Hydraulique des cours d'eau

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1 Liber Égalit~ Fraternité RÉPUBLIQUE FRANÇAISE Ministère de l'equipement, des Transports et du Logement Hydraulique des cours d'eau La téorie et sa mise en pratique Département Voies Navigables et Eau Groupe d'hydraulique Fluviale Août 001. Centre d'etudes Tecniques Maritimes Et Fluviales

2 HYDRAULIQUE DES COURS D EAU Parce-qu elle commande à l élément indispensable à la vie, l ydraulique fluviale est l une des plus anciennes sciences explorées par l omme. Quatre millénaires d une observation attentive des écoulements ont produit une somme considérable d appréciations qualitatives et quantitatives que les progrès de l informatique ont pu, ces dernières décennies, mettre en musique numérique. L objet du présent cours n est donc pas de reprendre de manière exaustive tout l état de l art en matière d ydraulique fluviale. D éminents ydrauliciens participent régulièrement à la rédaction d ouvrages de référence auxquels ce cours emprunte beaucoup, et dont la liste, fournie dans la bibliograpie, doit être lue comme une invitation à y approfondir les éléments abordés succinctement. Car ce recueil se contente de compiler et d expliquer dans un ordre aussi pédagogique que possible les principes d ydraulique fluviale tels que les services des ministères en carge de la gestion, de l exploitation de l aménagement ou de la police des rivières peuvent les rencontrer dans les études ydrauliques qu ils auront à réaliser, piloter ou critiquer. L approce adoptée n est donc pas toujours très ortodoxe, privilégiant, autant que possible, les notions intuitives et pratiques avant de les expliquer par la téorie ou de les compléter par les formules empiriques. 1. CONVENTIONS, DEFINITIONS ET PARAMETRES 1.1 GRANDEURS CARACTERISTIQUES 1. REGIMES D ECOULEMENTS EQUATIONS DE L HYDRAULIQUE FLUVIALE 9. REGIME PERMANENT 11.1 REGIME UNIFORME 11. REGIME GRADUELLEMENT VARIE 15.3 CHANGEMENTS DE REGIME PERTES DE CHARGE SINGULIERES PERTES DE CHARGE DE TYPE BORDA 0 3. PERTES DE CHARGE LIEES AUX PILES EN RIVIERES EN REGIME FLUVIAL PERTES DE CHARGE LIEES AUX SEUILS PERTES DE CHARGE LIEES A LA MORPHOLOGIE 8 4. NOTIONS SIMPLIFIEES DE SEDIMENTOLOGIE MECANISMES D ARRACHEMENT DES MATERIAUX FORCE TRACTRICE ET AFFOUILLEMENT AUTOUR DES OUVRAGES QUANTIFICATION DES AFFOUILLEMENTS REGIMES TRANSITOIRES LES CRUES DES COURS D EAU (ONDES DE CONTINUITE) 4 5. LES ONDES RAPIDES (ONDES DE RUPTURE) BIBLIOGRAPHIE /09/0

3 1. Conventions, définitions et paramètres 1.1 Grandeurs caractéristiques Géométrie du cours d eau Aussi tortueuse que le problème de l antériorité de l œuf sur la poule, la question de l antériorité du lit du cours d eau sur l écoulement liquide qu il accueille peut paralyser durablement un débat de logiciens. Pour ce qui nous concerne, considérant que les variations des conditions ydrauliques d une rivière se font souvent à une écelle de temps nettement inférieure à celle des variations de morpologie, nous adopterons dans toute la suite de l exposé le principe de la rivière à fond fixe, c est-à-dire dont la géométrie ne varie pas dans le laps de temps de nos études. L étude des rivières dites «à fond mobile», qui voient leurs caractéristiques géométriques varier au cours d un événement ydraulique, relève de la sédimentologie. On désigne sous le nom de lit mineur l encoce topograpique dans laquelle s écoule la rivière depuis son étiage (très faibles débits) jusqu'à son débordement (débit dit de plein bord, ou plenissimum flumen) au-delà des berges. Le camp d expansion des crues désigne l enveloppe maximale de terrain bordant la rivière et qui peut être submergée par ses eaux. On y distingue le lit mineur, naturellement, mais aussi le lit majeur qui est son complémentaire, et dans lequel on parle, pour certains cours d eau du bassin méditerranéen, de lit moyen, qui est une zone de transition morpologique entre le lit mineur omogène et la fraction omogène du lit majeur. On oriente l écoulement d une rivière de l amont vers l aval. L intuition attribue à la pente du cours d eau un rôle prépondérant dans la nature des écoulements, qui sera confirmé par la téorie. Exprimée en mètres par mètre (m/m) et souvent notée i ou I, elle se calcule en divisant la dénivelée altimétrique entre les points du fond de deux sections distinctes de rivière, par la distance orizontale qui les sépare. Elle est souvent donnée en valeur absolue, bien que localement, pour un tronçon de rivière donné, le point bas de l amont puisse être plus bas que le point bas de l aval. La pente de la rivière peut être différente de la pente de la vallée, qui est calculée dans le lit majeur sans suivre nécessairement les éventuels méandres du cours d eau. Le repère cartésien mobile est orienté par convention dans le sens amont - aval pour les x croissants, les altitudes z étant orientées à la verticale depuis le bas vers le aut, et les y fermant le repère direct sur l orizontale ortogonalement à la direction de l écoulement. Dans une section en travers donnée, on appelle miroir l interface entre l eau et l air, par une évidente analogie avec la propriété de réflexion qui caractérise la surface de l eau et qui rend possible les effets optiques des jardins et des fontaines. Plus pragmatiquement, la largeur au miroir est la distance entre les deux limites d extrémité du miroir. Notée B, elle s exprime en mètres (m). Dans les rivières cenalisées, on appelle plafond la largeur orizontale du fond (le plat fond) lorsqu elle existe. La surface d eau comprise dans le plan de coupe de la section en travers, est la surface mouillée, notée S et exprimée en mètres carrés (m²). Elle est bornée en limite supérieure par l interface entre l eau et l air (le miroir), mais aussi par une courbe d interface entre l eau et le lit, dont la longueur curviligne est appelée périmètre mouillé, noté p et exprimé en mètres (m). 10/09/0

