Modélisation Dynamique du Trafic dans les Réseaux multiservices

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1 Modélisation Dynamique du Trafic dans les Réseaux multiservices Olivier Brun Jean-marie Garcia LAAS-CNRS, 7 Avenue du Colonel Roche Toulouse Cedex, {brun,mg}@laas.fr Résumé Le modèle que nous proposons dans cet article permet d étudier les phénomènes transitoires et la solution stationnaire d un réseau multiservice (ATM, STM). Il est basé sur les équations différentielles exactes de propagation des flux dans un faisceau puis dans un réseau. Les probabilités de blocage sont approximées par les formules de Kaufman et Roberts faisant intervenir des relations implicites entre trafic écoulé et trafic offert fictif instantané. Pour les probabilités de blocage des chemins empruntés par les flux, nous proposons deux schémas. Le premier est basé sur l indépendance des probabilités de blocage des faisceaux de ce chemin. Le deuxième est basé sur une fonction max. Plusieurs comparaisons numériques de ce modèle avec des approximations connues de la littérature sont présentées. Abstract The model presented in this paper adresses the transient behaviour and stationary solution of a multiservice network (ATM, STM). Blocking probabilities are approximated by means of Kaufman and Roberts formulae and implicit relations between carried traffic and fictitious instantaneous offered traffic. For end to end blocking probabilities estimation, we propose two approximations. The first one is based on the independence of trunk blocking along the path. The second approximation is based on a max function. Several numerical comparisons with well known approximations developed in the litterature are presented. Mots Clés Files d attente, trafic multiservice, commutation de circuits, probabilité de blocage, modélisation du trafic, qualité de service. Key Words Queueing theory, multirate traffic, circuit switching, blocking probability, traffic modelling, quality of service.

2 1. Introduction Nous considérons dans cet article les problèmes liés à l évaluation des performances et plus généralement de la QoS dans le cadre des réseaux haut débit. On distingue généralement trois échelles de temps différentes pour la modélisation du trafic, qui sont l échelle des cellules, l échelle des rafales et l échelle des appels. L échelle des appels, caractérisée par les temps de séour des appels arrivant et par leurs demandes de service, est celle que nous considérons dans cette article. A ce niveau, où on ne s interesse pas au flux de cellules sur les ressources du réseau (étude complexe car il s agit de trafic à mémoire longue ) mais au flux des appels offerts au réseau [PIO 80]. Dans ce cadre, l hypothèse Poissonienne pour le processus d arrivées des appels est légitime. Cependant, les caractéristiques des réseaux multi-services actuels posent de nouveaux problèmes notamment liés au mécanisme de contrôle d admission. Rappelons en effet que dans les réseaux utilisant le contrôle d admission, la procédure d établissement d une connexion exploite les informations sur le trafic (délais maximum, taux de perte accepté, etc) pour lui associer une bande passante équivalente comprise entre le débit moyen et le débit crête requis. Cette bande-passante équivalente est utilisée pour décider si une connexion correspondant à cette qualité de service peut être établie. Si ce n est pas le cas, l appel est reeté. Il s agit donc typiquement d un mécanisme de type commutation de circuits. Cependant, la différence fondamentale avec les réseaux à commutation de circuits (téléphonie) réside dans le fait que la bande passante associée à chaque flux dépend de la nature de ce flux (notion de classe de service). On parle alors de réseau à commutation de circuits multi-classe. Le calcul précis et rapide du trafic écoulé et des probabilités de blocage (qualité de service) est un élément clé de la planification et de la gestion dynamique des ressources dans les réseaux numériques à intégration de services. Bien que les deux modes de transfert proposés pour ces réseaux - le mode de transfert synchrone STM et le mode de transfert asynchrone ATM - soient fondamentalement différents, tous deux peuvent être analysés dans le cadre des réseaux à commutation de circuits multi-classes [ROB 98]. Nous étudions ici une modélisation par la technique de l équation différentielle moyenne de systèmes à commutation de circuits multi-services. Bien que le processus d arrivée soit Poissonnien, l étude de tels systèmes est bien plus complexe que celle de simples réseaux à commutation de circuits de type téléphonique, car on a affaire à un processus de naissance et de mort multidimensionnel où les limites de l espace d état de chaque flux sont difficiles à exprimer. Dans le cas d un seul faisceau emprunté par plusieurs flux multi-services, ce problème a une solution exacte donnée par la forme produit des probabilités. Dans le cas d un réseau, le problème n a pas de solution simple. L explosion combinatoire de l espace d état rend prohibitif le calcul numérique de la solution théorique exacte. Plusieurs approximations basées sur l hypothèse d indépendance des probabilités de blocage des faisceaux empruntés par un flux ont donc été proposées [KEL 91] [CHU 93].

