Méthodologie de rationalisation des réseaux hydrométriques

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1 Sustainability of Water Resources under Increasing Uncertainty (Proceedings of the Rabat Symposium S1, April 1997). IAHS Publ. no. 240, Méthodologie de rationalisation des réseaux hydrométriques PETER RASMUSSEN, TAHA B. M. J. OUARDA & BERNARD BOBEE INRS-Eau, Université du Québec, 2800 rue Einstein, CP 7500, Sainte-Foy, Québec, Canada G1V 4C7 Résumé Plusieurs pays doivent faire face à des réductions de leurs réseaux hydrométriques. Une gamme de critères doivent être considérés lors du choix de stations à discontinuer. En effet, il existe parfois une certaine redondance d'information. Par exemple, les débits journaliers à deux stations hydrométriques voisines peuvent être fortement corrélés. Dans cet article, on propose l'utilisation de modèles de fonction de transfert pour identifier les stations qui doivent être éliminées en priorité. Plus particulièrement, il s'agit des stations où une reconstitution fiable des débits journaliers est possible. La méthodologie développée a été appliquée aux tributaires du Fleuve Saint-Laurent au Québec. INTRODUCTION Les réseaux hydrométriques fournissent une composante importante à la compréhension du cycle hydrologique. Cependant, dans plusieurs pays, en raison des contraintes budgétaires, les réseaux font face à des réductions importantes. Cette situation étant irréversible, il importe d'effectuer les coupures de façon rationnelle, c'est-à-dire de garder les stations de jaugeage les plus importantes pour satisfaire aux besoins des utilisateurs actuels et futurs en information hydrologique et pour améliorer la compréhension du cycle d'eau. Selon les objectifs poursuivis, plusieurs critères peuvent être importants dans le choix des stations à préserver dans le réseau. Le présent travail relatif à l'une des grandes priorités d'environnement Canada concerne l'estimation des débits journaliers du Fleuve Saint-Laurent. En raison du rôle du Saint-Laurent comme voie maritime, il est nécessaire de bien connaître son débit, préférablement sur une base quotidienne. Cependant à cause de sa largeur et de l'effet de marée auquel il est soumis, il est difficile, voire impossible, de mesurer directement le débit dans le fleuve. En effet, en aval de la ville de Montréal il n'y a aucune station de mesure située directement sur le fleuve. Pour connaître le débit du fleuve en aval de Montréal, Environnement Canada utilise les données de débits de différents tributaires du fleuve et applique un modèle hydraulique pour ainsi évaluer le débit du fleuve. Dans le cadre d'une éventuelle rationalisation du réseau hydrométrique de la province de Québec, Environnement Canada souhaite évaluer le besoin d'information pour estimer le débit du fleuve et, plus particulièrement, l'importance des différentes stations hydrométriques situées sur les tributaires du fleuve. Environnement Canada désire s'assurer que le réseau hydrométrique du Québec, après la rationalisation prévue, contienne les stations les plus importantes pour l'estimation des débits des tributaires du fleuve. Dans cet article, nous présentons une méthodologie pour reconstituer l'information perdue lorsqu'une station donnée est éliminée du réseau hydrométrique.

