Al 4 - Nombres complexes et trigonométrie
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- Gauthier Lajoie
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1 Al 4 - Nombres complexes et trigonométrie 1 Notation algébrique, plan complexe 1.1 Présentation de C Remarque 1 La construction de C n étant pas exigible, on admet l existence d un ensemble contenant R : muni d une addition notée + et d une multiplication notée, ou le plus souvent sans symbole, avec lesquelles on calcule comme dans R, possédant un élément noté i tel que i = 1. Définition 1 1. On appelle nombre complexe toute quantité de la forme z = a + ib où (a, b) R et où i est un nombre complexe tel que i = 1.. Cette forme est appelée forme algébrique (ou cartésienne) de z. 3. a est la partie réelle de z, b est la partie imaginaire de z et on note a = Re (z) et b = Im (z). 4. Si a = Re (z) = 0, on dit que z est un imaginaire pur et on écrit z ir. 5. L ensemble des nombres complexes est noté C. Théorème 1 (z, z ) C, on a : z = z Re (z) = Re (z ) et Im (z) = Im (z ) Remarque Écriture des opérations dans C Soient z = x + iy et z = x + iy deux complexes avec x, x, y, y R. Les opérations sur C s écrivent : z + z = (x + x ) + i (y + y ) z.z = (xx yy ) + i (xy + x y) Le nombre complexe 0 + 0i se note simplement 0. Si z = x + iy est non nul, c est à dire x 0 ou y 0, l inverse de z, noté 1 z, est défini par 1 z = x iy x + y. En particulier, i = 1 donc 1 i = i puis i3 = i et i 4 = 1. On a également la propriété zz = 0 z = 0 ou z = 0 Enfin, contrairement à R, l ensemble C n est muni d aucune relation d ordre et nous ne pourrons pas dire qu un complexe est inférieur à un autre ou encore qu il est positif. 1. Plan complexe Remarque 3 On considère le plan P muni d un repère orthonormé direct (O, e 1, e ). Chaque point M de P est donc désigné par un unique couple de coordonnées (x, y) dans ce repère. Cours PTSI - Jacques Delfaud - Page 1 sur 9
2 Théorème-Définition 1 1. L application qui à z = x + iy, (x, y) R, associe M (x, y) est une bijection de C sur le plan P.. On dit que M est le point image de z, ou encore que z est l affixe de M. On note M (z) pour désigner simultanément M et son affixe z. 3. Le plan P muni de cette correspondance est appelé le plan complexe. 4. Le vecteur OM = x e 1 + y e est appelé vecteur image de z et on dit que z est l affixe de OM. 1.3 Conjugaison Définition Soit z = x + iy, (x, y) R un complexe quelconque. 1. Le nombre complexe z = x iy est appelé le conjugué de z.. On nomme conjugaison l application de C dans C définie par z z Proposition 1 Soient (z, z ) C, n N et z 1, z,..., z n des complexes. 1. z + z = z + z. (z) = z 3. z z = z z ( z ) 4. Si z 0, z = z z 5. n n n n z k = z k et z k = z k et z n = z n k=1 k=1 k=1 k=1 Proposition Pour tout nombre complexe z, on a : Re (z) = z + z et Im (z) = z z i Conséquence 1 Soit z C. Alors : 1. z est réel Im (z) = 0 z = z. z est imaginaire pur Re (z) = 0 z = z Module et distance dans le plan complexe.1 Module d un nombre complexe Définition 3 Soit z = x + iy, (x, y) R un complexe quelconque. Le nombre réel z = x + y est appelé module de z. Proposition 3 1. z C, z z = z (et donc z = z z). z C, 1 z = z z Cours PTSI - Jacques Delfaud - Page sur 9
