Mathématiques. Sup & Spé TSI Résumé de Cours. Christophe Caignaert. Lycée Colbert Tourcoing

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1 Sup & Spé TSI Résumé de Cours j O Clcul élémentire de l courbure en un point birégulier i On considère l fonction ngulire ssociée ϕ qui est l ngle entre Ox et T, ϕ = d où, en prmétriques : cosϕ T : = sinϕ En polires, on : ϕ = θ + V dx ds dy ds = dx dt / ds dt dy dt / ds dt Avec les nottions précédentes, on : γ = dϕ ds Démonstrtion : T : R = ds dϕ cosϕ sinϕ Ce qui donne imméditement : Ω R et N : N M T sinϕ cosϕ qu on dérive pr rpport à s. D où d T ds = γ N : γ = dϕ ds. Mthémtiques ( ) i, T sinϕ dϕ ds cosϕ dϕ ds. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing Année scolire

2 Année Scolire LES PRINCIPALES modifictions cette nnée sont principlement des jouts de figures et de considértions élémentires. On bien sûr églement relu le contenu et corrigé quelques bogues : qu on se rssure, il en reste! Un grnd merci ux lecteurs ttentifs. Ce document est disponible sur mon site personnel : Ce site contient églement un cours complet de Spé TSI, tnt en pdf qu en html. Il été écrit sous pdfltex, une version spécifique de LTeX qui produit directement des fichiers u formt pdf. Ces fichiers ont l vntge de s fficher et s imprimer correctement. Pour l présenttion du document, on redéfini quelques commndes LTeX de bse, comme «\section», l génértion de l index... Les extensions LTeX utilisées sont hbituelles, les crctères de texte sont en pltino et les crctères mthémtiques utilisent les fontes pple dptée u pltino. Cette version du document est celle du 8 juin Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

3 Sommire I Algèbre 7 1. Théorie des ensembles Ensembles Sous-ensembles Loi de composition interne Ensembles finis Fonctions et pplictions Applictions Imge, imge réciproque d une prtie Injection, surjection, bijection Composition des pplictions Ensemble des pplictions de E vers F Structure de Groupe Groupe Sous-groupe Morphisme de groupe Structure d Anneu Anneu Sous-nneu Exemples d nneux Arithmétique de Z Structure de Corps Corps Corps usuels Structure d Algèbre Algèbre Sous-lgèbre Algèbres usuelles Nombres Réels Inéglités, Bornes Prtie entières Formule du Binôme Nombres Complexes Nombres Complexes Inéglité tringulire Groupe des unités Rcines d un nombre complexe Géométrie du pln complexe Polynômes Rcines Division Euclidienne Frctions Rtionnelles Décomposition en éléments simples Conseils prtiques Espces Vectoriels Structure d espce vectoriel Sous-espce vectoriel Somme de sous-espces vectoriels Norme sur un espce vectoriel Esp. vect. de dim. finie : bse Espces vectoriels usuels Applictions Linéires Applictions linéires s-e-v stble pr f Imge et noyu Projecteur Théorème du rng Système linéire Mtrices Générlités Générlités sur les mtrices crrées Mtrice d une ppliction linéire Mtrice de Pssge Chngements de bse Déterminnts Ordre 2 et Mtrice tringulire Ordre quelconque Déterminnt d un produit Dét. d une mt. tringulire pr blocs Réduction des Endomorphismes Vleurs propres et vecteurs propres Polynôme crctéristique Digonlisibilité Digonlisibilité et digonlistion Tringulristion Puissnces d une mtrice Espces Préhilbertiens Réels et Euclidiens Produit sclire Esp. vect. préhilbertiens et euclidiens Inéglités Endomorphismes symétriques Mtrice symétrique réelle Procédé de Schmidt Projection sur un s-e-v de dim. finie Méthode des Moindres Crrés Groupe Linéire et Groupe Orthogonl Groupe linéire Groupe orthogonl II Anlyse Suites Suites Sous-suites Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 3

4 18.3. Suites vectorielles Suites réelles ou complexes Suites réelles Suites récurrentes Suites récurrentes linéires Fonctions R R Ensemble de définition Monotonie Limite et continuité Continuité sur un intervlle Fn en esclier, continue pr morceux Limites usuelles Equivlents Négligebilité Dérivbilité Dérivée, clsse C 1 et nottions Clsse C n Somme et produit Dérivée d une fonction composée Dérivée et prolongement pr continuité Th. de Rolle, T.A.F., Formules de Tylor Zéros d une fonction Développements limités Opértions sur les dl n Fonctions usuelles Exponentielle et Logrithme Fonctions trigonométriques circulires Fonc. trigonométriques réciproques Fonc. trigonométriques hyperboliques Fonc. trig. hyperboliques réciproques Autres fonctions usuelles Trigonométrie Propriétés élémentires Symétries Arc double Sommes d rcs Trnsformtion de produits en sommes Trnsformtion de sommes en produits Formule de Moivre Fonctions réciproques Pour le clcul intégrl Recherche de primitives Frction rtionnelle en x Frctions rtionnelles diverses Polynôme exponentielle Primitives usuelles Intégrle de Riemnn Primitive Inéglités Théorème des 3 conditions Intégrle dépendnt d une borne Continuité et dérivtion sous Int. pr prties et chng. de vrible Sommes de Riemnn Intégrle générlisée Convergence Fonctions positives Théorème des 3 conditions Int. pr prties et chng. de vrible Un procédé de convergence Continuité et dérivtion sous Ensemble de définition Intégrles doubles et triples Description hiérrchique du domine Clcul d Aires et de Volumes Inclusion des domines Chngement de vribles Séries numériques (réelles ou complexes) Convergence et Convergence Absolue Séries géométriques Séries positives Critère spécil des séries lternées Comprison série-intégrle Suite et série des différences Clcul exct de sommes de séries Clcul pproché de sommes de séries Séries Entières Ryon de convergence Convergence Somme de deux séries entières Développement en série entière Séries entières usuelles Sér. ent. solution d une éqution diff Séries de Fourier Coefficients de Fourier Cs où f est 2π-périodique Convergence Produit sclire et formule de Prsevl Σ = Σ Série entière Série de Fourier Autres cs Fonctions R p R Limite et continuité Clsse C 1 et C Extrémums d une fonction R 2 R Fonctions (ou suites) à vleur dns R n ou C n Limite et continuité Fonction R n R p, clsse C Fonction R n R n, clsse C Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

5 33. Equtions et systèmes différentiels Générlités Non Linéire du premier ordre Linéire du premier ordre Lin. du sec. ordre à coeff. constnts Linéire du second ordre Eqution ux dérivées prtielles Système Linéire du premier ordre Système utonome III Géométrie Brycentre Brycentre de p points pondérés Associtivité du brycentre Vecteurs du pln et de l espce Produit sclire Produit vectoriel Déterminnts Droites et Plns ffines Droites du pln Plns de l espce ffine Droites de l espce ffine Angles Aires et Volumes élémentires Distnces Projecteurs et Symétries Projecteur Symétrie Isométries Isométries vectorielles et ffines Symétries orthogonles Recherche d une symétrie orthogonle Isométries Vectorielles Isométries Affines Similitudes Similitude Identifiction Courbes Plnes Courbes d éqution y = f (x) Courbes plnes en prmétriques Courbes plnes en polires Courbes usuelles en polires Courbure et Ryon de Courbure Ryon de courbure d une courbe plne Recherche de l courbure Surfces : Générlités Surfces, pln tngent Tngente à une courbe de l espce Cercles et Sphères Cercles dns le pln et sphères Cocyclicité Cercles dns l espce Coniques Ellipses Prboles Hyperboles Identifiction d une conique Projection d une conique sur un pln Qudriques Equtions réduites Intersection vec un pln Identifiction d une qudrique Surfces de révolution, cylindres et cônes Surfces de révolution Cylindres Cônes Cylindres et cônes de révolution IV Mple Bses Mnipultions de bse Constntes Sommes et produits Fonctions d évlution Trnsformtion générle d expressions Simplifiction d expressions Structures de données Mthémtiques usuelles Fonctions mthémtiques usuelles Limites et développements limités Dérivées Primitives et intégrles Solve Algèbre linéire Vecteurs Procédé de Schmidt Mtrices Eléments propres Grphiques Courbes du pln Surfces Courbes de l espce Trcé simultné Structures de contrôle et procédures Structure lterntive Structure répétitive Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 5

6 51.3. Procédures Exemples de Progrmmes Un progrmme très simple Structure lterntive Structure itértive «pour» Structure itértive «tnt que» Récurrence sur plusieurs rngs Un exemple en lgèbre linéire Index 104 Figures 1 Projection orthogonle Méthode des Moindres Crrés Théorème de Newton-Rphson Fns exponentielle et logrithme Fonctions trigonométriques Fns trigonométriques réciproques Fns cosinus et sinus hyperboliques Fonction tngente hyperbolique Fns Argch et Argsh Fn Argument tngente hyperbolique Cercle trigonométrique Intégrle double Intégrle triple Intégrle double en polires Intégrle triple en cylindriques Intégrle triple en sphériques Critère spécil des séries lternées Comprison série-intégrle Convergence d une série entière Fonction convexe Etude locle d une courbe prmétrée Exemple de ρ négtif en polires Tngente en polires Asymptote en polires Repère de Frenet et centre de courbure Pln tngent Ellipse : foyers et directrices Prbole : foyers et directrices Hyperbole : foyers et directrices Qudriques Surfce de révolution : xe et directrice Cylindre : direction et directrice Contour pprent dns une direction Cône : sommet et directrice Contour pprent depuis un point Tbleux 1 Fonctions usuelles Primitives usuelles Séries Entières usuelles Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

7 Première prtie Algèbre 1. Théorie des ensembles 1.1. Ensembles Un ensemble peut se définir pr l liste de ses éléments, comme pr exemple : E = {1,2,...,n} ; l propriété que vérifient ses éléments, pr ex. : E = {x R, x 2 + x 1 = 0}. Qund x est un élément de E, c est à dire qu il est dns l liste des éléments de E, ou qu il vérifie l propriété crctéristique de E, on dit que x pprtient à E, noté : x E. Définition : Si E et F sont deux ensembles, on ppelle l ensemble produit de E et F, noté E F, l ensemble des couples d un élément de E et d un élément de F, soit : E F{(x,y), x E, y F} L ensemble vide se note : Sous-ensembles On dit que F est inclus dns E, noté F E, x F, x E. F est insi un sous-ensemble de E, ou une prtie de E. On note P(E), l ensemble des prties de E. C est ensemble de tous les sous-ensembles de E. Définition : L intersection de 2 ensembles A et B, notée A B est : A B = {x, x A et x B} Définition : L réunion de 2 ensembles A et B, notée A B est : A B = {x, x A ou x B} Définition : Si A B, le complémentire de A dns B est : B A = {x, x B et x A} Loi de composition interne Définition : Si E est un ensemble, une loi de composition interne, notée, sur E est une ppliction (voir pge 8) définie sur E E et à vleur dns E. A deux éléments de E, on ssocie un troisième élément de E. On note une loi de composition interne sous forme d opértion plutôt que sous forme d ppliction : z = x y. Les propriétés usuelles d une loi de composition interne sur E sont : ssocitivité : x,y,z E, (x y) z = x (y z) En un mot, on peut, dns un clcul, regrouper les termes comme on veut, sns chnger leur ordre. Il est prtiquement impossible de trviller vec une loi qui n est ps ssocitive. commuttivité : x,y E, x y = y x Pour une loi commuttive, dns un clcul, on peut chnger l ordre des termes. élément neutre : e est élément neutre x E, x e = e x = x C est pr exemple 0 pour l ddition et 1 pour l multipliction. élément inversible : x est inversible, ou possède un symétrique x E tel que : x x = x x = e Ceci n bien sûr de sens que si l loi possède déjà un élément neutre e. Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 7

8 1.4. Ensembles finis Définition : Un ensemble est fini s il est vide ou s il peut se mettre en bijection (voir pge 8) vec {1,2,...,n}. Son crdinl, qui est son nombre d éléments, est lors n. Le crdinl de l ensemble vide est 0. Nottion : L ensemble {1,2,...,n} se note ussi [[1,n]]. Crd(E F) = Crd(E) Crd(F) Le crdinl de l ensemble des prties de E est : Crd(P(E)) = 2 Crd(E) Le crdinl de l ensemble des pplictions de E dns F (voir pge 9) est : Crd(F(E,F)) = Crd(F) ( ) Crd(E) n Le crdinl de l ensemble des prties à p éléments d un ensemble à n éléments est : Cn k = k 2.1. Applictions 2. Fonctions et pplictions Définition : Une fonction f de E vers ou dns F est une reltion telle que : x E, il existe u plus un seul y F, tel que : y = f (x). Une ppliction f de E vers ou dns F est une reltion telle que : x E, il existe un et un seul y F, tel que : y = f (x). Définition : Soit f une ppliction de E vers F, et A une prtie de E, lors : f A : A F, définie pr : x A, f A (x) = f (x) est l restriction de f à A. Définition : Soit g une ppliction de A vers F, et A une prtie de E, lors, toute ppliction : f : E F, telle que : x A, f (x) = g(x) est un prolongement de g sur E Imge, imge réciproque d une prtie Définition : Soit f une ppliction de E vers F, si A est une prtie de E, on ppele imge ou imge directe de A pr f, notée f (A) = {y F, x A tel que : y = f (x)}. C est l ensemble des imges des éléments de A ; si B est une prtie de F, on ppele imge réciproque de B pr f, notée f 1 (B) = {x E, tels que : f (x) B}. C est l ensemble des éléments de E dont l imge est dns B. On peut prler de l imge réciproque d une prtie B, notée f 1 (B) même qund l ppliction f 1 n existe ps Injection, surjection, bijection Définition : Une ppliction est injective si et seulement si deux éléments distincts ont des imges distinctes. En prtique, on montre que : f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Définition : Une ppliction est surjective si et seulement si tout élément de l ensemble d rrivée possède un ntécédnt, c est à dire : y F, x E tel que f (x) = y. Définition : Une ppliction est bijective si et seulement si tout élément de l ensemble d rrivée possède un unique ntécédnt, c est à dire : y F, il existe un et un seul x E tel que f (x) = y. Définition : Si f est une bijection de E sur F, lors : z = f 1 (t) f (z) = t, définit bien une ppliction f 1, de F sur E, bijective, ppelée ppliction réciproque de f. 8 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

9 2.4. Composition des pplictions Définition : Soit : f : E F et : g : F G, on définit l composée de f et g, comme étnt l ppliction : g f : E G, telle que : g f (x) = g ( f (x)). En générl : g f = f g... même qund tous les deux sont définis! On prend : f : E F et : g : F G, lors : si f et g sont surjectives, g f est surjective. si f et g sont injectives, g f est injective. si f et g sont bijectives, g f est bijective. L composée des pplictions est toujours ssocitive. C est à dire : Si on : f : E F, g : F G, et : h : G H, h (g f ) = (h g) f. L ppliction «identité» : Id E : E E, qui à x ssocie x est une bijection, et est élément neutre pour l composition des pplictions. Si f est une bijection de E dns F, on bien sûr : f 1 f = Id E, l identité de E ; et on ussi : f f 1 = Id F Ensemble des pplictions de E vers F Définition : L ensemble des pplictions de E vers F est noté : F(E,F). Si E et F sont des ensembles finis, lors, F(E,F) est ussi fini Groupe 3. Structure de Groupe Définition : étnt une loi de composition interne, c est à dire :,b G, b G,b,c G, ( b) c = (b c) (G, ) est un groupe e G, G, e = e = G, G, = = e Il s git de l ssocitivité, de l existence d un élément neutre, et de l existence d un symétrique pour tout élément. Si, de plus l loi est commuttive, le groupe est dit bélien ou commuttif. Remrquons qu un groupe est non vide... puisqu il contient l élément neutre Sous-groupe H G est un sous-groupe de (G, ) { H est non vide,b H, b H En prtique, il est bien plus fcile de montrer qu on un sous-groupe d un groupe connu plutôt qu un groupe Morphisme de groupe Définition : f : (F, ) (G, ) est un morphisme de groupe,b F, f ( b) = f () f (b) Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 9

10 4. Structure d Anneu 4.1. Anneu Définition : Un nneu est un ensemble A muni de deux lois de composition interne notées + et telles que : (A,+) une structure de groupe commuttif ; l loi est ssocitive, possède un élément neutre et est distributive pr rpport à l ddition. Cet nneu est dit commuttif qund l loi est commuttive Sous-nneu B est un sous-groupe de (A,+) B est un sous-nneu de (A, +, ) B est stble pour 1 B 4.3. Exemples d nneux (Z, +, ) une structure d nneu commuttif. Pr illeurs, toutes les lgèbres qui suivent, pge ci-contre, ont, bien sûr, une structure d nneu Arithmétique de Z / Multiples et diviseurs Définition : Soient et b dns Z, tels qu il existe q Z tel que : = b q. On dit lors que est un multiple de b, ou que est divisible pr b. On dit ussi que b est un diviseur de. b/ Division Euclidienne Soient Z et b N, lors, il existe un unique couple (q,r) vec q Z et r {0,1,...,n 1} tel que : = b q + r. Si N, il s git simplement de l division de l école primire! Mis, si < 0, et d illeurs dns tous les cs, q est l prtie entière (voir pge 12) de b. On peut toujours fire l division euclidienne de pr b = 0, mis, il n y que qund le reste est nul que est divisible pr b! c/ Nombres premiers Définition : Un nombre premier de N est un entier qui n est divisible, dns N, que pr lui même et pr 1. Un nombre premier de Z est un nombre tel que est un nombre premier de N. Tout entier de N est décomposble de fçon unique en produit de nombres premiers de N. Tout entier de Z est décomposble de fçon unique en produit de nombres premiers de N et du signe de. Exemple : 360 = L décomposition en produit de nombres premiers permet d effectuer fcilement : les simplifictions de frctions ; l somme de deux frctions, on prend lors comme nouveu dénominteur le nombre obtenu en prennt dns chcun des dénominteurs chque fcteur premier vec l exposnt le plus grnd. 10 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

11 5. Structure de Corps 5.1. Corps Définition : Un corps K est un ensemble muni de deux lois de composion interne telles que : (K, +, ) est un nneu : tout élément x de K possède un inverse 1 x pour l loi 5.2. Corps usuels Les corps usuels sont R et C notés K qund c est l un ou l utre, plus exceptionnellement Q Algèbre 6. Structure d Algèbre Une lgèbre est un ensemble A muni de trois lois. Les deux premières lui confèrent l structure d espce vectoriel (A, +,. ). L troisième loi est une loi de composition interne ppelée produit. Cette loi est ssocitive, possède un élément neutre, et est distributive pr rpport à l ddition. C est à dire qu on, à l fois, une structure d espce vectoriel (A, +,. ) et d nneu (A, +, ). Enfin, dernière propriété, les deux «produits» sont «comptibles» : λ K,,b A, (λ. ) b = (λ. b) = λ. ( b) 6.2. Sous-lgèbre On montre le plus souvent qu on une sous-lgèbre d une lgèbre connue plutôt que de montrer qu on une lgèbre directement. 1 F F E est une sous-lgèbre de E u,v F, λ,µ K, (λ.u + µ.v) F u,v F, u v F C est à dire, F contient l identité, est stble pr combinison linéire et pr produit Algèbres usuelles R [X] et C [X] sont des lgèbres sur R et C. C k (A,R) vec A non vide et k N {+ } est une lgèbre sur R. L (E) l ensemble des pplictions linéires de E dns E. L loi de composition interne, c est à dire le «produit», étnt ici l composition des pplictions. M n (K) l ensembles des mtrices crrées n n 7.1. Inéglités, Bornes 7. Nombres Réels On rppelle l inéglité tringulire : x,y R, x + y x + y. Définition : Soit A une prtie, non vide, de R mjorée, l borne supérieure de A est le plus petit des mjornts de A. Si A est une prtie, non vide, de R minorée, l borne inférieure de A est le plus petit des minornts de A. Toute prtie non vide mjorée de R dmet une borne supérieure, et toute prtie non vide minorée de R dmet une borne inférieure. Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 11

12 Nottion : On note R = R {, + } = [, + ] Cel ne rend ps et + réels! Tout intervlle réel non vide et non réduit à un point contient une infinté de nombres rtionels et une infinité de nombres irrtionels Prtie entières Définition : L prtie entière d un nombre réel est le plus grnd des entiers qui lui sont plus petits. Ainsi : Ent(π) = 3, et : Ent( π) = 4. On : Ent(x) x < Ent(x) + 1 Définition : L vleur décimle pprochée à 10 n près pr défut de x est : Ent(x 10 n ) 10 n. L vleur décimle pprochée à 10 5 près pr défut de π est : 3, Formule du Binôme / Coefficients binomiux Définition : C k n = C n k n = n! k!(n k)! = ( ) n k Cn k = Cn 1 k 1 + Ck n 1 Cn 0 = Cn n = 1 Cn 1 = Cn n 1 = n Cn 2 = Cn n 2 n(n 1) = 2 On noter bien que l nottion C k n est de plus en plus remplcée pr l nottion : Remrquons l inversion de n et k. ( ) n. k b/ Formule du Binôme et utres,b K, n N, ( + b) n =,b K, n N, n b n = ( b) n Cn k k b n k k=0 ( n k=1 n k b k 1 ) Les deux formules précédentes sont en fit vlbles dns tout nneu commuttif et donc, en prticulier, dns toute lgèbre comuttive. Qund on n ps l commutivité du produit, il fut et il suffit que le produit des deux éléments concernés commute. Ce ser le cs vec les mtrices crrées M n (K), voir pge 24, et vec l ensemble des endomorphismes de E, c est à dire L(E). n n (n + 1) k = 2 k=1 12 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

13 8. Nombres Complexes 8.1. Nombres Complexes z = x + iy = ρ e iθ z = x iy = ρ e iθ ρ = z = z = z = x 2 + y 2 ( ) 1 z + z = z + z z z = z z = 1 z z z 2 = z z 8.2. Inéglité tringulire x,y C, x y x + y x + y Cette inéglité est, bien sûr, encore vlble lorsque x et y sont réels Groupe des unités L ensemble U des nombres complexes de module 1, muni de l multipliction, une structure de groupe commuttif Rcines d un nombre complexe / Rcines crrées x 2 y 2 = z 2 = + ib vec z = x + iy x 2 + y 2 = 2 + b 2 signe(xy) = signe(b) b/ Rcines nèmes de l unité z n = 1 z = e 2ikπ n vec k {0,1,2,...,n 1} c/ Rcines nèmes d un nombre complexe z n = ρ e iθ z = n ρ e iθ+2ikπ n vec k {0,1,2,...,n 1} Les rcines nèmes d un complexe s obtiennent en effectunt le produit de l une d entre elles pr les rcines nèmes de l unité Géométrie du pln complexe / Trnsformtions z z Si le point M est d ffixe z, on trouve le point M d ffixe z en effectunt l rottion de centre O, d ngle rg et l homothétie de centre O et de rpport. z z + b Si le point M est d ffixe z, on trouve le point M d ffixe z + b en effectunt l rottion de centre Ω, d ngle rg et l homothétie de centre Ω et de rpport. Ω est le point fixe d ffixe vérifint : z = z + b, dns le cs où = 1 ; dns le cs où = 1, le point M est le trnslté de M de vecteur d ffixe b. peut ussi se reporter à l pge 72. Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 13

