MAT1085 Chapitre 2 Probabilités Solutions

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1 MAT0 Chapitre Probabilités Solutios. Soit A et B deux évéemets tels que P(A) 0,, P(B) 0,. Détermier P(A B) pour chacue des hypothèses suivates. a) P(A B) 0, 0, b) A et B sot disjoits 0,7 c) B A 0, d) P(A B c ) 0, 0, e) A et B sot idépedats 0, f) P(A B) 0, 0,. a) Soit P(A) 0,, P(B) 0,, P(AB) 0,7. Trouver : (i) P(AB), 0, (ii) P(A c B c ), 0, (iii) P(BA c ) 0, b) Soit A et B deux évéemets icompatibles, et soit P(A) 0,, P(B) 0,. Calculer P(A c B c ).. O tire au hasard ue persoe d'ue certaie populatio. Cosidéros les évéemets suivats : A : La persoe choisie a les yeux bleus B : La persoe choisie a les yeux brus C : La persoe choisie a les cheveux blods D : La persoe choisie est e faveur de la peie capitale pour tout meurtre E : La persoe choisie est e faveur de la peie capitale pour le meurtre d'u policier Dire si les propositios suivates sot vraies ou fausses. Discutez. a) A et B sot idépedats F b) A et B sot icompatibles V c) P(AB) 0 F d) E D F e) P(A C) > P(A) V (probablemet) f) A et D sot idépedats V (probablemet) g) B et D sot icompatibles F h) P(D) > P(E) F i) P(D E) P(D)/P(E) V j) P(E D) V ) P(DE) P(E). V. U petit restaurateur emploie serveurs. Il costate que les derières assiettes cassées accidetellemet ot été cassées par le même serveur, Louis Lacasse. Peut-il coclure que Louis est particulièremet maladroit? Sous l hypothèse que lorsqu il y a u bris, la probabilité que ce soit Louis le coupable est de / comme tout le mode, la probabilité que ce soit Louis qui casse les fois est (/) / 0,00, très faible. Doc cette hypothèse est iteable et Louis doit avoir ue probabilité > / d être le coupable. Il est maladroit.. Das u certai pays, la probabilité qu'u bébé atteige l'âge de 0 as est de 90% ; la probabilité qu'il atteige l'âge de 70 as est de 0%. Quelle est la probabilité qu'ue persoe de 0 as atteige l'âge de 70 as? Soit A l évéemet «u bébé atteit l âge de 0 as» et B l évéemet «il atteit l âge de 70 as». O demade la probabilité P(B A) P(AB)/P(A) P(B)/P(A) /9 [Nous utilisos le fait que AB B].. O tire au hasard u compte à payer parmi les comptes pour lesquels u chèque a été émis e paiemet. Soit A l'évéemet «le chèque a été émis e retard» ; B l'évéemet «le chèque est sas provisio». Supposos que P(A) 0, et P(B) 0,0. a) Imagiez u argumet pour motrer que A et B pourraiet être dépedats. Déduire de cet argumet que P(AB) > P(A) P(B) ou que P(A B) < P(A) P(B). Il est plausible que P(B A) > P(B) (quelqu u qui remet u chèque e retard e pred peut-être pas très au sérieux ses obligatios fiacières). Alors P(AB) P(A)P(B A) > P(B)P(A). b) Supposos que P(A B) 0,0. Calculez la probabilité (i) que le chèque soit émis e retard ou soit sas provisio ; P(AB)P(A)+P(B)-P(AB) 0, (ii) que le chèque soit bo mais qu'il ait été émis e retard ; P(AB c ) P(A)-P(AB) 0, (iii) que le chèque soit émis e retard état doé qu'il est sas provisio ; P(A B) P(AB)/P(B) 0, (iv) que le chèque soit bo état doé qu'il a été remis e retard. P(B c A) P(AB c )/P(A) 0,/0,..7 L'efat d'u certai couple a, pour des raisos géétiques, ue probabilité de / d'être atteit d'ue certaie maladie. Si le couple e questio a efats, calculez la probabilité de chacu des évéemets suivats : a) Les sot malades (¼) / b) Aucu des trois 'est malade (/) 0,7 c) Au mois u des trois est malade -(/) 0,97 d) Les deux premiers sot malades mais pas le troisième (/)(/)(/) 0,07 e) Les deux premiers sot malades (/)(/) 0,0 f) Exactemet deux des efats sot malades

