Cours de Terminale S Lycée Camille Pissarro Sébastien Andrieux

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1 Cours de Terminle S Lycée Cmille Pissrro Sébstien Andrieux 7 juin 204

2 Tble des mtières I Cours de Terminle S 5 Risonnement pr récurrence 6 2 Suites et limites des suites 8 I Suite convergente, suite divergente I. Suite ynt pour limite un réel l I.2 Suites ynt une limite infinie I.3 Lien vec les limites de fonctions I.4 Algorithme de recherche de seuil II Opértions sur les limites II. Limite d une somme II.2 Limite d un produit II.3 Limite d un quotient III Théorèmes de comprison IV Suite de terme générl q n (q réel) IV. Étude de l suite (q n ) IV.2 Appliction V Suites mjorée, minorée, bornée Probbilités conditionnelles 8 I Probbilité conditionnelle II Arbre de probbilité III Formule des probbilités totles IV Indépendnce V Exercices Limites de fonctions. Comportement symptotique. 24 I Limites à l infini I. Premiers exemples I.2 Limites à l infini de fonctions usuelles I.3 Asymptote horizontle II Limite infinie en ( réel) II. Deux exemples de bse II.2 Quelques limites en II.3 Asymptote verticle II.4 Exemple de clcul de limite à droite et à guche d un réel III Limites et opértions III. Limite d une somme III.2 Limite d un produit

3 III.3 Limite d un quotient III.4 Quelques indictions pour lever les indétermintions IV Théorèmes sur les limites de fonctions IV. Limites à l infini des polynômes et frctions rtionnelles IV.2 Limite pr comprison IV.3 Limite d une fonction composée V Continuité, théorème des vleurs intermédiires V. Continuité V.2 Théorème des vleurs intermédiires V.3 Algorithme de dichotomie (voir pge 53) Compléments sur l dérivtion 39 I Dérivées de u et u n II Dérivée d une fonction composée III Exercice L fonction exponentielle 43 I Définition II Propriétés de l fonction exponentielle III Étude de l fontion exponentielle IV Exponentielle d une fonction IV. e u IV.2 Étude des fonctions x e kx, k > IV.3 Étude des fonctions x e kx2, k > Géométrie dns l espce 54 I Positions reltives de droites et plns de l espce I. Positions reltives de deux droites I.2 Positions reltives d une droite et d un pln I.3 Positions reltives de deux plns II Prllélisme dns l espce II. Prllélisme de droites II.2 Prllélisme de plns II.3 Prllélisme d une droite et d un pln III Orthogonlité dns l espce III. Droites orthogonles III.2 Orthogonlité entre une droite et un pln III.3 Pln méditeur de deux points distincts III.4 Plns perpendiculires IV Vecteurs, droites et plns de l espce IV. Droites IV.2 Plns Repérge dns l espce 64 I Repère de l espce I. Distnce dns l espce II Représenttions prmétriques II. Représenttion prmétrique d une droite II.2 Représenttion prmétrique d un pln

4 9 Fonctions trigonométriques 70 I Fonctions cosinus et sinus I. Périodicité I.2 Étude des fonctions cos et sin II Formules de trigonométrie II. Équtions cos(x) =, sin(x) =, R III Complément : l fonction tngente IV Exercices Logrithmes 76 I L fonction logrithme népérien I. Définition I.2 Propriétés I.3 Reltion fonctionnelle I.4 Limites liées à l fonction logrithme népérien II Logrithme d une fonction III Fonction logrithme déciml IV Exercices de logrithmes sur Euler Nombres complexes (ère prtie) 85 I Forme lgébrique d un nombre complexe II Conjugué d un nombre complexe III Éqution du second degré à coefficients réels Clcul intégrl 89 I Intégrle d une fonction positive I. Définition I.2 Méthode des rectngles pour encdrer une intégrle II Primitives d une fonction continue III Recherche de primitives III. Primitives des fonctions usuelles III.2 Opértions sur les primitives IV Intégrle d une fonction continue V Applictions du clcul intégrl V. Clculs d ires V.2 Vleur moyenne Lois de probbilité à densité 0 I Lois de probbilité à densité II Loi uniforme sur [;b] III Loi exponentielle Nombres complexes et géométrie 07 I Affixe, module et rgument I. Représenttion géométrique d un nombre complexe I.2 Module et rgument d un nombre complexe I.3 Forme trigonométrique d un nombre complexe non nul I.4 Propriétés du module et de l rgument II Nottion exponentielle et ppliction

