Les Quanta 2 eme édition revue et mise à jour. Georges Déjardin Professeur à la Faculté des Sciences de l Université de Lyon

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1 Les Quanta 2 eme édition revue et mise à jour Georges Déjardin Professeur à la Faculté des Sciences de l Université de Lyon 1937

2 2 AVANT-PROPOS Ce modeste ouvrage est le résumé d un certain nombre de conférences faites par l auteur à la Faculté des Sciences de Lyon et destinées aux candidats à l agrégation des sciences physiques. Ces conférences ont été remaniées et groupées d une manière cohérente, afin de donner rapidement au lecteur une vue d ensemble sur les questions les plus importantes de la Physique moderne. Elles ont été rédigées avec le souci constant d éviter toute complication inutile, en insistant principalement sur les principes des théories, sur la discussion des hypothèses et la valeur des témoignages expérimentaux. L auteur s est efforcé de présenter au lecteur débutant un exposé aussi simple et aussi clair que possible des formes anciennes de la théorie des quanta, complété par de brèves indications sur l évolution actuelle de cette théorie. Les ouvrages généraux auxquels le lecteur pourra utilement se reporter sont, à l exclusion des mémoires originaux, indiqués dans un répertoire bibliographique placé à la fin du volume. D autre part, l auteur s est inspiré, à plusieurs reprises, des remarquables leçons professées à la Sorbonne par M. E. Bloch, au cours des années scolaires précédentes. Lyon, mai 1929.

3 AVERTISSEMENT DE LA DEUXIEME EDITION 3 Afin de conserver à cet ouvrage d initiation son caractère élémentaire, le plan de la première édition n a subi aucune modification. L exposé reste consacré en grande partie au développement et aux applications de l ancienne théorie des quanta qui, grâce à son caractère intuitif, reste à la portée du lecteur débutant et lui permet d aborder ensuite plus aisément les spéculations beaucoup plus abstraites des théories actuelles. Toutefois, pour tenir compte des progrès considérables accomplis au cours des dernières années, une plus large place a été réservée a la mécanique ondulatoire et à ses applications. A cet égard, plusieurs chapitres ont subi d mportants remaniements. En outre, les notations ont été améliorées et les valeurs des constantes ont été revisées. Lyon, mai 1936.

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5 Introduction Les radiations L étude des radiations se rattache étroitement à la revision des principes fondamentaux à partir desquels la Science s est développée. Elle est à la base de la théorie des quanta et de la théorie de la relativité. Les caractères essentiels du rayonnement ont été dégagés en expérimentant tout d abord sur les radiations qui impressionnent la rétine. Mais divers récepteurs, substitués à l oeil, ont permis d élargir considérablement le champ très étroit des radiations visibles, et d explorer un immense domaine s étendant des grandes ondes de la télégraphie sans fil aux rayons X et γ. Nous pouvons actuellement considérer la lumière, ou rayonnement, comme un mécanisme très général d échange d énergie entre les corps, indépendamment de toute action physiologique. Théories de la lumière Les théories de la lumière se ramènent à deux types distincts et, en apparence, irréductibles. Dans les théories, ondulatoires, la lumière est envisagée comme un phénomène périodique continu dans le temps et dans l espace (éther). Il est utile de rappeler ici les conceptions essentielles sur lesquelles reposent ces théories. Malgré leur simplicité, elles permettent d interpréter exactement tous les phénomènes de l optique classique : interférences, diffraction, polarisation. 1. Le rayonnement émis par une source quelconque est un ensemble complexe constitué par une infinité d éléments indépendants et indécomposables, formant une suite continue, appelés radiations simples ou monochromatiques. 2. Chaque radiation simple est due a une perturbation périodique sinusoïdale se propageant dans le vide ou la matière transparente avec une vitesse uniforme. On peut la définir numériquement, soit par sa fréquence, 5

6 6 soit par sa période dans l espace ou longueur d onde. Sans préciser la nature de la perturbation, il convient de la caractériser par les variations d un vecteur perpendiculaire à la direction de propagation(dans les milieux isotropes). 3. Tout faisceau lumineux effectue un transport d énergie entre le corps qui l émet et celui qui le reçoit. Dans le cas d une radiation simple, l énergie transportée par unité de temps, ou intensité énergétique, est proportionnelle au carré de l amplitude de la perturbation. Sous sa forme la plus parfaite, la théorie des ondulations admet qu en tout point d une onde plane monochromatique existent un champ électrique et un champ magnétique périodiquement variables, contenus dans le plan de l onde et, à chaque instant, perpendiculaires entre eux. L expérience montre que les effets physiologiques ou photographiques du rayonnement doivent être attribués au vecteur électrique. La théorie électromagnétique s est substituée avec avantage à la conception de l éther élastique. Mais il ne faut pas oublier que ces deux aspects de la théorie ondulatoire ne diffèrent que par la signification physique des grandeurs qui interviennent ; ils reposent tous deux sur l hypothèse de variations périodiques continues et sur la notion de propagation d ondes transversales. Les formes mathématiques de la théorie de Fresnel subsistent intégralement dans celle de Maxwell. Aussi, malgré l importance de la synthèse réalisée, d importants phénomènes restent en dehors du cadre de la théorie électromagnétique. Ils se manifestent à l occasion des échanges d énergie entre la matière et le rayonnement, par émission ou par absorption. Ces échanges ne peuvent avoir lieu que par quantités finies (ou quanta) égales à hµ, µ désignant la fréquence du rayonnement considéré et h étant une constante universelle. L existence des phénomènes de quanta a donc provoqué un retour aux hypothèses disccontinues, défendues autrefois, sous une forme primitive, par Newton(théorie corpusculaire de l émission). Le développement de nos connaissances sur le rayonnement du corps noir, sur l émission spectrale, l étude de l action photoélectrique, la découverte de l effet Compton (variation de longueur d onde par diffusion) ont apporté les preuves décisives d une structure discontinue de 1 énergie rayonnante. A cet égard, la conception la plus hardie est celle d Einstein qui postule pour le rayonnement une constitution granulaire (théorie des quanta de lumière) et qui se pose ainsi en contradiction absolue avec l optique des interférences et de la diffraction.

