L ARITHMÉTIQUE : Le plan cartésien

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1 La composition du plan cartésien L ARITHMÉTIQUE : Le plan cartésien Le plan cartésien est l assemblage de deux droites numériques, dont l une est horizontale et l autre est verticale. Les droites numériques se croisent perpendiculairement en un point que l on appelle l origine. C est le centre du plan cartésien. La droite horizontale C est l axe des abscisses et on lui attribue la coordonnée!. Les nombres situés à la droite de l origine sont positifs et les nombres situés à la gauche de l origine sont négatifs. La droite verticale C est l axe des ordonnées et on lui attribue la coordonnée!. Les nombres situés en haut de l origine sont positifs et les nombres situés en bas de l origine sont négatifs. Les axes sont des droites infinies vers les grandeurs positives et négatives. Ils ne se terminent jamais. Les quadrants Le plan cartésien est divisé en quatre quadrants. On nomme ces quadrants en commençant par celui dont les coordonnées en! et en! (l abscisse et l ordonnée) sont positives, puis en suivant le sens contraire des aiguilles d une horloge (sens antihoraire). - Dans le quadrant I se retrouvent les abscisses et les ordonnées positives. (+,+) - Dans le quadrant II se retrouvent les abscisses négatives et les ordonnées positives. (,+) - Dans le quadrant III se retrouvent les abscisses et les ordonnées négatives. (, ) - Dans le quadrant IV se retrouvent les abscisses positives et les ordonnées négatives. (+, )

2 Le pas de graduation Le pas de graduation doit être constant tout au long de l axe. On utilise généralement de cinq à dix graduations. Exemple : 1) Le plus grand effectif est ) Nombre de graduations désirées : 10. 3) Pas de graduation : = Les coordonnées d un point dans le plan cartésien Le plan cartésien est un système de repérage à l aide de coordonnées cartésiennes. On désigne l emplacement d un point par un couple de coordonnées. La première coordonnée indique sa position sur l axe des abscisses (!) et la deuxième indique sa position sur l axe des ordonnées (!). L intersection de ces deux nombres donne la position précise du point. Exemples : Coordonnées du point A : A = (1, 3) Coordonnées du point B : B = (-3, 2) Coordonnées du point C : C = (3, -1)

3 Révision sur la résolution d équation Dans une équation, il y a le membre de gauche et le membre de droite. Ces deux membres sont séparés par une égalité. Par exemple, si nous avons l équation suivante : 9x 6 =12, 9x -6 est le membre de gauche et 12 est le membre de droite. Pour résoudre une équation avec la méthode de la balance, il faut suivre les deux étapes suivantes : 1. Réduire l expression algébrique. (Si nécessaire.) 2. Isoler la variable. Lorsque je fais une opération à gauche, je dois faire la même opération à droite de sorte à conserver mon équilibre, donc à préserver l égalité. Exemple a) 9x 6 =12 Je vais demander aux élèves qu ils me disent comment je dois réduire l expression algébrique. Réponse attendue : L expression algébrique est déjà réduite. Ce que nous voulons faire, c est isoler la variable x. Nous allons donc additionner 6, de sorte à l annuler. Si j additionne 6 au membre de gauche, de sorte à préserver mon égalité, je dois additionner 6 au membre de droite également. 9x = x = 18 Encore une fois, ce que nous voulons faire, c est trouver la valeur d UN seul x, nous allons donc diviser 9x par 9. On obtient un x. Si je divise le membre de gauche par 9, de sorte à préserver mon égalité, je dois diviser le membre de droite par 9 également. 9x = x = 2 Il est TRÈS important de valider la solution. Pour vérifier la résolution de l équation, on peut, dans l équation de départ, remplacer la variable par la valeur trouvée. 9x 6 = 12 9(2) 6 = = = 12. Puisque l égalité obtenue est vraie, la solution est bonne.

