CORRECTION CONCOURS BLANC MATHS DU 26/11

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1 CORRECTION CONCOURS BLANC MATHS DU 26/11 QCM 066) Récemment un Burger King a ouvert ses portes à Strasbourg. On souhaite comparer la survie entre des omnivores (groupe 1) et des Vegans (groupe 2) par une méthode paramétrique, l événement mesuré étant le fait de manger chez Burger King. Dans le groupe 1 on obtient 160 événements, pour une somme des durées des temps de participation de 1600 mois. Dans le groupe 2, le risque instantané de «décès» est de 0,015 Quelle(s) est (sont) la (les) proposition(s) exacte(s) : 1. La médiane de survie est plus élevée dans le groupe 1 que dans le groupe 2 2. La survie diminue plus lentement dans le groupe 1 que dans le groupe 2 3. Le rapport de risque montre un sur-risque dans le groupe 1 par rapport au groupe 2 4. Dans le groupe 1, la probabilité qu un sujet survive pendant 10 mois, conditionnellement au fait qu il a déjà survécu pendant 5 mois, est inférieure à la probabilité qu il survive plus de 5 mois. 5. L affirmation 4. serait fausse pour le groupe 2. Quelle est la réponse exacte? A B C D E. Autre réponse CORRECTION 1. Faux : Méthode exponentielle : on détermine les risques de chaque groupe (formule : Nb de décès / des temps de participation) Groupe 1 : h1 = 160/1600 = 0,1 Groupe 2 : h2 = 0,015 d après l énoncé Dans la méthode exponentielle : S(t) = e -hxt Médiane de survie : temps auquel S(t) = 0,5 Par le calcul : G1 : e -0,1t = 0,5-0,1t = ln (0,5) t = - ln (0,5) / 0,1 t = 6,93 G2 : même calcul, on remplace juste le risque et on obtient t = 46,21 2. Faux : Par rapport à l affirmation précédente, la médiane de survie est beaucoup plus faible, donc la survie diminue plus vite dans groupe 1 De plus, le risque détermine la pente de la courbe exponentielle. Plus le risque est élevé, plus la courbe exponentielle sera fortement décroissante. 1

2 3. Vrai : RR = h1 / h2 = 0,1/0,015 = 6,67 en effet, sur-risque dans le groupe 1 4. Faux : On traduit l énoncé : S (t = 10 Vivant à t=5) < S (t = 5) Méthode exponentielle et survies conditionnelles Formule : Donc ici S (t = 10 Vivant à t=5) = e -0,1 x 10 / e -0,1 x 5 = e ,5 = e -0,5 = S (t=5) Car e a / e b = e a-b De plus ici nous sommes dans le cas d une survie conditionnelle avec doublement du temps de survie donc on se souvient de la propriété (ou alors on la retrouve!) : e 2a / e a = e a Donc la probabilité qu un sujet survive pendant 10 mois, conditionnellement au fait qu il a déjà survécu pendant 5 mois, est égale à la probabilité qu il survive plus de 5 mois. 5. Vrai : Dans le groupe 2 : même méthode, donc si c est faux dans le groupe 1, ça doit être faux dans le groupe 2 QCM 0067) Pour une étude clinique, une équipe de psychiatre recrute 50 PACES. Afin de connaître l influence du stress sur leur poids, les chercheurs pèsent les volontaires. Leurs poids sont uniformément répartis entre 49 et 96 kg. Quelles sont les deux propositions fausses? A. Plus de la moitié des sujets a un poids supérieur à 69.6 kg. B. Le poids moyen des sujets est de 72.5kg. C. L écart-type des poids des sujets est de 27kg. D. La formule de la variance est V(X) = (b a)² E. Autre réponse 3 CORRECTION Proposition A : VRAI X est la variable représentant le poids des sujets, variable continue et uniformément répartie entre 44 et 96 kg. On va donc se servir de la loi uniforme pour résoudre le problème. On cherche P(X > 69.6 kg) cependant on ne connait que la fonction de répartition de la loi uniforme permettant de calculer les P(X x i). On exprime donc P(X > 69,6 kg) en fonction de P(X 69,6 kg). On a: P(X > 69,6 kg) = 1 - P(X 69,6 kg) = 1 F(69,6) D après la formule de la loi uniforme : P(X > 69,6 kg) = 1 F(69,6) = ~ 0,56 56%