7 7 Insuffisance de la Mécanique classique En réalité, la Physique tout entière résulte d une association entre les hypothèses continues et les conceptions discontinues. Comme nous l avons rappelé, la théorie ondulatoire du rayonnement est entièrement soumise a l idée de continuité. Au contraire, la Physique de la matière a pour bases fondamentales les notions expérimentales d atome et d électron combinées aux principes de la mécanique newtonienne. Jusqu à notre époque, on peut dire que les phénomènes physiques et chimiques sont venus se grouper dans deux domaines distincts, relatifs aux propriétés des radiations et a celles de la matière, et caractérisés par des méthodes d explication radicalement opposées. La découverte des phénomènes de quanta a permis justement aux deux doctrines de s affronter. En effet, les explications fondées sur la théorie des quanta impliquent l insuffisance de la dynamique classique. On peut montrer (Poincaré) que les équations de la mécanique newtonienne, appliquées aux mouvements des particules matérielles dans les sources de lumière, sont incompatibles avec la formule de Planck, relative à l émission du corps noir et vérifiée avec précision par l expérience. La dynamique classique conduit, en effet, à la formule inexacte de Lord Rayleigh. On peut prouver également que les spectres de raies des éléments ne peuvent s interpréter qu au moyen de nouvelles lois dynamiques basées sur la discontinuité de certaines fonctions. En définitive, les phénomènes de quanta paraissent en contradiction absolue aussi bien avec les lois newtoniennes qu avec les hypothèses de la theorie électromagnétique. But de l ouvrage Nous nous proposons, dans cet ouvrage élémentaire, d exposer très succinctement les bases et le développement de la théorie des quanta. Nous éviterons autant que possible les complications d ordre mathématique pour insister au contraire sur les principes fondamentaux et sur les vérifications expérimentales. Nous pensons qu un tableau détaillé des faits suffira pour faire apprécier au lecteur débutant le caractère original et la puissance de la théorie. Dès maintenant, nous tenons àl faire remarquer que la capacité d interprétation des nouveaux principes est assez limitée. Pour élargir leur champ d application, il a fallu essayer de rétablir la liaison avec la théorie électromagnétique (principe de correspondance de Bohr). Mais de tels compromis sont essentiellement provisoires et ne peuvent faire oublier le désaccord absolu qui existe entre les conceptions discontinues et la théorie classique du rayonnement. Pour permettre à la Physique de sortir de l impasse où elle se trouvait

8 8 engagée, il fallait remanier à, la fois la dynamique newtonienne et l optique classique électromagnétique. C est le but poursuivi et atteint en grande partie par la nouvelle mécanique ondulatoire (L. de Broglie, Schrödinger) qui se propose «de fondre la dynamique avec la théorie des ondes convenablement généralisée et d abattre ainsi les barrières qui séparaient la Physique de la matière de la Physique des radiations 1». 1. L. DE Broglie, Conférence du Centenaire de Fresnel, Revue d optique, 6, 1927, p 552.

9 Chapitre 1 Le rayonnement noir et l hypothèse des quanta 1.1 Rayonnement dans une enceinte isotherme 1 Nous désignons par rayonnement noir (expression incorrecte, mais consacrée par l usage) le rayonnement d origine thermique qui existe à l intérieur d une enceinte isotherme, une fois l état stationnaire réalisé (état d entropie maximum), On sait qu a l intérieur d une telle enceinte, l énergie rayonnante est complètement diffusée, c est-à-dire répartie uniformément dans toutes les directions, et qu elle ne présente aucune trace de polarisation. Le rayonnement noir est caractérisé par son intensité spécifique désignée, dans le cas du vide, par E λ, et relative à un intervalle spectral très étroit : λ, λ + dλ à une direction déterminée et et un plan de polarisation quelconque passant par cette direction. La grandeur E λ, de même nature qu un pouvoir émissif, ne dépend que de la longueur d onde λ et de la température absolue T, ce qui s exprime par la relation : E λ = F (λ, T ) (1.1) dans laquelle la fonction F représente la distribution de l énergie rayonnante entre les diverses longueurs d onde. La densité spectrale énergétique du rayonnement noir, c est-à-dire la quantité d énergie par unité de volume, pour une longueur d onde déterminée λ (à dλ près), a pour expression : 1. Pour toutes les notions générales sur le rayonnement, nous renvoyons à l ouvrage de M. Blanc, dans la même collection : Rayonnement et principes scientifiques de l éclairage 9

10 10 CHAPITRE 1. RAYONNEMENT NOIR - QUANTA µλ dλ = 8π c E λ dλ (1.2) Si l on considère le pouvoir émissif (ou brillance spectrale énergétique) et le pouvoir absorbant (ou facteur d absorption) correspondant au même point de la surface d un corps, à, la même longueur d onde, a la même direction et au même plan de polarisation, on démontre que leur rapport est identique pour tous les corps et égal à l intensité spécifique du rayonnement dans le milieu environnant (loi de Kirchhoff). Le pouvoir émissif du corps noir (absorbant parfait ou radiateur intégral) dans le vide est donc égal à E λ. La fonction F (λ, T ) est universelle, indépendante des propriétés particulières du corps noir considéré. Les principes de la thermodynamique permettent de préciser notablement les caractères de cette fonction, sans en donner toutefois l expression complète. 1.2 Lois de rayonnement du corps noir Loi de Stefan La radiance énergétique totale R du corps noir (énergie rayonnée par seconde, par cm 2, dans toutes les directions et pour toutes les fréquences) est proportionnelle à la quatrième puissance de la température absolue : R = 2π 0 E λ dλ = σ T 4 σ = 5, c.g.s. (cm 2, erg-sec, degré centigrade). La densité énergétique totale du rayonnement noir est donc : U = 8π c 0 E λ dλ = 4 c σ T 4 = 7, T 4 ergs : cm 3 (1.3) Loi du déplacement de Wien Considérons les courbes représentant, à température constante (courbes isothermes), la répartition de l énergie dans le spectre du corps noir. On passe de la courbe relative à T1 0 à celle qui correspond à T2 0 en multipliant l abscisse λ de chaque point par T 1 T 2 et l ordonnée correspondante E λ par ( T 2 T 1 ) 5. Il en résulte, pour la lonction F, les deux formes équivalentes : E = T 5 f(λt ) = λ 5 φ(λt ) (1.4)

