CLASSE DE M. AÏT EL ASRI

Transcription

1 NUMÉRATION NU.0 Les nombres entiers NU.02 Écrire les nombres entiers NU.0 Lire les nombres entiers NU.04 Comparer les nombres entiers NU.05 Comparer les nombres entiers 2 NU.06 Décomposer les nombres entiers NU.07 Les fractions NU.08 Les fractions 2 NU.09 Les fractions décimales NU.0 Les nombres décimaux NU. Les nombres décimaux 2

2

3 NU.0 LES NOMBRES ENTIERS On peut compter les objets un par un : 26 objets ou les regrouper par paquets de 0 : dizaine dizaine 6 objets 2 dizaines et 6 objets 26 objets Dans la numération décimale, on regroupe toujours les objets par 0 : objet, c'est unité simple. 0 0 objets, c'est dizaine. 0 dizaines ( 000 objets), c'est centaine. 0 centaines ( dizaines), c'est millier (on dit aussi : unité de mille)

4 NU.02 ÉCRIRE LES NOMBRES ENTIERS On utilise le tableau suivant : classe des millions classe des mille classe des unités centaines dizaines de unités de centaines dizaines de unités de centaines dizaines unités de millions millions millions de mille mille mille c d u c d u c d u Dans chaque classe, il y a colonnes : celle des unités (u) celle des dizaines (d) celle des centaines (c). Dans chaque colonne, on place un seul chiffre. Lorsque l'on écrit, sans tableau, un nombre de plus de chiffres, on groupe les chiffres par à partir de la droite en laissant un espace (de largeur au plus égale à celle d'un chiffre) entre deux classes. Exemples : pas d'espace espace espace 2 espaces Les nombres sont ainsi plus faciles à lire. Attention : Il faut connaitre la valeur de chaque chiffre d'un nombre entier. Exemples : centaines 5 unités 6 unités de mille 8 unités 2 dizaines 4 centaines 0 dizaine

5 NU.0 LIRE LES NOMBRES ENTIERS Pour lire les nombres entiers, on utilise en les combinant : le nom des chiffres : un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf (on ne prononce pas le zéro) ; des mots particuliers : onze, douze, treize, quatorze, quinze, seize ; le nom des dizaines : dix, vingt, trente, quarante, cinquante, soixante ; le nom des centaines : cent ; le nom des classes de nombres : mille, million, milliard. Exemples : 725 se lit sept-cent-vingt-cinq se lit six-mille-quatre-cent-huit 0 69 se lit cent-trente-mille-six-cent-trente-neuf se lit douze-millions-cinq-cent-quatre-vingt-neuf-mille-deux-cent-quatrevingt-dix-huit Les noms des nombres chiffres dizaines autres 0 zéro 0 dix cent un 20 vingt 000 mille 2 deux 0 trente million trois 40 quarante milliard 4 quatre 50 cinquante 5 cinq 60 soixante 6 six 7 sept 8 huit 9 neuf

6 NU.04 COMPARER LES NOMBRES ENTIERS LES SYMBOLES DE COMPARAISON Lorsque l'on compare deux nombres, on veut savoir lequel est le plus petit (ou le plus grand). Il peut arriver qu'ils soient égaux. Les symboles utilisés sont les suivants : > «plus grand que» ou «supérieur à» < «plus petit que» ou «inférieur à» 6 > «six est plus grand que trois» ou «six est supérieur à trois» 5 < 7 «cinq est plus petit que sept» ou «cinq est inférieur à sept» = «égal à» 0 = 0 «dix est égal à 0» 2 COMPARER DEUX NOMBRES ENTIERS Si deux nombres entiers n'ont pas le même nombre de chiffres, le nombre le plus grand est celui qui a le plus de chiffres. On veut comparer 624 et est écrit avec chiffres, 68 est écrit avec 2 chiffres. «624 est plus grand que 68» ou bien «624 est supérieur à 68». 624 > 68 On peut aussi dire que : «68 est plus petit que 624» ou bien «68 est inférieur à 624». 68 < 624 Si deux nombres entiers ont le même nombre de chiffres, on compare les chiffres un à un de gauche à droite. Dès que l'on rencontre un chiffre différent, on peut trouver quel est le nombre le plus grand. On veut comparer et Le er chiffre à gauche est 4 pour les deux nombres. Le 2e chiffre à gauche est 5 pour les deux nombres. Le e chiffre à gauche (dizaines) est 6 pour et pour est supérieur à, donc «4 562 est supérieur à 4 59». On écrit : > 4 59 ou bien 4 59 < RANGER PLUSIEURS NOMBRES ENTIERS On peut les ranger dans l'ordre croissant (on part du plus petit nombre pour aller vers le plus grand). Exemple : 2 < 8 < 98 < 2 < 000 le plus petit le plus grand On peut les ranger dans l'ordre décroissant (on part du plus grand nombre pour aller vers le plus petit). Exemple : 000 > 2 > 98 > 8 > 2 le plus grand le plus petit

7 NU.05 COMPARER LES NOMBRES ENTIERS 2 GRADUER UNE LIGNE DROITE Graduer une ligne droite avec les nombres entiers, c'est placer régulièrement les nombres entiers sur cette ligne en les rangeant du plus petit au plus grand. On peut graduer une ligne droite en unités. On reporte régulièrement toujours le même segment et on compte de en On dit que le pas de la graduation est. On peut graduer une ligne droite en dizaines. On reporte régulièrement toujours le même segment et on compte de 0 en 0. Pour placer exactement, 2,,..., il faut faire une sous-graduation entre les dizaines On peut aussi faire un graduation avec le pas que l'on veut :, 000, ou même Exemple : Graduation avec un pas de 5. 2 ENCADRER UN NOMBRE ENTIER C'est le placer entre 2 autres nombres entiers, l'un plus petit que lui, l'autre plus grand. 52 est supérieur à et 52 est inférieur à 000. On dit que «52 est compris entre et 000». On écrit < 52 < 000. On peut écrire d'autres encadrements : 5 < 52 < 5 encadrement à près. 50 < 52 < 60 encadrement à 0 près. 00 < 52 < 400 encadrement à près.

8 NU.06 DÉCOMPOSER LES NOMBRES ENTIERS LES CLASSES DE NOMBRES Décomposer un nombre entier, c'est l'écrire en montrant les différentes unités qu'il contient. Décomposer On peut écrire cette décomposition ainsi : 2 46 = ÉCRIRE LES DIFFÉRENTES DÉCOMPOSITIONS D'UN NOMBRE ENTIER On peut décomposer 2 46 de plusieurs manières : 2 46 = (2 000) + (4 ) + ( 0) + (6 ) 2 milliers, 4 centaines, dizaines, 6 unités 2 46 = (2 000) + (4 ) milliers, 4 centaines, 6 unités 2 46 = (2 000) milliers, 46 unités 2 46 = (24 ) centaines, 6 unités 2 46 = (24 0) dizaines, 6 unités Ces décompositions permettent de répondre à des questions telles que : «Combien y a-t-il de dizaines dans 2 46?» Il y a 24 dizaines parce que 2 46 = (24 0) + 6. LA DIFFÉRENCE ENTRE CHIFFRE ET NOMBRE Le chiffre des unités de 246, c'est le 6 mais le nombre d'unités de 246, c'est Le chiffre des dizaines de 246, c'est le mais le nombre de dizaines de 246, c'est 24. Le chiffre des centaines de 246, c'est le 4 mais le nombre de centaines de 246, c'est 24.

