Sismicité à Corinthe, analyse mécanique des aspérités.

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1 Sismicité à Corinthe, analyse mécanique des aspérités. Pierre Dublanchet Résumé L analyse de la microsismicité du Golfe de Corinthe en Grèce est un moyen d étudier la déformation extensive au niveau d un rift continental, dans une zone de détachement. L analyse de cette microsismicité permet en outre d obtenir une meilleure compréhension des processus associés au chargement de failles capables de générer des séismes importants. Dans cette étude, un ensemble de séismes localisés près du centre de nucléation du séisme d Aigion (1995, M w = 6.) est analysé en terme de répartition des sources dans l espace et dans le temps. Une analyse précise des enregistrements sismiques de ces séismes a permis de déterminer la taille des sources, l amplitude et la direction de glissement au cours des séismes. De plus, quelques propriétés mécaniques comme la chute de contrainte associée à un séisme sont évaluées. Les sources se répartissent sur un plan proche de celui qui a rompu lors du séisme de Elles ont une taille qui varie entre une dizaine de mètres en une centaine de mètres et produisent des glissements très faibles, qui cumulés sur la durée d observation (7 ans) donnent une vitesse inférieure à celle obtenue par inversion des données GPS. Les processus qui controlent le glissement au niveau de cet ensemble d évènements sont très marqués par l interaction mécanique entre les aspérités. Enfin, un modèle de glissement sur une surface contenant des aspérités et faisant intervenir une loi de friction de type rate and state est utilisé pour comprendre en détail l évolution du glissement et de la contrainte sur une surface de ce type en présence d un forçage extérieur. Stage effectué au laboratoire de sismologie de l Institut de Physique du Globe de Paris et de l École Normale Supérieure, sous la direction de Pascal Bernard et Pascal Favreau. 1

2 P. Dublanchet Table des matières 1 Contexte tectonique de la zone d étude Le Golfe de Corinthe dans la Mediterranée orientale Morphologie du Golfe Sismicité et séisme de Grands séismes Microsismicité Observations géodésiques Structures en profondeur Géométrie et caractéristiques mécaniques de la sismicité à Corinthe. 8.1 Géométrie du nuage Tailles de sources Principe de la détermination de la taille de source Calcul du spectre de l onde P Résultats : tailles des sources Chute de contrainte Étude statistique de la sismicité Séquences Direction de glissement Conclusions sur les caractéristiques des séismes étudiés Modélisation du comportement mécanique de deux aspérités. 3.1 Loi de friction rate and state Description du modèle Dynamique d une aspérité seule Interaction de deux aspérités Discussion References 33

3 Analyse mécanique d aspérités à Corinthe. 3 Introduction Le Golfe de Corinthe est un rift continental dont l activité sismique est très importante. Ce rift est bordé au sud par un certain nombre de failles normales d une dizaine de kilomètres de long. Sept séismes de magnitude autour de 6 ont été ressentis dans le Golfe depuis trente ans. L un des plus récents est celui d Aigion en 1995 qui a rompu un segment de faille à faible pendage (1 N). L épicentre de ce séisme se situe au niveau de la rive nord du Golfe et la nucléation s est produite aux environ de 1 km de profondeur (Bernard et al., 1997). De plus, l analyse de la microsismicité (Bernard et al., 1997) et les expériences de tomographie et de relocalisation effectuées dans la région (Latorre et al., ) indiquent que la sismicité se concentre entre 5 et 1 km de profondeur sous le Golfe, et l ensemble des séismes forme une structure à léger pendage nord. Cette zone sismogène est souvent interprétée comme une zone de détachement qui accomode l extension à travers le rift. L analyse de la microsismicité au niveau de cette zone sismogène à Corinthe présente donc une grande importance d une part pour la compréhension des processus mécaniques qui accomodent l extension et d autre part pour parvenir à faire le lien entre microsismicité et grands séismes, comme celui d Aigion. Les questions importantes à résoudre sont par exemple celle de la nature de la déformation dans cette zone de cisaillement sous l effet de l extension en l absence de grands séismes. Cette déformation constitue un forçage pour la microsismicité. Que peut on déduire de la nature de ce forçage par l analyse de la taille et du glissement dans le temps des aspérités? est-il continu comme dans le cas d un glissement asismique, où est il au contraire discontinu? Cela revient à se demander si la sismicité est répartie de manière plus où moins homogène dans le temps, ou si au contraire elle apparaît sous forme de séquences. De plus il est nécessaire d envisager quelle est la part de cette microsismicité qui est déclenchée par interactions mécaniques entre aspérités. Il est également possible d obtenir des informations sur les échelles spatialles de ce forçage en analysant la taille des sources sismiques et leur répartition dans l espace. Il est également possible d en déterminer des propriétés mécaniques en termes de répartition de contraintes, et de propriétés de friction. Dans cette étude, une analyse fine des caractéristiques des sources est menée au niveau d un nuage de sismicité près de la zone de nucléation du séisme de Cette étude est basée sur la relocalisation fine effectuée par Sophie Lambotte des évènements enregistrés dans la partie ouest du Golfe de Corinthe par le réseau Corinth Rift Laboratory (CRL) entre et 7 (Bernard et al., 6). Cette analyse comporte une étude globale de la répartition des évènements dans l espace et dans le temps, puis une analyse plus particulière de quelques aspérités, en vue d en déterminer la taille, le comportement dans le temps et quelques propriétés mécanique. En dernier lieu, quelques résultats d un modèle numérique de glissement faisant intervenir une loi de friction de type rate and state (Dieterich, 1979) sont présentés dans l optique d une meilleure compréhension de la dynamique de ces aspérités au cours de leur rupture. 1 Contexte tectonique de la zone d étude. 1.1 Le Golfe de Corinthe dans la Mediterranée orientale. Le Golfe de Corinthe se situe en Grèce au niveau de la Méditerranée orientale. Les ensembles tectoniques majeurs de cette zone sont montrés sur la figure 1. Au sud de la Crète, une zone de subduction sépare le domaine égéen de la plaque africaine au sud. Au nord, cette zone est limitée par la faille décrochante nord-anatolienne, à l est par la faille est-anatolienne et la faille du Levant. Les observations géologiques au niveau du domaine égéen (cartographie des failles et des

4 P. Dublanchet zones de cisaillement), ainsi que les données géodésiques (Flerit et al., ), indiquent que cette zone est en extension depuis environ 15 Ma. Cette extension est liée au retrait vers le sud de la fosse de subduction héllénique. Ces données indiquent également que plus à l est, la convergence entre Europe et Arabie provoque l extrusion vers l ouest d un bloc relativement rigide (du point de vue des observations GPS), appelé Anatolie. Le mouvement relatif dextre entre Europe et Anatolie est accomodé par la faille décrochante nord-anatolienne. L extrusion de l Anatolie s ajoute au retrait de la fosse de subduction au niveau de la mer Égée et de la Grèce continentale. FIG. 1 Carte de la Méditerranée orientale. Les frontières tectoniques majeures sont représentées par les traits noirs. NAF : Faille nord-anatolienne. EAF : Faille est-anatolienne. DSF : Faille du Levant. La rotation du bloc anatolien est représentée par la flèche noire. Les domaines en extension depuis 15 Ma sont représentés en jaunes. La direction d extension en mer Égée est indiquée par les flèches jaunes. Les parties en rouges indiquent les fossés où l extension est accentuée par le jeu de la faille nord-anatolienne. Les flèches rouges représentent les vecteurs GPS par rapport à l Eurasie fixe (McClusky et al. ). Les cercles roses représentent les épicentres des séismes de magnitude supérieure à 6 depuis trente ans. D après (Flerit et al. ). L extension résultante en Grèce est accomodée par une série de rifts continentaux de direction est-ouest : le fossé nord-égéen, la fossé d Evvia et le Golfe de Corinthe. D après (Armijo et al., 1996), ces structures sont associées à l interaction entre le retrait de la fosse de subduction et la terminaison de la faille nord-anatolienne en mer Égée. Ceci a pour effet d accentuer l extension au niveau de ces rifts.

5 Analyse mécanique d aspérités à Corinthe Morphologie du Golfe. À plus petite échelle, le Golfe de Corinthe est un graben assymétrique d axe est-ouest délimité au sud par des failles normales. Les structures principales du Golfe sont représentées sur la figure. FIG. Carte du Golfe de Corinthe. Les failles actives ont été cartographiées par (Armijo et al. 1996). Les mécanismes au foyer sont ceux des séismes majeurs du Golfe. D après (Bernard et al. 1997). Le sud du Golfe est délimité par des failles normales à fort pendage vers le nord (environ 5 à 6 ), comme l indique un forage situé près de la ville d Aigion ((Bernard et al., 6)). L analyse et la datation effectuées par (Armijo et al., 1996) d anciennes terrasses marines soulevées dans la région de Xylokastro, au sud-est du Golfe, indiquent que le mouvement normal sur la faille de Xylokastro au cours du dernier million d années est au moins de l ordre de 1 mm par an, créant un soulèvement d environ.1 mm par an de la partie sud du Golfe. Cela correspond à une valeur dix fois plus élevée que celle habituellement observées au niveau de rifts continentaux. Ces failles normales recoupent d anciennes structures d axe nord-sud qui correpondent aux chevauchements des nappes de la chaîne hellénique. Le fossé est rempli de sédiments synrift, d une épaisseur d au moins 1 km. La côte nord du Golfe présente une morphologie moins rectiligne, sans failles en surface sauf dans la partie ouest du Golfe. Dans la partie ouest du Golfe, près de la ville d Aigion (figure ), les failles principales constituent un système en échelon : faille de Psathopyrgos, de Kamarai, faille offshore faille d Aigion et d Helike. La faille de Trizonia est à pendage sud. 1.3 Sismicité et séisme de Grands séismes. Le Golfe de Corinthe est une zone où l activité sismique est importante. Plusieurs séismes de magnitude supérieure à six ont eu lieu dans la région. Depuis ans, ces séismes ont principalement eu lieu dans la partie orientale du Golfe : Eratine en 1965 (Mw 6.3), Antikyra en