2 312 Peter Rasmussen et al. Deux classes de modèles peuvent être envisagées pour la reconstitution des débits journaliers, soit les modèles du type pluie-débit et les modèles statistiques basés sur la corrélation entre stations voisines. Le choix de modèles à utiliser doit être effectué en fonction de la disponibilité des données et de la qualité de la reconstitution. Dans cette étude, nous considérons uniquement une classe de modèles statistiques que l'on appelle modèles linéaires de fonction de transfert. Dans la section suivante, nous donnons une brève description de ces modèles, de leur identification et de leur estimation. Ensuite, nous présentons la méthodologie proposée pour l'évaluation de la pertinence des différentes stations hydrométriques situées sur les tributaires du Fleuve Saint-Laurent. MODÈLES LINEAIRES DE FONCTION DE TRANSFERT Dans la présente étude, les modèles stochastiques linéaires de fonction de transfert ont été retenus pour F estimation des débits journaliers à un site àpartir des débits journaliers enregistrés à une station hydrométrique voisine. Les modèles de fonction de transfert ont déjà été utilisés dans cette optique, par exemple par Beauchamp et al. (1989). Notons qu'il existe plusieurs ouvrages de référence portant sur les modèles linéaires de fonction de transfert tels que Box et al. (1994), Hipel & McLeod (1994) et Ljung (1987). Dans ce qui suit, on considère une série d'intrants, u(t), et une série de sorties, y(t), pour t = 1, 2,..., N. Dans le contexte de l'estimation des débits journaliers, la série y(t) représente le débit journalier à une station susceptible d'être éliminée lors d'une rationalisation et la série u(t) représente le débit d'une rivière voisine où le jaugeage est continu. La relation entre u(t) ety(t) que l'on suppose linéaire est rarement parfaite et on doit alors considérer un bruit v(t). Plus particulièrement, on suppose l'existence d'une relation de la forme: OO où les coefficients g(k) représentent les réponses impulsionnelles. Pour simplifier la notation, on introduit la fonction de transfert: G{q) = *(*)** où q est l'opérateur de délai tel que q" k u(t) = u(t - k). Quant au bruit, on le considère comme un brait blanc filtré, v{t) = H{q)e{i), où H(q) est un filtre et e(t) représente le bruit blanc. Avec ces modifications, l'équation (1) devient: y(t) = G(q)u(t) + H(q)e(t) (2) Cette forme n'est pas toujours économique en terme de paramètres. Cependant, il est souvent possible d'exprimer G{q) et H{q) sous forme de rapports rationnels. Ljung (1987) propose l'expression suivante comme classe générale de fonctions linéaires de transfert: A(q)y(t) = ^-u(t- n k ) + ^w e{t) (3)

3 Méthodologie de rationalisation des réseaux hydrométriques 313 Tableau 1 Modèles linéaires de fonction de transfert. Nom ARX ARM AX Forme du modèle A(q)y(t) = B(q)u{t - «,) + e{t) A{q)y{t) = B(q)u(t - n k ) + C(q)e(t) Output error B(q),.,, 1 y(t) =?}î*lu(t-n k )+e(t) Box-Jenkins B(q),,, C(o),,, où /4, 5, C, Z) et F sont des polynômes en g. Le paramètre n k est le temps de délai avant la réponse du système à 1'intrant. On présente dans le Tableau 1 plusieurs modèles utilisés en hydrologie représentant des cas particuliers de ce modèle général. Les modèles présentés peuvent être généralisés aux cas où plusieurs intrants sont présents. Dans cette étude où l'on souhaite estimer les débits d'une rivière non jaugée, il est inutile de considérer des termes autorégressifs dans la prédiction de y(t), car les valeurs précédentes de y(t) ne sont pas observées. On pourrait, en principe, envisager une régression sur les estimations de y. Cependant, en considérant une telle approche, on risque d'accumuler les erreurs de prédiction. De plus, on ne peut effectuer une régression sur les erreurs de prédiction, car celles-ci ne sont pas observables après la rationalisation. C'est pourquoi, le modèle (2) avec H(q) = 1 a été retenu pour cette étude. Il existe plusieurs méthodes pour estimer le nombre de termes à considérer dans l'équation (2). Une méthode assez simple consiste à préblanchir la série d'intrants, u(t), par exemple par un filtre autorégressif, <t> u (q), qui est facile à estimer. Une série U(t) = 4> u (q)u(t) de bruit blanc est alors obtenue. Le même filtre peut être appliqué aux sorties, Y(t) = cj> u (q)y(t), et aux résidus, E{t) = 4> u (q)e(t), et dans ce cas, l'équation (2) devient: Y{t) = G(q)U(t) + H(q)E(t) ( 4 ) Pour obtenir une estimation de l'élément g(k) de la fonction de réponse impulsionnelle, on peut multiplier cette expression par U(t - k) et prendre l'espérance mathématique du produit. Puisque U est non corrélé avec E, et que U{t) est un bruit blanc (ce qui implique E[U(t)U(t - k)] = 0 pour k ^ 0), on obtient (après quelques manipulations mathématiques) l'estimateur: g(k) = ^p UY (k) (5) où p uy (k) = YyjX^/ffyffy représente la corrélation croisée entre C/et F décalée de k pas de temps. L'estimation de G(q) obtenue de cette manière doit être considérée comme préliminaire. Cependant, l'approche décrite ci-dessus permet d'identifier la forme la plus appropriée de G(q), c'est-à-dire le nombre de termes à inclure (mémoire du processus). Elle permet également d'examiner l'existence d'une relation de causalité. Une corrélation croisée p uy {k) = E[Y(t)U(t -k)] qui est significativement différente de zéro pour certaines valeurs négatives de k est caractéristique d'un système avec rétroaction.