9 NU.07 LES FRACTIONS DÉFINITIONS Une fraction est un nombre qui représente des parts égales de l'unité (par exemple des parts égales de gâteau). Dans une fraction, il y a 2 nombres : 2 un nombre pour dire combien de parts on prend : le NUMÉRATEUR. un nombre pour dire en combien de parts on partage l'unité : le DÉNOMINATEUR. On a partagé l'unité en 8 parts égales. On a colorié parts. La partie coloriée s'écrit : 8 2 LE SENS DE LA FRACTION On utilise une fraction : Pour préciser combien de parts égales on prend dans une ou plusieurs unités L'unité est partagée en 6 parties égales. Chaque partie coloriée représente l'unité divisée par 6. Au total : 5 6 Pour désigner un rapport entre deux quantités Dans un bouquet de 5 fleurs, il y a 5 roses. On dit que le bouquet contient 5 5 de roses, ou bien que les roses représentent 5 5 du bouquet. Pour repérer des sous-graduations LIRE UNE FRACTION Dans une fraction, on lit le numérateur normalement, puis le dénominateur auquel on rajoute le suffixe «-IÈME». 2 5 «deux» «cinq» «-ièmes» deux cinquièmes «trois» «dix» «-ièmes» trois dixièmes 0 Les dénominateurs 2, et 4 ont un nom particulier :... 2 «demi»un demi, deux demis... 4 «quart» un quart, deux quarts... «tiers» un tiers, deux tiers

10 NU.08 LES FRACTIONS 2 FRACTIONS ÉGALES Si on divise ou multiplie le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre, on obtient une fraction égale. 2 4 = 2 8 = Une même fraction peut donc s'écrire de nombreuses manières équivalentes. :0 :2 40 = 4 0 = 7 5 :0 :2 2 COMPARER UNE FRACTION À Certaines fractions sont inférieures à. Le numérateur est inférieur au dénominateur. Certaines fractions sont égales à. Le numérateur est égal au dénominateur. Certaines fractions sont supérieures à. Le numérateur est supérieur au dénominateur , 4, 60. = = 7 7 = , 4, 60. RANGER DES FRACTIONS Si elles ont le même numérateur : Plus le dénominateur est grand, plus la fraction est petite. Si elles ont le même dénominateur : Plus le numérateur est grand, plus la fraction est grande. 4 DÉCOMPOSER UNE FRACTION Dans une fraction, on peut séparer la partie entière (le nombre d'unités) et la partie fractionnée (inférieure à ). 4 Exemple : On peut écrire : partie entière fraction = 2 2 ou bien 4 =4 2

11 NU.09 LES FRACTIONS DÉCIMALES RECONNAITRE UNE FRACTION DÉCIMALE Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 0,, 000, etc. 6 0, 6, 26 0 sont des fractions décimales. 2 LIRE ET ÉCRIRE UNE FRACTION DÉCIMALE 4 0 se lit «un dixième» se lit «deux-cent-cinquante-six millièmes». se lit «quatorze dixièmes». DÉCOMPOSER UNE FRACTION DÉCIMALE fraction décomposition avec même dénominateur décomposition «unités - dixièmes centièmes...» On n'écrit pas cette fraction 4 GRADUER UNE LIGNE DROITE AVEC DES FRACTIONS DÉCIMALES Les fractions décimales ont une propriété très intéressante : quand on gradue quand on gradue en dixièmes, on obtient des centièmes. en dixièmes, on obtient des millièmes =

12 NU.0 LES NOMBRES DÉCIMAUX ÉCRIRE UN NOMBRE DÉCIMAL Un nombre décimal peut s'écrire sous forme de fraction décimale ou avec une virgule. Fraction signification Écriture à virgule Lecture : 0 l'unité est divisée en 0 : l'unité est divisée en : 000 l'unité est divisée en 000 : l'unité est divisée en , un dixième 0,0 un centième 0,00 un millième 0,000 un dix-millième 2 LIRE UN NOMBRE DÉCIMAL Lire 5,628 La virgule est toujours placée après le 5, chiffre des unités. à gauche de la virgule, c'est la partie entière à droite de la virgule, c'est la partie décimale On peut lire : «quinze virgule six cent vingt-huit» «quinze et six cent vingt-huit millièmes» «quinze unités et six cent vingt-huit millièmes» PLACER UN NOMBRE DÉCIMAL DANS UN TABLEAU Pour pouvoir écrire les nombres décimaux, il faut rajouter des colonnes à droite du tableau des entiers dizaines de mille unités de mille centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes dix-millièmes Ce nombre s'écrit 05,62. On n'écrit pas les zéros à gauche de la partie entière, ni les zéros à droite de la partie décimale.

13 NU. LES NOMBRES DÉCIMAUX 2 DÉCOMPOSER UN NOMBRE DÉCIMAL En fractions décimales : 05,62 = 0562 = = = En partie entière et partie décimale : 05,62 = 05 0,62 = 05 0,6 0,02 2 GRADUER UNE LIGNE DROITE Les nombres décimaux peuvent être utilisés pour graduer une ligne droite de plus en plus précisément. Graduations en unités Graduations en dixièmes Graduations en centièmes Graduations en millièmes COMPARER DES NOMBRES DÉCIMAUX Ils n'ont pas la même partie entière : Le plus petit est celui qui a la plus petite partie entière.,656 < 9, parce que < 9 Ils ont la même partie entière : On compare les chiffres après la virgule les uns après les autres, en commençant par les dixièmes. 4,25 < 4, parce que 2 dixièmes < dixièmes

14 CALCUL CA.0 Addition des nombres entiers CA.02 Table d'addition CA.0 Soustraction des nombres entiers CA.04 Table de soustraction CA.05 Multiplication des nombres entiers CA.06 Tables de multiplication CA.07 Division euclidienne CA.08 Multiples et diviseurs CA.09 Addition des nombres décimaux CA.0 Soustraction des nombres décimaux CA. Multiplication des nombres décimaux CA.2 Division décimale CA. Priorités de calcul

15

16 CA.0 ADDITION DES NOMBRES ENTIERS LE SENS DE L'ADDITION On effectue une addition pour réunir deux ou plusieurs collections d'objets de même nature. On effectue une addition pour ajouter des objets à une collection d'objets. On effectue une addition pour avancer sur la file numérique. + 2 Le résultat d'une addition s'appelle une somme LA TECHNIQUE DE CALCUL : POSER UNE ADDITION EN COLONNES On utilise un tableau que l'on peut dessiner ou non. Addition sans retenue : c d u est la somme des trois nombres, 607 et 24. Addition avec retenue : m c d u est la somme des deux nombres 628 et =. J'écris et je retiens. + 2 = ; + 9 = 2. J'écris 2 et je retiens. + 6 = 7 ; = 9. J'écris 9. J'écris. PROPRIÉTÉ DE L'ADDITION On peut additionner les nombres entiers dans l'ordre que l'on veut. Cela permet de simplifier les calculs en ligne est difficile à effectuer ; on effectue d'abord = 47.

17 CA.02 TABLE D'ADDITION Exemple : =? Je rejoins la ligne de 6 et la colonne de 8. Au croisement, il y a le nombre 4. Réponse : = 4

18 CA.0 SOUSTRACTION DES NOMBRES ENTIERS LE SENS DE LA SOUSTRACTION On effectue une soustraction pour : Chercher ce qui reste quand on enlève, on retire, on perd des objets de même nature d'une collection. J'avais 8 billes. J'en ai perdu 5, il m'en reste 8 5, soit 2. Chercher ce qu'on a enlevé. Il y avait 8 billes dans le sac. Il en reste 5. On en a enlevé 8 5, soit 2. Chercher ce qui manque pour compléter une collection. J'ai 58 billes. Je voudrais en avoir 92. Il m'en manque 92 58, soit 4. Reculer sur la file numérique = 285 Calculer un écart. 285 J'ai 2 ans, tu en as 8. Nous avons 2 8, soit 4 ans d'écart. - 5 Le résultat d'une soustraction s'appelle une différence. 00? 9 2 LA TECHNIQUE DE CALCUL : POSER UNE SOUSTRACTION EN COLONNES On utilise un tableau que l'on peut dessiner ou non. Soustraction sans retenue : Soustraction avec retenue : c d u = ; 6 2 = 4 ; 8 0 = 8. m c d u = ; 4 4 = 0 ; 8 est impossible. Mais millier = 0 centaines. J'ajoute 0 centaines aux centaines de 2 59 et millier à = 5 et je retiens ; 2 =. 84 est la différence entre 865 et est la différence des deux nombres 2 49 et 846. Attention : Contrairement à l'addition, la soustraction ne permet pas d'effectuer les calculs dans l'ordre que l'on veut! 65 4 = 22, mais 4 65 est impossible.

