Correction exercices chapitre 10: Mouvements des satellites et des planètes

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1 Correction exercices chapitre 10: Mouvements des satellites et des planètes 14 janvier

2 Avant de commencer Il faut bien connaître les définitions et les démonstrations du cours. Ce chapitre propose beaucoup d exercices avec des calculs. À connaître : expression de la force gravitationnelle ; accélérations et mouvements circulaires ; savoir retrouver l expression de l accélération d un corps en mouvement circulaire uniforme autour d un astre ; savoir retrouver l expression de la vitesse d un corps en mouvement circulaire uniforme autour d un astre ; savoir retrouver l expression de la période d un corps en mouvement circulaire uniforme autour d un astre ;

3 lois de Kepler. 8 page 174 a. Il est pratique de prendre comme système l ensemble des deux patineurs. On prend le référentiel lié à la surface de la Terre : référentiel terrestre supposé galiléen pour la durée de l expérience (qui est de courte durée). b. Les forces extérieures appliquées au système sont le poids et la réaction du support, les frottements étant négligeables. Ces forces se compensent, le système est donc pseudo-isolé. On en déduit que la quantité de mouvement du système se conserve. Les patineurs

4 sont initialement au repos donc p = 0. Quand les patineurs se repoussent, le système reste pseudo-isolé, sa quantité de mouvement se conserve et reste nulle. On a alors p = pa + pb = 0 d où pa = pb. c. Puisque p = m v, les vecteurs vitesse ont la même direction et le même sens que les vecteurs quantité de mouvement : les vecteurs vitesse sont opposés. Puisque pa = pb, on a forcément p A = p B d où m A v A = m B v B. La vitesse du patineur B est v B = m Av A d où v m B = 2,5m s 1. B

5 24 page 180 On considère que le système {neutron + noyau d hélium } est isolé et reste isolé durant le choc (il n est soumis à aucune force extérieure). La quantité de mouvement de ce système se conserve donc. La quantité de mouvement du système avant le choc est égale à la quantité de mouvement après le choc. On peut écrire : m n v = mhe v1 + m n v2 d où m n ( v v 2 ) = m He v1 Puisque v et v 2 ont la même direction et un sens opposé, on peut écrire m n (v + v 2 ) = n He v 1 et finalement m He m n = v + v 2 v 1 Les vitesses sont connues, on peut donc calculer le rapport des masses.

6 AN m He = 1, , m n 4, = 4,0. Cela montre qu il y a 4 nucléon dans ce noyau. 1 page 214 a. uniforme; cercle; valeur. b. accélération; perpendiculaire. c. héliocentrique. d. ponctuels (objet réduit à un point contenant toute la masse) ; répartition sphérique (planètes, étoiles : tout se passe comme si la masse de la planète était concentrée en son centre). e. uniforme. f. des orbites; ellipse; foyers. g. des aires; Soleil; aires égales. h. des périodes; carré; cube. On a en effet T 2 = k (k étant une constante) d où T 2 = kr 3 : T 2 est proportionnel à r 3. r 3

7 2 page 214 a. quadruple si la valeur de la vitesse double. En effet, dans le cas d un mouvement circulaire uniforme on a a = v2 donc si l on double la valeur r GM de la vitesse v alors a est quadruplé. b. héliocentrique. c. v = r. d. T 2 = k. e. k dépend de la masse de l astre autour duquel le satellite r3 tourne.

8 5 page 214 Le centre de Mars est O, sa masse est M M. Le centre de Deimos est D, sa masse est M D.. a. Il faut montrer que L est petit devant r. Pour comparer deux grandeurs de même nature, on calcule leur quotient : r 23,5 103 = = L 15 1, Le rayon de l orbite r est environ 1600 fois plus grand que le diamètre de Deimos. Le satellite peut être considéré comme ponctuel. b. Schéma de la situation : voir ci-dessous. c. En considérant que M D est constante, l application de la deuxième loi de Newton donne la relation : F M/D = M D a D.

9 d. Méthode La trajectoire du satellite est circulaire. Pour que le mouvement soit uniforme, il faut que l accélération subit par le système soit radiale et centripète (pas de composante tangentielle qui pourrait faire varier la valeur de la vitesse). Le vecteur accélération est colinéaire à la force gravitationnelle d après la relation fournie par la deuxième loi de Newton, il est donc radial et centripète. Puisque la trajectoire est circulaire et que le vecteur accélération est radial et centripète alors le mouvement est uniforme. On peut rajouter que puisque la valeur de la force est constante alors la valeur de a est constante.

10 F M/D D O r

11 6 page 214 a. La courbe tracée est une ellipse. Les planètes décrivent des trajectoires elliptiques autour du Soleil. b. Mercure se situe sur la courbe et le soleil doit se situer en P 1 ou P 2. En effet, d après la 1 re loi de Kepler ou loi des orbites, Mercure décrit, dans le référentiel héliocentrique, une ellipse dont le Soleil occupe l un des foyers. 7 page 214 a. D après la 2 e loi de Kepler ou loi des aires, le segment [SP], qui relie le centre du Soleil à celui de la planète, balaie des aires égales pendant des durées égales : A = A.

12 b. La durée des parcours P 1 P 2 ou P 3 P 4 est la même alors que la distance P 1 P 2 est la plus grande. La planète va donc plus vite lorsqu elle est proche de son étoile soit ici lors du parcours P 1 P 2. 8 page 214 a. La troisième loi de Kepler nous dit que T 2 = k où T est la période r3 de révolution du satellite, r le rayon de l orbite du satellite et k une constante. Remarque : On utilise la lettre «d» pour «jour» dans les unités (day pour jour).

