Probabilités. Chacun des résultats possible d une expérience aléatoire est appelée issue de l expérience.

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1 Probabilités A) Vocabulaire. 1. Expérience aléatoire. Définitions : Une expérience est dite aléatoire si elle vérifie trois conditions : Elle conduit à des résultats possibles qu on est capable de nommer. On ne sait à l avance lequel de ces résultats va se produire quand on réalise l expérience. L expérience doit être reconductible dans les mêmes conditions. Exemples : 1) «On lance une pièce de monnaie et on regarde sur quelle face elle tombe.». Cette expérience est bien une expérience aléatoire car : Il y a deux résultats possibles : «pile» ou «face». Quand on lance la pièce on ne sait pas lequel de ces résultats va se produire. On peut recommencer dans les mêmes conditions cette expérience. 2) «On lance un dé à 6 faces équilibré et on regarde le nombre de points inscrits sur sa face supérieure.». Cette expérience est bien une expérience aléatoire car : Il y a 6 résultats possibles : «1», «2», «3», «4», «5» ou «6». Quand on lance la pièce on ne sait pas lequel de ces résultats va se produire. On peut recommencer dans les mêmes conditions cette expérience. «Soit ABC un triangle rectangle en A dont on connait la longueur de deux côtés. On s intéresse à la longueur du troisième côté». Cette expérience n est pas aléatoire car si on connaît la longueur de deux côtés dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore permet de calculer le troisième. Définition : Chacun des résultats possible d une expérience aléatoire est appelée issue de l expérience. 2. Evénement. Définitions : Un évènement est une condition qui peut être ou ne pas être réalisée lors d une expérience. Un évènement élémentaire est un événement réalisé par une seule issue de cette expérience. Un évènement peut être réalisé par une ou plusieurs évènements élémentaires. Exemples : Définition de l expérience : «On lance un dé à 6 faces équilibré et on regarde le nombre de points inscrits sur sa face supérieure.». «Obtenir un nombre pair» : est un évènement qui est réalisé par les évènements élémentaires 2, 4 et 6. «On obtenir 4» est un évènement élémentaire.

2 B) Notion de probabilité. 1. Définition intuitive. Définition : Pour certaines expériences aléatoires on peut déterminer par un quotient la «chance» qu un évènement a de se produire. Ce quotient est appelé probabilité de l évènement. Exemple : Définition de l expérience : «On tire au hasard une boule dans un sac contenant huit boules dont trois sont rouges et cinq sont vertes. On s intéresse à la couleur de la boule tirée.». On note R l évènement : «On tire une boule rouge». 3 Alors la probabilité que cet évènement se réalise est : P ( R) Probabilité et fréquence. Propriété : Loi des grands nombres Lorsqu on effectue un très grand nombre de fois une expérience aléatoire la fréquence de réalisation d un événement se rapproche d une «fréquence théorique» qui est la probabilité de cet événement. Exemple : Définition de l expérience : «On tire au hasard une boule dans une urne contenant deux boules jaunes et trois boules rouges. On s intéresse à la couleur de la boule tirée.». Si on renouvelle un très grand nombre de fois cette expérience en remettant à chaque fois la boule tirée dans l urne la fréquence du résultat «La boule tirée est jaune.» se stabilise autour de 5 2 qui est la probabilité de l événement J : «La boule tirée est jaune.». Donc 2 F J P( J ). 5 Propriété : Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1. Un événement dont la probabilité vaut 0 est un événement impossible (noté Ø 0 Un événement dont la probabilité vaut 1 est un événement certain (noté P 1). La somme des probabilités de tous les événements élémentaires vaut 1. P ). Exemples : Définition de l expérience : «On lance un dé à 6 faces équilibré et on regarde le nombre de points inscrits sur sa face supérieure.». La probabilité d un événement étant une fréquence elle est bien comprise entre 0 et 1. «Obtenir un nombre négatif» est un évènement impossible. «Obtenir un nombre plus petit que 8» est un évènement certain P ( 1) P(2) P(3) P(4) P(5) P(6)

