De la difficulté de colorer : de Guthrie à Karp

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1 De la difficulté de colorer : de Guthrie à Karp Introduction à l optimisation combinatoire : Modélisation et complexité Marc Demange ESSEC Business School Paris, Singapore demange@essec.edu

2 Plan de la séance Introduction : de la conjecture de Guthrie au théorème des 4 couleurs Le problème de coloration des graphes Modèles colorés Exemples bien résolus : intervalles et permutations Colorer, c est difficile : introduction à la théorie de la complexité Conclusion

3 Plan de la séance Introduction : de la conjecture de Guthrie au théorème des 4 couleurs Le problème de coloration des graphes Modèles colorés Exemples bien résolus : intervalles et permutations Colorer, c est difficile : introduction à la théorie de la complexité Conclusion

4 Plan de la séance Introduction : de la conjecture de Guthrie au théorème des 4 couleurs Le problème -de l invention coloration du des rouge graphes - l histoire d un problème - l histoire d un théorème Modèles colorés - l histoire continue Exemples bien résolus : intervalles et permutations Colorer, c est difficile : introduction à la théorie de la complexité Conclusion

5 L invention du rouge Un Taminou

6 Un Taminou

7 Un Taminou

8 Un Taminou

9 Un Taminou

10 Des Taminoux

11 Des Taminoux

12 coloriage.com Carte de Taminouland Pays imaginaire 1 Pays imaginaire 2

13 Histoire d un problème

14 1850 : F. Guthrie : «Si une figure est divisée de quelque manière que ce soit et si on colorie les morceaux de telle sorte que, chaque fois qu ils ont une ligne frontalière, leurs couleurs soient distinctes, il peut falloir quatre couleurs mais pas plus.» Homoglossum guthriei

15 A. De Morgan Cyrtanthus guthrieae R.W. Hamilton

16 1860 : première mention écrite A. De Morgan C.S. Pierce 1878 : exposé du problème dans un article Gladiolus guthriei A. Cayley

17 Histoire d un théorème A.B. Kempe 1879 : théorème des 4 couleurs Homoglossum guthriei P.J. Heawood

18 L. Carroll Matsumoto (1971) Appel et Haken 1976 P.G. Tait (1880) Petersen (1891) théorème des 4 couleurs Heesch (1969) 4 ans de travail 10 Roberson, 000 cas traités Sanders, à la Seymour, main Thomas 1478 configurations 1995 traitées par ordinateur nouvelle 1200 preuve heures par de ordinateur calcul avec 633 configurations G.D. Birkhoff (1913)

19 Parabole du Père Noël

20 Plan de la séance Introduction : de la conjecture de Guthrie au théorème des 4 couleurs Le problème de coloration des graphes Modèles colorés Exemples bien résolus : intervalles et permutations Colorer, c est difficile : introduction à la théorie de la complexité Conclusion

21 Formulation par la théorie des graphes Graphe : Points (sommets) Traits liant deux sommets (arêtes)

22 Carte plane Graphe planaire Pays Sommets Frontière commune Arête

23 Un Taminou Graphe du Taminou

24 Pétale 1 Pétale 2 Pétale 3 Pétale 4 Oeil Oreille 1 Oreille 2 Pétale 5 Coeur Pétale 6 Fond Tête Nez Pétale 7 Pétale 8 Corps Pétale 9 Queue Patte 1 Patte 2 Patte 3 Patte 4 Graphe du Taminou

25 Théorème des quatre couleurs Un graphe planaire peut être colorié avec au plus quatre couleurs de sorte que deux sommets adjacents sont de couleurs différentes Un graphe planaire est 4-coloriable Un graphe planaire a un nombre chromatique au plus 4

26 Minimiser le nombre de couleurs Problème de coloration minimum : étant donné un graphe, déterminer une coloration utilisant le moins de couleurs possible. nombre chromatique = 5

27 Plan de la séance Introduction : de la conjecture de Guthrie au théorème des 4 couleurs Le problème de coloration des graphes Modèles colorés Exemples bien résolus : intervalles et permutations Colorer, c est difficile : introduction à la théorie de la complexité Conclusion

