Modélisation des actions mécaniques page 1 / 10

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1 Modélisation des actions mécaniques page 1 / Introduction. Modélisation des actions mécaniques 1.1 Définition d une action mécanique. Une action mécanique ne se voit pas (comme la température et contrairement à la vitesse ou la masse), on ne voit que ses effets qui peuvent être : Des déplacements de corps, La modification des mouvements des corps, Des déformations, voir la rupture des corps. L objectif de l ingénieur est de prévoir, modifier, contrôler, corriger, bref, maîtriser les mouvements, déformations, ruptures. Ce sont les effets. Pour cela il doit s intéresser aux causes et aux relations entres celles-ci et les effets. Les causes, ce sont les actions mécaniques. Les relations ce sont les principes. Ces principes sont issus de l observation. Un principe ne se démontre pas, il s observe et se vérifie : Le Principe Fondamental de la Statique (P.F.S.) donne des relations entre les différentes actions mécaniques pour des systèmes immobiles. Le Principe Fondamental de la Dynamique (P.F.D.) donne les relations entre les mouvements avec les efforts. Les lois de comportement des matériaux donnent les relations entre les efforts et les déformations. Ces principes, se formalisent, bien sûr, de façon mathématique. Il faut donc donner à l action mécanique un modèle mathématique qui pourra la représenter avec efficacité (petit exemple : la grandeur physique vitesse est modélisée par l outil vecteur). Mais avant de songer à modéliser l action mécanique, apprenons donc à mieux la connaître pour, ensuite, mieux la piéger. Modèle des actions mécanique Principe Modèle du comportement (statique, déplacements, déformations) Modélisation (hypothèses etc) Modélisation (hypothèses etc) ctions mécanique connues ctions mécanique inconnues Géométrie du mécanisme

2 Modélisation des actions mécaniques page 2 / Deux approches différentes. L action mécanique est une grandeur physique appliquée par quelque chose sur autre chose (conséquence sur les notations). Il existe deux approches pour caractériser l action mécanique : L approche fine : l action mécanique est définie par un champ de forces élémentaires (le plus souvent) appliquées sur le solide. La zone d application de ce champ de forces apparaît. L approche globale : l action mécanique est la composition de trois actions mécaniques élémentaires : pousser, tordre, serrer. En aucun cas la zone d application n apparaît. 3. Mise en place d un modèle d action mécanique. 3.1 Comparaison qualitative entre les deux approches. Φ Propriétés de l approche fine : Elle est plus près de la réalité. Elle représente bien ce qu il se passe sur et aux alentours de la zone d application ( déformations locales). Mais elle est extrêmement difficile à mettre en œuvre d un point de vue calcul. Φ Propriétés de l approche globale : Il est absolument impossible de faire apparaître ce qu il se passe près de la zone d application (puisqu elle n apparaît pas). En approche globale on ne parle ni de surface ni de point d application. Mais, elle est aussi performante que l approche fine pour décrire ce qui se passe loin de la zone d application. Les calculs sont simples. Φ Conclusion de la comparaison : L approche fine ne s impose que pour étudier les déformations des solides. L approche fine ne sera donc pas utilisées pour les solides indéformable. Elle ne servira, au cas échant à déterminer l approche globale ( cf suivants).

