LENTILLES. Détermination de distances focales

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1 Le 1 LENTILLES Détermination de distances ocales 1 BASES THERIQUES 1.1 Lentilles minces n appelle lentille un corps transparent limité par deux suraces courbes ou une surace courbe et une surace plane. Dans la plupart des cas, ces suraces sont sphériques. La lentille est mince si son épaisseur est petite devant les rayons de courbure de ses suraces. n appelle axe optique de la lentille la droite qui passe par les centres de courbure de ses suraces. n peut considérer que dans une lentille mince les points d'intersection de l'axe avec les deux suraces de la lentille sont conondus en un même point appelé centre optique. Les propriétés des lentilles sont dues à la orme des suraces séparant de l'extérieur le milieu transparent d'indice de réraction n. Elles sont la conséquence des réractions que subissent les rayons lumineux lorsqu'ils traversent ces suraces. n admet que les rayons passant par le centre optique ne subissent pas de réraction et ne sont par conséquent pas déviés. Une lentille convergente est une lentille dont le bord est plus mince que la partie centrale. Un aisceau de rayons parallèles se transorme en un aisceau convergent après avoir traversé une telle lentille (igures 1 et 3). Le bord d'une lentille divergente est plus épais que sa partie centrale. Un aisceau de rayons parallèles devient divergent après avoir traversé une telle lentille (igures 2 et 4). Pour traiter simplement les lentilles minces, on se place dans l'approximation de Gauss: on ne considère que les rayons lumineux peu inclinés et proches de l'axe optique (rayons paraxiaux). Un système optique ne satisaisant pas à ces conditions présente des aberrations (voir 1.5). Pour une lentille convergente, le oyer est, par déinition, le lieu de convergence du aisceau de rayons parallèles à l'axe optique (igure 1). Il est situé sur l'axe optique à la distance, dite distance ocale, du centre optique. Toute lentille possède deux oyers

2 Le 2 symétriques par rapport au centre optique. Pour une lentille divergente, le oyer est le lieu d'où semblent provenir les rayons divergents ormés par un aisceau de rayons parallèles à l'axe optique (igure 2). Les plans perpendiculaires à l'axe optique et qui passent par les oyers sont les plans ocaux (igures 3 et 4). gures 1 et 2: déinition du oyer d'une lentille convergente (à droite) et divergente (à gauche). Plan ocal objet Plan ocal image Plan ocal image Plan ocal objet gures 3 et 4: aisceaux parallèles et plans ocaux Les lois de l'optique géométrique, décrivant la propagation des rayons lumineux, sont applicables aux lentilles. Nous pouvons déduire les lois de l optique géométrique du principe de Fermat stipulant que le chemin suivi par la lumière entre deux points est tel que le temps de parcours de la lumière est minimal.

3 Le 3 La loi du retour inverse de la lumière découle aussi du principe de Fermat: si la lumière suit un chemin lorsqu elle se propage d un point A vers un point B, elle suivra le même chemin lorsqu elle se propage de B vers A. n peut donc inverser le sens des rayons lumineux dans les igures ci-dessus. En particulier, un objet situé au oyer ou dans le plan ocal émet des rayons qui, à la sortie d'une lentille convergente, constituent un aisceau parallèle. Cette propriété est souvent utilisée dans des éléments optiques appelés collimateurs qui servent à obtenir un aisceau de lumière parallèle (voir les manipulations R et ASs). 1.2 Rayons principaux et construction d'images La construction géométrique de l'image d'un objet par la lentille est réalisée à l'aide des rayons issus de chaque point de l'objet; l'image du point est située au point d'intersection de ces rayons après leur passage à travers la lentille ou au point d'intersection des prolongements de ces rayons après le passage de la lentille. Habituellement on utilise deux rayons quelconques des trois rayons principaux suivants (le troisième rayon est utile pour la vériication de la construction): 1 Le rayon passant sans déviation par le centre optique de la lentille. 2 Le rayon tombant sur la lentille parallèlement à son axe optique. Après réraction par la lentille, ce rayon ou son prolongement passe par le oyer image F i de la lentille. 3 Le rayon ou son prolongement qui passe par le oyer objet F o de la lentille. Après réraction dans la lentille, ce rayon est dirigé parallèlement à l'axe optique gures 5 et 6: tracé des rayons principaux pour des lentilles convergente et divergente. Les igures 5 et 6 montrent les rayons principaux pour une lentille convergente et une lentille divergente alors que les igures 7 et 8 donnent un exemple de construction d'image.