5 5 Produit sclire dns l espce 4 I Produit sclire dns l espce II Applictions du produit sclire III Intersections de droites et de plns III. Intersection d une droite et d un pln III.2 Intersection de deux plns III.3 Plns perpendiculires Lois normles 2 I Introduction : le théorème de Moivre-Lplce II L loi normle centrée réduite II. Définition II.2 Propriétés de l loi normle centrée réduite III Lois normles Échntillonnge et simultion 28 I Rppels des nnées précédentes I. Notion d intervlle de fluctution d une fréquence I.2 Intervlle de fluctution vu en seconde I.3 Intervlle de fluctution ssocié à l loi binomile, ère S II Théorème de Moivre-Lplce III Intervlle de fluctution symptotique III. Détermintion prtique de l intervlle de fluctution u seuil de 95 %32 III.2 Autres seuils possibles IV Prise de décision à prtir d un échntillon V Intervlle de fluctution simplifié VI Estimtion d une proportion II Compléments 36 8 Limites et comportement symptotique 37 I Asymptote oblique II Pln d étude de fonctions III Exercice corrigé : étude d une fonction IV Définitions d une limite Fonctions exponentielles de bse ( > 0 et ) 43 I Définition II Fonction x x vec > III Fonction x x vec 0 < < IV Exercices sur Euler

6 Première prtie Cours de Terminle S 5

7 Chpitre Risonnement pr récurrence Propriété On considère une propriété P(n) qui dépend d un nombre entier nturel n. Soit n 0 un entier nturel. Si l propriété P(n) vérifie les deux conditions suivntes :. Initilistion : P(n 0 ) est vrie; 2. Hérédité : pour tout entier k n 0, si P(k) est vrie lors P(k+) est vrie; Alors l propriété P(n) est vrie pour tout entier n n 0.. L propriété P(n) peut être une églité, une inéglité, une propriété exprimée pr une phrse, etc. 2. L condition d hérédité est une impliction : on montre, pour un entier k n 0, que P(k) P(k +). Une propriété P(n) qui vérifie cette deuxième condition est dite héréditire. (Expliction) Si on P(0) vrie, et pour tout k 0 (P(k) P(k +)), lors : P(0) est vrie et (P(0) P()) donc P() est vrie. P() est vrie et (P() P(2)) donc P(2) est vrie. En poursuivnt de proche en proche ce risonnement, on P(n) vrie pour tout entier n 0. On peut fire l nlogie vec les dominos : si l on renverse le premier domino, et que chque domino, en tombnt, renverse le suivnt, lors tous les dominos tombent. Exemple : Montrons que pour tout n N, 4 n est un multiple de 3. Solution On risonne pr récurrence. Pour n N, on v montrer l propriété P(n) : 4 n est divisible pr 3. Initilistion : P(0) est vérifiée, cr 4 0 = 0 est divisible pr 3. Hérédité : Soit un entier k 0 : Supposons que l propriété P(k) : 4 k est divisible pr 3 est vrie. Montrons P(k +) : 4 k+ est divisible pr 3. 6