3 Remarque 4 Si z est réel, le module de z coïncide avec sa valeur absolue. Les notations. dans R (valeur absolue) et dans C (module) sont donc compatibles. Proposition 4 1. (z, z ) C, on a : a. z 0 b. z = 0 z = 0 c. z = z = z d. z z = z z. (z, z ) C C, on a : a. 1 = 1 b. z z z z = z z 3. Pour tous z 1, z,..., z n de C, z 1 z... z n = z 1 z... z n Pour tout z de C et pour tout n de N, z n = z n Proposition 5 (z, z ) C, on a : 1. Re (z) Re (z) z et Im (z) Im (z) z. z + z z + z avec égalité si et seulement si λ R +, z = λz ou z = λz 3. z z z z Proposition 6 Pour tous z 1, z,..., z n de C, on a : z 1 + z z n z 1 + z z n. Distance dans le plan complexe Remarque 5 Interprétation géométrique dans le plan P z = OM où M (z) et O (0). z z = MM où M (z) et M (z ). Inégalité triangulaire dans ABC avec égalité si B [AC] : z + z z + z Remarque 6 Propriétés géométriques liées au module Soient A (a) et B (b) deux points distincts du plan complexe et r R +. Alors l ensemble des points M (z) vérifiant : z a = r est le cercle C de centre A et de rayon r, z a r est le disque fermé de centre A et de rayon r, z a < r est le disque ouvert de centre A et de rayon r, z a = z b est la médiatrice du segment [AB], z a < z b est le demi-plan ouvert délimité par et contenant A. Cours PTSI - Jacques Delfaud - Page 3 sur 9
4 .3 Nombres complexes de module 1 Définition 4 On note U l ensemble des nombres complexes de module 1. On appelle cercle unité (ou encore cercle trigonométrique) le cercle de centre O et de rayon 1 ; il s agit de l ensemble des points M(z) de P tels que z = 1, c est à dire avec z U. Proposition 7 1. Pour z C, on a : z U z = 1 z = 1 z. Si z et z sont dans U alors il en est de même pour z, z z, z z et z n, où n Z. 3 Nombres complexes et trigonométrie circulaire 3.1 Fonction t e it Définition 5 Par définition, on note e it le nombre complexe défini par : e it = cos t + i sin t. Proposition 8 1. x R, e ix = 1, c est à dire e ix U.. z U, x R, z = e ix. 3. x R, e ix = 1 k Z, x = kπ x 0 [π]. Proposition 9 1. (x, y) R, e ix e iy = e i(x+y).. x R, e i(x+π) = e ix. (i.e. t e it est π périodique) 1 3. x R, e ix = e ix = e ix. 4. (x, y) R, e ix = e iy k Z, x = y + kπ x y [π]. 5. x R, n Z, ( e ix) n = e inx. Remarque 7 Valeurs particulières e i0 = 1, e i π = i, e iπ = 1, e i 3π = i, e i π 4 = + i, ei π = + i, ei π 3 6 = + i1 π 1 3 et ei 3 = j = + i. 3. Formules d Euler, linéarisation Proposition 10 x R, on a : cos x = eix + e ix et sin x = eix e ix. i Remarque 8 Ces formules permettent de calculer les puissances entières de cos x et sin x en fonction de quantité du type cos (px) et sin (px), p N. Cette opération est appelé linéarisation. Cours PTSI - Jacques Delfaud - Page 4 sur 9