3 Le modèle développé dans cet article est basé sur les équations différentielles exactes de propagation des flux dans un faisceau puis dans un réseau. Les probabilités de blocage intervenant dans ces équations sont ensuite approximées par des relations implicites entre trafic écoulé et probabilité de blocage (notion de trafic offert fictif instantané). Pour les probabilités de blocage dans un réseau, c est à dire les probabilités de blocage des chemins empruntés par les flux, nous proposons plusieurs schémas basés soit sur l indépendance des probabilités de blocage des faisceaux de ce chemin, soit sur une fonction max. Plusieurs résultats numériques de ces modèles sont présentés pour des faisceaux et des réseaux multi-services dans le cas de trafics faibles, moyens et forts et sont comparés aux résultats d approximations décrites dans la littérature ainsi qu à des simulations événementielles. 2. Etude d un faisceau multi-services Nous allons tout d abord étudier le cas d un seul faisceau auquel plusieurs flux multiservices sont offerts. Contrairement au problème de téléphonie classique, chaque appel a un temps de service dépendant de sa classe et occupe un nombre de circuits propre à sa classe. Dans ce processus multi-services, chaque flux va partager de manière complexe la ressource commune (le faisceau) avec les autres flux et va avoir une probabilité de blocage individuelle différente de la probabilité de blocage du faisceau. Il s agit là de la différence principale avec la téléphonie classique où la probabilité de blocage est la probabilité de perte d un appel. Dans la section suivante, nous décrivons le problème et introduisons les notations utilisées par la suite. Dans le cas d un seul faisceau multi-services, il existe une solution exacte du type forme produit qui peut être efficacement calculée grâce à un algorithme récursif décrit dans la section 2.2. Nous présentons également, dans la section 2.3, des approximations dont le coût calculatoire est plus faible. Nous proposons ensuite une approximation basée sur les équations différentielles moyennes du trafic de chaque classe et montrons, dans la section 2.5, qu elle est extrêmement précise non seulement en régime stationnaire mais également en régime transitoire Notations Nous considérons ici un faisceau unique, de capacité totale C. On note N le nombre de classes d appels offerts au faisceau. Les appels de classe i arrivent suivant un processus de Poisson de taux λ i, requièrent la capacité c i et ont une durée moyenne 1 µ i. L obectif est pour chaque classe d appels i d évaluer la probabilité de blocage des appels de cette classe ainsi que le trafic écoulé x i par cette classe, c est à dire le nombre moyen d appels de la classe i dans le faisceau. Dans la suite, on notera ẋ i la dérivée par rapport au temps de x i.

4 Ces notations sont illustrées sur la Figure 1. λ 1, µ 1, c 1 b 1 λ N, µ N, c N... C Mbps b N Figure 1 Représentation d un faisceau multi-service. Notons ρ i = λ i µ i, le trafic offert par les appels de la classe i. Le problème à résoudre est d évaluer soit exactement soit approximativement: x i = ρ i ( 1 b i ) (1) Dans le cas d un réseau, le problème est identique à la différence que b i représente la probabilité de blocage de toutes les ressources empruntées par les appels de la classe i (ie. probabilité de blocage des chemins entre l origine et la destination) Solution exacte en régime stationnaire La solution de ce problème est de type forme produit sur un espace d état multidimensionnel. Soit (n 1, n 2,..., n N ), le nombre d appels présents dans le système pour chacune des classes. Les bornes (états admissibles) de cet espace d état sont données par la limite du domaine défini par la contrainte suivante [ROB 98]: N i = 1 n i c i C (2) Notons S ce domaine. Les probabilités d un état quelconque du système sont alors données par la formule suivante ( G est la constante de normalisation): p( n 1, n 2,, n N ) n N i ρ i 1 = n i! G i = 1 (3) Kaufman et Roberts [ROB 81] [KAU 81] ont proposé une solution plus efficace que le calcul direct de la forme produit. Elle est basée sur un algorithme récursif exact permettant de déterminer la probabilité p( m) que m circuits du faisceau soient occupés.