3 C) Calculer une probabilité : situation d équiprobabilité. 1. Equiprobabilité. Définition : Lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité d être réalisé, on dit qu il s agit d une situation d équiprobabilité. Propriété : Dans une situation d équiprobabilité la probabilité d un événement E est donnée par la formule : nombre de cas favorables à l' événement P( V ) nombre de résultats possibles Exemple : Définition de l expérience : «On lance un dé à 6 faces équilibré et on regarde le nombre de points inscrits sur sa face supérieure.». Il y a six événements élémentaires qui ont la même probabilité : 6 1. On note A l évènement : «Obtenir un nombre de points strictement inférieur à 5». Les résultats favorables à l événement A sont «Obtenir 1 ; 2 ; 3 ou 4» 4 Alors la probabilité que cet évènement se réalise est : P ( A) Evénement contraire. Propriété : On note A l évènement contraire de l évènement A. Si P( A) p alors P( A) 1 P( A) 1 p. Exemple : Définition de l expérience : «On tire au hasard une boule dans une urne contenant des boules blanches et des boules noires. On s intéresse à la couleur de la boule tirée.». 2 On note N l évènement : «On tire une boule noire» et on sait que P ( N). 5 L événement contraire à l événement N est l événement B : «On tire une boule blanche.». 2 3 On a alors : P ( B) P R 1 P( R) Exercice n 1 : On lance deux dés cubiques équilibrés numérotés de 1 à 6 et on calcule la somme des points. 1) Justifier qu il s agit d une expérience aléatoire. 2) Quels sont les résultats possibles de cette expérience? 3) «Obtenir un nombre pair comme somme» : est-ce un événement? 4) «Obtenir une somme inférieure à 6» : est-ce un événement? 5) Est-ce une situation d équiprobabilité?

4 Exercice n 2 : Dans une équipe de 8 élèves constituée de 5 filles et de 3 garçons, il y a 6 demi-pensionnaires. Le professeur d EPS désigne, au hasard, un élève pour être le capitaine de l équipe. 1) Justifier qu il s agit d une expérience aléatoire. 2) Quelle est la probabilité que le capitaine soit une fille? 3) Quelle est la probabilité que le capitaine soit un demi-pensionnaire? Exercice n 3 : Une roue équilibrée de loterie est partagée en sept secteurs identiques sur lesquels sont inscrits les lettres du mot LOTERIE. On la fait tourner, elle s'immobilise et on observe la lettre obtenue. 1) Vrai ou faux? «Il y a 7 issues possibles.». «Obtenir une consonne est une issue possible.». «Obtenir une consonne est un événement possible.». 3 issues permettent de réaliser l'événement «obtenir une lettre du mot VICTOIRE». 2) Complète avec le mot qui convient. Obtenir une consonne et obtenir une.. sont deux événements contraires. Obtenir une lettre du mot MAMAN est un événement.. Obtenir une lettre du mot ETOILE est un événement.. 3) Déterminer la probabilité des événements suivants : a) A : «On obtient la lettre R». b) B : «On obtient une lettre du mot CITRON». c) C : «On obtient une lettre voyelle». Exercice n 4 : Dans une loterie, une roue est divisée en 24 secteurs de même taille : neuf de ces secteurs permettent de gagner 5, six permettent de gagner 10, trois permettent de gagner 50, deux permettent de gagner 100 et les autres ne font rien gagner. On fait tourner la roue, elle s'immobilise et on observe le gain. 1) Quelle est la probabilité de ne rien gagner? 2) Quelle est la probabilité de gagner au moins 50? Exercice n 5 : Un sac contient 15 boules. On sait qu il y a des boules blanches, des boules noires et des boules 2 rouges. On note B : «Tirer une boule blanche.». On sait que P ( B). 5 A l aide de ces informations, est-il possible de calculer : 1) Le nombre de boules blanches? 2) Le nombre de boules noires?

5 Exercice n 6 : On lance un dé cubique. Voici trois situations et trois tableaux de probabilités : relie chaque situation à chaque tableau : Le dé est plombé et tombe toujours sur le 6. Le dé n est pas truqué. Le dé est truqué de telle sorte que la probabilité d obtenir le 6 vaut deux fois la probabilité d obtenir n importe quel autre résultat. Exercice n 7 : Dans ce problème, on lance deux dés de couleurs différentes. Les dés sont équilibrés et les faces sont numérotées de 1 à 6. On s intéresse à la somme des valeurs obtenues par les dés. Partie 1 : On fait une simulation de 1000 expériences avec un tableur. Les résultats sont représentés dans le diagramme en bâtons suivant. 1) Quel est, selon cette simulation, la somme la plus fréquente? 2) Quel est, selon cette simulation, le nombre de lancers qui donne la somme 7? 3) Déduis-en la fréquence en pourcentage représentée par ces lancers. Partie 2 : 1) Complète le tableau ci-dessous et entoure les différentes possibilités d obtenir une somme égale à 7 avec deux dés. 2) Calcule la probabilité d obtenir cette somme. 3) Que peut-on dire de la fréquence obtenue en Partie 1? Propose une explication.