2 MAT0 Chapitre Probabilités Désigos par «m» ue aissace malade et par «s» ue aissace saie. L évéemet «Deux des efats sot malades» est l esemble des résultats {mms ; msm ; smm}. La probabilité de chacu est (/)(/)(/). Do la probabilité de l évéemet est (/)(/)(/) 0,0. La probabilité qu'ue femme vive as ou plus est 0,909 ; la probabilité qu'elle vive as ou plus est 0,909. Quelle est la probabilité qu'ue femme de as vive au mois ue aée de plus? Soit B l évéemet «elle vit jusqu à as ou plus» et A l évéemet «elle vit jusqu à as ou plus». La probabilité demadée est P(B A) P(AB)/P(A) 0,909/0,909 0,99..9 Supposos que P(avoir ue fille) P(avoir u garço). Si ue famille a deux efats, quelle est la probabilité qu'elles soiet toutes deux des filles. a) État doé que l'aîée est ue fille? L espace échatillo est {FF,FG,GF,GG}. Soit B l évéemet «Les deux sot des filles» et A l évéemet «l aiée est ue fille». B {FF} et A{FG, FF}. P(B A) P(AB)/P(A) P({FF})/P({FG,FF}) ½. Ou ecore, la coditio que l aiée est ue fille restreit l espace échatillo à {FF,FG} et c est das cet espace qu o calcule la probabilité que les efats soiet des filles, soit {FF}, doc ½. b) État doé qu'au mois l'ue d'elles est ue fille? Soit C l évéemet «Au mois l ue d elles est ue fille». C {GF, FG, FF}. P(B C) P(BC)/P(C) P(B)/P(C) /. Ou ecore, la coditio qu au mois l ue d elle est ue fille réduit l espace échatillo à {FF,FG,GF} et la porbabilité de {FF} das cet espace restreit est /..0 O lace deux dés. Quelle est la probabilité d'avoir au mois u? -P( avoir aucu ) -(/) 0,0. Quelle est la probabilité d'avoir au mois u, sachat que les deux résultats sot différets? Soit B l évéemet «Avoir au mois u» et A l évéemet «Les deux résultats sot différets». P(B A) P(AB)/P(A). P(AB) P({(,),(,),(,),(,),(,), (,), (,), (,), (,), (,)}) et P(A) -(/)(/) /. Doc P(B A) P(AB)/P(A) (0/)/(/) /.. Supposos que % des hommes et 0, % des femmes sot daltoies. O choisit u daltoie au hasard. Quelle est la probabilité que ce soit u homme? (Supposez que la probabilité de tomber sur u homme est / a priori). Soit D l évéemet «La persoe est daltoiee» et H «La persoe est u homme». O a P(D H) 0,0 et P(D H c ) 0,00. O cherche P(H D) P(HD)/P(D). P(HD) P(H)P(D H) (/)(0,0) ; P(D) P(DH)+P(DH c ) P(H)P(D H)+P(H c )P(D H c ) (/)(0,0)+(/)(0,00) 0,0. Alors P(H D) (/)(0,0)/0,0 0,9.. La boîte A cotiet ue bille oire et ue blache ; la boîte B cotiet deux oires et ue blache. O choisit ue boîte au hasard, puis ue boule das la boîte. Quelle est la probabilité que la boule soit oire? 0,. Trois sacs cotieet chacu deux boules. Le sac A cotiet oires, le sac B rouges, et le sac C rouge est ue oire. O choisit u sac au hasard, puis ue boule das le sac. Elle est rouge. Quelle est la probabilité que la prochaie boule, tirée das le même sac, soit oire (i) si o remet la première boule das le sac avat d e tirer ue deuxième? Soit R : «La première boule est rouge», B : «La e boule est oire». P(R) (/)(0)+(/)()+(/)(/) ½ ; P(B R)P(RB)/P(R) ; P(RB) (/)(0)+(/)(0)+(/)(/) /. Alors P(B R) (/)/(/) /. (ii) Si o e remet pas la première boule das le sac? MAT0.0.Sols.A octobre 0