4 Exemple : b) 2 (3x + 8) + 3(x + 2) = 4 Je vais demander aux élèves qu ils me disent comment je dois réduire l expression algébrique. Réponse attendue : Distribuer le 2 dans la parenthèse, distribuer le 3 dans la parenthèse et regrouper les termes semblables ensembles. 6x x + 6 = 4 9x + 22 = 4 Ce que nous voulons faire, c est isoler la variable x. Nous allons donc soustraire 22, de sorte à l annuler. Si je soustrais 22 au membre de gauche, de sorte à préserver mon égalité, je dois soustraire 22 au membre de droite également. 9x = x = -18 Encore une fois, ce que nous voulons faire, c est trouver la valeur d UN seul x, nous allons donc diviser 9x par 9. On obtient un x. Si je divise le membre de gauche par 9, de sorte à préserver mon égalité, je dois diviser le membre de droite par 9 également. 9x = x = - 2 Il est TRÈS important de valider la solution. Pour vérifier la résolution de l équation, on peut, dans l équation de départ, remplacer la variable par la valeur trouvée. 2 (3x + 8) + 3 (x + 2) = 4 2 (3 (-2) + 8) + 3 ((-2) + 2) = 4 2 (2) + 3 (0) = 4 4 = 4. Puisque l égalité obtenue est vraie, la solution est bonne.

5 Exemple c) 8x + 3 = 4x -1 Je vais demander aux élèves qu ils me disent comment je dois réduire l expression algébrique. Réponse attendue : L expression algébrique est déjà réduite. Ce que nous voulons faire, c est isoler la variable x. Nous allons donc soustraire 3, de sorte à l annuler. Si je soustrais 3 au membre de gauche, de sorte à préserver mon égalité, je dois soustraire 3 au membre de droite également. 8x = 4x 1 3 8x = 4x 4 Ce que nous voulons faire, c est isoler la variable x. Nous allons donc soustraire 4x, de sorte à l annuler. Si je soustrais 4x au membre de droite, de sorte à préserver mon égalité, je dois soustraire 4x au membre de gauche également. 8x 4x = 4x 4 4x 4x = - 4 Encore une fois, ce que nous voulons faire, c est trouver la valeur d UN seul x, nous allons donc diviser 4x par 4. On obtient un x. Si je divise le membre de gauche par 4, de sorte à préserver mon égalité, je dois diviser le membre de droite par 4 également. 4x = x = - 1 Il est TRÈS important de valider la solution. Pour vérifier la résolution de l équation, on peut, dans l équation de départ, remplacer la variable par la valeur trouvée. 8x + 3 = 4x - 1 8(-1) + 3 = 4(-1) = = - 5. Puisque l égalité obtenue est vraie, la solution est bonne.

6 L ALGÈBRE : Relations et mode de représentations. Relation Une relation est un énoncé mathématique qui décrit un lien entre deux grandeurs. «Jusqu à présent, vous avez étudié le concept de relation entre deux grandeurs dont les valeurs changent. Désormais, les deux grandeurs qui sont mises en relation dans une situation seront appelées des variables.» grandeurs variables L une des variables est la variable indépendante et l autre est la variable dépendante. Les variables indépendantes et dépendantes a) Variable indépendante (x) La variable indépendante est la variable sur laquelle on a le contrôle et dont les valeurs existent en premier. b) Variable dépendante (y) La variable dépendante est la variable observée ou mesurée. Elle est celle qui est déterminée à partir de la variable indépendante. On dit aussi que les variations de la variable indépendante ont une influence sur les variations de la variable dépendante. Exemples : 1) Romain enseigne le ski. Son tarif est de 20 $ la leçon. D une semaine à l autre, ses revenus varient selon le nombre de leçons qu il offre. Variable indépendante Nombre de leçons offertes par Romain Variable dépendante Revenus de Romain