14 z 1 z Si le point M est d ffixe z, le point M d ffixe 1 se trouve sur l droite, orientée, symétrique de (OM) z pr rpport à Ox, l norme de OM étnt l inverse de celle de OM. z z Si le point M est d ffixe z, le point M d ffixe z est le symétrique de M pr rpport à l xe Ox. b/ Cercles et droites A,B,M d ffixes respectives,b,z, lors : le module de z z b est : AM ; BM l rgument de z ( z b est : ) AM, BM 9.1. Rcines Soit le polynôme : P(x) = 9. Polynômes n k x k = n x n + n 1 x n x + 0 k=0 Sur C, P(x) = n (x x 1 ) (x x 2 )... (x x n ) Sur R, P(x) = n (x x 1 ) (x x 2 )... ( x x p ) ( x 2 + α 1 x + β 1 )... ( x 2 + α m x + β m ) vec p + 2m = n et toutes les expressions du second degré irréductibles, c est à dire < 0. Qund on tous les fcteurs d un polynôme, pour retrouver celui-ci, il ne fut ps oublier le coefficient dominnt n. Définition : Un polynôme est dit scindé si et seulement si il est fctorisble en produit d expressions du premier degré. Sur C un polynôme est donc toujours scindé. Sur R, il fut et il suffit qu il n it ps de rcines complexes non réelles. P(x) est divisible pr (x α) P(α) = 0 α est rcine de P P(x) est divisible pr (x α) k P(α) = P (α) = = P (k 1) (α) = 0 α est rcine d ordre k u moins de P Un polynôme de degré n qui u moins n + 1 rcines distinctes ou confondues est nul. Si P est scindé, x 1 + x x n = n 1 n, x 1 x 2... x n = ( 1) n 0 n Pour le degré 2, x 2 Sx + P = 0 est tel que : S = x 1 + x 2, et P = x 1 x 2 S est l somme des rcines et P leur produit. 14 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

15 9.2. Division Euclidienne Soit A et B deux polynômes, B = 0, { A = B Q + R lors il existe un unique couple (Q,R) tel que degré(r) < degré(b) En prtique, qund on écrit l division de A pr B, on prendr soin de bien écrire les polynômes pr puissnces décroissntes. P Q Le reste de l division euclidienne de Q pr P est nul Toutes les rcines de P sont rcines de Q vec u moins le même ordre de multiplicité. On penser à cette dernière équivlence qund le degré de P est petit Décomposition en éléments simples 10. Frctions Rtionnelles A = P Q une frction rtionelle irréductible vec Q(x) = (x x 1) p 1 (x x 2 ) p 2... (x x n ) p n ( ) n P(x) pk Alors : Q(x) = E(x) + A k,l k=1 l=1 (x x k ) l vec E(x) le quotient de l division euclidienne de P pr Q. En prtique, sur les réels et les complexes, un terme en (x x 1 ) dns Q(x) donne un terme en un terme en (x x 1 ) 2 dns Q(x) donne un terme en Sur les réels, un terme en ( x 2 + α 1 x + β 1 ) vec ( < 0) donne : A (x x 1 ), A (x x 1 ) + B (première espèce). 2 (x x 1 ) A un terme en (x x 1 ) + A (x x 1 ) Cx + D ou directement en (x 2 (seconde espèce), vec C et D réels. + α 1 x + β 1 ) Exemple : On v donner un exemple de décomposition directe en éléments simples sur R. 2X + 1 Soit : (X + 1) 2 (X 2 + X + 1) = A X B (X + 1) 2 + CX + D X 2 cr X 2 + X + 1 n ps de rcines réelles, + X + 1 ses rcines sont j et j. Pour B, on multiple pr (X + 1) 2, on simplifie et on fit X = 1. Cel donne : B = 1. Pour C et D, qu on peut trouver en même temps, cr l frction rtionelle du déprt est réelle, on multiplie pr X 2 + X + 1, on simplifie et on fit X = j. Comme C et D sont réels, on les deux. C j + D = 2 j + 1 ( j + 1) 2 = 2 j + 1 ( j 2 ) 2 = 2 j + 1 = 2 + j 2 = 2 1 j = 1 j, d où : C = 1 et D = 1. j Pour A, on fit X = 0 ou bien on multiplie pr X et on fit X = +. Ce qui donne : A + C = 0 et donc : A = Conseils prtiques Pour décomposer une frction rtionelle en éléments simples, il fut : Fctoriser Q(x). Ecrire l forme générle de l décomposition, en n oublint ps l prtie entière, qu on clcule en fisnt l division euclidienne Utiliser l prité-imprité qui réduit souvent beucoup l étude Terme de degré dominnt : multiplier pr (x x 1 ) p 1, simplifier puis poser x = x 1 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 15

16 rcine simple de première espèce : fire le précédent ou bien : A = P(x 1) Q (x 1 ) Résidu à l infini : multiplier pr x et clculer l limite qund x Enfin, prendre une vleur Espces Vectoriels Structure d espce vectoriel Définition : (E, +,.) est un espce vectoriel sur K (E,+) est un groupe commuttif λ.(u + v) = λ.u + λ.v { u,v E (λ + µ).u = λ.u + µ.u λ,µ K λ.(µ.u) = λµ.u 1.u = u Définition : On ppelle vecteurs les éléments de E et sclires les éléments de K. Un espce vectoriel E possède une structure de groupe dditif, l élément neutre pour l ddition est le vecteur nul, noté 0 E ou simplement 0. On prendr soin de ne ps le confondre vec le sclire 0... On peut ussi montrer que F est un sous-espce vectoriel de E en montrnt : que F est le noyu d une certine ppliction linéire ; ou que F est défini comme engendré pr une certine fmille de vecteurs Sous-espce vectoriel F E est un sous-espce vectoriel de E { F est non vide u,v F, λ,µ K, (λ.u + µ.v) F C est à dire F est non vide et stble pr combinison linéire. Ce théorème sert souvent pour montrer que F est un espce vectoriel en montrnt qu il est un sousespce vectoriel d un espce connu et identifié Somme de sous-espces vectoriels Définition : E = E + E tout vecteur x de E est somme d un vecteur x de E et d un vecteur x de E On l même définition pour l somme de plus de deux sous-espces vectoriels. Définition : E + E est directe E E = {0} les composntes x et x de x sont uniques. L somme directe des deux sous-espces est lors notée E E. Définition : On dit que les sous-espces E et E sont supplémentires dns E E = E E { E = E E = E E + E E E = {0} On un utre théorème en dimension finie u Exemple : Donnons deux exemple, l un en dimension finie et l utre en dimension infinie : dns l ensemble des mtrices crrées M n (K), l ensemble S des mtrices symétriques et l ensemble I des mtrices nti-symétriques sont deux sous-espces vectoriels supplémentires ; dns l ensemble des pplictions A([,],K), l ensemble P des pplictions pires et l ensemble I des pplictions impires sont deux sous-espces vectoriels supplémentires. 16 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

17 11.4. Norme sur un espce vectoriel Définition : { E R+ u u u,v E, u + v u + v (inéglité tringulire) est une norme u E, λ K, λ.u = λ u (positive homogénéité) u E, u = 0 u = 0 (séprtion) Espces vectoriels de dimension finie : bse Définition : (x 1, x 2,..., x n ) est génértrice de E { x E, λ1, λ 2,..., λ n K, x = λ 1 x 1 + λ 2 x λ n x n Définition : (x 1, x 2,..., x n ) est libre de E (λ 1 x 1 + λ 2 x λ n x n = 0 λ 1 = λ 2 =... = λ n = 0) Définition : Une bse est une fmille libre et génértrice. Définition : Un espce vectoriel est dit de dimension finie il possède une bse comptnt un nombre fini de vecteurs. S dimension est lors le nombre de vecteurs de cette bse. Toutes les bses de E ont le même nombre de vecteurs qui est, pr définition, l dimension de E. Si E est de dimension n : (x 1, x 2,..., x n ) est une bse (x 1, x 2,..., x n ) libre (x 1, x 2,..., x n ) génértrice Le rng d une fmille de vecteurs est l dimension de l espce vectoriel engendré pr ces vec- Définition : teurs. E,E deux sous-espces vectoriels de E E et E sont supplémentires de E E = E E dim(e) = dim(e ) + dim(e ) E E = {0} Remrquons qu on peut remplcer l condition E E = {0} pr E = E + E On un utre théorème en dimension infinie u Espces vectoriels usuels R [X] et C [X] sont des espces vectoriels sur R et C, de dimension infinie. R n [X] et C n [X] sont des espces vectoriels sur R et C, de dimension n + 1, de bse cnonique ( 1,X,X 2,...,X n). R n et C n sont des espces vectoriels sur R et C, de dimension n. Les vecteurs de l bse cnonique ont une composnte égle à 1 et les utres composntes nulles. A (A,E) vec A non vide et E un espce vectoriel sur K est un espce vectoriel sur K. C k (A,R) et C k (A,C) vec A non vide et k N {+ } sont des espces vectoriels sur R et C, respectivement. Sur A symétrique pr rpport à l origine, les pplictions pires et les pplictions impires sont des sous-espces vectoriels des précédents. Sur un ensemble llnt jusque + ou, les pplictions tendnt vers 0 à l infini forment ussi un sous-espce vectoriel des précédents. Il en est de même des pplictions bornées sur A... L ensemble des suites réelles ou complexes ont une structure d espce vectoriel sur R et C, respectivement. Les suites réelles ou complexes tendnt vers 0 à l infini forment des sous espces vectoriels des précédents. Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 17

18 Il en est de même des suites bornées... Vect(x 1, x 2,..., x n ) est le plus petit sous-espce vectoriel de l espce dns lequel se trouvent les vecteurs x 1, x 2,..., x n. On l ppelle l espce vectoriel engendré pr x 1, x 2,..., x n. Il est de dimension n si et seulement si ces vecteurs forment une fmille libre. L (E,F) et L (E) les ensembles d pplictions linéires de E dns F ou de E dns E. M n,p (K) et M n (K) les ensembles de mtrices n lignes, p colonnes ou crrées n n, de dimensions respectives n p et n 2. Les vecteurs de l bse cnoniques sont les mtrices qui ont un élément égl à 1 et les utres nuls Applictions linéires 12. Applictions Linéires Définition : f : E F, vec E et F deux espces vectoriels sur K est linéire, ou est un morphisme, ou encore { u,v E un homomorphisme f (λ.u + µ.v) = λ. f (u) + µ. f (v) λ,µ K f : E E, linéire est un endomorphisme f : E F, linéire bijective est un isomorphisme f : E E, linéire bijective est un utomorphisme f : E K, linéire est une forme linéire. K est ici considéré comme un espce vectoriel sur lui-même. L(E,F) et L(E) sont des espces vectoriels sur K. Si E et F sont de dimension finies n et p, l dimension de L(E,F) est n p et celle de L(E) est n Sous espce vectoriel stble pr un endomorphisme Définition : Soit F un sous espce vectoriel de E et f un endomorphisme de E. On dit que F est stble pr f u F, f (u) F Imge et noyu Définition : Le noyu de f, linéire, est : ker( f ) = {u E, f (u) = 0}. Définition : L imge de f, linéire, est : Im( f ) = {v f, u E, v = f (u)}. L imge d un s.e.v de E L imge de E } pr f : E F, linéire, est un sous-espce vectoriel de F. L imge réciproque d un s.e.v de F pr f : E F, linéire, est un sous-espce vectoriel de E. Le noyu de f : E F, linéire, est un sous-espce vectoriel de E. f : E F, linéire, est injective ker( f ) = {0} En dimension finie, des bses étnt choisies, on recherche le noyu en résolvnt un système linéire sns second membre, l dimension du noyu est l dimension de l espce de déprt moins le rng du système, c est ussi le nombre d inconnues uxiliires. On obtient une bse du noyu en distribunt tour à tour un 1 et des 0 sur les inconnues uxiliires ; on recherche l imge en écrivnt que les imges des vecteurs de l bse forment une fmille génértrice de l imge, puis en otnt les vecteurs inutiles de cette fmille. L dimension de l imge est le rng de l ppliction linéire, de l mtrice. 18 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

19 12.4. Projecteur Définition : p : E E est un projecteur p p = p p : E E est un projecteur E = Im(p) Ker(p), mis ceci n est ps une équivlence. E = E 1 E 2 permet de définir p l projection sur E 1, prllèlement à E 2 et q l projection sur E 2, prllèlement à E 1. On lors p + q = Id Théorème du rng Définition : f : E F, linéire, vec E de dimension finie, le rng de f est rg ( f ) = dim( f (E)) = dim(im( f )). f : E F, linéire, vec E de dimension finie dim(e) = dim(ker( f )) + rg ( f ) dim(l(e,f)) = dim(e) dim(f) et dim(l(e)) = dim(e) 2 Théorème : Si dim(e) = dim(f), et donc en prticulier dns le cs d un endomorphisme en dimension finie, f bijective on : ker( f ) = {0} Im ( f ) = F f injective f surjective Système linéire f trnsforme une bse de E en une bse de F f trnsforme toute bse de E en une bse de F Pour résoudre un système linéire de n équtions à p inconnues : On rend le système trpézoïdl en ppliqunt l méthode du pivot de Guss S il y des prmètres, on ne discute que lorsqu on y est obligé pour ppliquer le pivot de Guss, u besoin en chngent l ordre des lignes ou des colonnes. On connit à ce moment le rng du système : c est le nombre d équtions linéires indépendntes. Si le système est sns second membre, l ensemble des solutions est un espce vectoriel de dimension le nombre d inconnues moins le rng. On voit à ce moment si le système est incomptible. S il est comptible, le rng du système est le nombre d équtions restntes Si on, à ce moment, utnt d équtions que d inconnues : le système une solution unique Si on, à ce moment, moins d équtions que d inconnues, on grde utnt d inconnues principles que le rng. Les utres deviennent des inconnues uxiliires, qui se tritent comme des prmètres Générlités / Produit de mtrices 13. Mtrices Si A est une mtrice n-lignes et m-colonnes, B une mtrice m-lignes et p-colonnes, m lors : C = AB est une mtrice n-lignes et p-colonnes vérifint : c i j = ik b k j. k=1 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 19

20 Ce qui se schémtise : i1 im. b 1 j..... b m j. =. c i j. b/ Produit de mtrices définies pr blocs Si deux mtrices sont définies pr blocs, on peut prfois effectuer leur produit en trvillnt pr blocs. C est à dire : ( (A) (B) ) ( (A ) (B ) ) ( (A) (A ) + (B) (C ) (A) (B ) + (B) (D ) ) (C) (D) (C ) (D ) = (C) (A ) + (D) (C ) (C) (B ) + (D) (D ) Les dimensions des mtrices doivent être comptibles, à svoir : Le nombre de colonnes de A et C doit être le nombre de lignes de A et B. Le nombre de colonnes de B et D doit être le nombre de lignes de C et D. D utre prt, rppelons que le produit de mtrices n est ps commuttif, l ordre dns lequel on écrit ces produits est donc fondmentl... c/ Trnsposée d un produit On : t (AB) = t B t A Générlités sur les mtrices crrées / Mtrices symétriques et ntisymétriques Définition : Définition : Une mtrice crré M est symétrique t M = M ji = i j Une mtrice crré M est nti-symétrique t M = M ji = i j Le sous-espce vectoriel des mtrices symétriques et le sous-espce vectoriel des mtrices ntisymétriques sont supplémentires. De plus : M S = M + t M est toujours symétrique, et M A = M t M est ntisymétrique. 2 2 Elles vérifient : M = M S + M A. b c En dimension 3, l mtrice symétrique l plus générle est : b d e c e f 0 b et l mtrice ntisymétrique l plus générle possible est : 0 c b c 0 b/ Inverse d une mtrice Si on M une mtrice crrée telle que : M M = I n, ou telle que : M M = I n, lors M est inversible et M 1 = M. Une mtrice crrée est inversible si et seulement si son déterminnt est non nul. Clcul prtique : En générl, on inverse une mtrice crrée en inversnt le système linéire correspondnt vec un second membre rbitrire : Y = MX X = M 1 Y 20 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

21 Cependnt, prfois, qund l question est plus théorique, on peut utiliser le théorème suivnt : M, une mtrice inversible, son déterminnt et i j le déterminnt obtenu en enlevnt l i ème ligne et l j ème colonne, lors : M 1 = 1 trnsposée de. ( 1) i+ j i j. c/ Inverse d un produit On : (AB) 1 = B 1 A 1 d/ Inversion et Trnsposition A une mtrice crrée inversible, lors : t ( A 1) = ( t A ) 1 = t A Mtrice d une ppliction linéire Définition : f : E F, linéire, vec E et F de dimensions finies n et p, munis de bses B E = (e 1,..., e n ) et B F = (e 1,..., e p), on ppelle mtrice de f dns ces bses M BE,B F l mtrice p lignes et n colonnes dont p l élément i, j, ième ligne et jème colonne est tel que f (e j ) = i, j e i. i=1 On en colonnes, les coordonnées des imges des vecteurs de l bse de E écrits dns l bse de F Mtrice de Pssge 1,1... 1, j... 1,n... i,1... i, j... i,n... p,1... p, j... p,n f (e 1 )... f (e j )... f (e n ) Définition : On ppelle mtrice de pssge ou P B1 B 2 l mtrice constituée en colonnes des coordonnées des vecteurs de l nouvelle bse B 2 écrits dns l ncienne B 1. On l ppelle ussi mtrice de chngement de bse. C est donc une mtrice inversible. Toute mtrice crrée inversible peut toujours s interpréter comme mtrice d un endomorphisme dns une certine bse, ou comme mtrice de chngement de bse. Psser d une interpréttion à une utre permet prfois de fire vncer le problème. e 1. e i. e p Chngements de bse Si on ppelle X et X les vecteurs colonnes, coordonnées d un vecteur dns l ncienne et l nouvelle bse, et P l mtrice de pssge, on X = PX ou bien X = P 1 X. Si on ppelle M et M les mtrices d un endomorphisme dns l ncienne et l nouvelle bse, et P l mtrice de pssge, on M = P 1 MP ou bien M = PM P 1. Définition : M et M sont semblbles P inversible telle que M = P 1 MP ce sont les mtrices d un même endomorphisme dns deux bses différentes. Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 21

22 14. Déterminnts Ordre 2 et 3 b c d = d bc peut se développer pr l règle de Srrus + + L règle de Srrus n est bsolument ps générlisble à des ordres supérieurs! Mtrice tringulire Le déterminnt d une mtrice tringulire est le produit de ses éléments digonux Ordre quelconque L règle des signes est : On développe suivnt une ligne ou une colonne en tennt compte de l règle de signes, on insi une somme de termes du type : ( 1) i+ j i j i j, où i j est le coefficient de l mtrice et i j est le déterminnt d ordre n 1 obtenu en enlevnt l ligne i et l colonne j correspondnte. = n i=1 ( 1) i+ j i j i j = n j=1 ( 1) i+ j i j i j Déterminnt d un produit, d une mtrice inversible Pour A d ordre n, A inversible det(a) = 0 rg(a) = n det(ab) = det(a) det(b), et si A est inversible, det ( A 1) = 1 det(a) Déterminnt d une mtrice tringulire pr blocs A M p (K), C M q (K), B M p,q (K), O est l mtrice nulle de M q,p (K) et p + q = n. Alors, A B = det (A) det (C) O C Cette propriété ne se générlise ps u déterminnt d une mtrice définie pr blocs et non tringulire pr blocs. 22 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

23 15.1. Vleurs propres et vecteurs propres 15. Réduction des Endomorphismes Définition : f : E E linéire, un couple (λ,u) (u = 0) est un couple vleur propre, vecteur propre de E f (u) = λ.u Définition : Pour λ une vleur propre de E, on ppelle sous-espce propre ssocié à λ, E λ = {u / f (u) = λ.u} = ker( f λid E ) C est clirement un sous-espce vectoriel de E. Le noyu est donc ussi le sous-espce propre ssocié à l vleur propre 0. Les sous-espces propres sont toujours en somme directe. Une fmille de vecteurs propres ssociés à des vleurs propres distinctes est libre Polynôme crctéristique Définition : f un endomorphisme de E de dimension n, A s mtrice dns une bse quelconque, le polynôme crctéristique de f est : P f (λ) = P A (λ) = det(a λi n ). Le polynôme crctéristique de f est indépendnt de l bse choisie. Les rcines du polynôme crctéristique de f sont les vleurs propres de f. Sur C, le polynôme crctéristique est toujours scindé. Il y donc toujours n vleurs propres distinctes ou confondues. Sur R, ç n est ps toujours le cs... Le polynôme crctéristique peut voir des rcines complexes non réelles. λ une vleur propre de f, lors : 1 dim(e λ ) ordre de multiplicité de λ comme rcine de P f Digonlisibilité Définition : Un endomorphisme est digonlisble il existe une bse de vecteurs propres A (ou f...) digonlisble { PA (λ) est scindé dim(e λ ) = ordre de multiplicité de λ dns P A En prticulier, lorsque P A (λ) est scindé à rcines simples, A (ou f...) est digonlisble. (condition suffisnte non nécéssire) Digonlisibilité et digonlistion Qund une mtrice A est digonlisble, une erreur cournte est de dire que, dns une certine bse, A est digonle, ce qui est bien sûr grossièrement fux et même stupide. On simplement une mtrice de pssge P et une mtrice digonle D telles que A = PDP 1 ou bien D = P 1 AP. L confusion provient de ce que A et D sont les mtrices d un même endomorphisme dns deux bses différentes... Il est pr contre exct de dire que si un endomorphisme f est digonlisble, et s il est de mtrice A dns l bse B, il existe une bse B dns lquelle s mtrice est D, digonle. P étnt l mtrice de pssge de B vers B, on lors : A = PDP 1 et D = P 1 AP Tringulristion Si le polynôme crctéristique est scindé, il existe une bse où l mtrice est tringulire. En prticulier, sur C, toute mtrice est tringulrisble. Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 23

24 15.6. Puissnces d une mtrice On fer ttention, pr convention : B 0 = I n, l mtrice identité. Si A est digonlisble, et D digonle semblble à A, lors A = PDP 1 et A k = PD k P 1. p Si A = M + N, vec MN = NM, ce qu il fut impértivement vérifier, lors : A p = C k p M k N p k k=0 Ceci est surtout utilisé lorsque M 2 ou M 3 est nulle, cr lors l somme se réduit ux 3 ou 4 premiers termes. Si A 2 = αa + βi lors A n = α n A + β n I et on peut chercher des reltions de récurrence entre les coefficients en écrivnt A n+1 de deux fçons : A n+1 = A n A Produit sclire 16. Espces Préhilbertiens Réels et Euclidiens Définition : Soit E un espce vectoriel sur R, une forme bilinéire symétrique sur E est une ppliction de E E R linéire pr rpport à chcune des vribles (l utre étnt fixée) et symétrique (on peut inverser l ordre des vribles). Définition : Une forme qudrtique sur R n est une ppliction de R n R qui se met sous l forme d un polynôme homogène de degré 2 des coordonnées du vecteur de R n. { E R Si ϕ est une forme bilinéire symétrique sur E, lors : q : u q (u) = ϕ (u,u) qudrtique, ppelée forme qudrtique ssociée à ϕ. Pr illeurs, si q est une forme qudrtique sur E, lors ϕ : E E R définie pr : ϕ (u,v) = q (u + v) q (u) q (v) 2 est une forme bilinéire symétrique. C est l forme polire de q. est une forme Définition : E un espce vectoriel réel. Un produit sclire est une ppliction de E E R bilinéire, symétrique, définie-positive. En prtique, on montre : u,v E, u,v = v,u. L forme est symétrique u } 1, u 2, v E λ.u 1 + µ.u 2, v = λ u 1, v + µ u 2, v. L forme est donc bilinéire symétrique λ, µ R u, E, u,u 0. L forme est positive u,u = 0 u = 0. L forme est définie-positive C est souvent le dernier point qui pose problème. Qund le produit sclire est défini pr une intégrle, c est à ce moment qu on utilise le théorème des 3 conditions. E étnt muni d une bse (e 1,..., e n ), x 1 y 1 x 2 On note : U :. et V : y 2 les vecteurs colonnes des coordonnées de u et v dns l bse,. x n On note A, l mtrice symétrique où i, j = e i,e j, lors : u,v = t UAV y n 24 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