3 MAT0 Chapitre Probabilités P(B R)P(RB)/P(R) ; P(RB) (/)(0)+(/)(0)+(/)(/) /. Alors P(B R) (/)/(/) /.. Vous etrepreez u voyage qui doit s'effectuer sur liges aériees, A, B et C, das cet ordre. La probabilité qu'ue lige perde les bagages que vous lui cofiez est 0, pour A, 0, pour B et 0, pour C. Vous avez perdu vos bagages. Quelle est la probabilité que ce soit A qui les ait perdus? Soit A : «A perd vos bagages» ; B : «B les perd» ; V : «C les perd» ; D «Vos bagages sot perdus». O cherche P(A D) P(AD)/P(D). P(D) -(-0,)(-0,)(-0,) 0, ; P(AD) P(A) 0,. Doc P(A D) 0,/0, 0,70.. Lors de la trasmissio de sigaux umériques, des «0» et des sot evoyés das la proportio : ( pour chaque «0»). À cause de certais bruits das la trasmissio, u «0» deviet u avec probabilité / et u deviet u «0» avec probabilité /. Si o reçoit u «0», quelle est la probabilité qu'il ait été evoyé comme «0»? Soit A : «U 0 est trasmis» et B : «U 0 est reçu». P(A B) P(AB)/P(B). P(AB) (/7)(/) 9/. P(B) P(AB)+P(A c B) (/7)(/)+(/7)(/) 9/+/ /. Doc P(A B) (9/)/(/)7/ 0, Vous tirez fois sur ue cible. La probabilité d'atteidre la cible au premier coup est p. La probabilité à chacu des essais suivats est p ou p/ selo que vous avez réussi ou pas à l'essai précédet. Quelle est la probabilité d'atteidre la cible au mois fois? fois? fois? 0 fois? Voici les valeurs de la foctio de masse : p(0) (-p)(-p/) ; p() p(-p)(-p)/ ; p() p (-p) ; p() p..7 Ue femme doit acheter ue blouse ou ue jupe. Il y a u choix de blouses et jupes. Si elle 'achète qu'u objet, de combie de faços peut-elle faire so choix?, évidemmet. S'il lui est possible d'acheter et ue blouse et ue jupe, de combie de faços peut-elle faire so choix? Ila d abord les faços de choisir u seul objet; esuite, si elle choisit objets, le ombre de faços de le faire est ( fa os de choisir la blouse et faços de choisir la jupe). Doc e tout + faços.. De combie de faços filles et garços peuvet-ils s'accoupler?! ( faços de choisir le parteaire de la fille, faços de choisir celui de la fille, etc.) De combie de faços peuvet-ils s'asseoir sur u bac e alterat fille et garço? Les garços peuvet occuper les places paires (,,,) ou impaires. Pour chacue de ces possibilités il y a! de placer les garços et! faços de placer les filles. Doc!! faços e tout..9 O tire avec remise cartes d'u jeu de 0 cartes qui cosiste e as, rois, reies et valets. Quelle est la probabilité d'avoir as, rois et valets (et pas de reie)? a) das cet ordre (0,)(0,)(0,)(0,)(0,)(0,)(0,)(0,) 0,00009 ; b) das u ordre quelcoque Pour tout ordre, la probabilité des 0, Il faut maiteat multiplier cette probabilité par le ombre d ordres possibles de as, rois reies et valets, soit!!!!. La probabilité est doc!!!! 0, ,00..0 O lace u dé 9 fois. Quelle est la probabilité d'avoir le "", le "" et le "" deux, trois et quatre fois, respectivemet. La probabilité d obteir,,,,,,, das cet ordre, est (/) 9. Il faut maiteat multiplier cette probabilité par le ombre de faços de permuter les objets,,,,,,, soit 9!!!!. La probabilité est doc 9!!!! (/) 9 /799 0, D'ue assemblée formée de 0 étudiats de e aée, de e aée et 0 de ère aée, o costitue u comité de persoes. Quelle est la probabilité que le comité compree étudiats de e, de e et de ère? 0 Il y a faços de choisir les deux étudiats de e, faços de choisir les deux étudiats de e 0 faços de choisir l étudiat de ère. Le ombre de faços de choisir étudiats est. La probabilité voulue est doc /79 0,99.. Au uméro précédet, supposos que vous savez que le comité compred exactemet u étudiat de première. Quelle est la probabilité coditioelle qu'il y ait étudiats de e, de e et de ère? Si vous savez qu il y a déjà u étudiat de ère, il suffit que calculer la probabilité que parmi les autres il y ait de e et de e, soit 0 /7 0,0. Si o veut le faire formellemet, o pose A le comité compred exactemet u étudiat de ère, et B le comité compred étudiats de e, de e et de ère. P(B A) P(AB)/P(A). Or B A, doc P(B A) P(AB)/P(A) MAT0.0.Sols.A octobre 0