7 2) Sarah lance un ballon de football à son amie. La distance entre le ballon et le sol est déterminée par le temps écoulé depuis le lancer. Variable indépendante Temps écoulé depuis le lancer du ballon par Sarah Variable dépendante Distance entre le ballon et le sol Les types de variables Une variable quantitative est qualifiée de «discrète» ou de «continue» selon les valeurs qu elle peut prendre. L ensemble de nombres auquel ces valeurs appartiennent est appelé «l ensemble de référence.» a) Variable discrète Une variable discrète est une variable dont on pourrait énumérer toutes les valeurs. Elle ne peut prendre aucune valeur intermédiaire. Exemple : Le nombre de téléphones dans une maison est une variable discrète. L ensemble de référence est l ensemble des nombres naturels(n). b) Variable continue Une variable continue est une variable qui peut prendre toutes les valeurs intermédiaires entre deux valeurs possibles. Exemple : Le temps écoulé depuis le lancer du ballon de Sarah est une variable continue. L ensemble de référence est l ensemble des nombres réels (R).

8 Les modes de représentation Les modes de représentation d une relation sont les différents moyens qui permettent de comprendre cette relation. Les mots : Description de la relation entre deux variables. La table de valeurs : Variable indépendante (x) Variable dépendante (y) Variable indépendante (x) Variable dépendante (y) Le graphique :

9 Mode de représentation Situation dans laquelle la variable indépendante est discrète Les mots Romain enseigne le ski. Son tarif est de 20$ la leçon. D une semaine à l'autre, ses revenus varient selon le nombre de leçons qu il offre. La table de valeurs Nombre de leçons offertes Revenus en dollars ($) Ø «Quelle est la variable dépendante dans cette situation?» Réponse attendue : Le revenu ($). Ø «Quelle est la variable indépendante dans cette situation?» Réponse attendue : Le nombre de leçons offertes. Ø «On peut représenter cette situation par une table de valeurs. Si le revenu pour 1 leçon est de 20$, quel sera le revenu pour 2, 3, 5 et 7 leçons?» Réponse attendue : 2 20 = 40 ; 3 20 = 60 ; 5 20 = 100 et 7 20 = 140 Le graphique Ø Ø Ø Ø «On peut représenter cette situation par un graphique. Nous allons d abord placer les quatre points de la table de valeurs dans un plan cartésien. Où devons-nous placer la variable indépendante? Réponse attendue : Sur l axe des abscisses. «Où devons-nous placer la variable dépendante?» Réponse attendue : Sur l axe des ordonnées. «Sachant que le nombre de leçons offertes est une variable discrète, est-ce que cette variable peut prendre toutes les valeurs intermédiaires entre deux valeurs possibles?» Réponse attendue : Non. On ne peut pas donner un tiers de leçons. «On ne peut donc pas relier les points ensembles car dans ce cas-ci, seules les coordonnées des points dont l abscisse est un nombre naturel appartiennent à la relation.»

10 L ALGÈBRE : Les fonctions Les fonctions Parmi toutes les relations qu on peut définir entre deux variables, on en trouve un type particulier : les fonctions. C est un sous-ensemble des relations. Relation s Fonctions Définition : Une fonction est une relation qui fait correspondre à toute valeur que prend la variable indépendante une et une seule valeur de la variable dépendante. On parle aussi de «relation fonctionnelle». Exemple Mode verbal : L aire du plancher en!! influence le prix du recouvrement du plancher en $. 1!! coûte 8$. Variable indépendante : L aire du plancher en!!. Variable dépendante : Le prix du recouvrement du plancher en $. Mode tabulaire: L aire du plancher (!! ) Le prix du recouvrement du plancher ($)

11 Mode graphique : Le prix du recouvrement selon l aire du plancher Le prix du recouvrement ($) L aire du plancher (!! ) Cette relation est une fonction car pour chaque valeur de la variable indépendante, on associe une et une seule valeur de la variable dépendante. Pour tout aire du plancher, on peut associer un et un seul prix de recouvrement. Exemples : Truc : Il y a une façon simple de savoir si une relation est une fonction à l aide d un graphique. Il suffit d imaginer des droites verticales dans un plan cartésien (lignes pointillées sur les graphiques cidessus). Si chacune d elles croisent la relation en au plus un point alors la relation est une fonction. Autrement dit, si pour chaque valeur de x, il n y a qu un seul y, c est une fonction.

