Hydraulique des cours d'eau

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1 Liber Égalit~ Fraternité RÉPUBLIQUE FRANÇAISE Ministère de l'equipement, des Transports et du Logement Hydraulique des cours d'eau La téorie et sa mise en pratique Département Voies Navigables et Eau Groupe d'hydraulique Fluviale Août 001. Centre d'etudes Tecniques Maritimes Et Fluviales

2 HYDRAULIQUE DES COURS D EAU Parce-qu elle commande à l élément indispensable à la vie, l ydraulique fluviale est l une des plus anciennes sciences explorées par l omme. Quatre millénaires d une observation attentive des écoulements ont produit une somme considérable d appréciations qualitatives et quantitatives que les progrès de l informatique ont pu, ces dernières décennies, mettre en musique numérique. L objet du présent cours n est donc pas de reprendre de manière exaustive tout l état de l art en matière d ydraulique fluviale. D éminents ydrauliciens participent régulièrement à la rédaction d ouvrages de référence auxquels ce cours emprunte beaucoup, et dont la liste, fournie dans la bibliograpie, doit être lue comme une invitation à y approfondir les éléments abordés succinctement. Car ce recueil se contente de compiler et d expliquer dans un ordre aussi pédagogique que possible les principes d ydraulique fluviale tels que les services des ministères en carge de la gestion, de l exploitation de l aménagement ou de la police des rivières peuvent les rencontrer dans les études ydrauliques qu ils auront à réaliser, piloter ou critiquer. L approce adoptée n est donc pas toujours très ortodoxe, privilégiant, autant que possible, les notions intuitives et pratiques avant de les expliquer par la téorie ou de les compléter par les formules empiriques. 1. CONVENTIONS, DEFINITIONS ET PARAMETRES 1.1 GRANDEURS CARACTERISTIQUES 1. REGIMES D ECOULEMENTS EQUATIONS DE L HYDRAULIQUE FLUVIALE 9. REGIME PERMANENT 11.1 REGIME UNIFORME 11. REGIME GRADUELLEMENT VARIE 15.3 CHANGEMENTS DE REGIME PERTES DE CHARGE SINGULIERES PERTES DE CHARGE DE TYPE BORDA 0 3. PERTES DE CHARGE LIEES AUX PILES EN RIVIERES EN REGIME FLUVIAL PERTES DE CHARGE LIEES AUX SEUILS PERTES DE CHARGE LIEES A LA MORPHOLOGIE 8 4. NOTIONS SIMPLIFIEES DE SEDIMENTOLOGIE MECANISMES D ARRACHEMENT DES MATERIAUX FORCE TRACTRICE ET AFFOUILLEMENT AUTOUR DES OUVRAGES QUANTIFICATION DES AFFOUILLEMENTS REGIMES TRANSITOIRES LES CRUES DES COURS D EAU (ONDES DE CONTINUITE) 4 5. LES ONDES RAPIDES (ONDES DE RUPTURE) BIBLIOGRAPHIE /09/0

3 1. Conventions, définitions et paramètres 1.1 Grandeurs caractéristiques Géométrie du cours d eau Aussi tortueuse que le problème de l antériorité de l œuf sur la poule, la question de l antériorité du lit du cours d eau sur l écoulement liquide qu il accueille peut paralyser durablement un débat de logiciens. Pour ce qui nous concerne, considérant que les variations des conditions ydrauliques d une rivière se font souvent à une écelle de temps nettement inférieure à celle des variations de morpologie, nous adopterons dans toute la suite de l exposé le principe de la rivière à fond fixe, c est-à-dire dont la géométrie ne varie pas dans le laps de temps de nos études. L étude des rivières dites «à fond mobile», qui voient leurs caractéristiques géométriques varier au cours d un événement ydraulique, relève de la sédimentologie. On désigne sous le nom de lit mineur l encoce topograpique dans laquelle s écoule la rivière depuis son étiage (très faibles débits) jusqu'à son débordement (débit dit de plein bord, ou plenissimum flumen) au-delà des berges. Le camp d expansion des crues désigne l enveloppe maximale de terrain bordant la rivière et qui peut être submergée par ses eaux. On y distingue le lit mineur, naturellement, mais aussi le lit majeur qui est son complémentaire, et dans lequel on parle, pour certains cours d eau du bassin méditerranéen, de lit moyen, qui est une zone de transition morpologique entre le lit mineur omogène et la fraction omogène du lit majeur. On oriente l écoulement d une rivière de l amont vers l aval. L intuition attribue à la pente du cours d eau un rôle prépondérant dans la nature des écoulements, qui sera confirmé par la téorie. Exprimée en mètres par mètre (m/m) et souvent notée i ou I, elle se calcule en divisant la dénivelée altimétrique entre les points du fond de deux sections distinctes de rivière, par la distance orizontale qui les sépare. Elle est souvent donnée en valeur absolue, bien que localement, pour un tronçon de rivière donné, le point bas de l amont puisse être plus bas que le point bas de l aval. La pente de la rivière peut être différente de la pente de la vallée, qui est calculée dans le lit majeur sans suivre nécessairement les éventuels méandres du cours d eau. Le repère cartésien mobile est orienté par convention dans le sens amont - aval pour les x croissants, les altitudes z étant orientées à la verticale depuis le bas vers le aut, et les y fermant le repère direct sur l orizontale ortogonalement à la direction de l écoulement. Dans une section en travers donnée, on appelle miroir l interface entre l eau et l air, par une évidente analogie avec la propriété de réflexion qui caractérise la surface de l eau et qui rend possible les effets optiques des jardins et des fontaines. Plus pragmatiquement, la largeur au miroir est la distance entre les deux limites d extrémité du miroir. Notée B, elle s exprime en mètres (m). Dans les rivières cenalisées, on appelle plafond la largeur orizontale du fond (le plat fond) lorsqu elle existe. La surface d eau comprise dans le plan de coupe de la section en travers, est la surface mouillée, notée S et exprimée en mètres carrés (m²). Elle est bornée en limite supérieure par l interface entre l eau et l air (le miroir), mais aussi par une courbe d interface entre l eau et le lit, dont la longueur curviligne est appelée périmètre mouillé, noté p et exprimé en mètres (m). 10/09/0

4 Enfin, on définit le rayon ydraulique comme étant le rapport de la surface mouillée par le périmètre mouillé, noté R, exprimé en mètres (m). Cette quantité retranscrit peu ou prou l influence de l interface eau - lit sur la capacité d écoulement de la section, c est-à-dire que pour une surface donnée, plus le rayon ydraulique est important, plus l interface eau - lit est réduite, ou encore, plus la frontière de la section d écoulement est de nature «air» plutôt que «lit». B S p On imagine sans peine que le frottement de l eau sur l air est moindre que celui de l eau sur le lit, et donc, que le rayon ydraulique est une passerelle commode pour relier les caractéristiques géométriques de forme de la section mouillée à sa capacité ydraulique effective d écoulement. Sans trop anticiper sur la suite du cours, on sent bien que la section mouillée est le siège de l action motrice de l écoulement tandis que le périmètre mouillé est la zone où s exerce l action de ralentissement par frottement, et donc, que le rayon ydraulique traduit, pour une géométrie donnée, le rapport de force entre action motrice et ralentissement Grandeurs ydrauliques Pour une section d écoulement S donnée, on définit le débit comme étant le volume de liquide écoulé à travers la surface S de cette section pendant l unité de temps. Il est noté Q, et s exprime en m 3 /s. Si V(M) désigne la composante normale à la section considérée en un point M de celle-ci, on a : Q = V( M) ds S On définit la vitesse moyenne de l écoulement, notée V et exprimée en mètre par seconde (m/s), le rapport du débit par la section normale d écoulement. Bien que le niveau d eau, noté Z et exprimé en mètres (m), accapare bien souvent toute l attention, il n est que l une des composantes d une grandeur caractéristique plus pertinente de l énergie du cours d eau : la carge ydraulique, également appelée carge de Bernoulli, noté H, exprimée en mètres (m). En un point M donné de la trajectoire d une molécule de fluide, cette quantité a pour expression : H M Z M P ( M ) V( M)² ( ) = ( ) + + ρg g Z est la cote absolue ou le niveau d eau, exprimée en mètres (m). P est la surpression, exprimée en pascals (Pa), au-dessus de la pression atmospérique. ρ est la masse volumique de l eau (1000 kg/m 3 ). g est l accélération de la pesanteur (9.81 m/s²). V est la vitesse, exprimée en mètres par seconde (m/s). L un des intérêts de cette carge ydraulique est d intégrer les contributions des trois facteurs d énergie «mécanique» ydraulique que sont Z, pour l énergie potentielle, liée aux forces de volume P, pour l énergie de pression, liée aux forces de pression, ρ g ² V et g, pour l énergie cinétique, liée aux forces d inertie. Pour la trajectoire d une molécule de fluide en surface de l écoulement, le lieu des Z représente le profil de l eau, celui des Z niveau (ou la ligne) de carge. P + représente le niveau piézométrique et celui des H est le ρ g 3 10/09/0

5 Considérons un axe vertical dans l écoulement, qui coupe le miroir de largeur B en un point A et le fond en un point A. Les lois de l ydrostatique expriment la relation qui existe entre la profondeur d eau d un point M sur cet axe et la pression en ce point. A M A Ainsi, P( M) = P( A) + ρg[ Z( A) Z( M) ] Z M P ( M ) ( ) + = Z( A) ρg. ou encore, en considérant que P(A) = 0 au miroir, Le niveau piézométrique est confondu avec le niveau de l eau dès lors qu on se trouve à surface libre. Pour un écoulement donné à travers une section d écoulement, on relie la vitesse moyenne V à la moyenne quadratique des vitesses des molécules de fluide V(M) par le coefficient de Boussinesq adimensionnel β traduisant l étérogénéité du camp de vitesse dans la section : 1 β = V² S S V( M)² ds. Usuellement, ce nombre varie entre 1 et Moyennant ces deux considérations, il en découle naturellement l expression de la carge ydraulique dans une section S donnée en travers de l écoulement : 1 1 H H M ds Z M P ( M ) 1 V( M)² sec tion = ds ds S ( ) = S ( ) + g + S g S S ρ S Z( A) V ² = ds + V( M)² ds = Z( A) db+ S g S B β g S S miroir Cette relation simple 1 V ² Hsec tion = Z( A) db+ B β g miroir permet de décrire l énergie ydraulique d une section d écoulement à l aide uniquement de la cote de la surface libre de l eau et de la vitesse moyenne de l écoulement à travers cette section, pondérée par le coefficient de Boussinesq. Dans la grande majorité des cas, on considère que l écoulement suit un axe privilégié unique (ypotèse filaire ou 1D) auquel le vecteur vitesse moyenne, résultante des vecteurs vitesse des points de la section ortogonale à l axe, est tangent, et sur lequel on rapporte toutes les quantités de description de l écoulement. De même, il est très rare de considérer β 1. Enfin, sauf dans le cas d écoulements de grande vitesse dans des courbes serrées, on peut supposer que le niveau d eau dans une section ortogonale à l axe d écoulement n est pas influencé par les forces centrifuges, et qu il est donc constant sur toute la largeur B correspondante, égal à Z(A). La carge dans une section d écoulement ortogonale à l axe d écoulement filaire est, dans ces ypotèses, égale à : V ² Hsec tion = Z( A) + g 4 10/09/0

6 1. Régimes d écoulements 1..1 Laminaire ou turbulent (nombre de Reynolds) On dit qu un écoulement est laminaire (ou tranquille) lorsque les filets liquides qui le composent sont parallèles et juxtaposés. Les molécules de fluide ont alors cacune une vitesse dont le vecteur est tangent à l axe d écoulement, et l écoulement a des caractéristiques parfaitement déterminées en caque point. Inversement, un écoulement est dit turbulent lorsque ses molécules de fluide ont une direction principale identifiée dans le sens de l axe principal d écoulement, à laquelle s ajoute une composante transversale. Les filets d eau ont tendance à s entrecoquer dans des tourbillons de distribution aléatoire, générant une agitation interne. Les paramètres de vitesse et de direction de caque molécule de fluide ne peuvent être déterminés à un instant donné, même s il est possible d accéder aux valeurs moyennes de ceux-ci. Ces deux régimes, séparés par un régime de transition mêlant les deux sur une certaine longueur de mélange, peuvent être mis en évidence à l aide de l expérience de Reynolds 1, qui a laissé son nom au nombre adimensionnel permettant de caractériser le régime d écoulement, laminaire s il est inférieur à 000 et turbulent s il est supérieur à 300. VD Re =, ν où ν est la viscosité cinématique (10-6 m²/s à 0 C), V est la vitesse moyenne dans la section (m/s) et D est le diamètre équivalent pour une conduite circulaire (m), que l on peut rapporter au rayon ydraulique en exprimant simplement la section et le périmètre mouillés d une conduite circulaire de rayon D/, ce qui donne : R = D π D = D 4 π ou encore, tout simplement, D = 4 R. Le nombre de Reynolds en rivière s écrit donc : R e VR = 4 ν En réalité, si cette distinction entre régime laminaire et régime turbulent s avère essentielle pour la compréension, puis la modélisation des écoulements liquides, elle ne nous intéresse guère. Il suffit de prendre quelques exemples de valeurs de V et R représentatives de cours d eau pour se rendre compte que le régime d écoulement est toujours turbulent en rivière, sauf éventuellement lors d étiages très sévères qui voient presque la vitesse moyenne s annuler. 1.. A surface libre ou en carge Nous avons déjà eu l occasion de citer précédemment le caractère «à surface libre» des écoulements que nous considérions, étant acquis que les écoulements qui nous concernent, en cours d eau naturels ou canalisés, comportent un miroir, c est-à-dire une interface entre l eau et l air. Cette ypotèse nous a permis d écrire que la pression au niveau de la surface libre était égale à la pression atmospérique. L état normal d une rivière est d être ainsi «à ciel ouvert», «à surface libre», avec un fil d eau ou un miroir identifiable. Pourtant, il arrive que tout ou partie du cours d eau entre en carge, c est-à-dire que l écoulement n est plus en contact avec l air, et qu il est astreint à se cantonner dans une section entièrement composée d interface eau - lit dans laquelle sa pression diffère de la pression atmospérique. Dans la pratique, on rencontre ce cas lorsqu une partie du cours d eau passe en buse dans une zone urbaine, ou encore lorsque le niveau d eau est tel qu un ouvrage d art transversal de type pont ou remblai, par exemple, est submergé. Ce cas de figure doit rester marginal, pour des raisons évidentes de sécurité des ouvrages d art concernés, mais aussi d inondations alentours, car la submersion de ces ouvrages a souvent des. 1 Cf. annexe à ce sujet 5 10/09/0

7 incidences sur la vulnérabilité des zones voisines. Aussi n aborderons-nous pas dans le détail ces écoulements radicalement différents des écoulements à surface libre. Il faudra cependant garder en mémoire cette distinction entre «à surface libre» et «en carge» pour la suite, car les métodes de calcul dans le premier cas empruntent beaucoup aux expérimentations faites dans le second cas Permanent (stationnaire) ou non-permanent (transitoire) Le régime permanent désigne un écoulement dont les caractéristiques ne varient pas dans le temps. Le régime stationnaire désigne un écoulement dont les caractéristiques ne varient pas dans le temps... sur le laps de temps considéré. Cela se traduit matématiquement par la nullité de toutes les dérivées partielles des grandeurs par rapport au temps. Naturellement, le régime est dit non-permanent ou transitoire lorsque les paramètres de l écoulement varient dans le temps, qu il s agisse d une perturbation instantanée ou plus étalée dans le temps, comme une ouverture de vanne, une régulation de barrage, une crue lente ou rapide, une sassée d écluse, une rupture d ouvrage ydraulique, un pompage, etc. Dans la réalité, le régime permanent stricto sensu ne se rencontre quasiment jamais, mais selon la longueur de rivière et le laps de temps considérés, il est très souvent valide de faire l ypotèse de permanence du régime Fluvial ou critique ou torrentiel (nombre de Froude) De toutes les caractérisations de régime, celle-ci est sans doute l une des plus importantes, car elle conditionne entièrement le raisonnement ydraulique lors d une étude. On sait, depuis notre lointain apprentissage du français, que le mot torrent désigne un cours d eau de montagne, tandis que le mot fleuve désigne un cours d eau qui se jette dans la mer. Si cette connaissance dictionnairique nous fournit une première approce, pragmatique et simpliste, de ce que sont les régimes torrentiel et fluvial, par les souvenirs imagés qu elle peut susciter, elle ne nous dit pas si un torrent qui se jette promptement dans la mer est plutôt un torrent ou un fleuve ou les deux à la fois. L ydraulique, elle, nous fournit la réponse. Recourant toujours à des images simples, selon une illustration très largement employée par les ydrauliciens, prenons l exemple des ondes infinitésimales. Derrière ce nom barbare se cace un pénomène expérimenté par cacun dans sa petite enfance, à savoir les petites ondes, d amplitude négligeable par rapport à la auteur d eau qui les porte, qui naissent autour d un caillou lancé dans l eau. Ces petites rides se propagent à partir de ce point... de diverses façons selon le régime du milieu liquide concerné. Dans une étendue immobile ou presque, comme un lac ou un étang, tout un cacun sait que les rides sont circulaires et concentriques autour du point d entrée du caillou dans l eau. Les ondes s éloignent de ce point à la vitesse (on parle plutôt de célérité) de g, où g désigne l accélération de la pesanteur, et la auteur d eau moyenne. Dans les eaux lentes d un fleuve classique, si l on fixe précisément l endroit où le caillou s est enfoncé dans l eau, on se rend compte que les cercles des ondes infinitésimales qui ont été ainsi générées ne sont pas concentriques, mais sont emportées par le courant vers l aval. Si V désigne la vitesse moyenne de courant, la composition des vitesses nous permet d affirmer sans crainte que le front de l onde dévalant la rivière a une vitesse de V + g évidemment positive, tandis que le front de l onde remontant le courant a une vitesse de V g négative, ce qui déforme le cercle initial de la ride en une ellipse étalée de part et d autre, vers l aval et vers l amont, de son point de naissance. Il en va de même pour les ondes qui se forment autour d un petit obstacle fixe planté dans la rivière (comme un pieu, un bâton... ou une pile de pont) : une série de rides se forment vers l aval, mais également vers l amont. On dit dans un tel cas que l information d une perturbation locale de l écoulement est remontée vers l amont. Le régime est dit fluvial ou lent. A l inverse, un œil alerte et très exercé pourrait peut-être apercevoir le devenir des mêmes ondes générées par un caillou lancé... dans un torrent de montagne! A peine générées, les rides sont tout simplement emportées par le fort courant. Même les rides qui se forment lors de l introduction d un bâton dans le cours d un torrent sont cassées vers l aval sans qu aucune ride ne «remonte» vers l amont. On dit que l information de la perturbation ne remonte pas vers l amont. Les vitesses des deux 6 10/09/0