4 MAT0 Chapitre Probabilités P(B)/P(A). O sait que P(B) 0 0. Quat à P(A), pour qu il y ait exactemet ue persoe de première, il faut choisir cette persoe (0 faços) et esuite choisir autres parmi les des aées et. O a doc P(A) O a doc P(B)/P(A). O permute au hasard les lettres A, B, C, D, E. Quelle est la probabilité que les lettres A et B e soiet pas séparées par d'autres lettres? Le ombre total de permutatios est! Maiteat cosidéros la paire AB comme u seule u seul objet. O a alors! permutatios des objets AB, C, D, et E. Mais das chacue de ces permutatios, les objets A et B peuvet se préseter das l ordre AB ou BA. Doc le ombre total de permutatios das lesquelles A et B e sot pas séparés est! et la probabilité demadée est!/! 0,.. O lace u dé fois. Quelle est la probabilité que les résultats soiet différets? Quelle est la probabilité que chaque résultat soit supérieur au précédet? A 0, , persoes sot assises das ue salle d'attete. Quelle est la probabilité qu'au mois persoes aiet la même date de aissace. [Vous supposerez que pour chaque persoe, la date de aissace peut-être l'ue des dates possibles avec probabilité /] -P(les dates sot différetes) - A 0, Das u bar, il y a 9 tabourets et cliets sot assis. Quelle est la probabilité que les sièges occupés et les sièges vides s'alteret? Le ombre de faços de placer les cliets est 0, ; le ombre de faços de les placer e alterace est. La probabilité est doc.7 O place au hasard boules das cases. Quelle est la probabilité qu'exactemet ue case soit vide? faços de placer les boules. faços de choisir la case qui sera vide et celle qui cotiedra boules ; 9 faços de choisie les boules coteues das la case qui cotiedra boules ; (-)! faços de placer les - boules qui restetd das les - cases qui restet. La probabilité est doc ( )! (-) (-)!/( ).. étudiats doivet se répartir e trois équipes de. S'il y a géies das la classe, quelle est la probabilité qu'il y e ait u das chaque équipe? Le ombre de faços de répartir persoes e groupes de est puis ;;!!!! ;;!!!!. La probabilité demadée est doc ()/77 /9 0,7777. Quelle est la probabilité qu'ils soiet tous das la même équipe? Il y a faços de choisir l équipe qui les cotiedra, ;;!!!! das u même groupe. La probabilité est dot 99/77 /9 0, Il y a! faços de les placer das les équipes, de placer les autres, doc 99 faços e tout de placer les géies.9 Huit persoes sot placées e rag. a) Quelle est la probabilité qu Alice et Berard soiet assis esemble? (7!)/!/ b) S il y a hommes et femmes, quelle est la probabilité qu il y ait alterace homme/femme? / 0,07 c) S il y a hommes et femmes, quelle est la probabilité que les hommes soiet assis esembles? / 0,077 MAT0.0.Sols.A octobre 0