12 2.7 Les propriétés des fonctions Une fonction possède un certain nombre de propriétés qui la caractérisent. Trouver les propriétés d une fonction revient à étudier ou analyser une fonction. Variable indépendante : Heure de la journée Variable dépendante : Température extérieure

13 Le tableau suivant définit les propriétés de la fonction représentée ci-contre. Domaine nsemble des valeurs que peut prendre la variable ndépendante. ous les nombres réels compris entre et 24 Maximum lus grande valeur que prend la variable dépendante. C Ordonnée à l origine Ordonnée du point lorsque l abscisse vaut 0. Propriétés Image ensemble des valeurs que peut prendre la variable dépendante. Tous les nombres réels compris entre 4 et 2 Minimum Plus petite valeur que prend la variable dépendante. 4 C Abscisse à l origine Abscisse du ou des points lorsque l ordonnée vaut 0. 8 h et 16 h 2 C Variation (croissance et décroissance) 'étude des variations d'une fonction consiste à déterminer les intervalles sur lesquels ette fonction est croissante ou décroissante. Lorsque la valeur de x augmente et que la valeur de y augmente, la fonction est croissante. Lorsque la valeur de x augmente et que la valeur de y diminue, la fonction est décroissante. a température augmente entre 6 h et 10 h. Elle diminue entre 15 h et 18 h. Elle demeure constante le reste du temps. Étude du signe Une fonction est positive sur un intervalle donné si, sur cet intervalle, les valeurs de la variable dépendante sont upérieures ou égales à 0. Une fonction est négative sur un intervalle donné si, sur cet intervalle, les valeurs de la variable dépendante sont nférieures ou égales à 0. a température est négative entre 0 et 8 h et entre 16 h et 24 heures. Elle est positive entre 8 h et 16 h. mage d une valeur du domaine a valeur de la variable dépendante associée à la valeur de la variable indépendante. image de 8 est 0. Autrement dit ; la valeur de la variable dépendante lorsque la variable indépendante vaut 8 est. Dans le contexte, cela signifie qu à 8 h, la température est de 0 C.

14 L ALGÈBRE : Les fonctions de variation inverse La fonction de variation inverse est une fonction dont le produit des valeurs associées des variables indépendante et dépendante est constant. Exemple : Maxime exige 60$ pour peindre les murs d une cuisine. Son salaire par heure, y, varie en fonction du temps, x, qu il prendra pour effectuer la tâche. Mode de représentation La table de valeurs Exemple Dans une table de valeurs d une fonction de variation inverse, le produit des valeurs associées est constant. Le graphique La représentation graphique d une fonction de variation inverse est une courbe décroissante qui s approche des deux axes sans y toucher. Le produit des coordonnées est constant pour tout point du graphique. On le désigne par k. La règle La représentation algébrique d une fonction de variation inverse est de la forme :!" =! ou! =!! La règle de cette fonction est :!" = 60 ou! = 60! Où k représente une constante. Remarque : Les variables!!"! ne peuvent pas égaler 0.

15 L ALGÈBRE : La notation fonctionnelle Définition : La notation fonctionnelle!! désigne la valeur de la variable dépendante lorsque la variable indépendante vaut!. La notation!! se lit «f de x».!! est une seule entité, un seul bloc qui représente la variable dépendante. Donc,!!!. Exemples : Soit la fonction!! =!"!!. 1. Calcul! 12. On cherche la valeur de la variable dépendante, lorsque la valeur de la variable indépendante vaut 12. Par rapport, au contexte, on cherche la surface d une part de gâteau lorsqu il y a 12 invités à la fête.! 12 =!""!".! 12 = Calcul f(15). On cherche la valeur de la variable dépendante, lorsque la valeur de la variable indépendante vaut 15. Par rapport, au contexte, on cherche la surface d une part de gâteau lorsqu il y a 15 invités à la fête.! 15 =!""!".! 15 = 60.