4 Le 4 o i y y' y y' o i gures 7 et 8: construction de l'image d'un objet pour des lentilles convergente (en haut) et divergente (en bas). Selon leur position ou leur ormation, les objets et les images peuvent être réels ou virtuels. n les déinit de la manière suivante. bjet réel: un objet réel est un objet dont chaque point émet des rayons lumineux. Image réelle: une image réelle est ormée de l'ensemble des points où convergent les rayons lumineux émis par les points d'un objet. Un écran placé à cet endroit révèle eectivement une image de l'objet concerné. La présence de l'écran est nécessaire pour observer une image (l'oeil placé au niveau de l'écran ne recueillerait pas d'image). Des images réelles sont données, par exemple, par tous les appareils de projection. Image virtuelle: lorsque, à la sortie d'un système optique, les rayons lumineux issus d'un même point P d'un objet semblent tous émerger d'un point P' par lequel ces rayons ne passent pas, on dit que P' appartient à l'image virtuelle de l'objet (gures 2 et 4). Une image virtuelle ne peut être recueillie sur un écran; ce dernier ne erait qu'intercepter les

5 Le 5 rayons avant leur passage à travers la lentille. L'image virtuelle s'observe en regardant l'objet à travers la lentille. Les images virtuelles sont courantes: image ournie par un miroir, image donnée par les verres de lunettes, par une loupe ou encore par un microscope. bjet virtuel: l'image d'un système optique peut servir d'objet pour un autre système optique. Si le second système intercepte les rayons convergeant vers l'image avant qu'ils ne l'aient atteinte, cette dernière jouera le rôle d'objet virtuel pour le second système optique. 1.3 rmule de Descartes et grandissement L'image d'un objet se trouvant à une distance y du centre optique d'une lentille de distance ocale, se orme sur l'axe optique en une position bien déterminée, mesurée par la distance y' à partir du centre optique. Cette dernière distance s'obtient expérimentalement. Elle est conirmée par la construction de l'image au moyen des rayons principaux. La ormule de Descartes relie les distances y et y' à la distance ocale : 1 y + 1 y' = 1. (1) La ormule de Descartes se déduit aisément de la construction géométrique de l'image; elle est valable seulement pour l'approximation de Gauss. La ormule de Descartes est valable pour les lentilles convergentes et divergentes si l'on tient compte de la convention de signes suivante: on donne le signe positi à la distance ocale d'une lentille convergente et aux distances relatives aux objets et images réels. on donne le signe négati à la distance ocale d'une lentille divergente et aux distances relatives aux objets et images virtuels. n appelle puissance P (ou convergence, ou encore vergence) d'une lentille l'inverse de la distance ocale : P = 1. (2) L'unité de la puissance est la dioptrie dans le système international d'unités (une dioptrie = 1 m -1 ).

6 Le 6 n appelle grandissement latéral ou transversal g le rapport de la grandeur de l'image i à la grandeur de l'objet o. Ces grandeurs sont mesurées perpendiculairement à l'axe optique. n voit acilement sur la igure 7 que le grandissement est relié aux distances y et y': g = i o = y' y. (3) 1.4 Systèmes optiques centrés simples Un système optique est ormé de plusieurs lentilles; il est centré si les centres de courbure de toutes ses suraces de séparation sont situés sur le même axe optique. La distance ocale d'un système centré ormé de deux lentilles minces accolées, de distances ocales 1 et 2, est donnée par la relation: 1 = (4) Aberrations Les déormations des images dans les systèmes optiques sont appelées aberrations. L'aberration géométrique est le déaut de l'image apparaissant dans le système optique à cause de l'utilisation de larges aisceaux ou de aisceaux inclinés de lumière monochromatique. L'aberration chromatique est la déormation de l'image due au phénomène de dispersion de la lumière non monochromatique dans les lentilles du système optique. L'aberration sphérique est une aberration géométrique apparaissant lorsque de larges aisceaux traversent une lentille sphérique. L'image d'un point n'est plus un point, mais une surace circulaire d'un diamètre non négligeable; les rayons émis par le point-objet traversant la lentille en diérentes zones éloignées ne convergent pas en un point unique (impression de lou). En particulier, des rayons incidents parallèles à l'axe optique tombant sur diérentes zones de la lentille coupent l'axe en plusieurs points distincts (ig. 9); le oyer n'est plus un point mais un segment de droite FF' sur l'axe optique. L'enveloppe des rayons convergents est une surace caustique.

7 Le 7 gure 9: aberration sphérique d'une lentille; le oyer F des rayons paraxiaux n'est pas conondu avec le oyer F' des rayons marginaux. Conséquence de l'aberration sphérique, le déaut appelé coma apparaît pour de larges aisceaux incidents obliques aisant un angle appréciable avec l'axe optique. L'image d'un point prend la orme d'une tache allongée et non uniormément éclairée rappelant plus ou moins une comète. bleu rouge Fb F Fr gure 10: aberration chromatique. L'aberration chromatique est une conséquence de la variation de l'indice de réraction du milieu en onction de la longueur d'onde de la lumière. La position du oyer varie ainsi en onction de la longueur d'onde. L'image d'une source de lumière blanche a la orme d'anneaux concentriques diversement colorés. L'image est irisée.

