Les matrices pour elles mêmes

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1 MPSI-Éléments de cours Les matrices pour elles mêmes 17 mars 218 Plan Les matrices pour elles mêmes Rédaction incomplète. Version beta.1 le 16/3/18 I. Dénitions II. Structure d'espace vectoriel Base et dimension Applications linéaires III. Produit matriciel Ligne par colonne Généralisation Propriétés Produit par blocs IV. Matrices colonnes Noyau et image d'une matrice Inversibilité Index associativité du produit matriciel, 3 caractérisation des matrices inversibles, 5 matrice colonne, 2 matrice diagonale, 2 matrice ligne, 2 matrice triangulaire, 2 matrices élémentaires, 2 matricette, 2 noyau et image d'une matrice, 4 produit par blocs, 4 trace d'une matrice, 3 transposition, 3 L'objet de cette section est d'introduire les matrices et les opérations matricielles pour elles mêmes. Les espaces vectoriels de matrices fournissent en eet des exemples concrets d'espaces vectoriels et les multiplications matricielles des exemples concrets d'applications linéaires. La caractérisation des matrices inversibles est un bon exemple de mise en uvre des résultats relatifs à la dimension nie dans le cadre des espaces de matrices. I. Dénitions Dénition. L'ensemble M p,q (K des matrices à p lignes q colonnes et coecients dans le corps K est l'ensemble des fonctions dénies dans {1,, p} {1,, q} et à valeurs dans K. On utilisera terme, valeur ou coecient pour désigner les valeurs de la fonction associée. Notation matricielle : A = (a ij (i,j 1,p 1,q Dénition. La diagonale d'une matrice A M p,q (K est la famille (a 11,, a mm avec m = min(p, q Quand on présente une matrice avec tous ses termes, on utilise des parenthèses ou des crochets et rien (un espace entre les termes ( a11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 [ a11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 On dénit des types particuliers de matrices. Matrices nulles p,q tous les termes sont nuls. Matrices carrées M p (K = M p,p (K. 1 Rémy Nicolai C2232 Paternité-Pas d'utilisations commerciale-partage des Conditions Initiales à l'identique 2. France disponible en ligne

2 MPSI-Éléments de cours Les matrices pour elles mêmes 17 mars 218 Matrices lignes p = 1 [ x1 x 2 x q M1,q (K Il vaut mieux ne pas identier les matrices lignes (à q colonnes et les q-uplets Matrices colonnes q = 1 (x 1, x 2,, x q K q x 1 x 2.. M p,1(k x p "Matricettes" p = q = 1. La diérence est mince entre une "matricette" et un élément de K. En général on peut les identier sans problème. [ a M1,1 (K = a K Matrices diagonales A est diagonale si et seulement si i j a ij = Matrices identités notées I p : matrice carrée (p lignes, p colonnes diagonale avec seulement des 1 sur la diagonale. Matrices triangulaires (carrées supérieures ou inférieures strictes ou non. On présente dans un tableau la condition sur i et j qui entraîne que a ij = pour les matrices triangulaires de chaque type. type supérieure supérieure stricte inférieure inférieure stricte condition i > j i j i < j i j Présentation d'une matrice triangulaire supérieure : a 11 a 12 a 1q a 22 a 2q a pp Matrices élémentaires Pour tout (i, j {1,..., p} 1, q, la matrice E p,q (i, j M p (K est dénie par : (k, l {1,..., p} 1, q : terme k, l de E p,q (i, j = δ ki δ lj Le seul terme non nul de cette matrice est celui en position i, j et ce terme vaut 1. Lignes ou colonnes d'une matrice Pour A M p,q (K, on dénit la matrice i-eme ligne L i (A et la matrice j-eme colonne C j (A. L i (A = ( a i1 a i2 a iq a 1j a 2j C j (A = a pj Matrice extraite Plus généralement, si I 1, p, J 1, q, la matrice extraite A I,J ne contient que les a ij avec i I et j J. ( a21 a I = {2, 4} 1, 5, J = {1, 3} 1, a, A I,J = 23 M a 41 a 2 (K. 43 II. Structure d'espace vectoriel. 1. Base et dimension. L'ensemble M p,q (K hérite de la structure de K-espace vectoriel fonctionnel. Exemples Les pq matrices E p,q (i, j pour (i, j 1, p 1, q forment une base de M p,q (K. dim M p,q (K = pq Matrices complexes : conjugaison, parties réelles et imaginaires d'une matrice complexe. 2 Rémy Nicolai C2232 Paternité-Pas d'utilisations commerciale-partage des Conditions Initiales à l'identique 2. France disponible en ligne