8 On : 4 k+ = 4 4 k = 3 4 k } {{ } divisible pr k } {{ } divisible pr 3 (hypothèse de récurrence) Pr somme de nombres divisibles pr 3, 4 k+ est divisible pr 3. Conclusion : l propriété P(n) est vrie pour tout entier n 0. Pr récurrence, on montré que pour tout n N, 4 n est divisible pr 3. Exercice. Montrer que l propriété P(n) : 4 n + est divisible pr 3 est héréditire. 2. Peut-on en conclure que P(n) est vrie pour tout n N? Exercice 2 Montrer que pour tout entier n 3, 2 n > 2n. Exercice 3 Soit u l suite définie pr u 0 = et pour tout n 0, u n+ = 2u n +.. À l ide de l clcultrice, donner u, u 2, u 3, u 4, u 5 et u Conjecturer une expression de u n en fonction de n. 3. Vlider cette conjecture en risonnnt pr récurrence. Exercice 4 Soit u l suite définie pr u 0 = 0 et pour tout n 0, u n+ = u n +5.. Montrer que pour tout n, 0 < u n < Montrer que pour tout n N, u n+ > u n. 3. Que peut-on en déduire? Exercice 5 Soit u l suite définie pr u 0 = 0 et pour tout n 0, u n+ = 2 u n +.. Montrer pr récurrence que pour tout n 0, u n Montrer pr récurrence que l suite (u n ) est décroissnte. Exercice 6 Montrer pr récurrence que pour tout n 0, 4 n 4n+. Exercice 7. Montrer que pour tout entier n, 3 2n 2 n est divisible pr 7. n 2. Montrer que pour tout entier n, j 2 = n(n+)(2n+) Montrer que pour tout entier n, j= n (2j ) = n 2. j= 7

9 Chpitre 2 Suites et limites des suites I Suite convergente, suite divergente I. Suite ynt pour limite un réel l Définition Soient (u n ) une suite numérique et l un nombre réel. On dit que (u n ) dmet pour limite l (ou converge vers l) lorsque tout intervlle ouvert contennt l contient tous les termes de l suite à prtir d un certin rng. On note lors limu n = l. Formultion symbolique : Pour tout ε > 0, il existe N N tel que pour tout n N, u n l < ε. L écriture u n l < ε signifie que l écrt entre u n et l est strictement inférieur à ε. Autrement dit, u n l < ε u n ]l ε;l+ε[ l ε < u n < l+ε Illustrtion : Le grphique ci-dessous représente une suite (u n ) qui converge vers l = 4. En prennt ε = 0.3 > 0, on constte que l inéglité u n l < ε est vérifiée à prtir du rng N = 5. 8

10 l j 0 i n Il est inutile de préciser n + cr c est toujours le cs dns ce chpitre. On note simplement limu n = l pour désigner lim n + u n = l. Propriété ((limites ) ( usuelles) ( ) Les suites, n ), n n k où k est un entier supérieur où égl à convergent vers 0. Démonstrtion On montre que l suite 0 I =] ;[. ( ) converge vers 0. Soit > 0, on considère l intervlle ouvert centré en n Pour tout n >, on 0 < n <, et donc pprtient à I. n L intervlle I contient tous les termes de l suite à prtir d un certin rng. Donc lim n = 0.. Une suite constnte converge vers l vleur de l constnte. 2. Il existe des suites qui ne sont ps convergentes (on dit lors divergentes). Exemple : l suite définie pr u n = ( ) n n ps de limite. Les suites (cosn) et (sinn) n ont ps de limite. Elles sont divergentes. Théorème Si une suite est convergente, s limite est unique. I.2 Suites ynt une limite infinie Définition On dit que l suite (u n ) pour limite + (ou diverge vers + ) si tout intervlle du type [A;+ [ contient tous les termes de l suite à prtir d un certin rng. On note lors limu n = +. On un énoncé nlogue pour un suite qui diverge vers. 9

11 Propriété Les suites ( n 2), ( n), ( n k) où k est un entier supérieur où égl à divergent vers +. I.3 Lien vec les limites de fonctions Théorème (suite définie pr son terme générl) Soit (u n ) une suite définie pr son terme générl u n = f(n) où f est une fonction définie sur un intervlle [M;+ [.. si lim f(x) = l R, lors limu n = l. x + 2. si lim f(x) = +, lors limu n = +. x + 3. si lim f(x) =, lors limu n =. x + On peut donc utiliser les limites en + de fonctions de référence pour déterminer les limites de suites usuelles. I.4 Algorithme de recherche de seuil Recherche de seuil dns le cs d une suite qui diverge vers + Considérons l suite (u n ) définie pr u n = n 2. Il est clir que limu n = +. On cherche le plus petit entier N tel que pour tout n N, n Méthode : on résout l inéqution n Comme n est un entier positif, cel implique n ,3. Le plus petit entier qui convient est donc N = 363. Prfois, on ser confronté à des inéqutions qu on ne sit ps résoudre, et il fudr se tourner vers l méhode 2. Méthode 2 : à l ide d un lgorithme. Début n prend l vleur 0 U prend l vleur n 2 Tnt que U < 0 7, n prend l vleur n+ U prend l vleur n 2 Fin Tnt que Afficher n Fin Le progrmme renvoie 363. Exercice 8 Considérons l suite (u n ) définie pour tout entier n N pr u n = n n.. Montrer que (u n ) est croissnte. 0