4 Enfin, on définit le rayon ydraulique comme étant le rapport de la surface mouillée par le périmètre mouillé, noté R, exprimé en mètres (m). Cette quantité retranscrit peu ou prou l influence de l interface eau - lit sur la capacité d écoulement de la section, c est-à-dire que pour une surface donnée, plus le rayon ydraulique est important, plus l interface eau - lit est réduite, ou encore, plus la frontière de la section d écoulement est de nature «air» plutôt que «lit». B S p On imagine sans peine que le frottement de l eau sur l air est moindre que celui de l eau sur le lit, et donc, que le rayon ydraulique est une passerelle commode pour relier les caractéristiques géométriques de forme de la section mouillée à sa capacité ydraulique effective d écoulement. Sans trop anticiper sur la suite du cours, on sent bien que la section mouillée est le siège de l action motrice de l écoulement tandis que le périmètre mouillé est la zone où s exerce l action de ralentissement par frottement, et donc, que le rayon ydraulique traduit, pour une géométrie donnée, le rapport de force entre action motrice et ralentissement Grandeurs ydrauliques Pour une section d écoulement S donnée, on définit le débit comme étant le volume de liquide écoulé à travers la surface S de cette section pendant l unité de temps. Il est noté Q, et s exprime en m 3 /s. Si V(M) désigne la composante normale à la section considérée en un point M de celle-ci, on a : Q = V( M) ds S On définit la vitesse moyenne de l écoulement, notée V et exprimée en mètre par seconde (m/s), le rapport du débit par la section normale d écoulement. Bien que le niveau d eau, noté Z et exprimé en mètres (m), accapare bien souvent toute l attention, il n est que l une des composantes d une grandeur caractéristique plus pertinente de l énergie du cours d eau : la carge ydraulique, également appelée carge de Bernoulli, noté H, exprimée en mètres (m). En un point M donné de la trajectoire d une molécule de fluide, cette quantité a pour expression : H M Z M P ( M ) V( M)² ( ) = ( ) + + ρg g Z est la cote absolue ou le niveau d eau, exprimée en mètres (m). P est la surpression, exprimée en pascals (Pa), au-dessus de la pression atmospérique. ρ est la masse volumique de l eau (1000 kg/m 3 ). g est l accélération de la pesanteur (9.81 m/s²). V est la vitesse, exprimée en mètres par seconde (m/s). L un des intérêts de cette carge ydraulique est d intégrer les contributions des trois facteurs d énergie «mécanique» ydraulique que sont Z, pour l énergie potentielle, liée aux forces de volume P, pour l énergie de pression, liée aux forces de pression, ρ g ² V et g, pour l énergie cinétique, liée aux forces d inertie. Pour la trajectoire d une molécule de fluide en surface de l écoulement, le lieu des Z représente le profil de l eau, celui des Z niveau (ou la ligne) de carge. P + représente le niveau piézométrique et celui des H est le ρ g 3 10/09/0

5 Considérons un axe vertical dans l écoulement, qui coupe le miroir de largeur B en un point A et le fond en un point A. Les lois de l ydrostatique expriment la relation qui existe entre la profondeur d eau d un point M sur cet axe et la pression en ce point. A M A Ainsi, P( M) = P( A) + ρg[ Z( A) Z( M) ] Z M P ( M ) ( ) + = Z( A) ρg. ou encore, en considérant que P(A) = 0 au miroir, Le niveau piézométrique est confondu avec le niveau de l eau dès lors qu on se trouve à surface libre. Pour un écoulement donné à travers une section d écoulement, on relie la vitesse moyenne V à la moyenne quadratique des vitesses des molécules de fluide V(M) par le coefficient de Boussinesq adimensionnel β traduisant l étérogénéité du camp de vitesse dans la section : 1 β = V² S S V( M)² ds. Usuellement, ce nombre varie entre 1 et Moyennant ces deux considérations, il en découle naturellement l expression de la carge ydraulique dans une section S donnée en travers de l écoulement : 1 1 H H M ds Z M P ( M ) 1 V( M)² sec tion = ds ds S ( ) = S ( ) + g + S g S S ρ S Z( A) V ² = ds + V( M)² ds = Z( A) db+ S g S B β g S S miroir Cette relation simple 1 V ² Hsec tion = Z( A) db+ B β g miroir permet de décrire l énergie ydraulique d une section d écoulement à l aide uniquement de la cote de la surface libre de l eau et de la vitesse moyenne de l écoulement à travers cette section, pondérée par le coefficient de Boussinesq. Dans la grande majorité des cas, on considère que l écoulement suit un axe privilégié unique (ypotèse filaire ou 1D) auquel le vecteur vitesse moyenne, résultante des vecteurs vitesse des points de la section ortogonale à l axe, est tangent, et sur lequel on rapporte toutes les quantités de description de l écoulement. De même, il est très rare de considérer β 1. Enfin, sauf dans le cas d écoulements de grande vitesse dans des courbes serrées, on peut supposer que le niveau d eau dans une section ortogonale à l axe d écoulement n est pas influencé par les forces centrifuges, et qu il est donc constant sur toute la largeur B correspondante, égal à Z(A). La carge dans une section d écoulement ortogonale à l axe d écoulement filaire est, dans ces ypotèses, égale à : V ² Hsec tion = Z( A) + g 4 10/09/0

6 1. Régimes d écoulements 1..1 Laminaire ou turbulent (nombre de Reynolds) On dit qu un écoulement est laminaire (ou tranquille) lorsque les filets liquides qui le composent sont parallèles et juxtaposés. Les molécules de fluide ont alors cacune une vitesse dont le vecteur est tangent à l axe d écoulement, et l écoulement a des caractéristiques parfaitement déterminées en caque point. Inversement, un écoulement est dit turbulent lorsque ses molécules de fluide ont une direction principale identifiée dans le sens de l axe principal d écoulement, à laquelle s ajoute une composante transversale. Les filets d eau ont tendance à s entrecoquer dans des tourbillons de distribution aléatoire, générant une agitation interne. Les paramètres de vitesse et de direction de caque molécule de fluide ne peuvent être déterminés à un instant donné, même s il est possible d accéder aux valeurs moyennes de ceux-ci. Ces deux régimes, séparés par un régime de transition mêlant les deux sur une certaine longueur de mélange, peuvent être mis en évidence à l aide de l expérience de Reynolds 1, qui a laissé son nom au nombre adimensionnel permettant de caractériser le régime d écoulement, laminaire s il est inférieur à 000 et turbulent s il est supérieur à 300. VD Re =, ν où ν est la viscosité cinématique (10-6 m²/s à 0 C), V est la vitesse moyenne dans la section (m/s) et D est le diamètre équivalent pour une conduite circulaire (m), que l on peut rapporter au rayon ydraulique en exprimant simplement la section et le périmètre mouillés d une conduite circulaire de rayon D/, ce qui donne : R = D π D = D 4 π ou encore, tout simplement, D = 4 R. Le nombre de Reynolds en rivière s écrit donc : R e VR = 4 ν En réalité, si cette distinction entre régime laminaire et régime turbulent s avère essentielle pour la compréension, puis la modélisation des écoulements liquides, elle ne nous intéresse guère. Il suffit de prendre quelques exemples de valeurs de V et R représentatives de cours d eau pour se rendre compte que le régime d écoulement est toujours turbulent en rivière, sauf éventuellement lors d étiages très sévères qui voient presque la vitesse moyenne s annuler. 1.. A surface libre ou en carge Nous avons déjà eu l occasion de citer précédemment le caractère «à surface libre» des écoulements que nous considérions, étant acquis que les écoulements qui nous concernent, en cours d eau naturels ou canalisés, comportent un miroir, c est-à-dire une interface entre l eau et l air. Cette ypotèse nous a permis d écrire que la pression au niveau de la surface libre était égale à la pression atmospérique. L état normal d une rivière est d être ainsi «à ciel ouvert», «à surface libre», avec un fil d eau ou un miroir identifiable. Pourtant, il arrive que tout ou partie du cours d eau entre en carge, c est-à-dire que l écoulement n est plus en contact avec l air, et qu il est astreint à se cantonner dans une section entièrement composée d interface eau - lit dans laquelle sa pression diffère de la pression atmospérique. Dans la pratique, on rencontre ce cas lorsqu une partie du cours d eau passe en buse dans une zone urbaine, ou encore lorsque le niveau d eau est tel qu un ouvrage d art transversal de type pont ou remblai, par exemple, est submergé. Ce cas de figure doit rester marginal, pour des raisons évidentes de sécurité des ouvrages d art concernés, mais aussi d inondations alentours, car la submersion de ces ouvrages a souvent des. 1 Cf. annexe à ce sujet 5 10/09/0