8 fronts des ondes infinitésimales V torrentiel ou rapide. + g et V g sont toutes deux positives. Le régime est dit Cette approce simple et pratique nous fournit une clef pour la distinction entre régime fluvial et régime torrentiel, grâce à la comparaison des quantités V et g. Si la première est inférieure à la seconde, le régime est fluvial, sinon, il est torrentiel. Ce que traduit parfaitement le nombre de Froude : F = V g Si F<1, le régime est fluvial. Si F>1, le régime est torrentiel. désigne la auteur moyenne dans la section, calculée à l aide du rapport de la section mouillée par la largeur au miroir (S/B) : BV ² F² = gs Evidemment, l istoire n a pas encore dit ce qu il advenait lorsque F=1. Pour prendre la mesure de ce que recèle cette égalité d apparence si anodine, nous recourrons à la notion de carge spécifique, notée H s, exprimée en mètres (m) comme la carge de Bernoulli dont elle est extraite, puisqu elle s écrit : H = + V ² s g, avec Z(A) = Z F + ( la auteur d eau, Z F la cote de référence prise au fond de la section d écoulement), c est-à-dire qu elle dérive de la carge H section par soustraction de la cote du fond. Introduisons la relation de débit Q = V S() pour obtenir une équation en : H = Q + ² s gs( )² Dérivons cette quantité par rapport à la auteur : dh d s 1 d Q S Q = 1+ ² ( )² = ² g d gs( ) 1 3 ds( ) d B Or, et c est bien là l une des grandes utilités de la largeur au miroir B, on a : ds() = B d, d où : ds S d dh d s BQ² BV ² = 1 3 = 1 = 1 F² gs( ) gs( ) Le cas F = 1 correspond au minimum de carge spécifique dans une section donnée, auquel est associé une auteur unique appelée auteur critique, notée c, exprimée en mètres (m). Le régime est alors dit critique. 7 10/09/0

9 On visualise ce minimum sur la courbe Q=Q(), à carge spécifique constante, dont l équation est : ( H ).( s gs( )²) = Q² On voit également que pour une carge spécifique donnée, il existe deux façons de faire passer un débit Q : l une en régime fluvial et l autre en régime torrentiel. c Q Si, dans le calcul, c est le nombre adimensionnel de Froude qui permet de qualifier le régime de fluvial, critique ou torrentiel, dans la nature, d un point de vue pratique, c est à la pente i ou I du cours d eau qu il faut imputer tel ou tel régime correspondant, comme l intuition et le dictionnaire le suggèrent. A une forte pente correspond le régime torrentiel, tandis qu à une faible pente correspond le régime fluvial. Il suffirait de connaître une relation entre cette pente i et le nombre de Froude F pour clore définitivement cette question. Nous ne nous en priverons pas, le moment venu. Pour l eure, rappelons simplement que : BV ² F² = gs si F ou F² < 1, le régime est fluvial si F ou F² = 1, le régime est critique si F ou F² > 1, le régime est torrentiel La auteur critique c correspond au minimum de carge spécifique à débit fixé Uniforme ou varié ou normal On dit d un régime permanent qu il est uniforme lorsque les caractéristiques de cet écoulement (, V, Q) ne présentent pas de variation dans son étendue et sa durée. A la constance temporelle s ajoute la constance spatiale, et donc, toutes les dérivées partielles des paramètres de l écoulement par rapport au repère spatial sont nulles. Dès que l une des caractéristiques de l écoulement en régime permanent présente une variation dans l étendue du tronçon étudié, le régime est dit varié. On distingue le régime graduellement varié, pour lequel les caractéristiques de l écoulement varient lentement dans l espace, du régime rapidement varié, pour lequel elles varient rapidement. Le régime étant permanent, seules des variations spatiales, et donc liées à la géométrie du lit, sont à l origine des variations des caractéristiques de l écoulement. L écoulement uniforme peut, à ce titre, être considéré comme une régime téorique que l écoulement tendrait à adopter s il n était contraint à la variation par la géométrie du lit. On formalise ce concept à l aide de la notion de régime normal, qui correspond, pour les conditions ydrauliques et géométriques d une section donnée, aux valeurs que prendraient les caractéristiques de l écoulement ( et V), pour le même débit, si le régime était uniforme. En particulier, on note N la auteur normale, exprimée en mètres (m) correspondant à ce régime normal, et on la compare à la auteur critique c pour déterminer si le régime varié est fluvial normal ( N > c ) ou critique normal ( N = c ) ou torrentiel normal ( N < c ). On aura donc compris que l écoulement peut parfaitement se trouver localement en régime permanent graduellement varié avec une auteur réelle inférieure à la auteur critique, donc en régime torrentiel, alors que la auteur normale correspondante peut tout à fait être supérieure à cette même auteur critique, le régime normal étant donc fluvial. Il faudrait considérer un tel cas, absolument pas marginal, comme un régime normal fluvial, localement torrentiel. Cet exemple peut être généralisé comme suit : fluvial normal critique normal torrentiel normal fluvial local > c et N > c > c et N = c > c et N < c critique local = c et N > c = c et N = c = c et N < c torrentiel local < c et N > c < c et N = c < c et N < c 8 10/09/0

10 1.3 Equations de l ydraulique fluviale Equation de continuité Nous avons pu aborder, dans les pages qui précèdent, un grand nombre de notions ydrauliques sans faire appel aux équations fondamentales des écoulements, pour la simple raison que nous avons ceminé à travers le temps en raisonnant, de manière accélérée et avec le confort du recul, comme le firent les divers découvreurs de la science ydraulique : en partant de l observation pour dégager les téories qui les sous tendent. L équation de continuité constitue la première marce entre observation et téorie. Elle traduit simplement l évidence pysique de la conservation de la masse de fluide contenue dans un volume fictif Λ donné. L eau étant incompressible dans les conditions de température et de pression qui nous concernent, on conçoit en effet sans peine que toute la masse de fluide qui entre dans ce volume fictif doit, pour ce faire, casser une masse équivalente pour en prendre la place. Si Q 1 désigne le débit entrant dans le volume fictif Λ, et Q le débit sortant de ce même volume fictif Λ, l équation de continuité s écrit tout simplement : Q 1 = Q ou encore V 1 S 1 = V S. Arrêtons-nous un instant sur l interprétation pratique de cette équation, pour démentir une fois pour toutes une idée reçue communément répandue, et fausse. Les seuils et barrages mobiles en rivière constituent certes un obstacle en rivière - c est même souvent leur raison d être. Ils peuvent gêner les écoulements en les freinant et en les exaussant, c est indéniable - et même souaité lors de la conception. Mais en aucun cas, dès lors que le régime est stationnaire, ces ouvrages ne «retiennent du débit». Le débit qui arrive à l amont d un tel ouvrage en régime stationnaire francit l ouvrage d une manière ou d une autre pour se retrouver intégralement à l aval de l ouvrage. Par contre, lors des pases transitoires d élévation des ouvrages, le volume en amont se comporte comme un réservoir que le débit entrant remplit avant d atteindre un nouvel état stationnaire... et de sortir à nouveau intégralement à l aval. En régime transitoire, on traduit l équation de continuité par le fait que tout volume entrant qui n est pas évacué par le flux sortant se traduit par une augmentation de volume entre l entrée et la sortie : Q x + B t = Equation de Bernoulli Au 18 ème siècle, Bernoulli s appuie sur les téorèmes de conservation de l énergie des corps solides en mouvement énoncés par Huygens et Leibnitz pour proposer un téorème équivalent pour les fluides incompressibles, de conservation de la carge qui porte son nom, et dont on a vu qu elle était la somme d une énergie potentielle (niveau piézométrique) et d une énergie cinétique. Le téorème dit qu en tout point d une ligne de courant, la carge ydraulique est constante... H M Z M P ( M ) V( M)² ( ) = ( ) + + = H ρg g constante... aux dissipations par frottement interne près. En notant, entre deux sections S 1 et S en travers du cours d eau, H 1! la perte de carge dissipée par frottement interne comptée positivement, on écrit donc le téorème de Bernoulli rapporté aux sections d écoulement sous la forme : Z 1 V1 ² V ² + = Z + + H g g 1 Avec l équation de continuité, nous disposons donc de deux équations pour trois inconnues : V, Z et H 1!. La détermination empirique des expressions pertinentes de cette perte de carge donnera alors accès à la connaissance, pour un état de géométrie et d écoulement donnés, des deux paramètres qui nous intéressent : V et Z. On définit la perte de carge linéaire, notée j et exprimée en mètre par mètre (m/m), comme étant l opposé du rapport de la perte de carge dh sur la distance curviligne infinitésimale dx séparant S(x) et S(x+dx). conséquence du régime turbulent (i.e. de l agitation interne) 9 10/09/0

11 H1 j = lim = 1 x x 1 dh dx Equation(s) du mouvement Pendant que Bernoulli père et fils mettaient la dernière main à leur fameux téorème, Euler écrivait l équation de quantité de mouvement traduisant l équilibre global des forces vectorielles agissant sur le volume Ω de fluide considéré, de surface Σ, le vecteur normal étant désigné par n r r et les forces extérieures agissant sur le volume ayant pour résultante Ω ρ v r V d t ρ r r r r r ( ) Ω+ V( V. n) dσ = F Σ Navier et Stockes ont exploité le téorème de la divergence sur une surface de contrôle pour écrire cette équation localement sous la forme vectorielle : r r r 1 r r r V + V grad( V ) = grad( p) + g + ν V t ρ ou encore, si r V a pour coordonnées dans le repère cartésien (u, v, w), sous la forme projetée : u u u v u w u 1 p = + ν u t x y z ρ x v u v v v w v 1 p = + ν v t x y z ρ y w u w v w w w 1 p = + ν w g t x y z ρ z Dans le cas de l eau, la viscosité 3 ν est très faible (1, m²/s), et l on peut légitimement faire l ypotèse qu il s agit d un fluide parfait, de viscosité nulle, de sorte que le système d équations paraît se simplifier. Hélas, ces équations de Navier-Stokes demeurent malgré cela non linéaires, et n ont pas de solution analytique qui nous permettrait de décrire tous les écoulements de liquides dans les trois dimensions. Elles sont demeurées pour ainsi dire ermétiques jusqu'au dernier quart du 0 ème siècle, ne cédant une part de leur mystère qu à la force des scémas numériques de résolution et de l essor de l informatique. De ces expressions indigestes, on ne retiendra que l existence, pour ce qu elles ne nous sont d aucune utilité pratique, mais sont la base des outils numériques de calcul ydraulique. F. 3 se reporter au capitre : Laminaire ou turbulent (nombre de Reynolds) page /09/0

12 . Régime permanent.1 Régime uniforme.1.1 Propriétés Par définition du régime uniforme, Q, V et sont constants tout au long de l écoulement considéré. Si Z F désigne la cote du fond, la cote de la surface libre Z est égale à : Z = Z F +. L expression de la perte de carge linéaire donne alors : dz F d dz F j = + = = i. dx dx dx Si le régime est uniforme, la perte de carge linéaire est donc égale à la pente du cours d eau. Et inversement, si la perte de carge linéaire est égale à la pente du cours d eau (j = i), alors est constante, et donc, à débit constant, V l est également, et le régime est uniforme. Le régime uniforme est donc caractérisé par une auteur, un débit et une vitesse moyenne constants, ou encore, ce qui équivaut à la propriété de parallélisme entre le profil en long du fil d eau et le profil en long du fond..1. Formules empiriques Dans les conditions du régime uniforme, faciles à obtenir en laboratoire ou en nature dans un canal de géométrie fixée assez long pour ne pas être perturbé par les effets de bord, un pas décisif dans la connaissance empirique de l ydraulique a été franci par les ydrauliciens qui ont tenté d établir une relation entre les paramètres géométriques du canal et la vitesse moyenne de l écoulement. On doit à Cézy la première tentative retentissante, avec sa formule : =, V C R i où V est la vitesse moyenne (m/s), R le rayon ydraulique (m), i la pente du fond (m/m) et C un coefficient empirique (m 1/ /s), dit de Cézy, dépendant de la forme de la section et des parois. Pourtant, c est Bazin qui établit une relation plus explicite du coefficient de Cézy : 87 C = γ 1+ R, où γ est un paramètre représentatif de la rugosité du lit, variant de 0.06 pour un lit lisse (ciment) à 1.75 pour un lit de terre enerbée et de galets. Cette formulation donne l impression de faire reculer simplement un cran plus loin le moment de décider du coix apparemment arbitraire du paramètre représentatif du lit du cours d eau et pourtant, elle a le mérite de mettre en évidence la faiblesse de la formule de Cézy, dans laquelle le rayon ydraulique intervient dans plusieurs facteurs, ce qui rend malaisée l interprétation de son influence sur la sensibilité du calcul de la vitesse moyenne. L ydraulicien Manning, à qui cette faiblesse n avait pas écappé, proposa une autre expression du coefficient de Cézy : C = R n, ce qui permet une décomposition plus lisible de l expression de la vitesse moyenne : V = 1 n R 3 ( ) i 1 où le paramètre n peut être décliné en abaque de rugosité selon une typologie exaustive des lits de cours d eau /09/0

13 Cette formule est également connue sous le nom de formule de Strickler, du nom de l ydraulicien qui proposa le coefficient dit de Strickler, K, plus maniable que son inverse n dû à Manning, et donc, plus couramment utilisée : 1 ( ) V = K R i Hauteur normale, pente critique Les conditions du régime uniforme ne se rencontrent que très rarement en nature, et correspondent de fait plutôt à des ouvrages artificiels de canalisation des écoulements. Pour autant, la connaissance précise du régime uniforme grâce à la formule de Strickler nous permet de déterminer deux quantités que nous avons déjà évoqué lors de la définition des conventions, paramètres et régimes des écoulements de cours d eau : la auteur normale et la pente critique. La auteur normale est, pour écoulement quelconque de débit Q donné, la auteur d eau N que l on observerait si le régime était uniforme, c est-à-dire sans influence ni de l amont, ni de l aval, comme si l écoulement s effectuait dans un canal uniforme de section identique à celle où la auteur normale est calculée. Comme Q = VS, on a directement que N est telle que 1 ( )( ) Q = KS( ) R ( ) 3 i N N Il va de soi que, si le régime est uniforme, la auteur d eau de l écoulement est égale à la auteur normale. D autre part, nous avons vu qu un écoulement donné pouvait être de régime fluvial, critique ou torrentiel selon que le nombre de Froude était inférieur, égal ou supérieur à 1. Mais il a été dit qu en nature, c est la pente du lit qui détermine le régime du cours d eau. La formule de Strickler nous fournit la relation qui nous manquait entre la pente du cours d eau et la vitesse, de sorte qu on écrire l expression de la pente critique : BV ² gs F² = = 1 Vc ² = gs B or V ² = K²( R 3 ) i c c c 4 c c d où : i c = gs c BK²( R ) c c 4 3 Si, pour un débit donné, la pente du cours d eau est supérieure à cette pente critique, le régime est torrentiel. Si elle est égale, le régime est critique, et si elle est inférieure, le régime est fluvial. Evidemment, la pente du cours d eau ne bougeant pas (ypotèse de fond fixe), c est bien la pente critique qui est à recalculer pour ces comparaisons, en fonction du débit..1.4 Distribution des vitesses La notion de vitesse moyenne, que l on a simplement définie comme le rapport du débit par la section mouillée, cace mal l étérogénéité de la distribution des vitesses dans la section. Sur une ligne verticale, on rencontre trois types de vitesses caractéristiques qu il suffira de relier selon une conique (paraboloïde) pour avoir une idée du profil des vitesses sur cette ligne : au fond, ou au contact de l interface eau - lit, on peut considérer (ypotèse très classique) qu il y a adérence (non glissement) entre le filet liquide et le matériau constitutif du lit, d où M interface( eau lit ) ( V M ) lim ( ) = /09/0

