GEA1 STATISTIQUES DESCRIPTIVES (M912) EXAMEN FINAL. Jeudi 8 novembre Durée de l épreuve : 2 heures

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1 GEA1 STATISTIQUES DESCRIPTIVES (M912) EXAMEN FINAL Jeudi 8 novembre 2012 Durée de l épreuve : 2 heures La clarté, la rigueur et le soin apportés à la rédaction des réponses tiendront une part importante dans l appréciation des copies. Sauf indication contraire, chaque réponse doit être accompagnée d une justification. EXERCICE 1. On s intéresse aux 25 employés d une entreprise, que l on répartit selon deux critères : le salaire brut mensuel, exprimé en euros, (ce caractère sera noté x) et le nombre d enfants (noté y). Dans le tableau de contingence cidessous, on a indiqué les effectifs de chaque couple de modalités(x i ; y j ). caractère x caractère y [1000; 1300] ]1300; 1600] ]1600; 2000] ]2000; 2500] ]2500; 3000] ]3000; 4000] Quelle est la nature des caractères x et y? (qualitatifs ou quantitatifs? discrets ou continus?) 2. Compléter les tableaux A1 et A2 de l annexe A avec les effectifs marginaux de cette série double(x ; y), ainsi que les effectifs marginaux cumulés croissants. 3. On s intéresse, dans cette question, à la distribution des salaires dans l entreprise (tableau A1). a) Pour cette série marginale, donner (sans justification) l étendue, la (les) classe(s) modale(s), la moyenne, l écart type. (Arrondir les résultats au centime d euro.) b) Sur le graphique A3 (annexe A), construire le polygone des effectifs cumulés croissants. c) Déterminer la médiane de cette série. (Le cas échéant, arrondir le résultat au centime d euro.) On détaillera tous les calculs nécessaires sur la copie. 4. Dans cette question, on se concentre sur le nombre d enfants des employés de l entreprise (tableau A2). a) Pour cette série marginale, donner (sans justification) l étendue, le (les) mode(s), la moyenne, l écart type, la médiane et les quartiles. (Arrondir les résultats au dixième.) b) Indiquer sur la copie l opération détaillée aboutissant au calcul de la variance de y et donner son résultat. 5. Calculer le pourcentage d employés, au sein de l entreprise, qui ont plusieurs enfants. 6. Calculer le pourcentage d employés, au sein de l entreprise, dont le salaire brut mensuel est compris entre 1200 et (Arrondir le résultat au dixième.) On détaillera tous les calculs nécessaires sur la copie. 7. Calculer la fréquence conditionnelle des employés dont le salaire brut mensuel est compris entre 1300 et 1600 parmi ceux qui ont un seul enfant. Indiquer l opération effectuée sur la copie. 8. Calculer la fréquence conditionnelle des employés sans enfant parmi ceux dont le salaire brut mensuel, en euros, est dans l intervalle]1300;1600]. (On exprimera le résultat en pourcentage.) Indiquer l opération effectuée sur la copie.

2 EXERCICE 2. Le tableau ci-dessous fournit le total des recettes fiscales annuelles, en France, exprimé en pourcentage du PIB (source : INSEE). année rang x i de l année 1 11 pourcentage y i (en %) 35,4 42,8 42,0 42,9 44,4 43,5 44,1 Les années sont numérotées à partir de 1974, si bien que l année 1975 a pour rang 1 et l année 1985 a pour rang Sur la copie, reproduire le tableau ci-dessus et en compléter la deuxième ligne («rang de l année»). 2. a) Rappeler les propriétés du coefficient de corrélation linéaire. Quelle(s) condition(s) doit-il vérifier pour qu un ajustement affine soit pertinent? b) Calculer le coefficient de corrélation linéaire r x,y de la série(x i ; y i ) 1 i 7. (On arrondira le résultat au millième.) Indiquer en outre, sur la copie, l opération complète (et détaillée) aboutissant à la valeur de r x,y. c) Pour la série(x i ; y i ) 1 i 7, un ajustement affine est-il approprié? Justifier la réponse. Dans ce qui suit, on considère les nombres t i = ln(x i ), pour 1 i 7, et on applique la méthode des moindres carrés à la série(t i ; y i ) 1 i Sur l annexe B, représenter le nuage de points associé à la série(t i ; y i ) 1 i Donner (sans justification) les coordonnées, arrondies au centième, du point moyen G de la série(t i ; y i ) 1 i 7. Placer ce point sur le schéma de l annexe B. 5. Déterminer une équation de la droite de régression de y en t, sous la forme y= at+ b. (On donnera les arrondis à 10 5 des coefficients a et b.) 6. Sur l annexe B, tracer la droite. 7. Déduire de ce qui précède les arrondis au millième des nombres A et B tels que y = A + B ln(x). 8. Quel type d ajustement a-t-on ainsi réalisé sur la série(x i ; y i ) 1 i 7 : un ajustement logarithmique ou un ajustement exponentiel? 9. En supposant que y peut être approché par la formule établie à la question 7, donner une estimation du pourcentage du PIB que représenteront les recettes fiscales françaises en (Justifier le résultat.) EXERCICE 3. Dans le tableau suivant, on a indiqué le nombre d accidents mortels survenus trimestriellement sur les routes d une région française au cours des quatre dernières années. trimestre 1 trimestre 2 trimestre 3 trimestre Les trimestres sont numérotés de 1 à 16 ; on note y t le nombre d accidents mortels survenus au cours du trimestre t. Dans cet exercice, on cherche à établir la décomposition additive de la série chronologique(t ; y t ) 1 t Pour déterminer la tendance générale, on calcule les moyennes mobiles d ordre 4 (notées g t ) de la série ; certains des calculs ont déja été effectués et les résultats reportés dans le tableau ci-dessous. t g t 88 87,5 86, , ,5 Compléter le tableau C1 (annexe C) avec les valeurs manquantes. Sur la copie, préciser le détail de l opération aboutissant à la valeur obtenue pour g Calculer les coefficients saisonniers non corrigés s t, puis les coefficients saisonniers corrigés s. À cet effet, on complétera le tableau C2 (annexe C), en arrondissant les résultats à 4 décimales. t Sur la copie, on donnera le détail (complet) des calculs de s 1 et de s Compléter le tableau C3 (annexe C) avec la série corrigée des variations saisonnières. (Arrondir les résultats au dixième.) 4. Représenter cette série désaisonnalisée dans le repère fourni à l annexe D. 2

3 ANNEXE A (Exercice 1) Tableau A1 (question 2) modalité [1000;1300] ]1300;1600] ]1600;2000] ]2000;2500] ]2500;3000] ]3000;4000] effectif effectif cumulé croissant Tableau A2 (question 2) modalité effectif effectif cumulé croissant Graphique A3 (question 3b) effectif cumulé croissant salaire mensuel brut (en ) 3

4 ANNEXE B (Exercice 2) y t= ln(x) 4

5 ANNEXE C (Exercice 3) Tableau C1 (question 1) t y t g t 88 87,5 86,25 t y t g t 85 78, ,5 Tableau C2 (question 2) trimestre 1 trimestre 2 trimestre 3 trimestre 4 coefficient saisonnier non corrigé s t 9,3333 9,5000 coefficient saisonnier corrigé s t 3,8125 3,6042 Tableau C3 (question 3) trimestre 1 trimestre 2 trimestre 3 trimestre

6 ANNEXE D (Exercice 3) 2011/Tr /Tr /Tr /Tr /Tr /Tr /Tr /Tr /Tr /Tr /Tr /Tr /Tr /Tr /Tr /Tr nombre d accidents mortels par trimestre