Statistique de l assurance, STT 6705 Statistique de l assurance II

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1 Statistique de l assurance, STT 6705 Statistique de l assurance II Arthur Charpentier Université Rennes 1 & Université de Montréal arthur.charpentier@univ-rennes1.fr ou ou charpentier@dms.umontreal.ca http ://freakonometrics.blog.free.fr/ 1er septembre

2 Références Denuit, M. & Charpentier, A. (2005). Mathématiques de l assurance non-vie, tome II. Économica. Charpentier, A., Goulet, V. & Planchet, F. (2010). Actuariat avec R. Springer Verlag (à paraître) Denuit, M. Maréchal, X., Pitrebois, S. & Wahlin, J.F. (2009). Actuarial Modelling of Claim Counts : Risk Classification, Credibility and Bonus-Malus Systems. Wiley. Frees, E. (2009). Regression Modeling with Actuarial and Financial Applications. Cambridge University Press. de Jong, P. & Helle, G. (2008). Generalized Linear Models for Insurance Data. Cambridge University Press. Kaas, R., Goovaerts, M., Dhaene, J. & Denuit, M. (2006). Modern Actuarial Risk Theory. Springer Verlag. 2

3 Barême du cours Le barême pour l évaluation du cours consistera en un projet (50) de tarification un projet (25) de provisionnement un projet (25) de mortalité prospective 3

4 Programmation et langage Les graphiques présentés en cours, et les applications sont programmés en R. Les codes seront mis en ligne sur le blog, ainsi que les bases de données. 4

5 Plan du cours Introduction générale La tarification a priori Les provisions pour sinistres à payer (IBNR) Les tables de mortalité prospectives 5

6 Plan du cours Introduction générale Le modèle collectif en tarification, E ( N i=1 Y i Les modèles linéaires généralisés, E(Y i X i ) = g 1 (X i ) Les modèles dynamiques Y i,t La tarification a priori Les provisions pour sinistres à payer (IBNR) Les tables de mortalité prospectives ) = E(N) E(Y i ) 6

7 Le modèle collectif En tarification, on cherche à prédire la charge totale de sinistre sur une année de couverture. Soit N le nombre (aléatoire) de sinistres survenu sur un an, et Y 1,, Y N les coûts des sinistres (si N > 0). La charge totale annuelle est S = Y Y N. Sous des hypothèses d indépendance, E(S) = E(N) E(Y i ) La probabilité P peut être remplacée par n importe quelle mesure garantissant l indépendance, et l identique distribution des nombres et des coûts, E(S X ) = E(N X ) E(Y i X ) où X désigne le facteur d hétérogénéité (i.e. la classe tarifaire). Un proxy sera obtenu à l aide de variables de tarificaiton {X 1,, X k } E(S X 1,, X k ) = E(N X 1,, X k ) E(Y i X 1,, X k ) 7

8 Le modèle linéaire généralisé En économétrie linéaire (classique), on cherche à approcher E(Y X 1,, X k ) par une forme linéaire Y = β 0 + β 1 X β k X k + ε = Xβ + ε où générallement ε est supposé N (0, σ 2 ), i.e. (Y X) N (Xβ, σ 2 ) Or les modèles gaussiens ne sont pas appropriés en assurance. On peut considérer un modèle Poisson, (N X) P(exp(Xβ)) i.e. on change la loi et le lien entre E(Y ) et le score Xβ 8

9 Les approches dynamiques En provisionnement, on s intéressera aux cadences de paiements, i.e. combien à été payé l année t pour les sinistres survenus l année i, Y i,t. En assurance-vie, on s intéressera aux nombres de décès l anne t d individus d âge i. Le vieillissement des sinistres et des assurés se visualise classiquement via un diagramme de Lexis. 9

10 Lexis diagram in insurance Lexis diagrams have been designed to visualize dynamics of life among several individuals, but can be used also to follow claims life dynamics, from the occurrence until closure, in life insurance in nonlife insurance 10

11 Lexis diagram in insurance but usually we do not work on continuous time individual observations (individuals or claims) : we summarized information per year occurrence until closure, in life insurance in nonlife insurance 11

12 Lexis diagram in insurance individual lives or claims can also be followed looking at diagonals, occurrence until closure,occurrence until closure,occurrence until closure,occurrence until closure, in life insurance in nonlife insurance 12

13 Lexis diagram in insurance and usually, in nonlife insurance, instead of looking at (calendar) time, we follow observations per year of birth, or year of occurrence occurrence until closure,occurrence until closure,occurrence until closure,occurrence until closure, in life insurance in nonlife insurance 13