5 Cet algorithme repose sur la discrétisation de la bande passante totale C du faisceau. Notons c = pgcd( c i ). On a alors : M = C c est le nombre maximum d unités de bande passante utilisables. m i = c i c est le nombre d unités de bande passante requises pour les appels de la classe i. Les probabilités d états sont calculés par l algorithme récursif suivant: p ( m) 1 m = 0 0 m < 0 = N p ( m m m i )m i ρ 0 < m M i i = 1 1 M p( m) = p ( m) p ( m) m = 0 (4) Les probabilités de blocage b i pour les différentes classes sont obtenues par: b i = K i ( C, ρ 1,, ρ N ) = p( m) m = M m i + 1 M (5) Ainsi, grâce à ces relations, il est aisé de calculer les probabilités de blocage b i de chaque classe en régime stationnaire. En reportant cette probabilité dans l équation du trafic (1), on obtient le trafic écoulé de chaque classe d appels Approximations en régime stationnaire Les temps de calcul de l algorithme de Kaufman-Roberts pouvant être assez long en fonction des paramètres (nombre de flux, capacité), certains auteurs, comme Linberger et Kelly, ont proposé des approximations. La méthode de Linberger [LIN 94] consiste à calculer un trafic équivalent correspondant à l agrégation des trafics des différentes classes. On se ramène ainsi à un système monoclasse classique. Tout d abord, il faut calculer la moyenne m et la variance v du trafic offert. Ensuite on calcule la bande passante moyenne du trafic agrégé donnée par c = v m. Linberger propose alors d utiliser la formule d Erlang pour calculer le taux de blocage du trafic équivalent duquel on déduit la probabilité de blocage de chaque flux. Kelly [KEL 91] propose une approximation pour le calcul des pertes dans un réseau qui

6 est bien sûr aussi valable dans le cas d un seul faisceau. c i Pour un faisceau, l approximation s écrit : b i = 1 ( 1 b) i = 1 N La procédure de calcul du taux de blocage b est obtenue par le point fixe de : Y N N c N! i 1 b = E( C, Y ) = où Y = ρ N i c i ( 1 b) Y k i = 1 k! 0 (6) 2.4. Modèle de trafic différentiel La méthode que nous proposons repose sur l étude de l équation différentielle exacte associée à la variation du nombre moyen d appels de chaque flux. Théorème 1 L équation différentielle exacte associée au flux i s écrit: x = λ [ 1 b ( t )] i i i µ x i i (7) La difficulté est alors de déterminer la valeur de b i (t) dans le régime transitoire. Pour cela, examinons ce que devient cette équation en régime stationnaire. ẋ i = 0 λ [ 1 b ( ) ] µ x ( ) = 0 i i i i En régime stationnaire, on a donc la relation suivante: λ i x i ( ) ρ i = ---- = i = 1 N µ i 1 b i ( ) Pour approcher la valeur de b i, nous proposons de prolonger la validité de cette relation dans le régime transitoire en écrivant, ρ i x i = i = 1 N 1 b i puis, connaissant les valeurs de ρ 1,, ρ N, d utiliser l algorithme de Kaufman- Roberts pour calculer les probabilités de blocage. On obtient alors l approximation suivante : où x = λ [ 1 b ( t )] µ x i i i i i x b i = K i ( C, ρ 1,, ρ N ) et i ρ i = b i (8) La détermination des probabilités de blocage et des trafics écoulés en régimes transitoire

