- Value at Risk paramétrique -

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1 Hueber Roger Duruz Patrik Prof : Dr Akimou Ossé, Dr Emmanuel Fragnière Assistant : M Giuseppe Catenazzo Application VBA-EXCEL en Finance & Risk Management - Value at Risk paramétrique - EES3 Genève, le 23 mars 2007

2 TABLE DES MATIÈRES 1 Introduction page : 3 2 Différentes méthodes de la VaR page : Méthode paramétrique page : Méthode non-paramétrique page : Méthode semi-paramétrique page : 5 3 VaR sous Excel page : Eléments nécessaires pour calculer la VaR page : Calcul de la VaR page : 7 4 Fonction VaR sous VBA page : 8 5 Exemple graphique de la VaR page : 8 6 Codage sur VBA page : 9 7 Conclusion page : 13 8 Bibliographie page : 14 Annexe 1 : Feuille Excel VaR Annexe 2 : Optimisation de la VaR selon Markowitz Annexe 3 : Exemple d utilisation du recorder Annexe 4 : Code Projet VBA Page : 2

3 BUT DU PROJET Conception d un outil simple de VaR basé sur l approche moyenne-variance, pour une série de 5 actions max. Calcul des VaR absolues et relatives pour X jours, X mois ou X années. Programmation en Visual Basic sous Excel. 1. INTRODUCTION La gestion des risques de marché financier existe déjà depuis plusieurs dizaines d années. En effet, à la fin des années 1950 une première théorie du risque est dictée par Markowitz : celle de la diversification du portefeuille. Mais cette dernière comportait de nombreuses failles notamment celle de ne pas tenir compte du risque de marché non diversifiable. C est pourquoi dans les années 60 Sharpe a proposé un modèle (CAPM) distinguant un seul facteur explicatif du risque d un titre, soit la corrélation entre le rendement de ce titre et celui du portefeuille du marché. Ce modèle tient uniquement compte du risque systématique (bêta) du titre, c est à dire le risque qui n est pas diversifiable et donc qui est rémunéré par le marché à l inverse du risque non-systématique qui est diversifiable et donc non rémunéré par le marché. Au milieu des années 70, un autre modèle du risque apparaît se basant sur l absence d arbitrage. Il est nommé ATP (Arbitrage Pricing Theory). Il repose sur le principe que le risque s explique par plusieurs facteurs (méthodes multifactorielles). C est seulement au début des années 90 que la VaR a fait son apparition. Cette méthode de mesure du risque vient compléter les mesures traditionnelles du risque. Elle est venue du besoin d un indicateur global et synthétique des risques financiers. Les méthodes de Value at Risk permettent ainsi de mesurer les risques de baisse de la valeur des actifs avec une probabilité donnée. Les banques les utilisent de plus en plus et ont leur propre système de VaR car elles y sont «contraintes». En effet, depuis 1997, le Comité de Bâle a exigé de celles-ci à détenir un montant de capital minimal pour effacer les pertes éventuelles liées aux risques du marché. C est pourquoi le calcul de la VaR est devenu primordial car elle permet de calculer ce capital minimal à détenir. Cependant, il n existe pas une mesure unique de la VaR. En effet, reposant sur le concept de volatilité, il existe diverses techniques pour calculer la VaR. Ainsi les banques ont recours à différents modèles de VaR pour déterminer au mieux la fourchette de pertes éventuelles. Page : 3