4 314 Peter Rasmussen et al. Une fois l'estimation préliminaire de la fonction de transfert obtenue, on peut procéder à l'identification de la forme du modèle de bruit. On considère, dans ce cas, la série z{t) = y(t) - G(q)u{t - n k ) et on détermine un modèle autorégressif H{q) qui décrit adéquatement cette série. En ce qui concerne F estimation des paramètres d'un modèle de fonction de transfert, la technique privilégiée est la méthode des moindres carrés. Cette approche, qui nécessite généralement une procédure itérative, vise à identifier les paramètres qui minimisent la somme des carrés des résidus (les erreurs de prédiction). APPLICATION L'objectif de l'étude est d'évaluer la possibilité de reconstituer les débits journaliers aux stations hydrométriques des tributaires du Saint-Laurent à l'aide des modèles de fonction de transfert. C'est pourquoi, on a effectué une analyse systématique de chaque station. La méthodologie est décrite dans cette section à l'aide d'un exemple d'application. Les résultats complets sont présentés dans Rasmussen et al. (1996). La banque de données considérée dans l'étude comprend les apports journaliers de 59 stations hydrométriques situées sur les tributaires du Fleuve Saint-Laurent en aval de Montréal. Puisqu'on propose l'application des modèles stochastiques, on a exigé que les apports journaliers aux sites soient naturels, c'est-à-dire non influencés par l'opération de barrages ou par d'autres activités humaines. Les stations qui sont influencées journalièrement ont été admises. On a accordé un intérêt particulier aux stations les plus proches des embouchures des tributaires parce qu'elles fournissent une information plus importante concernant les apports au fleuve. Avant d'appliquer des modèles de fonction de transfert, une analyse statistique descriptive a été effectuée dans le but d'identifier si un effet saisonnier est présent dans les corrélations croisées entre les stations. Puisque les modèles de fonction de transfert sont basés sur la corrélation entre les débits à deux sites, il est important d'identifier la présence éventuelle des phénomènes saisonniers. On a étudié quelques paires de stations témoins dont les bassins versants sont exposés aux mêmes événements météorologiques. On doit d'ailleurs noter que la proximité géographique n'est pas le seul facteur qui détermine le degré de corrélation. D'autres facteurs, tels que la taille et la pente du bassin versant, peuvent également être importants puisqu'ils conditionnent le temps de réponse du bassin. On a observé une variation importante des estimations de la corrélation croisée au niveau journalier en raison du nombre relativement faible d'années d'observation et il s'est avéré difficile de conclure à l'existence d'une saisonnalité. L'analyse préliminaire de la corrélation croisée a mené à la conclusion qu'il n'est pas justifié d'utiliser un modèle saisonnier plus complexe contenant un nombre important de paramètres. A titre d'exemple, nous présentons l'application des modèles de fonction de transfert pour la reconstitution des débits journaliers à deux sites témoins. Le Tableau 2 présente quelques caractéristiques des stations considérées, ainsi que des stations auxiliaires qui fournissent l'information pour la reconstitution. L'une des hypothèses de base des modèles linéaires est que la variance des résidus doit être constante (homoscédasticité) et indépendante de l'intrant. La vérification de cette hypothèse est importante pour une estimation efficace des paramètres du modèle.

