REPONSE EN FREQUENCE DES AMPLIFICATEURS OPERATIONNELS REPONSE D'UN AMPLIFICATEUR OPERATIONNEL EN BOUCLE OUVERTE

Transcription

1 REPONSE EN FREQUENCE DES AMPLIFICATEURS OPERATIONNELS REPONSE D'UN AMPLIFICATEUR OPERATIONNEL EN BOUCLE OUVERTE La fonction de transfert en boucle ouverte d'un amplificateur opérationnel est généralement complexe avec plusieurs pôles ce qui peut poser des problèmes de stabilité. Il est donc impératif d'effectuer une compensation permettant d'obtenir une réponse du premier ordre de manière à ce que le fonctionnement soit inconditionnellement stable. Il existe deux types d'amplificateur opérationnel: Les amplificateur opérationnel à compensation externe Les amplificateur opérationnel à compensation interne Les premiers doivent être compensés par l'utilisateur en fonction de l'application, les seconds sont compensés de manière interne par le constructeur. Nous ne considérerons par la suite que des amplificateurs opérationnels à compensation interne, dont la fonction de transfert en boucle ouverte est de la forme: A( jω ) = + j ω () A( j ) = A( j ) exp j [ ] que nous pouvons écrire sous forme de et Phase: ω ω ϕ( ω) soit en db Phase A( jω ) = + ω 2 A( jω ) db = 2log log + ω ϕ(ω ) = Arctg ω (4) 2 (2) (3) pour ω >> on peut faire l'approximation A( jω ) j ω jω J. Redoutey - -

2 A( jω ) = pour ωt =. ωt est appelée pulsation de transition ou Produit -Bande passante. (db) 2log Phase Diagramme de Bode d'un amplificateur à compensation interne en boucle ouverte REPONSE D'UN AMPLIFICATEUR OPERATIONNEL EN BOUCLE FERMEE Considérons le système suivant: x e + - x i A x s x c β L'amplificateur A est contre-réactionné par circuit de transmittance linéaire β. J. Redoutey - 2 -

3 On peut écrire d'une manière générale: xs = A(xe-xc) = A(xe- ßxs) xs (+ßA) = Axe d'où A c = x s A = x e + βa Ac est la fonction de transfert en boucle fermée ßA est appelé gain de boucle. La fonction de transfert de l'ensemble en boucle fermée Ac s'écrit donc: A C (jω) = En remplaçant A(jω) par son expression (), il vient: A( jω) + βa( jω) (5) + βa A C (jω) = jω + (+ β ) (6) Posons: ωoc = (+β ) et A c = + β nous pouvons écrire (6) sous la forme: c = c + jω c (7) ωoc est la pulsation de coupure à -3dB en boucle fermée c est le gain statique en boucle fermée En comparant cette expression à l'expression () donnant la réponse en boucle ouverte, on constate que la fréquence de coupure à -3dB en boucle fermée est (+β ) fois plus élevée qu'en boucle ouverte. calculons le produit c. ωοc c c = + β + β J. Redoutey ( )

4 c. ωοc =. ωο = ωt ω Le produit gain-pulsation de coupure est constant. Si c = on a ωοc = ωt d'où l'intérêt de ce paramètre. Le produit -Fréquence de coupure est une constante souvent appelée Produit -Bande Passante et noté GBW (db) 2log boucle ouverte 2logc Boucle fermée c Diagramme de Bode en boucle ouverte et en boucle fermée APPLICATION AU CAS DE L'AMPLIFICATEUR NON INVERSEUR La fonction de transfert d'un amplificateur non inverseur de gain fini A s'écrit: G( jω ) = + R 2 + en remplaçant A(jω) par sa valeur tirée de () A(jω) (+ R 2 ) A( jω ) = + j ω il vient: G( jω ) = + R 2 + jω ( + R 2 ) = + R 2 + jω ( + R 2 ) La pulsation de coupure à -3dB est alors : J. Redoutey - 4 -

