Feuille d'exercices 11. Matrices

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1 Feuille d'exercices Matrices Exercice I On considère les matrices A =, B = 5 Calculer A + B, A B, AB, BA, t AB, t B t A Calculer A + B + C B A + C et C = Résoudre l'équation A X = B, d'inconnue X M R Exercice II Soit A, B M R Développer et simplier : S = AB A + B + A BA + B T = A + BA B A A + B + A + B Exercice III Calculer, si possible, les produits AB et BA dans les cas suivants : 4 A = 7 et B = A = 4 Exercice IV Calculer AB et BA avec A = et B = Déterminer toutes les matrices C M R telles que 6 Que remarquez-vous? 4 et B = 5 C = C 4 En discutant suivant les valeurs des paramètres réels a, b et d, trouver toutes les matrices de M R qui a b commutent avec D = d Exercice V Montrer que n N, A n = an b n c n où A = Montrer que n N, J n = 6 n J où J = a b c Exercice VI Soit A et B deux matrices non nulles telles que AB = Montrer qu'aucune des deux matrices A et B n'est inversible Les matrices et 4 sont-elles inversibles? 5

2 Exercice VII On considère les matrices A = P = Q = D = Calculer P Q Que peut-on en déduire? Vérier que A = P DQ, montrer que n N, An = P Dn Q, et expliciter A n On considère trois suites a, b et c telles que a = b = c = On introduit la matrice X n = a n b n c n et n N, a n+ = a n b n + c n b n+ = a n + c n c n+ = a n b n + c n a Vérier que n N, X n+ = AX n puis que n N, X n = A n X b En déduire l'expression des suites a n n N, b n n N et c n n N en fonction de n Exercice VIII On donne la matrice A = Calculer A et déterminer deux réels a et b tels que A = aa + bi Montrer que n N, a n R / A n = a n A + + a n I Vérier que la suite a n n N est géométrique 4 En déduire les expressions de a n puis de A n en fonction de n Exercice IX On considère la matrice A = Calculer A Expliciter α et β tels que A = αa + βi Montrer par récurrence qu'il existe a n et b n tels que A n = a n A + b n I Expliciter a n+ et b n+ en fonction de a n et b n Que valent a, b, a et b? 4 Montrer que a est une suite récurrente linéaire d'ordre puis expliciter a n en fonction de n 5 En déduire l'expression de b n et déterminer tous les coecients de la matrice A n Exercice X Soit A = 4 et B la matrice telle que A = B + I 6 4 Calculer B et B puis, montrer que n N, A n = n I + n n B Retrouver la formule précédente à l'aide de la formule du binôme de Newton

3 Exercice XI Un feu bicolore, lorsqu'il est rouge, passe au vert l'instant d'après ou "risque de passer au vert la seconde suivante" avec la probabilité p ]; [ Lorsqu'il est vert, il passe au rouge avec la probabilité q ]; [ On suppose que le feu est initialement au rouge On note r n resp v n la probabilité que le feu soit au rouge resp au vert à l'instant t = n En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que : n N, r n+ = pr n + qv n et v n+ = pr n + qv n rn+ rn Donner alors la matrice carrée A telle que n N, = A v n+ v n rn Montrer par récurrence que n N, = A v n r n v { B + C = I 4 Déterminer deux matrices B et C telles que B + p qc = A 5 Calculer BC et CB et vérier que B = B et C = C 6 Montrer que n N, A n = B + p q n C 7 Pour tout entier naturel n, déterminer l'expression de r n et v n en fonction de r et v 8 Calculer les limites des suites r n n N et v n n N Que pouvez-vous en conclure? Exercice XII On considère les matrices suivantes A Vérier que l'on a bien l'égalité demandée et en déduire, si cela est possible, l'inversibilité de A Donner alors son inverse a A = et A = 9I b A = et A + A I = c A = et A A A + 4I = d A = et A A = e A = A A I = f A = M R et A = A Exercice XIII On considère la matrice J = Calculer J, J et J 4 Que peut-on en déduire pour J k, pour k 4? Développer algébriquement l'expression I + JI J + J J En déduire que la matrice I + J est inversible et expliciter son inverse Exercice XIV Résoudre par rapport à x, y, z le système S : En déduire que la matrice A = x y + z = a x + y + z = b x + y + z = c est inversible et donner A

4 Exercice XV a + a a Pour tout réel a, on dénit la matrice Na par Na = a a + a Soient a et b deux réels Déterminer le réel c tel que NaNb = Nc A quelle condition sur c a-t-on Nc = I? En déduire les conditions sur a pour que Na soit inversible et expliciter le cas échéant [Na] Exercice XVI Calculer, si possible, les inverses des matrices suivantes 5 4 M = N = A = B = C = D = 4 E = F = G = H = 7 Pour quelles valeurs du paramètre réel λ les matrices suviantes sont-elles inversibles? A = λ λ λ B = λ 7 λ 8 7 λ Exercice XVII En utilisant les résultats de l'exercice précédent, résoudre les systèmes linéaires suivants : A x y = x + y + z = x + y = 4 Exercice XVIII B x + y + z = x y = x + y + z = C Résoudre les systèmes suivants en X a Soit X M, R, ie X = b c a A = Résoudre AX = X, puis AX = X b A = Résoudre AX = X, puis AX = X a A = Résoudre AX = 4, puis AX = X, pour X M 4, R b A = 4,R x + y + z = x + y + t = x + z + t = y z + t = 4

5 Exercice XIX Soit M = et J = Calculer J, et en déduire J k, pour k N Exprimer M en fonction de I et J On note I = I la matrice identité A l'aide de la formule du binôme de Newton, montrer que n N, M n = n I + n n J Exercice XX Soit les suites u n n N et v n n N dénies par récurrence par u =, v = et, pour n N, Trouver une matrice M carrée d'ordre telle que n N, un Vérier que n N, = M v n u n v Soit M =, J = et I = I Calculer J, et pour k N, calculer J k Trouver a et b réels tels que M = ai + bj un+ v n+ = M un v n { un+ = u n + v n v n+ = u n + v n Vérier que M n = n J + I On pourra raisonner par récurrence, où utiliser la formule du binôme 4 En déduire u n et v n en fonction de n 5