7 incidences sur la vulnérabilité des zones voisines. Aussi n aborderons-nous pas dans le détail ces écoulements radicalement différents des écoulements à surface libre. Il faudra cependant garder en mémoire cette distinction entre «à surface libre» et «en carge» pour la suite, car les métodes de calcul dans le premier cas empruntent beaucoup aux expérimentations faites dans le second cas Permanent (stationnaire) ou non-permanent (transitoire) Le régime permanent désigne un écoulement dont les caractéristiques ne varient pas dans le temps. Le régime stationnaire désigne un écoulement dont les caractéristiques ne varient pas dans le temps... sur le laps de temps considéré. Cela se traduit matématiquement par la nullité de toutes les dérivées partielles des grandeurs par rapport au temps. Naturellement, le régime est dit non-permanent ou transitoire lorsque les paramètres de l écoulement varient dans le temps, qu il s agisse d une perturbation instantanée ou plus étalée dans le temps, comme une ouverture de vanne, une régulation de barrage, une crue lente ou rapide, une sassée d écluse, une rupture d ouvrage ydraulique, un pompage, etc. Dans la réalité, le régime permanent stricto sensu ne se rencontre quasiment jamais, mais selon la longueur de rivière et le laps de temps considérés, il est très souvent valide de faire l ypotèse de permanence du régime Fluvial ou critique ou torrentiel (nombre de Froude) De toutes les caractérisations de régime, celle-ci est sans doute l une des plus importantes, car elle conditionne entièrement le raisonnement ydraulique lors d une étude. On sait, depuis notre lointain apprentissage du français, que le mot torrent désigne un cours d eau de montagne, tandis que le mot fleuve désigne un cours d eau qui se jette dans la mer. Si cette connaissance dictionnairique nous fournit une première approce, pragmatique et simpliste, de ce que sont les régimes torrentiel et fluvial, par les souvenirs imagés qu elle peut susciter, elle ne nous dit pas si un torrent qui se jette promptement dans la mer est plutôt un torrent ou un fleuve ou les deux à la fois. L ydraulique, elle, nous fournit la réponse. Recourant toujours à des images simples, selon une illustration très largement employée par les ydrauliciens, prenons l exemple des ondes infinitésimales. Derrière ce nom barbare se cace un pénomène expérimenté par cacun dans sa petite enfance, à savoir les petites ondes, d amplitude négligeable par rapport à la auteur d eau qui les porte, qui naissent autour d un caillou lancé dans l eau. Ces petites rides se propagent à partir de ce point... de diverses façons selon le régime du milieu liquide concerné. Dans une étendue immobile ou presque, comme un lac ou un étang, tout un cacun sait que les rides sont circulaires et concentriques autour du point d entrée du caillou dans l eau. Les ondes s éloignent de ce point à la vitesse (on parle plutôt de célérité) de g, où g désigne l accélération de la pesanteur, et la auteur d eau moyenne. Dans les eaux lentes d un fleuve classique, si l on fixe précisément l endroit où le caillou s est enfoncé dans l eau, on se rend compte que les cercles des ondes infinitésimales qui ont été ainsi générées ne sont pas concentriques, mais sont emportées par le courant vers l aval. Si V désigne la vitesse moyenne de courant, la composition des vitesses nous permet d affirmer sans crainte que le front de l onde dévalant la rivière a une vitesse de V + g évidemment positive, tandis que le front de l onde remontant le courant a une vitesse de V g négative, ce qui déforme le cercle initial de la ride en une ellipse étalée de part et d autre, vers l aval et vers l amont, de son point de naissance. Il en va de même pour les ondes qui se forment autour d un petit obstacle fixe planté dans la rivière (comme un pieu, un bâton... ou une pile de pont) : une série de rides se forment vers l aval, mais également vers l amont. On dit dans un tel cas que l information d une perturbation locale de l écoulement est remontée vers l amont. Le régime est dit fluvial ou lent. A l inverse, un œil alerte et très exercé pourrait peut-être apercevoir le devenir des mêmes ondes générées par un caillou lancé... dans un torrent de montagne! A peine générées, les rides sont tout simplement emportées par le fort courant. Même les rides qui se forment lors de l introduction d un bâton dans le cours d un torrent sont cassées vers l aval sans qu aucune ride ne «remonte» vers l amont. On dit que l information de la perturbation ne remonte pas vers l amont. Les vitesses des deux 6 10/09/0

8 fronts des ondes infinitésimales V torrentiel ou rapide. + g et V g sont toutes deux positives. Le régime est dit Cette approce simple et pratique nous fournit une clef pour la distinction entre régime fluvial et régime torrentiel, grâce à la comparaison des quantités V et g. Si la première est inférieure à la seconde, le régime est fluvial, sinon, il est torrentiel. Ce que traduit parfaitement le nombre de Froude : F = V g Si F<1, le régime est fluvial. Si F>1, le régime est torrentiel. désigne la auteur moyenne dans la section, calculée à l aide du rapport de la section mouillée par la largeur au miroir (S/B) : BV ² F² = gs Evidemment, l istoire n a pas encore dit ce qu il advenait lorsque F=1. Pour prendre la mesure de ce que recèle cette égalité d apparence si anodine, nous recourrons à la notion de carge spécifique, notée H s, exprimée en mètres (m) comme la carge de Bernoulli dont elle est extraite, puisqu elle s écrit : H = + V ² s g, avec Z(A) = Z F + ( la auteur d eau, Z F la cote de référence prise au fond de la section d écoulement), c est-à-dire qu elle dérive de la carge H section par soustraction de la cote du fond. Introduisons la relation de débit Q = V S() pour obtenir une équation en : H = Q + ² s gs( )² Dérivons cette quantité par rapport à la auteur : dh d s 1 d Q S Q = 1+ ² ( )² = ² g d gs( ) 1 3 ds( ) d B Or, et c est bien là l une des grandes utilités de la largeur au miroir B, on a : ds() = B d, d où : ds S d dh d s BQ² BV ² = 1 3 = 1 = 1 F² gs( ) gs( ) Le cas F = 1 correspond au minimum de carge spécifique dans une section donnée, auquel est associé une auteur unique appelée auteur critique, notée c, exprimée en mètres (m). Le régime est alors dit critique. 7 10/09/0