16 3. Si!! = 50, que vaut!? 50 = 900!! 50 = 900!! 50! = ! 50 = ! = 18.

17 L ALGÈBRE : Le taux de variation et les fonctions linéaires Le taux de variation Définition : Le taux de variation est le rapport entre la variation de la variable dépendante et la variation de la variable indépendante. On désigne le taux de variation d une fonction linéaire par!. Taux de variation =!"#$"%$&'!"!"!"#$"%&'!é#$%!&%'$!"#$"%$&'!"!"!"#$"%&'!"#é%&"#'"( Si les points!!,!!!"!!,!! appartiennent au graphique de la fonction, le taux de variation se calcule ainsi :! =!!!!!!!!! = = 10 1 Institutionnaliser les réponses des élèves en montrant bien les flèches dans le graphique de la variation de la variable dépendante et la variation de la variable indépendante.

18 La fonction linéaire La fonction linéaire est une fonction qui modélise une situation de proportionnalité. Ainsi, dans une fonction linéaire, la variable dépendante varie de manière proportionnelle à la variation de la variable indépendante. Exemple : Laurie-Anne gagne 5$/h lorsqu elle garde des enfants. Le montant d argent gagné, y, est proportionnel au nombre d heures de gardiennage, x. Mode de représentation La table de valeurs Exemple Dans la table de valeurs d une fonction linéaire, le rapport entre les valeurs des variables associées est constant. Le graphique La représentation graphique d une fonction linéaire est une droite oblique qui passe par le point (0, 0). Le taux de variation est constant. On le désigne par a. Le point (0, 0) appartient à la fonction linéaire. On peut représenter graphiquement une fonction linéaire en se basant uniquement sur son taux de variation. En effet, à partir de l origine, on se déplace verticalement, selon la variation de la variable dépendante, puis horizontalement, selon la variation de la variable indépendante. La règle La représentation algébrique d une fonction linéaire est de la forme :! =!" ou!(!) =!" où! représente le taux de variation. La règle de cette fonction est : y = 5x ou f (x) = 5x

19 L ALGÈBRE : Les fonctions affines Définition : Une fonction affine est une fonction dont le taux de variation est constant. Exemple : Marc achète un paquet de 200 feuilles mobiles au début de l année scolaire. Il utilise en moyenne 4 feuilles mobiles par jour d école. On s intéresse au nombre de feuilles mobiles qui lui reste dans son paquet selon le nombre de jours d école écoulés. Variable indépendante : le nombre de jours d école écoulés Variable dépendante : le nombre de feuilles mobiles Le nombre de feuilles mobiles selon le nombre de jours d écoule écoulés. Mode de représentation La table de valeurs La table de valeurs d une fonction affine montre un taux de variation constant. On désigne le taux de variation par!. Exemple Nombre de jours d école écoulés Nombre de feuilles mobiles ! = = = =

20 Le graphique La représentation graphique d une fonction affine est une droite oblique qui ne passe pas par le point (0, 0). Le taux de variation est constant. On le désigne par a. La valeur initiale, ou l ordonnée à l origine, correspond à la valeur de la variable dépendante lorsque la valeur de la variable indépendante est 0. On désigne la valeur initiale par b. La règle La représentation algébrique d une fonction affine est de la forme :! =!" +!!"!(!) =!" +! où! est le taux de variation et!, la valeur initiale. Pour trouver la règle de cette fonction, il faut d abord trouver la taux de variation.! =!"#$"%$&'!"!"!"#$"%&'!é!"#$%#&"!"#$"%$&'!"!"!"#$"%&'!"#é!"#$%#&" Les points 10, 160!" 25, 100 graphique de la fonction. appartiennent au Le taux de variation se calcule ainsi :! = = = Le b est l ordonnée à l origine. C est-à-dire, la valeur de la variable dépendante, lorsque la valeur de la variable indépendante vaut 0. Or, lorsque la valeur de la variable indépendante vaut 0, la variable dépendante vaut 200. La règle de cette fonction est :!! = 4! + 200