12 2. On dmet que limu n = +. Écrire un lgorithme qui renvoie le plus petit entier n 0 tel que pour tout n n 0, u n 0 4 (voir livre pge 4). 3. Progrmmer l lgorithme à l clcultrice et donner l vleur de n 0. Exercice 9 Un verre d eu contient 50 bctéries à l heure n = 0. On dmet que le nombre de bctéries triple toutes les heures. On note (u n ) le nombre de bctéries u bout de n heures (insi, u 0 = 50).. Clculer u, u 2 et u Exprimer u n+ en fonction de u n. 3. Déterminer le nombre de bctéries u bout de 0 heures à l ide de l clcultrice. 4. Utiliser un lgorithme pour déterminer le nombre d heures à prtir duquel il y plus d un billion (0 2, soit 000 millirds) de bctéries. Cs d une suite convergent vers un réel l Exercice 0 Soit ( n ) l suite définie pr son premier terme 0 = 2 et l reltion de récurrence : pour tout n 0, n+ = 2 3 n +3.. Clculer à l min, 2 et 3. Rédiger les clculs. 2. Utiliser l clcultrice pour donner une vleur pprochée de 0, 20, et 30. On rrondir à 0,000 près. 3. Que peut-on conjecturer sur l convergence de l suite ( n )? 4. Écrire un lgorithme qui renvoie le plus petit entier n 0 tel que n0 9 < 0, Progrmmer cet lgorithme à l clcultrice et indiquer l vleur de n 0. II Opértions sur les limites Tous les résultts suivnts sont dmis. Soient (u n ) et (v n ) deux suites convergentes ou divergent vers l infini. l et l sont des nombres réels. II. Limite d une somme Exemple : lim + 2n+ n Si limu n = l l l + + et si limv n = l + + Alors lim(u n +v n ) =. On doit trouver n 0 = 465

13 II.2 Limite d un produit Si limu n = l l > 0 l > 0 l < 0 l < et si limv n = l ou Alors, lim(u n v n ) = Exemple : lim 3n2 n + II.3 Limite d un quotient cs où l limite de (v n ) n est ps nulle Si limu n = l l ou et si limv n = l 0 + l > 0 l < 0 l > 0 l < 0 + Alors lim u n v n = ou cs où l limite de (v n ) est nulle Exemple : 4n lim 3n 2 n ou Si limu n = l > 0 l > 0 l < 0 l < 0 0 ou + ou + ou ou et si limv n = Alors lim u n v n = en restnt en restnt en restnt en restnt positive négtive positive négtive (Récpitultif des formes indéterminées). +, 2. ± 0, , ± 4. ±. Indiction pour lever les indétermintions Trnsformer l écriture, développer ou fctoriser. Mettre en fcteur les plus grndes puissnces de n possibles u numérteur et u dénominteur. et u dénominteur. + 2