7 et stationnaire peut alors se faire en intégrant numériquement l équation différentielle associée à chaque flux. A chaque pas de calcul, il est nécessaire de déterminer les valeurs de ρ 1,, ρ N : ( ρ 1,, ρ N ) = F 1 ( x i, b i ) i = 1 N 2.5. Comparaisons numériques Résultats en régime stationnaire Les résultats numériques que nous présentons ont été établis avec deux classes d appels. D autres résultats avec quatre classes d appels sont présentés dans [BRU 00]. Ces résultats sont présentés dans des conditions de trafic faible (environ 1% de perte), de trafic moyen (environ 5% de perte) et de trafic fort (plus de 10% de perte). Un faisceau de capacité C se voit offrir deux classes de trafic. La première nécessite c 1 Mbit/s tandis que la seconde en requiert c 2. Ce système est représenté sur la Figure 2. ρ 1, c 1 ρ 2, c 2 C 1 2 Figure 2 Un faisceau avec deux classes de trafic. On prend C = 19, c 1 = 9 et c 2 = 3. Les résultats présentés dans le tableau suivant montrent que le modèle différentiel donne des résultats exacts. Les méthodes de Kelly et de Linberger sont très peu précises. Table 2: Probabilités de blocage (%) Exact Equa. Diff. Kelly Linb. ρ 1 = 0.1 ρ 2 = ρ 1 = 0.2 ρ 2 = ρ 1 = 0.2 ρ 2 = Résultats en régime transitoire Un des grands avantages de la modélisation différentielle est de fournir le comportement transitoire du réseau considéré. La Figure 3 compare les évolutions en régime transitoire du trafic écoulé de chaque classe obtenues par notre méthode et par des simulations

8 événementielles. On peut constater que l approximation obtenue est assez précise c = 10, c1 =1, c2 = 4, ρ 1 = 0.5, ρ 2 = temps Equa. Diff. : classe 1 Equa. Diff. : classe 2 Simulation : classe 1 Simulation : classe 2 Figure 3 Trafics écoulés obtenus par simulation et par le modèle différentiel. 3. Etude d un réseau multi-services Dans le cas d un réseau multi-services, si la forme produit des probabilités d état est encore vérifiée, son utilisation est complétement inenvisageable du fait de l explosion combinatoire de l espace d état. En pratique, on est donc amené à considérer uniquement des approximations des probabilités de blocage des flux. La plupart des méthodes proposées dans la littérature sont basées sur l hypothèse d indépendance des probabilités de blocage et sur l approximation du trafic réduit. L idée est alors de supposer que les phénomènes de blocage apparaîssent de manière indépendante sur les différents liens de communications empruntés par un flux au cours de son acheminement, et de considérer que le trafic offert à chaque lien est d autant plus réduit que les taux de blocage du flux sur les autres liens sont élevés. Sous ces hypothèses, on obtient un système d équations de type point fixe, dont la solution fournit les valeurs approchées des probabilités de blocage. Dans la suite, nous présentons deux approximations différentes suivant cette idée. Puis, nous généralisons notre modèle différentiel au cas d un réseau. A cette fin, plusieurs schémas d approximation des probabilités de blocage des flux sont étudiés. Ils sont basés soit sur l indépendance des probabilités de blocage des faisceaux des chemins, soit sur une fonction max. Enfin, nous comparons plusieurs résultats numériques de ces modèles aux résultats des approximations de Kelly et du Knapsack ainsi qu à des simulations événementielles pour plusieurs topologies de réseaux Approximations classiques du trafic réduit pour les réseaux multi-services Nous présentons ici deux algorithmes utilisant l approximation du trafic réduit et

9 l hypothèse d indépendance des probabilités de blocage: l approximation de Kelly [KEL91] et la méthode du Knapsack proposée par Chung [CHU 93] Approximation de Kelly Notons Π i le chemin emprunté par les appels du flot i. Sous l hypothèse d indépendance des probabilités de blocage, Kelly suggère d approximer la probabilité de blocage b i du ce flux par: b i = 1 ( 1 β c i ) Π i (9) où β représente la probabilité de blocage du faisceau Π i. En notant Y le trafic offert au lien, cette probabilité de blocage est donnée par la formule de perte d Erlang: β = E( Y, C) (10) Notons Γ l ensemble des flux empruntant le lien. Avec l approximation du trafic réduit, le trafic offert Y peut s écrire: Y = ρ k c k ( 1 β h c k ) k Γ h Π k (11) On obtient ainsi un système d équations de type point fixe qui va permettre de calculer de manière approchée les probabilités de blocage de chaque faisceau. Ce système possède de plus une solution unique. On en déduit alors des valeurs approchées des probabilités de blocage Approximation du Knapsack Comme la méthode de Kelly, l approximation du Knapsack repose sur l hypothèse d indépendance des blocages sur les liens et utilise l approximation du trafic réduit. La principale différence réside dans l utilisation de l algorithme de Kaufman au lieu de la formule d Erlang. Notons b i la probabilité de blocage du flux i sur le lien Π i. Sous l hypothèse d indépendance des probabilités de blocage, on obtient [Chu93]: b = i 1 1 b i Π i (12)