14 sur une couce d eau voisine de l interface eau - lit, d épaisseur ζ, l écoulement est turbulent rugueux, c est-à-dire qu il est fortement perturbé par la proximité d anfractuosités et dissipe localement de l énergie, occasionnant le gros de la perte de carge linéaire et atténuant fortement la vitesse, si bien qu on peut écrire lim ( ( )) V M Vζ < V ζ z Il résulte nécessairement de ces deux considérations qu il existe une trance de liquide dans laquelle les molécules d eau ont une vitesse sensiblement supérieure à la vitesse moyenne, atteignant un maximum noté V M. Cette trance est appelée le filon. au niveau de l interface eau - air, les frottements et les tensions superficielles réduisent la vitesse des molécules d eau du filet liquide de surface libre à quelques pourcents de moins que la vitesse maximale lim ( ( )) η z Z V M V < V M Moyennant ces appréciations grossières, on dispose du portrait robot du profil des vitesses sur une verticale de fluide : Fil d eau (V η ) V η Filon (V M ) V M Vitesse moyenne (V) V Couce limite (V ζ ) Interface eau - lit (V=0) V ζ Pour mémoire, on peut retenir les quelques ordres de grandeurs indicatifs suivants : V η ~ 0.95 V M V M ~ 1.5 V V ζ ~ 0.30 V On estime la profondeur de submersion du filon entre 0 et 30% de la auteur d eau, comptée à partir du fil d eau, et la auteur ζ de la couce la limite entre 1 à 3 fois le diamètre d Rugosité La formule de Manning-Strickler présente l intérêt de clairement factoriser la part d influence due à caque élément constitutif de la vitesse de l écoulement : la pente motrice (i), la forme de la section d écoulement (R ) et la rugosité de l interface eau - lit (K ou n). Ce dernier facteur concentre à lui seul toute l attention et tout le métier de l ydraulicien qui utilise la formule de Strickler, car il est le seul sur lequel un coix a priori doit être fait. Plusieurs ont tenté de donner une formule déterministe de ce coefficient en fonction de la nature du matériau constitutif de l interface eau - lit. Mais aucune n a donné entière satisfaction, ne serait-ce qu à cause de la complexité des notions masquées derrière le terme de rugosité qui désigne, pour ce qui nous concerne, la somme des influences de la rugosité «de peau» des matériaux constitutifs du lit (taille des aspérités de surface), de la rugosité «de forme» de ces éléments (arrêtes vives ou non) et de la rugosité «de morpologie» ou «d ensemble» de l agencement des matériaux (pavage ou dunes ou rides). La combinaison de ces influences, évidemment très mal connue, détermine l épaisseur de la couce limite ζ et la vitesse V ζ correspondante, dont résulte plus ou moins directement K! 13 10/09/0

15 L illustration ci-dessous montre comment la rugosité «d ensemble» peut sensiblement varier en agençant de deux manières différentes les mêmes éléments. 1 6 K = = n d où d 90 désigne le diamètre tel que 90% en masse du matériau est de diamètre inférieur. Evidemment, cette formule est séduisante pour le dimensionnement de canaux nouveaux dans un sol dont on pourrait connaître la courbe granulométrique, mais elle est difficile à mettre en œuvre pour un cours d eau réel. De plus, on peut également trouver la même formule avec d 65, défini de la même manière que d 90, selon que l on tient compte de l entraînement (et donc la perte) à plus ou moins long terme des éléments fins du matériau de lit. En l absence de toute espèce de certitude en la matière, il est fortement recommandé de tester les deux formules pour apprécier la sensibilité de la formule dans un cas réel. Cette formule ne considérant que la rugosité de peau du matériau, on ne s étonnera pas d obtenir grâce à elle un majorant du coefficient de Strickler réel. 1 K an n n n n n n = = ( ) (formule de Cowan) où a est le facteur de méandrisation (variant de 1 à 1.3), n 0 le terme lié au matériau du lit (de 0.00 pour la terre à 0.08 pour les graviers grossiers), n 1 est le terme d irrégularité de surface (de 0 pour une paroi lisse à 0.00), n est le terme de variation de forme (de 0 à 0.015), n 3 est le terme représentatif des obstructions (de 0 à 0.06) et n 4 est le terme lié à la végétation (de à 0.100). On peut aussi se baser sur les fourcettes de valeurs issues des études de Pardé i qui établissent une typologie des cours d eau et lui associent les valeurs de K correspondantes, ou encore utiliser les tables similaires du CEMAGREF 4. Catégories selon les études de Pradé Petits cours d'eau de montagne à fond très irrégulier, largeur de l'ordre de 10 à 30 mètres Cours d'eau de montagnes larges de 30 à 50 mètres, avec pentes supérieures à 0,00 et fond de gros graviers (par exemple 10 à 0 centimètres de diamètre pour beaucoup d'entre eux) Rivières de largeur comparable ou supérieure, à pente comprise entre 0,0008 et 0,00, avec fond de graviers dont le diamètre extrême en général ne dépasse pas 10 centimètres (Rin à Bâle) Pente comprise entre 0,0006 et 0,0008, graviers de 4 à 8 centimètres (Rône à Lyon) Même pente mais cailloux plus petits (Rône à la porte de Scex avant le Léman) Pente inférieure à 0,0006 et supérieure à 0,0005, cailloux très petits ou sable (Danube à Vienne) Cours d'eau peu turbulents, avec pentes de 0,0001 à 0,0005, fond de sable et de boue (Seine, Saône, Rin inférieur) Très gros cours d'eau à très faible pente (moins de 0,0001) et fond très lisse (Volga, Danube ongrois, Mississipi inférieur) K (Strickler) 3 à 6 7 à 9 30 à à à à 4 43 à à 50 4 cf. annexe à ce sujet 14 10/09/0

16 En réalité, si ces différentes approces fournissent des ordres de grandeur de K, voire des fourcettes de valeur probable en les combinant, la meilleure métode pour déterminer K reste l utilisation de données in situ de mesure simultanée de la auteur d eau et de la vitesse... mais qui souffrent malgré tout des incertitudes liées aux tecniques de métrologie. Il faut retenir que plus le lit est rugueux, plus le coefficient de Strickler est petit, et plus le lit est lisse, plus le coefficient de Strickler est grand, et que les incertitudes sur la «véritable» valeur de K sont telles qu il est absurde d écrire ce coefficient avec une précision inférieure à l unité! Le lit d écoulement des cours d eau réels n est pas toujours suffisamment omogène pour considérer qu une valeur unique du coefficient de Strickler permet d en refléter fidèlement la rugosité. On peut ainsi trouver légitime de segmenter le périmètre mouillé total p en n segments omogènes au plan de la rugosité, de périmètre mouillé p i { 1;...; n }, affectés cacun d un coefficient de Strickler K i 1;...;. { n } La formule de Mülloffer-Einstein permet de déterminer le coefficient de Strickler K résultant de la composition de ces rugosités : K p 3 = i { 1,..., n} p K i 3 i sous réserve que cette étérogénéité ne conduit pas à des tubes de courant de vitesse différente au sein de l écoulement qu ils cisailleraient, avec les pertes d énergie que cela impliquerait. En particulier, les écoulements débordants, qui comprennent une vitesse en lit mineur souvent très nettement supérieure à la vitesse en lit majeur, ne rentrent pas dans le camp d application de cette formule. Par contre, l influence (sur les écoulements) du remplacement d un fruit de talus en plaques de béton (peu rugueuses, donc de coefficient de Strickler élevé) par une berge végétalisée (plus rugueuse, de coefficient de Strickler plus petit) peut être examinée en recourant à cette formule.. Régime graduellement varié..1 Propriétés On considère que les paramètres ydrauliques et V varient lentement d une section d écoulement à l autre. Dans l axe d écoulement (x), les dérivées secondes de ces quantités par rapport à l abscisse curviligne x sont quasi nulles. On peut considérer qu entre deux section d écoulement suffisamment proce S(x) et S(x+dx), le régime graduellement varié est assimilable à un régime presque uniforme pour lequel s appliquerait la formule de Strickler, ou plutôt, une extrapolation de cette formule. Car au lieu de lier la vitesse moyenne à la racine de la pente du fond (i), l astuce consiste à la lier à la racine de la pente de carge ydraulique (j), la formule devenant alors : V = K R j 3 1 Lorsque le régime est uniforme, par la propriété afférente d égalité entre j et i, on retrouve bien l expression établie par Strickler. Mais dans le régime graduellement varié, il est évident que la pente de carge j ne peut plus être égale à la pente du fond i, par le fait des variations de V et. Cependant, les variations de V et de ne sont pas aléatoires, puisque ces deux quantités sont liées par une relation de carge, déjà entr aperçue au premier capitre de ce cours, et notamment, de carge spécifique, dont on rappelle l expression : H V s = + ² g L analyse de cette quantité avait notamment permis d établir l existence d une auteur critique c telle que cette énergie spécifique soit minimum à débit fixé. Et le nombre de Froude avait été défini comme le rapport de la vitesse moyenne par la célérité des ondes infinitésimales, valant 1 pour la auteur critique. On rappelle qu on avait établi : dh d s BQ² BV ² = 1 3 = 1 = 1 F² gs( ) gs( ) 15 10/09/0

17 .. Equation de la ligne d eau L équation de la ligne d eau (fil d eau) correspond à la fonction Z=Z(x) ou encore =(x) dès lors que la cote du fond est connue. Or, H s = H - Z F, donc : dhs dh dz F = = j+ i dx dx dx dhs dhs d = = 1 F dx d dx et ( ) d dx d où l expression des variations de la surface libre de l eau (ors du régime critique F=1) : d i j = dx 1 F A partir d une section d écoulement de auteur connue, on peut déduire de la formule cidessus les tendances d évolution, et donc, pas à pas, les auteurs d eau voisines. En écrivant, pour un débit donné, les expression de i et de j par la formule de Strickler, on a : i j QSR ² ² = QS ² ² R n n 3 j est du signe de N. D autre Or les fonctions S() et R () sont croissantes, donc i part, 1 F ² est du signe c. La auteur d eau étant donc connue dans une section d écoulement donnée, il est possible de connaître la variation de auteur de proce en proce à partir de cette auteur connue selon sa position par rapport aux deux auteurs de références que sont c et N...3 Courbes de remous Dans un canal uniforme de section donnée, on peut déduire de l équation précédemment établie les courbes types d un écoulement de débit donné, selon que la «position» de la auteur d eau considérée en un point par rapport aux deux auteurs caractéristiques. Ces courbes sont appelées courbes de remous. Elles fournissent une référence de tendance des variations d une ligne d eau confrontée à une perturbation qui l écarte de la ligne d eau normale. Régime fluvial normal ( N > c ) J<Jc n c Régime fluvial local ( > c )! vers l amont, tend à retrouver N! vers l aval, si > N, la ligne d eau tend vers l orizontale et si N > > c, tend vers c Régime torrentiel local ( < c )! vers l amont, tend vers zéro! vers l aval, tend vers c Régime torrentiel normal ( N < c ) J>Jc c n Régime fluvial local ( > c )! vers l amont, tend vers c! vers l aval, la ligne d eau tend vers l orizontale Régime torrentiel local ( < c )! vers l amont, si > N, tend vers c et si < N, tend vers zéro! vers l aval, tend vers N L analyse de ces courbes de remous montre qu en régime fluvial local, à partir d une auteur donnée, on tend toujours à l amont vers une valeur déterminée N ou c. On retrouve là le constat 16 10/09/0

18 empirique de «remontée» des informations qui nous avait permis de qualifier le régime fluvial avec la propagation des ondes infinitésimales : les équations sont, en régime fluvial local, «déterministes» de l aval vers l amont, ou, autrement dit, il suffit de connaître la auteur dans une section donnée pour déterminer la auteur dans les sections situées en amont. Et de fait, une perturbation de l écoulement à un endroit donné n a de répercutions qu en amont de celui-ci. A l inverse, en régime torrentiel local, à partir d une auteur donnée, on tend vers une valeur connue N ou c... vers l aval : l information se propage, comme les ondes infinitésimales, de l amont vers l aval, et il suffit de connaître la auteur d eau dans une section donnée pour déterminer la auteur d eau dans les sections situées en aval. Une perturbation apportée à l écoulement n aura de répercussions qu en aval de celui-ci. Pour ces raisons, on dit que le régime fluvial est contrôlé par l aval, tandis que le régime torrentiel est contrôlé par l amont. Les courbes de remous peuvent être assemblées comme un puzzle dès lors que l on respecte ce principe dans le sens de propagation de l information..3 Cangements de régime.3.1 D un régime fluvial à un autre On peut illustrer l utilisation simple des courbes de remous en examinant les cangements de régime. Imaginons un cangement de pente (plus forte dans le tronçon aval que le tronçon amont) dans un canal de section constante, tel que dans les deux tronçons, le régime est fluvial normal, tandis que l écoulement est uniforme à l aval. On sait donc que la auteur d eau à l aval est égale à la auteur normale N, déterminée à l aide de la formule de Strickler. Sur tout le tronçon aval, jusqu au point précis de cangement de pente, la auteur d eau est donc déduite de la précédente, et égale à la auteur normale N. Sur le tronçon amont, de pente moindre, donc de auteur normale N1 plus aute, le régime étant fluvial, on déduit caque auteur d eau à partir de l aval, où la auteur est égale à N. La courbe de remous se déduit donc simplement : N1 c N c.3. D un régime torrentiel à un autre De même, il est aisé de prévoir la courbe de remous d un cangement de pente faisant passer d un régime torrentiel à un autre moins rapide, par exemple, mais cette fois-ci, il nous faut postuler que le régime uniforme est établi en amont de notre tronçon amont, section de contrôle en régime torrentiel. On a donc = N1 à la limite amont, puis on dévale le premier tronçon jusqu au cangement de pente, à partir duquel, seulement, on ressent l influence du ralentissement ( N > N1 ). On rejoint N selon la courbe de remous idoine /09/0

19 c N1 c N.3.3 Passage du régime fluvial au régime torrentiel Sans plus de complication, on peut mener un raisonnement similaire pour établir la courbe de remous du passage d un régime fluvial en amont à un régime torrentiel en aval... si ce n est que nous nous trouvons face à une petite subtilité en ce qui concerne la section de contrôle : il faut qu elle soit à l aval du tronçon fluvial, et à l amont du tronçon aval... c est-à-dire exactement à la jonction entre les deux tronçons. S agissant d une section de contrôle unique pour deux régimes différents, il ne peut s agir que de la auteur critique c. Cette propriété intéressante se rencontre à caque fois qu un régime fluvial amont jouxte un régime torrentiel aval par une section de contrôle, ce qui est bien pratique lorsqu on veut mesurer un débit par exemple : il suffit d alterner une pente douce avec une pente raide provoquant le régime torrentiel pour mesurer à coup sûr c au droit du cangement de pente, et en déduire Q par la formule de c, fiable dès lors que la géométrie section est judicieusement coisie! N1 c c N.3.4 Passage du régime torrentiel au régime fluvial Ce dernier cas est le plus problématique des quatre, et il suffit d appliquer le raisonnement des sections de contrôle pour s en apercevoir. Considérons un tronçon amont en régime torrentiel et un tronçon aval en régime fluvial. La section de contrôle du tronçon amont est donc son extrémité amont, puisqu on est en régime torrentiel, où la auteur (régime uniforme) est N1. La section de contrôle du tronçon aval est son extrémité aval, puisqu on est en régime fluvial, où la auteur (régime uniforme) est N. On peut donc dévaler la courbe de remous à partir de la section amont du tronçon amont, et remonter cette même courbe de remous depuis la section aval. Mais puisqu on est en régime torrentiel normal à l amont, l influence du cangement de pente ne se fait pas sentir tant qu on n atteint pas exactement cette section, et de même, en régime fluvial normal à l aval, le cangement de pente n a pas d influence sur tout le tronçon aval, ce qui implique qu en dévalant à N1 depuis l amont, et en 18 10/09/0

20 remontant à N depuis l aval, on se trouve directement, dans la section de cangement de pente, avec une auteur d eau qui peut être N1 dans la section immédiatement voisine à l amont, et N dans la section immédiatement voisine à l aval! Or, N1 et N sont de part et d autre de c... nous voici avec deux auteurs possibles en une même section! En réalité, pour assurer cette transition brutale entre le régime torrentiel et le régime fluvial, la nature se ménage une zone de forte agitation dans laquelle le niveau de l eau se surélève brusquement dans un rouleau d eau où il n est pas possible de déterminer, à un instant donné, si la ligne d eau se trouve à la auteur fluviale ou torrentielle. c N1 N 1 Cette zone de transition du régime torrentiel au régime fluvial s appelle ressaut ydraulique, et rien d autre ne porte un tel nom. Selon l intensité de l écoulement torrentiel, la masse d eau lente du régime fluvial est repoussée plus ou moins loin vers l aval, allant éventuellement jusqu'à faire commencer le ressaut après la ligne de cangement de pente. Mais s il est de faible intensité, le régime fluvial peut occuper tout le tronçon aval et noyer une partie du tronçon amont. On appelle auteurs conjuguées 1 et les auteurs à l amont et à l aval du ressaut ydraulique. Le téorème d Euler permet d établir la relation entre 1 et pour un ressaut donné. Il fait intervenir les paramètres θ 1 et θ, qui sont les ratios de auteur correspondant au centre de gravité y 1 et y des sections mouillées S 1 et S encadrant le ressaut : y 1 = θ 1 1. F 1 désignant le nombre de Froude dans la section S 1, on a : θ S S 1 1 S 1 θ1 = F1² 1 S Dans le cas d une section rectangulaire, θ 1 = θ = 0.5 et S S 1 = [ ] : 1 = F1 ² 1 1 Il s agit alors de faire coïncider 1 avec la auteur en amont du ressaut ou avec la auteur en aval du ressaut pour déterminer longueur et noyage du ressaut. Des dispositifs d amortissement peuvent être mis en place, largement développés dans la littérature tecnique. Outre l indétermination de la auteur d eau dans le ressaut ydraulique, le passage du régime torrentiel au régime fluvial présente une autre caractéristique intéressante. Autant les trois cas précédents présentaient une continuité pysique au droit du cangement de régime, autant le ressaut ydraulique est le siège d une forte dissipation d énergie ponctuelle. Son expression découle directement des considérations de auteurs conjuguées : V1 ² V Hressaut = + g ² g + 1 Contrairement aux pertes de carge par frottement, qu on a vues régulières, linéaires et continues, le ressaut occasionne un «décrocage» de la ligne de carge, qui supprime de facto une fraction de son énergie à l écoulement. Ce sera notre premier exemple de perte de carge singulière /09/0