14 III Théorèmes de comprison Théorème (théorèmes de comprison). Théorème des gendrmes. Soient (u n ), (v n ) et (w n ) trois suites réelles. Si, à prtir d un certin rng, on u n v n w n, et limu n = l, et limw n = l (l R), lors (v n ) converge vers l. 2. Si, à prtir d un certin rng, u n l v n, vec limv n = 0, lors (u n ) converge vers l. Démonstrtion Théorème des gendrmes. Soit p N tel que pour tout n p, v n u n w n. Soit I =];b[ un intervlle ouvert contennt l. Comme lim n + v n = l, lors à prtir d un certin rnq q, tous les termes de l suite (v n ) sont dns I. De même, à prtir d un certin rng q, tous les termes de l suite (u n ) sont dns I. Posons lors r = mx(p,q,q ). Pour tout n r, on < v n u n w n < b. Donc, à prtir de ce rng r, tous les termes de l suite (u n ) pprtiennent I. Pr définition, l suite (u n ) converge vers l. limu n = l. Exemple : Étudier l convergence des suites : u n = cos(n) n. v n = 3+5 ( )n n 2. Théorème (comprison) Soient (u n ) et (v n ) deux suites vérifint, à prtir d un certin rng, u n v n.. Si limu n = +, lors limv n = Si limv n =, lors limu n = Ces propriétés sont prticulièrement utiles lorsqu on rencontre des cosinus, sinus ou des ( ) n. Démonstrtion (à connître). On suppose qu il existe un rng n tel que pour tout n n, u n v n. Soit A > 0. Comme limu n = +, il existe un entier n 2 tel que pour tout n n 2, u n A. Posons N = mx(n ;n 2 ). Pour tout n N, on A u n v n, et donc v n A. On montré que pour tout A > 0, il existe N N, tel que pour tout n N, v n A. Donc limv n = Il suffit d dpter l démonstrtion du. 3

15 Exemple : étudier l convergence des suites u n = 2n+3sin(n). v n = 2 ( ) n 4n. IV Suite de terme générl q n (q réel) Propriété (inéglité de Bernoulli) Pour tout x > 0, et pour tout n 0, (+x) n +nx. Démonstrtion Soit x > 0. On risonne pr récurrence sur n. Initilistion Pour n = 0, on (+x) 0 = et +0 x =. Donc (+x) 0 +0 x. L inéglité est vrie pour n = 0. Hérédité Soit k 0. Supposons que (+x) k +kx. Montrons l inéglité u rng (k +). (+x) k+ = (+x) k (+x) (+kx)(+x). En effet, le sens de l inéglité est conservé en multiplint pr (+x) > 0. Or, (+kx)(+x) = +(k +)x+kx 2 +(k +)x (cr kx 2 0). On donc (+x) k+ +(k +)x. L propriété est héréditire. Conclusion On montré pr récurrence que pour tout x > 0 et pour tout n N, (+x) n +nx. IV. Étude de l suite (q n ) Distinguons plusieurs cs : Si q = 0. Pour tout n, 0 n = 0, donc (0 n ) tend vers 0. Si q =. Pour tout n, n =, donc ( n ) tend vers. Si q >. D près l inéglité de Bernoulli, q n +n(q ). Comme q > 0, on clirement lim + n(q ) = +, et pr comprison, limq n = +. Si < q <, (et q 0), lors >, donc lim = +. D près les résultts q q n sur les opértions, il vient lim q n = 0. Aynt l inéglité - q n q n q n, on conclut vi le théorème des gendrmes que limq n = 0. Si q, l suite (q n ) prend lterntivement ses vleurs dns [;+ [ et dns ] ; ]. Elle diverge donc et n ps de limite. Théorème Si q >, lors limq n = +. Si q =, lors l suite (q n ) est constnte égle (et converge donc vers ). Si < q <, lors limq n = 0. Si q, lors l suite (q n ) est divergente et n ps de limite. 4

16 Démonstrtion (à connître) Il fut svoir redémontrer que lorsque q >, limq n = +. Cel inclut l inéglité de Bernoulli (que l on peut montrer pr récurrence). IV.2 Appliction Ce résultt permet de clculer l limite éventuelle de l somme des termes d une suite géométrique. Soit x un nombre réel tel que < x <. Considérons l somme S n = +x+x 2 + +x n. On sit que S n = xn+ x. Comme limx n = 0 (cr < x < ), on obtient lims n = x. Propriété Soit x un réel vérifint < x <. Alors, Exemple : + n=0 x n = +x+x 2 + +x n + = x. + n=0 ( ) n = n +... = 2 = 2 V Suites mjorée, minorée, bornée Propriété Si une suite est croissnte et converge vers un réel l, lors elle est mjorée pr l. Démonstrtion On suppose que (u n ) est croissnte et qu elle converge vers l (l R). On risonne pr l bsurde. Si (u n ) n est ps mjorée pr l, il existe un entier p N tel que u p > l. Comme (u n ) est croissnte, pour tout n p, u n u p ( ). Or, pr définition d une suite convergent vers l, tout intervlle ouvert contennt l contient tous les termes de l suite à prtir d un certin rng. En prticulier, l intervlle ]l ;u p [ doit contenir tous les termes de l suite à prtir d un certin rng. Ceci est en contrdiction vec ( ). Donc l hypothèse de déprt (u n ) n est ps mjorée pr l est fusse. Conclusion : (u n ) est mjorée pr l. Théorème Toute suite croissnte mjorée converge. Toute suite décroissnte minorée converge. 5