3 Modélisation des actions mécaniques page 3 / pproche fine. Les actions mécaniques peuvent être classées en trois grandes familles : Les actions mécaniques de contact : la zone d application est une surface de contact. Soit Σ la surface de contact : M Σ \ f (M) Les actions mécaniques d un fluide : la zone d application est une surface de contact, mais le comportement est différent. La mécanique des fluides fait l objet d études particulières. M Σ \ f (M) Les actions mécaniques à distance : la zone d application est un volume. Exemples : l action de la pesanteur, les actions électrostatiques (électricité statique), magnétiques (moteurs électriques) et la télékinésies (pas au programme). 3.3 pproche globale. Soit Σ le volume d application de l action mécanique, M Σ \ f (M) Donnons un modèle mathématique aux 2 actions mécaniques élémentaires «pousser», «tordre» : Il faut 1 vecteur pour modéliser «pousser» : R 12 pour l action mécanique de 1 sur 2 Il faut 1 autre pour modéliser «tordre» : M,12 «serrer» ne peut pas se modéliser d un point de vue global. En partant du principe que deux actions mécaniques différentes qui ont les mêmes effets sont modélisées par le même modèle global on observe que le champs des moments est un champs de torseur. (tout comme le champs des vitesses d un solide indéformable est un champs de torseur). Modèle : l action mécanique de 1 sur 2 est modélisée par un t orseur {1 2} = 12 = 12 M,12 B MB,12 tels que MB,12 = M,12 + B ^ R 12 R 12 est appelée la résultante du torseur des actions mécaniques de 1 sur 2. Unité N M,12 est appelé le moment en du même torseur. Ils sont tous les deux les éléments de réduction du torseur. et B sont les points de réduction du torseur {1 2} (en aucun cas, il est possible de parler de point de contact : jamais). Si M,12 = 0, le torseur {1 2} est appelé torseur glisseur. Remarques très utiles : Unité N.m Si R 12 = 0, le torseur {1 2} est appelé torseur couple. Si le torseur est un torseur couple, il s écrit de la même manière en tous points de l espace. Si le torseur n est pas un torseur couple, il existe toujours un point pour lequel le torseur est un glisseur.

4 Modélisation des actions mécaniques page 4 / Détermination du torseur des actions mécaniques. 4.1 partir de l approche fine. Si cette dernière est connue, on peut déterminer le torseur des actions mécaniques par une intégration : on perds alors les informations de zone de contact. ction mécanique surfacique de 1 sur 2 : zone de contact Σ {1 2} = 12 avec M,12 R 12 = M Σ f (M) = M Σ M,12 = M Σ M ^ p (M).ds p (M).ds avec p en N/mm² ttention, la surface n est pas nécessairement une surface plane. ction mécanique volumique de 1 sur 2 : zone d application Σ {1 2} = 12 avec M,12 R 12 = M Σ f (M) = M Σ M,12 = M Σ M ^ p (M).dv p (M).dv 4.2 partir d une description de l action mécanique. Exemple : si on veut modéliser l action mécanique de la main sur un levier de manœuvre, il n est pas utile (et possible) de rechercher la pression de contact en chaque point de la main, car elle n est pas bien définie ainsi que la zone de contact. Par contre, on a une approche globale très précise à partir du geste : on sait dans quelle direction on «pousse» dans quel sens et pourquoi par avec quelle intensité : ce qui nous fait un vecteur : la résultante. C est ce qui s appelle modéliser : partir de la réalité pour créer un modèle mathématique. Si certaines informations ne sont pas définies (direction, valeur algébrique), on fait apparaître des inconnues. 4.3 Détermination de l approche fine à partir du global. Si on connaît le torseur des a.m. et que l on recherche le champs de forces élémentaires, il manque des informations sur la répartition. Il faut vérifier les deux intégrales ( R 12 = f (M) = M Σ M suffit pas pour déterminer p (M). p (M).ds & M,12 = M Σ M ^ p (M).ds ), mais cela ne Il faut en plus faire des hypothèses sur la répartition de la pression (à partir d observation et de bon sens). Exemple : R 12 C MC,12 = P max = F S P max > F S Hypothèse de répartition uniforme Hypothèse de répartition variable