6 6 P. Dublanchet 197 (Mw 6.), Galaxidi en 199 (Mw 5.8) et Aigion en 1995 (Mw 6.). Les épicentres et les mćanismes au foyer de ces séismes sont représentés sur la figure. De plus, trois séismes de magnitude supérieure à six ont eu lieu en 1981 dans la partie la plus orientale du Golfe. Un certain nombre de séismes historiques sont également connus (1861, 1888, 199, 1917). Toutefois, les failles à l origine de ces séismes ne sont pas toujours connues, à l exeption des séismes de 1861 et de 1888 qui ont rompu des segments des failles d Aigion et d Helike. Le mécanisme au foyer et la géométrie de la rupture d Aigion le 15 Juin 1995 ont été étudiés par (Bernard et al., 1997), à partir de données sismologiques, de GPS et d Interférométrie Radar. Selon les auteurs, la faille qui a rompu se trouve à l aplomb de la partie nord du Golfe et présente un pendange d environ 35 vers le nord-nord-est. Le mécanisme est celui d une faille normale. Ce type de rupture n a pas affecté les failles de la partie sud du Golfe (Aigion, Helike), et la faille à l origine de ce séisme présente un pendage très faible par rapport à celui de failles normales plus classiques. Les auteurs proposent que ce type de rupture, qui contraste fortement avec celui observé par (Jackson et al., 198) pour les séismes de 1981 est relativament récent dans le Golfe. Un mécanisme de ce type, avec une faille normale à très faible pendage est également proposé pour le séisme de Galaxidi en 199. Une explication mécanique possible pour ce type de rupture serait une friction diminuée par la présence de fluides, où une rotation locale des contraintes maximales Microsismicité. La microsismicité a été étudiée et relocalisée dans le Golfe par (Bernard et al., 6). Celle ci permet d obtenir une image des structures en profondeur. Quelques résultats pour la période -1 sont présentés sur la figure 3 FIG. 3 Coupe verticale orientée 1 N près de la zone d Aigion sur la figure. L axe vertical est en km. Les points noirs représentent la sismicité entre et 1. Les traits noirs correspondent aux failles majeures. A : faille d Aigion, H : faille d Helike, O : faille offshore, T : faille de Trizonia. Les pointillés délimitent la zone sismogène. Les points rouges représentent la localisation des stations. Le trait bleu donne l extension du Golfe en surface. D après (Bernard et al. 6). La microsismicité se localise en majorité dans une bande à faible pendage nord, entre 5

7 Analyse mécanique d aspérités à Corinthe. 7 et 9 km de profondeur. Les failles normales du sud du Golfe apparaissent comme bloquées. Cette bande de sismicité à faible pendage est interprétée comme une zone de détachement accomodant l extension à travers le Golfe. L analyse de cette microsismicité sur une période de temps plus longue (entre et 7) a été effectuée par Sophie Lambotte. Une image de cette sismicité est représentée sur la figure. 1 SER KAL TRZ PAN PSA y (km) 1 LAK AGE DIM ALI TEM KOU ELE AIO N x (km) FIG. Carte de la partie ouest du Golfe de Corinthe. Les côtes sont indiquées avec le trait noir épais, les failles par les traits noirs fins, les stations avec les triangles rouges, et le nord par la flèche verte. Les épicentres de la sismicité entre et 7 sont représentés par les points bleus. Le cadre noir indique la zone de la rupture du séisme de 1995, déterminée par (Bernard et al. 1997). Le cercle vert indique l épicentre du séisme de Cette sismicité se localise encore une fois sur une bande étroite, entre 5 et 1 km de profondeur. Sur la figure 3, la sismicité se localise au même niveau dans la croûte que le séisme d Aigion. L analyse des caractéristiques de cette microsismicité se fait donc dans la perspective de comprendre le fonctionnement d une zone qui peut générer des séismes importants. 1. Observations géodésiques. Les mesures GPS effectuées entre 199 et 1 par (Avallone et al., ) indiquent que l extension actuelle à travers le Golfe est accomodée par une région très étroite, de l ordre d une vingtaine de kilomètres. L extension entre partie nord et partie sud du Golfe augmente d est en ouest entre 11 et 16 mm.an 1. Cette dernière valeur est obtenue au niveau de la ville d Aigion. D après les auteurs, la déformation interne au sein du Pélloponèse est inférieure à la l erreur sur les mesures. 1.5 Structures en profondeur. Les observations sismologiques mettent clairement en évidence l existence d une couche sismogène entre 5 et 1 km de profondeur à léger pendage nord. D autre part, un modèle ex-

8 8 P. Dublanchet pliquant les données GPS de surface fait intervenir une dislocation à l intérieur de cette zone sismogène avec le même pendage et un glissement d environ 11 mm.an 1 Afin d obtenir la structure profonde en vitesse dans la partie ouest du Golfe, plusieures expériences de tomographie passive ont été réalisées dans la région, avec des données de 1991 (Latorre et al., ) et des données de (Gautier et al., 6). Les auteurs mettent en évidence une structure en deux couches est probable. Une couche superficielle de 5 km d épaisseur de faible vitesse (. à.8 km.s 1 pour les ondes P) recouvre une couche de vitesse plus élevée (6 à 7 km.s 1 pour les ondes P entre 5 et 9 km). Cette deuxième couche concentre une grande partie de la sismicité observée par (Bernard et al., 6). Cette structure en deux couches est interprétée comme la zone de contact entre la nappe de carbonates du Gavrovo-Tripolitza (couche superficielle) et la nappe des Phyllades constituée de silicates (couche sismogènique). L essentiel de la sismicité se concentre dans cette deuxième couche, de rhéologie plus faible. D autre part l analyse des rapports V p /V s montre qu à l aplomb de la rive nord du Golfe, la sismicité coincide avec une zone de fort V p /V s, sans doute liée à la présence de fluides, d origine métamorphique. Une caractéristique majeure qui apparaît dans toutes les observations géophysiques de la partie occidentale du Golfe de Corinthe est donc la présence d une zone de microsismicité permanente, localisée entre 5 et 1 km de profondeur et présentant un léger pendage vers le nord. Cette couche sismogène présente une faiblesse rhéologique, liée à sa nature lithologique et à la présence de fluide. Cette zone, interprétée comme un détachement accomode l extension à travers le rift. Afin de mieux comprendre les mécanismes en jeux lors de l extension, il est nécessaire d analyser finement la sismicité dans cette zone. Celle ci peut nous renseigner sur la nature et la géométrie des structures qui provoquent cette sismicité, mais également sur le taux de déformation à l intérieur de cette zone de détachement. De plus, l analyse de la forme et du comportement des sources sismiques dans le temps permet d obtenir des renseignements sur le comportement mécanique de ces structures et sur la nature de leur forçage, c est à dire sur le moyen par lequel l extension est accomodée en profondeur. Il est également intéressant d utiliser ces analyses pour déterminer le rapport entre microsismicité et grands séismes au sein du Golfe. Géométrie et caractéristiques mécaniques de la sismicité à Corinthe. La sismicité enregistrée entre et 7 par le réseau CRL a été relocalisée par Sophie Lambotte et est représentée sur la figure. Par la suite, les caractéristiques de la sismicité dans le Golfe sont détaillées dans un nuage d évènements se situant près du centre du Golfe, à l est du nuage de sismicité représenté sur la figure, à l aplomb de la rive nord (figure 5). Ce nuage se situe aux alentours de 1 km de profondeur, en bordure de la zone de rupture du séisme de Cette analyse a pour but d identifier des structures majeures qui pourraient être à l origine de la sismicité et d en tirer des conclusions relatives au comportement mécanique de ces structures. Une question importante à résoudre est celle du nombre et de la disposition des sources : existe-t-il une structure bien définie (plan de faille) sur laquelle se concentre la sismicité, où au contraire la sismicité est-elle distribuée de manière aléatoire? D autre part si l on considère qu un séisme est du à la rupture d une aspérité, il est nécessaire d étudier le nombre d aspérités, leur taille, leur disposition dans l espace, leur recouvrement éventuel. De plus, l étude du comportement de ces aspérités au cours du temps permet de se poser la question du forçage de ces aspérités : peut on considérer que toutes les aspérités réagissent de manière isolée à un

9 Analyse mécanique d aspérités à Corinthe. 9 forçage extérieur ou existe-t-il une interaction mécanique entre les aspérités? De plus, il est nécessaire d envisager la nature du forçage de ces sources : glissement asismique environnant, évènement régionnal de magnitude plus élevée, effets locaux dus à la pression de fluide dans le milieu. Cette analyse permet en outre d obtenir une idée grossière de certaines propriétés mécaniques moyennes de ces aspérités, telles que la chute de contrainte, le glissement moyen. À plus grande échelle et à plus long terme, le comportement d un tel nuage peut avoir des conséquences sur la zone qui a rompue lors du séisme de 1995 (figure 5) : cette sismicité peut charger où décharger mécaniquement cette zone suivant les caractéristiques du glissement au sein du nuage (orientation, amplitude)..1 Géométrie du nuage. Afin d évaluer précisément la géométrie du nuage, les évènements de la base de données ont été relocalisés par doubles différences selon la méthode développée par (Waldhauser & Ellsworth, ). Cette méthode permet de relocaliser de manière précise des évènements les uns par rapport aux autres. Dans un premier temps, les évènements sont regroupés en multiplets. Un multiplet est constitué de plusieurs évènements présentant des formes d ondes semblables à une même station, ce qui implique que leurs sources sont proches dans l espace et que les mécanismes au foyer de ces évènements sont similaires. Un exemple de traces sismiques correspondant à un même multiplet est présenté sur la figure 6. Cette reconnaissance de formes d onde similaires est effectuée de manière automatique, en fixant un seuil de cohérence entre les traces sismiques comparées. Si pour deux évènements, la cohérence des traces est supérieure à un certain seuil et ce pour plusieures stations différentes, PAN PSA y (km) N x (km) FIG. 5 Carte de la parie centrale du Golfe de Corinthe. Les côtes sont indiquées avec le trait noir épais, les failles avec le trait noir fin, les stations avec les triangles rouges, et le nord par la flèche verte. Les épicentres des séismes sont représentés par les points bleus. Le cadre vert montre le le nuage de sismicité étudié. Le cadre noir indique la zone de la rupture du séisme de Le cercle vert indique l épicentre du séisme de 1995.