25 A est insi l mtrice de l forme bilinéire symetrique, encore ppelée mtrice du produit sclire dns l bse (e 1,..., e n ). Si, de plus, l bse est orthonormle, lors on : u,v = t UV = n x i y i i=1 Définition : L norme euclidienne est : u = u,u = n xi 2 i=1 Exemple : Sur les mtrices crrées, le produit sclire usuel est : A,B = trce( t AB) = Espces vectoriels préhilbertiens et euclidiens n n i=1 i=1 i, j b i, j Définition : E un espce vectoriel réel est dit préhilbertien réel qund il est muni d un produit sclire. Si, de plus, il est de dimension finie, il est dit euclidien Inéglités On l inéglité de Schwrz : u,v E, u,v u v. On l inéglité tringulire : u,v E, u + v u + v Endomorphismes symétriques Définition : Un endomorphisme f est dit symétrique u,v E, f (u),v = v, f (u) f est symétrique s mtrice dns une bse orthonormle est symétrique Mtrice symétrique réelle Une mtrice symétrique réelle est digonlisble dns une bse orthonormle, c est à dire vec u besoin une mtrice de pssge orthogonle, telle que : P 1 = t P. Les sous-espces propres insi que les vecteurs propres ssociés à des vleurs propres distinctes sont orthogonux 2 à Procédé de Schmidt Tout espce vectoriel euclidien possède une bse orthonormle. Le procédé de Schmidt permet de construire effectivement une bse orthonormle à prtir d une bse quelconque. On prt d une bse quelconque (e 1, e 2,..., e n ) On pose ε 1 = e 1 C est le premier vecteur de l bse orthonormle. e 1 On pose ε 2 = e 2 + λ.ε 1 On cherche λ tel que ε 2,ε 1 = 0, ce qui donne : λ = e 2,ε 1 On pose ε 2 = ε 2 ε 2 On pose ε 3 = e 3 + λ.ε 1 + µ.ε 2 C est le deuxième vecteur de l bse orthonormle. On cherche λ et µ tel que { ε 3,ε 1 = 0 ε 3,ε 2 = 0, d où : On pose ε 3 = ε 3 ε C est le troisième vecteur de l bse orthonormle. 3 On continue insi en n oublint ps que chque étpe s llonge... { λ = e3,ε 1 µ = e 3,ε 2 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 25

26 16.7. Projection orthogonle sur un sous espce de dimension finie E un espce vectoriel préhilbertien, F un sous espce vectoriel de dimension finie muni d une bse orthonormle (e 1, e 2,..., e n ). Alors p : u p (u) = u, e 1.e u, e n.e n définit un projecteur. Et comme (u p (u)) F, on dit que p est l projection orthogonle sur F. Ce qu on peut voir sur l figure 1, ci-dessous. E u u p(u) F <e,u> e 2 2 e 1 p(u) <e,u> 1 Figure 1 Projection orthogonle sur un sous-espce de dimension finie Méthode des Moindres Crrés / Problème On un phénomène, physique pr exemple, qui, en théorie suit une loi ffine du type : y = x + b. Pr illeurs, on cherche expérimentlement à vérifier les vleurs théoriques de et b. Pour cel, on rélise une série de n mesures : (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ),..., (x n,y n ). b/ Solution On cherche à minimiser l somme des crrés des différences d ordonnées entre les points (x i,y i ) et (x i,x i + b). Sur l figure 2, pge ci-contre, les segments dont on minimise l somme des crrés des longueurs sont verticux et trcés en grs. On cherche donc à minimiser : n i=1 (y i x i b) 2. Pour cel, on nnule les dérivées prtielles pr rpport à b et à, ce qui donne en simplifint un peu les églités obtenues : n i=1 y i = n i=1 x i + nb et n i=1 x i y i = n i=1 x 2 i + b n i=1 On résout simplement ce système de 2 équtions à 2 inconnues et b. c/ Autre interpréttion x 1 + b y 1 x 2 + b y 2 Cel revient ussi simplement à ce que le vecteur soit l projection orthogonle du vecteur.. x n + b y n x 1 1 x 2 sur l espce vectoriel engendré pr. et 1.. x n 1 x i 26 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

27 y (x 1,x 1+b) (x 1,y 1 ) O x Figure 2 Méthode des Moindres Crrés Les réels et b sont lors les coordonnées de l projection orthogonle du vecteur indiqué dns cette bse (non orthonormle). En écrivnt les orthogonlités voulues, on obtient le même système Groupe linéire 17. Groupe Linéire et Groupe Orthogonl E un K espce vectoriel. L ensemble des isomorphismes de E, muni de l loi de composition des pplictions est un groupe, ppelé groupe linéire de E et noté GL(E). Nottion : Si E = R n ou E = C n, le groupe linéire de E se note GL n L loi est lors le produit des mtrices Groupe orthogonl Définition : Un endomorhisme f de E un espce vectoriel réel, est dit orthogonl f conserve le produit sclire u,v E, f (u), f (v) = u,v f est orthogonl f conserve l norme u E, f (u) = u Définition : Une mtrice M est orthogonle M est l mtrice d un endomorphisme orthogonl dns une bse orthonormle. M est orthogonle les vecteurs colonnes de M sont normés et orthogonux 2 à 2 les vecteurs lignes de M sont normés et orthogonux 2 à 2 M 1 = t M M t M = I t M M = I L ensemble des endomorphismes orthogonux de E, muni de l loi de composition des pplictions est un groupe noté O(E), sous groupe de GL(E). Nottion : Si E = R n, le groupe orthogonl de E se note O(n) L loi est lors le produit des mtrices. Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 27

28 Deuxième prtie Anlyse 18. Suites Suites Définition : (u n ) n N converge vers l ε > 0, p N, n p, u n l ε L limite l, qund elle existe, est unique. Cette définition est vlble pour une suite réelle ou complexe. Dns le cs d une suite vectorielle, il suffit de remplcer u n l pr u n l. L ensemble des suites muni de l somme de deux suites et de l multipliction pr un sclire une structure d espce vectoriel sur K. Il en est de même de l ensemble des suites convergentes Sous-suites Définition : ) (v n ) n N est une sous-suite de (u n ) n N ϕ : N N strictement croissnte telle que (v n ) = (u ϕ(n) (u n ) n N converge vers l toute sous-suite de (u n ) n N converge vers l Si deux sous-suites ont des limites différentes ou si une sous-suite diverge, l suite diverge. Une suite convergente est bornée. Qund n +, u n l v n l λ K u n + v n l + l u n v n l l λ u n λ l Suites vectorielles u 1n l 1 On u n = ( ) ( ) u 2n l 2 u 1n, u 2n,..., u pn et l = l1, l 2,..., l p, lors un l. u pn l p Suites réelles ou complexes Définition : Deux suites sont équivlentes u n = v n w n vec w n 1. En prtique, si à prtir d un certin rng v n = 0, cel revient à u n v n 1. L suite (u n ) converge L série (u n+1 u n ) converge 28 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

29 18.5. Suites réelles Toute suite croissnte mjorée converge. Toute suite décroissnte minorée converge. (suites djcentes) (u n ) (v n ) (u n v n ) 0 (u n) et (v n ) convergent vers l même limite Suites définies pr une reltion de récurrence On u 0 D f, et n N, u n+1 = f (u n ) et si u n D f, u n+1 D f En tout étt de choses, on résout d bord l éqution : f (x) = x, ses solutions sont les limites éventuelles de (u n ), les points fixes de f, dns l mesure où f est continue en ce point. Le procédé est bsé sur l inéglité des ccroissements finis. Si, sur un intervlle I stble pr f, l un point fixe, et f (x) k < 1, on montre que u n+1 l k u n l et donc pr récurrence immédite, que u n l k n u 0 l ce qui ssure l convergence Suites récurrentes linéires Il s git, comme dns toute «éqution linéire», d jouter une solution prticulière du problème vec second membre à l solution générle du problème sns second membre. / Suite récurente linéire simple ( ) b n u n+1 + bu n = 0 L solution est géométrique u n = α u n+1 + bu n = c Chercher une solution prticulière sous forme de suite constnte b/ Suite récurrente linéire double u n+2 + bu n+1 + cu n = 0 On clcule les solutions de l éqution crctéristique r 2 + br + c = 0 2 rcines distinctes r 1 et r 2 : u n = αr n 1 + βrn 2 1 rcine double r : u n = αr n + βnr n sur R, 2 rcines complexes r = s e ±iω : u n = s n (α cos nω + β sin nω) u n+2 + bu n+1 + cu n = d constnte γ ou, en cs d échec, γn ou, en cs de nouvel échec, γn 2 Chercher une solution prticulière Ensemble de définition 19. Fonctions R R L ensemble de définition de f est l ensemble des vleurs de x telles qu on puisse effectivement clculer f (x). Pour cel, on regrde les dénominteurs, rcines, quotients, logrithmes, tngentes... Le problème est plus complexe pour une fonction définie pr une intégrle b(x) (x) f (t) dt ou De plus, si l intégrle est générlisée, il fut même chercher les x tels que l intégrle converge Monotonie Définition : f est croissnte sur I un intervlle ( < b f () f (b)) f est strictement croissnte sur I un intervlle ( < b f () < f (b)) b f (x,t) dt. Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 29

30 f est dérivble sur I, un intervlle, f est croissnte sur I f (x) 0 sur I f dérivble sur I, un intervlle, f (x) 0 sur I et f ne s nnule qu en des points isolés, f est strictement croissnte sur I. Cette dernière impliction n est ps une équivlence... Une fonction croissnte, mjorée sur [,b[, dmet une limite finie en b. f continue, strictement monotone sur I un intervlle est une bijection de I sur f (I). De plus, f 1 est lors continue sur f (I) Limite et continuité Définition : lim f (x) = l ε > 0, α > 0, x α f (x) l ε. x Si, de plus, l = f (), on dit que f est continue en. On une utre définition de limite à l infini qu on peut dpter en. Définition : lim f (x) = l ε > 0, A > 0, x A f (x) l ε. x + On encore une définition qund l limite est infinie qu on peut dpter pour une limite. Définition : lim f (x) = + A > 0, α > 0, x α f (x) A. x Et, enfin, une dernière définition pour une limite infinie à l infini qu on peut... Définition : lim f (x) = + A > 0, B > 0, x B f (x) A. x + Pour éviter ces multiples définitions de l notion de limite, on peut considérer l droite «chevée» : R = R {, + }. Mis il fut lors donner les définitions en terme de «voisinge». Une fonction dmettnt une limite finie en un point est bornée u voisinge de ce point. Une somme, un produit, une combinison linéire, une composée, un quotient (qund ils sont définis...) de fonctions continues en un point sont continues en ce point Continuité sur un intervlle Définition : Si f est continue en tout point d un intervlle I, on dit que f est continue sur I. Une somme, un produit, une combinison linéire, une composée, un quotient (qund ils sont définis...) de fonctions continues sur un intervlle sont continues sur cet intervlle. f (I) l imge d un intervlle I pr f continue sur I est un intervlle. L imge d un segment [,b] pr f continue sur [,b] est un segment [c,d]. Une ppliction continue sur un segment est bornée et tteint ses bornes. Corollire : (Théorème des vleurs intermédiires) Si f est continue et chnge de signe entre et b, lors, il existe c dns [,b] tel que f (c) = Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

31 19.5. Fonction en esclier, fonction continue pr morceux Définition : Si f est définie sur I = [,b], vec 0 = < 1 < 2 < < n = b et si f est constnte sur tous les intervlles ] i 1, i [, pour i {1,...,n}, on dit que f est en esclier sur I. Définition : Si f est définie sur I = [,b], vec 0 = < 1 < 2 < < n = b et si f est continue sur tous les intervlles ] i 1, i [, pour i {1,...,n}, on dit que f est continue pr morceux sur I Limites usuelles Les limites usuelles permettent de résoudre de nombreuses formes indéterminées. On se reporter ussi, bien sûr, ux développements limités usuels... / Limites en 0 sin x 1 cos x lim = 1 lim x 0 x x 0 x 2 = 1 2 e x 1 lim = 1 lim x ln x = 0 x 0 x x 0 b/ Limites en + ln x lim x + x = 0 lim e x x + x = + lim x x + e x = 0 c/ Croissnces comprées Les limites suivntes sont connues sous le nom de théorème des croissnces comprées. On ici α et β strictement positifs. lim x 0 xα ln β x = 0 ln α x lim x + x β = 0 lim x + e αx = + lim xβ x + xα e βx = Equivlents Définition : On dit que : f (t) t g(t) f (t) = g(t)(1 + ε(t)) Ici, est fini ou infini. En prtique, cel revient à ce que le quotient tend vers 1. Les équivlents ne s joutent ps. vec lim t ε(t) = 0 Qund on veut trouver un équivlent, le mieux est de mettre «de force» l équivlent pressenti en fcteur et de montrer que l utre fcteur tend vers 1. On revient insi, sns risque, à l définition Négligebilité Définition : On dit que : f (t) = t o(g(t)) f (t) = g(t)ε(t) vec lim t ε(t) = 0. Ici, est fini ou infini. En prtique, pour une fonction g qui ne s nnule ps u voisinge de, cel revient à ce que le quotient f (t) tend vers 0 u point considéré. g(t) Définition : On dit que : f (t) = t O(g(t)) f (t) = g(t) h(t) vec h(t) borné u voisinge de. On utilise ceci principlement sous l forme o (t n ) ou O (t n ) dns les développements limités. Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 31

32 20. Dérivbilité Dérivée, clsse C 1 et nottions Définition : f est dérivble en f (x) f () x une limite finie qund x tend vers. Nottion : Cette dérivée en est notée f () ou D f () ou encore d f dx (). f dérivble en f est continue en. L réciproque est fusse! Définition : f est dérivble sur I f est dérivble en tout point I. Si, de plus, l fonction dérivée est continue sur I, on dit que f est de Clsse C 1 sur I. Nottion : Cette fonction dérivée sur I est notée f ou D f ou encore d f dx Clsse C n Définition : f est de clsse C n sur I f est n fois dérivble sur I, l dérivée n ème étnt, de plus, continue sur I. Nottion : Cette fonction dérivée n ème sur I est notée f (n) ou D n f ou encore dn f dx n Sommes et produits de fonctions dérivbles ( f + g) = f + g f et g dérivbles en un point ou sur un intervlle ( f g) = f g + f g ( ) f = f g f g g g 2 En se plçnt pour cette dernière propriété en un point où g est non nulle. Si f et g sont n fois dérivbles ( f g) (n) = n k=0 C k n f (k) g (n k) Ceci s utilise surtout vec une des deux fonctions qui est un polynôme, une exponentielle ou une fonction trigonométrique Dérivée d une fonction composée (g f ) = (g f ) f c est à dire : (g ( f (x))) = g ( f (x)) f (x) En un point où f est non nulle: ( f 1) 1 = f f 1 c est à dire : vec les nottions hbituelles y = f (x). ( f 1 ) (y) = 1 f (x) Dérivée et prolongement pr continuité Pour étudier l dérivbilité d une fonction en un point où elle été prolongée pr continuité, on peut f (x) f () ou clculer l limite de qui permet d obtenir l dérivbilité mis ne prouve ps l clsse C 1 x ou bien clculer l limite de f (x) qund cette limite existe et est finie, f est de clsse C 1, qund cette limite est infinie, f n est ps dérivble u point, mis s il n y ps de limite, on ne prouve rien Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

33 20.6. Théorème de Rolle et des Accroissements Finis, Formules de Tylor (Rolle) f continue sur [,b], dérivble sur ],b[, f () = f (b) c ],b[, tel que : f (c) = 0 (Eglité des ccroissements finis) f continue sur [,b], dérivble sur ],b[, c ],b[, tel que : f (c) = f (b) f () b (Inéglité des ccroissements finis) f continue sur [,b], dérivble sur ],b[, de dérivée bornée f (b) f () b On n écrir ici que les formules de Tylor en 0 ou sur l intervlle [0,x]. On peut se plcer en un point ou sur [,b], en dptnt les nottions. (Tylor-Young) Si f est n-fois dérivble u voisinge de 0 : sup c ],b[ f (x) = f (0) + x f (0) + x2 2! f (0) + + xn n! f (n) (0) + o(x n ) vec lim x 0 o(x n ) x n = 0 (Tylor vec reste intégrl) Si f est de clsse C n+1 sur l intervlle : f (x) = f (0) + x f (0) + x2 2! f (0) + + xn n! f (n) (0) + x 0 (x t) n f (n+1) (t) dt n! (Inéglité de Tylor-Lgrnge) Si f est de clsse C n+1 sur l intervlle : ( ) f (x) f (0) + x f (0) + x2 2! f (0) + + xn n! f (n) (0) x n+1 (n + 1)! Zéros d une fonction t [0,x] f (c) sup f (n+1) (t) Une fonction continue qui chnge de signe sur un intervlle s nnule u moins une fois, d près le théorème des vleurs intermédiires. On ppelle les vleurs de x telles que f (x) = 0 les zéros de l fonction. Si on ne sit ps clculer les vleurs exctes de ces zéros, on en clcule des vleurs pprochées pr des méthodes itértives. / Recherche d un zéro d une fonction pr dichotomie Soit f continue et strictement monotone sur [,b] telle f () f (b) < 0, c est à dire f () et f (b) de signes différents, lors, il existe un unique c ],b[ tel que : f (c) = 0. ( ) Pour trouver une vleur pprochée de ce zéro, on clcule le signe de f +b 2. On continue en remplçnt [,b] pr : [ ] ( ), +b 2 si f () et f +b 2 sont de signes différents ; [ ] ( ) +b 2,b si f +b 2 et f (b) sont de signes différents. Ainsi, c est toujours dns l intervlle considéré et on une vleur pprochée de c à ε près dès que l longueur de l intervlle est inférieure à ε. Comme l longueur de cet intervlle est divisée pr 2 à chque étpe, l convergence est rpide. b/ Théorème de Newton-Rphson Soit f de clsse C 2 sur [,b], < b, vec f () et f (b) de signes différents, f et f qui ne s nnulent ps sur ],b[, x 0 tel que f (x 0 ) f (x 0 ) 0, lors f possède un unique zéro dns [,b], limite de l suite (x n ) définie pr : x 0 = et x N, x n+1 = x n f (x n) f (x n ) Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 33

34 L convergence de l suite est plus rpide que pr dichotomie. On peut choisir x 0 =, ou x 0 = b, le mieux est de regrder le grphe de f sur [,b]. On obtient x n+1 pr intersection de l xe des bscisses et de l tngente à l courbe u point d bscisse x n, comme on peut le voir sur le grphe 3, ci-dessous. Courbe d éqution y=f(x) x x n+1 n b Tngente Figure 3 Théorème de Newton-Rphson Développements limités On n écrir ici que des développements limités en 0. on peut se plcer en un point en dptnt les nottions. Définition : On dit que f dmet un développement limité à l ordre n en 0 il existe 0, 1,..., n tels que f (x) = x + + n x n + o(x n ) f dmet un dl 0 en 0 f est continue en 0 f dmet un dl 1 en 0 f est dérivble en 0. (mis on ne peut ps générliser à un dl n...) f est de clsse C n en 0 f dmet un dl n en 0, qui est le développement de Tylor! Opértions sur les dl n On gir toujours vec des développements u même ordre. Somme : jouter simplement les prties régulières. Produit : fire le produit des prties régulières et tronquer à l ordre n. f (x) Quotient : se rmener à k, vec lim 1 + u(x) u(x) = 0, et utiliser 1 x u = 1 u + + ( 1)n u n + o(u n ) Composée : pour g f, vérifier que f (0) = 0, fire l composée des prties régulières et tronquer à l ordre n. On obtient un dl n+1 de l primitive de f en intégrnt terme à terme le dl n de f. Attention ux constntes d intégrtion... On ne peut ps fire l même chose pour l dérivée! 34 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

35 21. Fonctions usuelles Exponentielle et Logrithme L fonction exponentielle : x exp(x) est définie sur R, croissnte. On peut ussi l définir sur C. Elle vérifie l propriété fondmentle : exp( + b) = exp() exp(b). x Sur R, le tbleu de vrition est : exp(x) 0 1 L fonction logrithme est l réciproque de l précédente et n est définie que sur R +, croissnte. Elle vérifie l propriété fondmentle : ln( b) = ln() + ln(b). x Le tbleu de vrition est : ln(x) 0 Ces deux fonctions sont trcées sur l figure 4, ci-dessous. exponentielle logrithme Figure 4 Fonctions exponentielle et logrithme Fonctions trigonométriques circulires L fonction sinus, x sin(x), est définie sur R, 2 π périodique, impire ; x π π/2 0 π/2 π Le tbleu de vrition est : sin(x) Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 35

36 L fonction cosinus, x cos(x), est définie sur R, 2 π périodique, pire ; x π π/2 0 π/2 π 1 Le tbleu de vrition est : cos(x) L fonction tngente, x tn(x), est définie sur R\ π 2 + kπ, k Z, π périodique, impire ; x π/2 0 π/2 + Le tbleu de vrition est : tn(x) 0 Les fonctions trigonométriques élémentires sont sur l figure 5, ci-dessous. cosinus(x) sinus(x) tn(x) Figure 5 Fonctions trigonométriques élémentires Fonctions trigonométriques réciproques L fonction rcsinus, x rcsin(x), est définie sur [ 1,1], impire, croissnte ; x Le tbleu de vrition est : rcsin(x) 0 π 2 L fonction rccosinus, x rccos(x), est définie sur [ 1,1], décroissnte ; x Le tbleu de vrition est : rccos(x) π 2 π π 2 0 L fonction rctngente, x rctn(x), est définie sur R, impire, croissnte ; 36 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

37 Le tbleu de vrition est : x 0 + rctn(x) 0 π 2 π 2 On illustré les fonctions trigonométriques réciproques dns l figure 6, de l présente pge Arcsinus Arccosinus 1 1 Arctngente Figure 6 Fonctions trigonométriques réciproques Il fut se méfier des touches des clcultrices qui notent pr exemple «tn 1» l ppliction réciproque de l ppliction «tn», c est à dire l ppliction «rctn»... Cel provient de ce que l ppliction «réciproque» est l ppliction «inverse» pour l composée des pplictions Fonctions trigonométriques hyperboliques L fonction sinus hyperbolique, x sh(x), est définie sur R, impire, croissnte ; Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 37

38 x Le tbleu de vrition est : sh(x) 0 L fonction cosinus hyperbolique, x ch(x), est définie sur R, pire ; x 0 + Le tbleu de vrition est : ch(x) L fonction tngente hyperbolique, x th(x), est définie sur ] 1,1[, impire, croissnte ; x Le tbleu de vrition est : th(x) 0 Rppelons l reltion fondmentle de l trigonométrie hyperbolique : ch 2 sh 2 = 1 Les deux fonctions x ch(x) et x sh(x) sont trcées sur l figure 7, ci-dessous. cosinus hyperbolique sinus hyperbolique Figure 7 Fonctions cosinus et sinus hyperboliques L fonction x th(x) est représentée sur l figure 8, pge ci-contre Fonctions trigonométriques hyperboliques réciproques L fonction rgument sinus hyperbolique, x Argsh(x), est définie sur R, impire, croissnte ; 38 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

39 Figure 8 Fonction tngente hyperbolique x Le tbleu de vrition est : Argsh(x) 0 L fonction rgument cosinus hyperbolique, x Argch(x), est définie sur [1, + ], croissnte ; x 1 + Le tbleu de vrition est : Argch(x) 0 + L fonction rgument tngente hyperbolique, x Argth(x), est définie sur ] 1,1[, impire, croissnte ; x Le tbleu de vrition est : Argth(x) 0 Les deux fonctions x Argch(x) et x Argsh(x) sont trcées sur l figure 9, ci-dessous. Argument cosinus hyperbolique Argument sinus hyperbolique Figure 9 Fonctions Argument cosinus et Argument sinus hyperboliques L fonction x Argth(x) est représentée sur l figure 10, pge suivnte. Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 39