3 Proposition B : VRAI Le poids moyen des sujets correspond à E(X). D après la formule de la loi uniforme : E(X) = a+b AN : E(X) = = 72.5 Le poids moyen des sujets est donc de 72,5 kg. 2 Proposition C : FAUSSE L écart-type des poids des sujets correspond a V(X) = σx ; D après la formule de la loi uniforme : σx = (b a)² b a = = 2. 3 = 13.57kg Proposition D : FAUSSE La formule de la variance est V(X) = (b a)² 12 QCM 068) La kaliémie (concentration de potassium dans le plasma sanguin) d une population suit une loi normale de moyenne 4,1mmol/litre et d écart-type 0,4. Quelles sont les deux propositions exactes? A. La probabilité que la kaliémie d un individu pris au hasard soit inférieure à 3 est de B. La probabilité que la kaliémie d un individu soit comprise entre 3.5 et 4.2 est de C. La fonction de répartition de la variable X pour P(X 4.5) vaut 1. D. 84% des individus ont une kaliémie strictement supérieure à 4,5 E. Autre réponse CORRECTION Proposition A : VRAI X suit une loi normale N(4.1 ; 0.4) Z suit une loi normale N(0 ;1) : Z = X P(X 3) = P( Z ) = P( Z -2,75) = F(-2,75) On lit dans le TAB 3 que F(-2,75) = Proposition B : FAUSSE On sait que P(za Z zb) = P(Z zb) - P(Z za) = F(zb) - F(za) AN : P( Z ) = P( -1.5 Z 0.25) = F(0.25) F(-1.5) =

4 = Proposition C : VRAI La fonction de répartition F de X est définit par F(xi) = P(X xi). C est en fait la fonction des probabilités cumulés. Ici on a P(X 4.5) On applique le changement de variable : P(Z ) = P(Z 1) = F (1) Proposition D : FAUSSE P(X > 4.5) = P( Z > ) = P( Z > 1) Or on sait que P(Z > zi) = P(Z -zi) = 1 - P(Z zi) AN : P(Z > 1) = 1 P( Z 1) = 1 F(1) = = % des individus ont une kaliémie strictement supérieure à 4,5 QCM 069) Un épidémiologiste étudie le taux de guérison à 5ans d une maladie rare sur deux groupes de sujets : On souhaite déterminer, au risque de 30%, si le taux de guérison diffère entre le groupe 1 et le groupe 2. Parmi les propositions suivantes, quelle sont les 2 propositions exactes? A. On fait un test du Khi 2 de Mac Nemar B. On rejette H0 en formulation bilatérale C. On rejette H0 en formulation unilatérale D. On ne rejette pas H0 en formulation bilatérale E. On ne rejette pas H0 en formulation unilatérale F. Autre réponse CORRECTION : 4

5 On est dans le cas d une comparaison de deux distributions observées. On se trouve alors dans un test du Khi 2 d indépendance. Mais les effectifs sont petits et quand on calcule un eij, on voit qu au moins un des eij est inférieur à 5. On réalise alors un test exact de Fischer. (réponse A fausse) On calcule les probabilités associées à chaque combinaison possible du tableau. On fait alors varier a de 0 à 4 : En formulation bilatérale, pour calculer p, on ajoute toutes les probabilités qui sont inférieures ou égales à P(A=3) Ici P(A=3) = 0,2424 alors p = P(A=0) + P(A=1) + P(A=3) + P(A=4) = 0,5448 On a donc p > α avec α = 30% On ne rejette pas H0 en formulation bilatérale. (réponse B fausse et D vraie) En formulation unilatérale, pour calculer p, on ajoute toutes les probabilités qui sont inférieures ou égales à P(A=3) et qui touchent P(A=3) : p = P(A=3) + P(A=4) = 0,2724 p < α On rejette H0 en formulation unilatérale. (réponse C vraie et E fausse) Réponses : C et D 5