10 1 P. Dublanchet alors ces deux évènements seront classés dans le même multiplet. Dans un deuxième temps, la relocalisation relative est effectuée entre évènements d un même multiplet. Les données du problème inverse sont : les pointés des ondes P et des ondes S, les différences de temps d arrivée pour deux évènements obtenus par cross-corrélation des ondes P et des ondes S. L utilisation de différences de temps de trajet permet de s affranchir du modèle de vitesse utilisé. En effet, les rais issus de deux évènements suffisamment proches sont affectés de la même manière par les héterogénéités de vitesse dans le milieu traversé. Ainsi, la différence de temps de trajet entre deux évènements proches est uniquement due à la distance entre ces deux évènements, selon la direction du rai. Cela améliore considérablement la qualité de la relocalisation relative des évènements. En revanche, la localisation absolue de l ensemble est moins précise. Selon (Waldhauser & Ellsworth, ) l erreur sur la localisation relative diminue au niveau du mètre, alors que la localisation absolue est en générale, pour la microsismicité, supérieure à la taille de source. La résolution du problème inverse est effectuée par deux méthodes différentes : par une méthode de type SVD (Singular Value Decomposition), où par moindres carrés. La relocalisation a été effectuée par Sophie Lambotte avec le logiciel HypoDD. Plusieures relocalisations ont été effectuées en changeant le seuil de cohérence pour la définition des multiplets. Lorsque le critère de cohérence est peu restrictif, cela revient à classer tous les évènements dans peu de multiplets différents. En revanche, plus le critère est restrictif, plus le nombre de multiplets crées est important. Une vue du nuage en trois dimensions est donnée sur la figure 7 à gauche, dans le cas où tous les évènements sont classés dans le même multiplet. Sur la figure 7 à droite, en revanche, le critère de cohérence sur les évènements est plus fort, et davantage de multiplets sont crées. Les évènements sont relocalisés de manière précise au sein des multiplets, mais la position relative des multiplets n est pas aussi précise, notamment selon la verticale. Le fait d utiliser un plus grand nombre de multiplets change donc la géométrie du nuage. Le plan principal est remplacé par un plus grand nombre de petits plans secondaires, ayant chacun la même orientation. Chacun de ces plans correspond à un multiplet. Dans tous les cas une grande partie des évènements du nuage se répartissent sur un plan, comme le montre la figure 7. Les paramètres de ce plan (azimut et pendage) sont évalués par régression en tenant compte de l incertitude sur la position. Pour cela, un algorithme de type FIG. 6 Traces sismiques de deux évènements enregistrés à la station PAN. Ces traces représentent la vitesse du sol. Elles ont été filtrées entre 3 et 1 Hz, et leur amplitude a été normalisée par la valeur maximale de la vitesse.

11 Analyse mécanique d aspérités à Corinthe z (km) N E y (km) profondeur en km distance n s (vers n) en km x (km) distance e w (vers e) en km FIG. 7 Gauche : Vue de l ensemble des évènements en trois dimensions. Les points bleus indiquent les localisations obtenues en plaçant tous les évènements dans le même multiplet. L incertitude sur la localisation est de l ordre du mètre, inférieure à la taille des points sur la figure. L orientation de la figure est donnée par les flèches vertes. L axe vertical représente la profondeur. Droite : Évènements de la zone étudiée, relocalisés dans le cas où plusieurs multiplets sont crées. Les symboles correspondent à des multiplets différents dont le numéro est indiqué dans le cadre en haut à gauche. 5 indique les évènements faisant partie de multiplets à moins de 5 évènements. Newton est utilisé. Le problème direct est donné par l équation cartésienne d un plan : z = a x + b y + c, (1) où le triplet (x, y, z) sont les coordonnées du point en (E, N, Z), et (a, b, c) des constantes. Avec une équation de plan de ce type, le pendage δ est donné par : δ = arccos a + b, () et l azimut α du plan par : arctan b a si a > α = (π + arctan b a ) si a < et b > π arctan b a si a < et b <. (3) Les paramètres recherchés sont l azimut et le pendage. Pour cela, les paramètres a, b et c sont d abord déterminés par l algorithme de Newton. Le modèle à priori choisi pour l algorihme est donné par (,, ) pour (a, b, c) et par les résultats de la localisation pour les autres paramètres. Les incertitudes sur le modèle à priori sont données par les incertitudes sur la localisation, et sont infinies pour (a, b, c). L incertitude sur la position est modélisée par une densité de probabilité gaussienne. L incertitude à postériori sur les paramètres du modèle déterminé est modélisée pour chaque paramètre par une distribution gaussienne. Cette distribution est ensuite échantillonnée pour déterminer la distribution des valeurs possibles de pendage et d azimut. Ce processus a été effectué à deux reprises, la première fois en incluant tous les évènements dans le cadre vert de la figure 5, la deuxième fois en excluant les évènements les plus éloignés de la structure en plan observée sur la figure 7 (gauche). Dans le deuxième cas, le plan ainsi trouvé est plus représentatif de la structure. Ce plan a pour azimut.6 N ±.3 et pour pendage 38.5 NE ±.1.

12 1 P. Dublanchet. Tailles de sources...1 Principe de la détermination de la taille de source. La taille caractéristique des sources sismiques peut être déterminée à partir du spectre en déplacement de l onde P reçue à une station. Un spectre d un évènement est représenté sur la figure 8. FIG. 8 Amplitude du spectre en déplacement pour l onde P d un séisme enregistré à la station PSA en fonction de la fréquence f. Les lignes rouges représentent l enveloppe du spectre. Mo est le moment sismique qui correspond à l amplitude du spectre à fréquence nulle. fc est la fréquence coin. L enveloppe du spectre d un séisme présente toujours une partie plate d amplitude proportionelle au moment sismique, suivie d une décroissance en f à partir de la fréquence coin. Vers les plus hautes fréquences, la décroissance est plus rapide à cause de l atténuation des ondes de volumes, plus importante à haute fréquence. Le principe de l évaluation de la taille caractéristique de la source est de considérer que la fréquence coin donne un ordre de grandeur de l inverse de la durée de la source. Pour montrer cela considérons le modèle suivant. Il est possible d assimiler ces sources à des dislocations dans un milieu élastique. Le rayonnement du à une dislocation est équivalent à celui d un double couple de forces. En champ lointain, c est à dire lorsque la distance à la source est très supérieure à la longeur d onde caractéristique des ondes émises, le rayonnement d une telle source, pour les ondes P est donné par (Aki & Richard, ) et a pour forme : u r (r, t) = 1 R p πρα 3 r Ṁ(t r ), () α où u r correspond au déplacement radial à une distance r de la source et à l instant t. α est la vitesse des ondes P dans le milieu de densité ρ. R p correspond au diagramme de rayonnement pour les ondes P et Ṁ représente le taux de moment sismique à la source. Le spectre u r () à fréquence nulle de ce déplacement est donné par : ũ r () = ce qui donne en utilisant l expression : + u r (r, t)dt, (5) ũ r () = 1 R p πρα 3 M. (6) r