40 Figure 10 Fonction Argument tngente hyperbolique Autres fonctions usuelles Voir le tbleu 1, pge suivnte, des dérivées et des développements limités usuels. On jouter l dérivée n ème de sin x qui est : sin(x + n π 2 ), et celle de cos x qui est : cos(x + n π 2 ). On indiqué l ensemble de définition de f qund il différit de celui de f. Pour les deux dernières qui dépendent d un prmètre, on indiqué les résultt vlbles pour quelconque Propriétés élémentires 22. Trigonométrie Rppelons l reltion fondmentle de l trigonométrie : cos 2 + sin 2 = 1. L figure 11, pge 42, représente le cercle trigonométrique. Les vleurs des lignes trigonométriques à connitre sont : 0 π/6 π/4 π/3 π/2 sin 0 1/2 2/2 3/2 1 cos 1 3/2 2/2 1/2 0 tn 0 3/ Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

41 Tbleu 1 FONCTIONS USUELLES f D f f dl n sin x R cos x = sin ( x + π 2 cos x R sin x = cos ( x + π 2 tn x rcsin x ] π 2, π [ kπ, k Z cos 2 x = 1 + tn2 x [ 1,1] 1 1 x 2 (] 1,1[) 1 rccos x [ 1,1] (] 1,1[) 1 x 2 rctn x R x 2 ) n k=0 ( 1) k x 2k+1 (2k + 1)! + o ( x 2n+2) ) n k=0 ( 1) k x 2k (2k)! + o ( x 2n+1) e x R e x n k=0 ln x ]0, + [ ln(1 + x) ] 1, + [ x R \ { 1} 1 x x ln(1 x) ], + 1[ 1 1 x 1 1 x R \ {1} ch x R sh x sh x R ch x th x R x ]0, + [ ou R ou R x 1 ( = 0) x + x3 3 + o(x4 ) x + x3 6 + o(x4 ) π 2 x x3 6 + o(x4 ) n ( 1) k x 2k+1 ( (2k + 1) + o x 2n+2) k=0 x k k! + o (xn ) n k=1 ( 1) k+1 x k k + o (xn ) n ( 1) k x k + o (x n ) k=0 n k=0 n k=0 n k=1 x k k + o (xn ) n x k + o (x n ) k=0 x 2k ( (2k)! + o x 2n+1) x 2k+1 ( (2k + 1)! + o x 2n+2) 1 ch 2 x = 1 th2 x x + o(x 2 ) (1 + x) ] 1, + [ ou R ou R \ { 1} (1 + x) n k=1 ( 1)... ( k + 1) x k + o (x n ) k! Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 41

42 1 tn() sin() cos() 1 Figure 11 Cercle trigonométrique Symétries sin ( x) = sin x cos ( x) = cos x tn ( x) = tn x sin (x + π) = sin x cos (x + π) = cos x tn (x + π) = tn x ( π ) ( π ) ( π ) sin 2 x = cos x cos 2 x = sin x tn 2 x = 1 tn x sin ( x + π ) 2 = cos x cos ( x + π ) 2 = sin x tn ( x + π ) 2 = 1 tn x sin (x + nπ) = ( 1) n sin x cos (x + nπ) = ( 1) n cos x tn (x + nπ) = tn x Arc double cos 2 sin 2 cos 2 = 2 cos sin 2 cos cos 2 = 2 sin 2 = 2 sin cos tn 2 = 2 tn 1 tn 2 sin 2 = 1 cos 2 2 tn 2 = 1 cos cos Sommes d rcs sin ( + b) = sin cos b + sin b cos sin ( b) = sin cos b sin b cos tn ( + b) = tn + tn b 1 tn tn b Notons le cs prticulier : 1 + tn 1 tn = tn ( + π 4 ). cos ( + b) = cos cos b sin sin b cos ( b) = cos cos b + sin sin b tn ( b) = tn tn b 1 + tn tn b Trnsformtion de produits en sommes cos( + b) + cos( b) cos cos b = 2 sin cos b = sin sin b = sin( + b) + sin( b) 2 cos( b) cos( + b) 2 42 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

43 22.6. Trnsformtion de sommes en produits sin p + sin q = 2 sin p + q 2 sin p sin q = 2 sin p q Formule de Moivre cos p q 2 cos p + q 2 tn p + tn q = cos p + cos q = 2 cos p + q 2 cos p cos q = 2 sin p + q sin (p + q) cos p cos q (cos + i sin ) n = ( e i) n = e in = cos n + i sin n 2 cos p q 2 sin p q Fonctions réciproques [ rcsin : [ 1,1] π 2, π ] 2 rccos x + rcsin x = π 2 ] rccos : [ 1,1] [0,π] rctn : R π 2, π [ 2 rctn x + rctn 1 π x = si x > 0 2 π si x < 0 2 sin (rctn x) = sin (rccos x) = cos (rcsin x) = 1 x 2 x 1 + x 2 cos (rctn x) = x Pour le clcul intégrl Si t = tn θ 2t 2t 1 t2 2 dt, lors : tnθ =, sinθ =, cosθ =, dθ = 2 1 t2 1 + t2 1 + t2 1 + t Frction rtionnelle en x 23. Recherche de primitives On décompose l frction rtionnelle en éléments simples : 1 les termes en, s intégrent en ln x x 1 1 les termes en (x ) p, s intégrent en 1 p 1 (x ) p 1 les termes en x + b x x 2, vec < 0, s intégrent en écrivnt : + px + q (2x + p) en ln ( x 2 + px + q ) pour le terme : en rctn pour le nouveu terme constnt : Frctions rtionnelles diverses 2 x 2, et ensuite, + px + q ( b 2 p) x 2 + px + q. + b x 2 + px + q = 2 (2x + p) x 2 + px + q + ( b 2 p) x 2 + px + q Dns tous les cs, on indique un chngement de vrible pour u =... obtenir une frction rtionnelle en u. / Frction rtionnelle en e x, ch x, sh x Poser u = e x. b/ Frction rtionnelle en x et x + b Poser u = x + b. Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 43

44 c/ Frction rtionnelle en sin x et cos x Règle de Bioche : on regrde si f (x) dx est invrint qund on chnge x en x, poser lors : u = cos x, x en π x, poser lors : u = sin x, x en π + x, poser lors : u = tn x, en cs d échec, poser u = tn x. Voir à ce propos le prgrphe Polynôme exponentielle On peut : Intégrer pr prties en diminunt le degré du polynôme ou, chercher une primitive de l même forme vec un polynôme du même degré Primitives usuelles Voir le tbleu 2, pge suivnte, des primitives usuelles. Notons qu une primitive n de sens que sur un intervlle. Si on chnge d intervlle, il y u moins l constnte qui chnge, mis ps seulement. En effet ln(x) peut devoir être chngé en ln( x)... C est pourquoi, dns un premier temps, dns un clcul de primitive, on écrir toujours un logrithme vec une vleur bsolue. 24. Intégrle de Riemnn (ou intégrle simple) Primitive (Drboux) Une fonction continue sur un intervlle dmet une primitive sur cet intervlle. Deux primitives diffèrent d une constnte. Définition : b f (t) dt = F(b) F(), vec F une primitive de f. b Dns un repère orthonorml, l intégrle et l xe Ot de l vrible entre t = et t = b. f (t) dt est ussi l ire lgébrique délimitée pr l courbe (Chsles) (Linérité) b b f (t) dt = c b f (t) dt + f (t) dt, vec f continue sur l réunion des intervlles. c b b λ f (t) + µ g(t) dt = λ f (t) dt + µ g(t) dt Inéglités t [,b], f (t) g(t) < b } b (Vleur bsolue ou module) < b (Moyenne) < b b f (t) dt f (t) dt b b g(t) dt b f (t) dt f (t) dt (b ) sup f (t) t [,b] ( b 2 (Cuchy-Schwrz, cs réel) < b f (t)g(t) dt) b b f 2 (t) dt g 2 (t) dt 44 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

45 Tbleu 2 PRIMITIVES USUELLES Primitives simples Fonction Primitive Remrques x x C 1 ln x + C x 1 ln x + + C x x rctn x + C 1 1 x 2 Suf pour = 1, sur R, ou R, ou R + selon le cs Sur un intervlle de R Sur un intervlle privé de Sur un intervlle de R rcsin x + C Sur un intervlle de ] 1,1[. Ou bien rccos x + C e x e x + C Sur un intervlle de R cos x sin x + C Sur un intervlle de R sin x cos x + C Sur un intervlle de R 1 ] cos 2 tn x + C Sur un intervlle de π x 2, π [ + kπ, k Z 2 tn x ln cos x + C Sur un intervlle de ch x sh x + C Sur un intervlle de R sh x ch x + C Sur un intervlle de R ] π 2, π 2 Utilistion de fonctions composées Fonction Primitive Remrques [ + kπ, k Z u u n 1 n+1 un+1 Sur un intervlle où u est de clsse C 1, n = 1 u u u 1 u n 1 n u 2 + u 2 1 rctn u ln u Sur un intervlle où u est de clsse C 1, u(x) = 0 1 u n 1 Sur un intervlle où u est de clsse C 1, u(x) = 0, n = 1 Sur un intervlle où u est de clsse C 1 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 45

46 (Cuchy-Schwrz, cs complexe) < b b f (t)g(t) dt 2 b f 2 (t) dt b g 2 (t) dt Théorème des 3 conditions t [,b], f (t) 0 f continue sur [,b] t [,b], f (t) = 0 b f (t) dt = 0 On utilise souvent ce théorème qund on un produit sclire défini pr une intégrle, pour montrer le crctère défini-positif de l forme qudrtique Intégrle dépendnt d une borne x f continue sur [,b], F(x) = f (t) dt est de clsse C 1 sur [,b], et F (x) = f (x) { u ([α,β]) [,b] f continue sur [,b], u et v de clsse C 1 sur [α,β], vec v ([α,β]) [,b] F(x) = v(x) u(x) f (t) dt est de clsse C 1 sur [α,β], F (x) = f (v(x)) v (x) f (u(x)) u (x) On ne confondr ps ce théorème vec les suivnts Continuité et dérivtion sous (Continuité) f : F définie pr F(x) = b I [,b] R (x,t) f (x,t)... pour une intégrle simple } f (x,t) dt est continue sur I vec f continue sur I [,b] (Clsse C 1 ) Si, de plus, f dmet une dérivée prtielle f (x,t), continue sur I [,b], x b F est de clsse C 1 sur I, et, F f (x) = (x,t) dt x Intégrtion pr prties et chngement de vrible pour une intégrle simple Intégrtion pr prties : u et v de clsse C 1 sur [,b], b u(t)v (t) dt = [ ] b b u(t)v(t) u (t)v(t) dt Chngement de vrible : f continue sur [,b], ϕ de clsse C 1 sur [α,β], vec ϕ ([α,β]) [,b], β α f (ϕ (t))ϕ (t) dt = ϕ(β) ϕ(α) f (u) du Clcul pproché d intégrles et sommes de Riemnn On v fire un clcul pproché de l vleur d une intégrle de f sur [,b] en divisnt l intervlle [,b] en n prties égles. Les bornes de ces prties sont donc : + k b, pour k {0,1,...,n}. n 46 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

47 Sur chcun de ces intervlles de lrgeur b, qui sont : n fonction pr l vleur à une de ses deux bornes. Ce qui donne : [ + (k 1) b n, + k b ], on pproxime l n f continue sur [,b] n 1 ( b lim n n f + k b ) n k=0 = lim n b n n ( f + k b ) b = f (t) dt n k=1 Si de plus f est monotone, une figure montre fcilement que l une des deux sommes est un mjornt, l utre un minornt de l intégrle. Enfin, qund [,b] = [0,1], on obtient des sommes prticulières ppelées sommes de Riemnn : f continue sur [0,1] n ( ) 1 k lim n n f n k=1 n 1 1 = lim n n f k=0 ( ) k 1 = f (t) dt n Convergence 25. Intégrle générlisée (ou intégrle impropre) Définition : f est loclement intégrble sur I f est continue pr morceux sur I Définition : x f : [,b[ R, continue sur [,b[ dmet une intégrle générlisée en b f (t) dt une limite finie qund x b On l même définition sur [, + [, ],b], ou ],b]. On écrir l ensemble des théorèmes pour [,b[ Le lecteur dpter les énoncés ux utres intervlles. Cependnt le théorème dit du «fux-problème» n est ps pplicble à l infini. b b (convergence bsolue) f (t) dt converge f (t) dt converge et : b b f (t) dt f (t) dt Si f est de signe constnt sur [,b[, lors : b f (t) dt, même nture. L convergence de l intégrle équivut à s convergence bsolue. b f (t) dt et b f (t) dt sont de (fux problème) f continue sur [,b[, dmettnt une limite finie en b, c est à dire qu elle est prolongeble pr continuité (en un point fini b!), lors Fonctions positives (Riemnn) b 1 dx converge xα α < 1 1 dx converge xα α > 1 (Comprison) t [,b[, 0 f (t) g(t) (Equivlence) f (t) b g(t) f (t) de signe constnt f (t) dt converge b b b g(t) dt converge f (t) dt et f (t) dt diverge b b b f (t) dt converge g(t) dt diverge g(t) dt sont de même nture Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 47

48 25.3. Théorème des 3 conditions Le théorème des 3 conditions est encore pplicble pour les intégrles générlisée. b f (t) dt convergente et : t [,b[, f (t) 0 f continue sur [,b[ b f (t) dt = 0 t [,b[, f (t) = 0 On utilise souvent ce théorème qund on un produit sclire défini pr une intégrle, pour montrer le crctère défini-positif de l forme qudrtique Intégrtion pr prties et chngement de vrible pour une intégrle générlisée / Intégrtion pr prties u et v de clsse C 1 sur [,b[ lim u(t)v(t) existe et est finie t b et si elles convergent : b b u(t)v (t) dt = b/ Chngement de vrible f continue sur I ϕ monotone de clsse C 1 sur [α,β[ ϕ ([α,β[) I et si elles convergent : β α u(t)v (t) dt et b [ ] b u(t)v(t) β α f (ϕ (t))ϕ (t) dt = Un procédé de convergence u (t)v(t) dt sont de même nture b f (ϕ (t))ϕ (t) dt et ϕ(β) ϕ(α) Si on α < 1 tel que lim t α f (t) = 0, lors f (t) = o t 0 et donc 1 0 f (u) du ( ) 1 t α, f (t) dt converge bsolument donc converge. Si on α > 1 tel que lim t + tα f (t) = 0, lors f (t) = o et donc + 1 u (t)v(t) dt ( 1 t α f (t) dt converge bsolument donc converge. ), ϕ(β) ϕ(α) Ceci n est ps un théorème, il fut à chque fois refire l démonstrtion Continuité et dérivtion sous (Continuité) f : si ϕ telle que I I [,b[ R (x,t) f (x,t) x I, t [,b[, b f (x,t) ϕ(t) ϕ(t) dt converge... pour une intégrle générlisée } vec f continue sur I [,b[, f (u) du sont de même nture b F définie pr F(x) = f (x,t) dt est continue sur (Clsse C 1 ) Si, de plus, f dmet une dérivée prtielle f (x,t), continue sur I [,b[, et x 48 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

49 si ψ telle que x I, t [,b[, b f x (x,t) ψ(t) ψ(t) dt converge F est de clsse C 1 sur I, et, F (x) = b f (x,t) dt x Il est importnt que ϕ, et ψ, ne dépendent ps de x. Ce sont des fonctions réelles positives dont les intégrles convergent Ensemble de définition L ensemble de définition d une fonction F de l vrible x est l ensemble des vleurs de x pour lesquelles on peut effectivement clculer F(x). Ainsi, si on : F : x F : x F : x b + x f (x,t) dt ou, f (x,t) dt ou encore, f (t) dt L ensemble de définition de F est l ensemble des vleurs de x telles que : l intégrle est simple, ou bien, l intégrle est générlisée et convergente. 26. Intégrles doubles et triples Description hiérrchique du domine et intégrle On ne peut clculer une intégrle multiple que si on une description hiérrchique du domine : { x [,b] Pour une intégrle double (figure 12, ci-dessous) : (x,y) y [u(x),v(x)] v(x) u(x) O x b Figure 12 Intégrle double x [,b] Pour une intégrle triple (figure 13, pge suivnte) : (x,y,z) y [u(x),v(x)] z [α(x,y),β(x,y)] Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 49

50 z β (x,y) α (x,y) O u(x) y v(x) b x Figure 13 Intégrle triple On peut voir les vribles dns un utre ordre, l importnt est que les bornes de chcune ne soient définies qu en fonction des précédentes. On définit lors les intégrles doubles et triples comme des intégrles simples emboîtées : b ( v(x) ) f (x,y) dx dy = f (x,y) dy dx u(x) b ( v(x) ( β(x,y) ) ) f (x,y,z) dx dy dz = f (x,y,z) dz dy dx u(x) α(x,y) Clcul d Aires et de Volumes On trville ici dns un repère orthonorml. Dns le pln, l ire géométrique du domîne est : A = dx dy, Dns l espce, le volume géométrique du domîne est : V = dx dy dz Inclusion des domines Si f est continue et positive sur, vec, de plus, D, lors D f (x,y) dx dy f (x,y) dx dy On l même chose pour une intégrle triple. 50 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

51 26.4. Chngement de vribles / Intégrle double { x = x(u,v) bijective (ou presque...) (x,y) D (u,v), et : y = y(u,v) D f (x,y) dx dy = g(u,v) D(x,y) D(u,v) du dv f (x,y) = g(u,v) On noter l vleur bsolue du jcobien et l pseudo-simplifiction. b/ Intégrle triple x = x(u,v,w) y = y(u,v,w) bijective (ou presque...) (x,y,z) D (u,v,w), et : z = z(u,v,w) D f (x,y,z) dx dy dz = g(u,v,w) D(x,y,z) D(u,v,w) du dv dw f (x,y,z) = g(u,v,w) On noter l vleur bsolue du jcobien et l pseudo-simplifiction. c/ Intégrle double en Polires { x = ρ cosθ y = ρ sinθ (x,y) D (ρ,θ), et : f (x,y) = g(ρ,θ) L figure 14, ci-dessous, indique le mode de clcul. y M ρ O θ x Figure 14 D f (x,y) dx dy = g(ρ,θ)ρ dρ dθ d/ Intégrle triple en Cylindriques x = ρ cosθ y = ρ sinθ (x,y,z) D (ρ,θ,z), et : f (x,y,z) = g(ρ,θ,z) z = z L figure 15, pge suivnte, indique le mode de clcul. Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 51

52 z z M O y ρ θ x M Figure 15 D f (x,y,z) dx dy dz = g(ρ,θ,z)ρ dρ dθ dz e/ Intégrle triple en Sphériques x = ρ cosθ cosϕ y = ρ sinθ cosϕ (x,y,z) D (ρ,θ,ϕ), et : z = z sinϕ L figure 16, ci-dessous, indique le mode de clcul. f (x,y,z) = g(ρ,θ,ϕ) z M ρ O φ y x Figure 16 D θ M f (x,y,z) dx dy dz = g(ρ,θ,ϕ)ρ 2 cosϕ dρ dθ dϕ 52 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

53 Il s git de l convention des mthémticiens [ : les physiciens utilisent un utre ngle. En mthémtiques, en générl, ϕ π 2, π ]. 2 Les physiciens utilisent l ngle entre Oz et OM qui pprtient donc à [0,π]. Dns l formule, u niveu de l vleur bsolue du jcobien, ils échngent insi sinϕ et cosϕ. En plus, prfois, ils chngent le nom des ngles... On fit un chngement de vrible pour simplifier le domine, ce qui est nouveu, ou pour simplifier le clcul des primitives emboîtées. 27. Séries numériques (réelles ou complexes) Convergence et Convergence Absolue Définition : u n converge l suite des sommes prtielles (s n ) vec s n = n u k converge. k=0 u n converge u n converge. (règle n α u n ) ( ) 1 Si on α > 1 tel que lim n α u n = 0, lors u n = o n n α et donc u n converge bsolument et donc converge. Ceci n est ps un théorème et est donc à rérgumenter à chque fois Séries géométriques L série de terme générl x n converge x < 1. De plus, l somme est : x n = 1 n=0 1 x Définition : Une suite géométrique est une suite vérifint : n N, u n+1 = u n. est l rison de l suite. «le premier terme» L somme d une série géométrique convergente est donc :. 1 «l rison» Ceci prolonge et générlise l somme des termes d une suite géométrique qui est : «le premier terme» «le premier terme mnqunt» 1 «l rison» Qund l série converge, il n y ps de termes mnqunts Séries positives (Riemnn) u n + 1 n α ( u n converge α > 1 ) Corollire : (Comprison) 0 u n v n u n diverge 0 u n v n v n converge } } v n diverge. u n converge. Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 53

54 (Equivlence) u n 0 u n + v n u n et v n sont de même nture. (d Alembert) u n à terme strictement positifs, u l < 1, u n converge n+1 telle que lim = l l > 1, n u n u n diverge grossièrement l = 1, on ne sit rien On tombe très souvent sur le cs douteux! Pour ne ps tomber sur le cs douteux, il est souvent nécessire d voir l présence d une fctorielle ou d un exposnt dépendnt de n. Les fonctions de Riemnn fournissent toujours le cs douteux!... Ainsi on utilise le théorème de d Alembert dns le cdre des séries entières, ou lorsqu on, dns l expression de u n, des fctorielles, des termes de nture géométrique ( n ) ou des exponentielles Critère spécil des séries lternées Définition : u n est une série lternée ( 1) n u n est de signe constnt. u n une série lternée ( u n ) lim u n = 0 u n converge. n De plus, R n u n+1, où R n = + u k, k=n+1 enfin, + u k est du signe de u 0, R n est du digne de u n+1 k=0 Voir l figure 17, ci-dessous. u 2n+1 r 2n s 2n+1 s s 2n+2 s 2n Figure 17 Convergence d une série répondnt u critère specil Comprison d une série et d une intégrle f une fonction positive et décroissnte définie sur R +, nture. Et si elles convergent : + n+1 f (t) dt + + f (k) f (t) dt k=n+1 n + 0 f (t) dt et f (n) sont de même L figure 18, pge ci-contre, donne les inéglités de bse! Il ne fut ps hésiter à l refire pour retouver ces inéglités. 54 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

55 y f(n) y=f(x) n 1 n n+1 x Figure 18 Comprison série-intégrle Suite et série des différences L suite (u n ) converge L série (u n+1 u n ) converge Cel sert prfois à montrer l convergence de quelques... suites, en montrnt l convergence ou l convergence bsolue de l série des différences Clcul exct de sommes de séries On dispose principlement de trois techniques Utilistion de séries entières pr leur vleur en un point. Utilistion de séries de Fourier pr leur vleur en un point ou l formule de Prsevl. Clcul effectif de l limite de l suite des sommes prtielles où les termes s en vont en dominos. n Le cs le plus simple étnt : (u k+1 u k ) = u n+1 u 0 k= Clcul pproché de sommes de séries Dns le cs d une série lternée répondnt u critère spécil, on pplique ce critère. Dns les utres cs, on s intéresse à l série des modules. Si elle converge pr ppliction du critère de d Alembert, mjorer le reste pr une série géométrique Sinon, mjorer le reste en utilisnt une intégrle ou Séries Entières Définition : Une série entière est une série de l forme n z n ou n x n, selon que l on trville sur C ou sur R Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 55