19 LIEN AVEC L'ADDITION A une addition, on peut faire correspondre 2 soustractions. Exemple : différence différence Mais à une soustraction, on ne peut faire correspondre qu'une seule addition. Exemple : différence 248

20 CA.04 TABLE DE SOUSTRACTION Attention! La table ne fonctionne que dans un sens (celui de la flèche). Les résultats en gras sont très importants : ils correspondent à un changement de dizaine. Il faut les savoir par cœur : ils servent à calculer les soustractions avec retenues.

21 CA.05 MULTIPLICATION DES NOMBRES ENTIERS LE SENS DE LA MULTIPLICATION On fait une multiplication pour : Dénombrer une collection d'objets identiques rangés en lignes et colonnes On a rangées de 6, ou 6 colonnes de. On calcule = On écrit 6 = 6 On lit 6 multiplié par ( multiplié par 6) ou bien 6 fois ( fois 6) 6 est un produit composé des facteurs 6 et. Calculer la somme de plusieurs nombres égaux = 5 7 = 05 ou 7 5 = 05. tablettes de 24 carrés de chocolat : = 24 = 72 carrés. Calculer le prix d'un nombre d'objets de même valeur. Nombre de livres achetés livre coûte 2. Prix payé en euros LA TECHNIQUE DE CALCUL Comment calculer 2 2? On décompose chaque nombre, puis on calcule les produits = = = 40 2 = = 2 7 6

22 On pose la multiplication. Pour multiplier 2 par les unités, on peut dire : fois 2 = 6. J'écris 6. fois =. J'écris. 2 = 6. Pour multiplier par les 2 dizaines, on place un zéro puis on peut dire : 2 fois 2 = 4. J'écris 4. 2 fois = 2. J'écris = 240. On effectue l'addition : = 276. Comment calculer 48 52? On décompose chaque nombre en centaines, dizaines, unités = = = = = = = On pose la multiplication = =

23 CA.06 TABLES DE MULTIPLICATION x 0 = 0 2 x 0 = 0 x 0 = 0 4 x 0 = 0 5 x 0 = 0 x = 2 x = 2 x = 4 x = 4 5 x = 5 x 2 = 2 2 x 2 = 4 x 2 = 6 4 x 2 = 8 5 x 2 = 0 x = 2 x = 6 x = 9 4 x = 2 5 x = 5 x 4 = 4 2 x 4 = 8 x 4 = 2 4 x 4 = 6 5 x 4 = 20 x 5 = 5 2 x 5 = 0 x 5 = 5 4 x 5 = 20 5 x 5 = 25 x 6 = 6 2 x 6 = 2 x 6 = 8 4 x 6 = 24 5 x 6 = 0 x 7 = 7 2 x 7 = 4 x 7 = 2 4 x 7 = 28 5 x 7 = 5 x 8 = 8 2 x 8 = 6 x 8 = 24 4 x 8 = 2 5 x 8 = 40 x 9 = 9 2 x 9 = 8 x 9 = 27 4 x 9 = 6 5 x 9 = 45 x 0 = 0 2 x 0 = 20 x 0 = 0 4 x 0 = 40 5 x 0 = 50 6 x 0 = 0 7 x 0 = 0 8 x 0 = 0 9 x 0 = 0 0 x 0 = 0 6 x = 6 7 x = 7 8 x = 8 9 x = 9 0 x = 0 6 x 2 = 2 7 x 2 = 4 8 x 2 = 6 9 x 2 = 8 0 x 2 = 20 6 x = 8 7 x = 2 8 x = 24 9 x = 27 0 x = 0 6 x 4 = 24 7 x 4 = 28 8 x 4 = 2 9 x 4 = 6 0 x 4 = 40 6 x 5 = 0 7 x 5 = 5 8 x 5 = 40 9 x 5 = 45 0 x 5 = 50 6 x 6 = 6 7 x 6 = 42 8 x 6 = 48 9 x 6 = 54 0 x 6 = 60 6 x 7 = 42 7 x 7 = 49 8 x 7 = 56 9 x 7 = 6 0 x 7 = 70 6 x 8 = 48 7 x 8 = 56 8 x 8 = 64 9 x 8 = 72 0 x 8 = 80 6 x 9 = 54 7 x 9 = 6 8 x 9 = 72 9 x 9 = 8 0 x 9 = 90 6 x 0 = 60 7 x 0 = 70 8 x 0 = 80 9 x 0 = 90 0 x 0 = x

24 CA.07 DIVISION EUCLIDIENNE LE SENS DE LA DIVISION On utilise la division euclidienne* pour : Traduire une distribution en parts égales *Division euclidienne signifie «division avec reste entier». On connait : la quantité à distribuer (c'est le dividende) ; le nombre de personnes à qui on le distribue (c'est le diviseur). On cherche : la part que chacun recevra (c'est le quotient) ; ce qu'on ne peut plus distribuer (c'est le reste). On veut distribuer 58 bonbons à 5 enfants en parts égales. 58 bonbons, c'est le dividende 5 est le nombre de personnes (c'est le diviseur) bonbons ne sont pas distribués (c'est le reste) Combien chacun en recevra-t-il? On écrit : 58 = ( 5 ) + Traduire un partage en parts fixées On connait : ce qu'on a à partager (c'est le dividende) ; le contenu de chaque part (c'est le diviseur). On cherche : er enfant 2e enfant e enfant 4e enfant 5e enfant dividende diviseur quotient reste le nombre de parts à réaliser (c'est le quotient) ; ce qu'on ne peut plus partager (c'est le reste). On veut distribuer 74 bonbons par paquets de 6. A combien d'enfants peut-on distribuer un paquet de 6 bonbons? On écrit : 74 = ( 6 2 ) + 2 dividende diviseur quotient reste

25 Traduire un déplacement par bonds réguliers sur la file numérique Dans le sens croissant, vers un but à atteindre. Je pars de 0 et je veux atteindre 4. Combien de bonds de 5 dois-je faire? 5 5 Reste départ J'ai fait 8 bonds de 5, puis pas. On écrit : 4 = (5 8) + Dans le sens décroissant, vers l'origine. arrivée Je pars de 65 et je veux atteindre 0 en faisant des bonds de 25. Combien de bonds vais-je faire? Reste arrivée départ J'ai fait 6 bonds de 25, puis 5 pas. On écrit : 65 = (25 6) LA TECHNIQUE DE CALCUL Avec soustractions intermédiaires : Dans 97, je prends 9, car 97 dépasse la table de 7 (0 7 = 70). En 9, combien de fois 7? fois, car 9 = ( 7) + 2. J'écris au quotient. Je pose 9 7 = 2. J'abaisse le 7. En 27, combien de fois 7? fois, car 27 = ( 7) + 6. J'écris au quotient. Je pose 27 2 = 6. Je vérifie : 6 < 7. Donc 97 = ( 7) + 6. Sans soustractions intermédiaires : Dans 258, je prends 25, car 258 dépasse la table de 48 (0 48 = 480). En 25, combien de fois 48? 6 fois. J'écris 6 au quotient. 6 8 = 48; = 7. J'écris 7, je retiens = 24; = 29; 2 29 =. J'écris. J'abaisse le 8. En 78, combien de fois 48? 7 fois. J'écris 7 au quotient. 7 8 = 56; = 2. J'écris 2, je retiens = 28; = ; 7 = 4. J'écris 4. Donc 258 = (67 48) + 42.

26 CA.08 MULTIPLES ET DIVISEURS FORMULATIONS ÉQUIVALENTES Je sais que 56 = Je peux dire : 56 est dans la table de 2. Le reste de la division de 56 par 2 est 0. Le quotient de la division de 56 par 2 est exact. 56 est un multiple de est divisible par 2. 2 est un diviseur de LES MULTIPLES D'UN NOMBRE Un multiple d'un nombre est le produit de ce nombre par un autre nombre entier. 8 = 24 donc 24 est multiple de (et de 8). On trouve les multiples d'un nombre dans sa table de multiplication. Multiples de = 0 6 = = 2 6 = = = = = = = = 60 etc. CRITÈRES DE DIVISIBILITÉ Pour qu'un nombre entier soit divisible par 2 : Son chiffre des unités doit être 0, 2, 4, 6, 8. C'est un nombre pair. 4, 256, 2 sont divisibles par 2. 49, 2, 2 5 ne sont pas divisibles par 2. Pour qu'un nombre entier soit divisible par 5 : Son chiffre des unités doit être 0 ou et 720 sont divisibles par 5. 2 et 627 ne sont pas divisibles par 5. Pour qu'un nombre entier soit divisible par 0, par : Le nombre doit se terminer par 0 pour 0, 00 pour. 50 est divisible par est divisible par. Pour qu'un nombre entier soit divisible par : La somme de tous ses chiffres doit être un multiple de. 24 est divisible par car = 9, multiple de. 85 n'est pas divisible par car = 4, non multiple de. Pour qu'un nombre entier soit divisible par 9 : La somme de tous ses chiffres doit être un multiple de est divisible par 9 car = 8, multiple de n'est pas divisible par 9 car = 5, non multiple de.