11 1.3. PRESSION DE RADIATION 11 f et φ étant des fonctions du seul produit λt On peut remarquer que la loi précédente conduit un pouvoir émissif total proportionnel a T 4 ; elle contient donc la loi de Stefan. Chaque isotherme présente un maximum unique dont lšabscisse λ m est inversement proportionnelle à la température absolue : λ m T = k, k = 2884 (λ m étant exprimée en microns). Pour obtenir les lois de Stefan et de Wien à partir des principes de la thermodynamique, il faut tenir compte de l existence de la pression de radiation et de l effet Doppler-Fizeau. 1.3 Pression de radiation L action mécanique du rayonnement sur la matière joue un rôle capital dans toutes les considérations théoriques relatives aux radiations. Elle fait intervenir, sous une forme particulièrement simple, l énergie rayonnante, dégagée de tout support matériel, et la force mécanique, appliquée directement à la matière. Une surface plane parfaitement absorbante (surface noire), recevant normalement une onde plane, est soumise à une pression normale égale à la densité énergétique totale de l onde. On peut démontrer l existence d une telle pression par un raisonnement simple fondé sur la thermodynamique (Bartoli) et méme trouver sa valeur en admettant la loi de Stefan, considérée comme loi expérimentale. Mais on obtient les mêmes résultats au moyen de la théorie électromagnétique. Sans entrer dans le détail des calculs, nous dirons seulement qu il est possible de déduire des équations de Maxwell des relations analogues à celles qui expriment, en mécanique, la conservation de la quantité de mouvement. Ces relations peuvent s interpréter en attribuant au rayonnement une certaine densité de quantité de mouvement représentée par le vecteur : G = P, c P 2 désigant le vecteur radiant de Ponting et c la vitesse de la lumière. Dans le cas d une onde plane se propageant dans le vide, les vecteurs P et G parrallèles à la direction de propagation, ont pour valeur : P = c E H et G = 1 E2 E H ; l énergie par unité de volume est égale à 4π 4πc 4π (E et H désigant les valeurs numériques identiques des champs électrique et magnétique exprimées respectivement en unités él. st. et en unités é. m.). Il en résulte que la quantité demouvement transportée par l onde, en une seconde, à travers l unité de surface normale à la direction de propagation est égale au quotient du flux d énergie par la vitesse de la lumière, c est-à-dire à la densité énergétique de l onde. Si le faisceau est complètement absorbé (surface noire), c est justement cette quantité de mouvement qui disparaît par seconde et qui, par conséquent, mesure la pression normale exercée sur

12 12 CHAPITRE 1. RAYONNEMENT NOIR - QUANTA la surface. En mécanique, la notion de quantité de mouvement est associée intimement à celle d énergie cinétique. L attribution au rayonnement d une certaine quantité de mouvement ne peut donc nous surprendre, puisqu il s agit alors d énergie possédant au plus haut degré le caractère cinétique. ll est donc naturel d admettre que les actions mutuelles de la matière et du rayonnement sont régies par les lois fondamentales de la mécanique de la matière : conservation de l énergie et conservation de la quantité du mouvement. Nous retrouverons cette considération dans certaines applications de la théorie des quanta. On peut d ailleur la justifier plus directement en faisant appel à la théorie de la relativité, d après laquelle toute énergie possède une masse égale au quotient de sa valeur par le carré de la vitesse de la lumière. Puisque la quantité de mouvement est égale au produit de la masse par la vitesse, la densité de quantité de mouvement est bien égale, comme le montre la théorie électromagnétique, au quotient de la densité d énergie par la vitesse de la lumière. 1.4 Etude expérimentale du rayonnement noir. Formule de Planck Les résultats expérimentaux relatifs à l émission du corps noir permettent de construire les courbes isothermes, donnant la répartition spectrale de l énergie à une température déterminée, ou les courbes isochromatiques, donnant la variation du pouvoir érnissif avec la température pour une longueur d onde unique. Les fonctions F, f et φ, qui figurent dans les expressions (1.1) et (1.4), doivent être choisies de manière à représenter correctement les variations observées. En particulier, il faut que les valeurs de E λ devienne négligeable pour les longueurs d ondes très petites ou très grandes, avec un maximum unique pour une certaine longueur d onde intermédiaire. La formule suivante, proposée par Planck, s accorde avec l ensemble des résultats obtenus (aux erreurs d expérience près, c est-à-dire à moins de 1 p. cent près) pour toutes les longueurs d ondes et à toutes les températures : E λ = C 1 λ 5 1 C 2 e λt 1 (1.5) Cette pression est bien de la forme imposée par la loi de Wien. C 1 et C 2 sont deux constantes et e la base des logarithmes népériens. C 1 = 5884 (micron, degré, watt) = c.g.s. C 2 = (micron, degré) = c.g.s.

13 1.5. NÉCESSITÉ D UNE THÉORIE NOUVELLE 13 Figure 1.1 Pour les grandes valeurs de λt, on peut conserver seulement les deux premiers termes du développement en série de l exponentielle. On obtient ainsi la formule de Lord Rayleigh : 5 λt E λ = C 1 λ C 2 = O T λ 4 Cette expression est certainement incorrecte (sauf pour les très grandes valeurs de λt, comme l indique la figure 1.1). Elle donne en effet pour chaque température, un pouvoir émissif augmentant constament lorsque la longueur d onde diminue. L a densité d énergie du rayonnement noir, proportionnelle à l intégrale : 0 E λ dλ, serait infinie à toutes température. Figure 1.2 La figure 1.2, qui représente des courbes isochromatiques, permet également la comparaison entre les formules de Planck et de Lord Rayleigh. 1.5 Nécessité d une théorie nouvelle Avant d indiquer sur quelles bases théoriques repose la formule 1.5, il est utile d insister sur le fait essentiel qui va nous obliger à renoncer à la