5 Modélisation des actions mécaniques page 5 / ction mécanique de la pesanteur. 5.1 Introduction. La pesanteur est le fruit de deux phénomènes : 1. La gravitation universelle : Elle dépend du rayon de la terre. Elle est quasiment constante, car le rayon de la terre est constant (Rayon :6300 km). 2. La «force centrifuge» due à la vitesse de rotation de la terre. Cette dernière varie beaucoup en fonction de la position sur la terre. Elle est maximale sur l équateur car c est le point de plus éloigné de l axe de la terre (a = r.ω 2 ) cause d elle la pesanteur n est pas exactement orientée verticalement. Remarque : l influence des autres astres est négligeable lorsque l on fait de la mécanique sur terre. 5.2 ction de la pesanteur sur un solide de masse m (kg). pproche fine : chaque particule (M) du solide subit une force volumique de direction verticale, dirigée vers le bas et de norme ρ.g (kg/m 3 ) : p (M) = ρ. g g est l accélération de la pesanteur. Elle est pratiquement constante sur terre. Nous, nous la considérerons verticale et de norme à g = 9.81 m/s² (N/kg). pproche globale : On montre qu il existe un point pour lequel le torseur est un glisseur Ce point est le centre de gravité du solide G (voir suivant). m. g {pes solide} = G avec g un vecteur vertical descendant de norme g. 0 Remarque : la pesanteur n est pas appliquée au point G. Si on creuse le solide pour enlever G (un tore), le solide tombe quand même. 5.3 Centre de gravité. Définition : c est le point tel q ue l action mécanique de la pesanteur est modélisée par un glisseur : G est centre de gravité de la pièce 2 ssi P 2 GP.dm = 0 On montre qu avec O appartenant à ce solide que : Relation que l on peut discrétiser : OG = 1 m. P 2 OP.dm OG = 1 m i. m i. OG i connaître : centre de gravité de : la sphère, parallélépipède, cylindre, solide composée de différents volumes élémentaires (relation discrétisée)

6 Modélisation des actions mécaniques page 6 / ction mécanique de l air sur une surface plane. C est de la mécanique des fluide : pproche fine : la pression d un fluide sur un solide est un vecteur normal à la surface de contact, dirigé vers la matière et de norme la pression du fluide en ce point : p (M) = -p(m). n (M) La pression p(m) dépend de l altitude du point M. Si le fluide est de l air, la taille des systèmes techniques que nous utilisons est telle que la variation de pression est négligeable. Si de plus la surface est plane, la normale à la surface est constante. lors p (M) = -p. n pproche globale : on montre qu au centre de surface C, le torseur de l air sur le solide est un glisseur : -p.s. n {air solide} = C 0 7. ction mécanique d un ressort. avec p (N/mm² = Mpa) la pression de l air, S (mm²) la section de la surface, et n la normale à cette surface. C est défini tel que P Σ P Σ GP.dS = 0 l 0 : longueur à vide. l 0 l B l : longueur chargé. x : allongement x = l - l 0 Support 1 Soit un point M appartenant à la droite (B). Soit Support 2 v un vecteur unitaire de direction (B) et dirigé de vers B. +k.x. v -k.x. v {res 1} = M et {res 2} = 0 M 0 k est la raideur du ressort : elle est intrinsèque au ressort, elle dépend de la matière du ressort du diamètre du fil, du diamètre des spires et du nombre de spires. Si le ressort est sollicité en compression, x < 0

7 Modélisation des actions mécaniques page 7 / ctions mécaniques dans les liaisons. Introduction : La modélisation cinématique consiste à décrire le comportement cinématique des liaisons. Il s agit d écrire un torseur cinématique compatible avec les mobilités de la liaison : on introduit alors des paramètres plus ou moins nombreux (I c 6) qui sont inconnus ou non. Ensuite l écriture de la fermeture géométrique (ou cinématique) permettra d écrire des relations entre ces différents paramètres. La modélisation statique consiste à décrire les capacités de transmission d effort de chaque liaison. Il s agit d écrire un torseur des actions mécaniques compatibles avec les propriétés de la liaison : on introduit alors des paramètres plus ou moins nombreux (N s 6) qui sont inconnus ou non. Ensuite l écriture du principe fondamental de la statique (ou de la dynamique) permettra d écrire des relations entre ces différents paramètres. Hypothèses : Toutes les hypothèses faites pour modéliser un assemblages par une liaison doivent être vérifiées. De plus les frottements dans les liaisons sont négligés (liaisons parfaites) Principe pour construire les torseurs. 1. les actions mécaniques sont des actions de contact, c est à dire que les efforts ne peuvent être transmis que par l intermédiaire d un obstacle (la zone de contact). 2. Les liaisons permettent des mouvements relatifs entre les deux pièces. S il y a mouvement dans une direction, il n y a pas d obstacle, donc il n y a pas d effort transmissible dans cette direction. 3. Si le solide 1 ne peut pas translater par rapport au solide 2 dans une direction, alors il peut le «pousser» dans cette direction : la résultante est liée à la translation. 4. Si le solide 1 ne peut pas tourner par rapport au solide 2 autour d un axe, alors il peut «tordre» autour de cet axe : Le moment est lié à la rotation. Exemple de la liaison pivot glissant d axe (, x ) x {V 2/1 } = ω. x v. x alors {2 1} = 21 M,21 vec R 21. x = 0 Et M,21. x = 0 {V 2/1 } = ω v si on introduit une base de projection ( x, y, z ) ( x, y, z ) et {2 1} = 0 0 Y 21 M,21 Z,21 N,21 ( x, y, z ) Conclusion : les torseurs des actions mécanique et cinématique sont complémentaires. Ce qui se traduit par : N s + I c = 6 Et par si les frottements sont négligés Ω 2/1. M M,12 + v M,2/1. R 12 = 0 {1 2}*{V 2/1 } = {0}