5 MAT0 Chapitre Probabilités d) Si les huit persoes formet couples mariés, quelle est la probabilité que les couples e soiet pas séparés?!! /0 0, La lague hawaïee compte lettres, voyelles et 7 cosoes. O forme au hasard u mot de lettres ( importe quelle suite de lettres, répétitios permise). Quelle est la probabilité que le mot soit prooçable (c est-à-dire, qu il y ait pas deux cosoes cotiguës i voyelles cotiguës Chacu des 00 délégués à u cogrès des Natios Uies sert la mai de tout le mode. Combie y a-t-il de 0, poigées de mais? Six étudiats formet ue équipe pour collaborer à u devoir compreat problèmes. Doc deux persoes devrot e faire deux chacu et les quatre autres u chacu. Combie y a-t-il de faços de faire cette attributio? faços de choisir les deux étudiats qui e ferot chacu ; tâche chacu aux quatre autres. Doc le ombre de faços est faços de leur attribuer tâches chacu ; et! faços d attribuer ue! 00.. E Braille, les lettres sot représetées par ue cofiguratio de poits surélevés et o surélevés das ue matrice comme celle-ci, oo oo oo, ou celle-ci, o oo oo ou ecore celle-ci o ooo. Combie peut-o former de lettres e Braille? Est-ce que poits auraiet suffi? O peut former lettres avec poits, ce qui e suffit pas.. Trois Québécois, Fraçais et Aglais s assoiet au hasard sur u bac. a) Quelle est la probabilité que les persoes de même atioalité soiet assises l ue à côté de l autre? Le ombre de faços de placer ces persoes (e e teat compte que de la atioalité et o de l idetité des persoes) est ;; 770. Il y a! faços de les rager sas séparer les persoes de même atioalité. La probabilité est doc!/770 / 0,0000. b) Quelle est la probabilité qu aucu Aglais e soit assis à côté d u autre Aglais? 7/99 0, O lace u dé 0 fois. a) Quelle est la probabilité qu aucu des résultats,,, et apparaisset? (/) 0 /909. b) Quelle est la probabilité que les uméros et apparaisset au mois ue fois chacu et que seuls ceux-ci apparaisset? (/) 0 -(/) 0 0, O forme au hasard des «mots» de lettres choisies parmi les lettres A à Z. [U «mot» est ue suite de lettres, répétitios permises] a) Quelle est la probabilité qu ue même lettre e figure pas deux fois cosécutives? () - / (/) - b) Quelle est la probabilité que la lettre A apparaisset m fois (m )? m m m () m m.7 O a tiré au hasard (et sas remise) u échatillo de maisos das u quartier qui e compte. Votre maiso est l ue des situées das u cul-de-sac. a) Quelle est la probabilité que votre maiso ait été sélectioée? b) Quelle est la probabilité que votre maiso aisi que celle de votre voisie aiet été sélectioées? 9 7 / 0,. /0,0909 c) Quelle est la probabilité qu au mois ue des maisos du cul-de-sac aiet été sélectioée? -P(Aucue est sélectioées) - 0,9. MAT0.0.Sols.A octobre 0

6 MAT0 Chapitre Probabilités d) Vous savez qu au mois ue des maisos du cul-de-sac a été sélectioée. Quelle est la probabilité que votre maiso l ait été? Soit A : «Au mois ue maiso du cul-de-sac est sélectioée» et B : «La vôtre est sélectioée». P(B A) P(BA)/P(A) P(B)/P(A). P(B) 9 7 / et P(A) - et doc P(B)/P(A) 0,99. e) Vous savez que votre maiso a pas été sélectioée. Quelle est la probabilité qu au mois ue des autres maisos du cul-de-sac l ait été? Soit A : «Votre maiso est pas sélectioée» et B : «Aucue des autres maisos das le cul-de-sac est sélectioée». P(B A) - P(B c A) -P(AB c )/P(A). P(AB c ) P(Aucue des maisos du cul-de-sac est sélectioée) P(AB c )/P(A) 0,999. et P(A) -. O doit distribuer orages, pommes et magues à efats. De combie de faços peut-o faire cette distributio? [Les orages e sot pas discerables etre elles, les pommes et les magues o plus]..9 O doit distribuer 9 livres à efats. Combie y a-t-il de faços de procéder si a) l aîé doit e recevoir, les deux autres chacu? Les livres sot tous disticts Doc - 9 ;; 00 b) les livres sot 9 copies idetiques d u même titre ; aucue restrictio sur le ombre de livres que chaque efat reçoit. c) les livres sot 9 copies idetiques d u même titre ; chaque efat doit recevoir au mois u livre..0 Chacue de trois classes compred élèves. De l esemble des élèves, vous e tirez au hasard (sas remise). a) Quelle est la probabilité que les trois appartieet à ue même classe? 