5 Le gain statique (ω = ) étant on peut écrire c = + R 2 = c = + R 2 + R 2. = c. c = On vérifie bien que le produit -Bande passante est constant. FILTRE PASSE BAS DU PREMIER ORDRE R2 C2 +5V R 74 Ve -5V Vs On suppose que l'amplificateur opérationnel est idéal. Soit Z2 l'impédance formée par R2 en parallèle avec C2. /Z2 = /R2 + jc2ω d'où Z2 = R2/(+ jr2c2ω) Le montage étant du type inverseur, sa fonction de transfert s'écrit: A(jω) = - Z2/R En remplaçant Z2 par son expression, il vient: A( jω ) = R 2 + jr 2 C 2 ω calculons le module et l'argument pour faire apparaître le et la phase: ou en db A( jω ) = R 2 +(R 2 C 2 ω ) 2 A( jω ) db = 2log R 2 log(+ (R 2 C 2 ω ) 2 ) J. Redoutey - 5 -

6 ϕ(ω) = Arctg() -Arctg(R2C2ω) = -π -Arctg(R2C2ω) Soit ω2 =/ R2C2 Pour ω = nous avons: A() = R2/R A() db = 2 log(r2/r) gain statique ϕ() = -p Pour ω = ω2 nous avons: A(ω2) db = 2 log(r2/r) - log(2) A(ω2) db = 2 log(r2/r) -3dB ϕ(ω2) = -p -Arctg() = -225 log(2)=,33 ω2 =/ R2C2 est la pulsation de coupure à -3dB calculons la pente de l'asymptote de chute du gain: Pour ω = ω2 Pour ω = ω2 A(ω2) db = 2 log(r2/r) - log()=2 log(r2/r) - 2dB ϕ(ω2) = -8 -Arctg() = -264,3 - (27-5,7 ) A(ω2) db = 2 log(r2/r) - log()=2log(r2/r) - 4dB ϕ(ω2) = -Arctg() = -269,4 - (27 -,57 ) ce qui représente une décroissance du gain de -2dB par décade (db) R 2 2log R pente -2dB/décade ω 2 =/R2C2 Phase -š -š-š/4-3š/2 ω 2 =/R2C2 J. Redoutey - 6 -

7 FILTRE PASSE HAUT DU PREMIER ORDRE (DIFFERENCIATEUR) R2 R C +5V 74 Ve Vs -5V On suppose que l'amplificateur opérationnel est idéal. Soit Z l'impédance formée par R en série avec C. Z = R + /jcω d'où Z = (+ jrcω) / jcω Le montage étant du type inverseur, sa fonction de transfert s'écrit: A(jω) = -R2 /Z En remplaçant Z par son expression, il vient: A( jω ) = jr 2 C ω + j C ω calculons le module et l'argument pour faire apparaître le et la phase: A( jω ) = R 2 C ω + ( C ω) 2 ϕ( jω) = π 2 Arctg( C ω ) Posons ω =/RC et ω2 =/R2C A( jω ) = j ω ω 2 + j ω ω on prend ω>> ω2 c'est à dire R2 >> R ωest la pulsation de coupure à -3dB ω2 est la pulsation de gain unitaire J. Redoutey - 7 -

8 en effet : A(ω 2 ) = + ( ω 2 ω ) 2 Le diagramme de Bode du circuit est représenté ci dessous. On notera que dans la démonstration précédente, on a considéré que l'amplificateur opérationnel était idéal. Dans la réalité il faut tenir compte de la réponse de l'amplificateur utilisé (représentée en pointillé sur la figure) qui limite la réponse aux fréquences élevées. (db) Réponse en boucle ouverte pente -2dB/décade 2log R 2 R pente 2dB/décade ω =/R2C 2 ω =/RC Phase ω =/RC -27 J. Redoutey - 8 -