4 Dans le cadre de notre projet, nous allons dans un premier temps brièvement présenter les différentes classes de méthodes de VaR ainsi que leurs utilisations en finance. Puis nous proposerons un modèle de VaR paramétrique ainsi que sa programmation en Visual Basic appliquée à plusieurs actions, dans le but de déterminer les VaR relatives et absolues. Ce modèle est dit paramétrique car il suppose que la distribution des flux monétaires d un portefeuille obéit à une loi normale. 2. LES DIFFÉRENTES CLASSES DE MÉTHODES DE CALCUL DE LA VAR 2.1 MÉTHODES PARAMÉTRIQUES, COVARIANCE-VARIANCE (ARCH, GARCH UNIVARIÉ, GARCH MULTIVARIÉ, RISKMETRICS). La VaR paramétrique est calculée à partir d un calcul analytique assez aisé en pratique, mais elle repose sous des hypothèses théoriques assez contraignantes. Les principales hypothèses sont les suivantes : que les prix du marchés suivent une loi normale et que les instruments présentent une espérance de profits linéaires. Vu que les méthodes paramétriques sont basées sur un risque de profits linéaires, elles ne sont pas adaptées pour des portefeuilles non-linéaires (instruments optionnels par exemple). Il y a deux grands calculs, la VaR absolue et la VaR relative. Si l on ne considère pas la moyenne des pertes et profits, il s agit alors de la méthode relative. Dès lors, la VaR absolue incorpore la moyenne des pertes et profits du portefeuille. 2.2 MÉTHODES NON-PARAMÉTRIQUES (HISTORICAL SIMULATION, WEIGHTED HISTORICAL SIMULATION, MONTE CARLO SIMULATION, FILTERED HISTORICAL SIMULATION...). Dans la méthode non-paramétrique, le calcul n est imposé à aucune distribution paramétrique de pertes et profits. C est principalement par ce point-ci qu elle se distingue des autres méthodes. Il existe cependant une grande variété de calcul de Value at Risk par la méthode nonparamétique. Nous allons identifier les méthodes principales : Historical Simulation : Cette méthode simple consiste à se baser sur la distribution empirique des données historiques de rendements. La VaR sera calculée à partir de cet échantillon, qui pourra ensuite être considéré avec un niveau de confiance de choisi au préalable. Bootstrapped Historical Simulation : Cette méthode est une amélioration de l «Historical Simulation», car elle estime la VaR à partir de donnée stimulée par le Bootstrapped. Ce dernier consiste à générer un grand nombre d échantillon de rendements stimulés qui ont été tirés au hasard de l échantillon original. Weighted Historical Simulation : La principale caractéristique de cette méthode est que l on attribue un poids aux observations selon un facteur déterminer. Il existe plusieurs facteurs pour déterminer la pondération des observations, en voici quelques uns : Page : 4

5 Méthode Aged-Weighted Méthode Volatility-Weighted Méthode Correlation-Weighted La méthode Monte Carlo : Cette méthode consiste à simuler un grand nombre de comportements futurs sur un portefeuille choisi. Ceci grâce à un certain nombre d hypothèses, il est ainsi possible d en déduire une distribution des pertes et profits. Cette méthode est couramment utilisée en pratique, car elle convient à tout type d instruments financiers. 2.3 MÉTHODES SEMI-PARAMÉTRIQUES (CAVIAR, THÉORIE DES EXTRÊMES). Théorie des valeurs extrêmes : Cette méthode diffère des autres procédés par le fait qu elle se base sur des raisonnements du type «tendance centrale». En effet, les valeurs extrêmes sont gouvernées par des théorèmes spécifiques. Ceci permet d établir une distribution de ces extrêmes et ainsi modéliser le maximum ou le minimum d un très grand échantillon. L approche par régression sur quantile - CAViaR La grande particularité de cette approche réside dans le fait que l on ne se base plus sur une distribution afin d en déduire un quantile (VaR), mais à modéliser directement ce quantile par une approche de régression quantile. 3. VAR SUR EXCEL 3.1 ELÉMENTS NÉCESSAIRES POUR CALCULER LA VAR Pour développer notre modèle de VaR, nous avons besoin de 5 variables : La variance, le rendement moyen du portefeuille, le seuil de confiance, la durée, la valeur du portefeuille. Nous sommes allé sur le site pour prendre les cours sur une année de 5 actions. Dès lors, nous avons calculé le rendement journalier de chacune de ces actions pour obtenir le rendement moyen journalier de chaque action. Page : 5