14 14 CHAPITRE 1. RAYONNEMENT NOIR - QUANTA mécanique newtonienne : Le rayonnement existant, à l état stationnaire, dans une enceinte isotherme, possède une densité énergétique totale finie, ayant pour valeur : U = T 4 ergs :cm3. L intensité spécifique Eλ est négligeable pour les longueurs d onde très petites ou très grandes. Considérons, par exemple 2, une enceinte aux parois réfléchissantes renfermant un fragment de fer à 0 C. En supposant l état stationnaire réalisé, l énergie rayonnante, à l intérieur de l enceinte, a pour densité : ergs :cm3, tandis que l énergie calorifique du fer (calculé à partir de sa densité et de sa chaleur spécifique) est de l ordre de ergs :cm 3, soit fois plus grande que la précédente. L énergie contenue dans l enceinte est donc fortement concentrée à l intérieur du fer ; elle peut être attribuée presque tout entière aux vibrations atomiques du métal. Le système constitué par l enceinte, la masse de fer et le rayonnement, présente une certaine analogie avec d autres systèmes purement matériels, auquels nous pouvons appliquer les lois ordinaires de la mécanique. Imaginons, par exemple, un ensemble de balles sphériques, réunies par de légers ressorts, et supposons que cet ensemble soit agité violemment avant d être introduit dans un récipient clos remplis d air. Les mouvements des shères donnent naissance à des ondes aériennes qui, par la suite de la viscosité du milieu, seront dissipées rapidement. Dans l état final, les sphères seront pratiquement au repos (elles seront, si l on veut, annimées d un mouvement brownien correspondant à leur grosseur), et toute l énergie initiale sera contenue dans l air ambiant. Admettons qu au début de l expérience, la température de l ai soit très voisine du zéro absolu ; désignons par n le nombre des molécules diatomiques du gaz et par n le nombre de balles introduites dans le récipient. L énergie du système a pour expression : (5/2n + 3/2n )kt, k désigant la constante de Boltzman, c est-à-dire la constante des gaz relative à une molécule 3. La température d équilibre T est telle que l énergie précédente soit égale à l énergie des vibrations des sphères, au moment de leur introduction dans la cavité. Puisque n est très grand par rapport à n, l énergie concervée par les balles est négligeable par rapport à l énergie totale. Quelle que soit la complexité de l agitation moléculaire, on peut, à chaque instant, identifier le mouvement des molécules avec celui qui résulterait d un certain système d ondes aériennes ayant exactement la même énergie. En supposant les vitesses des molécules distribuées suivant la loi bien connue de Maxwell, on peut calculer la densité d énergie µ λ de ce système, pour les 2. Les exemples de ce paragraphe sont empruntés à l ouvrage de JEANS, Théorie du rayonnement et des quanta, éd. franç., p Voir E. BLOCH, Théorie cinétique des gaz, collection Armand Colin, p 53-65

15 1.5. NÉCESSITÉ D UNE THÉORIE NOUVELLE 15 ondes de longueur λ, à dλ près. La loi de distribution spectrale de l énergie est représentée par la formule suivante : µ λ dλ = 4π kt λ 4 dλ (1.6) Nous remarquons immédiatement que la loi de Rayleigh conduirait, dans le cas du rayonnement, à une expression tout à fait analogue : µ λ dλ = 8π c CT λ 4 dλ En réalité, la formule (1.6) ne peut s appliquer à des ondes de longueur comparable aux distances intermoléculaires. Mais on obtient une approximation convenable en admettant qu il n existe pas d ondes de longeur inférieure à une certaine limite λ m, déterminée en égalant l énergie totale des molécules à l intégrale : λ m 4π kt λ 4 dλ = 4 3 πkt λ 3 m Pour l air de notre cavité, λ m est de l ordre de 10 7 cm et l expression précédente montre qu un millionième seulement de l énergie totale appartiendra aux ondes de longueur supérieure à 10 5 cm. En résumé, la généralisation des résultats précédents conduit à la loi suivante, qui est une conséquence directe de la mécanique classique : Quel que soit le milieu considéré (gaz ou liquide), l énergie des corps qui s y meuvent tend à se concentrer dans le millieu lui-même et, dans l état stable, on la retrouve associée aux ondes les plus courtes que le millieu peut supporter. Cette conclusion ne peut évidemment s appliquer au cas du rayonnement. S il en était ainsi, notre fragment de fer à 0 émettrait surtout des rayons visibles et ultraviolets. La formule de Lord Rayleigh n exprime qu une loi limite valable pour les valeurs extrèmements grandes de la variable λt. Toutefois, au lieu d attribuer la divergence des résultats à l insuffisance de la mécabique classique, on pourrait en déduire un argument contre l existance de l éther, considéré comme support du rayonnement. Mais la théorie de la relativité nous apprend qu aucune considération d ordre mécanique ne peut permettre de ce prononcer sur l existance de l éther. Comme le fait remarquer Jeans, les équations du rayonnement et de l absorption de l énergie sont précisément les mêmes, que l énergie soit rayonnées ou absorbée, dans un éther ou dans un espace vide.

16 16 CHAPITRE 1. RAYONNEMENT NOIR - QUANTA 1.6 Application de la mécanique classique au problème du rayonnement Quel que soit l intérêt des comparaisons précédentes, il importe d en préciser les résultats en discutant directement le problème du rayonnement, conformément aux lois classiques de la dynamique. Pour obtenir la loi de répartition spectrale de l énergie dans le rayonnement noir, il faut exprimer que la quantité d énergie rayonnée par la matière présente dans l enceinte isotherme est égale à l énergie absorbée. On conçoit que l émission et l absorption des radiations puisse s effectuer par des mécanismes différents, d importance relative variable suivant les substances considérées. Dans son premier mémoire sur la théorie des quanta, Planck raisonnait sur une substance idéale capable d échanger de l énergie avec le rayonnement uniquement par l intermédiaire d un très grand nombre d oscillateurs électriques, ayant chacun une période propre bien déterminée. Chaque oscillateur serait constitué, par exemple, par une particule électrisée vibrant harmoniquement autour d un point, sous l action d une force de rappel proportionnelle à l écart. La vibration d un tel système s accompagne, d après les lois de la l électromagnétisme, de l émission d une onde de même fréquence. Inversément, le champ électrique d une onde incidente peut provoquer les vibrations d un oscillateur fonctionnant alors comme résonateur. D autres contributions aux échanges d énergie peuvent être envisagées, par exemple le rayonnement des électrons libres dans les métaux, l effet photoélectrique, etc. Mais on sait que le rayonnement noir est indépendant de la nature des parois de l enceinte et des corps qu elle renferme. Il en résulte que chaque mécanisme particulier d émission et d absorption (même hypothétique, pourvu qu il soit conforme aux lois de la thermodynamique et de l électromagnétisme) doit être susceptible de réaliser dans l enceinte le rayonnement noir normal. La loi de distribution de l énergie peut donc être obtenue en considérant séparément l un ou l autre de ces mécanismes (par exemple, les résonateurs de Planck). Le calcul complet, effectué dans plusieurs cas (résonateurs, électrons libres, etc.), conduit effectivement à la même expression pour la densité spectrale énergétique : µ λ dλ = 8π W λ 4 dλ (1.7) W représentant l énergie totale moyenne (cinétique et potentielle) d u résonateur, ou le double de l énergie cinétique moyenne d un électron libre. D après la théorie cinétique, W = kt et l expression précédente devient : µ λ dλ = 8π kt λ 4 dλ (1.8) Sans supposer que l éther existe ou non, on obtient ainsi, au facteur 2