8 Modélisation des actions mécaniques page 8 / dhérence - Frottement. 9.1 Sensibilisation pour une liaison ponctuelle. Dans le cas d une liaison ponctuelle entre 1 et 2 de centre et de normale n. Etudions l action mécanique de 1 sur 2 lorsque le solide se déplace ou tend à se déplacer vers u. Donc v,2/1 = v. u 2 R 12 n v,2/1 u L action mécanique de 1 sur 2 est un glisseur : {1 2} = 12 avec : 0 1 S il n y a pas de frottement : S il y a frottement : R 12 = F. n R 12 = F. n - γ.f. u F n R 12 u Composante normale Composante tangentielle -γ.f vec γ, un coefficient sans unité. Courbe expérimentale donnant la valeur de f en fonction de la vitesse de glissement v. γ v C est une courbe un peu complexe à exploiter.

9 Modélisation des actions mécaniques page 9 / Modèle de coulombs (pour une ponctuelle). γ Zone d adhérence f 0 f v,2/1 Zone d adhérence : v = 0 Zone de frottement γ est compris entre 0 et f 0 La composante tangentielle est comprise entre 0 et f 0.F f 0 est appelé facteur d adhérence. Zone de frottement : v 0 γ est égal à f La composante tangentielle est égale à f.f f est appelé facteur de frottement. Remarque : f est légèrement inférieur à f 0. En pratique, ils sont confondus. Valeurs de f : Palier à roulement (facteur équivalent) : à Paliers lisses (graissage onctueux) : 0.01 à 0.1 Remarque : Paliers lisses (film discontinu) : 0.01 à 0.04 f est parfois noté µ Paliers lisses (Régime hydrodynamique) : à 0.08 Interprétation graphique:introduisons l angle ϕ, angle de frottement tel que tanϕ = f. Dans l espace dans le plan R 12 ϕ ϕ R 12 Il y a frottement ou adhérence à la limite du glissement : R 12 est sur le cône de frottement. Il y a adhérence : R 12 est dans le cône de frottement. R 12 n'est jamais hors du cône de frottement.

10 Modélisation des actions mécaniques page 10 / Pour un appui plan en translation. R 12 Il existe un point tel que n {1 2}= 12 0 vec R 12 = F. n - f.f. u v 2/1 u On montre que si la répartition de pression p est uniforme, le point est le centre de la surface et F = p.s 9.4 Pour un appui plan en rotation. R 12 Sens de rotation éventuel {1 2} = 12 M,12 On montre que si la répartition de pression p est uniforme sur un anneau : R 12 = F. n M,12 M,12 = f.R3 - r 3 R 2 - r 2.F. n 9.5 utres liaisons. Si le mouvement éventuel est une translation, le frottement impliquera une composante de résultante parallèle à la translation latente qui s opposera à cette translation.. Si le mouvement éventuel est une rotation, le frottement impliquera une composante de moment. 9.6 rc-boutement. L arc-boutement est un blocage dû au frottement. La géométrie du mécanisme est telle que l effort de blocage est proportionnel à l effort moteur : il y a blocage quel que soit l effort moteur, jusqu à destruction des matériaux. Exemples : tiroir, cale sous la roue d une voiture, cale sous la porte, serre-joint, roue libre, etc