6 tableau n 1 Action 1 Action 2 Action 3 Action 4 Action 5 ABBN Baloise N Neslte N Roche I Logitech N Date cours rendement cours rendement cours rendement cours rendement cours rendement % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % (NB : le tableau contient précisément 252 données, soit les jours ouvrables sur une année.) A partir de ces mêmes données, nous avons calculé le rendement moyen du portefeuille Portfolio expected return 0.074% =SOMMEPROD(Rjm 1 ABB:RjmLogitech;%ABB:%Logitech) et les covariances des différentes actions dans une matrice pour déterminer la variance du portefeuille. tableau n 2 Covariance Matrix ABB Baloise Nestle Roche Logitech ABB Baloise Nestle Roche Logitech =COVARIANCE(Rj 2 ABB;Rj 2 Logitech) Portfolio Variance 0.01% =SOMMEPROD(PRODUITMAT((%ABB :%Logitech ; Cov.Matrice); %ABB :%Logitech ) tableau n 3 ABB Baloise Nestle Roche Logitech Total Rdmt journalier moyen 0.14% 0.20% 0.09% 0.03% 0.11% (sur 1 an) % Portfolio: 0.0% 3.5% 63.8% 32.2% 0.5% 100% Comme nous pouvons le voir ci-dessus, nous avons également permis à l utilisateur d établir sa propre pondération concernant l allocation de son portefeuille. 1 Rendement Journalier 2 Rendement Journalier Moyen Page : 6

7 3.2 CALCUL DE LA VAR Maintenant que nous avons obtenu la variance ainsi que le rendement moyen du portefeuille, nous sommes en mesures de calculer la VaR selon la méthode paramétrique variancecovariance. Rappelons que pour calculer la VaR il nous faut également la valeur du portefeuille, le seuil de confiance, ainsi qu une durée. Ces éléments sont déterminés par l utilisateur. Valeur initiale portefeuille Seuil de confiance 97% Durée Jour (s) Mois Année (s) Tous ces éléments nous permettent maintenant de calculer la VaR grâce à deux fonctions (VaRrel et VaRabs) que nous avons créées avec VBA. Nous reviendrons sur le codage de celles-ci dans la partie consacrée à l explication de notre code VBA. tableau n 4 Valeur initiale portefeuille VaR relative Rdmt journalier moyen 1.55% Portfolio Variance 0.12% Mois 9 Seuil de confiance 97% VaR absolue L exemple ci-dessus est le calcul de la VaR en mensuelle, il s agit donc du risque maximum pris sur une période de 9 mois pour une marge d erreur visée de 3%. Nous avons deux résultats, la VaR relative et la VaR absolue. Page : 7

8 4. FONCTION VAR SUR VBA Nous avons appelé une nouvelle fonction VaRrel avec 5 variables. - S : Valeur initiale du portefeuille - Rmm : Rendement moyen - Dt : durée - C : seuil de confiance Cette fonction nécessite de calculer un alpha qui se trouve être le seuil critique associé à la probabilité visée suivant une loi normale inverse. A partir de ce seuil, nous pouvons dès lors enregistrer le calcul de la VaR relative ou absolue. La VaR relative et absolue sont calculées de la manière suivante : VaR relative = valeur initiale du PF * ( - alpha * Dt * σ) VaR absolue = VaR relative rendement moyen espéré du portefeuille 5. EXEMPLE GRAPHIQUE DE LA VAR Prenons un exemple : En appellent à l aide d Excel la fonction LOI.NORMALE.INVERSE et en utilisant les données ci-dessous on obtient la valeur minimale que notre portefeuille pourrait atteindre en une journée. Valeur initiale portefeuille Rdmt journalier moyen 0.07% Portfolio Variance 0.01% Mois 1 Seuil de confiance 97% = Page : 8

9 Distribution 3% Dans notre exemple, une analyse sur un seul jour, nous avons choisi une valeur de portefeuille de 10'000.- un seuil de confiance de 97%. Les pondérations concernant le portefeuille d action sont les mêmes que le tableau n CODAGE SUR VBA Le but étant de proposer à l utilisateur une interface visuelle, agréable et simple d utilisation. Pour cela nous avons regroupé toutes les variables que peut modifier l utilisateur qui ont une influence sur la VaR avec un seul et unique bouton. Pour la création d un bouton, il faut cliquer sur l onglet suivant : (mode création). Ensuite créez votre bouton et nommez le, à partir de la fenêtre propriété du bouton. Page : 9