56 28.1. Ryon de convergence Pour rechercher le ryon de convergence R, utiliser le théorème de d Alembert, R est, s il existe, le réel positif tel que n+1 R n+1 ( ) n R n, 2(n+1) R 2(n+1) ou 2n R 2n, ou... pour limite 1 qund n + si n+1 R n+1 n R n toujours une limite nulle qund n +, lors : R = + si n x n est semi-convergente R = x en cs d échec des méthodes précédentes, on utilise l un des éléments suivnts : R = sup{r R +, l suite ( n r n ) est bornée} n N R = sup{r R +, l suite ( n r n ) tend vers 0} n N Convergence z < R n z n z > R n z n z = R converge bsolument diverge grossièrement on ne sit rien priori sur l convergence L figure 19, ci-dessous, illustre ce théorème. Divergence Grossière Convergence ou Divergence Convergence Absolue i 1 R Figure 19 Convergence d une série entière Qund l vrible est réelle, l série entière se dérive et s intègre terme à terme sur ] R,R[ u moins. Elle s intègre même terme à terme u moins sur sur l intervlle de convergence L série entière, s série dérivée et ses séries primitives ont le même ryon de convergence. L somme d une série entière est continue sur son ensemble de définition. L somme d une série entière est de clsse C sur ] R,R[. 56 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

57 28.3. Somme de deux séries entières } n z n de ryon R 1 b n z n de ryon R 2 ( n + b n ) z n est de ryon Développement d une fonction en série entière Définition : Une fonction f est développble en série entière en 0 { inf(r1,r 2 ) pour : R 1 = R 2 il existe une série entière et un intervlle I, contennt 0, tels que x I, f (x) = R R 1 pour : R 1 = R 2 + n x n n=0 Si f est développble en série entière en 0 lors l série entière est l série de Tylor et : n = f (n) (0) n! En générl I est l intersection de l ensemble de définition de f et de l ensemble de convergence de mis cel n est ps une obligtion... Pour développer une fonction en série entière, on peut : + n x n, n=0 utiliser les séries entières usuelles. Assez souvent, prfois en dérivnt, on fit ppritre une frction rtionnelle. On l décompose lors en éléments simples sur C pour ensuite utiliser des séries géométriques... sur indiction de l énoncé, utiliser une éqution différentielle. ou clculer l série de Tylor. Dns tous les cs, il fudr vec soin justifier l convergence de l série entière et son églité vec l fonction. Cel peut être délict dns le cs de l série de Tylor... qu on n utiliser donc qu à l demnde de l énoncé Séries entières usuelles Voir le tbleu 3, pge suivnte, des séries entières usuelles. L série géométrique et l exponentielle sont ussi vlbles pour une vrible complexe Série entière solution d une éqution différentielle On considère u déprt une série entière de ryon de convergence R > 0, + solution de l éqution différentielle (E). On pose donc : y = n x n. n=0 Tout ce qu on écrit est vlble pour x ] R,R[. Il fut dire qu on se plce sur ] R,R[... On clcule y et u besoin y, on reporte dns l éqution. On éclte tout en sommes de séries entières. On regroupe ce qui se regroupe nturellement, les temes en x n, ceux en x n 1... Ensuite, on réindexe pour trouver une série entière unique et nulle. Alors, chque coefficient est nul, pr unicité du développement en série entière qund il existe. On en générl une reltion de récurrence entre les coefficients. Cette reltion permet normlement de clculer les coefficients mis ussi ssez souvent de trouver directement le ryon de convergence, ce qui est indispensble. 29. Séries de Fourier Série de Fourier et coefficients de Fourier de f Définition : f : R K, T-périodique, continue pr morceux sur R, on ppelle série de Fourier de f, l série : + S( f )(t) = 0 + ( n cos nωt + b n sin nωt), vec : ω = 2π n=1 T Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 57

58 Tbleu 3 DÉVELOPPEMENTS USUELS EN SÉRIE ENTIÈRE f D f DSE R I e x cos x sin x ch x sh x x R R R R R R \ { 1} ln(1 + x) ] 1, + [ 1 1 x R \ {1} x n n=0 n! ( 1) n x 2n n=0 (2n)! ( 1) n x 2n+1 n=0 (2n + 1)! n=0 n=0 ln(1 x) ],1[ rctn x R (1 + x) ] 1, + [ 1 + n=1 x 2n (2n)! x 2n+1 (2n + 1)! + R + R + R + R + R ( 1) n x n 1 ] 1,1[ n=0 ( 1) n+1 x n n=1 n 1 ] 1,1] x n 1 ] 1,1[ n=0 n=1 x n n ( 1) n x 2n+1 n=0 (2n + 1) 1 [ 1,1[ 1 [ 1,1] ( 1)... ( n + 1) x n 1 ou + ( N) n! On 0 = 1 T T/2 T/2 f (t) dt, et pour n 1, n = 2 T b n = 2 T T/2 T/2 T/2 T/2 f (t) cos nωt dt = 2 T f (t) sin nωt dt = 2 T α+t α α+t α f (t) cos nωt dt f (t) sin nωt dt 0 est l vleur moyenne de f. Dns le cs où f est pire ou impire, on peut trviller sur une demi-période bien choisie. C est à dire que, le plus souvent, les intégrles sont clculées entre 0 et T 2. D utre prt, souvent, on ne dispose d une formule explicite pour f (t) que sur un certin intervlle. On veiller vec soin à ne ps utiliser cette formule en dehors de cet intervlle! Si cel est plus fcile, on peut clculer : c 0 = 0 = 1 T α+t α f (t) dt, c n = 1 T α+t α f (t) e inωt dt = n ib n 2 pour n N Si l fonction est réelle, les n et b n sont réels et on les obtient pr un seul clcul Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

59 29.2. Cs où f est 2π-périodique Dns le cs où f est 2π-périodique, S( f )(t) = = 1 π n = 1 f (t) dt, et pour n 1, π 2π π b n = 1 π Si, de plus, f est pire : 0 = 1 π π 0 + ( n cos nt + b n sin nt) n=1 π π π π f (t) cos nt dt = 1 π f (t) sin nt dt = 1 π f (t) dt, et pour n 1, α+2π α α+2π α n = 2 π bn = 0 π 0 f (t) cos nt dt f (t) sin nt dt f (t) cos nt dt ou si f est impire : n = 0, et pour n 1, b n = 2 f (t) sin nt dt π 0 Dns les séries de Fourier, ssez souvent, on n de formule pour f que dns un certin intervlle, on veiller donc, comme on l déjà dit, à n utiliser cette formule que sur cet intervlle Convergence (Dirichlet, cs générl) f de clsse C 1 pr morceux sur R, T-périodique f (t + 0) + f (t 0) l série de Fourier de f converge en tous points, et s somme est : S( f )(t) = 2 où f (t + 0) et f (t 0) sont les limites à droite et à guche de f en t. En tous points où f est continue, on donc bien : S( f )(t) = f (t). Il n y qu ux points où f est discontinue qu il risque d y voir un problème. On fer donc un grphe de l fonction sur un peu plus d une période pour repérer les points de discontinuité et vérifier le crctère C 1 pr morceux sur R. π (Dirichlet, cs continu) f continue et de clsse C 1 pr morceux sur R, T-périodique l série de Fourier de f converge en tous points, et : S( f )(t) = f (t). De plus, les séries n et b n convergent. l série de Fourier de f. Sur un intervlle [α,β] où f est continue, β α f (t) dt peut se clculer en intégrnt terme à terme On ne confondr ps : de clsse C 1 pr morceux sur R ; et continue, et de clsse C 1 pr morceux sur R. L première est continue pr morceux sur R, et donc ps nécessirement continue sur R... (Unicité du développement en série de Fourier) Si f est continue sur R et s écrit comme l somme d une série trigonométrique, on : f (t) = ( n cos nωt + b n sin nωt) n=1 Alors, cette série est l série de Fourier de f Produit sclire et formule de Prsevl C T (R), l ensemble des pplictions continues, T-périodiques, R R est un espce vectoriel réel. T/2 De plus f,g = 1 f (t)g(t) dt est un produit sclire de C T (R). { T T/2 } L fmille (cos nωt)n N, (sin nωt) n N est orthogonle pour ce produit sclire. Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 59

60 Si les pplictions sont simplement continues pr morceux, une forme bilinéire symétrique positive. f,g = 1 T T/2 T/2 f (t)g(t) dt est (Formule de Prsevl) f : R K, T-périodique, continue pr morceux sur R, lors : 1 T/2 f 2 (t) dt = 1 α+t f 2 (t) dt = ( ) T T/2 T α 2 2 b n + 2 n n=1 Si l fonction est réelle : 1 T T/2 T/2 f 2 (t) dt = 1 T α+t α f 2 (t) dt = ( ) 2 n + b 2 n n=1 Si, de plus, f est 2π-périodique : 1 π f 2 (t) dt = 1 α+2π f 2 (t) dt = ( ) 2π π 2π α 2 2 n + b 2 n n=1 30. Σ = Σ... Problème : Il s git de montrer que : b ( + n=0 ) + ( b f n (t) dt = n=0 C est à dire que l intégrle d une série est l série des intégrles. ) f n (t) dt. Le problème n est jmis évident. Il y différentes solutions selon les intégrles. Toutes les justifictions doivent se fire vec soin Série entière Pour une série entière, on peut intégrer terme à terme sur tout intervlle inclus dns l ouvert de convergence. Il suffit donc de rppeler qu on une série entière et que [,b] ] R,R[ Série de Fourier Pour une série de Fourier correspondnt à une fonction continue sur R et de clsse C 1 pr morceux, on peut églement intégrer terme à terme l série. Il suffit de rppeler ces conditions Autres cs Que l intégrle soit une intégrle simple ou une intégrle générlisée le tritement ser le même. L idée est de sortir l somme prtielle de l série pr linérité, il reste ensuite à montrer que l intégrle du reste tend bien vers 0. / Utilistion du critère spécil des séries lternées Si à t fixé, on lors : + n=0 + k=n+1 f n (t) converge pr ppliction du critère spécil des séries lternées, f k (t) f n+1(t) b Il suffit lors de montrer que f n+1 (t) dt 0 qund n + ) b n ( b ) ( b + En effet, on écrit : f n (t) dt = f k (t) dt + ( + n=0 k=0 } {{ } } {{ } somme prtielle intégrle du reste et on mjore ce dernier terme en vleur bsolue. Enfin, on psse à l limite sur le terme de droite... k=n+1 f k (t) ) dt 60 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

61 b/ Série géométrique Si à t fixé, l série est géométrique, clcule lors, ou on mjore : c/ Autres cs b + k=n+1 ( + k=n+1 f k (t) est ussi une série géométrique qui se clcule fcilement. On ) f k (t) Dns les utres cs, l énoncé doit vous guider. + Le principe générl est de mjorer f k (t) g n(t) vec b k=n+1 g n (t) dt 0 qund n + et d ppliquer le principe précédent. Souvent, on vient de fire une telle mjortion dns les questions précédentes... dt Si l intégrle est une intégrle générlisée, il ne fut ps oublier de montrer l convergence de toutes les intégrles utilisées Limite et continuité 31. Fonctions R p R Les fonctions «composntes» comme, pr exemple, (x,y,z) y sont continues. Les sommes, produit pr un sclire, produit, quotient (en un point où le dénominteur ne s nnule ps) de fonctions continues sont continues. Les composées de fonctions continues sont continues. Ceci permet de montrer l pluprt des continuités usuelles. Une fonction de plusieurs vribles, à vleurs réelles, continue sur un fermé-borné est bornée et tteint ses bornes Clsse C 1 et C 2 Définition : f est de clsse C 1 sur U un ouvert de R p f dmet p dérivées prtielles continues sur U Qund ces dérivées prtielles sont ussi de clsse C 1, on dit que f est de clsse C 2 sur U Nottion : L dérivée prtielle de f pr rpport à l j ème vrible se note : D j f ou f x j. Prise u point (vecteur), elle se note donc : D j f () ou f x j (). En dimension 2 ou 3, on remplce souvent x 1,x 2,x 3 pr x,y,z. Définition : Qund f est de clsse C 1 sur U un ouvert de R 3, l différentielle de f en (x 0,y 0,z 0 ), est l ppliction linéire : ( dx, dy, dz) f x (x 0,y 0,z 0 ) dx + f y (x 0,y 0,z 0 ) dy + f z (x 0,y 0,z 0 ) dz On dpte u besoin cette définition en dimension p... Si f est de clsse C 1 sur U un ouvert de R p, elle dmet un développement limité à l ordre 1 en tout point de U et on : Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 61

62 f (x,y,z) = f (x 0,y 0,z 0 ) + (x x 0 ) f x (x 0,y 0,z 0 ) + (y y 0 ) f y (x 0,y 0,z 0 ) + (z z 0 ) f z (x 0,y 0,z 0 ) + u ε(u) où u = (x x 0,y y 0,z z 0 ) et lim ε(u) = 0. u (0,0,0) (Schwrz) f de clsse C 2 sur U 2 f x y = 2 f y x (Fonctions composées) x,y,z : R R, C 1 sur I f : R 3 R, C 1 sur x(i) y(i) z(i) F(t) = f (x(t),y(t),z(t)) F est C 1 sur I, et : F (t) = f x x (t) + f y y (t) + f z z (t) Si x,y,z dépendent de 2 ou 3... vribles, on le même résultt en remplçnt toutes les dérivées pr des dérivées prtielles Extrémums d une fonction R 2 R (x,y) z = f (x,y), une fonction de clsse C 2 sur U un ouvert de R 2. Pour chercher ses extrémums : On cherche les points critiques, c est à dire les points qui vérifient : Les extrémums sont à chercher prmi ces points critiques. r = 2 f x 2 (x 0,y 0 ) En chque point critique (x 0,y 0 ), on clcule : s = 2 f x y (x 0,y 0 ) f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 t = 2 f y 2 (x 0,y 0 ) Si s 2 rt < 0 (x 0,y 0 ) est un extrémum (minimum pour r > 0, mximum pour r < 0) Si s 2 rt > 0 (x 0,y 0 ) est un col Si s 2 rt = 0 on ne peut ps conclure, il fut étudier «à l min» le signe de f (x,y) f (x 0,y 0 ) Limite et continuité 32. Fonctions (ou suites) à vleur dns R n ou C n On peut toujours considérer que ce sont n fonctions (ou suites) «coordonnées» ou «composntes» à vleur dns R ou C, ou même dns le deuxième cs, 2n fonctions (ou suites) «coordonnées» ou «composntes» à vleur dns R. Les notions de limite, de continuité, de dérivbilité (...) se rmènent ux propriétés équivlentes sur chcune des composntes Fonction R n R p, clsse C 1 Définition : L mtrice jcobienne de f est, vec ici n = 3 et p = 2 : f 1 f 1 f 1 x 1 x 2 x 3 f 2 f 2 f 2 x 1 x 2 x 3 = J f 62 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

63 C est l mtrice dns l bse cnonique de l différentielle de f u point considéré. } f : R n R p, de clsse C 1 g f de clsse C 1 et : J g : R p R q, de clsse C 1 g f = J g J f Fonction R n R n, clsse C 1 Définition : L mtrice jcobienne de f en un point est lors crrée d ordre n. Le jcobien de f en ce point est le déterminnt de l mtrice jcobienne. En un point où le jcobien de f est non nul, f définit loclement une bijection et le jcobien de f 1 est l inverse du jcobien de f. Les ne se pseudo-simplifient ps! z Ainsi y y ne vut ps en générl x z x et 1 y x n est ps x y 33. Equtions et systèmes différentiels Notons d bord qu on résout une éqution ou un système différentiels sur un intervlle Générlités / Recollement de solutions Pour recoller en c les solutions sur deux intervlles, f sur ],c[ et g sur ]c,b[ il fut chercher à égler : les limites (finies) de f et g en c les limites (finies) de f et g en c et éventuellement les limites (finies) de f et g en c pour une éqution différentielle du second ordre. b/ Eqution différentielle linéire Une éqution différentielle linéire du premier ordre est de l forme : (t) y + b (t) y = g(t) du second ordre est de l forme : (t) y + b (t) y + c (t) y = g(t) g(t) est ppelé le second membre. Les éqution homogènes ssociées sont respectivement : (t) y + b (t) y = 0 (t) y + b (t) y + c (t) y = 0 Pour une éqution différentielle linéire, l solution générle est toujours l somme de l solution générle de l éqution sns second membre, ppelée ussi éqution homogène ssociée, et d une solution prticulière de l éqution vec second membre. D où l importnce de connître une telle solution prticulière. On ne tient compte des conditions initiles que lorsqu on obtenu l solution générle de l éqution (ou du système) vec second membre. Sur un intervlle convenble, l solution générle de l éqution sns second membre est un espce vectoriel de dimension 1 pour une éqution différentielle linéire du premier ordre et 2 pour une éqution différentielle linéire du second ordre. c/ Courbe intégrle Si y(x) est solution d une certine éqution différentielle, l courbe y = y(x) est dite courbe intégrle de cette éqution différentielle. Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 63

64 33.2. Eqution Différentielle Non Linéire du premier ordre On ne dispose d ucun théorème sur les équtions différentielles non linéires... En générl, elle est à vribles séprbles, f (t) dt = g(y) dy f (t) dt = g(y) dy + K C est le seul cs que l on doit svoir triter. Sinon, il fut se lisser guider pr l énoncé! Eqution Différentielle Linéire du premier ordre Sns second membre (t)y + b(t)y = 0 y(t) = Ke continues et où ne s nnule ps. K étnt un réel rbitrire. b(t) (t) dt sur un intervlle I où et b sont Avec second membre (t)y + b(t)y = c(t) sur un intervlle I où, b et c sont continues et où ne s nnule ps. Il ne nous mnque qu une solution prticulière : toute solution prticulière est bonne à prendre! Si l éqution différentielle est à coefficients constnts et si le second membre est en P(t) e kt, on peut ppliquer l méthode décrite dns le prgrphe On peut, fute de mieux, chercher une solution prticulière pr l vrition de l constnte : b(t) (t) dt z(t) = K(t)y(t) où y(t) = e On reste en clcul formel le plus longtemps possible : les termes en K(t) disprissent, cel revient lors u clcul d une primitive de K (t). L vrition de l constnte n est ps un procédé mirculeux! Elle peut donner des clculs longs et difficiles. On l réserve donc u cs où on n ps d utre procédé pour obtenir une telle solution prticulière Eqution Différentielle Linéire du second ordre à coefficients constnts Sns second membre y + by + cy = 0 on résout l éqution crctéristique r 2 + br + c = 0 Si on : Deux rcines distinctes, l solution est : y(t) = λe r1t + µe r 2t Une rcine double : y(t) = (λt + µ)e rt Deux rcines complexes : r = α ± iβ et dns le cs où on cherche les solutions sur R : y(t) = (λ cos βt + µ sin βt)e αt = (k cos β(t t 0 ))e αt Avec second membre y + by + cy = P(t) e kt, où P est un polynôme. On cherche une solution prticulière de l forme : Q(t) e kt si k n est ps rcine de l éqution crctéristique ; t Q(t) e kt si k est rcine simple de l éqution crctéristique ; t 2 Q(t) e kt si k est rcine double de l éqution crctéristique, vec Q(t) un polynôme rbitrire de même degré que P. Un second membre en P(t) e αt cos βt se trite comme l prtie réelle de : P(t) e (α+iβ)t Eqution Différentielle Linéire du second ordre Sns second membre (t)y + b(t)y + c(t)y = 0 sur un intervlle I où,b et c sont continues et où ne s nnule ps, il fut se lisser guider pr l énoncé pour trouver une première solution. Si,b,c sont des polynômes, on peut chercher une solution polynomile en cherchnt d bord une condition nécessire sur le degré. 64 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

65 Avec ou sns second membre, en ynt une solution y(t) de l éqution sns second membre, on peut chercher les solutions de l forme z(t) = K(t)y(t) (Vrition de l constnte, à réserver u cs où on n ps d utre procédé). On obtient une éqution différentielle linéire du premier ordre en K (t) vec ou sns second membre selon les cs. En prtique, on mène le clcul de fçon théorique le plus longtemps possible. On ne cherche une solution sous forme de série entière qu à l demnde de l énoncé Eqution ux dérivées prtielles Ce sont des équtions différentielles qui concernent des fonctions de plusieurs vribles. On écrit ici les théorèmes vec simplement trois vribles notées u, v et w. On note toujours ici U un ouvert de R 3, et on cherche une fonction f, respectivement de clsse C 1 ou C 2 sur U. Qund une dérivée prtielle, pr exemple pr rpport à u, est nulle, en intégrnt, il pprit nturellement une constnte d intégrtion. Mis, ici, cette constnte est constnte qund les utres vribles, v et w, sont constntes... Cette constnte est donc lors une fonction rbitrire de ces utres vribles! / Une dérivée prtielle première nulle f Les solutions de : = 0 sont : f (u,v,w) = F(v,w) u vec F une fonction quelconque de clsse C 1 sur U elle est lors considérée comme de 3 vribles. b/ Une dérivée prtielle seconde nulle Les solutions de : 2 f u 2 = 0 sont : f (u,v,w) = u F(v,w) + G(v,w) vec F et G deux fonctions quelconques de clsse C 2 ; 2 f u v = 0 sont : f (u,v,w) = F(v,w) + G(u,w) vec F et G deux fonctions quelconques de clsse C 2. c/ Autres cs Dns les utres cs, l énoncé doit vous donner : un chngement de vribles ; un chngement de fonction inconnue qui permet de se rmener à un des cs précédents! Système Différentiel Linéire du premier ordre On ne trite que les systèmes à coefficients constnts X (t) = AX(t) où A est une mtrice crrée d ordre n x 1 (t) x 2 (t) et X(t) =. ou X (t) = AX(t) + B(t), où B(t) est un vecteur second membre. x n (t) / Cs sns second membre Dns le cs où A est digonlisble, on note (λ 1,λ 2,...,λ n ) les vleurs propres et (U 1,U 2,...,U n ) une bse de vecteurs propres ssociés. Alors X(t) = α 1 e λ 1t U 1 + α 2 e λ 2t U α n e λ nt U n Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 65

66 Dns le cs où A est digonlisble sur C mis ps sur R sur lequel on cherche les solutions, pour chque couple de vleurs proprs non réelles, on peut directement remplcer α e λt U + α e λt U pr β Re ( e λt U ) + γ Im ( e λt U ) vec β et γ réels Dns le cs où A est tringulrisble, non digonlisble, on considère P de pssge telle que T = P 1 AP vec T tringulire supérieure. On pose X(t) = PY(t) on obtient X (t) = PY (t) cr P est constnt. On reporte dns le système différentiel et on obtient Y (t) = TY(t). On résout ce système en résolvnt l dernière éqution et en remontnt éqution pr éqution. Enfin, X(t) = PY(t) fournit le résultt. b/ Cs vec second membre Dns tous les cs, il fut considérer une mtrice de pssge P vec D = P 1 AP ou T = P 1 AP selon l digonlisibilité ou ps. On obtient Y (t) = DY(t) + P 1 B(t) ou Y (t) = TY(t) + P 1 B(t) selon les cs. On résout éqution pr éqution le système obtenu Système utonome de 2 équtions différentielles dx dt = ϕ(x,y) vec ϕ et ψ continues sur U un ouvert de R 2, est un système utonome de deux équtions dy dt = ψ(x,y) différentielles. On l ppelle système utonome prce que l vrible t n intervient ps, en dehors des dérivées, bien sûr. On peut essyer de l intégrer en pssnt en complexes, z = x + iy, en polires ou en suivnt les indictions de l énoncé. On peut ussi le trnsformer en éqution différentielle plus clssique dy dx = ψ(x,y) ϕ(x,y) Réciproquement, une éqution différentielle dy dx = ψ(x,y) peut se trnsformer en système utonome en ϕ(x,y) «joutnt» du temps «t»... à condition, bien sûr, que ce système utonome soit fcile à intégrer! 66 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