13 Analyse mécanique d aspérités à Corinthe. 13 L amplitude spectrale à fréquence nulle est bien proportionelle au moment sismique M. En considérant qu une source sismique correspond à un plan de faille de longeur fini constitué par la somme de ces sources élémentaires, le déplacement observé sera la somme de déplacements élémentaires donnés par la relation. Il existe un certains nombre de modèles cinématiques de ce type, comme le modèle de (Haskell, 196), où un front de rupture se propage le long d un plan de faille à vitesse constante. Le front de rupture correspond à un ensemble de points qui se mettent à glisser et qui au bout d un certain temps appelé temps de montée atteignent un glissement maximal. Chacun de ces points émet des ondes sismiques, dont l effet est donné par l équation. Il est possible de montrer que le spectre temporel du déplacement total oservé dans un tel modèle est du type : ũ r ( f ) = ũr() 1 + ( f f c ), (7) où u r représente l amplitude de la transformée de Fourrier du déplacement à la fréquence f. f c est une constante appelée fréquence coin. En représentation logarithmique, elle marque la fréquence au dela de laquelle le spectre décroit en amplitude. Cette fréquence est proportionelle à l inverse de la durée T de rupture : f c = 1 T. (8) Si comme dans le modèle de Haskell la vitesse de rupture v r sur la source est considérée constante, la durée de la source, et donc la fréquence coin donne accès à la taille L de la source : L = v r f c. (9).. Calcul du spectre de l onde P. La détermination de la fréquence coin passe par le calcul du spectre de l onde P. Les propriétés des sismomètres utilisés sont présentées sur le tableau... type d instrument type de mesure fréqunce f e d échantillonnage fréquence propre Mark Products L-D 3 composantes vitesse du sol 15 Hz Hz Les étapes de ce calcul sont, pour chaque évènement et chaque station : Selection de l onde P sur la composante verticale du déplacement. Une fenêtre de 1 s est utilisée pour éviter le signal de l onde S. Le début de cette fenêtre est.15 s avant l arrivée de l onde P, qui a été pointée de manière automatique. Retrait de la tendance linéaire Apodisation : multiplication par une fenêtre de type Tuckey afin de lisser les extremités du signal Calcul de la transformée de fourrier entre 1 Hz (inverse de la durée d observation) et f n = 6.5 Hz (fréquence de Nyquist f n =.5 f e )

14 1 P. Dublanchet Déconvolution de la réponse instrumentale. Celle ci est effectuée en domaine fréquentiel, par division du spectre par la réponse instrumentale T en déplacement de l appareil. Cette dernière est calculée à partir des deux pôles et des deux zéros du sismomètre et a pour forme : (iω) T(iω) = 3 C (1) (iω p 1 )(iω p ) où ω représente la pulsation, p 1 et p les pôles de l instrument, et C est la constante du sismomètre. Cela permet en outre d obtenir un spectre en déplacement, car la division du spectre par iω est effectuée simultanément. Filtrage en domaine fréquentiel. En effet, la déconvolution ajoute du bruit à basse fréquence. Il est nécessaire de multiplier le spectre par la réponse du filtre. ce dernier est un filtre de type Butterworth du second ordre dont la réponse B a pour forme : B(iω) = (iω) (iω) + iωω + ω (11) où ω = π f est la pulsation de coupure du filtre. f est la fréquence de coupure et vaut 1.5 Hz. En somme, si TF(iω) est la transformée de Fourrier du signal, le spectre S(iω) est donné par : S(iω) = TF(iω)B(iω). (1) T(iω) Ces différentes étapes sont schématisées sur les figures 9 et 1. v (m/s) 7.8 x P S t (s) v (m/s) t (s) FIG. 9 Haut : trace d un évènement enregistré à la station PSA. v est la vitesse mesurée en mètres par seconde, t est le temps en secondes. Les étoiles rouges délimitent la fenêtre dans laquelle se trouve l onde P. Bas : La courbe verte représente la trace dans la fenètre de la figure du haut, moins la tendance linéaire du signal. La courbe rouge représente cette même trace après apodisation.

15 Analyse mécanique d aspérités à Corinthe Amplitude Mo 1.5 fcmin fcmax f (Hz) FIG. 1 La courbe bleue représente l amplitude du spectre en vitesse. La courbe noire représente l amplitude du spectre en déplacement après déconvolution de la réponse instrumentale. La courbe rouge représente cette même amplitude après filtrage des basses fréquences. Les droites pointillées noires représentent l enveloppe du spèctre en f. Les droites vertes indiquent le pointé des fréquences minimales et maximales. Une fois le spectre obtenu, les fréquences coin sont pointées manuellement pour chaque évènement et chaque station. Dans chaque cas, une fréquence minimale et une fréquence maximale sont évaluées comme indiqué sur la figure 1. Puis la moyenne sur toutes les stations est effectuée pour chaque évènement...3 Résultats : tailles des sources. La taille des sources est calculèe à partir de la fréquence coin gràce à la formule 9, en utilisant une vitesse de rupture de v r =.5 ±.5km.s 1, si l on considère que celle ci est de.8 à.9 fois la vitesse des ondes S. Les résultats sont présentés sur la figure 11, en considérant une géométrie circulaire et que la taille déterminée correspond au diamètre de la source, c est à dire une rupture qui se propage de manière unilatérale (la rupture commence sur un bord de la source et se propage vers l autre extremité ). Les tailles obtenues seraient deux fois plus importante si le mode de rupture était bilatéral, c est à dire si la rupture commençait du centre de la source pour se propager vers les extrèmités. Sur la figure 11, les tailles de sources obtenues à partir de la magnitude sont calculées en utilisant les relations suivantes données par (Abercrombie, 1995) et (Kanamori & Anderson, 1975) : M w =.67 log M 6 M = σ L 3, (13) où M w est la magnitude de moment, M le moment sismique, σ la chute de contrainte fixée à 1 MPa et L la taille de la source.

16 16 P. Dublanchet N 3 y (km).5 PAN x (km) FIG. 11 Tailles de sources dans la région indiquée sur la figure 5. La flèche verte indique la direction du nord. Le triangle rouge indique la station PAN. La ligne noire indique la ligne de côte. Les points bleus indiquent les localisations. Les cercles noirs indiquent un ordre de grandeur de la taille de source déduite de la fréquence coin. Les cercles rouges indiquent la taille de source déduite de l estimation du moment sismique. L erreur sur la localisation (de l ordre du mètre) est très inférieure à la taille de source..3 Chute de contrainte. L estimation conjointe de la taille de source par la fréquence coin et du moment sismique permet d obtenir une information sur la chute de contrainte lors de la rupture des sources considérées. La fréquence coin a été estimée dans le paragraphe précédent et le moment sismique a été calculé à partir du niveau de l amplitude spectrale à basse fréquence lors de la relocalisation. La fréquence coin et la taille de source sont reliés par la vitesse de rupture comme l indique l équation 9. Le moment sismique M est relié à la taille de source par la chute de contrainte par la relation 13. Cela donne donc : log M = 3 log f c + log σv 3 r, (1) où f c est la fréquence coin et v r la vitesse de rupture sur l aspérité. Cette dernière étant fixée à.5 km.s 1, la représentation de log(m ) en fonction de log ( f c ) permet d évaluer la chute de contrainte sur ces aspérités. Les résultats sont présentés sur la figure 1. Les résultats présentés sur la figure 1 indiquent qu une chute de contrainte très faible, de l ordre de.1 Mpa est nécessaire pour expliquer les tailles de source, si l on considère une rupture unilatérale. Dans le cas d une rupture bilatérale, la taille de source est fois plus grande et la chute de contrainte alors obtenue est divisée par 3 d après l équation 1, ce qui donne une chute de contrainte minimale de.15 MPa. De plus il est nécessaire de tenir compte de la variation possible de vitesse de rupture évoquée dans le paragraphe précédent. Cela nous amène à une chute de contrainte comprise entre.9 MPa et.13 MPa. D autre part un modèle à chute de contrainte constante n est sans doute pas idéal pour rendre compte des données et un modèle où la chute de contrainte varie avec la taille de l aspérité est peut être plus valable.

17 Analyse mécanique d aspérités à Corinthe log fc (Hz) log mo (N.m) FIG. 1 Diagramme log-log du moment sismique M en fonction de la fréquence coin f c. Les points bleus correspondent aux mesures de fréquence coin. La courbe rouge donne la régression linéaire de ces données. La courbe noire correspond à un modèle de chute de contrainte constante fixée à.1 MPa, la courbe violette à un modèle où la chute de contrainte est proportionnelle à la taille de l aspérité, et la courbe verte à un modèle où la chute de contrainte est proportionnelle au carré de la taille de l aspérité. L existence d une faible chute de contrainte peut être expliquée par la présence de fluide : la pression de pore peut rapprocher ces aspérités du seuil de contrainte de coulomb. Toutefois, les observations sur les fréquences coin sont assez limitées vers les hautes fréquences, et il est difficile de déterminer une taille de source faible, en dessous de 5 m, ce qui correspond à une fréquence coin de 5 Hz. En effet au dela, le spectre est dominé par des effets d atténuation. Les tailles de sources obtenues peuvent être dans un certain nombre de cas surestimées, ce qui expliquerait cette faible chute de contrainte.. Étude statistique de la sismicité. Afin d étudier les interactions entre séismes, une variable importante est l intervalle de temps séparant deux séismes. Il est possible de traiter cette variable de manière statistique (Hainzl et al., 6). Un histogramme des intervalles de temps séparant deux évènements successifs est représenté sur la figure 13, pour tous les évènements présentés sur la figure 5. Cette analyse montre que la distribution des intervalles de temps successifs peut être décrite par une densité de probabilité de type loi gamma de la forme : f (r) = Cr (γ 1) exp ( r ), (15) β où r est le rapport entre l intervalle de temps dt et l intervalle de temps moyen de l ensemble t, et C, γ, β sont des constantes. Si le paramètre γ vaut 1, la distribution est de type poissonienne, c est à dire que tous les intervalles de temps sont présents dans les mêmes proportions, et la courbe représentative de cette loi présente un plateau avant sa décroissance exponentielle. En revanche, si γ est proche de, ce plateau disparait, la courbe est décroissante, et l on a une plus

