscope électronique : avec des «rayons électroniques» de longueur d'onde beaucoup plus courte, on peut voir des détails beaucoup plus fins qu'avec un microscope optique. E cin = 50 ev v = m/s λ = h/(m v) = Å = 0-4 µm 0 µm 5 µm Utilisation de particules (e: électrons, neutrons) dont la longueur d'onde est bien ajustée à l'échelle de longueur qu'on veut sonder λ = Å, électrons : v = m/s E = 50 ev Diffraction de Bragg cohérente cristal de période quelques angströms λ = Å, neutrons : v = 4000 m/s E = 0. ev Pulville (S. Borensztajn, CNRS) Nano-tore (T. Kippenberg, Lausanne) Diffraction d'électrons par Cr 2 O 3 polycristal monocristal Etude de sites d'adsorption de H par diffraction de neutrons

8 Les implications d'une information sur le chemin suivi 4. Peut-on savoir par quelle fente passe chaque particule? Une telle information, si elle était disponible, «ruinerait» la logique de la théorie relativement simple que nous sommes en train de construire. Si la fente seulement est ouverte, on n'observe pas d'interférences, seulement de la diffraction. Même conclusion si on ouvre seulement la fente 2 p 0 Si on pouvait savoir par quelle fente passe chaque particule, on pourrait classer chaque événement de détection dans une des deu catégories : Mais : la particule est passée à gauche (figure ci-dessus), la particule est passée à droite (même figure décalée de a ) Une tentative pour détecter le chemin suivi Comment distinguer entre les deu chemins? p 0 a 2 O On mesure simultanément le point d'impact de la particule et la direction du recul de l'écran le long de l'ae O Chemin : Pour distinguer entre les deu événements : «la particule passe par la fente» «la particule passe par la fente 2» il faut connaître l'impulsion de l'écran avant chaque détection avec une précision : D Chemin 2 : Pour observer les franges d'interférence, il faut positionner l'écran avant chaque détection avec une précision : Différence entre les impulsions de recul :

9 L'inégalité de Heisenberg au secours de notre théorie Physique d'une particule ponctuelle libre Nous verrons dans la suite qu'il est impossible de préparer un système (particule, écran, ) dans un état où les précisions de notre connaissance de sa position et son impulsion sont simultanément arbitrairement bonnes. Plus précisément : caractéristiques intrinsèques Mécanique classique masse m charge q Mécanique quantique masse m charge q Mettre l'écran sur roulettes ne permet donc pas de connaître le chemin suivi tout en observant des franges d'interférence. Etat de la particule position impulsion fonction d'onde En physique quantique plus qu'ailleurs, il importe de préciser parfaitement le protocole (ou "contete") epérimental envisagé : Equation du mouvement on peut faire une epérience où on sait par quelle fente passe la particule, on peut faire une epérience où on voit des interférences, mais on ne peut pas faire les deu à la fois Type de connaissance déterministe aléatoire Pour la semaine prochaine : Tournoi international de physique Année 2 Départements de physique et de mécanique - ne pas oublier le QCM! - ne pas oublier vos "boitiers de vote"! Palmarès : X20 : 3 ème place X202 : ère place X203 : 3 ème place X204 : 4 ème place au tournoi national X205 : 3 ème place Calendrier prévisionnel pour les X206 : Sélection de l équipe et constitution d un groupe de PSC : mai-juin 207 Sélection nationale : vers janvier 208 Compétition internationale : avril 208 (Allemagne, Angleterre ou Chine)?