8 Le 8 2 MANIPULATIN 2.1 bservation des aberrations Aberration sphérique xez sur une lampe le cache percé d'une petit trou igurant un objet ponctuel. Placez une lentille convergente à une distance plus grande que 20 cm et eectuez la mise au point sur l'écran. Peut-on rendre l'image tout à ait nette? Placez le diaphragme le plus près possible de la lentille et observez la diérence de netteté (et de luminosité) de l'image selon le degré de ermeture du diaphragme. Que ait le diaphragme? Repérez la position de l'image lorsque le diaphragme est ouvert, puis avec le diaphragme à moitié ermé. Comment expliquez-vous la diérence entre ces positions? Coma L'image étant mise au point à diaphragme ouvert, aites pivoter légèrement la lentille autour de son axe vertical (débloquer pour cela la vis du support de lentille). bservez la ormation de la coma en onction de l'inclinaison du aisceau par rapport à l'axe optique Aberration chromatique A diaphragme ouvert, observez la diérence de coloration du bord de l image selon que l'écran se trouve avant ou après la position de mise au point optimale. Quelles sont les couleurs qui apparaissent et comment expliquez-vous le changement de coloration? 2.2 Détermination de la distance ocale d'une lentille convergente Placez devant la lampe le cache igurant l'objet en orme de lèche. Repérez la position de l'objet en utilisant le il à plomb (tenir ce dernier à l'extrémité de la lampe de manière à ce que le il arrive sur la graduation, et ajouter 2 mm de décrochement). Evaluez l'incertitude.

9 Le 9 Placez la lentille L 1 (la plus convergente) sur le support ad hoc. Choisissez une position de la lentille, placez le diaphragme et déterminez la position de l'image sur l'écran. Pour cela, procédez à 5 réglages indépendants de l'écran et calculez la position moyenne. Mesurez également la grandeur i de l'image. Répétez ces opérations pour trois positions diérentes de la lentille. Calculez le distance ocale et vériiez-en la constance. Calculez la distance ocale moyenne. Vériiez la ormule du grandissement. Déterminez de manière identique, mais pour une seule position de la lentille, la distance ocale de la lentille convergente L 2. Note: l estimation de l'incertitude de n est pas élémentaire; à partir de la relation (1), on trouve la distance ocale: (y,y') = yy' y + y'. Pour obtenir l incertitude sur, on calcule la diérentielle de (y,y'): ( y' ) 2 = ( y + y' ) 2 y + ( y) 2 2 y'. (5) ( y + y' ) Remarque: l incertitude relative sur peut se mettre sous la orme = y y + y' y' ( y + y' ) y + y'. 2.3 Détermination de la distance ocale d'un système convergent Accolez L 1 et L 2, puis déterminez expérimentalement (comme pour L 2 ) la distance ocale de ce système. Calculez ensuite la distance ocale du système en utilisant les résultats obtenus au paragraphe 2.2 et la relation (4). Comparez les deux résultats. Pour les incertitudes, adaptez la relation (5) à la situation présente. 2.4 Détermination de la distance ocale d'une lentille divergente Par un système convergent Accolez la lentille L 1 et la lentille divergente que l'on appellera L 3. n obtient un système optique convergent dont on peut déterminer la distance ocale comme auparavant. Calculer ensuite, au moyen de (4), la distance ocale de L 3.

10 Le Par la méthode du miroir plan La méthode du paragraphe précédent n'est valable que si le système des deux lentilles est convergent, c'est-à-dire s il donne une image réelle. La méthode du miroir plan, par contre, est applicable pour une image virtuelle. o i i' o' M L 3 gure 11: schéma de la position des objets et des images dans la mé-thode du miroir plan. Son principe est le suivant (ig. 11): la lentille divergente L 3 donne une image i de l'objet o. n superpose i à l'image i', également virtuelle, donnée par le miroir M d'un objet auxiliaire o'. Le miroir M étant ixé en une position convenable, on déplace l'objet o' jusqu'à ce que son image i' coïncide avec l'image i. n juge de la coïncidence de ces deux image virtuelles par l'absence de parallaxe: lors du déplacement horizontal de l'oeil perpendiculairement à l'axe optique, les deux images doivent demeurer ixes l'une par rapport à l'autre. n a alors: y' = ML 3 Mi' avec Mi'= Mo'. Pour une position de L 3, mesurez y, puis eectuez trois réglages et mesures de y'. Calculez la moyenne des y'. Déterminez inalement la distance ocale de L 3. Attention aux signes! (voir 1.3). 3 PLAN DE TRAVAIL 3.1 bservez les diérentes aberrations. 3.2 Déterminez la distance ocale de L 1, et vériiez la ormule du grandissement. 3.3 Déterminez la distance ocale de L Déterminez la distance ocale du système convergent. Vériiez la relation (4). 3.5 Déterminez la distance ocale de L 3 par les deux méthodes. Comparez les résultats.