5 Proposition 11 (α, β) R, on a : 1. e iα + e iβ = cos α β e i α+β. e iα e iβ = i sin α β e i α+β Remarque 9 En particulier, si on pose α = x et β = 0, on obtient : e ix + 1 = cos x ei x et e ix 1 = i sin x ei x Cette proposition permet de retrouver les formules de (Transformation de produit en somme et de somme en produit) 3.3 Formule de De Moivre Proposition 1 x R, n Z, on a : ( e ix ) n = e inx, ou encore (cos x + i sin x) n = cos (nx) + i sin (nx). Remarque 10 Ce résultat permet en développant (cos x + i sin x) n et en identifiant parties réelles et imaginaires d exprimer cos (nx) et sin (nx) en fonction des puissances de cos x et/ou sin x. 4 Forme trigonométrique 4.1 Définition Théorème-Définition Soit z un complexe non nul. 1. Il existe un unique réel ρ > 0 et une unique classe de réels θ modulo π tels que : z = ρe iθ On dit que cette écriture de z est sa forme trigonométrique ou encore sa forme exponentielle ou encore sa forme polaire.. Cette classe de réels modulo π est appelé l argument de z (ou par abus de langage un argument de z) et on note : arg (z) θ [π], ou arg (z) = θ + kπ, k Z Remarque 11 (z, z ) (C ), on a : z = z z = z arg (z) arg (z ) [π] Cours PTSI - Jacques Delfaud - Page 5 sur 9
6 4. Interprétation dans le plan complexe 1. Le réel ρ > 0 est le module de z ; ( ). θ est une mesure de l angle orienté e 1, OM 3. La seule écriture z = ρe iθ ne caractérise pas la forme exponentielle car il faut imposer ρ > On a ρe iθ = 0 pour ρ = 0 et pour tout réel θ. Parler de l argument de z = 0 n a donc pas de sens. 4.3 Forme trigonométrique et forme algébrique 1. Proposition 13 Soit z un complexe non nul écrit sous les deux formes z = x + iy = ρe iθ avec (x, y) R, θ R et ρ > 0. Alors : x = ρ cos θ y = ρ sin θ ρ = x + y cos θ = x et ρ sin θ = y ρ (ce qui détermine θ à π près).. Si par ailleurs, x 0, tan θ = y détermine θ à π près. x z R arg (z) 0 [π] z ir arg (z) π z R + arg (z) 0 [π] [π] et z R arg (z) π [π] Proposition 14 Soient u et v deux complexes non nuls écrits sous forme trigonométrique u = ρe iθ et v = re iα avec ρ > 0 et r > 0. Alors : 1. uv = ρre i(θ+α) qui s écrit aussi uv = u v arg (uv) arg (u) + arg (v) [π].. 1 u = 1 ρ e iθ, u = ρe iθ et v u = r ρ ei(α θ) qui donnent en termes d arguments : arg ( ) 1 ( v arg (u) [π], arg (u) arg (u) [π] et arg arg (v) arg (u) [π]. u u) 3. n Z, u n = ρ n e inθ qui donne en termes d arguments arg (u n ) n arg (u) [π]. 5 Équations du second degré dans C 5.1 Racines carrées d un nombre complexe Remarque 1 Rappel Tout réel strictement positif a possède deux racines carrées qui sont a et a où a désigne la racine positive de a. Le réel 0 ne possède qu une seule racine carrée qui est 0. Définition 6 Soit Z C. On dit que z est une racine carrée de Z si z = Z. Cours PTSI - Jacques Delfaud - Page 6 sur 9
7 Proposition 15 Tout nombre complexe Z non nul admet exactement deux racines carrées. Celles-ci sont opposées. Remarque Si a R alors a = ( a) ( 1) = ae iπ = ( ae i π ) et donc les racines carrées de a sont : ae i π = i a et ae i π = i a.. Attention On ne sait pas privilégier dans C l une des deux racines carrées d un complexe z, contrairement à ce qui se passe lorsque z R + où l on choisit parmi les deux racines carrées de z celle qui est positive que l on note z. Par conséquent : pour z complexe quelconque, la notation z ne peut être utilisée, il faut parler d une racine carrée de z et non pas de la racine carrée de z. Aspect pratique Méthode trigonométrique : Si on dispose la forme trigonométrique de Z, on applique ce qui précède. Méthode algébrique : Posons Z = A + ib. On cherche z = x + iy tel que