17 1.7. DEGRÉS DE LIBERTÉ D UN MILIEU CONTINU 17 près, la même loi de répartition de l énergie que pour les ondes aériennes considérées précédemment. Nous savons que cette loi, exprimée par la formule de Rayleigh, est en désaccord flagrant avec l expérience. 1.7 Degrés de liberté d un milieu continu La formule 1.8 peut être interprétée très simplement en admettant l existence d un éther auquel s appliqueraient les lois de la dynamique. Nous savons déjà que cette hypothèse ne peut conduire à aucune contradiction, et que l étude du rayonnement ne permet en aucune façon de la vérifier ou de l infirmer. Rappelons tout d abord la définition du nombre de degrés de liberté d un système matériel soumis à certaines liaisons. La position et la configuration géométrique d un tel système dépendent uniquement, à chaque instants, des valeurs numériques de k paramètres indépendants q 1, q 2... q k (coordonnées cartésiennes, angles, surfaces, etc.) appelés coordonnées généralisées. Le déplacement élémentaire le plus général du système, compatible avec les liaisons qui lui sont imposées, s obtient donc en faisant subir aux paramètres q des variations arbitraires δq. C est pourquoi on dit que le système possède k degrés de libertés. Par exemple un corps solide mobile autour d un point fixe a trois degrès de liberté (trois angles suffisent en effet pour déterminer sa position). Un corps solide libre possède six degrés de liberté : trois coordonnées pour fixer la position du centre de gravité et trois angles donnant la position du corps autour de ce point. Dans un milieu continu, ou tout du moins de structure extrêmement fine (gaz, éther, solide élastique), contenu dans une enceinte close, il faut entendre par nombre de degrés de liberté le nombre des vibrations qui peuvent faire entrer l enceinte en résonance, c est-à-dire qui correspondent aux périodes propre de cette enceinte. A l intérieur de celle-ci, la possibilité d existence d un système d ondes stationnaires est subordonnée à certaines conditions provenant des réflexions sur les parois. Le nombre de degrés de liberté, correspondant aux fréquences des divers trains d ondes que le milieu peut transmettre, est une fonction de la longueur d onde ; nous le rapporterons à l intervazlle étroit : λ, λ+dλ et à l unité de volume. Des considérations élémentaires d homogénéité conduisent immédiatement à l expression suivante : Cλ 4 dλ C étant une constante numérique dépendant des propriétés du milieu. Le calcul complet 4 donne C = 4π pour un gaz, C = 8π pour l éther et C = 12π 4. JEANS, Théorie dynamique des gaz, éd. franç., p 404. LORENTZ, Theory of elec-

18 18 CHAPITRE 1. RAYONNEMENT NOIR - QUANTA dans le cas d un solide élastique. Les rapports de ces trois nombres s expliquent aisément : un gaz ne peut suporter que des vibrations longitudinales, tandis que l éther peut être le siège de deux vibrations transversales indépendantes, correspondant à deux plans de polarisation rectangulaires. Enfin, dans un solide élastique, des ondes de compression et des ondes de distorsion peuvent exister et se propager avec des vitesses différentes. 1.8 Equipartition de l énergie Pour retrouver la formule 1.8, il suffit à présent d appliquer aux vibrations libres de l éther le théorème d équipartition de l énergie. Considérons un système mécanique possédant k degrés de liberté ; désignons les coordonnées généralisées par q 1, q 2... q k. L état dynamique du système (position et vitesse), à chaque instant, sera déterminé par la valeur des paramètres q i et de leurs dérivées q i par rapport au temps. En général, le système possèdera une certaine énergie potentielle W p, fonction des paramètres q i (dans l hypothèse d une fonction des forces) et une énergie cinétique W c, fonction des q i et des q i. Si les liaisons sont indépendantes du temps, ce que nous supposerons toujours, on montre aisément que W c est une fonction quadratique positive des dérivées q i, que nous désignerons par p 1, p 2... p k : δw c δq 1 = p 1,..., δw c δq k = p k Ces nouvelles variables sont appelées quantités de mouvement généralisées ou simplement moments (si q représente un angle, p a les mêmes dimensions que le moment d une quantité de mouvement)? Rappelons encore que les équations générales du mouvement d un système quelconque peuvent s écrire sous une forme très simple, indépendante du choix des coordonnées généralisées : dq i dt = δh δp i, dp i dt = δh δq i Ces équations canoniques d Hamilton forment un système de 2k équations différentielles du premier ordre. La grandeur H fonction des q i et des p i, représente l énergie totale du système : W p + W c. trons, p 93. On démontre que ce résultat est indépendant de la forme de l enceinte. Pour qu il soit valable, λ doit être grand par rapport à l échelle de la structure du milieu, s il est granuleux, et petite par rapport à ses dimensions.