21 3. Pertes de carge singulières 3.1 Pertes de carge de type Borda Ecoulements en carge Nous avons vu qu il existait deux catégories de pertes de carge : les pertes de carge linéaires, liées au frottement, et les pertes de carge singulières qui affectent la carge ydraulique en un endroit donné. Cette notion a été mise en évidence pour les écoulements en carge, où elle joue un rôle très néfaste dans la capacité de transport des fluides en réduisant l efficacité et le rendement des dispositifs de mise en mouvement de ces fluides, et les capacités d évacuation d une conduite donnée, impliquant donc un surdimensionnement ici de la auteur de relevage des stations de pompage, là des sections d écoulement nécessaires pour évacuer les débits idoines. Ainsi, lorsqu une singularité se présente dans la géométrie d une conduite en carge, elle fait cuter la carge ydraulique dans la section immédiatement voisine, dans le sens de la propagation des informations ydrauliques. Son influence est donc ponctuelle et durable. Perte de carge linéaire Perte de carge singulière Ligne de carge Ligne piézométrique Pysiquement, cette perte de carge provient du fait que la veine liquide se décolle d une géométrie aux variations trop brusques, entraînant la neutralisation de la zone comprise entre la veine liquide décollée et la veine solide de la géométrie, et l augmentation locale de la turbulence par resserrement des filets liquides. L ydraulicien Borda établit, à l aide du téorème de quantité de mouvement, l expression explicite de cette perte de carge pour un élargissement brusque, qui fut adoptée pour toutes les pertes de carges singulières en écoulement en carge, dite formule de Borda : V H = 1 ² ξ g où V 1 est la vitesse à l amont de la singularité et ξ un paramètre dépendant de la forme et de la rugosité de la singularité, et de la turbulence de l écoulement (nombre de Reynolds), nommé coefficient de perte de carge singulière.. L ydraulicien russe Idel cik dressa les tables de référence de détermination de ce coefficient de perte de carge pour les principaux types de singularités : orifice d entrée ou de prise d eau, élargissements brusques, diapragmes, diffuseurs, coudes, brancements, grilles, vannes, clapets, joints, saillies, entretoises, orifice de rejet d eau et appareils ydrauliques Singularités dans les écoulements à surface libre Il était séduisant de transposer cette importante littérature tecnique pour les écoulements en rivière, mais les singularités ne produisent pas en surface libre les mêmes perturbations que dans les écoulements en carge. Ainsi, la singularité génère une perte de carge singulière qui, au lieu d abaisser brusquement la ligne de carge, produit ses effets sur une zone d influence étendue, répartissant la perte de carge 0 10/09/0

22 singulière de part et d autre de l obstacle. Mais loin en amont et loin en aval, à moins d une dissipation d énergie de type ressaut ydraulique, l écoulement retrouve ses caractéristiques énergétiques comme s il n y avait pas de singularité. Pour une singularité donnée, on peut donc estimer la perte de carge singulière associée, qui provoquera un remous en amont (en régime fluvial) ou en aval (en régime torrentiel) sur une certaine longueur d amortissement. Compte tenu de la difficulté de calculer précisément ces courbes de remous dans un cas de rivière réel, on conçoit facilement les limites d une métode à tâtonnements successifs pour déterminer la bonne perte de carge singulière. Longueur d amortissement Aussi, faute de mieux, la pratique consiste à faire appel à une formulation de la perte de carge singulière extrapolée de la formule de Borda : V V H = ξ ( )² 1 g en déterminant ξ par les abaques des écoulements en carge en première approximation, puis en ajustant ce paramètre dans la mesure du possible. La formulation de Borda pour les pertes de carge singulières en cours d eau reste un pisaller, auquel il ne faut avoir recours qu avec prudence et parcimonie, à défaut de disposer d une formulation mieux adaptée dans la bibliograpie. Nous présentons ci-après trois cas pour lesquels la perte de carge singulière dans un écoulement en rivière a été déterminée. 3. Pertes de carge liées aux piles en rivières en régime fluvial 3..1 Pénomènes considérés La présence d un ouvrage maçonné de type pile de pont ou de barrage dans le lit mineur d un cours d eau prive ponctuellement la section d écoulement d une fraction de surface mouillée, occasionnant un rétrécissement générateur de remous, puis, dans la foulée, un retour à la section d écoulement nominale par un élargissement plus ou moins brutal, générateur de perte de carge singulière à la Borda. 1 10/09/0

23 On s intéresse ici à la perte de carge, autrement dit, au remous d exaussement, en amont des piles qui augmente la valeur moyenne de la auteur d eau au-dessus de la auteur normale. Il ne s agit donc pas d apprécier la auteur du bourrelet d eau local qui se forme sur la face amont des piles, et qui est sensiblement plus aut que le remous d exaussement moyen. Pour simplifier le raisonnement, on ramène l analyse de l écoulement au droit des piles à la section médiane, pour laquelle les auteurs caractéristiques sont notées N et c. Il va de soi que, le débit restant incangé au francissement de la singularité, et les piles occasionnant nécessairement un rétrécissement, d une part N < N, et d autre part, c < c. La vraie question qui se pose lorsqu on applique le raisonnement des courbes de remous est de savoir si H N est supérieur ou inférieur à H c : dans le premier cas, on dit que le régime est noyé (le niveau en aval de l obstacle influence le niveau à l amont de l obstacle), dans le second, le régime est dénoyé (le niveau amont s établit sans aucune influence du niveau aval, par rupture de la propagation d information de l aval vers l amont). N N N N c c N c c N c c 3.. Détermination de l exaussement maximal On appelle B 0 (où L) la largeur au miroir du régime normal en amont de la singularité. C g et C d sont les largeurs d empiétement de la largeur au miroir respectivement par les culées de droite et de gauce lorsqu elles existent. B désignera la largeur au miroir dans la section rétrécie entre culées sans tenir compte des piles, et on aura donc : B 0 = L = B + C g + C d. La largeur d empiétement dans la section en travers de l écoulement, due à la i ème pile (1 i n), est notée D i, et la largeur d encombrement total des piles est notée D : D = D i 1 i n C g B 0 ou L B D N (Q) C d C g B C d B 0 ou L D 10/09/0

24 Le coefficient de contraction (due aux culées) noté M désigne le rapport B/L ou B/B 0. Le coefficient d obstruction (due aux piles) noté J désigne le rapport D/B. Le coefficient d excentricité (due aux culées) noté e désigne la valeur absolue du rapport (C g -C d )/max(c g,c d ). Pour un ouvrage biais dans l écoulement, on rapporte toutes les largeurs caractéristiques à leur projection sur la section ortogonale à l axe de l écoulement principal, pour refléter les largeurs «apparentes» selon l axe d écoulement. On dispose de deux métodes pour calculer l exaussement maximal à l amont des piles. La métode de Bradley propose une formulation (désormais familière) de type Borda : K V a ² = *. g où V a désigne la vitesse moyenne de l écoulement dans la section rétrécie sous la auteur N (comme s il n y avait pas de rétrécissement, ni de pile...), c est-à-dire : V a Q = B. N et K* est un coefficient déterminé à l aide des abaques 5 de Bradley comme somme de termes : K * = K + K + K b p e K b tenant compte de la contraction latérale M, de la forme des culées et de l ouverture de l ouvrage B ; K p tenant compte de l obstruction J due aux piles, de la forme des piles et du rapport de contraction M ; K e de la contraction M et de l excentricité e. Une autre formule a été proposée par Rebock, avec le mérite de faire appel à moins de paramètres : V ² V = [ R R ]( + + ) + g ² 4 µ σ.( µ 1) σ σ 9σ. 1. g où σ est le taux de réduction global de la section due aux culées et aux piles : σ = B D = B B D L 0 dans le cas scématique, ou, plus généralement, le rapport entre la surface mouillée normale avec aménagement sur la section mouillée normale avant aménagement ; µ R est un coefficient caractéristique de forme des piles, fourni par des abaques 6 et V est la vitesse aval sous la auteur normale V N Q B 0 N =. Le principe de ces équations reste applicable si le régime est graduellement varié, en assimilant N à la auteur de tirant d eau avant aménagement Problématique en lits composés Tant que l écoulement est cantonné en lit simple, les métodes proposées permettent d avoir une assez bonne idée du remous d exaussement lié aux piles de l ouvrage étudié. Les coses se compliquent nettement si l écoulement est débordant et occupe deux lits dans le régime normal ou avant aménagement. En effet, l exaussement de la ligne d eau en amont de l ouvrage augmente localement la pente ydraulique dans le lit mineur et le lit majeur, ce dernier pouvant éventuellement opposer moins de résistance à l avancement liquide que le premier, et donc, capter une fraction plus importante de débit. La détermination de l équilibre de répartition des débits entre les deux lits est la clef du calcul de remous d exaussement en lits composés. On applique donc la formule de Bradley à cacun des deux lits selon le paramètre α de transfert de débit du lit majeur vers le lit mineur (+αq maj dans le lit mineur, -αq maj dans le lit majeur). On a donc, après aménagement, Q 1 = Q min + αq maj dans le lit mineur et Q = (1-α) Q maj dans le lit majeur. Le calcul des rapports de contraction devra tenir compte de ces transferts de débits, de la manière suivante : 5 cf. annexe à ce sujet 6 cf. annexe à ce sujet 3 10/09/0

25 Section avant aménagement Section après aménagement N maj Q maj Q maj N min Q min min Q 1 C gmaj B maj C dmaj C gmin D C dmin L min L maj B min L min L maj Lit mineur M J V min min a min = Q min D = Bmin Q = min Qmin + α. Q + α. Q N min. B = + K min N min min maj maj B L min min V ² a. g * min min Lit majeur M maj J maj = 0 V amaj Qmaj = ( 1 α). Q ( 1 α). Q =. B Nmaj maj maj maj B L maj maj V ² maj = Nmaj + K * maj. g amaj Il suffit alors de cercer α tel que : =. min N min maj Nmaj Cette extension directe de la formulation en lit simple ne reste valable que si les écoulements transversaux aux lits mineur et majeur sont limités, et si le lit majeur n est pas trop étendu. Elle permet notamment de dimensionner les ouvrages de décarge en lit majeur nécessaires pour rendre un remblai d accès à un ouvrage d art traversant une vallée inondable, aussi transparent que possible sur le plan ydraulique. Pour en terminer avec les pertes de carge liées aux piles en rivière, on signalera simplement la scématisation de ces formulations, qui les rend d autant plus difficilement applicables que les formes de lit mineur et majeur s éloignent du bien commode rectangle! Et quand bien même, les incertitudes de lecture des abaques couplées aux imprécisions des formulations expérimentales conduisent à prendre du recul par rapport aux résultats obtenus pour le remous d exaussement. S ils sont pertinents comme ordre de grandeur réaliste de ce remous, ils doivent être complétés, pour les infrastructures traversant des vallées importantes, par des essais sur modèle réduit par exemple pour affiner ces impacts. Enfin, on remarquera que si les formules permettent d estimer la perte de carge singulière, la longueur d amortissement du remous, elle, ne pourra généralement découler que d une modélisation ydraulique. 4 10/09/0

26 3.3 Pertes de carge liées aux seuils Pénomènes considérés On désigne sous le nom de seuil une surélévation france et artificielle du fond d un cours d eau. Ce type de contraction de section d écoulement peut être rencontré indifféremment en régime fluvial ou torrentiel, avec des effets visibles sur la ligne d eau tout à fait contraires. A titre d illustration, l application des raisonnements de remous fournit quatre grands types d influence d un seuil en rivière, selon que H N est supérieur ou non à H c dans la section du seuil. Régime fluvial normal H N > H c H N < H c Régime torrentiel normal H N > H c H N < H c Les deux cas de régime torrentiel normal sont l un relativement inintéressant en pratique (la surélévation du niveau étant modeste et circonscrite strictement à la zone de l ouvrage lui-même), et l autre déjà abordé dans ce cours, puisqu il s agit d un ressaut ydraulique dont nous avons établi les auteurs conjuguées et la dissipation d énergie. Ce dernier cas est mis en pratique dans les ouvrages de dissipation d énergie en aval des ouvrages générant de fortes vitesses d écoulement nuisibles à la sécurité des biens et des personnes. Par contre, dans le cas du régime fluvial normal, le seuil a une influence sur toute une zone en amont de la singularité, traduite par une surélévation du niveau d eau, ou encore un exaussement, ou encore une perte de carge singulière. Nous nous concentrerons ici sur la détermination de cette perte de carge singulière en régime fluvial normal Principe du débit maximum et formule de Bazin Imaginons une rivière dont la carge à l amont d un seuil serait connue et fixée, mais dont nous modifierions à notre guise la carge à l aval de ce seuil. On peut imaginer que le niveau amont est un réservoir suffisamment grand pour que le niveau reste sensiblement constant pendant la durée de l expérience, tandis que le niveau aval est une vidange que nous contrôlons par le niveau. Il est facile de visualiser les différentes configurations types de cet abaissement, numérotées de 1 à 5. La cinquième courbe traduit un cangement considérable par rapport aux quatre précédentes : la lame d eau sur le seuil, dont on comprend bien qu elle s amenuise au fur et à mesure, est alors éjectée dans le vide en une nappe libre sans autre contrainte que la pesanteur et le frottement de l air /09/0

27 Ces deux contraintes n ayant aucune variation notable si on continue d abaisser le niveau à l aval, on n a aucun mal à considérer que la nappe libre francissant le seuil n est pas plus influencée par le niveau aval : on retrouve le concept de dénoyage de la singularité : le niveau aval n influence plus les conditions d écoulements sur l ouvrage. De même, on a vu 7 que le débit à rayon ydraulique fixé était une fonction croissante de la pente ydraulique, laquelle, le niveau aval s abaissant à niveau amont constant, tend donc à augmenter progressivement entre les états 1 à 4. On a donc Q 1 < Q < Q 3 < Q 4. Mais, considérant que la lame d eau s écoule de manière similaire quel que soit le niveau aval en-dessous du cas n 5, on sait que le débit a atteint une valeur maximum entre les cas n 4 et 5. Et comme on passe d un régime fluvial à un régime dénoyé au droit du seuil, on sait que la auteur de la lame d eau sur le seuil, pour le cas n 5, est la auteur critique. On retrouve ainsi ce que nous permettait de prédire matématiquement l examen de la courbe Q = f () à H s constant : pour une carge spécifique amont donnée, le débit évacué par une c section atteint un maximum, pour la auteur critique c. On peut considérer que la carge H 0 en amont du seuil comptée à partir du sommet de la crête est égale à la carge spécifique de la lame d eau au droit du seuil en l absence de pente géométrique et de perte de carge singulière de dissipation, donc H s = H 0 = H c, donc H 0 Vc gc 3 = c + = c + = g g c En régime dénoyé, pour un seuil de section rectangulaire de largeur B, on peut donc écrire : Qdénoyé = Vc. Sc = gc. Bc = B g. H 3 3 Q = 0 dénoyé B. g. H Q plus familière sous la forme dite de Bazin : Il suffit alors d inverser ce raisonnement pour trouver la carge H 0 nécessaire, en régime dénoyé, pour faire passer le débit Q donné Détermination des conditions d écoulements sur les seuils Nous avons raisonné en fixant les auteurs à l amont et à l aval pour déterminer le débit correspondant sur le seuil. Mais la plupart du temps, on considère plutôt un débit qui doit francir un seuil, et on détermine la perte de carge en calculant, à l aide des formules idoines, la auteur amont nécessaire pour ce faire. Fixons le débit et examinons l influence de la auteur aval sur la carge. Lorsque la carge à l aval immédiat du seuil dépasse une certaine valeur, elle influence l écoulement en le ralentissant, et, pour un débit donné, provoque une surélévation «supplémentaire» de la carge à l amont du seuil. Cet état est dit noyé. La transition entre dénoyage et noyage du seuil est L très importante pour la capacité d évacuation de débit, car à débit identique, la carge amont, et pratiquement, la auteur amont, peut être augmentée de manière conséquente, engendrant une forte ausse de la perte de carge, sur une y grande longueur en amont. 1 La frontière est instable et sensible. La démarce de détermination des conditions d écoulement sur un seuil doit p y être scrupuleusement suivie pour éviter toute erreur dont les conséquences peuvent être sérieuses. C 7 au paragrape : Formules empiriques page /09/0