5 Méthodologie de rationalisation des réseaux hydrométriques 315 Tableau 2 Caractéristiques des stations utilisées pour le cas d'étude. Cas Station Nom Superficie du Station Nom Superficie du No. de principale bassin versant auxiliaire bassin versant données concomitantes 1 02PH010 Du Sud PH011 Etchemin PD010 St-Charles PC009 Portneuf Cependant, dans le cas de la prévision des débits journaliers bruts, on s'attend à ce que l'erreur de prévision soit particulièrement importante lorsque les débits sont élevés. Pour mieux respecter l'hypothèse de l'homoscédasticité et ainsi améliorer l'estimation des paramètres, une transformation logarithmique est appliquée aux données. Afin de visualiser les différents liens entre les intrants (station auxiliaire) et les sorties (station à éliminer), on a calculé la fonction d'autocovariance de la série d'intrants préblanchis, la fonction d'autocovariance de la série des sorties soumise au même filtre, la corrélation entre les deux séries filtrées ainsi que les réponses impulsionnelles. Le filtre utilisé pour préblanchir les intrants est basé sur une autorégression d'ordre 10. La Fig. 1 montre les résultats de l'analyse pour les deux cas considérés. Dans le premier cas, le filtre utilisé pour préblanchir l'intrant conduit à un quasi-blanchissement de la sortie ce qui se traduit en une corrélation croisée où seulement la corrélation d'ordre zéro semble significative. Pour le cas 1 (station 02PH010), la réponse impulsionnelle d'ordre 1, g(l), tombe légèrement hors de l'intervalle de confiance à 99%, mais elle est négative ce qui physiquement semble peu réaliste. En conclusion, pour le cas 1, l'analyse suggère une causalité instantanée, c'est-à-dire un modèle du type: y(t) = gu(t)+h(q)e{t) ( 6 ) Dans le cas 2 (station 02PD010), on observe que la série de sortie filtrée n'est pas un bruit blanc. La corrélation entre les deux séries est assez élevée pour k = 1, 2, 3. On retrouve le même phénomène dans la fonction de réponse impulsionnelle dont plusieurs valeurs dépassent les bornes de l'intervalle de confiance à 99%. Les graphiques suggèrent l'utilisation d'un modèle du type: 3 y(t) = J^g(k)u(t-k) + H(q)e(t) (7) Pour le cas 1 qui démontre une causalité purement instantanée, nous avons examiné l'impact du modèle d'erreur sur l'estimation des paramètres et sur la qualité des prédictions. Le but du modèle d'erreur est d'éliminer l'autocorrélation des erreurs de prédiction. Le Tableau 3 montre que l'autocorrélation d'ordre 1 est très significative pour le modèle de régression simple. L'introduction d'une régression sur l'erreur précédente ne change que légèrement la valeur du paramètre g 0, mais elle diminue significativement la variance de prévision. Cependant, puisque les erreurs ne sont pas connues après la rationalisation, nous devons plutôt considérer la variance des erreurs associée à la prédictiony(0 = g 0 u(t), car c'est cette valeur qui sera utilisée en pratique. La quatrième colonne du Tableau 3 présente cette variance. On voit que la considération d'un modèle linéaire pour les erreurs a un impact minime sur la variance des prévisions.

6 316 Peter Rasmussen et al. Covf de y filtré (02PH011) Covf de u filtré (02PH010) Corr. entra y et u filtrés Réponses Impulsionnalles -0.2 Covf de y filtré (02PD010) Covf de u filtré (02PC009) Corr. entre y et u filtrés Réponses impulsionnelles Fig. 1 Liens entre la série d'intrants, u(t), et la série de sorties, y(t), pour les deux cas d'étude. Fonction d'autocovariance de la série d'intrants préblanchis, fonction d'autocovariance de la série de sorties soumise au même filtre, corrélation entre les deux séries filtrées et réponses impulsionnelles. Ceci suggère que l'on peut considérer un modèle de régression simple pour l'estimation des débits journaliers. Les résultats pour le deuxième cas sont également présentés dans le Tableau 3. On peut observer que l'introduction d'un modèle d'erreur (régression sur les dix erreurs précédentes) conduit à des changements assez importants dans les valeurs des paramètres. Cependant, ceci est plutôt le résultat de la forte colinéarité entre les variables explicatives, u(t), u(t - 1), u(t - 2) et u(t - 3), que de l'impact du modèle d'erreur.