19 1.8. EQUIPARTITION DE L ÉNERGIE 19 Puisque l énergie cinétique W c est une fonction homogène du second degré des vitesses q, ou des moments p i, il est possible, par un changement convenable des variables, d écrire W c sous la forme d une somme de carrés : 2W c = α 1 r α 2 r α k r 2 k ou W c = 1 2 αi r 2 i Les coéfficients α i peuvent dépendrent des coordonnées de position q i. Les nouvelles variables de vitesse r i s appellent des momentoïdes (Boltzman). Les considérations précédentes servent de base à la mécanique statistique (Boltzman, Gibbs), dont nous indiquerons seulement quelques formules essentielles. Nous supposerons que le nombre de degrés de liberté est très grand pour le système consodéré. Il s agit, par exemple, d une masse gazeuse en équilibre thermique, contenant un très grand nombre de molécules d epèces variées. Quelle est, dans ce cas, la loi de distribution de l énergie entre les molécules? D une manière plus précise, quel est, par unité de volume, le nombre dn d une certaine espèce, dont les coordonnées de position q i soient comprises entre les limites : q 1, q 1 + dq 1 ; q 2, q 2 + dq 2 ; etc... et les momentoïdes r i entre les limites : r 1, r 1 + dr 1 ; r 2, r 2 + dr 2 ; etc...? Au point de vue statistique, ce problème comporte une seule solution 5 représentée par l expression : avec : dn = nf (q 1, q 2,...r 1, r 2,...)dq 1 dq 2...dr 1 dr 2... (1.9) f = Ae W kt A est une constante caractéristique de l espèce de molécules considérée ; n désigne le nombre de ces molécules par cm 3, W l énergie totale (cinétique et potentielle) d une molécule, e la base des log. népériens, k la constante de Boltzman et T la température absolue. D autre part, on peut calculer l énergie cinétique moyenne attachée à l un quelconque des momentoïdes. On trouve : 1 2 α ir 2 i = kt 2 Il y a équipartition de l énergie cinétique entre les divers momentoïdes appartenant à toutes les molécules. Enfin, pour certains ensembles, l énergie potentielle d un système se présente sous la forme : 2W p = β 1 q β 2 q β k q 2 k ou W p = 1 2 βi q 2 i 5. E. BLOCH, Théorie cinétique des gaz, p. 58.

20 20 CHAPITRE 1. RAYONNEMENT NOIR - QUANTA i variant alors de 1 à k. On démontre alors que le même théorème s applique : 1 2 β iq 2 i = kt 2 Ces conclusions peuvent être généralisées dans le cas d un système complexe quelconque dont l évolution est soumise aux lois de la mécanique newtonienne. On démontre qu elles restent valables pour toute fraction de l énergie totale pouvant s exprimer sous la forme d une somme de carrés. La répartition normale de l énergie (c est-à-dire infiniment plus probable que toute autre) est telle que la valeur moyenne de la contribution apportée par chaque terme (coordonnée de position ou de vitesse) est égale à kt. C est précisément le cas pour les vibrations libres indépendantes considérées au para- 2 graphe précédent ; s il s agit des vibrations d une masse gazeuse, la distribution spectrale de l énergie sera donnée par la formule 1.6. La généralisation est encore admissible en ce qui concerne l éther et le rayonnement, car les lois qui régissent les phénomènes électromagnétiques sont analogues à celles de la mécanique (Maxwell, Larmor). Considérons donc le système constitué par l enceinte isotherme, l éther et les corps qui y sont plongés. Le nombre de vibrations distinctes de l éther, par unité de volume et pour l intervalle spectrale : λ, λ + dλ, est égale à 8πλ 4 dλ. A chaque vibration, c est-à-dire à chaque degré de liberté, correspond, dans l expression de l énergie totale, Ideux termes carrés (l un cinétique et l azutre potentiel, ou l un électrique et l autre magnétique). La densité spectrale énergétique a donc pour valeur : µ λ dλ = 2 kt 2 8πλ 4 dλ = 8π kt λ 4 dλ Nous retombons précisément sue la formule 1.8, qui correspond à la loi limite de Lord Rayleigh. 1.9 Hypothèse des quanta Le raisonnement suivant, dû à Jeans, permet d arriver très rapidement à la formule de Planck. Considérons un très grand nombre N de vibrations (mouvements harmoniques simples), sans spécifier d ailleurs s il s agit d oscillations matérielles (résonateurs) ou de vibration de l éther. Supposons que l énergie de chacune de ces oscillations soit nécessairement l une des valeurs : 0, ε, 2ε, 3ε, etc., formant une suite discontinue, à l exclusion de toute autre valeur. Cherchons à évaluer le nombre de vibrations correspondant à chaque énergie possible.

21 1.9. HYPOTHÈSE DES QUANTA 21 Nous pouvons associer à chaque vibration un système dynamique analogue aux molécules considérées précédemment, et appliquer la loi de distribution des coordonnées exprimée par la formule 1.9. A chaque vibration correspond un paramètre de position x, et l énergie totale est de la forme : W = 1 2 (ax 2 + bx 2 ), a et b étant deux constantes. La loi de distribution des coordonnées est représentée par la formule : A e W kt dx dx et on montre aisément que la loi de distribution des valeurs de W s exprime par une relation analogue : B e W kt dw. Par conséquent, en désignant par n le nombre de vibrations d énergie nulle, nous aurons n e ε kt vibrations d énergie ε, n e 2ε kt vibrations d énergie 2ε, ect. Ces nombres doivent stisfaire à la relation : ( ) N = n 1 + e ε kt + e 2ε n kt +... = (1.10) 1 e ε kt L énergie totale des N vibrations est, d après le calcul précédent : ε n e ε kt + 2ε n e 2ε kt = N ε e ε kt 1 Jusqu ici, nous n avons pas précisé la nature des vibrations considérées. Admettons en premier lieu qu il s agisse de vibrations d un éther possédant les propriétés d un milieu matériel continu, Nous aurons alors = 8π λ 4 dλ vibrations par unité de volume, soit une densité spectrale énergétique égale à : µ λ dλ = 8π λ 4 ε dλ (1.11) e ε kt 1 Pour passer de cette expression à la formule de Planck 1.5, il suffit de définir ε par la relation : ε = h ν, h désignant la constante fondamentale appelée constante de Planck et ν la fréquence correspondant à la longueur d onde λ ( ν λ) c. Nous obtenons ainsi : µ λ dλ = 8π λ 4 dλ e h ν kt h ν 1 = 8π hc λ 5 dλ 1 e h c kλt 1 (1.12) Nous avons supposé que l énergie rayonnante, considérée sous l aspect de vibration de l éther, ne peut exister que sous forme de quanta complet de valeur ε = h ν. Si nous passons à la limite, en faisant tendre ε vers 0 (ou h vers 0), c est-à-dire en abandonnant l hypothèse de la discontinuité de l énergie, nous retombons effectivement sur la formule de la mécanique classique 1.8. On parvient encore à l expression 1.11 en supposant, avec Planck, que les vibrations considérées ici sont celles de N résonnateurs de même fréquence, dont l énergie ne pourrait se manifester, dans l émission et dans l absorption,