10 La probabilité de blocage b i peut être calculé à l aide de l algorithme de Kaufman- Roberts: b i = K ( i C, Y h h Γ ) (13) où Y h représente le trafic offert par le flux h Γ au faisceau. En utilisant l approximation du trafic réduit, on a: Y h k = ρ h 1 b h k Π h { } (14) Ces équations permettent de déterminer les probabilités b i en utilisant un algorithme de point fixe, et donc les probabilités de blocage b i de chaque flux Modèle différentiel d un réseau multi-services L équation différentielle régissant le nombre moyen d appels du flux i dans le réseau est identique à celle utilisée dans le cas d un seul faisceau: x Πi = λ [ 1 b i Πi ] µ x i Πi (15) Cependant, dans le cas d un réseau, b Πi représente la probabilité transitoire de blocage d un appel du flux i sur le chemin Π i. Là encore, toute la difficulté est d évaluer cette probabilité qui est une fonction complexe des probabilités de blocage individuelles b i sur chaque faisceau du chemin Π i. A cette fin, nous proposons plusieurs schémas d approximation des probabilités de blocage basés soit sur l indépendance des probabilités de blocage des faisceaux, soit sur la fonction max. Dans chaque cas, nous utilisons un trafic offert fictif ρ i. En utilisant l approximation d indépendance des probabilités de blocage, on obtient l approximation suivante. Approximation 1 L approximation Produit 1 du trafic écoulé par le flot i s écrit: x Πi = λ [ 1 b i Πi ] µ x i Πi avec ( 1 b Πi ) = 1 b i où x b i = Ki C, ρ h et i ρ h Γ i = b i (16)

11 On remarquera que cet algorithme utilise non seulement l hypothèse d indépendance des probabilités de blocage, mais aussi, de manière implicite, l approximation du trafic réduit puisque les trafics offerts ρ i du flot i aux faisceaux peuvent être différents. Nous verrons dans la suite qu en régime stationnaire elle donne les mêmes résultats que la méthode du Knapsack. Cependant, elle a l avantage de donner également une approximation dynamique du trafic écoulé. En imposant que les trafics offerts à chaque faisceau par le flot i soient identiques, on obtient l approximation suivante. Approximation 2 L approximation Produit 2 du trafic écoulé par le flot i s écrit: x Πi = λ [ 1 b i Πi ] µ x i Πi avec ( 1 b Πi ) = 1 b i où x b i = Ki C, ρ h et i ρ h Γ i = = ρ 1 b i i (17) Les deux approximations précédentes ont en commun d utiliser l hypothèse d indépendance des probabilités de blocage des flots sur les différents faisceaux de leurs chemins. Approximation 3 Lorsque l on considère plusieurs faisceaux en série, on peut penser, de manière intuitive, que cette hypothèse est fausse. En effet, les appels bloqués en amont d un faisceau n ont pas d influence sur les probabilités de blocage de ce faisceau. Cette constatation ustifie que l on s intéresse à la dernière approximation dite Max, qui s écrit : x Πi = λ [ 1 b i Πi ] µ x i Πi avec b Πi = max b i où x b i = Ki C, ρ h et i ρ h Γ i = b i (18) Remarquons que cette dernière approximation utilise encore une idée assez proche de l approximation du trafic réduit puisque les trafics offerts ρ i du flot i aux faisceaux peuvent être différents. Ces approximations permettent de déterminer les probabilités de blocage et les trafics écoulés de chaque flot par intégration numérique. Elles ont l avantage de permettre l étude de ces grandeurs à la fois en régime transitoire et en régime stationnaire.