28 a) Niveau de référence des carges ydrauliques : les auteurs ydrauliques (y 1 et y ) les carges ydrauliques sont comptabilisées au-dessus de la cote du sommet de la crête du seuil, de même que la carge amont (Y 1 =y 1 +(V 1 ²/(g))) et la carge aval (Y =y +(V ²/(g))). Le volume de fluide devant la pelle du seuil, notée p et exprimée en mètres, ne participe pas à l écoulement qui francit l obstacle. On a donc : i = p + y i et H i = p + Y i. b) Epaisseur du seuil au regard de l écoulement : pour francir le seuil, l écoulement tend vers des conditions ydrauliques «forcées» (auteur critique notamment) si la longueur de l obstacle dans le sens de l écoulement, autrement appelée épaisseur de crête C, est suffisante pour permettre l établissement de ce régime. Si tel est le cas, le seuil est dit épais au regard de l écoulement, et dans le cas contraire, il est dit mince. Le critère de caractérisation du type «seuil mince» ou «seuil épais» est basé sur la longueur de crête C et sur la carge amont Y 1. C C < Y1 Y > 1 3 seuil mince seuil épais Ce critère d apparence simple nécessite toutefois certaines précautions d emploi. En effet, la plupart du temps, la carge amont Y 1 est inconnue, c est même précisément l élément qu on cerce à déterminer. Il faut donc faire une ypotèse a priori sur l ordre de grandeur de la carge qu on peut attendre à l amont, mener la suite du calcul et vérifier la validité de l ypotèse retenue. En général, on peut considérer que Y 1 sera comprise entre Y N et Y N +p (où Y N désigne la carge normale amont sans l obstacle... comptée au-dessus de la pelle p). D autre part, il est difficile de statuer a priori sur le comportement du seuil si sa crête C est comprise entre 0.5 Y 1 et 1.5 Y 1. Il faudra alors mener les deux calculs, en seuil mince et en seuil épais, pour balayer l intervalle de perte de carge plausible, et appliquer en tant que de besoin les principes de précaution et marge de sécurité. c) Noyage - dénoyage de l écoulement : on rappelle que l écoulement est dit dénoyé si la carge aval n influence pas la carge amont, et noyé si la carge aval influence la carge amont. Le critère de distinction dépend de l épaisseur du seuil au regard de l écoulement, d où l importance d effectuer d abord cette caractérisation pour appliquer le bon critère de noyage - dénoyage. Y 1 y Seuil y < 0 écoulement dénoyé mince y > 0 écoulement noyé Y < 066. Seuil Y1 écoulement dénoyé épais Y > 08. Y écoulement noyé 1 C Y 1 Y C En cas d incertitude sur le critère de noyage, il est recommandé de mener les deux calculs (noyé et dénoyé) et de prendre les précautions idoines. Il est à noter qu un bon dimensionnement de seuil en rivière devrait faire en sorte que, pour les écoulements dimensionnant ou de projet, le seuil ait un comportement ydraulique stable. d) Coefficient de débit du seuil : on désigne usuellement par µ le coefficient de débit représentatif de la géométrie de la section d écoulement d un seuil pour l écoulement dénoyé. La détermination de ce coefficient fait l objet d une littérature abondante pour balayer les nombreuses géométries usitées (rectangle, triangle, arrondi, biais, etc). 7 10/09/0

29 e) Débit dénoyé : dans la grande majorité des cas, µ sert à déterminer le débit dénoyé selon une formule du type : Q = µ. dénoyé L. g. Y1 3 Pour les seuils épais rectangulaires, la formule de Bazin donne µ = Pour un seuil mince rectangulaire, on retiendra la valeur indicative de µ = e bis ) Débit noyé : d une manière générale, on retiendra de l examen de la littérature tecnique le fait que la prise en compte du noyage du seuil se fait soit par la multiplication du débit dénoyé par un coefficient modérateur pour les seuils minces, soit par la réduction plus complexe de la carge «motrice» amont par la carge aval «freinage» : Q = K. Q = K µ. L. g. Y1 noyé noyage dénoyé noyage = µ... ( ) noyé 1 Q L y g Y y 3 pour les seuils minces pour les seuils épais 3.4 Pertes de carge liées à la morpologie Méandres, virages Bien que l ypotèse d orizontalité de la ligne d eau dans un profil en travers ortogonal à l axe d écoulement principal soit généralement vérifiée, les quelques cas où elle ne l est pas méritent d être signalés et examinés, afin de tordre le cou au réflexe quasi généralisé de recours à des modèles complexes dès qu un problème de ce type se présente. Un écoulement qui aborde un virage voit ses lignes de courant amorcer des trajectoires élicoïdales plus ou moins amples selon la courbure du lit, le courant de surface tendant à rouler sous le courant du fond et vice versa jusqu'à la sortie du virage. Le ceminement ydraulique des molécules de fluide est donc rallongé, et par conséquent, la perte de carge par frottement également. Certains auteurs proposent une diminution du coefficient de Strickler de 5 à 0% selon la courbure du virage, dans tout le virage, pour tenir compte de ce ralentissement. Mais on peut également considérer une perte de carge singulière soit dans la section amont (régime fluvial) soit dans la section aval (régime torrentiel) bornant le virage, de sorte que les considérations de remous propagent cet exaussement maximal. A θ A B C r B C A B C La formulation (classique) de cette perte de carge singulière est de type Borda, avec un coefficient de perte de carge calculé en fonction du rayon moyen du virage, de la largeur au miroir B, de la auteur normale et de l angle balayé par le virage. Pour les canaux et cours d eau, K peut 8 10/09/0

30 prendre des valeurs comprises entre 0 et Dans ces conditions, il va de soi que seuls les écoulements rapides peuvent subir une perte de carge de virage significative. L analyse des grapiques d abaques montre que les pertes de carge dans les courbes sont négligeables pour θ<45 et r>b. Les abaques fournissant les valeurs du coefficient de perte de carge singulière sont issues de l expérience, et si elles ne sont pas la panacée universelle, et ne se substituent pas aux études sur modèle réduit lorsque les enjeux le justifient, elles permettent toutefois de traiter simplement les cas de virages prononcés en rivière sans qu une modélisation matématique D ou 3D soit nécessaire. En plus de cet exaussement de la ligne de carge et de la surface libre moyenne dans le virage, l'écoulement peut prendre un dévers dans son profil en travers par l action des forces centrifuges. Z Ce dévers a pour expression simplifiée : V B Z = ². gr. où r est le rayon moyen du virage, B la largeur au miroir, V la vitesse moyenne. Il n est pas toujours pertinent de considérer ce genre de méandres comme simple ajout de pertes de carge singulières sur une analyse de profil en long de ligne d eau. Il peut arriver que les écanges entre lit mineur et lit majeur deviennent prépondérants, ou que le méandre soit court-circuité en forte crue. Les métodes de modélisation de ce genre de pénomènes ydrauliques, entre casier et modélisation D voire 3D, relèvent encore du domaine de la recerce, tant les courants secondaires qui dissipent de l énergie dans des cellules tourbillonnaires incluse dans les écoulements principaux sont difficiles à prédire, à simuler et à prendre en compte explicitement. Il est eureusement assez rare que les études ydrauliques à mener aient à pâtir d une telle «imprécision d indécision» tecnique dans ces zones particulières Confluences La rencontre de deux écoulements distincts dans une confluence génère une perturbation des lignes de courant : d une part, l éventuel rétrécissement relatif de la section totale d écoulement dans le défluent par rapport à la somme des surfaces mouillées des affluents freine ces derniers ; d autre part, la prépondérance de l un des affluents sur l autre génère un «enfoncement» des lignes de courant du plus faible et un décollement de celle du plus fort, répartissant la perte de carge globale en défaveur de l affluent le plus faible. Ces pertes de carge ont fait l objet de nombreuses recerces pour les écoulements en carge, mais aussi pour les écoulements à surface libre, dans le cas de canaux rectangulaires. Les abaques résultantes se basent sur l utilisation des termes Q p /Q l, e/l p, L l /L p où: Q l l élargissement (e) amont aval de la rivière L principale p la largeur (L p ) du bras principal amont α la largeur (L l ) du bras latéral Q p le débit (Q p ) dans le bras principal amont le débit (Q l ) dans le bras latéral l angle (α) de confluence pour fixer un coefficient de perte de carge K. Affluent principal L l Affluent secondaire Q p +Q l Confluent Les confluences sont toutefois plus complexes que les autres types de singularités, et il faut se garder des raisonnements à l emporte pièce sur le sujet. Ainsi, lorsque les flux incidents des affluents sont de débit comparable, et que l angle de confluence est relativement modeste (30 et moins), les quantités de mouvement des écoulements peuvent propulser l écoulement du défluent, le coefficient e 9 10/09/0

31 de perte de carge résultant étant alors... négatif (provoquant un abaissement de ligne d eau plutôt qu un remous d exaussement, et une accélération)! D autre part, un écoulement très faible dans l un des affluents ne signifie pas qu aucune gêne n est occasionnée à la confluence : l élargissement brusque, puis le rétrécissement qui lui répond quelques mètres plus loin, sont source d une perte de carge pour l affluent principal. On retiendra comme ordre de grandeur un coefficient de perte de carge singulière de l ordre de 0.1 lorsque l un des affluents est de débit quasi nul, et entre 0.3 et 0.7 pour les angles compris entre 30 et 80 avec des débits sensiblement distincts. Les coses se compliquent encore lorsque la confluence déborde. Là encore, les pires conséquences ne sont pas à attendre pour des débits sensiblement égaux en lit majeur «mitoyen», car les deux écoulements ont tendance à «s épauler» et à se guider dans une même direction vers le défluent. Par contre, il faut redouter les écoulements en lit majeur qui transfèrent des quantités parfois importantes d eau de l affluent dominant le lit majeur de la confluence vers l affluent qui subit la confluence pour sa partie de lit majeur. Une bonne analyse de confluence dans le cas d un débordement en lit(s) majeur(s) se doit donc d apprécier d une part l impact de crues comparables sur les affluents, et d autre part, les effets d un déséquilibre de débit en faveur de l un, puis de l autre affluent. Illustration - transferts d eau dans le confluent Aisne - Oise et impact d un aménagement dans cette zone, pour des crues concomitantes : à gauce, les grosses flèces indiquent les courants de transfert entre les deux affluents au sein de la confluence ; à droite, un remblai projeté dans la confluence (en traits discontinus) bloque ces transferts et perturbe sérieusement les camps de vitesse (visualisés par les petites flèces colorées) /09/0

32 4. Notions simplifiées de sédimentologie 4.1 Mécanismes d arracement des matériaux Interactions ydrodynamiques Nous avons déjà évoqué le cas d une pile d ouvrage en rivière, dont la présence induit une surélévation du niveau en amont, ou remous d exaussement, d autant plus important que la section occupée par le génie civil est grande, mais aussi, à section d obstruction donnée, que la forme des piles est anguleuse ou asymétrique. La matérialisation des lignes de courant nous montre l existence d une zone localement plus fortement perturbée, autour de la pile, dont nous allons préciser la nature. Les lignes de courant incidentes dont la trajectoire non perturbée tendrait à traverser la zone occupée par l obstacle sont contraintes de contourner cette zone en en épousant le contour, puis, à retrouver la trajectoire non perturbée à l aval de l obstacle. Pour ce faire, la courbure du fluide mu par une certaine vitesse localement accélérée du fait du rétrécissement de section mouillée, ne parvient pas toujours à épouser le contour aval de l obstacle : il y a alors décollement de la veine liquide qui délimite une zone de recirculation (ou d ombre ydraulique) et de courants secondaires dissipateurs d énergie. L obstacle est alors soumis à un gradient de pression de part et d autre de la zone perturbée, ainsi qu à une force de frottement lié à la viscosité de l eau et à la rugosité du génie civil. Cette dernière force est souvent négligée au profit de la première, et on syntétise la résultante des forces de traînée qui s applique à l obstacle dans le sens de la vitesse moyenne de l écoulement sous la forme : F V A C x = 1 ρ. ².. où A désigne le maître couple de l obstacle dans la direction principale de l écoulement et C x désigne, selon la notation empruntée à l aérodynamique, le coefficient de traînée intégrant la forme de l obstacle et la turbulence de l écoulement, combinées dans l analyse du sillage et de sa stabilité. La détermination de ce coefficient est la clef de la force de traînée. Elle nécessite souvent le recours à des essais pysiques pour une bonne précision, mais on peut se contenter de quelques valeurs typiques résultant d essais menés par Wite et publiés en On y constate que le coefficient de traînée maximum (~) est obtenu pour une pile carrée présentant l une de ses face frontalement à l écoulement. La même pile tournée de 45 pour présenter l un de ses coins à l écoulement voit son coefficient de traînée réduit à 1.6, soit 0% de moins. L allongement de la dimension dans la direction principale de l écoulement tend à régulariser l écoulement dans le sillage et à limiter le gradient de pression, de même que des formes d obstacle de trace quadratique respectent mieux la courbure des trajectoires de fluide et contribuent à réduire le coefficient de traînée. On retient ainsi comme ordre de grandeur un coefficient égal à 1 environ pour une forme anguleuse dont la longueur dans le sens de l écoulement est de l ordre de quatre à six fois la largeur, tombant à 0.3 pour une forme elliptique de mêmes proportions pour les axes /09/0

33 4.1. Condition de frottement glissement Nous avons jusqu ici considéré que le lit était fixe pour les écoulements ydrauliques. Toutefois, l examen de la notion de rugosité présente un lit rugueux constitué de matériaux éventuellement libres de quitter le périmètre mouillé ou d être arracés par la force du courant. Si le lit est constitué de matériaux non coésifs, il est possible de préciser les lois de leur entraînement dans le courant. Les forces qui s exercent sur le matériau sont son poids propre déjaugé (poids saturé diminué du poids d un même volume d eau, selon le principe d Arcimède), et la force exercée par le courant décomposée en une composante de force tractrice F a exercée parallèlement au fond et une composante de force de sustentation F s exercée ortogonalement au fond. F s F a G i L entraînement du matériau correspond à une condition classique de frottement / glissement : Ft Fn.tanψ, où ψ désigne l angle de frottement interne des matériaux (usuellement égal au fruit du talus constitué par ce matériau à l équilibre), F t la résultante tangentielle au fond des actions extérieures, F n la résultante perpendiculaire au fond de ces actions extérieures. En exprimant les diverses forces dans le repère (tangentiel, normal) au fond, on a : r F r G V f ² Ca. Ka. d². ρ. = V f ² Cs Ks d.. ². ρ. 3 K.( ω ωeau ). d.sini = 3 K.( ω ωeau ). d.cosi avec C a, C s les coefficients de traction et de sustentation liés au camp de courant, K a et K s les coefficients de forme de la particule par rapport à ces deux directions, d le diamètre moyen de la particule considérée, ρ la masse volumique de l eau, V f la vitesse au fond, K un facteur de forme de la particule, ϖ le poids spécifique du volume considéré. La condition de frottement / glissement s écrit donc, selon la vitesse au fond, sous la forme : V f ( tanψ cos + sin ) ω K i i ² 1. g. d. ωeau Ca. Ka + Cs. Ks.tanψ Critère de vitesse moyenne En réalité, le terme entre crocets est difficile à calculer dans le détail, et on se fonde plutôt sur des abaques fournissant sa valeur globale. Cette difficulté surmontée, il reste à apprécier la vitesse au fond, dont on a vu combien elle était délicate à déterminer, aussi les formules usuelles se rapportentelles à des quantités plus aisément accessibles à l ydraulicien. 1/ 5 ( ) 4 1. d. ( ) d V² ω ω eau formule de Neill, où V désigne la vitesse moyenne de l écoulement (m/s), d le diamètre moyen du matériau de fond (mm) et la profondeur moyenne de l écoulement (m). La littérature tecnique propose d autres formulations tenant compte des nombreuses configurations de lit possibles. On retiendra essentiellement de ceci qu il faut toujours veiller, avant d employer une formule, à exprimer les grandeurs dans les bonnes unités, et à appliquer le critère proposé sur les bonnes vitesses (vitesse moyenne ou vitesse du fond). 3 10/09/0

34 A titre indicatif, on peut fournir quelques ordres de grandeur des vitesses moyennes susceptibles d entraîner du matériau selon sa nature : Nature du matériau Granulométrie représentative (mm) Vitesse moyenne critique V 0 (m/s) de début d entraînement sous 1 mètre d eau sédiments fins sable sable grossier graviers fins graviers moyens gros graviers petits galets galets moyens moellons Ces valeurs issues des travaux de Quidotcnik Stroitlevsk sont valables sous une auteur d eau de 1 mètre. On appliquera les modificateurs suivants pour des auteurs entre 0.50 et 3 mètres : Hauteur (m) Vitesse moyenne critique (m/s) V V V 0 Mais la littérature tecnique fournit également des formules empiriques, telle celle de Velikanov V² crit = g.( 14 d+5. 8) avec d en mm. Le recours à la notion de force tractrice est également récurrent, pour relier la vitesse moyenne à la contrainte de cisaillement du matériau au fond. On peut remarquer, sans s étendre sur le sujet, que la corrélation directe entre vitesse moyenne et entraînement de matériaux explique que les conditions ydrauliques structurantes de la morpologie des cours d eau correspondent aux vitesses moyennes maximales en lit mineur, et donc, au débit de plein bord. Les crues débordantes, plus rares et soumises à des dissipations d énergie - et des réductions de vitesse moyenne - dans les interactions entre les écoulements en lit mineur et en lit majeur, traumatisent le lit plus qu elles ne façonnent Transport solide Une fois qu on a pu statuer sur la mise en mouvement ou non de sédiments, il faut considérer le transport de ces matériaux par le cours d eau. L étude précise des pénomènes de transports relève de la sédimentologie fluviale, qui n est pas l objet du présent cours. On peut toutefois retenir quelques principes conformes à ce que susurre l intuition. On imagine facilement que le matériau mis en mouvement par une vitesse de courant supérieure à la vitesse critique d arracement... s immobilisera dès qu il passera dans une section d écoulement dont la vitesse moyenne repasse en dessous de la vitesse critique d arracement. D autre part, de même que pour le fluide, on peut définir un débit solide Q s qui permettra d estimer les impacts des aménagements sur le transport solide. La détermination de ce débit solide se eurte toutefois à l obstacle de taille que constitue la variété des modes de transport solide qui peuvent coexister pour une granulométrie étendue de matériau. Ainsi, on distingue d une part le carriage, qui voit les matériaux pesants rouler au fond sans en décoller, d autre part la suspension, où la force de sustentation est telle que les grains légers flottent entre deux eaux, et enfin, la saltation, où le grain de matériau avance par bonds successifs. La coexistence de ces trois types de mouvements se fait avec de fortes interactions qui empêcent de juxtaposer directement des formules de débit solide validées pour caque mode pris isolément : les matériaux en saltation peuvent notamment se retrouver, après un saut, devant un grain de matériau en carriage qui se retrouve ainsi bloqué dans sa progression jusqu à ce que l amas ainsi constitué se remette en mouvement /09/0