9 On visualise ce minimum sur la courbe Q=Q(), à carge spécifique constante, dont l équation est : ( H ).( s gs( )²) = Q² On voit également que pour une carge spécifique donnée, il existe deux façons de faire passer un débit Q : l une en régime fluvial et l autre en régime torrentiel. c Q Si, dans le calcul, c est le nombre adimensionnel de Froude qui permet de qualifier le régime de fluvial, critique ou torrentiel, dans la nature, d un point de vue pratique, c est à la pente i ou I du cours d eau qu il faut imputer tel ou tel régime correspondant, comme l intuition et le dictionnaire le suggèrent. A une forte pente correspond le régime torrentiel, tandis qu à une faible pente correspond le régime fluvial. Il suffirait de connaître une relation entre cette pente i et le nombre de Froude F pour clore définitivement cette question. Nous ne nous en priverons pas, le moment venu. Pour l eure, rappelons simplement que : BV ² F² = gs si F ou F² < 1, le régime est fluvial si F ou F² = 1, le régime est critique si F ou F² > 1, le régime est torrentiel La auteur critique c correspond au minimum de carge spécifique à débit fixé Uniforme ou varié ou normal On dit d un régime permanent qu il est uniforme lorsque les caractéristiques de cet écoulement (, V, Q) ne présentent pas de variation dans son étendue et sa durée. A la constance temporelle s ajoute la constance spatiale, et donc, toutes les dérivées partielles des paramètres de l écoulement par rapport au repère spatial sont nulles. Dès que l une des caractéristiques de l écoulement en régime permanent présente une variation dans l étendue du tronçon étudié, le régime est dit varié. On distingue le régime graduellement varié, pour lequel les caractéristiques de l écoulement varient lentement dans l espace, du régime rapidement varié, pour lequel elles varient rapidement. Le régime étant permanent, seules des variations spatiales, et donc liées à la géométrie du lit, sont à l origine des variations des caractéristiques de l écoulement. L écoulement uniforme peut, à ce titre, être considéré comme une régime téorique que l écoulement tendrait à adopter s il n était contraint à la variation par la géométrie du lit. On formalise ce concept à l aide de la notion de régime normal, qui correspond, pour les conditions ydrauliques et géométriques d une section donnée, aux valeurs que prendraient les caractéristiques de l écoulement ( et V), pour le même débit, si le régime était uniforme. En particulier, on note N la auteur normale, exprimée en mètres (m) correspondant à ce régime normal, et on la compare à la auteur critique c pour déterminer si le régime varié est fluvial normal ( N > c ) ou critique normal ( N = c ) ou torrentiel normal ( N < c ). On aura donc compris que l écoulement peut parfaitement se trouver localement en régime permanent graduellement varié avec une auteur réelle inférieure à la auteur critique, donc en régime torrentiel, alors que la auteur normale correspondante peut tout à fait être supérieure à cette même auteur critique, le régime normal étant donc fluvial. Il faudrait considérer un tel cas, absolument pas marginal, comme un régime normal fluvial, localement torrentiel. Cet exemple peut être généralisé comme suit : fluvial normal critique normal torrentiel normal fluvial local > c et N > c > c et N = c > c et N < c critique local = c et N > c = c et N = c = c et N < c torrentiel local < c et N > c < c et N = c < c et N < c 8 10/09/0

10 1.3 Equations de l ydraulique fluviale Equation de continuité Nous avons pu aborder, dans les pages qui précèdent, un grand nombre de notions ydrauliques sans faire appel aux équations fondamentales des écoulements, pour la simple raison que nous avons ceminé à travers le temps en raisonnant, de manière accélérée et avec le confort du recul, comme le firent les divers découvreurs de la science ydraulique : en partant de l observation pour dégager les téories qui les sous tendent. L équation de continuité constitue la première marce entre observation et téorie. Elle traduit simplement l évidence pysique de la conservation de la masse de fluide contenue dans un volume fictif Λ donné. L eau étant incompressible dans les conditions de température et de pression qui nous concernent, on conçoit en effet sans peine que toute la masse de fluide qui entre dans ce volume fictif doit, pour ce faire, casser une masse équivalente pour en prendre la place. Si Q 1 désigne le débit entrant dans le volume fictif Λ, et Q le débit sortant de ce même volume fictif Λ, l équation de continuité s écrit tout simplement : Q 1 = Q ou encore V 1 S 1 = V S. Arrêtons-nous un instant sur l interprétation pratique de cette équation, pour démentir une fois pour toutes une idée reçue communément répandue, et fausse. Les seuils et barrages mobiles en rivière constituent certes un obstacle en rivière - c est même souvent leur raison d être. Ils peuvent gêner les écoulements en les freinant et en les exaussant, c est indéniable - et même souaité lors de la conception. Mais en aucun cas, dès lors que le régime est stationnaire, ces ouvrages ne «retiennent du débit». Le débit qui arrive à l amont d un tel ouvrage en régime stationnaire francit l ouvrage d une manière ou d une autre pour se retrouver intégralement à l aval de l ouvrage. Par contre, lors des pases transitoires d élévation des ouvrages, le volume en amont se comporte comme un réservoir que le débit entrant remplit avant d atteindre un nouvel état stationnaire... et de sortir à nouveau intégralement à l aval. En régime transitoire, on traduit l équation de continuité par le fait que tout volume entrant qui n est pas évacué par le flux sortant se traduit par une augmentation de volume entre l entrée et la sortie : Q x + B t = Equation de Bernoulli Au 18 ème siècle, Bernoulli s appuie sur les téorèmes de conservation de l énergie des corps solides en mouvement énoncés par Huygens et Leibnitz pour proposer un téorème équivalent pour les fluides incompressibles, de conservation de la carge qui porte son nom, et dont on a vu qu elle était la somme d une énergie potentielle (niveau piézométrique) et d une énergie cinétique. Le téorème dit qu en tout point d une ligne de courant, la carge ydraulique est constante... H M Z M P ( M ) V( M)² ( ) = ( ) + + = H ρg g constante... aux dissipations par frottement interne près. En notant, entre deux sections S 1 et S en travers du cours d eau, H 1! la perte de carge dissipée par frottement interne comptée positivement, on écrit donc le téorème de Bernoulli rapporté aux sections d écoulement sous la forme : Z 1 V1 ² V ² + = Z + + H g g 1 Avec l équation de continuité, nous disposons donc de deux équations pour trois inconnues : V, Z et H 1!. La détermination empirique des expressions pertinentes de cette perte de carge donnera alors accès à la connaissance, pour un état de géométrie et d écoulement donnés, des deux paramètres qui nous intéressent : V et Z. On définit la perte de carge linéaire, notée j et exprimée en mètre par mètre (m/m), comme étant l opposé du rapport de la perte de carge dh sur la distance curviligne infinitésimale dx séparant S(x) et S(x+dx). conséquence du régime turbulent (i.e. de l agitation interne) 9 10/09/0