9 7. b) Quelle est la probabilité que deux appartieet à ue même classe et le troisième à u autre? c) Quelle est la probabilité que les trois appartieet à trois classes différetes? d) Déduire des trois premières questios ue idetité combiatoire (c est-à-dire, motrer qu ue certaie somme de quotiets, foctio d u etier aturel, est toujours égales à. O doit avoir quelle que soit.. Supposos que das ue galaxie, la probabilité de voir évoluer des êtres itelligets (l être humai, par exemple) est p. Sachat qu il y a eviro 0 galaxies das l uivers, quelle doit être la valeur de p pour qu o puisse affirmer avec au mois 90 % de certitude qu il existe des êtres itelligets das l uivers (à part ous)? P(au mois ue galaxie a des êtres itelligets) 0,9 (/0 ) (0,) 0 ( p) 0,9 0 ( p) 0, -p (0,) /0. Il suffit que p, très petit. Doc même si p est miuscule, il est fort probable qu il y ait des êtres itelligets ailleurs.. Ue mai de poer de cartes est tirée d u jeu de cartes. Détermiez les probabilités suivates (les réposes exactes présetés sous forme fractioaire ot été détermiés à l aide d u logiciel. N essayez pas de les reproduire). Quite royale (ex. As Roi Reie Valet 0, toutes de trèfle). Quite couleur ( cosécutives, même couleur. Ex.,,7,,9, toutes de coeur). 0 /97 [ Carré (ex. ). Plei (ex. Roi Roi). / si o exclut la quite royale] /970. / /. MAT0.0.Sols.A octobre 0

7 MAT0 Chapitre Probabilités 7 Couleur ( cartes distictes mais de même couleur. Ex. Reie Valet, toutes de coeur). Quite ( cosécutives, couleurs mixtes). Brela (ex. ). Deux paires (ex. ). Ue paire (ex. ). 0( ) 0 /. /7, excluat la quite royale et la quite couleur) /. 9/. /.. O effectue tirages sas remise das ue populatio dot les élémets sot {,,..., N}, N. Motrez que la probabilité qu au i e tirage (i,,..., ou ) o obtiee l uité u {,,..., N} est /N? L espace échatillo est de cardialité! dot la i e positio est occupée par u N lorsqu o tiet compte de l ordre de sélectio. Le ombre d élémets (quituplés ordoés) N ( )!. La probabilité est doc N ( )! N!. Les volumes d'ue ecyclopédie sot ragés sur ue tablette. Quelle est la probabilité qu'ils soiet ragés das le bo ordre? /!. Vous allez iviter persoes choisies parmi vos amis. De combie de faços pouvez-vous faire votre choix a) si Pierre et Pierrette e viedraiet pas l'u sas l'autre 0 ; b) si Luc et Luce se haïsset, et l'u e viedra pas si l'autre viet? N. 7.. Das ue loterie américaie destiée à choisir les jeues ges qui pourraiet évetuellemet être appelés au service militaire durat la guerre du Vietam, o tirait au hasard (sas remise) 0 jours parmi les de l'aée. Quelle est la probabilité que les 0 billets soiet distribués uiformémet sur les mois, c'est-à-dire, qu'il y e ait das chaque mois? ,7970/0 9 / Vous avez besoi de oeufs pour faire ue omelette. Vous trouvez oeufs das votre réfrigérateur, mais vous e réalisez pas que deux des oeufs sot gâtés. Quelle est la probabilité que votre omelette cotiee a) u oeuf gâté? b) deux oeufs gâtés? 0 0 / 0,. / 0, Au uméro précédet, supposos que vous faites votre omelette, vous réalisez qu'il y a au mois u oeuf gâté dedas. a) Quelle est la probabilité coditioelle que les deux oeufs gâtés soiet das la poêle? 