35 suspension saltation carriage Même dans le cas d un carriage à l exclusion des deux autres modes de transport, la détermination du débit solide est compliquée par le risque de pavage, pénomène par lequel l agencement des matériaux de granulométrie étendue forme une structure dont la stabilité globale visà-vis des forces ydrodynamiques empêce un mouvement qu aurait dû prendre caque élément pris seul dans le courant. La formule de Meyer-Peter est l une des plus communément utilisées en première approce du carriage : V Qs = 0 B ( R j 0 08 d) 3 / ²..... = 0. B. 13 / d K². R 3 / en m 3 /s, si le terme entre parentèse est positif. En calculant ce débit solide en deux sections d écoulement consécutives, on sait, par continuité appliquée au débit solide, le volume de sédiment qui s est déposé ou qui s est arracé, et les variations de auteurs de fond à en déduire. Enfin, si les considérations de vitesse moyenne permettent d analyser succinctement la mobilisation du sédiment pendant un écoulement, elles ne rendent pas compte de toutes les situations d érosion, et notamment, elles escamotent les problèmes de courants secondaires qui apparaissent à proximité des obstacles en rivière et dissipent localement une énergie plus forte que l écoulement moyen où ils se nicent, générant des érosions parfois assez conséquentes dans des zones que l analyse des vitesses moyennes aurait classé comme stables. 4. Force tractrice et affouillement autour des ouvrages 8 Les conditions d arracement par l écoulement des alluvions ou des blocs de protection placés au droit des ouvrages (barrages mobiles, seuils, pieux...) sont décrites en combinant une loi d arracement à une loi de frottement. Ce modèle est déjà simplifié. En particulier : il suppose que l écoulement est unidimensionnel, et ne prend pas en compte les effets multidirectionnels (rouleaux à axe orizontal ou vertical), il considère un diamètre D unique des protections, et néglige donc les effets éventuels d une granulométrie étendue (pavage par exemple), il fait intervenir une grandeur (épaisseur de couce limite) non évaluable directement par le calcul. 8 intégralement extrait des Recommandations pour le calcul aux états limites des ouvrages maritimes et fluviaux 34 10/09/0

36 4..1 loi d arracement La loi d arracement s écrit en exprimant la force tractrice critique τ c par : avec : A c : le coefficient d arracement critique, τ = A. g.( ρ ρ). D c c s ρ s : la masse spécifique du matériau (alluvions ou enrocement), ρ : la masse spécifique de l eau, D : la valeur caractéristique du diamètre du matériau. La force tractrice exprime également la composante longitudinale du poids de l eau sur le grain, elle s écrit donc : τ = ρ. gj.. Le coefficient d arracement A s écrit donc (loi d arracement) : J A =..D où désigne la densité déjaugée du matériau (fascicule Valeurs représentatives des propriétés des matériaux). On définit donc une valeur critique A c, telle que : si A < A c, il n y a pas de mouvement, si A > A c, il y a pas de mouvement, et dans ce cas : il y a affouillement, la profondeur atteignant une valeur telle que A diminue jusqu'à la valeur critique, pour éviter l affouillement, on met en place des enrocements dont les caractéristiques D et sont telles que A reste en deçà de la valeur critique. 4.. loi de frottement La loi de frottement peut s exprimer par la formule de Strickler, en exprimant le coefficient de Strickler K (en unité S.I.) par : K = 1. D 16 / Ce coefficient représente la «rugosité de peau», significative de l énergie dépensée par l écoulement pour transporter les matériaux (l énergie totale est en général plus forte, et donc le coefficient de Strickler global d un tronçon de rivière est en général plus faible que la valeur donnée par cette relation). L'équation de frottement s'écrit donc : 35 10/09/0

37 16 / V = k. g( ) J. D avec : k : un coefficient de frottement adimensionnel (en général k = 8), J : la pente de la ligne d énergie. La relation ci-dessus suppose que l écoulement est entièrement régi par le frottement sur le tronçon considéré. Le terme gj.. est représentatif de la force motrice de gravité (poids d une trance d eau verticale de l écoulement d eau considéré), alors que le terme k est représentatif des D forces de frottement elles-mêmes liées aux conditions d écoulement dans la couce limite. L équation de frottement est donc généralisée en introduisant dans la formule, d une manière qualitative, la notion d épaisseur de la couce limite notée (loi de frottement) : 16 / V = k g '. D 16 / J. L épaisseur de couce limite est estimée de la façon suivante : pour un écoulement uniforme ou graduellement varié régi entièrement par le frottement, = (couce limite développée sur toute l épaisseur de la lame d eau), en considérant par exemple un écoulement à la sortie d un radier lisse (en béton), la couce limite à l aval immédiat de l ouvrage est peu développée. Le profil des vitesses est plus carré, la vitesse près du fond est donc plus grande que dans l écoulement rugueux de même vitesse moyenne (donc la force tractrice est plus grande également). On peut tenir compte de cette particularité en admettant < loi généralisée La combinaison de la loi d arracement et de la loi de frottement aboutit à la relation suivante, V c désignant la vitesse critique d arracement du matériau : V k g ' c =. D 16 / A.. D c Cette équation est utilisée de la manière suivante : les calculs ydrauliques fournissent la valeur la vitesse de l écoulement V, et la grandeur est évaluée en fonction des conditions locales de l écoulement, les propriétés des protections D et sont alors calculées de façon que la valeur de V c reste supérieure à V, ou bien la profondeur d affouillement est évaluée en considérant qu elle conduit à une vitesse V égale à V c /09/0

38 4..4 Coefficient d arracement des blocs ou des sédiments La loi généralisée relie la vitesse critique d arracement des matériaux aux propriétés de celuici. Cette loi est à rapprocer à la formule d Isbac (fascicule Valeurs représentatives des résistances) qui s écrit : Vc = n. g.. D où n est un coefficient dont la valeur dépend de la position du bloc dans le tapis d enrocement. Les essais d Isbac correspondent à une situation de mise en vitesse autour du bloc considéré, donc lorsque la auteur de la couce limite est inférieure à la auteur de l écoulement. Le rapprocement de la formule d Isbac à la loi généralisée conduit à la valeur suivante du coefficient d arracement critique A c : A c = / n ',. D En se plaçant dans les conditions d essai d Isbac, et en supposant que l épaisseur de la couce limite est du même ordre de grandeur que le diamètre du matériau, la valeur de n = 1,38 admise pour un tapis continu aboutit à A c = 0,060 On retient donc cette valeur du coefficient critique d arracement. 4.3 Quantification des affouillements 9 L étude des affouillements au voisinage des ouvrages s inscrit dans le cadre d une étude locale d un secteur limité à la proximité de l ouvrage considéré. A l intérieur de ce secteur, l ouvrage génère en général une perturbation du camp des vitesses de l écoulement, susceptible de provoquer des affouillements du fond de la rivière ou des berges (accélérations de l écoulement, ressaut ydraulique, tourbillons à axe orizontal ou vertical, etc...). Cette étude est indissociable de celle des protections, dont le détail est exposé dans les fascicules Barrages mobiles, Quasi sur pieux et Digues des voies navigables. Le principe de calcul est du ressort de la conception. Dans tout ce qui suit, nous supposons que les études globales relatives à l ydraulique et à la sédimentologie de la rivière sont effectuées. Les données et informations suivantes sont donc disponibles : les débits de tous les événements ydrologiques (basses eaux, crues moyennes, crue représentatives), les conditions d écoulement en aval de l ouvrage, pouvant se traduire par une ou plusieurs lois auteurs-débits (par exemple la loi actuelle, et la loi future après évolution du lit de la rivière), les propriétés des matériaux du lit de la rivière (granulométrie, densité), les données géotecniques (en particulier l altitude et les propriétés du substratum). Les aspects téoriques de l affouillement sont présentés dans l annexe à ce fascicule. 9 idem 37 10/09/0

39 4.3.1 en aval des seuils fixes et des barrages mobiles L étude ydraulique fixe la cote déversante de l ouvrage (nécessaire pour maintenir le plan d eau souaité), sa largeur et sa constitution (béton ou enrocements). Les paramètres à considérer pour l étude des affouillements sont les suivants : la loi auteur débit à l aval, ainsi que son évolution possible dans le temps, couvrant toute la gamme des débits représentatifs considérés ; la non prise en compte d un abaissement possible du lit à l aval de l ouvrage peut entraîner une erreur grave dans le dimensionnement du bassin de dissipation (le ressaut ydraulique peut être cassé à l aval si la auteur d eau aval est en réalité inférieure à celle qui a été prise en compte dans les calculs), les propriétés des matériaux transportés par la rivière, les données géotecniques. Dans la grande majorité des cas, il n est pas admis d affouillement à l aval immédiat de l ouvrage, car cela conduirait à une situation non contrôlable qui pourrait mettre en cause la pérennité de l ouvrage. Des protections sont donc mises en place. Les règles de dimensionnement des protections sont issues des formules générales indiquées dans le fascicule Barrages mobiles. En l absence de protections, la profondeur d affouillement s est telle que la vitesse V 0 sous la auteur totale est égale à la vitesse critique de début d entraînement des alluvions de la rivière. On peut en toute première approximation évaluer la profondeur d affouillement par application des formules téoriques présentées dans l annexe, qui conduisent à V k g s = D S 16 / 006,.. D S S où S et D S désignent la densité déjaugée et la valeur caractéristique du diamètre des alluvions, et 0 désigne la auteur d eau aval comptée à partir du niveau initial du lit. La vitesse v 0 est évaluée par la métode proposée dans le fascicule Barrages mobiles. Il est recommandé d utiliser cette formule avec beaucoup de précautions, car elle ne prend pas en compte tous les effets tridimensionnels liés à la turbulence qui se développe à l aval de l ouvrage en pied des berges soumises a un courant naturel Outre l accroissement de la force tractrice sur la berge, due à la pente de cette dernière, la cause principale des affouillements est la courbure en plan du lit de la rivière. Cette courbure génère une composante radiale du vecteur vitesse variable suivant la verticale : dirigée vers l extérieur de la courbe en surface, dirigée vers l intérieur au fond. La circulation transversale ainsi créée arrace les alluvions à la berge concave, en surcreusant le pied de cette berge, et ramène les matériaux sur la berge convexe, en remblayant les fonds. Il y a d autres causes possibles des érosions des berges : la modification de l équilibre longitudinal par augmentation de la pente (par exemple l abaissement du lit provoqué par des extractions de matériaux alluvionnaires), la formation à un confluent de dépôts provenant de l affluent, et rejetant le courant sur la rive opposée (cônes de déjection dans les vallées de montagne par exemple), 38 10/09/0

40 la divagation d un bras vif venant attaquer une des berges (cas des lits «en tresse»), le calibrage ou la rectification du lit laissant les berges à nu, le batillage superficiel dû au vent ou à la navigation (voir ci-après). Les principaux paramètres sont les suivants : la nature de la berge (végétation et composition : argile, limons, sables, graviers, galets), les grandeurs caractéristiques de l écoulement au voisinage de la berge (la vitesse essentiellement), l'angle d attaque de l écoulement, défini par le tracé en plan du lit (coude plus ou moins marqué). Il n existe aucune formule téorique permettant de calculer la profondeur d affouillement (le camp de courant au voisinage est trop complexe). Seule une approce empirique est possible. La figure suivante représente, pour les berges quasi-verticales, les résultats d essais systématiques sur modèle réduit pysique réalisés par SOGREAH ; les essais ont été réalisés pour des rivières à forte pente, et il est probable que leur application aux rivières à faible pente conduise à surestimer les affouillements. Sur cette figure, les notations sont les suivantes : : la auteur d eau, pour le débit considéré, sur le fond avant affouillement, H : la auteur d eau, pour le débit considéré, après affouillement ; la auteur de l affouillement s vaut donc : H s =, e : la profondeur moyenne correspondant au début d entraînement du diamètre moyen d 50 des alluvions, calculée par : d e = I étant la densité déjaugée des alluvions et I la pente de l écoulement pour le débit considéré autour des obstacles ponctuels Le trait dominant du camp de courant au voisinage d un obstacle est le développement d un système de vortex, qui est à l origine des affouillements autour de l obstacle. Sur la face amont de l obstacle apparaît un gradient de pression qui oblige le courant incident à ralentir, et à acquérir une composante descendante. Ce courant descendant à son tour induit un courant de fond vers l amont, puis un décollement de ce courant de fond plus en amont. Un grand vortex à axe orizontal est ainsi créé, appelé, à cause de sa forme caractéristique, «vortex en fer à ceval» (orsesoe vortex). C est au moment où le potentiel d arracement des vitesses de fond est suffisamment élevé pour contrecarrer la résistance des particules au mouvement que l érosion commence. Un affouillement se développe alors devant l obstacle, et le transport des matériaux en deors de la fosse se passe en deux temps : le matériaux est déplacé le long de la pente vers l amont, puis transversalement pour être emporté vers l aval. Au fur et à mesure que la fosse d affouillement s élargit, la circulation associée au vortex croît, mais à une vitesse décroissante. La vitesse d érosion diminue donc, jusqu'à ce qu un équilibre soit atteint /09/0

41 En aval de l obstacle, des vortex «de sillage» peuvent également être générés, si l obstacle présente une largeur importante (ce qui est rarement le cas pour les ouvrages qui nous intéressent ici). Ces tourbillons, qui se déplacent par convection vers l aval, peuvent arracer des matériaux du fond de la rivière, soulevés par «bouffées» successives. Il n existe aucun modèle numérique capable de prédire le camp tridimensionnel des courants au voisinage de l obstacle et son interaction sur les fonds. En toute rigueur, seule la tecnique du modèle réduit pysique est applicable. Toutefois, pour les ouvrages qui nous intéressent ici, les métodes empiriques présentées ci-après sont, dans la grande majorité des cas suffisantes à la résolution du problème de l affouillement. Outre la nature du matériau du fond de la rivière, et les grandeurs quantifiant l écoulement incident amont (auteurs d eau et vitesses), les paramètres principaux sont : la largeur de l obstacle, appelée par la suite b, l angle d incidence α de l écoulement. La source d incertitude principale est l évaluation de l abaissement du lit, noté s1. La profondeur maximale de l affouillement autour de l obstacle s s écrit : = s s1 s s3 s4 la profondeur s1 représente l enfoncement possible de la rivière, indépendamment de l obstacle (évolution morpodynamique, voir plus aut). Si la rivière est en équilibre (stabilité dans le temps du profil en long), alors s1 = 0. la profondeur s est liée au méandres éventuels du ou des bras vifs vers un obstacle implanté initialement sur une terrasse plus aute du lit de la rivière. On coisira dans ce cas s = e, e étant la auteur de la terrasse au dessus du lit vif. Si la rivière présente un lit unique et omogène, alors s = 0. la profondeur s3 est significative de l enfoncement possible du lit suite au rétrécissement de la section d écoulement provoqué par le ou les obstacles considérés. Cette auteur peut être évaluée en écrivant la continuité du débit solide entre la section amont et la section rétrécie au droit de l obstacle. L instant le plus critique pour les affouillement se situant au moment du début du transport solide, cela revient à écrire l égalité des forces tractrices. On aboutit alors à la relation suivante : : la auteur d eau, s3 B = B b B : la largeur totale de la rivière, b : la largeur de l obstacle. 67 / La profondeur s4 est celle provoquée par le système de vortex qui se développe au voisinage de l ouvrage, décrit ci-avant. De nombreuses recerces ont été menées sur ce sujet, notamment à partir d essais systématiques sur modèle réduit pysique. La formule la plus couramment utilisée est la suivante : 1 b s4 = tan b k. k /09/0

42 k 1 : un coefficient de forme, égal à 1,00 pour un obstacle circulaire, 0,75 pour un obstacle profilé et 1,30 pour un obstacle rectangulaire, k : un coefficient multiplicateur dépendant de l angle d attaque α du courant incident (obstacle non circulaire), dont les valeurs sont données sur le grapique ci-dessous. V a le u rs d u co e fficie n t k α b L/b= L k Angle alpa La vitesse et les propriétés du matériau de la rivière n interviennent pas dans ces formules. En effet, l instant le plus critique du point de vue de l affouillement correspond au débit de début d entraînement de matériaux. Au-delà de ce débit, les matériaux carriés par la rivière comblent en partie la fosse d affouillement creusée autour de l obstacle. Dans certains cas, la composition des matériaux du fond du lit de la rivière est très étérogène. Il peut exister une couce superficielle de matériaux très fins (vases par exemple) qui est en permanence mise en mouvement puis déposée à nouveau au gré des courants (dans les secteurs soumis à l influence maritime par exemple). Dans ce cas, la auteur de cette couce superficielle doit être ajoutée à la auteur totale de l affouillement /09/0