11 H1 j = lim = 1 x x 1 dh dx Equation(s) du mouvement Pendant que Bernoulli père et fils mettaient la dernière main à leur fameux téorème, Euler écrivait l équation de quantité de mouvement traduisant l équilibre global des forces vectorielles agissant sur le volume Ω de fluide considéré, de surface Σ, le vecteur normal étant désigné par n r r et les forces extérieures agissant sur le volume ayant pour résultante Ω ρ v r V d t ρ r r r r r ( ) Ω+ V( V. n) dσ = F Σ Navier et Stockes ont exploité le téorème de la divergence sur une surface de contrôle pour écrire cette équation localement sous la forme vectorielle : r r r 1 r r r V + V grad( V ) = grad( p) + g + ν V t ρ ou encore, si r V a pour coordonnées dans le repère cartésien (u, v, w), sous la forme projetée : u u u v u w u 1 p = + ν u t x y z ρ x v u v v v w v 1 p = + ν v t x y z ρ y w u w v w w w 1 p = + ν w g t x y z ρ z Dans le cas de l eau, la viscosité 3 ν est très faible (1, m²/s), et l on peut légitimement faire l ypotèse qu il s agit d un fluide parfait, de viscosité nulle, de sorte que le système d équations paraît se simplifier. Hélas, ces équations de Navier-Stokes demeurent malgré cela non linéaires, et n ont pas de solution analytique qui nous permettrait de décrire tous les écoulements de liquides dans les trois dimensions. Elles sont demeurées pour ainsi dire ermétiques jusqu'au dernier quart du 0 ème siècle, ne cédant une part de leur mystère qu à la force des scémas numériques de résolution et de l essor de l informatique. De ces expressions indigestes, on ne retiendra que l existence, pour ce qu elles ne nous sont d aucune utilité pratique, mais sont la base des outils numériques de calcul ydraulique. F. 3 se reporter au capitre : Laminaire ou turbulent (nombre de Reynolds) page /09/0

12 . Régime permanent.1 Régime uniforme.1.1 Propriétés Par définition du régime uniforme, Q, V et sont constants tout au long de l écoulement considéré. Si Z F désigne la cote du fond, la cote de la surface libre Z est égale à : Z = Z F +. L expression de la perte de carge linéaire donne alors : dz F d dz F j = + = = i. dx dx dx Si le régime est uniforme, la perte de carge linéaire est donc égale à la pente du cours d eau. Et inversement, si la perte de carge linéaire est égale à la pente du cours d eau (j = i), alors est constante, et donc, à débit constant, V l est également, et le régime est uniforme. Le régime uniforme est donc caractérisé par une auteur, un débit et une vitesse moyenne constants, ou encore, ce qui équivaut à la propriété de parallélisme entre le profil en long du fil d eau et le profil en long du fond..1. Formules empiriques Dans les conditions du régime uniforme, faciles à obtenir en laboratoire ou en nature dans un canal de géométrie fixée assez long pour ne pas être perturbé par les effets de bord, un pas décisif dans la connaissance empirique de l ydraulique a été franci par les ydrauliciens qui ont tenté d établir une relation entre les paramètres géométriques du canal et la vitesse moyenne de l écoulement. On doit à Cézy la première tentative retentissante, avec sa formule : =, V C R i où V est la vitesse moyenne (m/s), R le rayon ydraulique (m), i la pente du fond (m/m) et C un coefficient empirique (m 1/ /s), dit de Cézy, dépendant de la forme de la section et des parois. Pourtant, c est Bazin qui établit une relation plus explicite du coefficient de Cézy : 87 C = γ 1+ R, où γ est un paramètre représentatif de la rugosité du lit, variant de 0.06 pour un lit lisse (ciment) à 1.75 pour un lit de terre enerbée et de galets. Cette formulation donne l impression de faire reculer simplement un cran plus loin le moment de décider du coix apparemment arbitraire du paramètre représentatif du lit du cours d eau et pourtant, elle a le mérite de mettre en évidence la faiblesse de la formule de Cézy, dans laquelle le rayon ydraulique intervient dans plusieurs facteurs, ce qui rend malaisée l interprétation de son influence sur la sensibilité du calcul de la vitesse moyenne. L ydraulicien Manning, à qui cette faiblesse n avait pas écappé, proposa une autre expression du coefficient de Cézy : C = R n, ce qui permet une décomposition plus lisible de l expression de la vitesse moyenne : V = 1 n R 3 ( ) i 1 où le paramètre n peut être décliné en abaque de rugosité selon une typologie exaustive des lits de cours d eau /09/0