22 22 CHAPITRE 1. RAYONNEMENT NOIR - QUANTA que sous forme de quanta complet de valeur ε. D après les calculs précédents, N l énergie totale de ces résonnateurs est ε et l énergie moyenne de chacun e kt ε 1 ε d eux :, au lieu de kt, valeur donnée par le théorème d équipartition de e kt ε 1 l énergie. Planck remplace donc, dans l expression 1.7, W par la valeur précédente et obtient ainsi la formule La validité d un tel raisonnement peut être contestée, car il repose en réalité sur des bases incompatibles : la théorie éléctromagnétique classique, qui conduit à la formule 1.7, et l hypothèse des quanta, qui donne l énergie moyenne d un résonateur. Dans une seconde théorie, Planck s est efforcé d atténuer le caractère révolutionnaire de l hypothèse des quanta, en admettant uniquement la discontinuité de l émission, l absorption s effectuant au contraire d une manière continue. Nous laisserons de côté cette théorie remaniée, qui se heurte également à de sérieuses objections. Nous reproduirons au contraire la démonstration d Einstein, qui relie d une manière remarquable les résultats classiques de Planck aux conceptions fondamentales de Bohr Démonstration d Einstein Comme dans la théorie de Planck nous admettrons qu un grand nombre de systèmes (molécules, atomes, résonnateurs) prennent part à l émission et à l absorption du rayonnement. Mais nous supposerons seulement que ces molécules ne peuvent exister que dans certains états définis correspondant à des énergies ε 1, ε 2, ε 3, ect.. Supposons l équilibre thermique réalisé entre la matière et le rayonnement, conformément à la loi de Wien qui prévoit une densité spectrale énergétique µ λ dλ égale à 8π c λ 5 φ (λt ) dλ. Désignons par n 1, n 2, n 3, etc., les nombres de molécules dans les différents états, et considérons, en particulier, deux états i et j. Les échanges d énergie se produisant entre le rayonnement et les molécules entraîne le passage pour certaines d entre elles, de l état i à l état j, et réciproquement. Mais, puisque l état stationnaire est réalisé, n i et n j resterons constants. Admettons, pour préciser, que ε i soit supérieur à ε j. Le passage de l état énergétique inférieur j à l état supérieur i (absorption) est un phénomène forcé, qu il convient d attribuer uniquement au rayonnement incident. On peut donc admettre que le nombre de molécules changeant ainsi d état est proportionnel à n j et à la densité du rayonnement correspondant à la transformation (ayant pour longueur d onde λ), c est-à-dire égal à : 8π βn j c λ 5 φ (λt ) dλ

23 1.10. DÉMONSTRATION D EINSTEIN 23 pour le passage inverse, on peut envisager au contraire deux mécanismes distincts : 1 o une émission forcée, due à l intervention du rayonnement extérieur de la même longueur d onde λ et représentée par une expression analogue à la précédente : αn j 8π c λ 5 φ (λt ) dλ 2 o une émission libre ou spontannée, indépendante du rayonnement, et pour laquelle on peut admettre une loi analogue à celle qui régit les transformations des corps radiactifs, soit γ n i passage par unité de temps. La condition d équilibre s écrit donc : 8π c λ 5 φ (λt ) dλ (βn j αn i ) = γn i (1.13) Einstein fait alors intervenir les deux hypothèses suivantes : 1 o Les nombres n i et n j sont donnés par la relation de Boltzmann, analogue à 1.9 : n i = p i e ε i kt et nj = p j e ε i kt Les coéfficients p i et p j, indépendants de la température, sont les poids statistiques relatifs à chacun des deux états. La formule 1.13 peut donc s écrire : 8π ) c λ 5 φ (λt ) dλ (βp j p j e ε i ε j kt αp i = γp i Les deux membres de cette relation doivent être indépendants de T. Or, la fonction φ (λt ) devient infinie en même temps que la température. Il en résulte que β p doit être égal à α p i et notre équation d équilibre devient : 8π c λ 5 φ (λt ) dλ = γ α 1 e ε i ε j kt 1 2 o Dans le premier membre, la température n intervient que par le produit λt. Pour qu il en soit ainsi, dans le second, il faut que ε i ε j soit proportionnel à 1/λ ou à la fréquence ν. Nous pouvons donc écrire : ε i ε j = hν. Nous admettons donc que les échanges d énergie entre le rayonnement et la matière se font uniquement par quanta complet d énergie rayonnante. Cette hypothèse différe de celles qui servent de bases aux raisonnements précédents (Planck, Jeans). Nous la retrouvons, exactement sous la même forme, dans la théorie de Bohr. Il en résulte : µ λ dλ = 8π c λ 5 φ (λt ) dλ = γ α 1 e ε i ε j kt 1 La valeur du rapport γ s obtient par un simple passage à la limite. Nous α savons que pour les valeurs extrèmement grandes de la variable λt, la loi de

24 24 CHAPITRE 1. RAYONNEMENT NOIR - QUANTA Rayleigh-Jeans s applique. Nous rejoignons ainsi le domaine de validité de la mécanique classique 6. Nous pouvons donc écrire, en développant l exponentielle en série : µ λ dλ = 8π kt λ 4 dλ = γ kt α hν d où nous déduisons immédiatement l expression Relations numériques On passe sans difficulté de 1.12 à la formule de rayonnement de Planck, sous la forme : E λ = hc 2 λ 5 1 e hc kλt 1 qui, identifiée avec la formule 1.5, donne la valeur des deux constantes : C 1 = hc 2 et c 2 = hc. k Nous avons admis : C 1 = 0, e.g.s. et C 2 = 1, 432 c.g.s. Nous pouvons donc calculer la constante de Planck à partir de ces valeurs, de la vitesse de la lumière et de la constante de Boltzmann (égale au quotient de la constante des gaz R, rapportée à une mole : gr, par le nombre d Avogadro N A ) : c = 2, c.g.s. R = c.g.s. N A = 6, Les deux valeurs de h ainsi obtenues sont parfaitement concordantes et égales à 6, c.g.s. (erg sec). On peut en conclure que l hypothèse des quanta et l étude du rayonnement noir permettent de retrouver exactement le nombre d Avogadro, tel qu il résulte des mesures de Millikan. Au moyen d autres valeurs expérimentales pour les constantes de Stefan et de Wien et, par conséquent, pour C 1 et C 2, on obtient des valeurs de h très voisines de la précédente. En définitive, l étude expérimentale du rayonnement noir donne h = 6, c.g.s., à quelques millièmes près Remarques 1. L hypothèse des quanta, introduite sous différentes formes, conduit donc à la formule de Planck. Mais il reste à démontrer qu aucune autre conception ne permettrait d obtenir le même résultat. En d autres termes, si on admet que la loi de Planck représente correctement la distribution spectrale de l énergie dans le rayonnement noir, quels nouveaux postulats convient-il d adopter pour interpréter cette loi? 6. Ce mode de raisonnement est une forme très simple du principe de correspondance de Bohr