43 5. Régimes transitoires 5.1 Les crues des cours d eau (ondes de continuité) Approce empirique de Seddon (1899) : crues très lentes Avant même de recourir aux équations complexes qui régissent l ydraulique en régime transitoire, on peut se familiariser avec quelques propriétés intéressantes des crues en rivière en reprenant l approce empirique de Seddon étudiant les propagations d ondes de crues (particulièrement lentes) sur le Mississippi. Partant du principe que l onde de crue est une onde de débit fonction de l abscisse curviligne sur l axe d écoulement principal x et du temps t (Q = Q(x,t)), il imagina un observateur qui suivrait exactement le déplacement du maximum de l onde, et pour qui à tout instant : dq (x,t) = 0, soit, en décomposant : Q dq = x dx + Q t dt = 0 donc la vitesse de déplacement de notre observateur (et donc, du maximum de l onde de crue), est : V obs = dx dt Q = t Q x D autre part, l équation de continuité s écrit, rappelons-le : Q x + B t = 0 Q dx t 1 Q d où : Vobs = = = dt Q B x à x constant, Si on considère un pénomène de crue assez lente, on peut considérer en un point que le régime est stationnaire par palier de temps, et appliquer la formule de Strickler (et sa dérivée logaritmique) : 1 1 dv V = KR 3 3 i K i = V 3 d ce qui, injecté dans l équation de la vitesse de notre observateur, donne : dx 1 Q 1 V dt B B BV V V 5 obs = = = ( ) = + = V + V = V 3 3 Ce petit exercice nous permet d établir que, pour les crues très lentes, la vitesse de déplacement du maximum de la crue, autrement appelée célérité (C) du maximum de crue, est supérieure à la vitesse moyenne de l eau dans l écoulement qui supporte cette crue (ici : C = 1.67 V) Notion d ystérésis Mais ce modèle simple ne convient plus pour la grande majorité des crues réelles rencontrées sur les cours d eau. En effet, l approce de Seddon permet de confondre dans l appellation de «maximum de la crue» le maximum de débit, le maximum de auteur d eau et le maximum de courant moyen de l écoulement. En réalité, l onde subit une diffusion qui la déforme en l étalant de l amont vers l aval. Ainsi, l ydrogramme Q(t) qui peut être observé dans une section d abscisse curviligne x 1 sur l axe principal d écoulement, ne sera pas le même que l ydrogramme Q(t) observé dans une section d abscisse curviligne x sur ce même axe, en aval. D expérience, en l absence 4 10/09/0

44 d apports intermédiaires de débit, on sait que le débit de pointe en x 1 sera supérieur au débit de pointe en x. L ydrogramme se déforme un peu de la même manière qu un escabeau dont on calerait un pied contre un mur et dont on ferait glisser l autre pied, l angle entre les deux jambes allant croissant. Q Q p1 en x 1 M I Q p en x t 1 t t Si on réduit l écart entre x 1 et x, on tient le raisonnement infinitésimal suivant : Q au maximum de l ydrogramme en x 1, (noté M), on a : = 0 t et à la croisée des deux ydrogrammes en x 1 et en x = x 1 +dx, (noté I), on a le même débit Q pour la variation d abscisse dx, ce qui s écrit : x = 0 1 ou encore, d après l équation de continuité : 0 B t = et donc t = 0 : le point I commun aux courbes Q(t) aux deux abscisses consécutives x 1 et x 1 +dx est celui où le maximum de auteur est atteint. Or, on constate sur la courbe que l instant t d occurrence du point I est postérieur à l instant t 1 d occurrence du point M : dans une section donnée, le maximum de débit est donc atteint avant le maximum de auteur. Et inversement, lorsqu on observe le maximum de auteur, le maximum de débit est déjà passé. Ce constat d apparence anecdotique a en fait de grosses conséquences sur la mesure des débits de pointe de crue : si l on attend que la cote se stabilise à son maximum pour mesurer le débit supposé du maximum de crue, on aura en fait un débit inférieur au débit de pointe. D autre part, en décomposant Q = V.S par rapport au temps, on a : Q = S V + V S V ou encore : t t t t Q or au point M, = 0, t 1 Q = S t et, la fonction S() étant usuellement croissante par rapport à, le maximum de auteur S n étant pas encore atteint : t > 0, V de quoi il résulte qu au point M : < 0. t Cela signifie donc qu au moment où le maximum de débit est atteint dans une section donnée, le maximum de vitesse a déjà été atteint et dépassé. Un observateur fixe voit successivement passer : 1. d abord le maximum de vitesse (V max ). puis le maximum de débit (Q p ) 3. et enfin le maximum de auteur d eau ( max ). La courbe de tarage Q = Q() décrite dans une section donnée pour une crue montre un «découplage» de la courbe pour la montée (crue) et pour la descente (décrue), qu on appelle une ystérésis. V S S t Q V max Q p max 43 10/09/0

45 5.1.3 Equation de propagation des crues diffusantes Il est difficile d aller plus avant dans la compréension des pénomènes de crues sans faire appel aux équations dynamiques filaires de Saint-Venant (réduction en 1D des équations de Navier- Stokes) et à leur analyse. V t + V V = g + gi ( j) x x Le terme de gauce est le terme d inertie de l équation de quantité de mouvement, dont on peut négliger l influence dès lors que F² (le carré du nombre de Froude) est négligeable devant 1, ou encore, F < 0.3 (ce qui est le cas de la grande majorité des rivières à régime fluvial, mais pas des torrents de montagne). Dans de telles conditions, on a, avec l équation de continuité en régime transitoire, un système d équations assez simples : B Q + = 0 t x = i j ( ) x En supposant que le régime transitoire considéré est une succession d états quasi-statiques, on peut employer la formule de Strickler pour exprimer j = j (Q,,x). La largeur au miroir B est, elle, fonction de et de x. Une fois n est pas coutume, nous allons manipuler ces équations en les dérivant (l équation de continuité, par rapport à l abscisse curviligne x ; l équation de Saint-Venant, par rapport au temps): ² Q ² Q Q B B ² Q Q B B = = + + ( i j) x t x B x B x² x B² x x = 1 B x² + 1 B² x x + ² j j Q j j Q Q j = = ( i j) = = = + 1 tx t t Q t t Q t B x et, en les combinant / factorisant : (équation de continuité) (équation de Saint-Venant) ² Q Q j 1 B B Q ( i j) B j = x² x B x t Q Cette équation est l équation des ondes diffusantes, dans laquelle on identifie un terme de célérité C et un terme d atténuation σ tels que : σ ² Q. x² c. Q Q = + x t avec les expressions littérales : j B B + i j 1 1 ( ) x c = + B j B² j Q Q σ = 1 B j Q L interprétation de ces termes permet de mettre en lumière l impact prévisible d aménagement de rivières /09/0

46 5.1.4 Influence(s) des aménagements de rivière sur la propagation des crues célérité de l onde de crue Dans une rivière assez large, si la pente de carge j est exprimée selon la formule de Strickler, le premier terme de l expression de la célérité de l onde de crue n est autre que V = 1.67 V, expression établie par Seddon pour le Mississippi! Ce premier terme de la célérité est donc directement lié à la vitesse moyenne du lit d écoulement de la crue : tout aménagement visant à, ou ayant pour effet d augmenter cette vitesse moyenne (qu il s agisse de curage de «restauration» voire d augmentation nette de section d écoulement ou d élimination d encombrement rugueux du lit) impliquera une accélération de la propagation des ondes de crue vers l aval. Le second terme de célérité est directement lié à la géométrie du cours d eau. db / d > 0 db / d < 0 (vue en travers) (vue du dessus) db/dx=0 db/dx>0 db/dx=0 db/dx<0 db/dx=0 etc... On distingue : B B x i j = x, qui traduit, dans une section en travers donnée, le débordement vers le lit majeur, qui traduit l élargissement du camp d inondation entre deux sections consécutives, qui positionne la section considérée dans l ystérésis (montée de crue si négatif, l amont étant plus «aut» que l aval, décrue si positif, l amont étant plus «bas» que l aval). Quant au dernier terme, en l exprimant selon la loi de Strickler, on a : j Q² Q j = 43 / = 43 / = > 0 Q Q KBR ² ² ² KBR ² ² ² Q L interprétation des variations respectives de ces termes implique que lorsque la vallée inondée s élargit, la célérité augmente. Et quand, en montée de crue, la rivière déborde pour occuper une plus grande largeur au miroir, la célérité diminue /09/0

47 On constate toute la difficulté de faire la part des influences respectives des différents termes qui peuvent se compenser, pour dégager des lois générales d influence des aménagements sur la propagation des crues. Sans résolution précise à l aide de modèles idoines, le risque est grand de se méprendre. atténuation de l onde de crue Restons sur notre cas de rivière assez large pour que le rayon ydraulique soit sensiblement égal à la auteur d eau dans une section donnée. Le terme d atténuation s écrit : 1 Q KB ² σ = = = B j jb Q Q 10/ 3 On constate que plus la auteur d eau est grande, plus l onde de crue s atténue. De même, plus grande est la largeur du lit, plus forte est l atténuation. Une nouvelle fois, l endiguement d un cours d eau est préjudiciable en termes d écoulement des crues, car en limitant (fortement) la largeur au miroir, il limite de même l atténuation de l onde de crue, qui est restituée, après aménagement, vers l aval avec un débit de pointe plus fort qu avant l aménagement... si ce n est qu on peut éventuellement voir une compensation partielle de cet effet par le fait que la auteur d eau endiguée peut être plus forte après aménagement! qu en retenir? Même en restreignant l analyse au cas simple d une rivière quasi rectangulaire de grande largeur en régime fluvial, nous avons vu qu il était difficile d avoir des idées claires sur l impact d un aménagement en général, sauf peut-être sur celui d un endiguement pur et simple. Lors d une montée de crue, tout se passe comme si l onde de crue devait d abord pousser une trance d eau devant elle pour remplir l espace sur lequel elle va «ensuite» avancer. Plus l espace à «combler» préalablement est important, et plus l onde va consacrer de volume, et sacrifier de sa dynamique, pour permettre son avancée, qui en sera atténuée et retardée. Mais à l écelle de la vallée, une fois les trances d eau poussées devant elle, l onde de crue éprouve d autant moins de freinage que la vallée est large ou s élargit. 5. Les ondes rapides (ondes de rupture) 5..1 Manoeuvres d ouvrages de régulation (ondes de mise en vitesse) Les ondes de continuité telles que celle, diffusante, que l on trouve pour les crues lentes, ne sont pas les seuls régimes transitoires qui intéressent l aménagement des cours d eau. Lors de modification non quasi statique de forme du lit actif d une rivière, les perturbations locales de l écoulement peuvent se propager sur de grandes distances sous forme d ondes de rupture. Ainsi, lorsqu on manoeuvre rapidement une vanne, un barrage mobile, un aqueduc d alimentation en eau, une sassée d écluse, ou encore lorsqu une petite portion de seuil se rompt, qu un obstacle carrié par les eaux vient bloquer une section d écoulement rétrécie, les conditions de débit, auteur et vitesse sont, dans cette section, quasiment instantanément perturbées, et leurs variations se transmettent de proce en proce jusqu'à rétablissement d un nouveau régime permanent dans les nouvelles conditions d écoulement, et amortissement de l onde de rupture. Le principe général consiste donc à considérer des régimes stationnaires de part et d autre de la section perturbée. Ondes d arrêt Les ondes d arrêt sont celles résultant d une interruption de l écoulement, par fermeture brusque d une vanne par exemple. Dans un canal rectangulaire siège d un écoulement uniforme de vitesse moyenne V et de auteur d eau, par exemple, on ferme une extrémité. L instant d après, dans la section précédant exactement la fermeture de la vanne, la vitesse est nulle, tandis qu une surélévation prend naissance par transfert de quantité de mouvement fluide. L onde d arrêt, établissant dans caque section balayée une vitesse nulle au lieu de la vitesse V, se propage ainsi de la section de fermeture jusqu'à l autre extrémité du canal, avec une célérité a (m/s) /09/0

48 a + + z=0 V V = 0 p 1 (z) p (z) z Equation de continuité Forces de pression En négligeant les frottements, l effort de pression de part et d autre de la perturbation s écrit : ( ) F = p ( z ) dz = ρ. g. z. dz + ρ. g. z ρ. g.( z ). dz = ρ. g. z. dz + ρ. g.. dz = ρ. g. ( )² + ρ. g.( ). = ρ. g.. + d où, avec l équation de continuité et l équation de quantité de mouvement : V. = a. ρ. a.( + ). V = ρ. g. + à partir de quoi on substitue V par son expression en fonction de, a et : ( )² a² = g.. +. g.. = ² Or, dans le cas qui nous intéresse, <<, en négligeant les termes quadratiques et en ε, on obtient : développant au premier ordre la racine carrée : ( 1+ ε) ~ 1+ a ~ g. 1 4 Il s agit alors d ajuster pour que la célérité a de l onde positive soit de même valeur selon cette équation et selon l équation de continuité, par itérations successives. Ondes de mise en vitesse Lorsqu on ouvre une vanne, ou lorsque une manoeuvre ou un incident mettent en mouvement une masse d eau inerte, on parle d onde de mise en vitesse. On passe d un état de repos (vitesse nulle) à la auteur, à un état de mouvement de vitesse moyenne V et de auteur +. + a + z=0 V V = 0 p 1 (z) p (z) z 47 10/09/0

49 V.( + ) = a. (équation de continuité) ρ.( a V).( + ). V = ρ. g. + d où : a ² = on obtient : a g ²~ g ~ g (équation de quantité de mouvement) ; en supposant <<, et en développant : d où, en développant la racine carrée au premier ordre : a ~ g ~ 1+ ε 1 ε Il s agit alors d ajuster pour que la célérité a de l onde positive soit de même valeur selon cette équation et selon l équation de continuité, par itérations successives. 5.. Laminage d ydrogrammes par les retenues L entrée d un ydrogramme dans une retenue telle qu un barrage réservoir d alimentation en eau de bief de partage, d alimentation en eau potable, d ydroélectricité ou encore de rétention de crue, provoque une surélévation globale du niveau d eau dans la retenue. L inertie ydraulique liée à ces variations de niveau sur une grande surface se traduit par une absence de pente ydraulique du plan d eau, et par un amortissement conséquent de l ydrogramme sortant de la retenue : ce pénomène est désigné sous le nom de laminage. Le dimensionnement d un évacuateur statique de débit - dont le rôle essentiel est d éviter l élévation du niveau de la retenue au-dessus d un niveau maximal de sécurité de l ouvrage - doit tenir compte de cet amortissement afin d éviter une surestimation - coûteuse - du débit de pointe laminé. A l inverse, la consigne de manoeuvre d un évacuateur dynamique de débit peut être optimisée en fonction du laminage de la retenue pour atténuer, lorsque la sécurité de fonctionnement et de stabilité de l ouvrage n est pas mise en péril, l onde de crue sortant de l ouvrage pour dévaler le cours d eau. La donnée classique de description de la capacité d une retenue est la courbe de remplissage, qui donne le volume disponible pour une auteur donnée, à l instant t : V=V((t)). Avec l ypotèse de platitude du plan d eau pendant un tel laminage, en notant Q e (t) l ydrogramme entrant et Q s (t) l ydrogramme sortant de la retenue, l équation de continuité des volumes liquides incompressibles s écrit naturellement : dv e s = et, par composition, en considérant que dz=d : dt dv d dv dz Qe() t Qs() t = = d dt dz dt ( Q () t Q () t ) ( ) L ydrogramme entrant est une donnée compilant les apports pluviométriques sur le bassin versant en amont de la retenue et les processus de transformation des pluies en débits, à laquelle est associée une fréquence de non dépassement permettant d apprécier la probabilité d occurrence d un tel événement. L ydrogramme de sortie dépend du dimensionnement de l évacuateur, et lorsque des organes mobiles existent, de leur consigne de manoeuvres. Les lois d évacuation de débit appropriées doivent donc être soigneusement identifiées et leurs paramètres explicités avant le calcul du laminage. Rappelons, par exemple, que le déversement dénoyé au-dessus d un seuil mince s écrit : ( ) Q ( Z) = µ. L. g. Z Z s crete 3 et que l équation de conservation des volumes se réduit donc à une équation différentielle du premier ordre en Z(t) /09/0