13 Cette formule est également connue sous le nom de formule de Strickler, du nom de l ydraulicien qui proposa le coefficient dit de Strickler, K, plus maniable que son inverse n dû à Manning, et donc, plus couramment utilisée : 1 ( ) V = K R i Hauteur normale, pente critique Les conditions du régime uniforme ne se rencontrent que très rarement en nature, et correspondent de fait plutôt à des ouvrages artificiels de canalisation des écoulements. Pour autant, la connaissance précise du régime uniforme grâce à la formule de Strickler nous permet de déterminer deux quantités que nous avons déjà évoqué lors de la définition des conventions, paramètres et régimes des écoulements de cours d eau : la auteur normale et la pente critique. La auteur normale est, pour écoulement quelconque de débit Q donné, la auteur d eau N que l on observerait si le régime était uniforme, c est-à-dire sans influence ni de l amont, ni de l aval, comme si l écoulement s effectuait dans un canal uniforme de section identique à celle où la auteur normale est calculée. Comme Q = VS, on a directement que N est telle que 1 ( )( ) Q = KS( ) R ( ) 3 i N N Il va de soi que, si le régime est uniforme, la auteur d eau de l écoulement est égale à la auteur normale. D autre part, nous avons vu qu un écoulement donné pouvait être de régime fluvial, critique ou torrentiel selon que le nombre de Froude était inférieur, égal ou supérieur à 1. Mais il a été dit qu en nature, c est la pente du lit qui détermine le régime du cours d eau. La formule de Strickler nous fournit la relation qui nous manquait entre la pente du cours d eau et la vitesse, de sorte qu on écrire l expression de la pente critique : BV ² gs F² = = 1 Vc ² = gs B or V ² = K²( R 3 ) i c c c 4 c c d où : i c = gs c BK²( R ) c c 4 3 Si, pour un débit donné, la pente du cours d eau est supérieure à cette pente critique, le régime est torrentiel. Si elle est égale, le régime est critique, et si elle est inférieure, le régime est fluvial. Evidemment, la pente du cours d eau ne bougeant pas (ypotèse de fond fixe), c est bien la pente critique qui est à recalculer pour ces comparaisons, en fonction du débit..1.4 Distribution des vitesses La notion de vitesse moyenne, que l on a simplement définie comme le rapport du débit par la section mouillée, cace mal l étérogénéité de la distribution des vitesses dans la section. Sur une ligne verticale, on rencontre trois types de vitesses caractéristiques qu il suffira de relier selon une conique (paraboloïde) pour avoir une idée du profil des vitesses sur cette ligne : au fond, ou au contact de l interface eau - lit, on peut considérer (ypotèse très classique) qu il y a adérence (non glissement) entre le filet liquide et le matériau constitutif du lit, d où M interface( eau lit ) ( V M ) lim ( ) = /09/0

14 sur une couce d eau voisine de l interface eau - lit, d épaisseur ζ, l écoulement est turbulent rugueux, c est-à-dire qu il est fortement perturbé par la proximité d anfractuosités et dissipe localement de l énergie, occasionnant le gros de la perte de carge linéaire et atténuant fortement la vitesse, si bien qu on peut écrire lim ( ( )) V M Vζ < V ζ z Il résulte nécessairement de ces deux considérations qu il existe une trance de liquide dans laquelle les molécules d eau ont une vitesse sensiblement supérieure à la vitesse moyenne, atteignant un maximum noté V M. Cette trance est appelée le filon. au niveau de l interface eau - air, les frottements et les tensions superficielles réduisent la vitesse des molécules d eau du filet liquide de surface libre à quelques pourcents de moins que la vitesse maximale lim ( ( )) η z Z V M V < V M Moyennant ces appréciations grossières, on dispose du portrait robot du profil des vitesses sur une verticale de fluide : Fil d eau (V η ) V η Filon (V M ) V M Vitesse moyenne (V) V Couce limite (V ζ ) Interface eau - lit (V=0) V ζ Pour mémoire, on peut retenir les quelques ordres de grandeurs indicatifs suivants : V η ~ 0.95 V M V M ~ 1.5 V V ζ ~ 0.30 V On estime la profondeur de submersion du filon entre 0 et 30% de la auteur d eau, comptée à partir du fil d eau, et la auteur ζ de la couce la limite entre 1 à 3 fois le diamètre d Rugosité La formule de Manning-Strickler présente l intérêt de clairement factoriser la part d influence due à caque élément constitutif de la vitesse de l écoulement : la pente motrice (i), la forme de la section d écoulement (R ) et la rugosité de l interface eau - lit (K ou n). Ce dernier facteur concentre à lui seul toute l attention et tout le métier de l ydraulicien qui utilise la formule de Strickler, car il est le seul sur lequel un coix a priori doit être fait. Plusieurs ont tenté de donner une formule déterministe de ce coefficient en fonction de la nature du matériau constitutif de l interface eau - lit. Mais aucune n a donné entière satisfaction, ne serait-ce qu à cause de la complexité des notions masquées derrière le terme de rugosité qui désigne, pour ce qui nous concerne, la somme des influences de la rugosité «de peau» des matériaux constitutifs du lit (taille des aspérités de surface), de la rugosité «de forme» de ces éléments (arrêtes vives ou non) et de la rugosité «de morpologie» ou «d ensemble» de l agencement des matériaux (pavage ou dunes ou rides). La combinaison de ces influences, évidemment très mal connue, détermine l épaisseur de la couce limite ζ et la vitesse V ζ correspondante, dont résulte plus ou moins directement K! 13 10/09/0

15 L illustration ci-dessous montre comment la rugosité «d ensemble» peut sensiblement varier en agençant de deux manières différentes les mêmes éléments. 1 6 K = = n d où d 90 désigne le diamètre tel que 90% en masse du matériau est de diamètre inférieur. Evidemment, cette formule est séduisante pour le dimensionnement de canaux nouveaux dans un sol dont on pourrait connaître la courbe granulométrique, mais elle est difficile à mettre en œuvre pour un cours d eau réel. De plus, on peut également trouver la même formule avec d 65, défini de la même manière que d 90, selon que l on tient compte de l entraînement (et donc la perte) à plus ou moins long terme des éléments fins du matériau de lit. En l absence de toute espèce de certitude en la matière, il est fortement recommandé de tester les deux formules pour apprécier la sensibilité de la formule dans un cas réel. Cette formule ne considérant que la rugosité de peau du matériau, on ne s étonnera pas d obtenir grâce à elle un majorant du coefficient de Strickler réel. 1 K an n n n n n n = = ( ) (formule de Cowan) où a est le facteur de méandrisation (variant de 1 à 1.3), n 0 le terme lié au matériau du lit (de 0.00 pour la terre à 0.08 pour les graviers grossiers), n 1 est le terme d irrégularité de surface (de 0 pour une paroi lisse à 0.00), n est le terme de variation de forme (de 0 à 0.015), n 3 est le terme représentatif des obstructions (de 0 à 0.06) et n 4 est le terme lié à la végétation (de à 0.100). On peut aussi se baser sur les fourcettes de valeurs issues des études de Pardé i qui établissent une typologie des cours d eau et lui associent les valeurs de K correspondantes, ou encore utiliser les tables similaires du CEMAGREF 4. Catégories selon les études de Pradé Petits cours d'eau de montagne à fond très irrégulier, largeur de l'ordre de 10 à 30 mètres Cours d'eau de montagnes larges de 30 à 50 mètres, avec pentes supérieures à 0,00 et fond de gros graviers (par exemple 10 à 0 centimètres de diamètre pour beaucoup d'entre eux) Rivières de largeur comparable ou supérieure, à pente comprise entre 0,0008 et 0,00, avec fond de graviers dont le diamètre extrême en général ne dépasse pas 10 centimètres (Rin à Bâle) Pente comprise entre 0,0006 et 0,0008, graviers de 4 à 8 centimètres (Rône à Lyon) Même pente mais cailloux plus petits (Rône à la porte de Scex avant le Léman) Pente inférieure à 0,0006 et supérieure à 0,0005, cailloux très petits ou sable (Danube à Vienne) Cours d'eau peu turbulents, avec pentes de 0,0001 à 0,0005, fond de sable et de boue (Seine, Saône, Rin inférieur) Très gros cours d'eau à très faible pente (moins de 0,0001) et fond très lisse (Volga, Danube ongrois, Mississipi inférieur) K (Strickler) 3 à 6 7 à 9 30 à à à à 4 43 à à 50 4 cf. annexe à ce sujet 14 10/09/0