28 Modèles colorés Premier exemple : emploi du temps Second exemple : le problème du carnet de commandes Troisième exemple : allocation de fréquences dans les réseaux mobiles Quatrième exemple : réservation dans les trains Cinquième exemple : la traversée du carrefour

29 Conception d un emploi du temps activité jour horaire activité jour horaire 1 Mecanica lundi 8-10 h 9 formation Internet lundi h 2 Structuri de date lundi 9-12 h 10 cours logistique lundi h 3 Fizica lundi 9-12 h 11 pot anniversaire Jan mardi 8-10 h 4 Project lundi h 12 cours finance mardi 9-10 h 30 5 groupe de travail BULL lundi h cours th. décision mardi h 6 Excel, Access lundi h réunion PIE mardi h 7 cours droit des affaires lundi h 15 soutenance de thèse mardi h 8 groupe de travail MS lundi h 16 débat Les RV de l'essec mardi h Objectif : Contraintes : minimiser le nombre de salles nécessaires incompatibilités d horaires graphe : sommets 7 activités arêtes 4 chevauchements horaires

30 Conception d un emploi du temps (2) Affecter à chaque sommet une salle couleur deux sommets de même couleur ne peuvent être adjacents Le problème revient à colorer les sommets du graphe avec le moins de couleurs problème de coloration des graphes

31 Problème du carnet de commandes travaux sur une journée exploitant certaines ressources n tâches à réaliser contraintes d incompatibilité par paires on ne peut réaliser simultanément deux tâches utilisant la même ressource comment traiter au plus vite le carnet? exemple 1 : entreprise de travaux publics

32 Problème du carnet de commandes prise de vue d une zone terrestre n tâches à réaliser contraintes d incompatibilité par paires deux zones se chevauchant ne peuvent être prises simultanément comment traiter au plus vite le carnet? exemple 2 : prises de vues par satellites

33 Problème du carnet de commandes cuisson n tâches à réaliser contraintes d incompatibilité par paires température, temps de cuisson, mode de cuisson, incompatibilités chimiques,... comment traiter au plus vite le carnet? exemple 3 : cuisson au four (pâtisserie, cuisine, chimie )

34 Graphe d incompatibilité tâches incompatibilités tâches réalisées simultanément sommets arêtes couleur minimiser la durée totale coloration minimum

35 Problème d allocation de fréquences Risque d interférences transmetteurs répartis sur le territoire. deux transmetteurs «proches» doivent opérer sur des fréquences éloignées

36 Gare de triage

37 Gare de triage

38 C est un problème de coloration

39 Système de réservations voyage des gares 1 à n réservation : de a à b,1 a b n contrainte : ne pas affecter un siège simultanément à deux passagers

40 3 places et 5 demandes Système de réservations 1 à 6 2 à 4 3 à 7 5 à 8 6 à 9?

41 Système de réservations 1 à 6 2 à 4 3 à 7 5 à 8 6 à 9 2 à 4 6 à 9 3 à 7 5 à 8

42 Système de réservations 1 à 6 2 à 4 3 à 7 5 à 8 6 à 9 1 à 6 6 à 9 2 à 4 5 à 8 3 à 7

43 Système de réservations 1 à 6 2 à 4 3 à 7 5 à 8 6 à 9

44 A B C D E F Affectation de voies de garage ARRIVEE DEPART A 6 p.m 6 a.m B 7 p.m 1 a.m C 8 p.m 4 a.m D 9 p.m 5 a.m E 10 p.m 2 a.m DABC F 11 p.m 3 a.m? C

45 Affectation de voies de garage A B C D E D A C B E Time Overlap Graph

46 Cas particulier Condition de minuit Graphe de permutation

47 Cas particulier P = [ ]

48 Le problème du carrefour A B C E D En arrivant par. A B C D E on peut aller en C,E A,E,D A,D C,A C,D Traversées possibles

49 En arrivant par. A B C D E on peut aller en C,E A,E,D A,D C,A C,D AC AE ED BA EC BE DA DC CD CA BD

50 Plan de la séance Introduction : de la conjecture de Guthrie au théorème des 4 couleurs Le problème de coloration des graphes Modèles colorés Exemples bien résolus : intervalles et permutations Colorer, c est difficile : introduction à la théorie de la complexité Conclusion