67 Troisième prtie Géométrie 34. Brycentre Brycentre de p points pondérés ( A1,A 2,...,A p ), p points ffectés de coefficients : ( α1,α 2,...,α p ) Si α 1 + α α p = 0, Si α 1 + α α p = 0, p α i MAi i=1 MG = p α i MAi i=1 p i=1 est un vecteur constnt. α i définit un unique point G brycentre des (A i,α i ) Associtivité du brycentre (sous réserve que les brycentres utilisés existent) G 1 brycentre de (A,α) et (B,β) Alors le brycentre de (G 1,α + β), et (C,γ) est celui de (A,α), (B,β), (C,γ) 35. Vecteurs du pln et de l espce Produit sclire Définition : Le produit sclire des vecteurs u et v est : u. v = u ) v cos ( u, v L étude générle de l notion de produit sclire est pge Produit vectoriel Définition : Le produit vectoriel des vecteurs de l espce u et v est : u v = w. On : w = u ) v sin ( u, v = det ( u, ) v, et : le vecteur w est orthogonl à u et à v, de fçon que le trièdre ( u, v, ) w soit direct Déterminnts Définition : Le déterminnt des vecteurs u et v est : det ( u, ) v = u ) v sin ( u, v Définition : Le déterminnt des vecteurs u, v et w est : det ( u, v, ) ( w = u ) v. w = ( u. v ) w L étude générle des déterminnts est pge Droites et Plns ffines On trville toujours ici dns un repère, choisi uprvent. De plus, dès qu il est question d orthogonlité, de distnce ou d ngle, ce repère est supposé orthonorml, sns que cel soit précisé à chque fois. Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 67

68 36.1. Droites du pln / En coordonnées crtésiennes ( b L droite d éqution : x + by + c = 0, (,b) = (0,0), est de vecteur directeur : ( ) norml : b ( ) ( ) x0 α L droite pssnt pr : M 0 : et de vecteur directeur (α,β) = (0,0), y 0 β est d éqution : x x 0 α y y 0 β = 0 ) et de vecteur b/ En représenttion prmétrique ( ) x0 L droite pssnt pr M 0 : y 0 est de représenttion prmétrique : et de vecteur directeur { x = x0 + λα y = y 0 + λβ ( α β ) c/ Pour psser d une représenttion à une utre De prmétriques en crtésiennes : éliminer λ entre les deux équtions. x = λ De crtésiennes en prmétriques : y = c b b λ pr exemple pour b = Plns de l espce ffine / En coordonnées crtésiennes Le pln d éqution : x + by + cz + d = 0, est de vecteur norml : Le pln pssnt pr M 0 : x 0 y 0 z 0 et de vecteur norml b c b c est d éqution : b/ En représenttion prmétrique x 0 Le pln pssnt pr M 0 : y 0 et de pln directeur engendré pr prmétrique : z 0 x = x 0 + λα + µα y = y 0 + λβ + µβ z = z 0 + λγ + µγ c/ Pour psser d une représenttion à une utre De prmétriques en crtésiennes : éliminer λ et µ entre les trois équtions x x 0 α α ou bien directement l éqution est : y y 0 β β z z 0 γ γ = 0 De crtésiennes en prmétriques : x 0 chercher un point M 0 : y 0 z 0 du pln, α β γ et x x 0 y y 0 z z 0 α β γ. b c = 0. est de représenttion 68 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

69 et chercher un vecteur α β γ non nul, norml à b c pr exemple Le produit vectoriel de ces deux vecteurs fournit un second vecteur : b 0 α β γ si (,b) = (0,0) qui convient Droites de l espce ffine { x + by + cz + d = 0 Pr intersection de 2 plns d équtions : x + b y + c z + d = 0 Un vecteur directeur de l droite intersection de ces 2 plns est : b c x 0 En prmétriques, l droite pssnt pr M 0 : y 0 et de vecteur directeur x = x 0 + λα est de représenttion prmétrique : y = y 0 + λβ z = z 0 + λγ z 0 b c α β γ (α,β,γ) = (0,0,0) Angles On trville toujours dns un repère orthonorml direct. l ngle de 2 vecteurs ou de 2 droites ou de 2 plns vérifie : cosθ = u. v u, v vecteurs directeurs des droites ou les vecteurs normux des plns selon les cs. pplicble vec les pour l ngle entre une droite et un pln, il fut ppliquer l formule précédente vec un vecteur directeur de l droite et un vecteur norml u pln. Eventuellement le résultt est π 2 θ selon l question excte posée Aires et Volumes élémentires On trville dns un repère orthonorml. Dns le pln, l ire géométrique du tringle A,B,C est : A = 1 ( AB, ) det AC 2 C est bien l vleur bsolue du déterminnt... Dns l espce, l ire géométrique du tringle A,B,C est : A = 1 AB AC 2 Dns l espce, le volume géométrique du prllélépipède construit sur (AB,AC,AD) est : ( AB, ) V = det AC, AD L ire lgébrique dépend à chque fois de l orienttion choisie Distnces On trville toujours dns un repère orthonorml. ( ) x0 L distnce de M 0 : à l droite d éqution y 0 x 0 x + by + c = 0, est : L distnce de M 0 : y 0 z 0 L distnce de 2 droites non prllèles de l espce : u pln d éqution x + by + cz + d = 0, est : { D1 : ( A, u ) D 2 : ( B, v ) est : x 0 + by 0 + c 2 + b 2 x 0 + by 0 + cz 0 + d 2 + b 2 + c 2 det ( AB, u, v ) u v Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 69

70 L distnce d un point M à une droite D : ( A, u ) est donnée pr : AM u u 37. Projecteurs et Symétries Dns cette prtie, on utilise l notion de sous-espces vectoriels supplémentires qui se trouve pges 16 et Projecteur Définition : Un projecteur p d un espce vectoriel E est un endomorphisme de E vérifint : p p = p. Soit p un projecteur de E, lors : E = ker p Im p. Réciproquement, si F et G sont deux sous-espces vectoriels supplémentires de E, lors, si x = x F + x G, vec x F F et x G G, on peut définir p pr : p(x) = x F. p est lors un projecteur de E. C est le projecteur sur F prllèlement à G Symétrie Définition : Une symétrie s d un espce vectoriel E est un endomorphisme de E vérifint : s s = Id E. Soit s une symétrie de E, lors p défini pr : 2p = s + Id E est une symétrie. C est l symétrie pr rpport à E 1, l ensemble des vecteurs invrints, prllèlement à E 1, le sous-espce propre ssocié à l vleur propre 1. Réciproquement, si F et G sont deux sous-espces vectoriels supplémentires de E, lors, si x = x F + x G, vec x F F et x G G, on peut définir s pr : s(x) = x F x G. s est lors une symétrie de E. C est l symétrie pr rpport à F prllèlement à G. 38. Isométries Isométries vectorielles et isométries ffines Définition : Une isométrie vectorielle ϕ de E est une ppliction qui conserve l norme, c est à dire : u E, ϕ ( ) u = u. Définition : Une isométrie ffine f de E est une ppliction qui conserve les distnces, c est à dire : A,B E, f (A) f (B) = AB Un endomorphisme est une isométrie vectorielle si et seulement si s mtrice dns une bse orthonormle est orthogonle. Les mtrices orthogonles sont pge 27. Une ppliction ffine est une isométrie ffine si et seulement si l ppliction linéire ssociée est une isométrie vectorielle Symétries orthogonles Une isométrie vectorielle est une symétrie orthogonle S mtrice dns une bse orthonormle est symétrique. L trnsformtion est lors l symétrie orthogonle pr rpport à l ensemble des vecteurs invrints. On retrouve ces cs dns les prgrphes suivnts. Une isométrie ffine est une symétrie orthogonle l isométrie vectorielle ssociée est une isométrie vectorielle et il y des points fixes. 70 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

71 L trnsformtion est lors l symétrie orthogonle pr rpport à l ensemble des points fixes. Dns le cs d une symétrie orthogonle dns le pln ou l espce ffine, l mtrice de l isométrie vectorielle ssociée est encore orthogonle, mis on observer que ç n est plus une condition suffisnte. Il est nécessire d voir des points fixes pour voir une symétrie ffine Recherche d une symétrie orthogonle d éléments géométriques donnés / Isométrie vectorielle On cherche les expressions de l symétrie orthogonle pr rpport à une droite vectorielle ou à un pln vectoriel Π. u + u On écrit que ou Π et que u u pprtient à l orthogonl de ou Π. 2 b/ Isométrie ffine On cherche les expressions de l symétrie orthogonle pr rpport à l droite D ou u pln P. On écrit que le milieu du segment MM pprtient à D ou à P et que MM pprtient à l orthogonl de l direction de D ou P Identifiction des Isométries Vectorielles / symétries orthogonles Si l mtrice d une isométrie vectorielle dns une bse orthonormle est symétrique, l isométrie vectorielle est une symétrie orthogonle. C est l symétrie orthogonle pr rpport à l ensemble des vecteurs invrints. b/ Isométries vectorielles du pln Dns une bse orthonormle, l mtrice est orthogonle. Isométrie directe : le déterminnt vut 1. ( ) cosθ sinθ C est une rottion d ngle θ. L mtrice est : sinθ cosθ Si θ = 0, c est l identité, et si θ = π, c est «moins l identité», l symétrie centrle. Isométrie indirecte : le déterminnt vut -1. C est une symétrie orthogonle pr rpport à l droite D θ tournée de θ pr rpport à l xe Ox. ( ) 2 2 cosθ sinθ L mtrice est : sinθ cosθ c/ Isométries vectorielles de l espce Dns une bse orthonormle, l mtrice est orthogonle. Isométrie directe : le déterminnt vut 1, le troisième vecteur est le produit vectoriel des 2 premiers. C est l identité ou une rottion d xe dirigé pr un vecteur propre ssocié à 1 : e1 et d ngle θ. On trouve θ, en cherchnt cos θ pr l trce qui vut cos θ en cherchnt le signe de sinθ qui est celui de det ( e1, u, f ( u ) ), vec u, un vecteur quelconque, non colinéire à e 1. Si θ = 0, c est l identité, et si θ = π, c est l symétrie orthogonle pr rpport à l xe. Cette isométrie, en principe, déjà été identifiée comme symétrie orthogonle. Isométrie indirecte : le déterminnt vut -1, le troisième vecteur est l opposé du produit vectoriel des 2 premiers. On cherche l trce : L trce vut 1, ce qui revient à ce que 1 soit vleur propre. C est une symétrie orthogonle pr rpport u pln propre pour l vleur propre 1. Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 71

72 L trce ne vut ps 1, 1 n est ps vleur propre, elle vut C est l composée cosθ. d une rottion d ngle θ et d xe dirigé pr un vecteur propre ssocié à l vleur propre -1 et d une symétrie pr rpport u pln orthogonl à l xe de l rottion. Le signe de sinθ se trouve comme dns le cs d une isométrie directe Identifiction des Isométries Affines L isométrie vectorielle ssociée s obtient en «éliminnt» les constntes. On regrde si cette isométrie vectorielle n est ps une symétrie orthogonle. On cherche ensuite les points fixes de l isométrie ffine. / Isométries ffines plnes Il y un ou plusieurs point fixes. L isométrie l même «description géométrique» que l isométrie vectorielle ssociée, «recentrée» en un point fixe. Il n y ps de points fixes. L isométrie vectorielle ssociée est une symétrie orthogonle pr rpport à une droite vectorielle. L isométrie ffine est l composée d une symétrie orthogonle pr rpport à une droite D de direction et d une trnsltion de vecteur u. On trouve D et le vecteur de l trnsltion en cherchnt les points M tels que MM. On lors : u = MM b/ Isométries ffines de l espce Il y un ou plusieurs point fixes. L isométrie l même «description géométrique» que l isométrie vectorielle ssociée, «recentrée» en un point fixe. Il n y ps de points fixes. Isométrie directe : l isométrie vectorielle ssociée est une rottion vectorielle. L isométrie ffine est un vissge. L xe et le vecteur de trnsltion sont donnés en cherchnt les points M tels que MM pprtient à l xe de l rottion vectorielle ssociée. Isométrie indirecte : L isométrie vectorielle ssociée est une symétrie orthogonle pr rpport à un pln vectoriel Π L isométrie ffine est l composée d une symétrie orthogonle pr rpport à un pln P de direction Π et d une trnsltion de vecteur u. On trouve P et le vecteur de l trnsltion en cherchnt les points M tels que MM Π On lors : u = MM Similitude 39. Similitudes Définition : Une similitude est une trnsformtion du pln ffine qui, en complexes, se met sous l forme : z z + b. On peut ussi se reporter pge Identifiction On cherche d bord si il y un point fixe en résolvnt : z = z + b. Si tous les points sont fixes, c est l dentité. Si il n y ps de point fixe, lors, c est que = 1 et b = 0, c est l trnsltion de vecteur d ffixe b. 72 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

73 Si il y un unique point fixe Ω, d ffixe l solution de : z = z + b, dns le repère centré sur Ω, l trnsformtion s écrit : Z Z. Si = 1, lors = e iθ, c est l rottion de centre Ω et d ngle θ. Sinon, = e iθ, c est l composée de l rottion de centre Ω et d ngle θ et de l homothétie de centre Ω et de rpport. 40. Courbes Plnes Etude et Trcé de Courbes d éqution y = f (x) / Ensemble d étude On recherche l ensemble de définition, les éventuelles prité ou imprité, l périodicité, pour boutir à l ensemble d étude. On indiquer lors les trnsformtions à ppliquer à l rc de courbe pour reconstituer l courbe entière. b/ Etude des vritions L étude des vritions se fit le plus souvent en étudint le signe de l dérivée, obtenu en utilisnt u besoin une fonction uxiliire. Pour le choix d une fonction uxiliire, il fut dns celle ci «isoler» les éventuels logrithmes, et rctngentes qui se trnsforment en frction rtionnelle qund on dérive. c/ Limites ux bornes On cherche les limites à toutes les bornes de l ensemble d étude, vec u besoin, l étude du prolongement pr continuité en cs de limite finie, et l étude locle de l dérivbilité en ces points, pour plcer l tngente. d/ Inflexions L étude des inflexions se fit u moyen de l dérivée seconde : f (x 0 ) = 0 crctérisent les points où il peut y voir une inflexion géométrique. Cette étude n est fite qu à l demnde de l énoncé. Géométriquement, un point d inflexion se crctérise pr le fit que l courbe trverse s tngente. e/ Brnches infinies On une brnche infinie qund : f (x) ± ou x ± lim f (x) = ±, x x0 on une symptote verticle d éqution : x = x 0. lim f (x) = b, x ± on une symptote horizontle d éqution : y = b. lim f (x) = ± x ± Il fut continuer l recherche pr : f (x) lim = x ± x si = ±, on une brnche prbolique de direction Oy. si = 0, on une brnche prbolique de direction Ox. si est fini non nul, il fut continuer l recherche pr : lim ( f (x) x) = b x ± si b est fini, on une symptote : y = x + b si b est infini, on une brnche prbolique de direction y = x si b n ps de limite, on une brnche infinie de direction symptotique y = x Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 73

74 f/ Centre de symétrie Qund f est impire, l origine est centre de symétrie de l courbe représenttive de f. Le point de coordonnées (,b) est centre de symétrie de l courbe si et seulement si f (x) + f (2 x) est constnt, il vut lors 2b. g/ Convexité Une fonction 2 fois dérivble est convexe si et seulement si l dérivée seconde est positive. Géométriquement, une courbe est convexe si et seulement si elle est en dessous de s corde entre 2 points quelconques ou si et seulement si elle est u dessus de chcune de ses tngentes. Une fonction convexe s concvité tournée vers le hut et une fonction concve s concvité tournée vers le bs. L figure 20, ci-dessous, illustre l convexité. A C B Figure 20 Une fonction convexe est sous s corde entre 2 points et u dessus de ses tngentes Courbes plnes en prmétriques On : { x = f (t) = x(t) y = g(t) = y(t) / Interpréttion cimémtique Si on considère que t est le «temps», on peut considérer qu on étudie le déplcement d un «mobile» dns le pln (ou l espce). On utilise lors le vocbulire suivnt : l courbe est l trjectoire du mobile : ( ) x (t) le vecteur dérivé y est le vecteur vitesse du mobile, s norme est s vitesse. (t) ( ) x (t) le vecteur dérivé seconde y est le vecteur ccelértion du mobile, s norme est son ccélértion. (t) b/ Ensemble d étude On recherche les ensembles de définition, les éventuelles prité ou imprité, les périodicités, pour boutir à l ensemble d étude. On indiquer lors les trnsformtions à ppliquer à l rc de courbe pour reconstituer l 74 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

75 courbe entière. c/ Vritions On étudie les vritions de f et g. Il fut construire le tbleu de vrition, qui contient les lignes x (t), x(t), y(t), y (t) et y (t) x qui représente l (t) pente de l tngente. Remrquons que si y (t) x est une forme indéterminée en un point, on peut l remplcer pr s limite qui (t) représente encore l pente de l tngente. d/ Points sttionnires { x (t 0 ) = 0 Les points sttionnires vérifient : y (t 0 ) = 0 On ppelle lors : ( ) x (p) (t 0 ) p, vec p 1, le premier rng où y (p) est non nul, ce vecteur est lors tngent à l courbe. (t 0 ) ( ) ( ) x (q) (t 0 ) x (p) (t 0 ) q, vec q > p, le premier rng où y (q) est non colinéire à (t 0 ) y (p) (t 0 ) L courbe est toujours tngente à F (p) (t 0 ), l prité de p donne le signe de l coordonnée lorsque t < t 0, l prité de q donne dns ce cs le signe de l deuxième ( coordonnée. Dns les figures suivntes, le repère trcé est : M 0, F (p) (t 0 ), ) F (q) (t 0 ). On peut voir sur l figure 21, ci-dessous, l ensemble des cs. (q) 0 F (t ) (q) 0 F (t ) M 0 M 0 (p) 0 F (t ) (p) 0 F (t ) p impir et q pir : point ordinire p impir et q impir : point d inflexion (q) 0 F (t ) (q) 0 F (t ) M 0 (p) 0 F (t ) M 0 (p) 0 F (t ) p pir et q impir : point de rebroussement de 1ère espèce p pir et q pir : point de rebroussement de 2ème espèce Figure 21 Etude locle d une courbe prmétrée Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 75

76 Remrquons que si l tngente est verticle ou horizontle, le clcul de q est inutile, les vritions permettent lors de déterminer directement l nture du point. e/ Points d inflexion Les points d inflexion géométrique vérifient nécessirement On ne fit cette étude qu à l demnde de l énoncé. x x y y = 0. f/ Brnches infinies L étude des brnches infinies ne pose de problème qu u cs où f et g tendent vers l infini. Si y(t) ±, et x (t) l, qund t t 0 : on une symptote verticle d éqution x = l. Si x(t) ±, et y (t) l, qund t t 0 : on une symptote horizontle d éqution y = l. y(t) Si x(t) et y(t) ±, qund t t 0, on clcule lim t t0 x(t) ppelée : si il n y ps de limite, on ne dit rien de plus, si = ±, on une brnche prbolique de direction Oy, si = 0, on une brnche prbolique de direction Ox, dns les utres cs, on clcule lim y(t) x(t) ppelée b : t t0 si il n y ps de limite, on une brnche infinie de direction symptotique y = x si b = ±, on une brnche prbolique de direction y = x dns les utres cs, on une symptote y = x + b Courbes plnes en polires Il s git d étudier les courbes définies en coordonnées polires pr : ρ = f (θ) = ρ(θ) / Ensemble d étude On cherche l ensemble de définition, l périodicité éventuelle, on obtient un premier intervlle : celui-ci doit être un multiple de l période et de 2π. On cherche ensuite à réduire cet intervlle. On essye de comprer ρ (θ) à : ρ ( θ), ρ(θ + π), ρ(π θ), et ρ( π 2 θ). On en déduit l ensemble d étude et d éventuelles symétries de l courbe. b/ Vritions On ne fit l étude des vritions de ρ pr le signe de ρ que si si cette étude est simple! On peut très bien s en psser pour trcer l courbe. c/ Signe de ρ L étude du signe de ρ est pr contre indispensble. Elle qui figure dns le tbleu de «vritions» et permet de déterminer dns quel cdrn on trce l courbe. Notons bien que, dns l étude des courbes en polires, ρ peut être négtif. L figure 22, pge suivnte, montre un exemple de ρ négtif. d/ Tngentes On étudie l tngente en quelques points prticuliers, en utilisnt : tn V = ρ, qui fournit l ngle, orienté, ρ entre le ryon vecteur et l tngente. En un point où ρ(θ 0 ) = 0, l tngente à l courbe est toujours l droite θ = θ 0. L figure 22, déjà vue, et l figure 23, pge ci-contre, précisent les ngles utilisés. 76 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

77 y θ x M V Figure 22 Exemple où : θ = π/4, ρ = 2 et V = π/4 y V O θ x Figure 23 Tngente en polires : tn V = ρ ρ e/ Brnches infinies Pour l étude des brnches infinies, on cherche : lim ρ(θ) sin (θ θ 0 ), qui est Y dns le repère tourné de θ 0. θ θ0 Tout se psse mintennt dns le repère tourné de θ 0. s il n y ps de limite, on une brnche infinie de direction symptotique OX cette limite est infinie, on une brnche prbolique de direction OX cette limite est finie Y 0, on une symptote d éqution Y = Y 0 L figure 24, pge suivnte, indique l position de l symptote. f/ Points d inflexion On cherche les points d inflexion prmi les points où l courbure est nulle. Ce sont les points qui vérifient : ρ 2 + 2ρ 2 ρρ = 0. Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 77

78 Y y M X P θ O θo x Figure 24 Asymptote en polires On ne fit cette étude qu à l demnde de l énoncé Courbes usuelles en polires p On les coniques d éqution ρ = 1 + e cosθ Voir pge 83. A ρ = cos (θ θ 0 ) est une droite ρ = A cos (θ θ 0 ) est le cercle pssnt pr O de dimètre A et de centre sur l droite θ = θ Ryon de courbure d une courbe plne 41. Courbure et Ryon de Courbure Définition : s, l bscisse curviligne dns le sens des t ou θ croissnts vérifie, selon les cs : ds = x 2 (t) + y 2 (t) dt = ρ 2 + ρ 2 dθ Définition : ( Ω, T, ) N est le repère de Frenet u point Ω vec : ( T ) et, N est orthonorml direct. T = d OM ds = d OM dt d OM dt Définition : Le ryon de courbure R, l courbure γ sont donnés pr : et on ussi : d N ds = γ T = 1 T R d T ds = γ N = 1 N R R > 0, R < 0, on tourne à guche (l courbe est orientée) on tourne à droite. L convention est différente de celle des physiciens pour lesquels R est le ryon de courbure géométrique, c est à dire qu on toujours, en physique, R > Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

79 Définition : Le centre de courbure Ω est donné pr : Ω = M + R N L figure 25, ci-dessous, donne l ensembles des éléments géométriques Ω R N j O M T i Figure 25 Repère de Frenet et centre de courbure Recherche de l courbure Dns le cs prmétrique ou en polire, il est utile de considérer l fonction ngulire ssociée ϕ qui est l ngle entre Ox et T d où, en prmétriques, en polires, on : cosϕ T : sinϕ ϕ = θ + V = dx ds dy ds = dx dt / ds dt dy dt / ds dt et N : Pour clculer l courbure ou le ryon de courbure, on utilise le plus souvent : sinϕ cosϕ γ = dϕ ds ou bien R = ds dϕ En prmétriques, on peut prfois «reconnître» directement l fonction ϕ(t) à prtir des expressions de T. Si on ne reconnit ps cette fonction, on : tnϕ = y x, ( donc : 1 + tn 2 ϕ ) ( dϕ y dt = ) dϕ x permet d voir dt Alors, R = ds dϕ = ds dt dϕ dt qui se clcule fcilement. En polires, ϕ = θ + V vec tn V = ρ ρ, donc dϕ dθ = 1 + dv dθ R = ds dϕ = ds dθ dϕ dθ se clcule fcilement et : Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 79