z = Z. z x y = A x y = A = Z xy = B xy = B x + y = Z = A + B x A + B = + A A + B x = ε + A xy = B A y A + B = A y = ε + B A, avec ε, ε 1, 1} et εε du signe de B. 5. Équations du second degré dans C Proposition 16 Soit E l équation az + bz + c = 0 d inconnue z C avec (a, b, c) C 3 et a 0. On appelle discriminant de E le complexe = b 4ac. 1. Si = 0, E a pour unique solution z 0 = b a.. Si 0, E a deux solutions distinctes z 1 = b + δ a et z = b δ a où δ est une racine carrée de. 6 Racines n-ième d un complexe 6.1 Racines n-ième de l unité Définition 7 Soit n N. On appelle racines n-ième de l unité les solutions dans C de z n = 1. On note U n l ensemble des racines n-ième de l unité. Cours PTSI - Jacques Delfaud - Page 7 sur 9
8 Proposition U n est formé de n complexes distincts qui sont : ω k = e i kπ n avec k [0, n 1]. Si on note ω = ω 1 = e i π n alors, pour tout k de [0, n 1], on a ωk = ω k et en particulier, ω 0 = ω 0 = 1. Autrement dit : U n = 1, ω, ω,..., ω n 1} Exemple 1 Cas particuliers } U 1 = 1}, U = 1, 1}, U 3 = 1, e i π 3, e i 4π 3 = 1, j, j }, U 4 = i, i, 1, 1}. Remarque 14 Pour tout entier n non nul, on a : z n 1 = n 1 k=0 (z ω k ) Proposition 18 Pour tout n, la somme des n racines n ièmes de l unité est nulle : et en particulier, 1 + j + j = 0. n 1 ω k = 0, k=0 Remarque 15 Les points images des racines n-ième de l unité forment n sommets d un polygone régulier convexe inscrit dans le cercle unité, l un de ses sommets étant le point d affixe Racines n-ième d un complexe Définition 8 Soient Z un nombre complexe non nul et n N. On appelle racines n-ième de Z les solutions dans C de z n = Z. Cours PTSI - Jacques Delfaud - Page 8 sur 9
9 Proposition 19 Si Z 0 est une racine n-ième de Z, alors, l ensemble des racines n-ième de Z est : Z 0 ω k, ω k U n } Remarque 16 Pour trouver toutes les racines n-ième de Z, il suffit donc d en exhiber une et de la multiplier par toutes les racines n-ième de l unité. Conséquence Soient Z = ρe iθ avec ρ > 0 la forme trigonométrique de Z et n N. Alors Z possède n racines n-ième distinctes qui sont : Z k = ρ 1 n e i( θ n + kπ n ) avec k [0, n 1] Proposition 0 Les points images M k des racines n-ième Z k de Z forment les n sommets d un polygone régulier convexe inscrit dans le cercle de centre O et de rayon ρ 1 n. 7 Exponentielle complexe 7.1 Définition de e z pour z dans C Définition 9 Soit z = x + iy, (x, y) R un nombre complexe. On pose exp (z) = e z = e x+iy = e x e iy. On définit ainsi une application z e z de C dans C appelée exponentielle complexe. Proposition 1 1. La restriction à R (resp. ir) de z e z est l exponentielle réelle (resp. iθ e iθ définie précédemment).. Pour tout complexe z = x + iy, (x, y) R e z = e x, on a par définition arg (e z. ) y [π] 3. z C, e z = e z. 4. e z = 1 k Z, z = ikπ. 7. Propriétés de l exponentielle complexe Proposition (z, z ) C, on a : 1. e z+z = e z e z. e z 0 et 1 e z = e z 3. (e z ) n = e nz 4. e z = e z k Z, z = z + ikπ z z [iπ] Proposition 3 Pour tout a C, il existe un nombre complexe z tel que e z = a. i.e. la fonction exp est surjective sur C. Cours PTSI - Jacques Delfaud - Page 9 sur 9
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