50 Plus l ydrogramme entrant est pointu, plus le laminage va se faire sentir, pouvant réduire de moitié le débit de pointe. Par contre, les lentes montées de crues sont moins spectaculairement affectées par le laminage, leur «inertie» étant du même ordre que celle de la retenue Rupture d ouvrages en travers (ondes de submersion) Du point de vue ydraulique, un barrage en rivière n est qu une séparation partiellement étance entre deux niveaux d eau de part et d autre de l ouvrage. La modélisation de sa rupture instantanée consiste donc simplement à mettre en relation un volume d eau caractérisé par une cote donnée avec un volume d eau contigu à une cote donnée différente. On doit à l ydraulicien Ritter les formules simplifiées permettant d apprécier le pénomène consécutif à la rupture instantanée d un barrage dans une vallée rectangulaire sans frottement. La mise en vitesse de la partie à l amont du barrage par effet de poussée ydraulique se traduit par la génération d une vague vers l aval, et par un soutirage de volume à l amont. On parle de propagation d une onde positive vers l aval, et de propagation d une onde négative vers l amont. 0 (4/9) 0 La vitesse du courant pour une profondeur d eau s écrit, en supposant la vitesse du courant négligeable dans la retenue amont à la auteur initiale 0 : V( ) =. g. 0. g. On peut écrire de même que la célérité de l onde (vers l amont et l aval) est: Ct( ) =. g g. Cette formule peut être facilement interprétée pour = 0 notamment, ce qui correspond à l endroit du front de l onde positive d aval, dont la célérité est donc de Ct( 0) =. g. 0, et pour = 0, ce qui correspond à la célérité de creusement de l onde négative d amont, Ct( ) = g On en déduit directement l équation de la courbe de la surface libre de l eau : x (,t) = t. C t (). Le principal intérêt de cette formulation réside dans l interprétation du pénomène au droit du barrage rompu. Pour x = 0, on a nécessairement, à tout instant t, C t () = 0, ce qui signifie que la auteur (x=0) est constante au cours du temps, égale à (4/9) 0. Cette auteur détermine donc une section constante d une part, dans laquelle on peut connaître la vitesse V [=(4/9) 0 ] = (/3) g. 0 et donc le débit stationnaire correspondant, mais aussi la auteur maximale de l onde positive d aval si la section de la rivière varie peu. En réalité, la auteur d eau que l on peut qualifier de «pivot» au droit du barrage virtuellement escamoté est plus grande que cette valeur téorique issue de la formulation de Ritter. Stocker a montré, dès 1957, que la présence d une auteur d eau non négligeable à l aval du barrage provoquait une discontinuité de l onde d aval, dont le front se raidit sur une auteur verticale de quelques dizaines de pour-cent de la auteur «pivot» de Ritter, surélevant d autant cette auteur «pivot», qui vaudrait alors plutôt (9/16) /09/0

51 0 (9/16) 0 En effet, en décomposant le front d onde comme superposition de n ondes positives d épaisseur i au-dessus de l altitude z i (telle que z i+1 =z i + i et z n =), on constate que la célérité de ces ondes étant d autant plus grande que la couce d eau sur laquelle elles se déplacent est grande, la partie supérieure du front tend à rattraper et dépasser la partie inférieure du front, une limite pysique fixant à la verticale la raideur maximum du front d onde. La propagation de cette onde dans la vallée peut donner lieu à des destructions en série des ouvrages en travers : ponts, remblais, barrages, soit immédiatement (auquel cas l ouvrage est purement et simplement effacé, sans conséquence sur l onde), soit après une résistance d une certaine durée (auquel cas la retenue locale peut d une part modestement laminer - ou tout au moins retarder - l ydrogramme de l onde, d autre part créer une nouvelle onde de submersion qui se superpose à la principale!). L analyse des mécanismes de rupture de ces ouvrages peut être au moins aussi fructueuse que la détermination de l onde principale de submersion /09/0

52 6. Bibliograpie LITTERATURE TECHNIQUE PUBLIQUE LENCASTRE A. (1996) : Hydraulique générale, Eyrolles, Paris, France VIOLLET PL., CHABARD JP., ESPOSITO P. et LAURENCE D. (1998) : Mécanique des fluides appliquée, Presses de l Ecole Nationale des Ponts et Caussées, Paris, France SOGREAH (1999) : Recommandations pour le calcul aux états limites des ouvrages maritimes et fluviaux - Actions des écoulements des eaux, Service tecnique central des ports maritimes et des voies navigables, Compiègne, France GRAF WH. Et ALTINAKAR MS. (1996) : Hydraulique fluviale, Presses polytecniques et universitaires romandes, Lausanne, Suisse CHOW VT. (1959) : Open-cannel ydraulics, Mc Graw-Hill, New-York, USA CARLIER M. (198) : Hydraulique générale et appliquée, Eyrolles, Paris, France IDEL CIK IE. (1968) : Mémento des pertes de carge, Eyrolles, Paris, France LITTERATURE TECHNIQUE DU MINISTERE DE L EQUIPEMENT, DES TRANSPORTS ET DU LOGEMENT MASSON M., GARRY G. et BALLAIS J.-L. (1996) : Cartograpie des zones inondables - approce ydrogéomorpologique, METL et MATE, Editions Villes et Territoires, Paris La Défense, France PREBOIS A., FELTS D. et PACAUD P. ( ) : Hydraulique fluviale - module 1, compilation de cours, Compiègne, France CHEE P., PREBOIS A. et ROUAS G. (1990) : Notice d estimation des coefficients de débit de quelques ouvrages évacuateurs, Notice STCPMVN n 90-1, Compiègne, France PREBOIS A., PACAUD P. (1993) : Notice d utilisation du logiciel Remous calcul du remous d exaussement maximal en amont d un ouvrage de francissement d une vallée fluviale, Notice STCPMVN n 93.04, Compiègne, Paris Collégial dont DEMMERLE (1999) : Recommandations pour le calcul aux états limites des ouvrages maritimes et fluviaux, STCPMVN, Compiègne, France GOUTX D., LADREYT S. (000) : Guide métodologique de modélisation filaire des écoulements à surface libre LIDO.0, CETMEF, Bonneuil, France 51 10/09/0

53 7. Annexes 7.1 Expérience de Reynolds Principe : On envoie un filet liquide coloré au sein d'une masse liquide en mouvement dans un tube de verre. On fait varier la vitesse d'écoulement dans le tube en ouvrant plus ou moins le robinet de vidange. On observe dans le tube : Vitesse faible : le filet coloré est parfaitement net. Le liquide est formé de filets liquides juxtaposés et parallèles. C'est le régime LAMINAIRE ou TRANQUILLE. Vitesse forte : le filet coloré oscille et se rompt. La matière colorante se répartit uniformément dans le tube. C'est le régime TURBULENT. On définit : Nombre de Reynolds Re = VD ν V vitesse moyenne D diamètre intérieur u viscosité cinématique Le passage de laminaire à turbulent est défini par : Re < 000 régime laminaire Re > 000 régime turbulent. Le régime est très souvent turbulent. Soit un écoulement en canal : V = 1 m/s Laminaire ou turbulent? Re = VD ν A 0 C ν = 10-6 m /s pour une conduite D = diamètre Pour un canal, on cerce D équivalent par : section mouillée périmètre mouillé ΠD 4 = = ΠD D 4 En canal section mouillée 0 + ( 0 + 5) 1 = 5 périmètre mouillé 5 1, ,41 = 15 34, 4 = 3, 60m D'où D = 4 x 3.60 = 14,40 m = D équivalent VD 1 14, 4 6 D'où Re = = = 14, ν 10 Re > 000 donc turbulent Les particules de liquide ont des mouvements désordonnés. le vecteur vitesse r V n'est stable ni en grandeur ni en direction, même en régime permanent. En fait ce désordre n'est qu'apparent : la vitesse moyenne en un point pendant un temps court prend une valeur déterminée V. Il existe un mouvement moyen qui constitue le mouvement d'ensemble, auquel se superposent les mouvements d'agitation tourbillonnaire et de turbulence. 5 10/09/0

54 7. Estimation du coefficient de Strickler (source CEMAGREF) Rivières naturelles Pour les cours d eau à section suffisamment constante voir le tableau suivant Petit cours d eau de largeur inférieure à 30 m cours d eau de plaine net, droit, niveau d eau élevé, peu de variation de la section mouillée idem, mais pierres et mauvaises erbes plus nombreuses net, sinueux avec seuils et mouillées idem, mais avec pierres et mauvaises erbes idem, mais niveau bas cours paresseux, mauvaises erbes, trous d eau profonds nombreuses mauvaises erbes et nombreux trous d eau pentes et fond irrégulier, nombreuses souces, arbres et buissons, arbres tombés dans la rivière cours d eau de montagne (Pas de végétation dans le lit, rives escarpées, arbres et broussailles pour les niveaux élevés) fond en gravier et cailloux, peu de gros galets fond avec gros graviers Plaines d inondation pâturages sous broussailles zones cultivées, absences de récoltes zones cultivées, récoltes sur pied broussailles dispersées et mauvaises erbes ou broussailles et quelques arbres en iver quelques arbres et broussailles en été; broussaille moyenne ou dense en iver broussaille moyenne ou dense en été souces d arbres sans rejet souces d arbres avec rejets durs forêt de autes futaies; peu de broussailles forêt de autes futaies; peu de broussailles avec niveau d eau atteignant les brances souces denses Grands cours d eau largeur maximale supérieure à 30 m (La valeur de K est supérieure à celle des petits cours d eau d allure analogue car les rives offrent moins de résistance efficace) section régulière sans broussailles section irrégulière et rugueuse K Strickler 30 à à à à à à /09/0

55 Canaux artificiels, galeries ou conduites à surface lisse K Strickler Surface très lisses et sans saillies (verre neuf et net; pyroline - cuivre) 100 à 110 Surfaces lisses, sans saillies (bois net raboté; métal soudé non peint; ciment mortier 80 à 90 ou béton bien lissé, bien soigné et sans débris; surfaces très lisses avec courbures moyennes) Surfaces avec légères aspérités (acier riveté ou peint; fer forgé ou coulé; bois non raboté; ciment et mortier; béton coffré avec de l acier ou du bois lisse sans débris et pas de courbures; canaux en béton très lisse avec joints; tuyau de drainage 70 à 80 ordinaire; égout vitrifié sans saillie; brique vernissée, grès; aspalte lisse; moellons dressés avec joints cimentés; surfaces lisses ou très lisses avec fortes courbures) Surfaces avec aspérités moyennes (métal incrusté; métal riveté avec rivets grossiers; canaux en métal avec larges saillies vers l intérieur; bois très grossier (madriers); béton avec bord lisse et fond rugueux; petit canal en béton, assez droit 65 et régulier dont la surface est recouverte d un léger dépôt; bois ou béton avec développement d algues et de mousses; égouts avec regards; drains enterrés avec joint ouvert; terre particulièrement régulière; canaux avec plafond en sable fin (surfaces non ridées); surfaces lisses avec courbes excessives) Surfaces rugueuses (métal très incrusté; béton coulé non lissé; béton coulé aux coffrages en bois rugueux; béton très rugueux ou vieux; maçonnerie vieille ou mal soignée; canaux en maçonnerie moyenne avec joints nombreux ou nombreuses 55 à 60 courbes; bois ou béton avec développement dense d algues ou de mousse; canaux en terre très régulière, état neuf, bon alignement; sable moyen; pierres dressées, joints cimentés) Surfaces très rugueuses (canaux en métal avec très fortes saillies vers l intérieur ou fortes courbures, ou développement de végétation importante ou débris accumulés; canaux en béton avec maçonnerie en très mauvais état ou très grossière; canaux 50 très larges en gravier fin plus sable ou en terre régulière meuble, sans développement de végétation; radiers pavés; moellons bruts assemblés au ciment) Surfaces à rugosité très importante (lit en gravier fin; canaux avec dépôts ou végétation; canaux en terre moyenne, dimensions modérées; moellons bruts 45 grossièrement assemblés au ciment) Surfaces assez grossières (aqueducs métalliques à section semi-circulaire en tôle plissée; terre en mauvais état; gravier moyen; canaux en terre de petites dimensions ou plus larges avec développement de végétation ou gros galets; fossés 40 en bon état; canaux en terre sinueux sans végétation; blocage cimenté; béton sur roce régulièrement excavée) Surfaces grossières (excavation roceuse très régulière; gros graviers; pierre sèce; canaux en terre, dragués, sans végétation ou enerbés; cenaux d évacuation de crue, larges et entretenus; béton sur roce irrégulièrement excavée; canaux et 35 fossés avec nombreuses pierres lisses; canaux et fossés avec pierres rugueuses au fond et végétation sur les bords) Surfaces très grossières (excavations roceuses uniformes; canaux avec développements considérable de végétation; cenaux d évacuation de crues, larges, mais peu entretenus; blocage sec; canaux en terre sinueux avec mauvaises 30 erbes plus ou moins denses ou plantes aquatiques; canaux en terre sinueux avec fond en terre et berges en blocage au fond pierreux ou recouvertes de mauvaises erbes) Surfaces excessivement grossières (excavations roceuses irrégulières; canaux en terre en très mauvais état, très sinueux avec pierres rugueuses et végétation 5 importante; lits majeurs d évacuation de crue dégagés, mais entretenus de façon discontinue) Divers canaux non entretenus, mauvaises erbes et broussailles coupées ; canaux en excavation avec broussailles; fond net, broussailles sur les berges ; fond net, broussailles sur les berges avec niveau d écoulement maximum sans débordement ; canaux avec mauvaises erbes denses aussi autes que la auteur de l écoulement ; broussailles très denses, niveau d eau élevé /09/0

56 7.3 Abaques de Bradley et Rebock Abaque de Bradley n /09/0

57 Abaque de Bradley n 56 10/09/0

58 Abaque de Bradley n /09/0

59 Abaque de Rebock 58 10/09/0

60 7.4. Affouillements et protections INTRODUCTION A LA MODELISATION Les conditions d arracement par l écoulement des alluvions ou des blocs de protection placés au droit des ouvrages (barrages mobiles, seuils, pieux...) sont décrites en combinant une loi d arracement à une loi de frottement. Ce modèle est déjà simplifié. En particulier : il suppose que l écoulement est unidimensionnel, et ne prend pas en compte les effets multidirectionnels (rouleaux à axe orizontal ou vertical), il considère un diamètre D unique des protections, et néglige donc les effets éventuels d une granulométrie étendue (pavage par exemple), il fait intervenir une grandeur (épaisseur de couce limite) non évaluable directement par le calcul LOI D ARRACHEMENT La loi d arracement s écrit en exprimant la force tractrice critique τ c par : τ c = Ac. g.( ρs ρ). D avec : A c : le coefficient d arracement critique, ρ s : la masse spécifique du matériau (alluvions ou enrocement), ρ : la masse spécifique de l eau, D : la valeur caractéristique du diamètre du matériau. La force tractrice exprime également la composante longitudinale du poids de l eau sur le grain, elle s écrit donc : τ = ρ. g.. J Le coefficient d arracement A s écrit donc (loi d arracement) : A =. J. D où J désigne la pente de la ligne d énergie et la densité déjaugée du matériau. On définit donc une valeur critique A c, telle que : 59 10/09/0

61 si A < A c, il n y a pas de mouvement, si A > A c, il y a mouvement, et dans ce cas : il y a affouillement, la profondeur atteignant une valeur telle que A diminue jusqu à la valeur critique, pour éviter l affouillement, on met en place des enrocements dont les caractéristiques D et sont telles que A reste en deçà de la valeur critique LOI DE FROTTEMENT La loi de frottement peut s exprimer par la formule de Strickler, en exprimant le coefficient de Strickler K (en unité S.I.) par : K = 1. D 1/ 6 Ce coefficient représente la «rugosité de peau», significative de l énergie dépensée par l écoulement pour transporter les matériaux (l énergie totale est en général plus forte, et donc le coefficient de Strickler global d un tronçon de rivière est en général plus faible que la valeur donnée par cette relation). L équation de frottement s écrit donc : 1/ 6 V = k. g... J D k : un coefficient de frottement adimensionnel (en général k = 8), J : la pente de la ligne d énergie. La relation ci-dessus suppose que l écoulement est entièrement régi par le frottement sur le tronçon considéré. Le terme g.. J est représentatif de la force motrice de gravité (poids d une trance d eau verticale de l écoulement d eau considéré), alors que le terme k. D forces de frottement elles-mêmes liées aux conditions d écoulement dans la couce limite. 1/ 6 est représentatif des L équation de frottement est donc généralisée en introduisant dans la formule, d une manière qualitative, la notion d épaisseur de la couce limite notée (loi de frottement) : 1/ 6 ' V = k. g... J D L épaisseur de couce limite est estimée de la façon suivante : 60 10/09/0

62 pour un écoulement uniforme ou graduellement varié régi entièrement par le frottement, = (couce limite développée sur toute l épaisseur de la lame d eau), en considérant par exemple un écoulement à la sortie d un radier lisse (en béton), la couce limite à l aval immédiat de l ouvrage est peu développée. Le profil des vitesses est plus carré, la vitesse près du fond est donc plus grande que dans l écoulement rugueux de même vitesse moyenne (donc la force tractrice est plus grande également). On peut tenir compte de cette particularité en admettant < LOI GENERALISEE La combinaison de la loi d arracement et de la loi de frottement aboutit à la relation suivante, V c désignant la vitesse critique d arracement du matériau : 1/ 6 ' Vc = k. g.. Ac.. D D les calculs ydrauliques fournissent la valeur de la vitesse de l écoulement V, et la grandeur est évaluée en fonction des conditions locales de l écoulement, les propriétés des protections D et sont alors calculées de façon à ce que la valeur de V c reste supérieure à V, ou bien la profondeur d affouillement est évaluée en considérant qu elle conduit à une vitesse V égale à V c. 1. COEFFICIENT D ARRACHEMENT DES BLOCS OU DES SEDIMENTS La loi généralisée relie la vitesse critique d arracement des matériaux aux propriétés de celui-ci. Cette loi est à rapprocer de la formule d Isbac qui s écrit : V c = n. g.. D où n est un coefficient dont la valeur dépend de la position du bloc dans le tapis d enrocement. Les essais d Isbac correspondent à une situation de mise en vitesse autour du bloc considéré, donc lorsque la auteur de la couce limite est inférieure à la auteur de l écoulement. Le rapprocement de la formule d Isbac à la loi généralisée conduit à la valeur suivante du coefficient d arracement critique A c : A c n ' =. 3 D 1/ 3 En se plaçant dans les conditions d essai d Isbac, et en supposant que l épaisseur de la couce limite est du même ordre de grandeur que le diamètre D du matériau, la valeur de n = 1,38 admise pour un tapis continu aboutit à : A = 0, 060 c 61 10/09/0