6 Exercice n 8 : Vu au Brevet Dans une urne contenant des boules vertes et des boules bleues, on tire au hasard une boule et on regarde sa couleur. On replace ensuite la boule dans l urne et on mélange les boules. La probabilité d obtenir une boule verte est ) Expliquer pourquoi la probabilité d obtenir une boule bleue est égale à 5 3 2) Paul a effectué 6 tirages et a obtenu une boule verte à chaque fois. Au 7 ème tirage, aura-t-il plus de chances d obtenir une boule bleue qu une boule verte? 3) Déterminer le nombre de boules bleues dans cette urne sachant qu il y a 8 boules vertes. Exercice n 9 : Vu au Brevet Un sac opaque contient 120 boules toutes indiscernables au toucher, dont 30 sont bleues. Les autres boules sont rouges ou vertes. On considère l expérience aléatoire suivante : On tire une boule au hasard, on regarde sa couleur, on repose la boule dans le sac et on mélange. 1) Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue? Écrire le résultat sous la forme d une fraction irréductible. 2) Cécile a effectué 20 fois cette expérience aléatoire et elle a obtenu 8 fois une boule verte. Choisir, parmi les réponses suivantes, le nombre de boules vertes contenues dans le sac (aucune justification n est demandée) : a) 48. b) 70. 3) La probabilité de tirer une boule rouge est égale à 0,4. a) Quel est le nombre de boules rouges dans le sac? b) Quelle est la probabilité de tirer une boule verte? c) On ne peut pas savoir. d) 25. Exercice n 10 : Un concessionnaire automobile a vendu ce mois-ci 85 véhicules de tous types. En voici un descriptif partiel : 1) Recopie et complète le tableau ci-dessus. 2) Le concessionnaire sélectionne, au hasard, le dossier d un de ces 85 véhicules. Quelle est la probabilité que ce soit : C : «le dossier d une citadine»? H : «le dossier d une voiture vendue par Henri»? PR : «le dossier d une routière vendue par Paul»?

7 Exercice n 11 : Un orchestre symphonique est composé de 104 instruments dont vous trouverez la répartition cidessous : On croise un musicien de cet orchestre. Quelle est la probabilité qu il joue : 1) T : «du tuba»? 2) V : «du violoncelle»? 3) C : «d un cuivre»? Exercice n 12 : On lance un dé à 6 faces. Ce dé est pipé à l aide d un plomb caché à l intérieur. Le tableau suivant précise les probabilités des événements élémentaires, p désignant un nombre. Nombre obtenu Probabilité p 2p 2p 2p 2p 4p 1) Déterminer la valeur du nombre p. 2) Déterminer la probabilité de l événement : A : «On a obtenu 4». C : «On a obtenu un nombre pair». D : «On a obtenu un nombre impair». 3) Sous quelle face du dé a été caché le plomb? Exercice n 13 : Vu au Brevet Il y a dans une urne 12 boules indiscernables au toucher, numérotées de 1 à 12. On veut tirer une boule au hasard. 1) Est-il plus probable d obtenir un numéro pair ou bien un multiple de 3? 2) Quelle est la probabilité d obtenir un numéro inférieur à 20? 3) On enlève de l urne toutes les boules dont le numéro est un diviseur de 6. On veut à nouveau tirer une boule au hasard. Expliquer pourquoi la probabilité d obtenir un numéro qui soit un nombre premier est alors 0,375.

8 Exercice n 14 : Vu au Brevet Une urne contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune des boules à la même probabilité d être tirée. On tire une boule au hasard. 1) Calculer la probabilité la probabilité que cette boule soit rouge. 2) Calculer la probabilité que cette boule soit noire ou jaune. 3) Calculer la somme des probabilités trouvées aux questions précédentes. Le résultat était-il prévisible? Pourquoi? Exercice n 15 : Vu au Brevet Le baklava est une pâtisserie traditionnelle dans plusieurs pays comme la Bulgarie ou le Maroc. Il s agit d un dessert long à préparer, à base de pâte feuilletée, de miel, de noix ou de pistaches ou de noisettes, selon les régions. Dans un sachet non transparent, on a sept baklavas indiscernables au toucher portant les lettres du mot BAKLAVA. On tire au hasard un gâteau dans ce sachet et on regarde la lettre inscrite sur le gâteau. 1) Quelles sont les issues de cette expérience? 2) Déterminer les probabilités suivantes : a) La lettre tirée est un L. b) La lettre tirée n est pas un A. 3) Enzo achète un sachet contenant 10 baklavas tous indiscernables au toucher. Ce sachet contient 2 baklavas à base de pistaches, 4 baklavas à base de noisettes et les autres baklavas sont à base de noix. Enzo pioche au hasard un gâteau et le mange ; c est un gâteau à base de noix. Il souhaite en manger un autre. Son amie Laura affirme que, s il veut maintenant prendre un nouveau gâteau, il aura plus de chances de piocher un gâteau à base de noix. A-t-elle raison? Justifier la réponse. Exercice n 16 : Vu au Brevet Une société commercialise des composants électroniques qu elle fabrique dans deux usines. Lors d un contrôle de qualité, 500 composants sont prélevés dans chaque usine et sont examinés pour déterminer s ils sont «bons» ou «défectueux». Résultats obtenus pour l ensemble des composants prélevés : 1) Si on prélève un composant au hasard parmi ceux provenant de l usine A, quelle est la probabilité qu il soit défectueux? 2) Si on prélève un composant au hasard parmi ceux qui sont défectueux, quelle est la probabilité qu il provienne de l usine A? 3) Le contrôle est jugé satisfaisant si le pourcentage de composants défectueux est inférieur à 7% dans chaque usine. Ce contrôle est-il satisfaisant?