21 Analyse de la fonction!! = 4! Graphique : Une droite oblique qui passe par le point (0,200). Domaine : Tous les nombres de 0, 50. Image : Tous les nombres de 200, 0. Maximum : 200. Minimum : 0. Ordonnée à l origine : 200 Abscisse à l origine : 50 Variation : La fonction est décroissante de 0, 50. Signe : La fonction est positive de 0, 50.

22 L ALGÈBRE : Recherche de la règle d une fonction affine La règle d une fonction affine : Si l on connaît deux couples d une fonction affine, ou si l on connaît un couple et le taux de variation d une fonction affine. Étapes lorsqu on connaît deux couples de la fonction : 1. Trouver le taux de variation à partir des deux couples de la fonction. La droite passe par les points 2, 3 et 1, 6. Le taux de variation est :! = = 3 3 = 1 2. Dans la règle!! =!" +!, substituer le taux de variation à a et les coordonnées du point à x et à f(x).!! =!" +!,!! =! +!, 6 = ( 1) +!. 3. Trouver la valeur de b en résolvant la règle. 6 = ( 1) +! 6 = 1 +! 6 1 =! 5 =!

23 4. Vérifier la règle trouvée à l aide d un couple. Soit le couple 2, 3.!! =! = (2) = = 3 La règle est!! =! + 5.

24 Étapes lorsqu on connaît un couple et le taux de variation de la fonction : À partir du point (-3, 0) et du taux de variation! =! :! 1. Trouver le taux de variation à partir des deux couples de la fonction. Le taux de variation est :! =!.! 2. Dans la règle!! =!" +!, substituer le taux de variation à a et les coordonnées du point à x et à f(x).!! =!" +!,!! =!!! +!, 0 =! ( 3) +!.! 3. Trouver la valeur de b en résolvant la règle. 0 =! ( 3) +!.! 0 =!! +! =! 3 2 =! 4. Vérifier la règle trouvée à l aide d un couple. Soit le couple 3, 0.!! = 1 2! = = = 0 La règle est!! =!!! +!!

25 L ALGÈBRE : La fonction constante La fonction constante Exemple : Le vol sans escale, Montréal-Paris compte 325 passagers. On s intéresse au nombre de passagers qu il y a dans l avion pendant la durée du trajet. Mode de représentation La table de valeurs La table de valeurs d une fonction constante montre un taux de variation nul. De plus, la valeur de la variable dépendante (y) est toujours la même. Exemple Le temps (heures) Nombre de passagers ! = = = = Le graphique La représentation graphique d une fonction constante est une droite horizontale. Le taux de variation étant nul, la droite n est pas du tout inclinée. La valeur initiale, ou l ordonnée à l origine, correspond à la valeur de la variable dépendante lorsque la valeur de la variable indépendante est 0. Le nombre de passagers selon le temps écoulé (heure)

26 La règle Si on reprend la règle de la fonction affine,! =!" +!!"!(!) =!" +!, on obtient :! = 0! +!!"!(!) = 0! +!. Donc, la règle d une fonction constante est :! =!!"!(!) =!. Pour trouver la règle de cette fonction, il suffit de trouver la valeur de b, soit l ordonnée à l origine. C est-à-dire, la valeur de la variable dépendante, lorsque la valeur de la variable indépendante vaut 0. Or, lorsque la valeur de la variable indépendante vaut 0, la variable dépendante vaut 325. Analyse de la fonction!! = 325 Graphique : Une droite horizontale qui passe par le point (0,325). Domaine : Tous les nombres de 0, 7. Image : 325. Maximum : Aucun. Minimum : Aucun. Ordonnée à l origine : 325. Abscisse à l origine : Aucune. Variation : La fonction est constante. Signe : La fonction est positive de 0, 7.