27 CA.09 ADDITION DES NOMBRES DÉCIMAUX LE SENS DE L'ADDITION DES DÉCIMAUX Dans la vie courante, on a souvent besoin d'additionner des nombres décimaux : pour exprimer des mesures de longueurs, d'aires, de volumes, de masses pour donner le prix d'un objet. On retrouve pour les nombres décimaux toutes les situations d'addition que l'on avait rencontrées avec les nombres entiers. 2 LA TECHNIQUE DE CALCUL Comme pour les nombres entiers, on peut utiliser la technique de l'addition posée en colonnes : On place les unités sous les unités, les dizaines sous les dizaines,..., les dixièmes sous les dixièmes, les centièmes sous les centièmes. On place les virgules les unes sous les autres. On effectue l'addition comme avec les entiers, en faisant attention aux retenues. Dans le résultat, on place la virgule sous les autres virgules. Addition sans retenue : 4,52 +,05 Addition avec retenue : 7,65 + 4,8 u 0 e e on écrit sans d u 0 e e 4, 5 2 +, 0 5 7, 5 7 colonnes : 4, 5 2 +, 0 5 7, 5 7 7, , 8 on écrit sans colonnes : 7, , , , 4 5 On peut écrire un zéro pour avoir le même nombre de chiffres après la virgule (et faciliter l'alignement) PROPRIÉTÉ DE L'ADDITION Comme pour les nombres entiers, on peut additionner les nombres décimaux dans l'ordre que l'on veut. Cela permet de simplifier les calculs en ligne.,5 + 4,76 + 2,5,5 + 4,76 est difficile à effectuer ; on effectue d'abord,5 + 2, ,76 = 20,76.

28 CA.0 SOUSTRACTION DES NOMBRES DÉCIMAUX LE SENS DE LA SOUSTRACTION DES DÉCIMAUX On retrouve toutes les situations de soustraction que l'on avait rencontrées avec les nombres entiers : Chercher ce qui reste. J'avais 5,50. J'ai dépensé,5. Combien me reste-t-il? Chercher ce qu'on a enlevé. Il y avait,5 L d'eau dans la bouteille. Il reste 0,8 L. Combien a-t-on enlevé? Chercher ce qui manque. Il me faut 2,5 kg de sucre. J'ai déjà,6 kg. Combien me manque-t-il? Calculer un écart. Je mesure,45 m. Mon frère mesure,2 m. Je le dépasse de combien? 2 LA TECHNIQUE DE CALCUL Comme pour l'addition, la soustraction des décimaux utilise la même technique que celle des entiers, en plaçant correctement les virgules. Soustraction sans retenue : 6,8 2,0 Soustraction avec retenue : 4,6 7,45 u 0 e e on écrit d u 0 e e on écrit 6, 8 2, 0 sans colonnes : 6, 8 4, 6 7, 4 5 sans colonnes : 4, 6 0 2, 0 0 7, 4 5 4, 5 4, 5 0 7, 5 0 7, 5 On peut remplir avec des zéros PROPRIÉTÉS DE LA SOUSTRACTION Comme pour les entiers, on ne peut pas effectuer une soustraction dans l'ordre que l'on veut : uniquement le grand nombre moins le petit. 54,62 2, = 22,5 mais 2, 54,62 est impossible. L'ordre des calculs a donc une importance. (2,5 5,),2 = 4 mais 2,5 (5,,2) = 0,4 Le résultat est différent!

29 CA. MULTIPLICATION DES NOMBRES DÉCIMAUX LE SENS DE LA MULTIPLICATION On multiplie des décimaux pour : Calculer l'aire d'un rectangle par exemple. Un rectangle a pour mesures L =2,5 cm et l =,5 cm. Quelle est son aire? Calculer le prix de plusieurs objets de même prix. cahier coute,80. J'ai acheté 5 cahiers. Combien dois-je payer? Calculer le prix d'une fraction de l'unité. La côte de bœuf coute,50 le kg. J'en achète 0,750 kg. Combien dois-je payer? Calculer le total d'une quantité qui se répète. Une allumette mesure 4,7 cm. Combien mesurent 6 allumettes mises bout à bout? 2 MULTIPLIER UN DÉCIMAL PAR UN ENTIER Pour multiplier avec des décimaux, on utilise les propriétés de la multiplication : multiplier par 0 équivaut à déplacer la virgule d'un chiffre vers la droite (et inversement pour la division). Il suffit donc de multiplier les décimaux par 0,, etc. pour faire «disparaitre» la virgule, et de diviser par le 6, , même nombre en fin de calcul. 6,82 4 On effectue la multiplication comme s'il n'y avait pas de virgule. 6,82 a deux chiffres après la virgule, le résultat sera donc fois trop grand. On replace la virgule dans le résultat. On divise le résultat par, ce qui correspond à 2 chiffres après la virgule. donc 6,82 4 = 95,48 PROPRIÉTÉS DE LA MULTIPLICATION PAR UN DÉCIMAL Multiplier un nombre par 0, c'est le diviser par 0 ( 0,= 0 ) : 48 0, = 4,8 Multiplier un nombre par 0,5 c'est le diviser par 2 ( 0,5= 5 0 = 2 ) : 48 0,5 = 74 Si on multiplie un nombre par un décimal inférieur à, le résultat est inférieur au nombre de départ : 48 0,9 =,2 Si on multiplie un nombre par un décimal supérieur à, le résultat est supérieur au nombre de départ : 48, = 62,8

30 CA.2 DIVISION DÉCIMALE LE SENS DE LA DIVISION DÉCIMALE Dans certaines situations de division, on doit diviser aussi le reste. Dans ces cas, le quotient contiendra des fractions, il sera donc décimal. On veut partager 6 gâteaux entre 4 personnes. 6=(4 )+2 donc chaque personne aura tarte entière (division euclidienne). On partage les 2 tartes restantes en 4 parts égales : chacun aura 2 4 de tarte (fraction). 6 = 4 2 = 4 0,5 = 4,5 donc chaque personne aura,5 tarte. 4 On écrit 6 : 4 =,5 «:» est le signe de la division décimale. 2 LA TECHNIQUE DE CALCUL Il s'agit de la même technique que la division euclidienne, mais cette fois, au lieu de s'arrêter quand le reste est inférieur au diviseur, on continue à diviser jusqu'à ce qu'il reste 0. On veut partager 25 entre 4 enfants. 2 5, O O 4 2, 2 5 O 5 4 O 8 2 O 2 O O partie entière partie décimale On effectue la division euclidienne : 25 = (4 x ) + On divise le reste : On place une virgule au quotient. On abaisse zéro dixièmes. En 0, combien de fois 4? 2 fois, reste 2. On abaisse zéro centièmes. En 20, combien de fois 4? 5 fois, reste 5. Le reste vaut 0, on a terminé. Donc 25 : 4 =,25 Chaque enfant recevra,25. LE QUOTIENT APPROCHÉ Parfois, la division décimale ne s'arrête jamais (le reste ne vaut jamais zéro). Le quotient exact n'est pas un nombre décimal. 25 : = 8,... Le quotient exact n'est pas décimal, c'est une fraction : Dans ce cas, on peut écrire le quotient approché, aussi précisément que l'on veut : 25 Quotient approché de 25 :... par défaut par excès à unité près 8 9 à dixième près 8, 8,4 à centième près 8, 8,4