7 Méthodologie de rationalisation des réseaux hydrométriques 317 Tableau 3 Caractéristiques de différents modèles de fonction de transfert. Modèle Variance Variance des Autocorrélation des erreurs de erreurs de d'ordre 1 prédiction prédiction (sans erreurs) Cas 1: Station 02PH010 y{t) = g 0 u(0 + e(t) y{t) = 0 K(0+e(0 + V('-i) y(t) = 0 «(0 + e(0 + V(? ;=i Cas 2: Station 02PD010 y(0 = Y,ëP<î-ï)+e{t) îo xo =!>,«('-o MO + Eve-o to M y(t) = g 0 u(t)+e(t) Pour la prévision où l'on ne tient pas compte des erreurs précédentes, c'est-à-dire: m = T,8iU(t-i) (=0 on note que la variance associée au modèle qui tient compte des erreurs précédentes est légèrement plus élevée. On a également estimé un modèle de régression simple, y(t) = g 0 u(t) + e(t). La variance de prédiction associée à ce modèle est 10% plus grande que celle associée au modèle à quatre paramètres. Cette différence est suffisamment appréciable pour que l'on en tienne compte. Les résultats décrits ci-dessus s'appliquent aux données transformées. Pour évaluer davantage la qualité de la reconstitution, on a considéré une période de validation de deux ans. Les paramètres des meilleurs modèles ont été estimés sans tenir compte de ces deux années. On a ensuite comparé les débits reconstitués et observés pour les deux ans comme le montre la Fig. 2. Dans le cas 1, on constate une très bonne reconstitution où même les pointes de crue sont relativement bien reproduites. Dans le deuxième cas, la reconstitution n'est pas bonne. La station auxiliaire 02PC009 a été identifiée comme celle qui est la plus corrélée avec la station 02PD010 ce qui laisse peu d'espoir qu'une reconstitution fiable puisse être faite à cette station. La station 02PD010 est unique et, pour cette raison, on doit conclure qu'il est nécessaire de la conserver. Pour la réalisation pratique de ce projet, toutes les composantes de l'étude ont été programmées afin de permettre une exécution automatique. Pour chacune des 49 stations, on a identifié les cinq stations voisines les plus corrélées avec la station cible.

8 318 Peter Rasmussen et al. Débit observé et prédit ( ) pour la station 02PH Débit observé et prédit ( ) pour la station 02PD010 ^- ^ L >^ Fig. 2 Reconstitution des débits journaliers pour la période aux deux stations d'étude. Des modèles de fonction de transfert ont été estimés et comparés. Différents critères de performance mesurant les erreurs relatives et absolues d'estimation ont été calculés et des graphiques pour la période de validation ont été construits permettant ainsi d'évaluer visuellement la qualité de la reconstitution. Dans certain cas, la corrélation entre les débits journaliers à deux sites est élevée à l'ordre de Dans ces cas, on obtient souvent une très bonne reconstitution. Si deux stations sont fortement corrélées, on peut envisager l'élimination de l'une des deux lors d'une rationalisation du réseau. CONCLUSIONS La réduction des réseaux hydrométriques est devenue une nécessité dans de nombreux pays. Cette réduction peut cependant être effectuée sans une trop grande perte d'information. En effet, il existe parfois de l'information redondante et on peut considérer l'élimination de stations où l'information peut être reconstituée de façon adéquate à l'aide d'un modèle pluie-débit ou à l'aide de modèles statistiques utilisant les données d'une station voisine. Dans cet article, tiré d'une étude effectuée pour Environnement Canada, on a considéré les stations situées sur les tributaires du Fleuve Saint-Laurent. Les principales conclusions concernant la possibilité d'estimer le débit à une station

9 Méthodologie de rationalisation des réseaux hydrométriques 319 donnée à partir de l'information enregistrée à une station voisine sont présentées dans Rasmussen et al. (1996). Pour 23 des 49 stations considérées, on a conclu qu'une reconstitution fiable par des modèles de fonction de transfert est réaliste. Dans 15 cas, on trouve que la reconstitution est de qualité moyenne et dans 11 cas, on recommande de ne pas d'effectuer de reconstitution. Cependant, il faut insister sur le fait qu'il est toujours préférable de posséder des données observées plutôt que des données reconstituées. Remerciements Les auteurs tiennent à remercier Environnement Canada pour le financement de cette étude. Ils remercient également MM. Jean-François Cantin et Richard Laurence d'environnement Canada pour leur participation active à la réalisation de ces travaux. REFERENCES Beauchamp, J. J., Downing, D. J. & Railsback, S. F. (1989) Comparison of regression and time-series methods for synthesizing missing streamflow records. Wat. Resour. Bull. 25(5), Box, G. E. P, Jenkins, G. M. & Reinsel, G. C. (1994) Time Series Analysis, Forecasting and Control. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey. Hipel, K. W. & McLeod, A. I. (1994) Time Series Modelling of Water Resources and Environmental Systems. Elsevier, Amsterdam. Ljung, L. (1987) System Identification: Theory for the User. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey. Rasmussen, P. F.,Ouarda,T. B. M. J., Bobée,B. &Moisa, D, (1996) Estimation du débit journalier à des sites non jaugés; Application aux stations hydrométriques situées aux tributaires du Fleuve Saint-Laurent. Rapport de recherche No. R-475, INRS-Eau, Université du Québec, Québec.