SENS DE VARIATION D'UNE FONCTION ET SIGNE DE LA FONCTION DERIVEE

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1 SENS DE VARIATION D'UNE FONCTION ET SIGNE DE LA FONCTION DERIVEE Objectif : Déterminer un lien entre le sens de variation d'une fonction et le signe de la fonction dérivée. Notations pour le dossier On considère une fonction f définie sur un intervalle [a ; b] et C la courbe d'équation y = f(x). On note f ' la fonction dérivée de la fonction f. Document ressource Cas d'une fonction croissante sur un intervalle [a ; b] Cas d'une fonction décroissante sur un intervalle [a ; b] Allure de la courbe a b a b Tableau de variation x a b x a b Variations Variations de f de f Si une fonction est croissante sur l'intervalle [a ; b ] et décroissante sur l'intervalle [b ; c] cela se traduira par le tableau suivant : x a b c Variations de f Mathématiques 1

2 1 ère étude On considère la fonction f 1 définie sur l'intervalle [ -2 ; 5 ] par f 1 (x) = 2x 2 8 x 5 1) Calculer la fonction dérivée f 1 '(x). 2) Compléter le tableau suivant en utilisant votre calculatrice x f 1 (x) = 2x 2 8 x 5 f 1 ' (x) = 3) Construction des courbes représentatives Tracer les courbes d'équation y = f 1 (x) et y = f 1 '(x) dans le plan muni du repère donné en annexe 1. 4) Compléter, à l'aide des courbes tracées, les phrases et les tableaux suivants : La fonction f 1 est croissante sur l'intervalle [. ;. ] La fonction f 1 est décroissante sur l'intervalle [. ;. ] Tableau de variation de la fonction f. x Variations de la fonction f 1 Le nombre dérivé f 1 '(x) est positif sur l'intervalle [. ;. ] Le nombre dérivé f 1 '(x) est négatif sur l'intervalle [. ;. ] Tableau donnant le signe de la fonction dérivée f '. x Signe de f 1 '(x) (indiquer + ou - ) 0 Mathématiques 2

3 2 ème étude On considère la fonction f 2 définie sur l'intervalle [ -7 ; 3 ] par f 2 (x) = - 3x 2 12 x +20 1) Calculer la fonction dérivée f 2 '(x). 2) Compléter le tableau suivant en utilisant votre calculatrice x f 2 (x) = - 3x 2 12 x +20 f 2 ' (x) =.. x f 2 (x) = - 3x 2 12 x +20 f 2 ' (x) =.. 3) Construction des courbes représentatives. Tracer les courbes d'équation y = f 2 (x) et y = f 2 '(x) dans le plan muni du repère donné en annexe 2. 4) Compléter, à l'aide des courbes tracées, les phrases et les tableaux suivants : La fonction f 2 est croissante sur l'intervalle [. ;. ] La fonction f 2 est décroissante sur l'intervalle [. ;. ] Tableau de variation de la fonction f 2. x Variations de la fonction f 2 Le nombre dérivé f 2 '(x) est positif sur l'intervalle [. ;. ] Le nombre dérivé f 2 '(x) est négatif sur l'intervalle [. ;. ] Tableau donnant le signe de la fonction dérivée f 2 '. x Signe de f 2 '(x) 0 Mathématiques 3

4 3 ème étude On considère la fonction f 3 définie sur l'intervalle [ -5 ; 5 ] par f 3 (x) = x 3 +1,5 x 2 18 x 1) Calculer la fonction dérivée f 3 '(x). Compléter le tableau suivant : x f 3 (x) = x 3 +1,5 x 2 18 x f 3 ' (x) =.. x f 3 (x) = x 3 +1,5 x 2 18 x f 3 ' (x) =.. 2) Construction des courbes représentatives Tracer les courbes d'équation y = f 3 (x) et y = f 3 '(x) dans le plan muni du repère donné en annexe INFO : le minimum de la courbe d'équation y = f 3 (x) a pour coordonnées ( - 0,5 ; -18,5 ). Placer ce point pour obtenir une construction correcte de cette courbe. 3) Compléter, à l'aide des courbes construites, les tableaux suivants : La fonction f 3 est croissante sur l'intervalle [. ;. ] et sur l'intervalle [. ;. ] La fonction f 3 est décroissante sur l'intervalle [. ;. ] Tableau de variation de la fonction f 3. x Variations de la fonction f 3 Le nombre dérivé f 3 '(x) est positif sur l'intervalle [. ;. ] et sur l'intervalle [. ;. ] Le nombre dérivé f 3 '(x) est négatif sur l'intervalle [. ;. ] Tableau donnant le signe de la fonction dérivée f 3 '. x Signe de f 3 '(x) 0 0 Mathématiques 4

5 Conclusion : Une fonction est croissante sur un intervalle [ a ; b ] si la fonction dérivée est... sur cet intervalle. Une fonction est décroissante sur un intervalle [ a ; b ] si la fonction dérivée est... sur cet intervalle. Donc, pour savoir si une fonction est croissante ou décroissante sur un intervalle [ a ; b ], il faut. Mathématiques 5

6 Annexe 1 y 2 O 1 x Mathématiques 6

7 Annexe 2 y 5 O 1 x Mathématiques 7

8 Annexe 3 y O 1 x Mathématiques 8