12 3.3. Comparaisons numériques Résultats en régime stationnaire Faisceaux en série Nous considérons le cas de deux faisceaux en série et deux classes de trafics. Un premier flot de caractéristiques (ρ 1, c 1 ) est acheminé du noeud 1 vers le noeud 3. Un second flot de caractéristiques (ρ 2, c 2 ) a pour origine le noeud 2 et pour destination le noeud 3. La situation est décrite sur la figure ci dessous. ρ 2, c 2 ρ 1, c 1 C C Figure 4 Deux Faisceaux en série avec deux classes de trafic. Nous allons considérer deux exemples numériques. Dans le premier, on prendra C = 9, c 1 = 3 et c 2 = 4. Dans le second, on prendra C = 17, c 1 = 8 et c 2 = 1. Les probabilités de blocage obtenues par simulation pour chaque exemple sont représentées dans les tableaux ci-dessous. Table 3: C = 9, c 1 = 3 ate c 2 = 4 Trafic Léger (ρ 1,ρ 2 ) = (0.2,0.1) Trafic Moyen (ρ 1, ρ 2 ) = (0.5,0.3) Trafic Fort (ρ 1,ρ 2 ) = (0.5,0.4) Taux de Blocage (%) (2.07, 3.44) (10.16, 15.98) (12.91, 18.47) Table 4: C = 17, c 1 = 8 et c 2 = 1 Trafic Léger (ρ 1, ρ 2 ) = (0.1,0.5) Trafic Moyen (ρ 1, ρ 2 ) = (0.2,0.7) Trafic Fort (ρ 1, ρ 2 ) = (0.7,0.9) Taux de Blocage (%) (1.25, 0.14) (3.86, 0.58) (18.51, 4.74) Les erreurs relatives moyennes par rapport aux simulations des méthodes Knapsack, Max et Produit 2 sont représentées sur la Figure 5. Sur ces exemples, la méthode Produit 1 donne les mêmes résultats que Knapsack. L approximation de Kelly, non représenté sur la Figure 5, se révèle assez peu précise: son erreur relative moyenne est touours supérieure a 90%. On constate que, sur ces exemples, les approximations utilisant la fonction max sont les plus précises. Ces approximations sont d autant plus précises que le trafic est fort: dans les deux cas, l erreur maximale est en dessous de 0.5% pour le trafic fort. Au contraire, les approximations utilisant l indépendance des probabilités de blocage voient

13 leur précision se dégrader lorsque le trafic augmente. Dans ce cas, l hypothèse d indépendance est complétement violée: l erreur porte principalement sur les flux empruntant le premier faisceau C = 9, c 1 = 3 et c 2 = 4 C = 17, c 30 1 = 8 et c 2 = 1 Erreur Erreur Moyenne (%) 25 Moyenne (%) 0 Leger Moyen Fort Knapsack Max1 Produit2 0 Leger Moyen Fort Knapsack Max 1 Produit 2 Figure 5 Comparaisons des approximations différentielles et de l approximation Knapsack dans le cas de 2 faisceaux en série avec 2 classes de trafic. Réseau en croix Le réseau étudié est exactement le même que celui qui a été utilisé par Sun-Ping Chung et Keith W. Ross dans [Chu93]. Ce réseau est décrit dans la Figure 6. Il comporte cinq noeuds et quatre faisceaux de capacités respectives C 1 =90, C 2 =100, C 3 =110 et C 4 =120. Les flots échangés entre les noeuds sont également décrits sur la Figure 6. Ces flots peuvent être de deux classes. Les flots de classe 1 (en trait continu) requièrent c 1 =1 unité de bande passante tandis que les flots de la classe 2 (en trait pointillé) nécessitent c 2 =5 unités de bande passante C4 = 120 C1 = C2 = C3 = Figure 6 Réseau en croix et flots d appels dans ce réseau.