18 18 P. Dublanchet 1 seuil donnees loi gamma 3 log densite log dt (s) FIG. 13 Histogramme log-log des intervalles de temps successifs pour tous les évènements de la parie centrale du Golfe (figure 5). L histogramme est représenté par la courbe bleue. La droite rouge indique le seuil de densité en dessous duquel le compte n est pas significatif (moins d un évènement par catégorie). La courbe noire représente une fonction gamma représentative des données. Les paramètres de cette fonction sont C = 5.1 6, β =.9, t =.59 ans et γ =.3 (voir texte pour la signification des paramètres). grande proportion d intervalles de temps courts que d intervalles de temps longs. C est le cas dans la zone étudiée où l on trouve γ =.3. Cette prépondérance des intervalles de temps courts peut être expliquée par le fait que les processus d interaction mécanique entre aspérités jouent un rôle dans le déclenchement des sources. Une autre façon d envisager l analyse de la distribution des intervalles de temps dans l ensemble du nuage est d évaluer la distribution des intervalles de temps entre toutes les paires de séismes, par rapport à la distance entre les deux sources et leur taille respective. La figure 1 résume les résultats obtenus dans ce cas, pour le nuage dont les tailles de sources et la géométrie ont été étudiés (cadre vert sur la figure 5). Les résultats présentés sur la figure 1 indiquent que les couples de séismes ne se répartissent pas de manière homogène dans l espace temps distance, dans les domaines considérés (jusqu à quelques dizaines de tailles de source en distance, et sur les 7 ans d observation). La distribution des intervalles de temps montre comme dans l analyse précédente une prépondérance d intervalles de temps courts. D autre part, le détail de la distribution des couples dans l espace intervalle de temps distance montre que la densité est supérieure à la moyenne pour des intervalles de temps inférieurs à la journée et pour des distances inférieures à un diamètre de source. Entre 1 jour et 3 jours et pour des distances de l ordre de fois la taille de source, on trouve relativement peu de couples, et la densité normale se retrouve au dela de ces limites, pour des distances et des intervalles de temps plus longs. Si l on regarde aux intervalles de temps plus longs (de l ordre de 1 an comme sur la figure 1 en haut à droite), on peut observer une légère diminution de la densité, surtout pour des distances de l ordre de 1 à fois la taille de source. Cela expliquerait la diminution observée dans l histogramme en bas à gauche. Pour des distances plus faibles, en dessous de 1 tailles de sources, la distribution est plus homogène. Ces observations peuvent être liées à l existence d une distance d influence caractéristique dans l interaction entre les aspérités, qui serait de l ordre de la taille de source. Pour des dis-

19 d/(r1+r) d/(r1+r) Analyse me canique d aspe rite s a Corinthe dt (an) 6 5 d/(r1+r) 5 n dt (an) 3 1 dt (an) dt (an) F IG. 1 Haut gauche : repre sentation de tous les couples d e ve nements dans l espace intervalle de temps distance dt, d. La distance est normalise e par rapport aux rayons R1 et R des deux aspe rite s, calcule s a partir de la fre quence coin. Haut droite : de tail de la figure de gauche aux intervalles de temps et distances plus courts. Bas droite : de tail de la figure de gauche en haut aux intervalles de temps et distances tre s courts. Bas gauche : distribution des intervalles de temps. L ensemble des e ve nements conside re s est celui repre sente sur la figure 5 dans le cadre vert. tances supe rieures, l interaction entre aspe rite s pourrait jouer un ro le moins important qu un autre type de forc age me canique (glissement asismique, effets de pression de pore). Cela est toutefois de pendant des distances conside re es : pour des intervalles de temps de l ordre de l anne e, la pre ponde rance d intervalles de temps courts, et donc de processus d interactions me caniques serait plus marque e pour des distances de l ordre de 1 a fois la taille de source..5 Se quences. Apre s avoir analyse les caracte ristiques statistiques de la sismicite, il est possible d e tudier plus en de tail les processus de rupture au sein du nuage. Dans un premier temps, des se quences sont isole es, c est a dire des ensembles d e ve nements qui sont groupe s dans l espace et dans le temps. Les re sultats de ce tri sont pre sente s sur la figure.5. Les diffe rentes se quences repe re es regroupent en majorite des e ve nements qui se trouvent sur le plan majeur de la structure. Les se quences 1 et 3 se trouvent en dehors de cette structure. La succession dans le temps des diffe rents e ve nements au sein de chaque se quence est pre sente e figure.5. Les se quences ont des dure es de l ordre du mois pour les plus courtes (se quence 1, ou 3), a quelques mois voire une se quence de ans (se quence ). Les premie res parties qui se mettent a glisser sont en pe riphe rie du plan principal (se quences 1, et 3) puis les zones du plan s activent. La partie centrale du plan qui regroupe le plus d e ve nements glisse quasiment en continu (se quence ) pendant que les aspe rite s plus en amont glissent les unes apre s les autres. Certaines aspe rite s au sein de ces se quences semblent e tre plusieures fois re active es, c est

20 P. Dublanchet 3.5 N y (km) z (km) x (km) 11 N E x (km) y (km) FIG. 15 Gauche : différentes séquences trouvées dans l ensemble de séismes du cadre vert de la figure 5. Les points bleus indiquent la localisation des sources, les cercles de couleur indiquent la taille des sources définie par la fréquence coin. Les différentes couleurs indiquent les différentes séquences, numérotées de 1 à 8 dans l ordre chronologique. Droite : vue en 3 dimensions du nuage. La taille de source n est cette fois pas représentée. Le code de couleur et la numérotation sont les mêmes que sur la figure de gauche. Dans les deux cas l incertitude sur la position est très inférieure à la taille de source. L axe des x correspond à la distance positive vers l est, l axe des y à la distance positive vers le nord et l axe vertical à la profondeur. L orientation est indiquée par les flèches vertes mois log dt (an) jour h t (an) FIG. 16 Diagramme log des différences de temps entre évènements successifs en fonction du temps. Le premier point correspond à la différence de temps entre le premier évènement du nuage et le deuxième. Les couleurs utilisées marquent les évènements d une même séquence. Une séquence correspond à une même couleur. Le code de couleurs est le même que sur la figure précédente. à dire que l on observe plusieurs évènements très proches dont les sources se recouvrent quasiment en totalité. C est le cas par exemple de la zone se trouvant au sud de la séquence, et faisant partie de cette séquence (aspérité 1), et d une autre zone un peu plus au sud, où une même aspérité glisse 3 fois au cours des 7 ans d observation (aspérité ). Le détail de l évolution de ces aspérités est présenté sur les figures.5 et.5. Dans le cas de la deuxième aspérité, la taille des sources a été rééstimée en utilisant des

21 Analyse mécanique d aspérités à Corinthe y (km) N x (km) log dt (an) mois 1 jour 1 h t (an) FIG. 17 Haut : position (points bleus) et dimensions (cercles noirs) déterminées par la fréquence coin, de sources dont le recouvrement est important. Les évènements constituent l aspérité 1. La vue est dans le plan nord sud est ouest. La flèche verte indique l orientation. Bas : diagramme log des intervalles de temps successifs. Les évènements qui constituent cette aspérité sont entourés en noir. rapports de spectres en déplacement pour déterminer la fréquence coin. Pour cela, le spectre de l onde P est divisé par le spectre de l onde P d un séisme de très petite taille (situé en dehors de la figure). Le déplacement de ce petit séisme est considéré comme la fonction de Green du milieu et son spectre est par conséquent quasiment uniforme. Celui ci n est affecté que par l atténuation, et des effets locaux. Dans la mesure où l on fait le rapport des amplitudes spectrales pour deux séismes mesurés à la même station, les effets locaux dans le résultat s annulent et la forme de l amplitude spectrale est plus lisse. L amplitude spectrale présente une voire deux ruptures de pente correspondant à la fréquence coin du séisme le plus important (fréquence coin plus faible) et à la fréquence coin du deuxième séisme. La fréquence coin du séisme le plus gros est ainsi estimée de manière plus précise. Un exemple de rapport spectral est présenté sur la figure.5. Pour chaque rupture sur l aspérité, il est possible d évaluer le glissement produit par la relation suivante : M = σ L 3 = µl δ (16) où M est le moment sismique, L la dimension de la source, δ le glissement, σ la chute de contrainte et µ le module de cisaillement. Le glissement est donc donné par : δ = σ L µ (17) En considérant une chute de contrainte comprise entre.9 MPa et.13 MPa comme déterminé précédemment, une taille de source variant d un facteur selon le modèle de rupture considéré, un module de cisaillement de l ordre de 3 GPa, on obtient pour les trois ruptures les glissements maximum et minimum donnés dans le tableau.5.