31 CA. PRIORITÉS DE CALCUL CALCULS EN LIGNE En général, on effectue les calculs dans l'ordre où ils sont écrits Attention : on peut toujours effectuer les additions dans = l'ordre que l'on veut = = (voir CA.0 ), mais pas les soustractions (voir CA.0 ). Quand il y a des calculs entre parenthèses, ils sont prioritaires : on effectue d'abord ces calculs-là (6 + 8) = = 09 4 = 75 2 ARBRE DE CALCUL Un arbre de calcul est une manière de représenter un calcul en indiquant les priorités. Il est toujours équivalent à une écriture en ligne x (8 7) (4 + 2) = 6 6 ÉCRIRE DES CALCULS AVEC DES LETTRES Quand on veut écrire un calcul dont la forme ne change pas quels que soient les nombres, on peut remplacer les nombres par des lettres. On obtient un modèle de calcul. Formule de calcul du périmètre d'un rectangle. L l P = 2 (L + l) L représente la longueur du rectangle. l représente la largeur du rectangle. P représente le périmètre du rectangle. Pour calculer un périmètre, on remplace les lettres par des nombres : Avec L = 5 cm et l = cm : P = 2 (5 + ) = 6 cm Avec L = 0 cm et l = 4 cm : P = 2 (0 + 4) = 28 cm

32 MESURES ME.0 Les mesures de longueur ME.02 Calculer un périmètre ME.0 Comparer des longueurs ME.04 La monnaie ME.05 L'horloge ME.06 Lire l'heure ME.07 Les mesures de masse ME.08 Les pesées ME.09 Les mesures de durée ME.0 Les mesures d'aire ME. Les mesures de volume ME.2 Calculs avec des durée

33 MES.0 LES MESURES DE LONGUEUR LES UNITÉS DE LONGUEUR L'unité principale de mesure des longueurs est le mètre. Tableau des mesures de longueur km hm dam m dm cm mm kilomètre hectomètre décamètre mètre décimètre centimètre millimètre km = 000 m hm = m dam = 0 m 0 dm = m cm = m 000 mm = m Les multiples et diviseurs du mètre commencent par un préfixe (kilo, hecto, déca ). Chaque préfixe a une signification bien précise que l'on retrouve dans d'autres unités de mesure. kilo- mille fois plus grand milli- mille fois plus petit hecto- déca- cent fois plus grand centi- cent fois plus petit dix fois plus grand déci- dix fois plus petit 2 CONVERTIR DES LONGUEURS Pour convertir une mesure de longueur d'une unité dans une autre, on utilise le tableau de mesures. On place toujours le chiffre des unités dans la colonne de l'unité utilisée. On place un seul chiffre par colonne. Exemple : Plaçons 56 m dans le tableau. L'unité utilisée est le mètre ; je place la flèche dans la colonne m. 6 est le chiffre des unités, je place donc 6 dans la colonne des mètres, puis le 5 à sa gauche. km hm dam m dm cm mm 5 6 Pour lire 56 m en centimètres : Je place la flèche dans la colonne cm. Je complète avec des zéros les colonnes vides. Je lis le nombre obtenu cm km hm dam m dm cm mm On peut donc écrire : 56 m = 5600 cm. Remarque : 56 m peut aussi s'écrire : 5 dam et 6 m ; 560 dm ; mm ; etc.

34 MES.02 CALCULER UN PÉRIMÈTRE CALCULER LE PÉRIMÈTRE D'UNE FIGURE PLANE Le périmètre d'une figure fermée, c'est la longueur de son contour. Pour un polygone, on ajoute la longueur de tous les côtés. Exemple : P = AB + BC + CD + DE + EA Attention! ne pas oublier de fermer le polygone. P = cm + cm+ 2 cm + 4 cm + 2 cm = 2 cm E 2cm A cm B 4cm cm 2cm D C 2 FORMULES DE CALCUL Pour un polygone régulier, on peut déterminer des formules de calcul. 2 cm Périmètre d'un carré : 2 cm 2 cm P = 4 2 cm = 8 cm. 2 cm P = 4 C C est la longueur d'un côté. cm L 4 cm l Périmètre d'un rectangle : P = 4 cm + cm + 4 cm + cm = (2 4 cm) + (2 cm) = 4 cm. P = (2 L) + (2 l) L est la longueur, l est la largeur. 4 cm 4 cm Périmètre d'un triangle équilatéral : P = 4 cm = 2 cm. 4 cm P = x C C est la longueur d'un côté. Périmètre d'un cercle : 2,5 cm P = 2,5 cm x 2,5 cm x,4 7,85 cm. P = D x,4 D est la longueur du diamètre.

35 MES.0 COMPARER DES LONGUEURS Pour comparer des mesures de longueur, il est indispensable de lire correctement l'unité de mesure utilisée. 98 MM SONT-ILS PLUS GRANDS OU PLUS PETITS QUE 25 DM? On place toujours le chiffre de l'unité dans la colonne de l'unité utilisée. On place un seul chiffre par colonne. Exemple : Plaçons 98 mm dans le tableau. 8 est le chiffre des unités. L'unité utilisée est le millimètre. km hm dam m dm cm mm 9 8 Puis plaçons 25 dm dans le tableau. 5 est le chiffre des unités. L'unité utilisée est le décimètre Pour comparer deux mesures on doit utiliser la même unité de mesure! Choisissons de tout lire en millimètres : Ajoutons deux zéros pour lire 25 dm en mm. On obtient : mm Maintenant je peux comparer mm avec 98 mm > 98 donc 25 dm est plus grand que 98 mm. 2,5 KM SONT-ILS PLUS GRANDS OU PLUS PETITS QUE 75,8 DAM? On place toujours le chiffre de l'unité dans la colonne de l'unité utilisée. On place un seul chiffre par colonne. Plaçons,5 km dans le tableau. est le chiffre des unités. L'unité utilisée est le kilomètre. km hm dam m dm cm mm Puis plaçons 75,8 dam dans le tableau. 5 est le chiffre des unités. L'unité utilisée est le décamètre. Pour comparer deux mesures on doit utiliser la même unité de mesure! Choisissons de tout lire en mètres : Ajoutons deux zéros pour lire,5 km en m. On obtient : 500 m Maintenant je peux comparer 500 m avec 758 m 500 > 758 donc,5 km est plus grand que 75,8 dam.

36 MES.04 LA MONNAIE PAYER AVEC DES EUROS Voici les pièces et billets que nous utilisons pour payer : Pour payer, on peut constituer une somme d'argent de nombreuses manières. Pour constituer 25, on peut utiliser : billet de 20, billet de 5 5 billets de 5 2 billets de 0 et billet de 5 25 pièces de, etc. 2 RENDRE LA MONNAIE... c'est calculer la différence entre l'argent donné et la somme à payer. Un objet coute 5,75. Je paie avec un billet de 50. On doit me rendre : 5 c 20 c 4 0 On a rendu : c + 5 c = 4,25 5,75 5,80 6,00 40,00 50,00 Je vérifie : 4,25 + 5,75 = 50. FAIRE L'APPOINT J'achète un objet qui coute 5,25. Je paie avec un billet de 20. Normalement, on me rend : 20 5,25 = 4,75. Ça fait beaucoup de monnaie. Je peux faire l'appoint : je donne les centimes du prix en plus des 20. L'objet coute 5,25, soit 25 centimes. Je donne donc 20,25. On me rend : 20,25 5,25 = 5. Ça fait un seul billet! Quand je fais l'appoint, je ne paie pas plus cher : je donne plus d'argent, mais on m'en rend plus!

37 MES.05 Les gros chiffres indiquent les heures L'horloge est graduée en minutes L'HORLOGE Chaque grand trait correspond à 5 minutes : 2 x 5 = la petite aiguille indique les heures la grande aiguille indique les minutes Il est 9 heures et 0 minutes.