17 Ce théorème permet de montrer qu une suite converge sns voir à chercher s limite. Attention, en prtique, si (u n ) est croissnte et si pour tout entier n, u n < A, on en déduit que l A (mis surtout ps l < A). Exemple : Pour tout n, u n = n. L suite (u n ) est décroissnte et minorée pr 0 : pour tout n, u n > 0. On peut en déduire que (u n ) converge vers un réel l 0. Dns ce cs simple, on peut clculer l limite, et limu n = 0. Théorème Toute suite croissnte non mjorée diverge vers +. Toute suite décroissnte non minorée diverge vers. Démonstrtion Soit (u n ) une suite croissnte non mjorée. Soit A > 0. Comme (u n ) n est ps mojorée, il existe un entier p tel que u p > A. Comme (u n ) est croissnte, pour tout entier n p, u n u p, et donc u n > A. Pr définition, limu n = +.. Toute suite convergente est bornée. 2. Toute suite croissnte est minorée pr son premier terme. 3. Toute suite décroissnte est mjorée pr son premier terme. Il existe des suites qui divergent vers + et qui ne sont ps croissntes. Exemple : u n = n+4sin(n). Exercice On v démontrer l exemple de cette remrque. Soit u n = n+4sinn.. Montrer que limu n = Montrer que (u n ) n est ps croissnte. Appliction : (retour sur les suites géométriques) Pour tout n, u n = n.. Montrer que pour tout n, u n Montrer que (u n ) est croissnte. 3. En déduire que (u n ) converge et trouver s limite. Appliction 2 : (suite définie pr récurrence) Soit (u n ) l suite définie pr u 0 = et pour tout n 0, u n+ = 2 u n +2.. Étudier l fonction f(x) = x 2 +2 et montrer que f([;4]) [;4]. 6

18 2. Montrer que (u n ) est croissnte mjorée pr Que peut-on en déduire? 4. Notons l = limu n. On dmet que l est un point fixe de f (c est-à-dire une solution de l éqution f(x) = x). Déterminer l vleur de l. 7

19 Chpitre 3 Probbilités conditionnelles I Probbilité conditionnelle Définition Soient A et B deux événements, vec P(A) 0. L probbilité de B schnt que A est rélisé, notée P A (B), est donnée pr On note prfois ussi P(B/A). P A (B) = P(A B). P(A) Les probbilités conditionnelles vérifient les propriétés des probbilités. En prticulier, Propriété Soient A et B deux événements, vec P(A) P A (B). 2. P A (B)+P A (B) =. 3. S il y équiprobbilité sur Ω, P A (B) = nombre d éléments de A B nombre d éléments de A. Lorsqu on clcule P A (B), l ensemble de référence devient A. Exemple : Dns une clsse de terminle de 32 élèves réprtis en 8 filles et 4 grçons, il y 20 élèves en spécilité LV2 Espgnol, dont 8 filles. On choisit l fiche d un élève u hsrd, chque fiche utnt de chnce d être choisie. On note : A : L élève est une fille. B : L élève suit l spécilité LV2 Espgnol.. Clculer P A (B). 2. Clculer P B (A). 8