80 / Formules directes On peut ussi rechercher, si on ime les clculs, des formules directes donnnt courbure et ryon de courbure. Cel est prfois utile qund on cherche les éléments de courbure pour une vleur prticulière du prmètre. { x = f (t) = x(t) En prmétriques : y = g(t) = y(t) ( ) ( ) 1 x 1 y T : x 2 + y 2 y, N : x 2 + y 2 x ( x 2 + y 2) 3 2 R = x x y y X = x y x 2 + y 2 x x y Ω : y Y = y + x x 2 + y 2 x x y y { x = x En crtésiennes : y = f (x), on considère qu on une courbe prmétrée pr y = f (x). Ceci évite d voir à mémoriser de nouvelles formules... ( ρ 2 + ρ 2) 3 2 En polires : ρ = ρ(θ), R = ρ 2 + 2ρ 2 ρρ b/ Pour l vleur 0 du prmètre Un simple développement limité fournit, pr l formule de Tylor : en prmétriques, ppliqué à x(t) et y(t), les vleurs de x (0), y (0), x (0) et y (0) nécessires u clcul de l courbure. en polires, ppliqué à ρ(θ) les vleurs de ρ(0), ρ (0) et ρ (0) qui donnent ussi fcilement l courbure Surfces, pln tngent 42. Surfces : Générlités Une surfce peut être définie pr une éqution crtésienne : F(x,y,z) = 0 x = f (u,v) ou sous forme de nppe prmètrée : y = g(u,v) z = h(u,v) On psse d une représenttion prmétrique à une représenttion crtésienne en éliminnt les 2 prmètres entre les 3 équtions. On obtient l éqution d une surfce qui contient l nppe prmétrée. Pour svoir si on jouté des points, il fut chercher si pour un point de l surfce on peut retrouver les vleurs des prmètres qui correspondent à ce point. / Pln tngent à une surfce définie en crtésiennes Pour le pln tngent à (S) d éqution : F(x,y,z) = 0 en C 1 u moins. Le vecteur F x (x 0,y 0,z 0 ) F y (x 0,y 0,z 0 ) F z (x 0,y 0,z 0 ) x 0 y 0 z 0, on se plce dns le cs où F est de clsse est norml à l surfce (repère orthonorml), si ce vecteur est non nul, le pln 80 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

81 tngent est donc d éqution : (X x 0 ) F x + (Y y 0) F y + (Z z 0) F z = 0. b/ Pln tngent à une nppe prmétrée Pour le pln tngent à l nppe prmètrée : x = f (u,v) y = g(u,v) z = h(u,v) en plce dns le cs où f,g,h sont de clsse C 1 u moins. f u (u f 0,v 0 ) v (u 0,v 0 ) S ils forment une fmille libre, les vecteurs : g u (u 0,v 0 ) et g v (u 0,v 0 ) h u (u h 0,v 0 ) v (u 0,v 0 ) du pln tngent. f f u v Le pln tngent est donc lors norml u produit vectoriel : g g. u v h h u v (X x 0 ) Si ce produit vectoriel n est ps nul, le pln tngent est donc d éqution : (Y y 0 ) (Z z 0 ) Le pln tngent à une surfce est visulisé figure 26, ci-dessous. x 0 y 0 z 0 correspondnt à (u 0,v 0 ), on se définissent l direction f u g u h u f v g = 0 v h v Vecteur Norml Figure 26 Pln tngent Tngente à une courbe de l espce Une courbe de l espce peut être définie pr une intersection de surfces : { F(x,y,z) = 0 G(x,y,z) = 0 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 81

82 ou sous forme de représenttion prmètrique : x = f (u) y = g(u) z = h(u) Dns le cs d une intersection de surfces, l intersection des plns tngents, si elle est une droite, est l tngente à l courbe u point considéré. f (u 0 ) Dns le cs d une représenttion prmétrique, le vecteur g (u 0 ), s il est non nul, dirige l tngente h (u 0 ) X = x 0 + λ f (u 0 ) qui est donc de représenttion prmétrique Y = y 0 + λ g (u 0 ) Z = z 0 + λ h (u 0 ) On trville toujours dns un repère orthonorml. 43. Cercles et Sphères Cercles dns le pln et sphères / Cercles dns le pln Le cercle de centre Ω : ( x0 Le cercle de dimètre AB est d éqution : y 0 ) et de ryon R est d éqution : (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2 MA. MB = 0 b/ Sphères dns l espce L sphère de centre Ω : L sphère de dimètre AB est d éqution : Cocyclicité x 0 y 0 z 0 et de ryon R est d éqution : (x x 0) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2 MA. MB = 0 (Angle u centre) ( A,B et C distincts pprtiennent à un même cercle de centre Ω ) ( ΩA, ΩB = 2 ) CA, CB ( A,B,C et D distincts sont cocycliques ou lignés ) AC, BC ( ) = [π] AD, BD Si,b,c,d sont les ffixes de ( A,B,C,D ) distincts ( dns ) le pln complexe, A,B,C et D pprtiennent à c b d b un même cercle ou sont lignés rg = c [π] rg d Cercles dns l espce. Le plus souvent, un cercle dns l espce est donné pr l intersection d une sphère et d un pln. Cette intersection est un cercle, un point ou vide selon l distnce du centre de l sphère u pln. On ppelle xe du cercle l droite perpendiculire u pln pssnt pr le centre de l sphère. L intersection de deux sphères, selon l distnce des centres pr rpport à l somme des ryons, est ussi un cerle, un point ou vide. 82 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

83 44. Coniques Une conique, éventuellement dégénérée, est une courbe plne ynt pour éqution crtésienne P(x,y) = 0 vec P(x,y) un polynôme du second degré Ellipses / Eqution réduite centrée x 2 C est : 2 + y2 b 2 = 1 et b, vec > b > 0, sont les longueurs des demi-grnd xe et demi-petit xe. Les foyers sont lors sur Ox. c = 2 b 2, est l distnce du centre ux foyers. e = c = MF MH < 1, est l excentricité. 2 c est l distnce du foyer F à l directrice (D). Le prmètre p de l ellipse, qui intervient en coodonnées polires est : p = b2 = e d, où d est l distnce du foyer à l directrice correspondnte. Les éléments de l ellipse sont précisés figure 27, ci-dessous. (D ) y (D) B b b M H A F O c F c A 2/c x Figure 27 Ellipse : foyers et directrices b/ Eqution pr foyer F et directrice D C est : MF MH = e, vec e < 1 c/ Détermintion bifocle L ensemble des points M du pln vérifint : MF + MF = 2, vec F et F deux point et une longueur est une ellipse de foyers F et F, et de demi grnd xe de longueur. d/ Eqution en coordonnées polires p On : ρ =, un des foyers F étnt à l origine 1 + e cosθ p est le prmètre de l ellipse, e est l excentricité Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 83

84 l xe focl est Ox On trouve les utres prmètres en écrivnt ρ(0) + ρ(π) = 2 qui donne = p 1 e Prboles / Eqution réduite C est : y 2 = 2 p x, vec p > 0, le prmètre p est le prmètre de l prbole. O est le sommet et Ox l xe de symétrie. L excentricité e = MF MH vut 1 et l unique foyer F est à l distnce p du sommet sur l xe de symétrie. 2 L directrice (D) est ussi à l distnce p du sommet, perpendiculire à l xe de symétrie. 2 Les éléments de l prbole sont précisés figure 28, ci-dessous. (D) y H M d/2 O S F d/2 x Figure 28 Prbole : foyers et directrices b/ Eqution pr foyer F et directrice D C est : MF MH = e = 1, l distnce du foyer à l directrice est p. 84 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

85 c/ Eqution en coordonnées polires p On : ρ =, le foyer F étnt à l origine. 1 + cosθ p est le prmètre de l prbole, distnce du foyer à l directrice, l xe de symétrie est Ox et contient le foyer Hyperboles / Eqution réduite centrée x 2 C est : 2 y2 b 2 = 1 Les foyers sont lors sur Ox. c = 2 + b 2, est l distnce du centre ux foyers. e = c = MF MH > 1, est l excentricité. x 2 Les symptotes sont d éqution : 2 y2 ( x b 2 = y ) ( x b + y ) = 0. b On les trouve en nnulnt le second membre dns l éqution réduite. L directrice (D) est à l distnce 2 c du centre, perpendiculire à l xe focl. Le prmètre p de l hyperbole, qui intervient en coodonnées polires est : p = b2 distnce du foyer à l directrice correspondnte. = e d, où d est l b/ Eqution pr foyer F et directrice D MF C est : = e, vec e > 1. MH Les éléments de l hyperbole sont précisés figure 29, pge suivnte. c/ Détermintion bifocle L ensemble des points M du pln vérifint : MF MF = k, vec F et F deux point et k une constnte est une hyperbole de foyers F et F. d/ Eqution en coordonnées polires p C est : ρ = un des foyers F étnt à l origine 1 + e cosθ p est le prmètre de l hyperbole, e est l excentricité l xe focl est Ox Identifiction d une conique On prt d un polynôme non nul du second degré en x et y cs où il n y ps de termes en xy vler, si possible, les termes en x et en y dns des crrés : x 2 + x = Cel revient à fire une trnsltion de l origine du repère. se rmener ensuite à une des formes cnoniques décrites. ( x + ) On trouve des prboles, hyperboles et ellipses (ou cercles) mis ussi des coniques dégénérées : couple de droites, droite, point, vide. cs où il y des termes en xy on repère l forme qudrtique formée des seuls termes du second degré : x 2 + 2bxy + cy 2 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 85

86 (D ) y (D) H M B c b F A A F x O 2/c c Figure 29 Hyperbole : foyers et directrices ( ) b on considère s mtrice qu on digonlise dns une bse orthonormle directe de vecteurs propres, vec P l mtrice de pssge et λ et µ les deux vleurs propres. b c Cel revient à fire une rottion du repère. ( ) ( ) x X lors x 2 + 2bxy + cy 2 = λx 2 + µy 2 vec = P qui nous sert ussi à trnsformer le reste de l éqution de l conique. y Y il n y donc plus de termes en xy dns ce repère. On est rmené u cs précédent Projection d une conique sur un pln L projection d une conique sur un pln est, en générl une conique de même type. Une prbole se projette selon une prbole, ou une droite ou une demi-droite ; Une ellipse se projette selon une ellipse ou un segment de droite ; Une hyperbole se projette selon une hyperbole ou une droite ou de 2 demi-droites de l même droite. Réciproquement, si l projection d une courbe plne est une conique propre, lors cette courbe est une conique propre de même type. 86 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

87 45. Qudriques Une qudrique, éventuellement dégénérée, est une surfce ynt pour éqution crtésienne P(x,y,z) = 0 vec P(x,y,z) un polynôme du second degré Equtions réduites x 2 Ellipsoïde (E) : 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1 vec Si = b, il est de révolution d xe Oz > 0 b > 0 c > 0 Il ne contient ps de droites. x 2 Prboloïde elliptique (PE) : 2 + y2 = 2pz b2 Si = b, il est de révolution d xe Oz vec > 0 b > 0 Il ne contient ps de droites. x 2 2 y2, ce qui donne : b2 x 2 Prboloïde hyperbolique (PH) : 2 y2 = 2pz vec > 0 b > 0 b2 Il n est jmis de révolution, mis contient deux fmilles de droites obtenues en fctorisnt x y b = k x + y b = 2pz k et : x + y b = k x y b = 2pz k vec k non nul. Pr tout point, il psse deux droites distinctes trcées sur l surfce, incluses églement dns le pln tngent à ce point. x 2 Hyperboloïde à 1 nppe (H1) : 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1 vec > 0 b > 0 c > 0 Si = b, il est de révolution d xe Oz x 2 Le cône symptote est d éqution : 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 0 Il contient deux fmilles de droites obtenues en fctorisnt : x2 2 z2 y2, et 1 c2 b 2 x ce qui donne : z (1 c = k y ) x b x + z c = 1 ( 1 + y ) et : + z (1 c = k y ) b x k b z c = 1 ( 1 + y ) vec k non nul. k b Pr tout point, il psse deux droites distinctes trcées sur l surfce, incluses églement dns le pln tngent à ce point. x 2 Hyperboloïde à 2 nppes (H2) : 2 + y2 b 2 z2 = 1 c2 Si = b, il est de révolution d xe Oz vec > 0 b > 0 c > 0 x 2 Le cône symptote est d éqution : 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 0 H2 ne contient ps de droites. Sur l figure 30, pge suivnte, on représenté les cinq qudriques propres Intersection vec un pln E PE PH H1 H2 Ellipse Prbole Hyperbole Deux droites Point Vide Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 87

88 v*cos(u), v*sin(u), v*v x*x-y*y Prboloïde Elliptique Prboloïde Hyperbolique v*cos(u), v*sin(u), sqrt(v*v+1) v*cos(u), v*sin(u), -sqrt(v*v+1) Hyperboloïde à une nppe Hyperboloïde à 2 nppes v*cos(u), v*sin(u), sqrt(1-v*v) v*cos(u), v*sin(u), -sqrt(1-v*v) Ellipsoïde Figure 30 Qudriques 88 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

89 45.3. Identifiction d une qudrique On prt d un polynôme du second degré en x, y et z. cs où il n y de termes ni en xy, ni en xz, ni en yz, vler si possible les termes en x, y et en z dns des crrés : x 2 + x = Cel revient à fire une trnsltion de l origine du repère. se rmener ensuite à une des formes cnoniques décrites. ( x + ) On trouve des prboloïdes elliptiques et hyperboliques, hyperboloïdes à 1 ou 2 nppes et ellipsoïdes (ou sphères) mis ussi des qudriques dégénérées: cylindres, cônes,..., point, vide cs où il y des termes en xy, xz ou yz, l forme qudrtique est formée des termes du second degré : x 2 + 2bxy + 2cxz + dy 2 + 2eyz + f z 2, b c on considère s mtrice : b d e, qu on digonlise dns une bse orthonormle de vecteurs c e f propres, vec P l mtrice de pssge et λ, µ et ν, les trois vleurs propres. Si on pris une bse orthonormle directe, cel revient à fire une rottion du repère. x X lors : x 2 + 2bxy + 2cxz + dy 2 + 2eyz + f z 2 = λx 2 + µy 2 + νz 2, vec y = P Y z Z nous sert ussi à trnsformer le reste de l éqution de l qudrique. il n y donc plus de termes en xy, xz ou yz dns ce repère. On est rmené u cs précédent., qui Surfces de révolution 46. Surfces de révolution, cylindres et cônes Définition : Une surfce de révolution d xe est formée d une fmille de cercles d xe Un pln contennt l xe de révolution est un pln méridien, son intersection vec l surfce est une méridienne. L méridienne est symétrique pr rpport à l xe de révolution. On prle prfois de demi-méridienne. Une surfce de révolution une éqution de l forme : F(S,P) = 0, vec : S (x,y,z) = R 2, l éqution d une sphère et P (x,y,z) = k, l éqution d un pln. L xe de révolution est orthogonl à P pssnt pr le centre de S. Corollire : Dns le cs où l xe est Oz l surfce de révolution une éqution de l forme : F(x 2 + y 2,z) = 0 / Surfce de révolution Σ engendrée pr l rottion de Γ utour de fire une figure symbolique (figure 31, pge suivnte) prtir d un point quelconque de l surfce Σ cherchée : M : écrire qu un point de Γ pprtient à l fois à l sphère centrée sur un point rbitrire de (choisi le plus simple possible) pssnt pr M u pln perpendiculire à pssnt pr M éliminer les prmètres, on obtient l éqution d une surfce Σ de révolution qui contient Σ l surfce cherchée. X Y Z Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 89

90 Γ M Figure 31 Surfce de révolution : xe et directrice Si Γ est donnée en prmètrique, un point de Γ correspond à une vleur du prmètre, tndis que si Γ est donnée pr intersection de surfces, un point de Γ est repéré pr : x 0 y 0 z 0 b/ Surfce de révolution Σ d xe Oz et de demi-méridienne f (x,z) = 0 On reconstitue l méridienne complète f (x,z) f ( x,z) = F ( x 2,z ) = 0 L surfce est d éqution F ( x 2 + y 2,z ) = Cylindres Définition : Un cylindre de direction u est formée d une fmille de droites de direction u Ces droites sont les génértrices. Une courbe qui rencontre toutes les génértrices est une directrice. L intersection de l surfce vec un pln orthogonl à l direction u, est une section droite du cylindre. Un cylindre n est, en générl, ps un cylindre de révolution! Un cylindre de direction u une éqution de l forme : F(P 1,P 2 ) = 0, vec : P 1 (x,y,z) = k 1, et P 2 (x,y,z) = k 2, l éqution de deux plns. De plus, P 1 P 2 donne l direction u du cylindre. Corollire : Dns le cs où l direction est k le cylindre une éqution de l forme : F(x,y) = 0. / Cylindre de direction et de directrice donnés On cherche le cylindre Σ de direction u et de directrice Γ fire une figure symbolique (figure 32, pge suivnte) prtir d un point quelconque de l surfce Σ cherchée : M : X Y Z 90 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

91 u Γ u M Figure 32 Cylindre : direction et directrice écrire que l droite (décrite en prmétrique) ( M, u ) rencontre Γ éliminer les prmètres, on obtient l éqution d un cylindre Σ qui contient Σ le cylindre cherché. b/ Contour pprent Pour le contour pprent de S, on écrit que le grdient de S en un point est norml à l direction du cylindre. α On note : u : β γ On obtient le contour pprent pr intersection de surfces : F (x,y,z) = 0 α F F F (x,y,z) + β (x,y,z) + γ x z z (x,y,z) = 0 On n hésiter ps à simplifier u mximum ces équtions dès que possible. L figure 33, pge suivnte, illustre cette recherche. Si le cylindre est circonscrit à une surfce, on cherche le contour pprent, puis on cherche le cylindre de l direction donnée et de directrice ce contour pprent Cônes Définition : Une cône de sommet Ω est formée d une fmille de droites pssnt pr Ω Ces droites sont les génértrices. Une courbe qui rencontre toutes les génértrices est une directrice. Un cône n est, en générl, ps un cône de révolution! Une surfce d éqution crtésienne un polynôme en x,y,z est un cône de sommet O si et seulement si tous les monômes sont de même degré (degré cumulé en x,y,z). / Cône Σ de sommet Ω et de directrice Γ fire une figure symbolique (figure 34, pge suivnte) Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 91

92 u Grd(M) u M Figure 33 Le pln tngent à S en M contient l direction u Ω Γ M Figure 34 Cône : sommet et directrice prtir d un point quelconque de l surfce Σ cherchée M : écrire que l droite (décrite en prmétrique) (ΩM) rencontre Γ éliminer les prmètres, on obtient l éqution d un cône Σ qui contient Σ le cône cherché. X Y Z b/ Contour pprent Pour le contour pprent de S vu du point Ω, on écrit que le grdient de S en un de ses points P est norml u vecteur ΩP. On note : Ω : b c 92 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

93 On obtient le contour pprent pr intersection de surfces : F (x,y,z) = 0 (x ) F F F (x,y,z) + (y b) (x,y,z) + (z c) x z z (x,y,z) = 0 On n hésiter ps à simplifier u mximum ces équtions dès que possible. L figure 35, ci-dessous, illustre cette recherche. Grd(M) Ω M Figure 35 Le pln tngent à S en M contient Ω Pour le cône circonscrit, on cherche d bord le contour pprent puis le cône de sommet donné et de directrice ce contour pprent Cylindres et cônes de révolution On ne cherche ps l éqution d un cylindre ou d un cône de révolution comme celle d un cylindre ou d un cône ni comme celle d une surfce de révolution!... / Cylindre de révolution Pour un cylindre de révolution défini pr son xe D : ( A, u ) et son ryon R On cherche l ensemble des points M tels que l distnce de M à D vut R. (Voir Pge 70) On élève tout u crré pour enlever les vleurs bsolues. b/ Cône de révolution Pour un cône de révolution défini pr son xe D dirigé ( pr u, son sommet Ω et son demi ngle u sommet θ On cherche l ensemble des points M tels que l ngle u ), ΩM pour mesure θ. (Voir Pge 69) On élève tout u crré pour enlever les vleurs bsolues. Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 93

94 Qutrième prtie Mple On présenter cet ide-mémoire sous forme de tbleux à trois colonnes : les mots-clefs, une description rpide de leur fonction et enfin, un exemple d utilistion. Rppelons qu une erreur en Mple est le plus souvent à chercher vnt l endoit où Mple l détecte Mnipultions de bse 47. Bses On ne confondr ps une expression et une fonction. Pr exemple : sin(t) est une expression de t, tndis que l fonction est : sin. ; ou : Exécution d une commnde vec ou sns ffichge du résultt. > 12*13; + - * / Somme, différence, produit ou quotient d expressions. > (x+2)/t; ** ou ^ Exponentielle. > 12**13; &* Produit de mtrices ou vecteurs. Sns le &, Mple considère tous les produits comme commuttifs... De plus l usge de evlm est indispensble pour voir un ffichge effectif des lignes et colonnes. > evlm(p*(-1)&*a&*p); iquo irem Quotient et reste de l division des entiers. > iquo(1732,13); quo rem Quotient et reste de l division euclidienne des polynomes (il fut préciser l vrible).! Fctorielle. > 123!; > r:=rem(x^5,x^2+1,x); binomil Coefficients binomiux comme C 2 n > binomil(2,n); = < > <> <= >= nd or not Opérteurs de comprison, souvent utilisés dns un si... lors... sinon, ou dns une résolution d éqution ou inéqution. Opérteurs logiques, souvent utilisés dns un si... lors... sinon. > Composée de fonctions (qui ne sont ps des expressions...). > f2:=f@f; > evlb(=1 or b=0); := Affecttion, permet de donner une vleur à une vrible. > :=(x+1)/(x-1); vrible Permet de libérer, désffecter une vrible. > := ; -> Définition rpide d une fonction (qui n est toujours ps une expression). Vrible vlnt le dernier résultt clculé. > f:=->x^2-1;f(2); > p:=(x+1)/x; > **2; Constntes Pi I infinity Nombres π, i, et +, on fer ttention ux mjuscules! > Pi,pi; > evlf(pi),evlf(pi); 94 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

95 47.3. Sommes et produits sum product Clcul de toute somme ou produit indicés. On conseille d utiliser des postrophes. > sum( 1/(n^2), n =1..7); > sum( p, n =0..infinity); Fonctions d évlution Les fonctions d évlution sont nombreuses et importntes, elles forcent Mple à effectuer une évlution de l quntité fin de ne ps rester en clcul formel... Ceci est très importnt cr l éxécution d une procédure ou d un clcul n est ps du tout l même selon que l on trville en clcul pproché «flottnt» ou en clcul formel «exct». Qund on veut u finl du clcul pproché, il fut se mettre en clcul pproché le plus tôt possible... evl evlb evlf evlc evlm Evlution générle d une expression. Cette instruction est surtout utilisée dns le corps des procédures pour forcer l évlution complète d une expression. Evlution d une expression logique (booléenne), c est une quntité vrie ou fusse, souvent utilisée dns un si... lors... sinon. Vleur pprochée d une expression, le nombre de chiffres significtifs est dns l vrible Digits. Indispensble qund on ne veut ps que Mple reste inutilement en théorique. Evlution d un complexe en prtie réelle et prtie imginire. Attention Mple considère priori les vribles libres comme complexes... Force l évlution d un vecteur ou d une mtrice en ligne et colonnes, ce que Mple ne fit ps de lui même. > evl(pi*3.14); > evlb(x>=1); > Digits:=50; > evlf(pi/2); > evlc((2*i)^3); > evlm(a&*b); Trnsformtion générle d expressions subs collect sort expnd combine options : trig exp ln power fctor convert options : prfrc tn à l v- Subsitue dns l expression «p», l expression «y» rible «x». Regroupe les termes d une même puissnce d une expression pr rpport à une vrible. Trie selon les puissnces décroissntes une expression selon une vrible. Développe une expression polynomile, trigonométrique, exponentielle ou logrithmique. Presque l fonction réciproque de expnd. Regroupe les termes selon l option choisie (linérise vec trig...). Fctorise une expression. Il fut souvent jouter les éléments utilisés dns l fctoristion, qu on peut chercher vec solve. Convert possède de nombreuses options pour trnsformer une expression, en prticulier trigonométrique. Avec l option prfrc, il décompose en «éléments simples» une frction rtionnelle. Il vut mieux uprvent fctoriser complètement le dénominteur. > subs(x=y,p); > collect(p,x); > sort(p,x); > expnd((x-)**7); > expnd(sin(2*x)); > expnd(ln((x+1)/(x-1))); > expnd(exp(x+2*y)); > combine(sin(x)^7,trig); > fctor(x**2-2); > fctor(x**2-2,sqrt(2)); > fctor(x**2+2,sqrt(2)); > fctor(x**2+2,{sqrt(2),i}); > convert(p,tn); > convert(p,prfrc,x); Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 95