38 MES.06 LIRE L'HEURE AVEC DES CHIFFRES Pour lire l'heure, il faut connaitre les unités : les heures (h) les minutes (min) Sur une montre digitale 07:5 5:5 22:05 On dit : «il est...» 7 h 5 min 5 h 5 min 22 h 05 min 2 AVEC DES AIGUILLES (VOIR MES.05 ) La petite aiguille indique les heures, la grande aiguille indique les minutes. Les chiffres du cadran indiquent les heures. Pour connaitre le nombre des minutes, il faut multiplier le chiffre indiqué par 5. grande aiguille sur le 5 minutes ( x 5 = 5) grande aiguille sur le 7 5 minutes (7 x 5 = 5) Pour lire les aiguilles sur une pendule, il faut faire attention à leur taille! Il faut faire aussi très attention à la position de l aiguille des heures. En effet, celle-ci avance très lentement, mais elle avance! Quand il est 9 h 0 min, la petite aiguille n est plus sur le 9. Elle a légèrement avancé. Quand il est 9 h 0 min, la petite aiguille est à mi-chemin entre 9 et 0. Quand il est 9 h 45 min (ou 0 h moins le quart), la petite aiguille est proche du 0! POUR PASSER DE L HEURE DU MATIN À L HEURE DU SOIR... il suffit d ajouter 2 heures. h 0 min (l après-midi) 8 h 0 min (le soir) 0 h 45 min (le soir) je calcule + 2 = 5, on dit donc 5 h 0 je calcule = 20, on dit donc 20 h 0 je calcule = 22, on dit donc 22 h 45.

39 MES.07 LES MESURES DE MASSE LES UNITÉS DE MASSE L'unité principale de mesure de masse est le gramme. Tableau des mesures de masse kg hg dag g dg cg mg kilogramme hectogramme décagramme gramme décigramme centigramme milligramme kg = 000 g hg = g dag = 0 g 0 dg = g cg = g 000 mg = g On retrouve les mêmes préfixes que dans les unités de longueur : kilo- mille fois plus grand milli- mille fois plus petit hecto- déca- cent fois plus grand centi- cent fois plus petit dix fois plus grand déci- dix fois plus petit 2 COMMENT EFFECTUER DES CONVERSIONS? On place toujours le chiffre des unités dans la colonne de l'unité utilisée. On place un seul chiffre par colonne. Convertir mg en grammes. Plaçons mg dans le tableau. 0 est le chiffre des unités. L'unité utilisée est le milligramme. Je place donc 0 dans la colonne des milligrammes. Pour lire mg en grammes : Je lis le nombre formé jusqu'à la colonne "gramme". Je lis le nombre obtenu. 5 grammes Je dois lire : 5 grammes et 620 milligrammes. kg hg dag g dg cg mg kg hg dag g dg cg mg On peut donc écrire : mg = 5 g 620 mg. AVEC UNE VIRGULE... Quand le nombre possède une virgule, c'est elle qui indique l'unité utilisée! Pour la mesure précédente : 5 g 620 mg On écrit : 5,620 g On lit : 5 grammes 620 ou 5 virgule 620 grammes

40 MES.08 LES PESÉES LES INSTRUMENTS DE MESURE DE MASSE Pour mesurer la masse (on dit souvent «peser») d'un objet, on peut utiliser deux types d'instruments : Les instruments à lecture directe : le pèse-personne, le pèse-lettre, la balance automatique... Ils indiquent directement la masse de l'objet (affichage, aiguille). Les instruments à comparaison : la balance Roberval, la balance à trébuchet, le pèse-bébé... Ils n'indiquent pas directement la masse, mais comparent deux masses. 2 LES BALANCES QUI COMPARENT Elles comportent 2 plateaux. On place un objet sur chaque plateau et la balance indique lequel est le plus lourd : l'aiguille penche à droite : L'objet 2 est plus lourd que l'objet l'aiguille penche à gauche : L'objet est plus lourd que l'objet 2 l'aiguille est verticale : L'objet et l'objet 2 ont la même masse Pour connaitre la masse d'un objet avec cette balance, il faut la comparer avec des masses marquées. On place l'objet à peser dans un plateau de la balance. kg 500g 200g 200g On place une par une les masses marquées dans l'autre plateau, en commençant par la plus lourde. Si une masse est trop lourde, on l'enlève et on essaie la suivante. On a terminé quand l'aiguille est verticale. g 50g 20g 20g 0g 5g 2g 2g g Boite de masses marquées La première masse n'est pas assez lourde : on la garde. La deuxième masse est trop lourde : on la retire. Équilibre : la somme des masses marquées est égale à la masse de l'objet.

41 MES.09 LES MESURES DE DURÉE LES UNITÉS DE DURÉE Pour mesurer des durées, on utilise les unités suivantes : Unité Abréviation année jour heure minute seconde a j h min s Équivalences a j h min s 65,25 j 24 h 60 min 60 s h 440 min 600 s min s s 2 DISTINGUER INSTANT ET DURÉE Une montre ou une horloge indiquent l'heure du moment, on dit l'instant. Un chronomètre indique la durée d'une course, d'un spectacle, d'un évènement... durée : 20 min 5 h 5 h 20 min Début / départ / commencement Fin / arrivée / arrêt On peut aussi calculer une durée : c'est la différence entre 2 instants, le début et la fin de l'évènement. CONVERTIR DES MESURES DE DURÉE Il faut utiliser la règle : h = 60 min. Écrire en heures et minutes 85 min = ( x 60 min) + 5 min = h 5 min Écrire en minutes 2 h 25 min = (2 x 60 min) + 25 min = 20 min + 25 min = 45 min.

42 MES.0 LES MESURES D'AIRE MESURER UNE AIRE Mesurer l'aire (l'étendue) d'une surface plane, c'est savoir combien il faut de surfaces-unités pour la recouvrir complètement. Exemple : carreau-unité L'aire du rectangle est de 5 carreauxunités. 2 TROUVER DES SURFACES DE MÊME AIRE Si deux surfaces se superposent exactement, elles ont la même aire. Ces deux carrés ont la même aire. Les deux parties du disque ont la même aire. Ces deux figures de forme différente ont la même aire, mais ne se superposent pas. LES UNITÉS D'AIRE L'unité principale de mesure d'aire est le mètre carré. Il s'agit d'un carré-unité de m de côté. Il s'écrit m². Tableau des mesures d'aire km² hm² dam² kilomètre carré hectomètre carré décamètre carré km² = m² hm² = m² dam² = m² m² mètre carré dm² cm² mm² décimètre carré centimètre carré millimètre carré dm² = m² cm² = m² mm² = m² Attention : les rapports entre les unités sont différents des autres mesures (longueur, masse). Chaque unité est fois plus grande que l'unité inférieure.

43 MES. LES MESURES DE VOLUME MESURER UN VOLUME Mesurer le volume d'un objet, c'est mesurer la place qu'il occupe dans l'espace. Comme pour les aires, on veut savoir combien il faut de volumes-unités pour le remplir complètement. cube-unité volume à remplir volume rempli : 2 cubes-unités 2 LES UNITÉS DE CAPACITÉ Les unités de capacité sont utilisées pour les quantités de liquides (verre, bouteille, ). On mesure la capacité en litres. Un litre est la capacité d'un cube-unité de 0 cm de côté. Tableau des mesures de capacité kl hl dal L dl cl ml kilolitre hectolitre décalitre litre décilitre centilitre millilitre kl = 000 L hl = L dal = 0 L 0 dl = L cl = L 000 ml = L peu utilisé peu utilisé LES UNITÉS DE VOLUME Les unités de volume sont utilisées pour les solides. L'unité principale de mesure de volume est le mètre cube. Il s'agit d'un cube-unité de m de côté. Il s'écrit m. On peut convertir les capacités en volumes, car L = dm. Tableau des mesures de volume m dm cm mm mètre cube décimètre cube centimètre cube millimètre cube C'est le volume d'un cube de 0 dm = m 000 cm = dm 000 cm = dm m de côté dm = L cm = m mm = m Attention : les rapports entre les unités sont différents des autres mesures (longueur, masse). Chaque unité est 0 fois plus grande que l'unité inférieure.

44 MES.2 CALCULS AVEC DES DURÉES On ne peut pas calculer avec les durées comme avec les autres nombres, car les unités de durée ne sont pas décimales. AJOUTER DES DURÉES On peut ajouter les minutes entre elles et les heures entre elles. Pour transformer les minutes en heures, on utilise la règle h = 60 min (voir MES.07 ). Ajouter 5 h 2 min et 2 h 9 min. Ajouter h 45 min et h 52 min. heures minutes heures minutes durée 7 5 h h 9 = 7 h min. total 4 conversion 97 On n'écrit pas 4 h 97 min. Il faut convertir des minutes en heures. 60 min = h durée 5 7 h 45 + h 52 = 5 h 7 min. 2 CALCULER LA DURÉE ENTRE DEUX INSTANTS Pour calculer la durée écoulée entre deux instants, il faut soustraire les horaires de fin et de début. On fait attention avec les «retenues». durée entre 9 h 0 à h 0? début fin heures minutes 9 h 5 h 20 heures minutes durée durée 40 h 20 9 h 5 = 2 h 05 min. h 0 9 h 0 = h 40 min.