25 1.11. RELATIONS NUMÉRIQUES 25 Ce problème inverse a été résolu par Poincaré et par Jeans. La formule de Planck, considérée comme rigoureuse ou approximative, conduit précisément à la conception des quanta. D ailleur, quelle que soit la loi du rayonnement, si on suppose que le rayonnement total est fini (densité énergétique totale finie), on sera conduit à une fonction présentant des discontinuités analogues à celles que donne l hypothèse des quanta (Poincaré). 2. La valeur du quantum pour une radiation déterminée, donnée par ε = hν = hc, est d un ordre de grandeur comparable à celui des autres λ énergies atomiques. Par exemple, pour la raie verte de l arc au mercure (λ = 0, 546µ), nous obtenons ε = 3, erg, soit 64 fois l énergie d un atome de vapeur de mercure à 0 C (3/2 kt = 5, erg, pour T = 273 ). Dans le cas d un solide incandescent à T, la quantum de la radiation correspondant au maximum de la courbe d émission a pour valeur ε m = hc λ m avec λ m T = 2884 micron-degré ou 0, 2884 c.g.s. On trouve ε m = 0, T, soit environ une fois et demie l énergie atomique 3 kt = 0, T erg. 3. Il est facile de déduire de la formule 1.10 le nombre relatif de résonateurs (ou de degrés de liberté de l éther) qui prennent part au rayonnement, c est-à-dire qui possèdent une certaine énergie : N n N = ε e kt Pour la radiation correspondant au maximum d émission d un solide, ε m kt = 4, 96. Un seul résonnateur sur e 4,96 = 143 possède donc de l énergie. En général, si le quantum ε = hν d une certaine radiation est très grand par rapport à kt, le nombre de résonnateurs qui contribuent à l émission de cette radiation est une fraction infime du nombre total de résonnateurs de fréquence ν. 4. La mécanique classique, qui n admet aucune discontinuité dans les valeurs de l énergie, conduit à la loi de Rayleigh-Jeans, valable pour les températures très élevées ou les longueurs d onde considérables (fréquences très petites), c est-à-dire dans des conditions telles que le quantum soit petit par rapport à kt. En effet, à température élevée, l énergie mise en jeu est importante et correspond à un très grand nombre de quanta. D autre part, si la fréquence est très faible, les quanta ε = hν sont également très petits. Dans les deux cas, la discontinuité de l énergie n intervient pas sensiblement et les lois newtoniennes sont applicables. En général, l hypothèse des quanta permettra d interpréter les phénomènes caractérisés par une température suffisamment base ou par

26 26 CHAPITRE 1. RAYONNEMENT NOIR - QUANTA l intervention de radiations de fréquences élevées (chaleurs spécifiques aux basses températures, émission spectrale, effet photoélectrique, diffusion des rayons X, ect.).

27 Chapitre 2 Chaleurs spécifiques 2.1 Chaleur spécifique des solides. Interprétation de la loi de Dulong et petit Admettons que les corps simples cristalisés (les métaux en particulier) soient formés de molécules monoatomique maintenues dans des positions moyennes d équilibre par l action des molécules voisines (elles occupent, par exemple, les noeuds d un réseau). Supposons d autre part que les seuls mouvements possibles pour ces molécules soient des vibrations harmoniques autour de leur position d équilibre (nous considérons, en quelque sorte, les molécules comme des points rigides). Dans ces conditions, le théorème d équipartition est applicable à l énergie cinétique et à l énergie potentielle. Puisque chaque atome possède trois degrés de liberté, correspondant à trois directions indépendantes de vibrations x, y et z, l énergie atomique moyenne est donc 3 RT et l énergie totale de vibration, par atome-gramme ; est : U = 3 N A kt = 3 RT (2.1) Si nous admettons enfin que la chaleur fournie au corps est utilisée intégralement pour accroître cette énergie (volume constant), la chaleur spécifique atomique : C v = c v A (c v : chaleur spécifique, sous volume constant, rapportée à un gramme ; A : poinds atomique) est 1 du = 3 R = 5, 96. J dt J Le tableau suivant contient les valeurs des chaleurs atomiques, sous volume constant et à 20 C., pour un certain nombre d éléments (G. N. Lewis). Il montre que l ensemble de nos hypothèses permet d interpréter assez correctement les résultats expérimentaux : 27

28 28 CHAPITRE 2. CHALEURS SPÉCIFIQUES C v C v C v Na 6,4 Zn 5,7 I 6,0 Mg 5,8 Pd 5,9 Pt 5,9 Al 5,6 Ag 5,8 Au 5,9 K 6,5 Cd 5,9 Tl 6,1 Fe 5,9 Sn 6,1 Pb 5,9 Ni 5,9 Sb 5,9 Bi 6,2 Cu 5,6 Moyenne des valeurs de C v : 5,95. On mesure habituellement la chaleur spécifique sous pression constante : c p. Pour passer de c p à c v, il faut tenir compte du travail accompli, au cour de l accroissement de volume, contre la force de cohésion. On trouve de c p est légèrement supérieur à c v, de quelques dixièmes seulement. Il en résulte que le produit c p A est sensiblement le même pour un grand nombre d éléments, et voisin de 6,4 (loi de Dulong et Petit). 2.2 Chaleurs spécifiques aux basses températures D après la théorie précédente, la chaleur spécifique d un solide serait indépendant de la température. Or, on sait depuis longtemps qu à la température ordinaire, certains éléments (carbonne, silicium, bore) n obéissent pas à la loi de Dulong et Petit, mais qu à haute température, leur chaleur atomique est beaucoup plus grande. Ces phénomènes deviennent généraux aux basses températures : les chaleurs atomiques des solides diminuent quand la température s abaisse et deviennent très inférieures à la valeur exigée par la loi de Dulong et Petit. Figure 2.1 Des mesures précises de chaleurs spécifiques ont été effectuées par Nernst et des collaborateurs, principalement aux basses températures (jusqu à 20 K,