14 Lexis diagram in insurance and finally, recall that in standard models in nonlife insurance, we look at the transposed triangle occurrence until closure,occurrence until closure,occurrence until closure,occurrence until closure, in life insurance in nonlife insurance 14

15 Lexis diagram in insurance note that whatever the way we look at triangles, there are still three dimensions, year of occurrence or birth, age or development and calendar time,calendar time calendar time in life insurance in nonlife insurance 15

16 Lexis diagram in insurance and in both cases, we want to answer a prediction question...calendar time calendar time calendar time calendar time calendar time calendar time calendar time calendar timer time calendar time in life insurance in nonlife insurance 16

17 What can be modeled in those triangles? In life insurance, L i,j, number of survivors born year i, still alive at age j D i,j, number of deaths of individuals born year i, at age j, D i,j = L i,j L i,j 1, E i,j, exposure, i.e. i, still alive at age j (if we cannot work on cohorts, exposure is needed). In nonlife insurance, C i,j, total claims payments for claims occurred year i, seen after j years, Y i,j, incremental payments for claims occurred year i, Y i,j = C i,j C i,j 1, N i,j, total number of claims occurred year i, seen after j years, 17

18 Plan du cours Introduction générale La tarification a priori Tarification a priori vs. a posteriori Les variables explicatives : par classes vs. continues Modéliser la fréquence de sinistres : régression de Poisson La non déclaration de sinistres et les modèles à inflation de zéros Modéliser les coûts de sinistres : régression Gamma vs. lognormale Écrêter les gros sinistres Les provisions pour sinistres à payer (IBNR) Les tables de mortalité prospectives 18

19 Tarification a priori vs. a posteriori A la fin de l année t, on souhaite estimer la prime à demander à l assuré, π t = E(S t+1 X ) En assurance a priori, on recherche un proxi de X, i.e. la classe de risque, à l aide de variables exogènes, X 1,, X k, alors qu en assurance a posteriori, un proxi de X est obtenu à l aide de l historique de l assuré, Y t h,, Y t 1, Y t. 19

20 Les variables explicatives Les variables explicatives peuvent être discrètes (classes ou facteurs)... 10% 9% 8% 7% 6% 5% 20

21 Les variables explicatives... mais aussi continues... Fréquence annuelle de sinistre Age du conducteur principal 21

22 Les variables explicatives... que l on pourra chercher à lisser Fréquence annuelle de sinistres degrés de liberté 5 degrés de liberté 10 degrés de liberté Age du conducteur principal 22

23 Les variables explicatives On parlera aussi des arbres de régression afin de constituer des classes (e.g. d âge) zone:bcdef zone:bdf puissance < 5.5 zone:bce agevehicule < agevehicule < 2.5 puissance <

24 Les nombres de sinistres N La loi la plus classique pour modéliser les nombres de sinistres est la loi de Poisson, P(N = n) = e λ λ k k! qui vérifie E(N) = Var(N) (équidispersion). Cette loi est de la famille exponentielle, ( n log λ λ P(N = n) = exp 1 avec comme paramètre naturel, θ = log λ = log E(Y ). ) log(n!) 24

25 La surdispersion et la non-déclaration Si N P(λ), alors E(N) = Var(N). Si N suit une loi Poisson mélange, de facteur d hétérogénéité (inobservable) Θ, i.e. (N Θ) P(λ Θ ), alors E(N) < Var(N) En pratique, si la variance est plus grande que l esprance, c est qu il reste de l hétérogénéité au sein des classes. Il est possible d utiliser une loi binomiale négative, ou quasi-poisson ( ) n log λ λ P(N = n) = exp log(n!) ϕ avec ϕ R + le paramètre de surdispersion. 25

26 La surdispersion et la non-déclaration Il est aussi possible de considérer un modèle à inflation de zéros, π i + [1 π i ] p i (0) si k = 0, P(N i = k) = [1 π i ] p i (k) si k = 1, 2, Si p i correspond un modèle Poissonnien, on peut alors montrer facilement que Var(N i ) = π i µ i + π i µ 2 i [1 π i ] > E(N i ) = [1 π i ]µ i 26

27 La surdispersion et la non-déclaration si π i (X i ) + [1 π i (X i )] p i (0 X i ) si k = 0, P(N i = k X i ) = [1 π i (X i )] p i (k X i ) si k = 1, 2, la forme de π i (X i ) est ici Probabilité de ne pas déclarer un sinistre Age du conducteur princpal 27

28 Les coûts de sinistres La loi Gamma est une loi de la famille exponentielle mais pas la loi lognormale. Mais si log Y = Xβ+ (modèle lognormale), alors E(Y ) = exp (Xβ + 12 ) σ2 exp (Xβ) 28