96 47.6. Simplifiction d expressions norml simplify Simplifie (un peu) les frctions rtionnelles. Comme pour «convert», on intérèt à fctoriser le dénominteur vnt l demnde de simplifiction. Essye de simplier une expression, possède de nombreuses options... mis peut églement s utiliser sns option. > p:=(x^2-1)/(x^2+2*x+1); > norml(p); > simplify(p); Structures de données..b {,b,c} union intersect [,b,c] Intervlle de à b. Utilisé dns les trcés de courbes et les intégrles pr exemple. Ensemble formé de, b et c, et opérteurs d union et d intersection d ensembles. Utilisé pr exemple pour trcer plusieurs courbes sur un même grphe. Liste formée de, b et c. Utilisé pr exemple pour trcer des courbes en prmétriques. > int(sin(t),t=0..pi); > plot(sin(t),t=0..pi); > E:=E union {,b } > plot({sin(t),cos(t)},t=0..pi); > plot([sin(t),cos(t),t=0..pi], x=-2..2,y=-2..2); 48. Mthémtiques usuelles Fonctions mthémtiques usuelles Signlons que Mple possède de très nombreuses fonctions «usuelles» qui pprissent lors d une résolution d éqution, d un clcul de primitive... exp ln Exponentielle et logrithmes. Mple les définit sur C, comme l pluprt des fonctions. > exp(1); > ln(1+i); sin cos tn Sinus, cosinus et tngente. > sin(pi/2); sinh cosh tnh Sinus, cosinus et tngente hyperboliques. > sinh(1); rcsin rctn rccos Arcsinus, rccosinus et rctngente. bs Vleur bsolue ou module, selon qu on est sur R ou sur C. Re Im Prtie réelle et imginire d un complexe. Attention, pour Mple, priori, une vrible libre est complexe. > rctn(1); > bs(3+4*i); > bs(-pi); > Re(+b*I); conjugte Conjugué d un complexe. > conjugte(1+i); rgument Argument d un nombre complexe. > rgument(1+i); Limites et développements limités limit series ledterm Clcul de limites d une expression. Clcul du développement limité ou symptotique d une expression ; il fut préciser le point et l ordre désiré... Clcul du premier terme priori non nul d un développement limité. Qund il n est ps nul, c est un équivlent. > limit(p,x=1); > limit(p,x=-infinity); > p:=series(p,x=1,5); > series(ledterm(p),x=0,8); 96 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

97 48.3. Dérivées diff Dérivée d une expression pr rpport à l ou les vribles spécifiées. > diff(sin(x),x); > diff(sin(x),x,x); D Dérivée d une fonction. > D(sin); Primitives et intégrles int Clcul d une primitive (Mple n introduit ps de constnte), ou d une intégrle, simple ou générlisée, d une expression. Int Forme «inerte» de l précédente. Ps de clcul. > Int(p,x); chngevr et intprts du pckge student Effectue un chngement de vrible ou une intégrtion pr prties (indiquer l prtie qu on dérive) sur une intégrle inerte. Mple ne cherche donc ps à effectuer le clcul. > int(p,x); > int(p,x=0..infinity); > chngevr(t^2=u,int(t/(t^ 2+1)),t); > intprts(int(x^3*sin(x),x),x^3); Résolution d équtions ou de systèmes d équtions solve fsolve dsolve option numeric Résolution de tous types d équtions et inéqutions pr rpport à une vrible spécifiée. Mis, Mple ne donne ps nécessirement toutes les solutions... Résolution pprochée de tous types d équtions, vec les mêmes réserves que ci-dessus. Résolution de tous types d équtions différentielles et de systèmes différentiels, vec ou sns conditions initiles. L option numeric donne une résolution numérique pprochée de l éqution ou du système, toujours posé vec des conditions initles. > solve(*x^2+2**x+1,x); > solve(*x^2+2**x+1,); > solve((sin(t)=cos(2*t),t); > fsolve(*x^2+2**x+1,); > fsolve((sin(t)=cos(2*t),t); > E:=diff(y(x),x)+y(x)=cos(x)); > dsolve(e,y(x)); > dsolve({e,y(0)=0},y(x)); > dsolve({e,y(0)=0},y(x), numeric); rsolve Résolution de suites récurrentes linéires. > rsolve(u(n)=3*u(n-1)-2*u(n-2),u); linsolve Résolution de systèmes linéires présentés mtriciellement, les prmètres sont l mtrice du système et le vecteur second membre. > linsolve(a,b); 49. Algèbre linéire Le pckge «linlg» doit être chrgé uprvnt : > with(linlg); Vecteurs vector Mple utilise des vecteurs qui sont mthémtiquement des vecteurs colonne, mis qu il écrit en ligne pour des questions de lisibilité sur l écrn!... Définition d un vecteur colonne. U[2] désigne l deuxième coordonnée de U. > U:=vector([1,4,9]); > U:=vector(3,i-> i*i); dotprod Produit sclire de 2 vecteurs. > dotprod(u,v); crossprod Produit vectoriel de 2 vecteurs de R 3. > crossprod(u,v); norm(,2) Norme Euclidienne d un vecteur. > norm(u,2); Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 97

98 49.2. Procédé de Schmidt GrmSchmidt option normlized Applique le procédé de Schmidt à une liste de vecteurs et renvoie une fmille orthogonle de vecteurs engendrnt le même sousespce. L option normlized permet d voir des vecteurs normés. > GrmSchmidt([U,V]); > GrmSchmidt([U,V], normlized); Mtrices mtrix trnspose Définition d une mtrice (pr lignes). A[2,3] est l élément deuxième ligne, troisième colonne. Trnspose une mtrice ou un vecteur. > A:=mtrix([[1,2],[3,4]]); > B:=mtrix(2,2,(i,j)->2*i+j); > trnspose(a); > evlm(trnspose(a)); inverse Inverse une mtrice crrée inversible. > evlm(inverse(a)&*a); rnk Rng d une mtrice (pour l vleur générle des prmètres...). > r:=rnk(a); det trce Déterminnt et trce d une mtrice crrée. > :=det(a); > trce(a &* B) - trce(b &* A) Eléments propres chrmt Mtrice crctéristique : (A λi n ). > U:=chrmt(A,lmbd); chrpoly Polynôme crctéristique : det (A λi n ). > P:=chrpoly(A,x); eigenvls eigenvects Vleurs propres, chcune vec son ordre de multiplicité. Mis Mple ne trouve ps nécessirement toutes les vleurs propres... Il vut mieux fctoriser d bord le polynôme crctéristique, en ynt u besoin d bord cherché les zéros vec un solve. Vleurs propres, ordre de multiplicité et bse de chque sousespce propre. > eigenvls(a); > eigenvects(a); 50. Grphiques Le pckge «plots» doit, le plus souvent, être chrgé uprvent : > with(plots); Si on sélectionne le grphique à l écrn, Mple fournit une brre d outils dptée Courbes du pln plot option scling constrined plot([...],...) option scling constrined plot option coords polr Trcé de courbes en crtésiennes, {...} permet de trcer plusieurs courbes sur un même grphe. Trcé de courbes en prmétriques, {...} permet de trcer plusieurs courbes sur un même grphe. Trcé de courbes en polires, {...} permet de trcer plusieurs courbes sur un même grphe. implicitplot Trcé de lignes de niveu : f (x,y) = 0. > plot(x^2,x=-2..2); > plot(x^2,x=-2..2, scling=constrined); > plot({x^2,2*x+1},x=-2..2); > plot([u/(1+u),1/(1-u),u=-3..3], x=-5..5,y=-5..5); > plot(sin(t)/(1+cos(t)),t=0..pi, coords=polr,x=-5..5,y=-5..5); > implicitplot(x*x+y*y=3, x=-2..2,y=-2..2); 98 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

99 50.2. Surfces plot3d plot3d([...],...) plot3d option coords cylindricl plot3d option coords sphericl implicitplot3d Trcé de surfces en coordonnées crtésiennes : z = f (x,y). Trcé de nppes prmétrées. Trcé de nppes prmétrées en coordonnées cylindriques, ρ défini en fonction de θ et z. Trcé de nppes prmétrées en coordonnées sphériques, ρ défini en fonction de θ et ϕ. Trcé de surfces définies pr une éqution implicite f (x,y,z) = 0. > plot3d(1/(x^2+y^2), x=-2..2,y=-2..2); > x:=cos(u)*cosh(v); > y:=sin(u)*cosh(v); > z:=sinh(v); > plot3d([x,y,z],u=0..6.3,v=-2..2); > plot3d(sin(z),thet=0..6.3, z=0..2,coords=cylindricl); > plot3d(1, thet=0..6.3,phi= , coords=sphericl); > implicitplot3d(x*x+y*y-z*z=1, x=-2..2,y=-2..2,z=-2..2); Courbes de l espce spcecurve Trcé d une courbe dns l espce. > spcecurve([cos(t),sin(t),t], t=0..15); Trcé simultné de plusieurs courbes ou surfces En 2-D ou en 3-D, deux cs se présentent à chque fois selon qu on à fire u même type de grphique ou non. En 2-D, on peut ssocier des courbes définies en crtésiennes, polires, prmétriques ou de fçon implicite et en 3-D, on peut ssocier des surfces ou courbes définies en prmétriques, cylindriques, sphériques ou des surfces définies de fçon implicite. Même type de grphiques : il suffit de plcer les différentes expressions à trcer entre ccoldes {...} Types de grphiques différents : disply disply3d Trcé simultné de plusieurs grphiques plns. Trcé simultné de plusieurs grphiques de l espce. > A:=plot(...);B:=plot(...); > disply([a,b], scling=constrined); > A:=plot3d(...); > B:=plot3d(...); > disply3d([a,b], scling=constrined); 51. Structures de contrôle et procédures Ces structures de contrôle, répétitives ou lterntives sont le plus souvent utilisées dns le corps des procédures. On verr dns l suite, pge suivnte, des exemples détillés de procédures utilisnt ces structures Structure lterntive if condition then instructions else instructions fi Structure lterntive : si l condition est rélisée, on effectue les commndes près le then, sinon, celles près le else. Le else est d illeurs optionnel et le fi termine toujours le if. > if u=0 then y:=1 else y:=sin(u)/u fi; Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 99

100 51.2. Structure répétitive for vrible from début by ps to fin do instructions od while condition do instructions od for vrible from début by ps to fin while condition do instructions od Les instructions entre do et od sont éxécutées pour toutes les vleurs de l vrible, depuis le début jusque l fin, en utilisnt le ps donné. On étudie ici l suite récurrente u n+1 = u n + n u n. Les instructions entre do et od sont éxécutées tnt que l condition est vérifiée. Ici, dns une suite définie pr une reltion de récurrence u n+1 = f (u n ), on s rrète qund deux termes consécutifs sont proches à 10 5 près. Les instructions entre do et od sont exécutées pour toutes les vleurs de l vrible, depuis le début jusque l fin, en utilisnt le ps donné, tnt que l condition est vérifiée. L exemple est le même que ci-dessus, mis on s interdit plus de 100 itértions. > u:=1;n:=10; > for i from 1 to n do u:=(u+i/u) od; > u:=1; > v:=f(u); > while bs(u-v)> 10^-5 do u:=v;v:=f(v) od; > u,v; > u:=1; > v:=f(u); > to 100 while bs(u-v)> 10^-5 do u:=v;v:=f(v) od; > u,v; Dns tous les cs, on peut omettre : for, si on n besoin de l vleur de l indice, from, si l vleur de début est 1, by, si le ps est 1, to ou while, mis ps les deux! Procédures -> Définition d une procédure ou fonction simple. > f:=x->x**2*sin(x); proc(prm) locl vribles; instructions end Définition d une procédure de prmètres prm donnés. Le résultt de l procédure est le dernier résultt clculé. Ici, on écrit une procédure ppelée suite qui clcule u n pour une suite définie pr u 0 = et pr l reltion de récurrence : u n+1 = u n + 1 u n 2. > suite:=proc(,n) locl u; u:=; from 1 to n do u:=(u+1/u)/2 od u end; Qund on écrit une procédure, il importe de bien distinguer : les vribles Mple utilisées et leur sens mthémtique. 52. Exemples de Progrmmes Notons qu ucun des progrmmes donnés ici en exemple n est «protégé» utilistion vec des prmètres non pertinents... contre une muvise 100 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

101 52.1. Un progrmme très simple On v mintennt créer une procédure qui clcule, pour un terme donné u n, le terme suivnt de l suite u n+1 u n + u défini pr : u n+1 = n. 2 On donc deux prmètres : le terme donné de l suite, ppelé u dns l procédure, et. suivnt := proc(u, ) locl v ; v := u ; v := 1/2 v + 1/2 /v ; v end proc Structure lterntive On v écrire une procédure qui clcule, pour une expression usuelle du second degré x 2 + bx + c à coefficients réels, le nombre de ses rcines réelles. On donc trois prmètres,b,c. nbrc := proc(, b, c) locl, n ; := b 2 4 c ; if 0 < then n := 2 else if = 0 then n := 1 else n := 0 end if end if ; n end proc Structure itértive «pour» à nombre de ps connu Ecrivons une procédure qui, pour l même suite qu u 52.1., clcule, en clcul pproché «flottnt», u n pour u 0, n et prmètres donnés, que dns l procédure, on ppeler respctivement : u,n,. suitef := proc(u,, n) locl i, v ; v := evlf(u) ; for i to n do v := suivnt(v, ) end do ; v end proc Structure itértive «tnt que» à nombre de ps inconnu Il s git ici d étudier le comportement des suites définies pr : u 0 = 0.1, et l reltion de récurrence : u n+1 = f (u n ), où f (x) = 4 x(1 x). Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 101

102 Ecrire une procédure de prmètres et n qui clcule u n. suite := proc(, n) locl u ; u :=.1 ; to n do u := 4 u (1 u) end do ; u end proc Ecrire mintennt une procédure qui clcule le premier n tel que u n+1 u n d, de prmètres et d, limitée à 500 itértions en cs de divergence ou de convergence très lente... En sortie, on donner n,u n,u n+1 pour voir s il semble y voir convergence ou non. Mthémtiquement, l observtion de ces suites ne prouve ni leur convergence, ni leur divergence. rng := proc(, d) locl i, u, v ; u :=.1 ; v := 4 u (1 u) ; for i to 500 while d < bs(u v) do u := v ; v := 4 u (1 u) end do ; i, u, v end proc Récurrence sur plusieurs rngs On considère l suite de polynômes définie pr : P 0 (x) = 1 P 1 (x) = x P n+2 (x) = x P n+1 (x) + P n (x) pour n entier nturel Ecrire une procédure de prmètre n, qui clcule de fçon réduite et ordonnée P n. poly := proc(n) locl u, v, w ; u := 1 ; v := x ; from 2 to n do w := expnd(x v + u, x) ; u := v ; v := w end do ; v end proc On remrquer le «from 2» qui trduit simplement le fit que le premier polynôme qu on clcule effectivement est P Un exemple en lgèbre linéire On bien sur déjà chrgé le pckge linlg. On prend ici une mtrice A qui possède 3 vleurs propres simples : 1, 4 et 7. On constitue l suite de vecteurs définie pr un pemier vecteur X 0 et l reltion : X n+1 = A X n A X n. On donc une suite de vecteurs normés, suf éventuellement le premier. Qund cette suite converge, elle converge vers un vecteur propre, correspondnt le plus souvent à l plus grnde vleur propre en vleur bsolue. 102 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

103 On l mtrice A et le vecteur de déprt : A := X := [1, 1, 1] On écrit donc une procédure à 2 prmètres A et X qui clcule l suite X n jusqu à ce que l norme de l différence de 2 vecteurs consécutifs soit ssez petite. Le nombre d itértions est limité et on trville bien sûr en «flottnt». Ce qui donne : vlprop := proc(a, X) locl Y, Z ; Y := evlf(evlm(evl(x))) ; Z := evlf(evlm(a & Y/norm(A & Y, 2))) ; to 30 while < norm(evlm(z Y), 2) do Y := evlm(z) ; Z := evlf(evlm(a & Y/norm(A & Y, 2))) end do; evlf(norm(evlm( & (A, Z)), 2)) end proc On essye cette procédure : > vlprop(a,x); Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 103

104 A B C Index bscisse curviligne 78 ire 44, 50, 69 lgèbre 11 exemples 11 sous-lgèbre 11 ngles 69 nneu 10 exemples 10 sous-nneu 10 ppliction 8 bijective 8 composition des 9 injective 8 réciproque 8 surjective 8 ppliction linéire 18 bijective 19 endomorphisme 18 imge d une 18 imge réciproque d une 18 injective 18 mtrice d une 19 chngement de bse 21 rng 19 ssocitivité 7 utomorphisme 18 brycentre 67 bse d un espce vectoriel 17 bijection 8, 19 binôme (formule du) 12 crdinl 8 cercles dns l espce 82 dns le pln 82 cocyclicité 82 chngement de vrible 46, 48, 51, 53 Chsles (reltion de) 44 coefficients binomiux 12 commuttivité 7 cônes 91 de révolution 93 coniques en polires 83, 85 identifiction 85 continuité 30, 61 contour pprent 91, 92 convergence 56 d une intégrle générlisée 47 d une série de Fourier 59 d une série entière 56 corps 11 exemples 11 courbes centre de symétrie 74 convexité 74 de l espce 81 en crtésiennes 73 en prmétriques 74 en polires 76 D E courbure 78 centre de 79 en prmétriques 79 en polires 79 pour l vleur 0 du prmètre 80 critère d équivlence 47, 54 de comprison 47, 53 de d Alembert 54 des séries lternées 54 croissnces comprées 31 cylindres 90 de révolution 93 cylindriques 51 dérivée d un produit 32 d une composée 32 dérivbilité 32 déterminnt 22, 67, 69 d un produit de mtrices 22 d une mtrice tringulire 22 pr blocs 22 ordre 2 et 3 22 ordre quelconque 22 développement limité 34 digonlisiblilité 23 cond. nécessire et suffisnte 23 condition suffisnte 23 dichotomie 33 distnces 69 diviseur 10 division euclidienne 10, 15 droites de l espce ffine 69 du pln ffine 68 élément inversible 7 neutre 7 ellipses 83 ellipsoïde 87 endomorphisme 18 noyu 23 orthogonl 27 stbilité pr 18 symétrique 25 ensemble 7 de définition 29 fini 8 équtions différentielles ux dérivées prtielles 65 linéires 63 du premier ordre 64 du second ordre 64 non linéires 64 recollement de solutions 63 espce vectoriel 16 bse d un 17 de dimension finie 17 euclidien 25 exemples 17 préhilbertien 25 somme de 16 F G H I somme directe de 16 sous-espce 16 supplémentires 16, 17, 70 fmille génértrice 17 libre 17 fux problème 47 fonction 8 clsse C n 32 continue 30 prmorceux 31 convexe 74 définie pr une intégrle générlisée 48, 49 simple 46 dérivble 32 de plusieurs vribles extrémums 62 en esclier 31 limite d une 30 monotone 29 usuelle 35 vritions d une 30 forme linéire 18 formes indéterminées 31 frctions rtionnelles 15 déc. en éléments simples Frenet (repère de) 78 groupe 9 linéire 27 morphisme de 9 orthogonl 27 sous-groupe 9 homomorphisme 18 hyperboles 85 hyperboloïde à deux nppes 87 à une nppe 87 inéglité dns les intégrles 44 de Schwrz 25, 44, 46 de Tylor-Lgrnge 33 des ccroissements finis 33 tringulire 13, 25 injection 8, 18 intégrle double et triple générlisée simple intégrtion de séries 60 pr prties 46, 48 isométries ffines de l espce 72 du pln 72 vectorielles 104 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing

105 J L M de l espce 71 du pln 71 isomorphisme 18 jcobien 63 limites usuelles 31 loi de composition interne 7 mple chngevr 97 chrpoly 98 collect 95 combine 95 comprisons 94 constntes 94 convert 95 diff 97 disply 99 dsolve 97 eigenvls 98 eigenvects 98 ensemble 96 evl 95 evlb 95 evlm 94, 95 expnd 95 fctor 95 fonctions usuelles 96 for 100, 101 fsolve 97 GrmSchmidt 98 if 99, 101 int 97 intervlle 96 intprts 97 ledterm 96 limit 96 linlg 97 linsolve 97 liste 96 mtrix 98 norm 97 norml 96 opértions sur les mtrices 94 usuelles 94 prfrc 95 plot 98 plot3d 99 proc product 95 series 96 simplify 96 solve 97 sort 95 spcecurve 99 subs 95 sum 95 vector 97 while 100, 101 mtrice de pssge 21 N P Q R jcobienne 62 orthogonle 27 puissnce de 24 symétrique 25 moindres crrés (méthode des) 26 moyenne (formule de) 44 multiple 10 Newton-Rphson (théorème de) 33 nombre premier 10 nombres complexes rcines nèmes 13 crrées 13 norme 17 euclidienne 25 prboles 84 prboloïde elliptique 87 hyperbolique 87 Prsevl (formule de) 59 prtie entière 10, 12 plns de l espce ffine 68 point critique 62 polires 51 polynôme crctéristique 23 divisibilité 14 division euclidienne 15 fctoristion 14 rcines d un 14 scindé 14, 23 primitives existence 44 frction rtionnelle 43 en exponentielle 43 en rdicux 43 trigonométrique 44 polynôme et exponentielle 44 usuelles 44 produit sclire 24, 67 dns une bse orthonormle 25 produit vectoriel 67, 69, 70 projecteur 19, 26, 70 projection orthogonle 26 qudriques équtions réduites 87 identifiction 89 rng 17 théorème du 19 ryon de courbure 78 Rolle (théorème de) 33 rottions vectorielles de l espce 71, 72 S T V du pln 71 séries d intégrles 60 de Fourier coefficients 59 convergence 59 entières 55 57, 60 développements usuels 57 ryon de convergence 56 géométriques 53 numériques somme de 55 Schmidt (procédé de ) 25 Schwrz (théoreme de) 62 semblbles 21 similitude 72 somme de Riemnn 46 sous-espce propre 23 sphériques 52 sphères 82 suite 28 équivlentes 28 djcentes 29 bornée 28 convergente 28 croissnte mjorée 29 et série 28 limite d une 28 récurrente 29 linéire 29 sous-suite 28 vectorielle 28 surfces de révolution 89 pln tngent 80 surjection 8 symétries 70 centrles 71 orthogonles systèmes différentiels 65 utonomes 66 linéires 19 Tylor -Young 33 vec reste intégrl 33 trnsposée 20 tringulristion 23 trigonométrie rc double 42 fonctions réciproques 43 formule de Moivre 43 produits en sommes 42 sommes d rcs 42 sommes en produits 43 symétries 42 trois conditions (théorème des) 46, 48 vleur propre 23 vleurs intermédiires (th. des ) 30 vecteur propre 23 vissge 72 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing 105

106 volume 50, 69 Z zéro d une fonction Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert Tourcoing