22 P. Dublanchet y (km) x (km) log dt (an) mois 1 jour 1 h t (an) FIG. 18 Haut : position (points bleus) et dimensions (cercles noirs et cercles rouges) déterminées par la fréquence coin, de sources dont le recouvrement est important. Les cercles rouges indiquent les tailles de sources déterminées par la fréquence coin des rapports spectraux. Les évènements constituent l aspérité, et sont numérotés dans l ordre chronologique. La vue est dans le plan nord sud est ouest. La flèche verte indique l orientation. Bas : diagramme log des intervalles de temps successifs. Les évènements qui constituent cette aspérité sont entourés en noir. 1 AGE 1 1 Amplitude fc1 fc f (Hz) FIG. 19 Amplitude spectrale d un séisme de l aspérité (courbe bleue) et d un séisme de petite magnitude (courbe rouge). Le rapport spectral entre le plus gros évènement et le plus petit est représenté en noir. Les droites en pointillés noirs représentent l enveloppe des spectre. Les fréquences coin des deux évènements sont pointées par les droites vertes. n de rupture δ minimum (mm) δ maximum (mm)

23 Analyse me canique d aspe rite s a Corinthe. 3 Ces trois glissements ont lieu sur une dure e total de 3 ans environ. Cela correspond a une vitesse moyenne de l ordre de. a.1 mm.an 1. Cette vitesse est en dessous des vitesses de glissement dans cette partie du Golfe de termine es par (Bernard et al., 6). Les auteurs estiment en effet une vitesse de 11 mm.an 1 sur une dislocation pente e vers le nord a environ 1 km de profondeur pour expliquer les donne es GPS dans le Golfe de Corinthe..6 Direction de glissement. Afin d e valuer la direction moyenne de glissement dans l ensemble des e ve nements, quelques me canismes au foyer ont e te calcule s, a partir de la polarite des ondes P aux diffe rentes stations. Les me canismes de deux des plus gros e ve nements ont e te calcule s. Les caracte ristiques de ces e ve nements sont donne es sur le tableau.6 date (aaaa.mm.jj) Magnitude.6.3 Le pointe des polarite s des ondes P permet de de limiter sur la sphe re focale les zones en compression et les zones en dilatation. Chaque station est repe re e sur la sphe re focale par l azimut du rai provenant du se isme et l incidence de ce rai. Pour chaque station la polarite de l onde P lue sur la composante verticale est repre sente e. Pour faciliter la recherche du me canisme, le premier plan nodal correspond au plan sur lequel se re partissent les se ismes. L azimut et le pendage de ce plan ont e te calcule s dans la partie.1 est sont fixe s a N et 38 respectivement. Ainsi, le seul parame tre a chercher est la direction du glissement sur la faille. Les re sultats sont pre sente s sur la figure..5 N N y (km) 3 N.5 N N x (km) 3 5 F IG. Me canismes aux foyers obtenus pour deux e ve nements. Projection horizontale. Les axes correspondent a la distance vers l est et vers le nord suivant l orientation de la fle che verte. La sismicite est repre sente e par les points bleus. Des cercles noirs entourent les se ismes dont le me canisme a e te calcule. Au niveau des sphe res focales, les cadrants gris correspondent aux zones de compression. Les croix rouges repre sentent une observation de polarite compressive a une station. Les cercles bleus indiquent une polarite de dilatation. Les deux me canismes obtenus indiquent un mouvement normal avec une faible composante de crochante se nestre. Ces deux e ve nements se situent sur le plan observe dans les parties pre ce dentes.

24 P. Dublanchet.7 Conclusions sur les caractéristiques des séismes étudiés Les observations effectuées dans les parties précédentes indiquent que ce nuage de sismicité, près de la zone de nucléation du séisme d Aigion est constitué d évènements répartis sur un plan de pendage similaire à la rupture de 1995, mais d orientation un peu différente. Ce plan recoupe donc le plan de Sur ce plan un certain nombre d aspérités dont les tailles varient de la dizaine à la centaine de mètres glissent régulièrement et interagissent mécaniquement. L analyse statistique ne semble pas montrer la prépondérence d un forçage commun. Le glissement est en général de très faible amplitude par rapport à celui prédit pour expliquer les données GPS de surface. Son orientation correspond à des mécanismes normaux le long de ce plan. Pour aller plus loin dans l analyse, il serait possible de calculer les contraintes sur un tel plan en prenant une direction d extension horizontale nord 1 est qui donne la contrainte principale et une direction verticale donnant l autre direction de contrainte principale, afin de comparer les résultats avec la direction de glissement obtenue. Il serait également nécessaire de tester la compatibilité du glissement avec la présence du plan du séisme de Modélisation du comportement mécanique de deux aspérités. L analyse précédente a montré que la sismicité produite au niveau de la partie centrale du Golfe est lié à un certain nombre d aspérités plus où moins proches les unes des autres qui peuvent glisser une où plusieures fois au cours des sept ans d observation. De plus, l analyse de la géométrie du nuage de sismicité a montré l existence d un plan sur lequel se répartissent les différents évènements. Une hypothèse qui expliquerait la complexité des ruptures observées est l interaction mécanique entre plusieures aspérités situées sur le même plan de faille, et soumises à un forçage externe commun. Afin d analyser les modes d interactions entre ces aspérités, un modèle mécanique couplant interactions élastiques et lois de friction de type rate and state a été utilisé. 3.1 Loi de friction rate and state. La loi de friction utilisé dans cette partie est une loi de friction de type rate and state. Les équations constitutives ont été développées à partir de résultats expérimentaux sur des granitoïdes par (Dieterich, 1979). Cette loi de friction prédit que le coefficient de friction dynamique pour un surface de contact entre deux solides donnés dépend de la vitesse de chargement et d une variable dite d état qui caractérise l état de contact entre les deux surfaces. Le coefficient de friction µ est défini de la manière suivante : µ = τ σ = f (θ, V), (18) où τ représente la contrainte tangentielle à la surface, σ la contrainte normale à la surface, V la vitesse de glissement entre les deux surfaces et θ la variable d état. La dépendence en θ et V est déduite par (Dieterich, 1979) de résultats expérimentaux où un bloc de granodiorite glisse le long d un contact solide à vitesse imposée, et où le coefficient de friction est mesuré le long de l interface. Un résultat expérimental est présenté sur la figure 1. Lors d un changement de vitesse de chargement, le coefficient de friction présente deux type d évolution : une augmentation instantanée suivie d une diminution au cours du glissement suivant une distance caractéristique D c. Il y a donc une réponse positive à court terme

25 Analyse mécanique d aspérités à Corinthe. 5 à un saut de vitesse, et une réponse négative à long terme. De plus, après un déplacement suffisament important, µ se stabilise à une valeur inférieure par rapport à celle du début de l expérience et le système atteint alors un état stationnaire si la vitesse de chargement ne change pas. (Dieterich, 1979) interprète la dépendence instantanée postive à un saut de vitesse comme un effet plastique analogue à celui de la déformation des silicates dont le seuil de rupture augmente si le taux de déformation augmente. Cet effet peut donc être considéré comme un effet visqueux. La deuxième dépendence, à plus long terme est représentée par la variable d état. La friction, en l absence de glissement, a tendance à augmenter car la surface de contact réelle entre les deux solides augmente (par effet de fluage aux joins des aspérités en contact). Par conséquent, l état de la surface de contact est caractérisé par la variable d état θ qui représente l age moyen d une population de contacts. Plus cet âge moyen est élevé, plus la friction est forte. Lorsque le glissement s initie, des contacts sont détruits puis reformés, ce qui a pour effet de diminuer progressivement l âge moyen de le population de contacts jusqu au moment où la disparition de ces contacts équilibre la création de contact et l âge moyen reste constant au cours du glissement à vitesse constante. En terme de friction cela signifie que le coefficient de friction diminue sur une longeur caractéristique D c puis se stabilise. Une loi possible tenant compte de ces différentes caractéristiques est la suivante : τ = τ + A ln V V p + Bθ [ ] θ = V D c θ + ln V V p, (19) où θ représente la variable d état, V la vitesse de glissement, τ la contrainte tangentielle. A et B sont des constantes qui dépendent de la contrainte normale et de la température. V p est la vitesse imposée. τ est la contrainte à l état stationnaire pour une vitesse de glissement égale à V p. A l état stationnaire, θ = et le système devient : FIG. 1 Courbe du haut : évolution du coefficient de friction µ en fonction du déplacement. La vitesse imposée varie par paliers indiqués en haut de la figure. Les courbes A, B et C représentent l évolution de µ prédite par différentes lois de friction. D c est la distance caractéristique. D après (Dieterich, 1979).

26 6 P. Dublanchet τ ss = τ + (A B) ln V V p θ ss = ln V V p, () où τ ss et θ ss représentent les varibles à l état stationnaire. Cela permet d écrire : A = V tau V A B = V dτ ss dv. (1) D après les résultats expérimentaux, A est positive. En revanche, A B peut être soit positive soit négative. Dans le premier cas le glissement entraine une augmentation de la contrainte tangentielle et donc de la friction. Dans le deuxième cas, un saut de vitesse mène à l état stationnaire à une réduction du coefficient de friction. Ce type de loi se vérigie expérimentalement pour des vitesses de glissement faible, inférieures au cm.s 1. (Ruina, 1983) montre que l application d une loi de friction de ce type à un syst `me patinressort permet de déterminer un critère d instabilité. D après l auteur dans le cas statique, le système peut générer des instabilités de glissement si on le perturbe d un état stationnaire à condition que l on ait : dτ ss dv < k < k cr. () En d autres termes un patin tiré par un ressort peu donc générer des instabilités de glissement uniquement si l on a A B < et que la raideur k du ressort est suffisament faible, et passe en dessous de la valeur k cr donnée par : k cr = V p dτ ss D c dv Dans le cas de la forme donnée par l équation, on obtient : (3) k cr = B A D c () Lorsque k = k cr, le système produit des oscillations de glissement dont la longeur d onde est liée à D c. Selon (Ruina, 1983), d autres types de lois de friction sont aussi possibles, faisant intervenir une où plusieures variables θ. Il est également possible de décrire le processus sans faire intervenir explicitement une variable d état. (Rice & Ruina, 1983) analyse la stabilité d un système patin ressort dans un cadre plus général, sans préciser la forme de la loi de friction, et en incluant les effets d inertie. De la même manière que précedemment, les auteurs montrent que le patin est instable à deux conditions, l une relative à la loi de friction elle même et équivalente au A B <, l autre étant également que la raideur du ressort soit inférieure à une valeur k cr donnée par : k cr = V p dτ ss D c dv [ 1 + mv D c τ V ], (5) où m est la masse du patin. Comme dans le cas statique, l analyse de stabilité prévoit l existence d oscillations du glissement pour k = k cr.