6 QCM 070) Une équipe de chercheur souhaite savoir si la prise d une pilule de 3ème génération augmente le risque de développer une maladie thromboembolique veineuse (MTEV) par rapport à la prise d une pilule de 2nd génération. Elle s appuie sur deux échantillons A et B indépendants de 61 et 120 femmes respectivement. Les femmes de A prennent une pilule de 3ème génération et les femmes de B prennent une pilule de 2nd génération. Pour A, 0,75 femmes en moyenne développe une MTEV et Sa = 4,22 et 1,26 en développe pour l échantillon B avec Sb = 3,58. On pose X la variable «nombre de femmes ayant développé une MTEV» et on suppose que X suit une loi N. Cette équipe souhaite savoir, au risque de 5%, si la prise d une pilule de 3e G à une influence positive sur le développement d une MTEV. On prend alpha = 5% Quelle(s) est (sont) la ou les propositions fausses? A. On doit faire un test bilatéral. B. Il faut que X suive une loi N. C. La statistique du test vaut -1,21. D. On ne peut pas affirmer au risque de 5% que la prise d une pilule 3e G augmente le risque de développer une MTEV. E. Autre réponse. CORRECTION : Comparaison de deux moyennes : On veut savoir si la prise d une pilule de 3ème G augmente le risque de développer une MTEV par rapport à la prise d une pilule de 2ème G. Soit ma : le nombre moyen de femmes de l échantillon A ayant développer une MTEV et mb : celui de femme de l échantillon B ayant développer une MTEV. On veut si la prise d une pilule de 3ème G a une influence positive sur le développement d une MTEV, on effectue donc un test unilatéral de comparaisons de deux moyennes. (réponse A fausse) Couples d hypothèses : H0 : ma = mb H1 : ma > mb Comme ma et mb sont supérieurs à 30, on applique un test z de la forme : Les conditions d applications pour réaliser ce test sont : On doit alors vérifier l homoscédasticité des variances. 6

7 Pour cela, on effectue un test bilatéral. On pose : Condition : il faut que X suive une loi normale. (réponse B vraie) Marqué dans l énoncé On calcule : : Si les deux variances sont égales, alors Fobs suit une loi de Fisher à na - 1 et nb -1 ddl, soit à 60 et 119 ddl. On rejette H0 si Donc on ne rejette pas H0 et il n y a pas de différences entre les variances. Les conditions d applications sont remplies. On peut comparer les moyennes : La statistique du test vaut -0,81 (réponse C fausse) On avait définit ma > mb donc on rejette H0 si zobs > - z2α zobs > - z 0,1 zobs > -1,64 7

8 Or zobs = - 0,81 donc on ne rejette pas H0 et on peut dire que la prise d une pilule de 3ème G augmente le risque de développer une MTEV. (réponse D fausse) Réponses A,C,D QCM 071) À propos du test de Wilcoxon et Mann-Whitney A. Quelles sont les deux propositions exactes? B. Ces deux tests sont équivalents, ils sont utilisés pour la comparaison de deux échantillons appariés. C. Pour le calcul de la statistique, on classe par ordre croissant les valeurs observées et on leur attribue un rang. D. L hypothèse nulle H 0 suppose que les deux populations ont une distribution identique. E. Pour pouvoir réaliser ces tests, on suppose que les populations sont gaussiennes. F. Autre réponse CORRECTION A. Faux. Ces deux tests sont équivalents, ils sont utilisés pour la comparaison de deux échantillons indépendants. Attention, il existe également un test de Wilcoxon pour la comparaison de deux échantillons appariés. B. Vrai C. Vrai. H 1 suppose que les deux populations ont une distribution différente. D. Faux. On ne connait pas leur distribution. QCM 0072) On répartit un échantillon de 15 sujets revenant d Asie en fonction de leur sexe. De plus, parmi ces sujets, on regarde lesquels ont contracté l hépatite B. On obtient les résultats suivants : Quelle(s) est (sont) la (les) proposition(s) exacte(s)? 1) On réalise un test du Khi2 d indépendance. 2) On réalise un test exact de Fischer. 3) En formulation bilatérale, on rejette H0 si alpha = 2% 4) En formulation unilatérale, on ne rejette pas H0 si alpha = 10% 5) La puissance est la probabilité d accepter H1 alors qu elle est vraie A) B) C) D) E) Autre réponse CORRECTION 8

9 1) FAUX Le Khi2 d indépendance permet de comparer des distributions observées. Tous les eij doivent être 5! 2) VRAI Il ne s utilise que pour remplacer le Khi2 d indépendance, soit quand un des ei < 5 Rappel : permet de calculer une somme de probabilités p Si p<alpha, on rejette H0 et si p>alpha, on ne rejette pas H0 3) FAUX Pour calculer p, il faut calculer la probabilite de toutes les combinaisons possibles du tableau Le plus souvent, on fait varier la cellule A On fait varier A de 0 à m1 Dans un test bilatéral, on cherche tous les probabilités inférieures ou égales à P(A=2) de part et d autre de la médiane 9