14 Comme dans [Chu93], nous distinguons trois conditions de trafic: Trafic léger: ρ 1 = 9 et ρ 2 = 1.6 Trafic Moyen: ρ 1 = 10 et ρ 2 = 2 Trafic Fort: ρ 1 = 15 et ρ 2 = 3 Les probabilités de blocage de chaque flux i=1..12 obtenues par simulation événementielles sont représentées dans le tableau ci-dessous. Table 5: Probabilités de Blocage (%) (ρ 1,ρ 2 ) (9.0, 1.6) (10, 2.0) (15, 3.0) Nous avons représenté dans la Figure 7 les erreurs relatives moyennes des différentes approximations par rapport aux résultats des simulations événementielles. Là encore, les approximations Produit 1 et Knapsack donnent les mêmes résultats. En dehors des conditions de faible trafic, ces approximations sont les plus pertinentes. L approximation Max présente l inconvénient d attribuer la même probabilité de blocage à plusieurs flots empruntant le même faisceau. Ainsi, par exemple, ce modèle attribue la même probabilité de blocage aux flots 1,2 et 3 (dans toutes les conditions de trafic). Cette erreur systématique le pénalise assez nettement. Néanmoins, on peut considérer que les approximations Knapsack, Produit 1 et Max ont des résultats comparables. Par contre, on notera la très mauvaise estimation obtenue avec l approximation Produit Erreur Relative Moyenne (%) Trafic Leger Trafic Moyen Knapsack Max 1 Trafic Fort Produit 2 Figure 7 Comparaisons des modèles différentiels et de l approximation Knapsack.

15 Approximation en régime transitoire Par soucis de clarté, nous ne présenterons que des résultats relatifs au cas de deux faisceaux en série. Dans ce cadre, nous considérons deux classes de trafic avec : C = 9, c 1 = 3 et c 2 = 4. Les approximations du trafic transitoire obtenues en utilisant les modèles différentiels sont représentées sur la Figure 8. C = 9, c 1 = 3, c 2 = Trafic transitoire Temps Sim. : classe 1 Sim. : classe 2 Max : classe 1 Max : classe 2 Prod. 1 : classe 1 Prod. 1 : classe 2 Figure 8 Trafics écoulés transitoires obtenus par simulation et modèles différentiels. On constate la bonne réponse transitoire et stationnaire donnée par les deux modèles différentiels. 4. Conclusion Dans cet article nous avons développé des approximations dynamiques pour les réseaux multi-services. Ces approximations s inspirent des résultats obtenues sur la théorie du trafic différentiel dans le cas des réseaux à commutation de circuits classiques. Elles sont basées soit sur l hypothèse d indépendance des probabilités de blocage, soit sur une fonction max. Les résultats numériques confirment l intérêt de ces deux approches. Des travaux se poursuivent actuellement sur le domaine de validité de chacune d elle et sur la fusion possible de ces deux approximations. L approximation utilisant l hypothèse d indépendance des probabilités de blocage s est révélée équivalente à l approximation Knapsack. La combinaison de nos deux approximations permet d avoir une solution plus précise que celle du Knapsack. Finalement, il est important de noter que la modélisation différentielle présente l avantage de fournir une approximation dynamique très précise des trafics transitoires. Elle constitue donc un outil très intéressant pour la gestion à court ou moyen termes des réseaux multi-services et pour l étude des phénomènes dynamiques dans ces réseaux.

16 5. Références [BRU 00] [CHU 93] [ELL 75] [KAU 81] Brun O., Modélisation et Optimisation de la Gestion des Ressources dans les Architectures Distribuées - Parallélisation Massive de la Technique de Filtrage Particulaire, Thèse de Doctorat, Toulouse, S.P. Chung & K.W. Ross, Reduced Load Approximations for Multirate Loss Networks, IEEE Trans. on Comm., 41 (8): , A. Elldin, Basic Traffic Theory, In ITU Seminar on Traffic Engineering and Network Planning, pages , New Delhi, J.S. Kaufman, Blocking in a Shared Resource Environment, IEEE Trans. on Comm., 20 (10): , [KEL 91] F.P. Kelly, Loss Networks, Ann. of Applied Probability, 1: , [LIN 94] [PIO 80] [ROB 81] [ROB 98] K. Lindberger, Dimensioning and Design Methods for Integrated ATM Networks, In 14 th International Teletraffic Congress Proceedings, Volume 1b, Pages North Holland-Elseveir Science Publishers, M. Pioro, J. Lubacz & U. Korner, Traffic Engineering Problems in Multiservice Circuit Switched Networks, Comput. Networks ISDN Systems, 20/ , J. W. Roberts, A Service System With Hetherogeneous User Requirements - Application To Multi-Service Telecommunication Systems, In G. Puolle, editor, Performance of Data Communication Systems and their Applications, pages 423, 431. North Holland-Elsevier Science Publishers, J. Roberts, U. Mocci,... Eds, Broadband Network Teletraffic, Cost 142 Final Report, 1998.