3 MPSI-Éléments de cours Les matrices pour elles mêmes 17 mars Applications linéaires. Isomorphismes. Les K-espaces vectoriels M p,1 (K (colonnes et M 1,p (K (lignes sont isomorphes à K p (puplets. De même M p,q (K est isomorphe à K pq. Remarque. Il est déconseillé d'identier les matrices p-colonnes ou p-lignes avec K p. En revanche, on peut identier les matricettes 1 1 avec des éléments du corps. Dénition (Transposition. La transposition de A M pq (K est A t M qp (K dénie par : (i, j 1, p 1, q, terme j, i de A t = a ij. Pour chaque couple (p, q, l'application transposition est un isomorphisme de M pq (K vers M qp (K. Dénition (matrices carrées symétriques ou antisymétriques. Une matrice A M p (K est dite symétrique si et seulement si A t = A. Elle est dite antisymétrique si et seulement si A t = A. Dénition (Trace. La trace d'une matrice carrée A M p (K est dénie par : tr(a = p i=1 a ii. L'application tr est une forme linéaire de M p (K. Les applications L i (avec i 1, p de M pq (K dans M 1q (K et C j (avec j 1, q M pq (K dans M p1 (K sont linéaires et surjectives. III. Produit matriciel 1. Ligne par colonne Produit d'une matrice ligne (à gauche par une matrice colonne (à droite y 1 ( x1 x 2 x p y 2 = ( x 1 y 1 + x 2 y x p y p (matricette y p 2. Généralisation = x 1 y 1 + x 2 y x p y p identié à un élément de K Généralisation : produit AB avec A M p,q (K, B M q,r (K. Le produit AB est dans M p,r (K. Expression du terme i, j d'un produit matriciel. Soit A M p,q (K, B M q,r (K, i 1, p, k {1,, r} : Proposition (propriétés du produit matriciel. C j (AB = AC j (B, L i (AB = L i (AB. terme i, j de AB = L i (AC j (B. C j (AB = AC j (B. L i (AB = L i (AB. produits par une matrice nulle produits par une matrice identité transposée d'un produit associativité : terme i, j de AB = L i (AC kj(b = bilinéarité a ijb jk A M p,q (K, B M q,r (K, A M r,s (K : (ABC = A(BC AC où C est une matrice colonne comme combinaison linéaire des colonnes de A. A λ 1. λ q = λ 1 C 1 (A + + λ q C q (A Vect (C 1 (A,, C p (A La dernière propriété permet d'interpréter une combinaison linéaire de colonnes comme un produit matriciel. 3 Rémy Nicolai C2232 Paternité-Pas d'utilisations commerciale-partage des Conditions Initiales à l'identique 2. France disponible en ligne

4 MPSI-Éléments de cours Les matrices pour elles mêmes 17 mars 218 preuve de l'associativité. Conventions de nommage des objets : intervalles entre 1 et p entre 1 et q entre 1 et r entre 1 et s noms i, i, i, j, j, j, k, k, k, l, l, l, r r terme i, l de (ABC = ( terme i, k deabc kl = a ijb jk c kl = a ijb jk c kl k=1 = a ij k=1 ( r b jk c kl = k=1 (j,k 1,q {1,,r} a ijterme j, l de BC = terme i, l de A(BC 3. Propriétés. Proposition. Le produit de deux matrices triangulaires supérieures (resp inférieures est une matrice triangulaire supérieure (resp inférieure. Preuve. à compléter Structure d'anneau, de K-algèbre sur M p (K. Une K-algèbre est à la fois un anneau et un K-espace vectoriel pour lequel les multiplications à droite et à gauche par des éléments xés sont des endomorphismes. Proposition. Pour des matrices carrées A, B dans M p (K : tr(ab = tr(ba Preuve. Par dénition de la trace p p p tr(ab = terme ii deab = a ij b ji = a ij b ji = b ji a ij i=1 i=1 (i,j 1,p 2 (i,j 1,p ( 2 p p p = b ji a ij = terme jj deba = tr(ba. i=1 Dénition. L'ensemble des matrices inversibles de M p (K est noté GL p (K. Proposition. Pour le produit matriciel, GL p (K est un groupe. Preuve. Il s'agit du groupe des inversibles de l'anneau M p (K. Remarque. Si A et B sont inversibles, AB aussi et (AB 1 = B 1 A 1. Exemple (produits de matrices élémentaires. E p,q (i, j E q,r (j 1 k 1 = δ jj 1 E p,r (i, k 1 Application : une matrice Z M p (K commute avec toutes les matrices élémentaires E p,p (i, j si et seulement si il existe λ K tel que Z = λi p. 4. Produit par blocs Retenir que le produit par blocs est exact lorsqu'il est possible à compléter IV. Matrices colonnes 1. Noyau et image d'une matrice Cette section présente quelques résultats et notions relatifs aux matrices colonnes. Dénition. Soit A M p,q (K. Son noyau est le sous-espace de M q,1 (K formé par les colonnes X telles que AX = Mp,1(K, son image est le sous-espace de M p,1 (K formé par les colonnes AX avec X M q,1 (K. Le noyau et l'image de A sont en fait le noyau et l'image de l'application linéaire de M q,1 (K dans M p,1 (K qui à une colonne X à q ligne associe AX (colonne à p lignes. L'image d'une matrice est aussi le sous-espace engendré par ses colonnes. 4 Rémy Nicolai C2232 Paternité-Pas d'utilisations commerciale-partage des Conditions Initiales à l'identique 2. France disponible en ligne