10 Donc : p =P(A=0) + P(A=1) + P(A=2) + P(A=5) = 0.29 On compare à alpha :Alpha = 0.02 Donc : p>alpha On ne rejette pas H0 4) VRAI Dans un test unilatéral, on ne s intéresse qu aux valeurs du côté de a par rapport à la médiane! On trouve : p = P(A=0) + P(A=1) + P(A=2) = 0.25 On compare à alpha :Alpha = 0.10 Donc : p>alpha On ne rejette pas H0 QCM 008) 5) VRAI Rappel : - La puissance est l inverse du risque de 2 ème espèce béta - Béta est le risque d accepter H0 alors qu elle est fausse - Alpha est le risque de rejeter H0 alors qu elle est vraie 10

11 QCM73) La probabilité qu un patient fasse une réaction allergique lors de la prose d un antibiotique vaut 1/1200. En considérant que patients ont été exposés à ce produit, quelles sont les propositions correctes? 1. La variable aléatoire X décrivant la présence ou non d une réaction allergique chez un patient choisi au hasard parmi les 5 000, suit une loi de Bernoulli. 2. On peut utiliser une loi de poisson pour approximer la probabilité d observer au moins 3 réactions allergiques. 3. La probabilité de n observer aucune réaction allergique est plus petite que 0,1%. 4. La loi normale donnerait une bonne approximation de la probabilité d observer entre 2 et 5 réactions allergiques 5. Prob(X 4) > 0,5 A : B :1+2+4 C :2+3+4 D : E : Autre réponse CORRECTION 1. VRAI : L épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui prend la valeur 1 avec la probabilité p (succès) et 0 avec la probabilité q= 1-p (qui correspond à l échec). Lors d une épreuve de Bernoulli on ne peut donc avoir que 2 possibilités : soit une succès, soit un échec. 2. VRAI :La loi de Poisson est une probabilité discrète qui décrit le comportement du nombre d événements se produisant sur un intervalle donné. Elle permet aussi de savoir si ces évènements se produisant avec une fréquence moyenne connue et indépendant du temps écoulé depuis l évènement précédents. n> 50 et np < 10 sont les conditions d application de la loi de poisson. 3. FAUX : P(X=0) = e _5000 = 0,01550 >0, FAUX : La loi normale n est pas utilisable ici, en effet np > VRAI : P (X 4) = 1- P(X=0)- P(X=1)- P(X=2)- P(X=3) = 0,598 > 0,5 QCM 074) Parmi les propositions suivantes qu elle est la valeur de la puissance selon la norme ISO? On rappelle que P = R.I² R = 40,59 ± 0,55 Ω A. P = 423,5 ± 34,6 W B. P = 423,45 ± 34,57 W C. P = 423,47 ± 34,55 W D. P = 423,47 ± 34,58W E. Autre réponse I = 3,23 ± 0,13 A 11

12 CORRECTION On cherche l incertitude sur un produit. On applique la formule suivante : P = P ± P = P ±P ΔR R 2 2 I2 + I Le 2 vient du fait qu il s agit de la dérivée partielle d une fonction x2 On remplace par les données : R = 40,59 R = 0,55 I = 3,23 I = 0,13 Après application numérique on trouve : P = 423,471 P = 34,567 Or la norme ISO s écrit avec 2 chiffres significatifsdonc d après la norme ISO on a P = 423,47 ± 34,57 réponse E QCM 075) Une étude a été conduite pour déterminer s il existait une association entre la survenue d une tumeur cérébrale et l utilisation régulière d un téléphone portable. L utilisation d un téléphone portable était trouvée chez : - 50% des 2400 sujets atteints d une tumeur cérébrale - 54% des 2600 sujets indemnes d une tumeur cérébrale On pose l hypothèse H0 comme étant l absence d association entre la survenue d une tumeur et l utilisation d un téléphone portable. On suppose les conditions de validité du test vérifiées. Dans cette étude, quelle est la proposition exacte? A. L utilisation d un téléphone portable est une variable quantitative continue. B. La présence d une tumeur cérébrale est une variable qualitative. C. Les deux échantillons sont appariés. D. Le test statistique approprié est le test de comparaison de deux moyennes. E. Toutes les propositions sont fausses. Correction : Proposition b vraie La proposition a est fausse, le fait d utiliser, ou non, un téléphone portable est une variable quantitative binaire. 12

13 La proposition b est vraie, le fait de présenter, ou non, une tumeur est une variable qualitative binaire. La proposition c est fausse, les deux échantillons sont vraisemblablement indépendants. La proposition d est fausse, le test statistique approprié est celui de comparaison de deux proportions. 13