13 Satellite Io Europe Ganymède Calisto Satellite Io Europe Ganymède Calisto T 2 r 3 (d2 km 3 ) 4, , , , ou T 2 r 3 (s2 m 3 ) 3, , , ,

14 Les valeurs de T 2 sont constantes pour les satellites étudiés, la loi r3 est donc vérifiée pour ces satellites. b. k dépend uniquement de la masse de l astre attracteur. La valeur de la constante k permet donc de calculer la masse de Jupiter. 10 page 214 GM a. Dans la relation v = : G est la constante de gravitation r universelle, M la masse de Saturne et r le rayon de l orbite de la particule étudiée. b. La valeur de la vitesse v augmente si r diminue car r est dénomina-

15 teur de l expression de v : pour être plus rapide, une particule doit être plus proche du centre de Saturne. Par contre, la masse d une particule n intervient pas dans l expression de v : pour une distance au centre de Saturne donnée, toutes les particules ont la même vitesse quelque soit leur masse. c. Le mouvement est uniforme. La période de révolution T est la durée de parcours d une circonférence de longueur L = 2 r. On a v = L 2 r soit T = T v = 2 r r 3. On en tire T = 2 GMr GM. d. La valeur de T varie si r varie. Ainsi, T A T B. Si A et B sont alignés avec le centre de Saturne à un instant donné, lorsque B aura fait un tour, A ne l aura pas encore terminé. A et B ne peuvent rester alignés avec le centre de Saturne. Les anneaux de Saturne ne

16 peuvent pas être d un seul tenant. 11 page 214 a. La période de révolution de la Terre est de un an soit environ 365,25 jours. b. On utilise la troisième loi de Kepler : pour l ensemble des planètes du système Solaire on sait que T 2 est une constante. On peut donc r3 écrire TT 2 dts 3 = T J 2 djs 3 djs 3 soit T J = T T 2 djs 3 dts 3 = T T dts 3 Avant de calculer la valeur de T J, il est intéressant de faire une

17 analyse dimensionnelle de l expression : vérifier que, sans modifier les données, le résultat sera en années. On trouve T J = ( 7, , ) 3 = 12ans. 20 page 214 Plan de la trajectoire a. D après la première loi de Kepler, la trajectoire du satellite est une ellipse dont le centre de la Terre est l un des foyers. Le centre de la Terre n est pas le centre du cercle sur la trajectoire n o 2, cette trajectoire est impossible (remarque : un cercle est une ellipse). b. Un satellite géostationnaire reste à la verticale du même point.

18 Seule la trajectoire n o 1 permet au satellite de rester à la verticale du même point. Altitude du satellite a. Pour rester à la verticale du point de l équateur, le satellite doit avoir une période de révolution T S égale à la période de rotation de la Terre T T. Attention, la période de rotation de la Terre est la durée qu elle met pour faire 360 autour de son axe de rotation. Cette durée est légèrement inférieure à un jour solaire : T S = T T = 23h 56min 4s = 86164s. Voir le rabat de couverture à la fin du livre. b. Pour calculer la période de révolution du satellite, on se sert de la troisième loi de Kepler : T 2 r 3 = 4 2 GM. On trouve T ISS = 5, s et T Anik 1 = 8, s. Anik 1 est géostationnaire.

19 25 page a. Attention, on nous parle d orbite elliptique, il faut donc parler du demi-grand axe L de l ellipse et non du rayon r d un cercle. Le carré de la période de révolution T d une planète est proportionnel au cube de la longueur L du demi-grand axe de son orbite : on peut écrire T 2 L 3 = k. b. On voit que T E > T P et d après la troisième loi de Kepler on a T 2 = kl 3. Pour que la période soit plus grande, il faut que L soit plus grand donc Éris se situe au-delà de Pluton. 2. a. Le référentiel d étude du mouvement de Dysnomia est le référentiel lié à un solide imaginaire contenant le centre d Éris et trois étoiles éloignées, considérées comme fixes pendant la durée de

20 l étude. b. Montrer On nous demande de retrouver l expression de la période et non de la donner. Il faut donc faire tous les calculs permettant d arriver à l expression fournie. On considère que Dysnomia a une trajectoire circulaire. On applique la deuxième loi de Newton pour exprimer l accélération du satellite puis sa vitesse et enfin sa période. Système : satellite Dysnomia D de masse m ; référentiel : référentiel «Ériocentrique» supposé galiléen ; forces exercées sur D : force gravitationnelle exercée par Éris

21 de masse M E. Application de la 2 e loi de Newton soit G M E m u DD 2 N = m a d où On peut écrire F E/D = m a M a = G E u RD 2 N.

22 U T U N D F E/D E R D

23 Expression de l accélération normale Puisque le mouvement est circulaire et uniforme on sait que l accélération est radiale et centripète, on peut aussi écrire : a = v2 R D u N. G M E u RD 2 N = v2 u R N d où G M E D RD 2 = v2 R D Expression de la vitesse De la relation précédente on tire v = GME R D

24 Expression de la période La période de révolution est la durée pour effectuer la circonférence d un cercle donc, puisque le mouvement est uniforme, la vitesse est v = 2 R D. D après la relation précédente on peut écrire GME R D T D = 2 R D T D d où T D = 2 R 3 D GM E Masse d Éris Remarque : La relation précédente permet de retrouver la troisième loi de Kepler dans le cas des orbites circulaires. Connaissant la période de révolution T D de Dynomia on peut trouver la masse de l astre attracteur, c est à dire la masse M E

25 d Éris. M E = 4 2 R 3 D GT 2 D d où M E M P = 4 2 R 3 D M P GT 2 D = 1,25 Conclusion Éris a une masse de l ordre de celle de Pluton. La découverte d Éris a donc logiquement entraîné une modification de statut de Pluton afin de classer Pluton dans la même catégorie qu Éris.