16 En réalité, si ces différentes approces fournissent des ordres de grandeur de K, voire des fourcettes de valeur probable en les combinant, la meilleure métode pour déterminer K reste l utilisation de données in situ de mesure simultanée de la auteur d eau et de la vitesse... mais qui souffrent malgré tout des incertitudes liées aux tecniques de métrologie. Il faut retenir que plus le lit est rugueux, plus le coefficient de Strickler est petit, et plus le lit est lisse, plus le coefficient de Strickler est grand, et que les incertitudes sur la «véritable» valeur de K sont telles qu il est absurde d écrire ce coefficient avec une précision inférieure à l unité! Le lit d écoulement des cours d eau réels n est pas toujours suffisamment omogène pour considérer qu une valeur unique du coefficient de Strickler permet d en refléter fidèlement la rugosité. On peut ainsi trouver légitime de segmenter le périmètre mouillé total p en n segments omogènes au plan de la rugosité, de périmètre mouillé p i { 1;...; n }, affectés cacun d un coefficient de Strickler K i 1;...;. { n } La formule de Mülloffer-Einstein permet de déterminer le coefficient de Strickler K résultant de la composition de ces rugosités : K p 3 = i { 1,..., n} p K i 3 i sous réserve que cette étérogénéité ne conduit pas à des tubes de courant de vitesse différente au sein de l écoulement qu ils cisailleraient, avec les pertes d énergie que cela impliquerait. En particulier, les écoulements débordants, qui comprennent une vitesse en lit mineur souvent très nettement supérieure à la vitesse en lit majeur, ne rentrent pas dans le camp d application de cette formule. Par contre, l influence (sur les écoulements) du remplacement d un fruit de talus en plaques de béton (peu rugueuses, donc de coefficient de Strickler élevé) par une berge végétalisée (plus rugueuse, de coefficient de Strickler plus petit) peut être examinée en recourant à cette formule.. Régime graduellement varié..1 Propriétés On considère que les paramètres ydrauliques et V varient lentement d une section d écoulement à l autre. Dans l axe d écoulement (x), les dérivées secondes de ces quantités par rapport à l abscisse curviligne x sont quasi nulles. On peut considérer qu entre deux section d écoulement suffisamment proce S(x) et S(x+dx), le régime graduellement varié est assimilable à un régime presque uniforme pour lequel s appliquerait la formule de Strickler, ou plutôt, une extrapolation de cette formule. Car au lieu de lier la vitesse moyenne à la racine de la pente du fond (i), l astuce consiste à la lier à la racine de la pente de carge ydraulique (j), la formule devenant alors : V = K R j 3 1 Lorsque le régime est uniforme, par la propriété afférente d égalité entre j et i, on retrouve bien l expression établie par Strickler. Mais dans le régime graduellement varié, il est évident que la pente de carge j ne peut plus être égale à la pente du fond i, par le fait des variations de V et. Cependant, les variations de V et de ne sont pas aléatoires, puisque ces deux quantités sont liées par une relation de carge, déjà entr aperçue au premier capitre de ce cours, et notamment, de carge spécifique, dont on rappelle l expression : H V s = + ² g L analyse de cette quantité avait notamment permis d établir l existence d une auteur critique c telle que cette énergie spécifique soit minimum à débit fixé. Et le nombre de Froude avait été défini comme le rapport de la vitesse moyenne par la célérité des ondes infinitésimales, valant 1 pour la auteur critique. On rappelle qu on avait établi : dh d s BQ² BV ² = 1 3 = 1 = 1 F² gs( ) gs( ) 15 10/09/0

17 .. Equation de la ligne d eau L équation de la ligne d eau (fil d eau) correspond à la fonction Z=Z(x) ou encore =(x) dès lors que la cote du fond est connue. Or, H s = H - Z F, donc : dhs dh dz F = = j+ i dx dx dx dhs dhs d = = 1 F dx d dx et ( ) d dx d où l expression des variations de la surface libre de l eau (ors du régime critique F=1) : d i j = dx 1 F A partir d une section d écoulement de auteur connue, on peut déduire de la formule cidessus les tendances d évolution, et donc, pas à pas, les auteurs d eau voisines. En écrivant, pour un débit donné, les expression de i et de j par la formule de Strickler, on a : i j QSR ² ² = QS ² ² R n n 3 j est du signe de N. D autre Or les fonctions S() et R () sont croissantes, donc i part, 1 F ² est du signe c. La auteur d eau étant donc connue dans une section d écoulement donnée, il est possible de connaître la variation de auteur de proce en proce à partir de cette auteur connue selon sa position par rapport aux deux auteurs de références que sont c et N...3 Courbes de remous Dans un canal uniforme de section donnée, on peut déduire de l équation précédemment établie les courbes types d un écoulement de débit donné, selon que la «position» de la auteur d eau considérée en un point par rapport aux deux auteurs caractéristiques. Ces courbes sont appelées courbes de remous. Elles fournissent une référence de tendance des variations d une ligne d eau confrontée à une perturbation qui l écarte de la ligne d eau normale. Régime fluvial normal ( N > c ) J<Jc n c Régime fluvial local ( > c )! vers l amont, tend à retrouver N! vers l aval, si > N, la ligne d eau tend vers l orizontale et si N > > c, tend vers c Régime torrentiel local ( < c )! vers l amont, tend vers zéro! vers l aval, tend vers c Régime torrentiel normal ( N < c ) J>Jc c n Régime fluvial local ( > c )! vers l amont, tend vers c! vers l aval, la ligne d eau tend vers l orizontale Régime torrentiel local ( < c )! vers l amont, si > N, tend vers c et si < N, tend vers zéro! vers l aval, tend vers N L analyse de ces courbes de remous montre qu en régime fluvial local, à partir d une auteur donnée, on tend toujours à l amont vers une valeur déterminée N ou c. On retrouve là le constat 16 10/09/0