45 GÉOMÉTRIE GM.0 Objets et notations GM.02 Les instruments de dessin GM.0 Tracer 2 droites perpendiculaires GM.04 Tracer 2 droites parallèles GM.05 Les polygones GM.06 Les quadrilatères GM.07 Les carrés GM.08 Les rectangles GM.09 Les triangles GM.0 Le cercle GM. Les solides GM.2 Construire des solides GM. Les angles GM.4 La symétrie GM.5 Réduire / agrandir GM.6 Programmes de construction

46

47 GM.0 OBJETS ET NOTATIONS LE POINT Un point est un endroit précis du plan. On le repère souvent avec une croix ( ). On le nomme avec une lettre majuscule. Exemples : A B C 2 LA LIGNE ET LA DROITE Une ligne est une suite continue de points. On la trace sans lever le crayon. une ligne peut être courbe : Une ligne peut être droite. Dans ce cas, on la trace avec une règle. On nomme une droite entre parenthèses, soit avec une lettre minuscule, soit avec le nom de deux de ses points. Exemple : A B (d) On peut appeler cette droite : (d) ou (AB) LE SEGMENT Un segment est une portion de droite limitée par deux points appelés extrémités. On nomme un segment à l'aide du nom de ses extrémités, entre crochets. Exemples : 4 INTERSECTION A B C D Le segment [AB] Le segment [CD] On appelle point d'intersection le point où deux objets (droite, segment,...) se croisent (se coupent). Le point d'intersection appartient aux deux objets à la fois. Le point M est l'intersection de la droite (d) et du segment [AB]. (d) M B A

48 GM.02 LES INSTRUMENTS DE DESSIN LA RÈGLE La règle permet de tracer des droites et des segments. Pour tracer une droite passant par deux points, il faut placer la règle juste en-dessous des deux points et tracer sans la faire bouger. 2 L'ÉQUERRE Avec une équerre, on peut : vérifier qu'un angle est droit (voir GM.0 et GM. ) Dans une équerre, il y a un seul angle droit construire un angle droit. LE COMPAS Le compas sert à : dessiner des cercles ou des arcs de cercle reporter des longueurs. 4 LE CALQUE Le calque sert à reproduire un dessin ou à comparer des figures. Pour décalquer un dessin, il faut : tracer une première fois sur le calque retourner le calque et repasser sur l'envers au brouillon (le 2 dessin est retourné) retourner à nouveau le calque et repasser sur l'endroit. 5 LE GABARIT Un gabarit, c'est un modèle de l'objet que l'on veut reproduire, découpé dans une feuille de papier épais. Il permet de reproduire la même forme autant de fois que l'on veut.

49 GM.0 TRACER 2 DROITES PERPENDICULAIRES DÉFINITION Deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit (voir GM. ). On vérifie qu'un angle est droit avec une équerre. (d) (f) (h) (e) Les droites (d) et (e) ne sont pas perpendiculaires (g) Les droites (f) et (g) ne sont pas perpendiculaires (i) Les droites (h) et (i) sont perpendiculaires 2 MÉTHODE DE TRACÉ AVEC LA RÈGLE ET L'ÉQUERRE Je veux tracer la droite perpendiculaire à la droite (d) et passant par le point A. (d ) A (d ) A (d ) A ) Je place la règle sur la droite (d ). 2) Je place un côté de l'équerre sur la règle. ) Je fais glisser l'équerre sur la règle, jusqu'à ce que le deuxième côté de l'angle droit passe par le point A. (d 2 ) (d ) A (d ) A 5) Je prolonge la droite perpendiculaire. Je marque l'angle droit. 4) Je trace la droite perpendiculaire. La droite (d2) est perpendiculaire à (d) et passe par A.

50 GM.04 TRACER 2 DROITES PARALLÈLES DÉFINITION Deux droites sont parallèles quand elles ne se coupent jamais, même si on les prolonge audelà de la feuille. Elles ont la même direction. (f) (i) (d) (g) (h) (e) Les droites (d) et (e) se coupent : elles ne sont pas parallèles. Les droites (f) et (g) ne se coupent pas dans la feuille, mais vont se couper si on les prolonge : elles ne sont pas parallèles. Les droites (h) et (i) sont parallèles. 2 MÉTHODE DE TRACÉ AVEC LA RÈGLE ET L'ÉQUERRE Je veux tracer la droite parallèle à la droite (d) et passant par le point A. A A A (d ) (d ) (d ) ) Je place un côté de l'équerre sur la droite (d ). 2) Je place la règle sur l'autre côté de l'équerre. ) Je fais glisser l'équerre sur la règle, jusqu'à ce que le deuxième côté de l'angle droit passe par le point A. A (d 2 ) A (d ) (d ) 5) Je prolonge la droite parallèle. 4) Je trace la droite parallèle. La droite (d2) est parallèle à (d) et passe par A.

51 GM.05 LES POLYGONES DÉFINITIONS Une ligne brisée est une figure formée d'une suite de segments. ligne brisée (ouverte) ligne brisée fermée = polygone Un polygone est figure limitée par une ligne brisée fermée. Chacun des côtés d'un polygone est un segment. On nomme un polygone en écrivant les lettres de tous ses sommets, dans l'ordre où on les rencontre en parcourant la ligne brisée. Ces formes ne sont pas des polygones. A B Un polygone nommé ABCDE E D C 2 LES NOMS DES POLYGONES Les polygones qui s'appellent... Les polygones qui s'appellent... ont... ont... côtés triangles 7 côtés heptagones 4 côtés quadrilatères 8 côtés octogones 5 côtés pentagones 9 côtés ennéagones 6 côtés hexagones 0 côtés décagones LES POLYGONES RÉGULIERS Un polygone régulier est un polygone dont : tous les côtés ont le même longueur tous les angles ont la même mesure triangle régulier (équilatéral) quadrilatère régulier (carré) pentagone régulier hexagone régulier

52 GM.06 LES QUADRILATÈRES RECONNAITRE UN QUADRILATÈRE Un quadrilatère est un polygone qui a 4 côtés. Il existe cinq familles de quadrilatères : carrés rectangles losanges parallélogrammes trapèze rectangle trapèze isocèle Trapèzes 2 VOCABULAIRE Les quadrilatères ont 4 côtés, 4 sommets, 2 diagonales, 4 angles. sommet côtés opposés côtés consécutifs angle diagonale RELATIONS ENTRE LES QUADRILATÈRES QUADRILATÈRES 2 côtés parallèles 2 angles droits 2 côtés opposés de même longueur Trapèzes rectangles Trapèzes Trapèzes isocèles Les côtés opposés sont 4 angles droits parallèles 2 par 2 4 côtés de même longueur Rectangles Parallélogrammes Losanges Les côtés ont tous la même longueur Carrés Les angles sont droits

53 GM.07 LES CARRÉS PROPRIÉTÉS DU CARRÉ Le carré est un quadrilatère : il a 4 côtés. Le carré est régulier : tous ses côtés ont la même longueur tous ses angles sont égaux (ils sont tous droits) Les diagonales du carré : ont la même longueur sont perpendiculaires se coupent en leur milieu 2 CONSTRUCTION D'UN CARRÉ Avec la règle et l'équerre : je trace un segment, je mesure sa longueur avec la règle, 2 je trace la perpendiculaire au segment à une extrémité, je mesure la même longueur, je recommence pour les deux autres côtés du carré. Avec le compas, la règle et l'équerre : je trace un cercle, je trace deux diamètres perpendiculaires du cercle, 2 je relie les extrémités des diamètres. Avec la règle, l'équerre et le compas : je trace un segment, je mesure sa longueur avec la règle, 5 je trace la perpendiculaire au segment à une extrémité, 2 4 je reporte la longueur du segment avec le compas, je reporte à nouveau la longueur en partant de chaque extrémité déjà tracée, je relie les extrémités reportées.