27 Analyse mécanique d aspérités à Corinthe. 7 (Rice & Ruina, 1983) montre que cette analyse et ces résultats se généralisent au cas de deux solides élastiques qui glissent en contact. (Rice et al., 1) développent ces résultats dans le cas statique et dans le cas dynamique, pour des solides similaires et dissimilaires. Le glissement entre deux solides élastiques sera stable si la raideur du système élastique est au dessus de la raideur critique. La raideur d un milieu élastique peut être définie gràce aux modules élastiques et à la taille de la zone de contact. Le critère de stabilité se transforme alors en un critère sur la taille de la surface de contact. Cette longeur ne doit pas dépasser une longeur critique pour que le système soit stable. 3. Description du modèle. Le modèle utilisé est celui d une surface de contact plane entre deux milieux élastiques semi infinis qui glissent l un par rapport à l autre. Cette surface de contact est divisée en n n cellules. Au contact des deux solides, est appliquée la loi de friction rate and state présentée en. Sur chaque point de la surface est attribuée une valeur pour les paramètres de friction A et B afin de définir des zones avec A B > et des zones où l on a A B < qui peuvent générer des instabilités de glissement, et qui représentent donc des aspérités. Un schéma de la surface de contact est présenté sur la figure A B > 3 y (m) 5 A B < A B < Vp x (m) FIG. Schéma de la surface de contact entre les deux solides. Les points noirs représentent les noeuds des cellules. Les cercles bleus délimitent les aspérités. La flèche verte indique la direction du cisaillement. Les deux solides élastiques se trouvent en z > et z <. D autre part, la contrainte tangentielle τ i xz sur la cellule i associée au glissement δ j est donné par (Rice, 1993) et a pour forme : τxz i = k i j (δ j V p t) ηv i, (6) j où V p est la vitesse de chargement, t est le temps et V i la vitesse sur la cellule i. Le terme k i j est la contrainte générée sur la cellule i par un glissement unitaire sur la cellule j. k i j est donnée par la solution élastostatique. Le terme ηv i contient tous les effets dynamiques du glissement : il correspond à la diminution de la contrainte par radiation d ondes de cisaillement associée à un glissement uniforme sur une cellule. Sans ce terme, une instabilité de glissement conduirait à des contraintes et des vitesses infinies. D après (Rice, 1993), le facteur η est donné par :

28 8 P. Dublanchet η = µ c, (7) où µ est le module de cisaillement, et c la vitesse des ondes S. Le système d équations différentielles auquel obéit la surface est donc : τ i = j k i j (δ j V p t) ηv i τ i = τ + A ln V i V p + Bθ i [ θ i = V i D c θ i + ln V i V p ] (8) où l indice i correspond à la cellule i. Il est possible de réarranger ce système sous la forme : [ ] τ i = 1 ηv ib i η+ A i D c A i V i j k i j (V j V p ) V i [ ] V i = 1 Vi B i η+ A i D c j k i j (V j V p ) (9) V i θ i = V i θ i + ln V i, D c [ V p ] Afin de calculer l évolution de la contrainte et de la vitesse sur le plan de faille, une procédure itérative est utilisée. Ce programme a été ćrit par Pascal Favreau avec une m thode de résolution de type implicite pour résoudre le système 9. Au cours de ce stage, une méthode couplant résolution implicite et résolution explicite a été mise en place, avec utilisation d un pas de temps variable. Le principe est d utiliser au cours des phases d instabilité (lorsque la vitesse varie beaucoup) une méthode explicite de type Runge-Kutta d ordre pour résoudre le système 9. Comme beacoup de points de calculs sont nécessaires, cette méthode est plus efficace pour effectuer un pas de temps qu une méthode implicite, mais elle n est stable que pour des pas de temps courts. A chaque étape du calcul en méthode explicite, le pas de temps est fixé par l inverse de la plus grande des valeurs propres du système linéarisé suivant : { V i = f θ dθ i + f V dv i θ i = g θ dθ i + g V dv i où l on a V i = f (θ i, V i ) et θ i = g(θ i, V i ). Ce système est un système simplifié par rapport à celui considéré en ce sens que la vitesse V i dépend de l ensemble des n*n vitesses des cellules de la surface. Lors des phases de chargement pendant lesquelles les vitesses et les contraintes varient plus lentement, une méthode de type implicite est utilisée. Le système résolu à chaque pas de temps est donné par (Rice, 1993). Cette méthode permet d augmenter progressivement le pas de temps au cours des phases de chargement. Dans ce cas, le pas de temps est augmenté progressivement jusquà un seuil de 1 s ce qui permet de ne pas manquer l instabilité suivante. A chaque étape du calcul, les valeurs propres du système linéarisé 3 sont calculées pour chaque cellule. Le passage de la méthode explicite à la méthode implicite se produit dès que la plus grande des vitesses du système est inférieure à 1 6 m.s 1 tout en ayant une diminution de la plus grande des valeurs propres du système 3. Le passage de la méthode de calcul implicite à la méthode explicite se produit lorsque la plus grande des valeurs propres calculées augmente de plus de 1 3 s 1. Les paramètres utilisés dans le calcul, ainsi que les conditions initiales sont présentés sur le tableau 3.. (3)

29 Analyse mécanique d aspérités à Corinthe. 9 paramètre Valeur taille de cellule suivant x 1 m taille de cellule suivant y 1 m module de cisaillement µ 3 GPa coefficient de Lamé λ 3 GPa vitesse de chargement V p 1 9 m.s 1 Distance critique D c. m A 1 Pa B sur l aspérité 15 Pa B en dehors de l aspérité -15 Pa pas de temps initial.15 s coefficient η 1 7 Pa.m 1.s τ 1 Mpa vitesse initiale 1 6 m.s 1 θ initial θ ss initial (donné par la vitesse initiale) Afin d éviter que chaque cellule du modèle génère seule une instabilité de glissement, il faut d après la partie précédente que sa taille h soit inférieure à une taille critique h cr définie par (Rice, 1993) de la forme : h cr = µd c π(b A) m, (31) où µ est le module de cisaillement, D c la distance critique de la loi de friction, et (B A) m est la plus grande valeur de (B A) sur l ensemble de la grille. Dans le cas présenté ici on a k cr =.58 m. Dans la suite, le comportement d une aspérité circulaire est détaillé en fonction de sa taille. Puis l interaction de deux aspérités circulaires est analysé. 3.3 Dynamique d une aspérité seule. Dans cette partie, la surface ne présente qu une seule aspérité. Dans un premier temps, la taille de la surface est fixée à m par m, et une aspérité d un rayon de 8 m est placée au centre de la surface. Les résultats sont présentés sur la figure 3. La figure 3 indique que dans ce cas, l aspérité présente un cycle sismique avec une phase de chargement plus où moins longue (de l ordre de quelques mois) au cours de laquelle l aspérité est bloquée en dessous de la vitesse de chargement et la contrainte cisaillante augmente progressivement. Cette phase est suivie par une phase d instabilité qui dure environ.1 seconde, au cours de laquelle la contrainte chute brutalement, et la vitesse dépasse le cm.s 1, générant des ondes sismiques. L évolution de la contrainte et de la vitesse sur un profil traversant l aspérité sont représentés sur la figure, dans le cas d une surface de 8 m sur 8 m et pour une aspérité centrale de 9 m de rayon. Lorsque le rapport entre la taille de l aspérité et celui de la grille est plus faible, on obtient les résultats présentés sur la figure 6. Cette expérience a été réalisée dans le cas d une grille de m sur m, avec une aspérité centrale d un rayon de m. Dans le cas d une aspérité plus petite, on observe qu une première instabilité a lieu, due à la forte vitesse initiale, puis le système se stabilise à la vitesse de chargement et à la contrainte τ. Ceci est du au fait que la déformation ne peut se localiser sur une surface suffisante au niveau

30 3 P. Dublanchet inside weakening outside weakening 3 Log1(Velocity (m/s)) 6 8 Stress (MPa) Time (months) 3 inside weakening outside weakening Time (months) FIG. 3 Gauche : vitesse en un point situé au centre de l aspérité de rayon 8 m (rouge) et vitesse en un point situé en dehors de l aspérité (bleu). Droite : contrainte au centre l aspérité (rouge) et en dehors de l aspérité (bleu) log v (m/s) 6 tau (Mpa) x (m) x (m) FIG. Gauche : évolution de la contrainte cisaillante à travers la surface de glissement, sur un profil perpendiculaire à la direction de chargement. Les différentes courbes représentent des instants différents au cours du cycle de l aspérité. La numérotation est dans l ordre chronologique. Ces instants sont indiqués sur la figure 5. Droite : évolution de la vitesse le long du même profil. Les couleurs utilisées pour la figure sont les mêmes que celles utilisées pour la figure de gauche. de l aspérité. Cette localisation n atteint pas la longeur critique définie par (Rice, 1993), et le système est stable. 3. Interaction de deux aspérités. Par la suite, une deuxième aspérité est introduite dans le système. L interaction entre deux aspérités sur une surface en glissement a été étudiée par (Kato, ). Quelques tests ont été effectués en faisant varier la distance entre les deux aspérités de même taille sans modifier les autres paramètres du système. Ces tests ont été effectués avec des aspérités de 7 m de rayon et une surface de 8 m par 8 m. Il apparait deux principales observations : Lorsque la distance entre les deux aspérités est faible, celles ci se comportent comme une aspérité de grande taille.