5 MPSI-Éléments de cours Les matrices pour elles mêmes 17 mars Inversibilité À cause de la dénition du produit matriciel, on peut remarquer que, pour M matrice carrée à p lignes et colonnes : il existe Q M p ( K telle que MQ = I p est équivalent à (C 1 (M, C 2 (M,, C p (M génératrice, il existe P M p ( K telle que P M = I p entraîne (C 1 (M, C 2 (M,, C p (M libre. Proposition (caractérisation des matrices inversibles. Une matrice A M p (K est inversible si et seulement si la famille de ses colonnes (C 1 (A, C p (A est une base de M p,1 (K Preuve. On commence par caractériser les matrices inversibles à droite. On dira qu'une matrice A M p (K est inversible à droite si et seulement si il existe B M p (K tel que AB = I p. On va montrer que A est inversible à droite si et seulement si les colonnes (C 1 (A,, C p (A forment une famille génératrice de M p,1 (K. L'espace M p,1 (K est de dimension p, une base est formée par 1 X 1 =, X 1 2 =,, X p =. 1 Supposons qu'il existe une matrice B telle que AB = I p et considérons la colonne j de ce produit : X j = C j (I p = C j (AB = AC j (B = b 1j C 1 (A + + b pj C p (A Ceci montre que les colonnes X j de la base sont combinaisons linéaires des C i (A. La famille des colonnes de A est donc une famille génératrice de M p,1 (K. Réciproquement, si ces colonnes forment une base, chaque X j en est une combinaison linéaire. On peut ainsi constituer colonne après colonne une matrice B telle que AB = I p. Comme dans un espace de dimension p toute famille génératrice de p vecteurs est libre, ceci montre que A inversible à droite entraîne (C 1 (A,, C p (A base de M p,1 (K. Supposons (C 1 (A,, C p (A base de M p,1 (K. On vient de voir qu'il existe une matrice B telle que AB = I p. Il s'agit maintenant de prouver que BA = I p. Montrons que la famille des colonnes (C 1 (B,, C p (B est libre. En eet, soit (λ 1,, λ p K p tels que λ 1 C 1 (B + + λ p C p (B = On peut alors écrire matriciellement la relation et exploiter l'associativité : λ 1 λ 1 λ 1 B. = AB. = A I. p = λ p λ p λ p λ 1.. λ p = Ce qui montre bien que cette famille est libre. Comme elle contient n vecteurs, elle est génératrice. Il existe donc une matrice A 1 telle que BA 1 = I p. En composant cette relation à gauche par A, on obtient ABA 1 = A ce qui entraine A 1 = A car AB = I. On a donc bien BA = I p. Remarque. Évidemment, il faut aussi connaître d'autres argumentations pour ce résultat, avec une famille de vecteurs ou avec le déterminant. Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si les termes de sa diagonale sont non nuls. 5 Rémy Nicolai C2232 Paternité-Pas d'utilisations commerciale-partage des Conditions Initiales à l'identique 2. France disponible en ligne