29 Les gros sinistres Il est possible de mutualiser les gros sinistres parmi tous les assurés, pas seulement ceux de la classe tarifaire, 29

30 Impact relatif Age du conducteur principal Impact relatif Age du conducteur principal 30

31 Plan du cours Introduction générale La tarification a priori Les provisions pour sinistres à payer (IBNR) La problématique des provisions, et les IBNR La méthode Chain Ladder Le modèle de Mack, E(C i,t ) = λ t C i,t 1 Les modèles factoriels, E(Y i,t ) = exp[α i + β t ] Incertitude à ultime vs. incertitude à un an Bornhuter-Ferguson, Cape-Code et les modèles bayésiens Les tables de mortalité prospectives 31

32 Introduction au provisionnement Les provisions techniques sont les provisions destinées à permettre le réglement intégral des engagements pris envers les assurés et bénéficaires de contrats. Elles sont liées à la technique même de l assurance, et imposées par la réglementation. 32

33 Chain Ladder et et Le montant total de provision est

34 Le modèle de Mack H 1 E (C i,j+1 C i,1,..., C i,j ) = λ j C ij pour tour i = 0, 1,.., n et j = 0, 1,..., n 1 H 2 (C i,j ) j=1,...,n et (C i,j) j=1,...,n sont indépendant pour i i. H 3 Var (C i,j+1 C i,1,..., C i,j ) = C i,j σj 2 pour tout i = 0, 1,..., n et j = 0, 1,..., n 1 E ([R i R ) i ] 2 F i = R 2 i ( n i 1 k=0 λ 2 i+k σ 2 i+k C,i+k + σ 2 n 1 [ λ n 1 1] 2 C,i+k ) 34

35 Les modèles factoriels Assume that Y i,j P(µ i,j ) where µ i,j = exp[α i + β j ]. the occurrence factor α i the development factor β j 35

36 Assume that The log-poisson regression model Y i,j P(µ i,j ) where µ i,j = exp[α i + β j ]. It is then extremely simple to calibrate the model, Ŷ i,j = exp[ α i + β j ] Ŷ i,j = exp[ α i + β j ] on past observations on the future 36

37 Modéliser l incertitude

38 Bootstrap and GLM log-poisson in triangles Total amount of reserves (' $) (log-poisson + bootstrap versus lognormal distribution + Mack) 38

39 Les modèles bayésiens 39

40 Plan du cours Introduction générale La tarification a priori Les provisions pour sinistres à payer (IBNR) Les tables de mortalité prospectives La modélisation de la mortalité en actuariat, h p x = P(T > x + h T > x) Lecture transversale ou longitudinale du diagramme de Lexis Le modèle de Lee & Carter, E(µ i,t ) = exp[α i + β i γ t ] De la modélisation du taux de décès aux tables prospectives 40

41 P Arthur CHARPENTIER, Statistique de l assurance, sujets spéciaux, STT 6705V Les notions classiques en assurance vie Pour calculer la probabilité de survie, on note que hp x = P(T > x + h T > x) = P(T > x + 1 T > x) P(T > x + h T > x + h 1) i.e. hp x = 1 p x 1p x+1 1p x+h 1 = h 1 i=0 p x+i autrement dit seul le vecteur des p x suffit pour calculer toutes les probabilités. Mais ces probabilités ne prennent pas en compte le vieilissement, i.e. hp t x = P t (T > x + h T > x) = P t (T > x + 1 T > x) P t+1 (T > x + 2 T > x + 1) 41

42 Lecture transversable vs. lecture longitudinale Taux de mortalité µ x,t, 2 taux de mortalité Année Age

43 Le modèle de Lee & Carter Assume here that E(D α, β, γ) = Var(D α, β, γ), thus a Poisson model can be considered. Then D j,t P(E j,t µ j,t ) where µ j,t = exp[α j + β j γ t ] the age factors (α j, β j ) the time factor t 43

44 A stochastic model for mortality Two sets of parameters depend on the age, α = ( α 0, α 1,, α 110 ) and β = ( β 0, β 1,, β 110 )

45 A stochastic model for mortality and one set of parameters depends on the time, γ = ( γ 1899, γ 1900,, γ 2005 )

46 Errors and predictions exp[ α j + β j γ t ] exp[ α j + β j γ t ] on past observations on the future 46

47 Forecasting γ Based on γ = ( γ 1899,, γ 2005 ), we need to forecast γ = (γ 2006,, γ 2050 )

48 Forecasting γ Classically integrated ARIMA processes are considered,

49 Des taux de décès aux tables 49