18 empirique de «remontée» des informations qui nous avait permis de qualifier le régime fluvial avec la propagation des ondes infinitésimales : les équations sont, en régime fluvial local, «déterministes» de l aval vers l amont, ou, autrement dit, il suffit de connaître la auteur dans une section donnée pour déterminer la auteur dans les sections situées en amont. Et de fait, une perturbation de l écoulement à un endroit donné n a de répercutions qu en amont de celui-ci. A l inverse, en régime torrentiel local, à partir d une auteur donnée, on tend vers une valeur connue N ou c... vers l aval : l information se propage, comme les ondes infinitésimales, de l amont vers l aval, et il suffit de connaître la auteur d eau dans une section donnée pour déterminer la auteur d eau dans les sections situées en aval. Une perturbation apportée à l écoulement n aura de répercussions qu en aval de celui-ci. Pour ces raisons, on dit que le régime fluvial est contrôlé par l aval, tandis que le régime torrentiel est contrôlé par l amont. Les courbes de remous peuvent être assemblées comme un puzzle dès lors que l on respecte ce principe dans le sens de propagation de l information..3 Cangements de régime.3.1 D un régime fluvial à un autre On peut illustrer l utilisation simple des courbes de remous en examinant les cangements de régime. Imaginons un cangement de pente (plus forte dans le tronçon aval que le tronçon amont) dans un canal de section constante, tel que dans les deux tronçons, le régime est fluvial normal, tandis que l écoulement est uniforme à l aval. On sait donc que la auteur d eau à l aval est égale à la auteur normale N, déterminée à l aide de la formule de Strickler. Sur tout le tronçon aval, jusqu au point précis de cangement de pente, la auteur d eau est donc déduite de la précédente, et égale à la auteur normale N. Sur le tronçon amont, de pente moindre, donc de auteur normale N1 plus aute, le régime étant fluvial, on déduit caque auteur d eau à partir de l aval, où la auteur est égale à N. La courbe de remous se déduit donc simplement : N1 c N c.3. D un régime torrentiel à un autre De même, il est aisé de prévoir la courbe de remous d un cangement de pente faisant passer d un régime torrentiel à un autre moins rapide, par exemple, mais cette fois-ci, il nous faut postuler que le régime uniforme est établi en amont de notre tronçon amont, section de contrôle en régime torrentiel. On a donc = N1 à la limite amont, puis on dévale le premier tronçon jusqu au cangement de pente, à partir duquel, seulement, on ressent l influence du ralentissement ( N > N1 ). On rejoint N selon la courbe de remous idoine /09/0

19 c N1 c N.3.3 Passage du régime fluvial au régime torrentiel Sans plus de complication, on peut mener un raisonnement similaire pour établir la courbe de remous du passage d un régime fluvial en amont à un régime torrentiel en aval... si ce n est que nous nous trouvons face à une petite subtilité en ce qui concerne la section de contrôle : il faut qu elle soit à l aval du tronçon fluvial, et à l amont du tronçon aval... c est-à-dire exactement à la jonction entre les deux tronçons. S agissant d une section de contrôle unique pour deux régimes différents, il ne peut s agir que de la auteur critique c. Cette propriété intéressante se rencontre à caque fois qu un régime fluvial amont jouxte un régime torrentiel aval par une section de contrôle, ce qui est bien pratique lorsqu on veut mesurer un débit par exemple : il suffit d alterner une pente douce avec une pente raide provoquant le régime torrentiel pour mesurer à coup sûr c au droit du cangement de pente, et en déduire Q par la formule de c, fiable dès lors que la géométrie section est judicieusement coisie! N1 c c N.3.4 Passage du régime torrentiel au régime fluvial Ce dernier cas est le plus problématique des quatre, et il suffit d appliquer le raisonnement des sections de contrôle pour s en apercevoir. Considérons un tronçon amont en régime torrentiel et un tronçon aval en régime fluvial. La section de contrôle du tronçon amont est donc son extrémité amont, puisqu on est en régime torrentiel, où la auteur (régime uniforme) est N1. La section de contrôle du tronçon aval est son extrémité aval, puisqu on est en régime fluvial, où la auteur (régime uniforme) est N. On peut donc dévaler la courbe de remous à partir de la section amont du tronçon amont, et remonter cette même courbe de remous depuis la section aval. Mais puisqu on est en régime torrentiel normal à l amont, l influence du cangement de pente ne se fait pas sentir tant qu on n atteint pas exactement cette section, et de même, en régime fluvial normal à l aval, le cangement de pente n a pas d influence sur tout le tronçon aval, ce qui implique qu en dévalant à N1 depuis l amont, et en 18 10/09/0

20 remontant à N depuis l aval, on se trouve directement, dans la section de cangement de pente, avec une auteur d eau qui peut être N1 dans la section immédiatement voisine à l amont, et N dans la section immédiatement voisine à l aval! Or, N1 et N sont de part et d autre de c... nous voici avec deux auteurs possibles en une même section! En réalité, pour assurer cette transition brutale entre le régime torrentiel et le régime fluvial, la nature se ménage une zone de forte agitation dans laquelle le niveau de l eau se surélève brusquement dans un rouleau d eau où il n est pas possible de déterminer, à un instant donné, si la ligne d eau se trouve à la auteur fluviale ou torrentielle. c N1 N 1 Cette zone de transition du régime torrentiel au régime fluvial s appelle ressaut ydraulique, et rien d autre ne porte un tel nom. Selon l intensité de l écoulement torrentiel, la masse d eau lente du régime fluvial est repoussée plus ou moins loin vers l aval, allant éventuellement jusqu'à faire commencer le ressaut après la ligne de cangement de pente. Mais s il est de faible intensité, le régime fluvial peut occuper tout le tronçon aval et noyer une partie du tronçon amont. On appelle auteurs conjuguées 1 et les auteurs à l amont et à l aval du ressaut ydraulique. Le téorème d Euler permet d établir la relation entre 1 et pour un ressaut donné. Il fait intervenir les paramètres θ 1 et θ, qui sont les ratios de auteur correspondant au centre de gravité y 1 et y des sections mouillées S 1 et S encadrant le ressaut : y 1 = θ 1 1. F 1 désignant le nombre de Froude dans la section S 1, on a : θ S S 1 1 S 1 θ1 = F1² 1 S Dans le cas d une section rectangulaire, θ 1 = θ = 0.5 et S S 1 = [ ] : 1 = F1 ² 1 1 Il s agit alors de faire coïncider 1 avec la auteur en amont du ressaut ou avec la auteur en aval du ressaut pour déterminer longueur et noyage du ressaut. Des dispositifs d amortissement peuvent être mis en place, largement développés dans la littérature tecnique. Outre l indétermination de la auteur d eau dans le ressaut ydraulique, le passage du régime torrentiel au régime fluvial présente une autre caractéristique intéressante. Autant les trois cas précédents présentaient une continuité pysique au droit du cangement de régime, autant le ressaut ydraulique est le siège d une forte dissipation d énergie ponctuelle. Son expression découle directement des considérations de auteurs conjuguées : V1 ² V Hressaut = + g ² g + 1 Contrairement aux pertes de carge par frottement, qu on a vues régulières, linéaires et continues, le ressaut occasionne un «décrocage» de la ligne de carge, qui supprime de facto une fraction de son énergie à l écoulement. Ce sera notre premier exemple de perte de carge singulière /09/0