20 Propriété Soient A et B deux événements, vec P(A) 0. Alors, P(A B) = P(A) P A (B). II Arbre de probbilité Certines situtions fisnt intervenir des probbilités conditionnelles peuvent être représentées pr des rbres pondérés. On plce les événements ux bouts des brnches, et les probbilités sur les brnches. Un chemin est une suite de brnches. Il représente l intersection des événements rencontrés sur ce chemin. Exemple : er niveu 2ème niveu Événement (chemin) Probbilité P(A) P(A) A A P A (B) P A (B) P A (B) P A (B) B B B B A B A B A B A B P(A B) = P(A) P A (B) P(A B) = P(A) P A (B) P(A B) = P(A) P A (B) P(A B) = P(A) P A (B) Propriété. L somme des probbilités des brnches prtnt d un même nœud est. 2. L probbilité d un chemin est le produit des probbilités sur les brnches composnt ce chemin. 3. L probbilité d un événement est l somme des probbilités des chemins conduisnt à cet événement. III Formule des probbilités totles Définition Soient A, A 2,..., A n des événements de probbilités non nulles d un univers Ω. On dit que A, A 2,..., A n forment une prtition de Ω lorsque :. Ω = A A 2 A n, 2. et les événements A, A 2,..., A n sont deux à deux incomptibles (A i A j = pour tous i j). Exemple : 9

21 A A 2 A 3 Ω A, A 2, A 3 forment une prtition de l univers Ω. Soit A un événement de probbilité non nulle. Alors A et A forment une prtition de Ω. Propriété (probbilités totles) Soit A, A 2,..., A n une prtition de Ω. Alors, pour tout événement B, P(B) = P(A B)+P(A 2 B)+ +P(A n B) = P(A ) P A (B)+P(A 2 ) P A2 (B)+ +P(A n ) P An (B) B A A 2 A 3 Ω Soit A un événement de probbilité non nulle. Alors A et A forment une prtition de Ω. dns ce cs, l formule des probbilité totles s écrit : Pour tout événement B, P(B) = P(A B)+P(A B) = P(A) P A (B)+P(A) P A (B) IV Indépendnce Définition Soient A et B deux événements de probbilités non nulles (P(A) 0 et P(B) 0). On dit que A et B sont indépendnts lorsque P B (A) = P(A) ou P A (B) = P(B).. Lorsque P(A) = 0 ou P(B) = 0, on dit que A et B sont indépendnts. 2. Dire que deux événements sont indépendnts signifie que l rélistion de l un n ps d incidence sur l probbilité de l utre : P B (A) = P(A) ou P A (B) = P(B). Conséquence Soient A et B deux événements de probbilités non nulles (P(A) 0 et P(B) 0). A et B sont indépendnts si et seulement si P(A B) = P(A) P(B). 20

22 Ne ps confondre événements incomptibles et indépendnts : A et B incomptibles : A B = (A et B ne peuvent ps être rélisés ensemble) d où P(A B) = 0. AetB indépendnts:p(a B) = P(A) P(B),(nonnulsiP(A) 0etP(B) 0). Exemples : lncer successivement des pièces, des dés, répéter le tirge d un bille dns une urne qui contient toujours le même nombre de billes (tirges vec remise) sont des expériences indépendntes. Propriété Si les événements A et B sont indépendnts, lors :. A et B sont indépendnts; 2. A et B sont indépendnts; 3. A et B sont indépendnts. Démonstrtion (à connître) On v montrer que (A et B indépendnts) (A et B indépendnts). Supposons que A et B soient indépendnts. On peut se limiter u cs où P(B) 0 (si P(B) = 0, le résultt est évident), de sorte que P B (A) et P B (A) soient bien définies. On v montrer que A et B sont indépendnts, soit P B (A) = P(A). On toujours P B (A)+P B (A) =. P B (A) = P B (A) = P(A) = P(A) En effet, comme A et B sont indépendnts, P B (A) = P(A). Donc P B (A) = P(A). Les événements A et B sont indépendnts. Dns le cs de deux événements A et B de probbilités non nulles, l indépendnce peut se lire sur un tbleu d effectifs ou un rbre de probbilités :. Tbleu d effectifs : Lorsque A et B sont indépendnts, le tbleu d effectifs (hors totux) est un tbleu de proportionnlité. P(B) = 3 2 = 4. P A (B) = 4. Donc P(B) = P A(B). A et B sont indépendnts. A A Totl B 2 3 B Totl