10 Cliquer ensuite sur le bouton droit de votre souris. Ceci vous donne accès aux Propriétés. Voici le bouton que nous avons créé pour notre programme Les propriétés, comme vous pouvez le voir ci-dessous, vous permettent de modifier tous les paramètres concernant votre bouton. Remarquez la case BackColor qui indique la couleur du fond. Une fois que le design de votre bouton est créé, il vous faut lier votre bouton à une fenêtre que vous allez créer à partir de VBA. Suivez le cheminement ci-dessus et agencez votre fenêtre à l aide de la boîte à outils comme vous le souhaitez. N oubliez pas de nommer chaque objet, ceci d une manière pertinente afin de les retrouver plus facilement. Page : 10

11 Maintenant pour lier votre bouton à la fenêtre par un simple clic de souris, faîtes appel à la fonction Sub pour appeler une autre fonction Sub (qui appelle toutes les fonctions voulues ; comme montrer la fenêtre créée précédemment) lorsqu on clic sur le bouton. Le codage ci-dessus doit être introduit dans la feuille Excel où le bouton a été créé. Ensuite allez dans le module Notre fonction Sub B1 permet de rechercher les dernières valeurs qui ont été rentrées dans les boutons de la fenêtre. Le Tb.Show permet d afficher la fenêtre. Nous allons prendre l exemple d un text box de notre programme et suivre totalement son codage VBA. Prenons le text box de l allocation de l action 1. Pour permettre au text box de se rafraîchir, il faut lui dire d aller chercher la valeur souhaitée (dans une feuille Excel) lorsqu on clic sur le bouton où lorsqu on modifie la valeur d un autre text box (procédez comme ci-dessous). La multiplication de 100 est nécessaire puisque les chiffres sont en format pourcent sous Excel. Ensuite, il est intéressant de faire apparaître un message d erreur si la valeur entrée est négative. Page : 11

12 Le principe du code ci-dessous est de permettre de rafraîchir les différentes VaR de la fenêtre ainsi que le total de la pondération du portefeuille lorsque la valeur de notre text box (tb_action1) est modifiée. Nous n allons pas décrire toute la procédure du code VBA de notre programme car le nombre de pages serait considérable, toutefois la même logique s applique aux text box similaires. Page : 12

13 7. CONCLUSION VBA est un outil très utile pour rendre les feuilles d Excel plus simple d accès, d utilisation et plus attractif visuellement. De plus, ce programme permet de créer ses propres fonction Excel suivant ses besoins. Le langage du code demande un certain apprentissage pour pouvoir librement coder ses désirs. Pour notre dossier nous avons réussi à élaborer un outil très convivial et vraiment simple d utilisation. Effectivement, l utilisateur peut à partir de notre simple fenêtre en définissant toutes les variables, estimer sa VaR sous n importe quel horizon de temps, que se soit une analyse journalière, mensuelle, ou annuelle. Ainsi la Value at Risk est devenue un outil indispensable dans l analyse du risk pour les institutions financières, puisque celles-ci, avec les accords de Bâle II, doivent déterminer un niveau de capital minimum qui doit servir de provision en cas de perte. Lorsque la VaR est utilisée dans ce but on l appelle généralement la CaR "Capital at Risk". Page : 13

14 8. BIBLIOGRAPHIE "Modélisation des décisions de gestion", de Laurent Delaloye, Emmanuel Fragnière, Hoesli Martin, Editeur Economica "Applications financières sous Excel en Visual Basic", de Fabrice Riva, Editeur Economica "Modèles de la VaR, simulations en Visual Basic (Excel) et autres mesures récentes du risque de marché", de François-Eric Racicot, Raymond Théoret. Université du Québec : Février Document pdf. "Méthodes de Calcul de la Value at Risk", Albayrak Adem, Arnoult Benoit. Master ESA, Université d Orléans : Janvier Document pdf.. "Value at Risk ", Boulbes François-Régis, Zahaf Yassine, Abdelkhalek Amine, Ben Said Khaled. Présentation ppt Page : 14