54 GM.08 LES RECTANGLES PROPRIÉTÉS DU RECTANGLE Le rectangle est un quadrilatère : il a 4 côtés. Le rectangle a 4 angles droits. Le côté le plus long s'appelle longueur (L), le côté le plus court s'appelle largeur ( l ). Les diagonales du rectangle : ont la même longueur se coupent en leur milieu. largeur longueur 2 CONSTRUCTION D'UN RECTANGLE On peut tracer un rectangle de longueur et de largeur données : Avec la règle et l'équerre : je trace un segment, je mesure la longueur avec la règle, 2 je trace la perpendiculaire au segment à une extrémité, je mesure la largeur, je recommence pour les deux autres côtés du rectangle. Avec le compas, la règle et l'équerre : je trace un cercle, je trace deux diamètres du cercle, 2 je relie les extrémités des diamètres. Avec la règle, l'équerre et le compas : je trace un segment, je mesure la longueur avec la règle, je trace la perpendiculaire au segment à une extrémité, 5 je reporte la largeur du segment avec le compas, 2 4 je reporte la longueur en partant de chaque extrémité déjà tracée, je relie les extrémités reportées.

55 GM.09 LES TRIANGLES RAPPELS Le triangle est un polygone à côtés. sommet Le triangle a aussi sommets. Quand on trace un triangle sans se soucier de sa forme angle ou de la longueur de ses côtés, on dit qu'il s'agit d'un triangle quelconque. côtés 2 LES TRIANGLES PARTICULIERS Le triangle isocèle Un triangle isocèle est un triangle qui a DEUX côtés de même longueur. Le triangle équilatéral Un triangle équilatéral est un triangle qui a TROIS côtés de même longueur. Le triangle rectangle Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit (On l'appelle ainsi parce qu'il forme la moitié d'un rectangle). Cas particulier : triangle rectangle isocèle

56 GM.0 LE CERCLE DÉFINITIONS Un cercle est l'ensemble des points situés à la même distance d'un point appelé centre. On appelle rayon un segment qui relie le centre et un point du cercle. C rayon O centre cercle Cercle C de centre O On appelle corde un segment qui relie deux points du cercle. On appelle diamètre une corde qui passe par le centre. La mesure du diamètre est le double de celle du rayon. Un arc de cercle est une portion de cercle délimitée par deux points. C F D C O B A G Dans le cercle C de centre O : [OA] est un rayon [BC] est une corde DE est un arc [FG] est un diamètre E 2 TRACER DES CERCLES Pour tracer un cercle, on utilise un compas : On écarte le compas de la valeur du rayon. On pique la pointe du compas sur le centre. On trace avec le crayon sans déplacer la pointe.

57 GM. LES SOLIDES DÉFINITIONS Un solide est un objet délimité par une surface fermée. hauteur Un solide a trois dimensions : la longueur, la hauteur et la profondeur. longueur profondeur 2 LES POLYÈDRES Un polyèdre est un solide délimité par des surfaces planes (des polygones). Un polyèdre présente des faces, des arêtes et des sommets. Voici les principaux polyèdres : sommet arête face Solide Nom Caractéristiques Cube 6 faces carrées Pavé (parallélépipède rectangle) Pyramide Prisme 6 faces rectangulaires face polygonale les autres faces triangulaires 2 faces polygonales (bases) les autres : parallélogrammes LES AUTRES SOLIDES Ils sont délimités par des surfaces courbes. Voici quelques exemples : Solide Nom Types de surfaces Sphère surface courbe Cylindre Cône 2 surfaces planes (bases) surface courbe surface plane (base) surface courbe

58 GM.2 CONSTRUIRE DES SOLIDES LES PATRONS Un solide est souvent constitué de faces planes, qu'il est possible de représenter sur une feuille de papier. Un patron est le dessin de ses faces, qui permet par pliage de reconstruire ce solide. ATTENTION : Certains solides ne peuvent pas être représentés par un patron (ex : sphère). 2 LE PATRON DU CUBE Un cube est constitué de 6 faces carrées identiques. Pour construire son patron, il faut «déplier» le cube pour représenter les 6 carrés à plat On numérote les faces. On ouvre le cube. On le déplie complètement. Voici le patron obtenu : ATTENTION : D'autres patrons sont possibles. Les patrons suivants par exemple :

59 GM. LES ANGLES DÉFINITIONS Un angle est une mesure de l'ouverture entre deux demi-droites de même extrémité (les côtés de l'angle). On mesure l'ouverture d'un angle en degrés ( ). Un angle droit mesure 90. Un angle aigu mesure moins de 90. angle droit Un angle obtus mesure plus de 90. Un angle plat mesure 80. angle plat angle aigu angle obtus 2 COMPARER DES ANGLES Pour comparer deux angles : angle 2 Par pliage ou découpage, on construit un gabarit, angle qui a la même ouverture que l'angle. On pose le gabarit sur l'angle 2. On voit si l'angle 2 est plus petit, plus grand ou égal à l'angle. angle angle 2 Pour savoir si un angle est droit, on utilise un gabarit particulier : l'équerre. gabarit

60 GM.4 LA SYMÉTRIE FIGURES SYMÉTRIQUES Quand une figure géométrique peut être pliée, le long d'une droite, en deux parties superposables, on dit que cette figure est symétrique par rapport à la droite. On appelle cette droite axe de symétrie de la figure. Une même figure peut avoir plusieurs axes de symétrie. Exemples : Axe de symétrie Axe de symétrie Axe de symétrie Axe de symétrie 2 SYMÉTRIQUE D'UNE FIGURE PAR RAPPORT À UNE DROITE Tracer le symétrique d'une figure par rapport à une droite, c'est compléter la figure pour que la droite devienne axe de symétrie de l'ensemble. La figure symétrique est l'image de la figure de départ (comme dans un miroir). Sur un quadrillage : On peut construire l'image de chaque point en comptant les carreaux entre le point et l'axe de symétrie. L'image se trouve alors au même nombre de carreaux de l'autre côté de l'axe. Sans quadrillage : Axe de symétrie Pour chaque point, il faut construire l'image en traçant la perpendiculaire à l'axe de symétrie passant par le point. Il faut ensuite mesurer la distance du point à l'axe, puis la reporter de l'axe à l'image (on peut aussi Axe de symétrie utiliser un compas).

61 2 cm 6 cm GM.5 RÉDUIRE / AGRANDIR RÉDUIRE / AGRANDIR UNE FIGURE Réduire une figure, c'est diviser toutes ses longueurs par le même nombre. 6 cm cm 4 cm : 2 Agrandir une figure, c'est multiplier toutes ses longueurs par le même nombre. 9 cm cm 2 cm x 2 UTILISER UN QUADRILLAGE Pour réduire (ou agrandir) plus facilement une figure, on peut utiliser un quadrillage. Il suffit ensuite de reproduire la même figure dans un quadrillage réduit (ou agrandi).

62 GM.6 PROGRAMMES DE CONSTRUCTION DÉFINITION Un programme de construction est un texte qui donne des instructions pour tracer précisément C une figure géométrique. Tracer un cercle C de centre O. Tracer un diamètre [AB]. O B A 2 LIRE UN PROGRAMME DE CONSTRUCTION Un programme de construction est un texte de géométrie : il utilise le vocabulaire de géométrie. Il faut s'assurer de bien comprendre tous les mots. Il faut suivre les instructions dans l'ordre où elles sont écrites. Avant de tracer précisément, on doit faire un croquis. On essaie de suivre le programme, rapidement, à main levée. Cela permet de voir si on a bien compris toutes les étapes, et de savoir de quels outils on va avoir besoin. programme brouillon outils Placer points P, Q, R distincts*. crayon * à des endroits différents Tracer un carré ABCD de côté 4 cm. Placer le point M, milieu de [AB]. Placer le point N, milieu de [CD]. Tracer le segment [MN]. crayon règle graduée équerre Tracer une droite (d). Placer un point A sur la droite (d). Tracer la droite (e), perpendiculaire à (d) et passant par A. Placer un point B sur la droite (e), tel que AB = 5 cm. Tracer le cercle et de rayon AB. de centre A crayon règle graduée équerre compas