31 Analyse mécanique d aspérités à Corinthe log v (m/s) t (mois) FIG. 5 Évolution de la vitesse en un point en dehors de l aspérité (courbe bleue). Les étoiles rouges indiquent les instants auquel les profils de contrainte et de vitesse ont été représentés sur la figure précédente. La numérotation est la même que sur la figure précédente. inside weakening outside weakening 5 5 Log1(Velocity (m/s)) 6 Stress (MPa) Time (months) 3 35 inside weakening outside weakening Time (months) FIG. 6 Gauche : Évolution de la vitesse de glissement en point au centre de l aspérité de m de rayon (rouge), et en point en dehors de l aspérité (bleu). Droite : Évolution de la contrainte. Les figurés sont les mêmes que sur la figure de gauche. Lorsque les deux aspérités sont plus éloignées, la cinématique des deux ruptures présente un léger décalage. Ce résultat est représenté sur les figures 7 et 8. Toutefois, pour la durée de l expérience, les deux aspérités cassent simultanément. 3.5 Discussion. Le programme permet ici de calculer l évolution d une surface de glissement entre deux solides élastiques pour des dimensions d aspérités de l ordre de la dizaine de mètre, et des surfaces de l ordre de 5 m par 5 m. Le fait d augmenter la taille de la surface augmente beaucoup le temps de calcul, ce qui empèche dans l état actuel de l utiliser sur des objets de la taille de ceux étudiés à Corinthe, où les aspérités ont une taille caractéristique de l ordre de la centaine de mètres.

32 P. Dublanchet deplacement cumule (m) log v (m/s) x (m) t (mois) F IG. 7 Gauche : E volution de la vitesse au centre des deux aspe rite s de 7 m de rayon (courbe noire et courbe rouge ), et en un point en dehors des aspe rite s (courbe bleue). Droite : E volution du de placement cumule sur les deux aspe rite s. Chaque courbe repre sente 1 pas de calcul. Une instabilite dure environ.1 s, et le chargement environ.9 mois comme l indique la figure de gauche x deplacement cumule (m) deplacement cumule (m) x (m) x (m) F IG. 8 Gauche : E volution du de placement cumule sur les deux aspe rite s de 7 m de rayon, au cours de la deuxie me instabilite sur la figure 3.. Chaque courbe repre sente 1 pas de calcul. Une instabilite dure environ.1 s, et le chargement environ.9 mois comme l indique la figure 3.. Droite : De placement cumule au cours de la huitie me instabilite de la figure 3. Cependant, un des parame tres important qui de termine l apparition d instabilite est la taille relative de la zone de glissement par rapport a celle de la zone de chargement : Une aspe rite d un rayon de m sur une surface de m par m n engendre pas d instabilite dans les conditions pre sente es, une aspe rite de 6 m de rayon en produit pour la me me surface. Lorsque la surface passe a 8 m par 8 m, il faut un rayon minimum de 8 m pour ge ne rer des instabilite s. D autre part, le temps de re currence pour l apparition d instabilite de pend e galement de la taille de la zone en dehors de l aspe rite : pour un rayon de 8 m, une aspe rite glissera tous les 1 mois environ pour une surface de m par m, et tous les mois pour une surface de 8 m par 8 m. Cela ame ne a penser qu une petite aspe rite peut repre senter quelques caracte ristiques d une aspe rite plus grande. Toutefois, les observations faites ne sont pas suffisantes, et une optimisation du calcul est indispensable afin de manipuler des aspe rite s plus grandes. L un des objectifs de ce mode le en relation avec les observations de Corinthe est de compa-

33 Analyse mécanique d aspérités à Corinthe. 33 rer les glissements et les intervalles de récurrence des séismes avec ceux prédits par le modèle pour des aspérités de la même taille, afin d en déduire des propriétés de friction au niveau ds aspérités. D autre part, il serait possible d évaluer la réponse d un tel système à des perturbations externes de contraintes comme celle produite par un séisme régional par exemple. Conclusion L analyse mécanique de la sismicité dans une région proche du centre de nucléation du séisme de 1995 revèle une structure planaire qui rassemble un certain nombre d aspérités dont les tailles sont inférieures à 1 voire m. Ces aspérités interagissent de manière complexe, et produisent un glissement souvent faible. Il est nécessaire d imager de manière plus fine les sources sismiques, et de connaitre de manière plus précise leur glissement au cours du temps afin d en déduire des propriétés mécaniques telles que l évolution de la contrainte, où encore des paramètres de friction. À une échelle plus grande, la compréhension de la dynamique de la microsismicité près des zones de nucléation de grands séismes est capitale pour mieux évaluer les transferts de contraintes et le chargement des grandes failles bloquées. References Abercrombie, R. E Earthquake source scaling relationnships from -1 to 5 M L using seismograms recorded at.5 km depth. J. Geophys. Res., 1,,15,36. Aki, K., & Richard, P.. Quantitative Seismology, Theory and Methods. Armijo, R., Meyer, B., King, G., Rigo, A., & Papanastassiou, D Quaternary evolution of the Corinth rift and its implications for the late Cenozoic evolution of the Agean. Geophys. J. Int, 16, Avallone, A., Briole, P., Agatza-Balodimiou, A., Billiris, H., Charade, O., Mitsakaki, C., Nercessian, A., Papazissi, K., Paradissis, D., & Veis, G.. Analysis of eleven years of deformation measured by GPS in the Corinth Rift Laboratory area. C. R. Geoscience, 336, Bernard, P., Briole, P., Meyer, B., Lyon-Caen, H., Gomez, J.-M., Tiberi, C., Berge, C., Cattin, R., Hatzfeld, D., Lachet, C., Lebrun, B., Deschamps, A., Courboulex, F., Laroque, C., Rigo, A., Massonet, D., Papadimitriou, P., Kassaras, J., Diagourtas, D., Makropoulos, K., Veis, G., Papazisi, E., Mitsakaki, C., Karakostas, V., Papadimitriou, P., Papanastassiou, D., Chouliaras, G., & Stavrakakis, G The Ms=6., June15, 1995 Aigion earthquake (Greece) : evidence for low angle normal faulting in the Corinth rift. J. Seismol., 1, Bernard, P., Lyon-Caen, H., Briole, P., Deschamps, A., Pitilakis, K., Manakou, M., Boudin, F., Berge, C., Makropoulos, K., Diagourtas, D., Papadimitriou, P., Lemeille, F., Patau, G., Billiris, H., Castarède, H., Charade, O., Nercessian, A., Avallone, A., Zahradnik, J., Sacks, S., & Linde, A. 6. Seismicity, deformation and seismic hazard in the western rift of Corinth : New insights from the Corinth Rift Laboratory (CRL). Tectonophysics, 6, 7 3. Dieterich, J. H Modeling of rock friction-1. Experimental results and constitutive equations. J. Geophys. Res., 8, Flerit, F., Armijo, R., King, G., & Meyer, B.. The mechanical interaction between the propagating North Anatolian Fault and the back-arc extension in the Agean. Earth Planet. Sci. Lett.,,

34 3 P. Dublanchet Gautier, S., Latorre, D., Virieux, J., Deschamps, A., Skarpelos, C., Sotiriou, A., Serpetsidaki, A., & Tselentis, A. 6. A New Passive Tomography of the Aigion Area (Gulf of Corinth, Greece) from the Data Set. Pure Appl. Geophys., 163, Hainzl, S., Scherbaum, F., & Beauval, C. 6. Estimating background activity based on interevent-time distribution. Bull. Seismol. Soc. Am., 96(1), Haskell, N. A Total energy and energy spectra density of elastic waves from propagating faults. Bull. Seismol. Soc. Am., 5, Jackson, J. J., Gagnepain, J., Houseman, G., King, G., Papadimitriou, P., Soufleris, P., & Virieux, J Seismicity, normal faulting and the geomorphological developmen t of the Gulf of Corinth (Greece) : the Corinth earthquakes of February and March Earth Planet. Sci. Lett., 57, Kanamori, H., & Anderson, D. L Theoretical basis of some empirical relations in seismology. Bull. Seismol. Soc. Am., 65, Kato, N.. Interaction of slip on asperities : Numerical simulation of seismic cycles on a two-dimensional planar fault with nonuniform frictional property. J. Geophys. Res., 19. Latorre, D., Virieux, J., Monfret, T., Monteiller, V., Vanorio, T., Got, J.-L., & Lyon-Caen, H.. A new seismic tomography of Aigion area (Gulf of Corinth, Greece) from the 1991 data set. Geophys. J. Int., 159, Rice, J. R Spatio-temporal complexity of slip on a fault. J. Geophys. Res., 98, Rice, J. R., & Ruina, A. L Stability of steady frictional slipping. J. Apll. Mech., 5, Rice, J. R., Lapusta, N., & Ranjith, K. 1. Rate and state dependent friction and the stability of sliding between elastically deformable solids. Journal of the Mechanics and Physics of solids., 9, Ruina, A. L Slip instability and state variable friction laws. J. Geophys. Res., 88, 1,359 1,37. Waldhauser, F., & Ellsworth, W. L.. A Double-Difference Earthquake Location Algorithm : Method and Application to the Northern Hayward Fault, California. Bull. Seismol. Soc. Am., 9(6), Remerciements Je voudrais remercier M. Pascal Bernard et M. Pascal Favreau pour toute l aide qu ils m ont apporté pendant ce stage, ainsi que pour toutes les discussions passionantes que nous avons eues. Je voudrais égalament remercier Sophie Lambotte pour toutes les données fournies, pour tous ses conseils avisés et pour son aide précieuse dans l utilisation de la base de multiplets de Corinthe.