9 Exercice n 17 : Vu au Brevet Pour gagner le gros lot à une kermesse, il faut d abord tirer une boule rouge dans une urne, puis obtenir un multiple de 3 en tournant une roue de loterie numérotée de 1 à 6. L urne contient 3 boules vertes, 2 boules bleues et 3 boules rouges. 1) Sur la roue de loterie, quelle est la probabilité d obtenir un multiple de 3? 2) Quelle est la probabilité qu un participant gagne le gros lot? 3) On voudrait modifier le contenu de l urne en ne changeant que le nombre de boules rouges. Combien faudra-t-il mettre en tout de boules rouges dans l urne pour que la probabilité de tirer une boule rouge soit de 0,5. Expliquer votre démarche. Exercice n 18 : Vu au Brevet Le Solitaire est un jeu de hasard de la Française des Jeux. Le joueur achète un ticket au prix de 2, gratte la case argentée et découvre le «montant du gain». Un ticket est gagnant si le «montant» du gain» est supérieur ou égal à 2. Les tickets de Solitaire sont fabriqués par lots de tickets. Le tableau ci-dessous donne la composition d un lot. 1) Si on prélève un ticket au hasard dans un lot : a) quelle est la probabilité d obtenir un ticket gagnant dont le «montant du gain» est 4? b) quelle est la probabilité d obtenir un ticket gagnant? c) expliquer pourquoi on a moins de 2% de chance d obtenir un ticket dont le «montant du gain» est supérieur ou égal à 10. 2) Tom dit : «Si j avais assez d argent, je pourrais acheter un lot complet de tickets Solitaire. Je deviendrais encore plus riche». Expliquer si Tom a raison.

10 Exercice n 19 : Vu au Brevet Guilhem, en week-end dans une station de ski, se trouve tout en haut de la station. Il a en face de lui, deux pistes noires, deux pistes rouges et une piste bleue qui arrivent toutes à un restaurant d altitude. Bon skieur, il emprunte une piste au hasard. 1) Quelle est la probabilité que la piste empruntée soit une piste rouge? 2) À partir du restaurant, sept autres pistes mènent au bas de la station : trois pistes noires, une piste rouge, une piste bleue et deux pistes vertes. Quelle est la probabilité qu il emprunte alors une piste bleue? 3) Guilhem effectue une nouvelle descente depuis le haut de la station jusqu en bas dans les mêmes conditions que précédemment. Quelle est la probabilité qu il enchaîne cette fois-ci deux pistes noires? Exercice n 20 : Vu au Brevet On souhaite organiser une chasse au trésor dans toute la Nouvelle-Calédonie. Des balises seront cachées dans chacune des trois Provinces de Nouvelle-Calédonie. Certaines d entre-elles contiendront une clé. Voici leur répartition : en Province Sud sont situées 7 balises, dont 4 avec une clé, en Province Nord sont situées 5 balises, dont 3 avec une clé, en Province des Iles-Loyauté sont situées 3 balises, dont 2 avec une clé. 1) L équipe des Notous a découvert une balise en Province Nord. Quelle est la probabilité qu une clé se trouve à l intérieur? 2) L équipe des Notous a bien trouvé une clé dans cette première balise. Ils découvrent une seconde balise en Province Nord. Quelle est la probabilité qu elle contienne une clé? 3) L équipe des Cagous a découvert deux balises dans la Province des Îles-Loyauté. Quelle est la probabilité que cette équipe ait trouvé au moins une clé?

11 Exercice n 21 : Yasmina a écrit le script suivant afin de simuler un grand nombre de lancers d un dé équilibré à 6 faces : 1) Expliquer le rôle joué par chacune des quatre variables de ce script. 2) Dans quel but Yasmina a-t-elle écrit ce script? 3) Quel est le problème de ce script? 4) Sans exécuter le script, peut-on prévoir le comportement de la variable «fréquence»? 5) Modifier ce script pour qu il affiche la fréquence pour une simulation de1000 tirages.