51 Graphe d intervalles 1 à 6 2 à 4 3 à 7 5 à 8 6 à 9 nombre chromatique =

52 Graphe d intervalles Autre méthode : ordre croissant du bord gauche

53 Graphe d intervalles Ordre décroissant du bord gauche?

54 Permutations

55 Permutations

56 Graphe de permutation Utilisation d une orientation transitive

57 Plan de la séance Introduction : de la conjecture de Guthrie au théorème des 4 couleurs Le problème de coloration des graphes Modèles colorés Exemples bien résolus : intervalles et permutations Colorer, c est difficile : introduction à la théorie de la complexité Conclusion

58 Colorer : un problème difficile pas d algorithme «efficace»

59 2-coloration : un problème facile 3-coloration : un problème difficile La conjecture P NP signifie qu il n existe par d algorithme polynomial permettant de décider si un graphe est 3-colorable. Bien entendu, il existe un algorithme exponentiel pour cela.

60 P=NP? Les plus difficiles de NP NP-complet NP=P «Pas trop difficiles» P «Faciles»

61 Un peu plus formellement NP : problèmes de décision admettant un algorithme non-déterministe polynomial Phase non déterministe : écriture d un certificat Phase déterministe : vérification du certificat NP : classe des problèmes admettant un certificat vérifiable en temps polynomial Modèle d algorithme : machines de Turing

62 Exemple : 3-Col 3-Col : étant donné un graphe, est-il 3-colorable? 3-Col est dans NP Phase non déterministe : définir une partition des sommets en trois ensembles Phase déterministe : vérifier qu il s agit d une coloration réalisable

63 Un peu plus formellement (suite) Réduction polynomiale : P 1 P P 2 I1 instance de P1 I 2 instance de P2 I tel que 1 instance positive pour P1 I 2 instance positive pour P 2 P1 P P2 and P2 P P1 P

64 Un peu plus formellement (3) NP-complet : P 0 NP - complet P 0 NP P ' NP, P ' P P 0 P NP - complet P = NP - complet = NP Conjecture : P NP

65 Exemples Théorème (Cook,1971): SAT est NP - complet SAT P 3-SAT 3-SAT NP 3-SAT NP - complet P 0 NP P' NP - complet, P' P P0 P0 NP - complet Théorème:3- Col est NP - complet

66 Le problème de coloration minimum est méchant Si P NP il n existe pas d algorithme polynomial permettant de colorer tout graphe avec un nombre minimum de couleurs. Conséquence pratique : les algorithmes exacts deviennent très vite inopérants.

67 Courage mes amis, colorons! Algorithme exact : énumération implicite des solutions Approximation à garanties de performance Méthodes heuristiques : méthodes séquentielles (gloutonne) recherche successive de stables recherches locales : tabou algorithmes «évolutionnaires» : génétique Recherche de classes de graphes pour lesquelles le problème est facile

68 Généralisations Colorations pondérées Autres types de colorations Cadre online

69 MERCI! Un Taminou

70 Cas simple : 2-coloration 23:28 2-colorable CA'NTI 13 - Marc Demange

71 Cas simple : 2-coloration 23:28 2-colorable CA'NTI 13 - Marc Demange

72 Cas simple : 2-coloration Algorithme de reconnaissance de graphes 2-colorable : O(n+m) étapes. non 2-colorable

73 Cas des graphes parfaits Le nombre chromatique est égal à la taille d une plus grande clique pour le graphe et ses sous-graphes La coloration devient facile (polynomiale) Graphe de permutations : le nombre chromatique est la longueur d une plus grande chaîne non croissante. Graphe d intervalles : le nombre chromatique est le nombre maximum d intervalles se chevauchant 2 à 2

74 MERCI! Un Taminou

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78 Planaire Formule d Euler 5-coloriable 2-coloriable 23:28 Non CA'NTI planaires 13 - Marc Demange

79 Formule d Euler S A + F = 2 Planaire Non planaires