0 0 0,099. b) Vous décidez de recommecer : vous preez autres oeufs parmi les qui restet. Quelle est la probabilité que votre deuxième omelette soit boe (pas d œufs gâtés)? 0,797.9 Das ue populatio, les géotypes AA, Aa et aa sot distribués selo les proportios 0, ; 0, ; 0,. Les géotypes AA et Aa doet lieu au type sagui «rhésus positif» et le géotype aa doe lieu au phéotype «rhésus égatif». Ue femme de type égatif doe aissace à u efat de paterité icertaie : le père pourrait être Paul, qui est de type positif ; ou Pierre, de type égatif. A priori, chacu a probabilité / d'être le père. Sachat que le fils est égatif, quelle est la probabilité que so père soit Pierre? MAT0.0.Sols.A 7 octobre 0

8 MAT0 Chapitre Probabilités Soit B : «Le père est Pierre» et N : «Le fils est égatif». P(B N) P(BN)/P(N) P(BN) P(B)P(N B) (/)() ; P(N)P(NB)+P(NB c ) P(B)P(N B)+P(B c )P(N B c ) (/)()+(/)(/) /..0 Das ue populatio, les géotypes AA, Aa et aa sot distribués selo les proportios p :p :p, où p +p + p. Motrer que si deux parets sot choisis au hasard das la populatio, les probabilités que leur efat soit des types AA, Aa et aa sot, respectivemet, r, r, et r, où r (p +p ), r (p +p )(p +p ) et r (p +p ). Si o suppose maiteat que la ouvelle géératio est distribuée selo les proportios r : r : r, motrer que les probabilités pour u efat issu de l uio de deux parets tirées au hasard das la populatio restet r, r, et r. Progéiture Probabiltés coditioelles état doé les géotypes des parets Parets Prob AA Aa aa AA, AA As, Aa aa, aa p p q 0 0 / / / 0 0 AA, Aa p p / / 0 AA, aa p q 0 0 Aa, aa p q 0 / / Probabilités coditioelles O simplifie les probabilités : P(AA) P(Aa) P(aa) Exercices théoriques p p p p p p p p p p p p p p p p p () p p p p () p p p p p p. Démotrez à partir des axiomes que P() 0. (p +p ) p p p p p () p p ( p p p p p p p ) (p +p ). + (p +p )(p +p ). Démotrez à partir des axiomes que P(A) pour tout évéemet A p p () p p. Démotrez à partir des axiomes, et des uméros précédets s il y a lieu, que P(A c ) - P(A). Démotrez à partir des axiomes, et des uméros précédets s il y a lieu, que P(A - B) P(A) - P(AB). Déduisez que si B A, alors P(A - B) P(A) - P(B).. Démotrez à partir des axiomes, et des uméros précédets s il y a lieu, que P(A) P(AP c. Démotrez à partir des axiomes, et des uméros précédets s il y a lieu, que P(AB) P(A) + P(B)-P(AB).7 Motrez que P(A B) P(A) + P(B ).. Démotrer que P(A B C) P(A) + P(B) + P(C) P(AB) P(AC) P(B C) + P(AB C)..9 Soit A et B deux évéemets de probabilité o ulle. Motrez que P(AB) P (A) P (B) P (A B) P(A) P(A B) P(A B c ).. Vérifiez la propriété. Vérifiez la propriété, et doez-e ue iterprétatio combiatoire., et doez-e ue iterprétatio combiatoire. MAT0.0.Sols.A octobre 0

9 . Développez le deuxième terme à droite de l idetité... MAT0 Chapitre Probabilités 9 pour motrer que. E appliquat la même règle successivemet, motrez que i i. Présetez u argumet de ature combiatoire justifiat le développemet du biôme de Newto : a b a b a b... a b a b (a + b). Démotrez la propriété suivate et doez-e ue iterprétatio combiatoire : m m m m m m m [Das ce développemet, ous adoptos la covetio que 0 si >. Doc certais des termes ci-dessus peuvet disparaître. Pour faire la démostratio, otez que le coefficiet de x das (+x) m+ m est trouvez ue deuxième expressio pour le coefficiet de x e développat le produit (+x) m (+x) 0 m 0 m x x... m m x m 0 x x x 0... ; esuite, MAT0.0.Sols.A 9 octobre 0