CHAPITRE 2 : Statistiques

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1 CHAPITRE : Statistiques 1 Définitions... Moyenne, variance, écart-type....1 Exemple avec un caractère discret : les notes.... Le mode Médiane, quartiles Exemple de caractère discret : les notes Diagramme en boite (ou diagramme à moustaches) Résumé : comment trouver la médiane M, le 1 er quartile Q 1 et le 3 ème quartile Q

2 CHAPITRE : Statistiques 1 Définitions Caractère quantitatif discret Le caractère peut être mesuré par un nombre prenant des séparées. Exemple : Les notes obtenues à un devoir par les élèves d une classe. Caractère quantitatif continu Le caractère peut être mesuré par un nombre prenant des prenant toutes les dans un intervalle de réels. Exemple : La taille des élèves dans une classe. Caractère qualitatif Le caractère ne peut pas être mesuré par un nombre Exemple : La couleur préférée par les élèves d une classe. Moyenne, variance, écart-type.1 Exemple avec un caractère discret : les notes Deux professeurs M. X et M.Y ont donné les notes suivantes à un examen : X: 7, 1, 11, 13, 8, 14, 15, 15, 14, 7 Y: 11, 1, 1, 11, 10, 13, 1, 1, 11, 1 On souhaite comparer les deux façons de noter. Remplir les tableaux d effectifs suivants : x 1 x x p Valeurs x i TOTAL Effectifs n i n = n i x i Valeurs y i TOTAL Effectifs n i n = n i y i En utilisant la formule du calcul de la moyenne x = n 1 x 1 + n x + + n p x p n calculer la note moyenne x pour le professeur X et la note moyenne y pour le professeur Y. x = = y = =

3 Les deux moyennes sont les mêmes, mais on se rend compte au moyen d un diagramme en bâtons que les façons de noter des deux professeurs ne sont pas les mêmes. y 5 Professeur X o x y 5 Professeur Y o x Bien que les deux séries aient la même position, visiblement le professeur Y note de façon de façon moins dispersée. Comment calculer la dispersion? on peut calculer l étendue x max x min = y max y min = Mais il existe des indicateurs de dispersion qui tiennent compte de toutes les. 3

4 On peut penser à faire la moyenne des écarts de chaque valeur à la moyenne. x 1 x x p Valeurs x i TOTAL Effectifs n i n i (x i x ) n 1 (x 1 x ) + n (x x ) + +n p (x p x ) = n Les écarts négatifs compensent les écarts positifs. La variance : c est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. V = n 1(x 1 x ) + n (x x ) + n p (x p x ) n Exemple pour le professeur X : V X = Inconvénient de la variance : son unité est celle du caractère étudié au carré. L écart type C est la racine carrée de la variance. Son unité est donc la même que celle du caractère étudié. On la note avec la lettre grecque (sigma) ou avec la lettre s σ = V Pour le professeur X, σ X = Exercice : calculer la variance V, l'écart type pour le professeur Y. Le mode C est la valeur qui a le plus grand effectif. Il peut y avoir plusieurs modes. Exemple : Quel est le mode de la série des notes du professeur X? et celle du professeur Y? 4

5 3 Médiane, quartiles 3.1 Exemple de caractère discret : les notes Il faut faire le tableau croissants Reprenons les notes du professeur X X : 7, 1, 11, 13, 8, 14, 15, 15 14, 7 Valeurs x i TOTAL Effectifs n i n = 10 Effectifs croissants la 3eme note est dedans la 8eme note est dedans La médiane M est la valeur du caractère qui correspond à 50 % des observations. Si l effectif total n est impair, la médiane M est la valeur centrale. Si l effectif total n est pair, on convient que la médiane M est la moyenne des deux centrales. Les quartiles Q 1 et Q 3 sont les plus petites du caractère qui correspondent à au moins 5% et à au moins % des observations L écart interquartile est la différence Q 3 Q 1 Exemple avec le professeur X : Mediane Comme n = 10 est pair : M = 5e note + 6 e note M = = 1,5 5

6 Premier quartile Il correspond à 5% des observations 10 5 =,5 Donc la 3 ème note est le premier quartile. Q 1 = 8 Troisième quartile Il correspond à % des observations 10 = 7,5 Donc la 8 ème note est le troisième quartile. Q 3 = 14 L écart interquartile est Q 3 Q 1 = 14 8 = 6 L écart interquartile est un paramètre de dispersion. 3. Diagramme en boite (ou diagramme à moustaches) Il sert à visualiser x min Q 1 M Q 3 x max Ex : n 13p8 x min = 4. Q 1 = 4.7 M = 4.9 Q 3 = 5.1 x max = 6.0 Q1 M Q3 x min x max Le diagramme en boite est aisé à tracer. Il donne une bonne idée de la position et de la dispersion. Exemple : Faire la boite à moustaches pour la série des notes des professeurs X et Y X Y x min Q 1 M Q 3 x max 6

7 3.3 Résumé : comment trouver la médiane M, le 1 er quartile Q1 et le 3 ème quartile Q3 Médiane M 1 er quartile Q 1 3 ème quartile Q 3 Série à ème valeur 5 9 =,5 Q 1 est la 3ème valeur 9 = 6. Q 3 est la 7ème valeur Série à moyenne de la 7 ème valeur et de la 8 ème valeur 5 14 = 3.5 Q 1 est la 4ème valeur 14 = 10.5 Q 3 est la 11ème valeur Série à ème valeur = 16. Q 1 est la 17ème valeur 507 = Q 3 est la 381ème valeur Série à moyenne de la 314 ème valeur et de la 315 ème valeur 5 68 = 157 Q 1 est la 157ème valeur 68 = 471 Q 3 est la 471ème valeur 7