23 2. Arbre de probbilité : A et B sont indépendnts ssi P A (B) = P A (B). Autrement dit, on retrouve les mêmes probbilités conduisnt à B sur le 2 e niveu de brnche, que l on prte de A ou de A. p A p p B p A B p Exercice 2 On se propose de démontrer le résultt énoncé dns l remrque précédente : Soient A et B deux événements de probbilités non nulles. A et B sont indépendnts si et seulement si P A (B) = P A (B).. Impliction directe. On suppose que A et B sont indépendnts. Montrer que P A (B) = P A (B). 2. Réciproque. On suppose que P A (B) = P A (B). Montrer que A et B sont indépendnts. p B B V Exercices Exercice 3 On donne l rbre pondéré suivnt. 0,7 B 0,2 0,6 A A 2 0,3 0,9 0, 0, 0,2 B A 3 0,9 B. Montrer que A et B sont indépendnts. 2. Les événements A 2 et B sont-ils indépendnts? 3. Les événements A 3 et B sont-ils indépendnts? Exercice 4 On se propose de démontrer le résultt énoncé dns l remrque précédente : Soient A et B deux événements de probbilités non nulles. A et B sont indépendnts si et seulement si P A (B) = P A (B).. Impliction directe. On suppose que A et B sont indépendnts. Montrer que P A (B) = P A (B). B B B 22

24 p A q q B B B p A B q 2 2. Réciproque. On suppose que P A (B) = P A (B). Montrer que A et B sont indépendnts. q 2 23

25 Chpitre 4 Limites de fonctions. Comportement symptotique. I Limites à l infini I. Premiers exemples On s intéresse u comportement des fonctions f : x x et g : x x3 lorsque x devient très grnd ou très petit. Tbleu de vleurs : x x x x 3 2 x On remrqueque lorsque x devient très grnd, les vleurs de x deviennent très proches de 0. On dit que l fonction x x dmet 0 pour limite en + (ou tend vers 0 en + ). 24

26 On note lim x + x = 0. De même, lorsque x est très grnd, les vleurs de x 3 deviennent très grndes, on dit que l fonction cube dmet + pour limite en +. lim x + x3 = +. Lorsque x tend vers, on : lim x x = 0. lim x x3 =. Définition Soient f une fonction définie u voisinge de + (sur un intervlle [;+ [), et l un nombre réel.. On dit que l limite de f en + est l et on note lim f(x) = l lorsque tout x + intervlle ouvert contennt l contient toutes les vleurs de f(x) dès que x est ssez grnd. 2. lim x + f(x) = + lorsquetoutintervlle ]A;+ [contient touteslesvleursdef(x) dès que x est ssez grnd. 3. lim f(x) = lorsque tout intervlle ] ;B[ contient toutes les vleurs de x + f(x) dès que x est ssez grnd. 25

27 I.2 Limites à l infini de fonctions usuelles fonction crré fonction cube puissnce qutrième f(x) = x 2 f(x) = x 3 f(x) = x 4 fonction inverse fonction rcine crrée fonction identité f(x) = x f(x) = x f(x) = x vleur bsolue f(x) = x 2 f(x) = x f(x) = x 26

28 f(x) D f limite en limite en + x R + x 2 R + + x 3 R + x n, n R + si n est pir + si n est impir x [0;+ [ ps de sens + R 0 0 x x 2 R 0 0 x n R 0 0 x ]0;+ [ ps de sens 0 Certines fonctions n ont ps de limite en + ou en. C est pr exemple le cs de cos et sin qui oscillent sns cesse entre et sns tendre vers une limite réelle. I.3 Asymptote horizontle Dns le cs où lim x + f(x) = l, l tnt un nombre réel, il semble que l courbe de f devienne infiniment proche de l droite horizontle qui pour éqution y = l. l : y = l C f 0 Définition Lorsque lim f(x) = l, (l R) on dit que l droite d éqution y = l est symptote C f x + en +. De même, si lim f(x) = l, on dit que l droite d éqution y = l est symptote C f en x. II Limite infinie en ( réel) Cdre : Soient R et f une fonction qui est définie u voisinge de mis ps en. On se propose de chercher les limites éventuelles de f lorsque x tend vers. 27

29 II. Deux exemples de bse Premier exemple : f(x) = et = 0. x2 Tbleu de vleurs : x f(x) non def C f 0 Il est clir que lorsque x prend des vleurs proches de 0, les vleurs de f(x) deviennent infiniment grndes. Nous dirons donc que f pour limite + lorsque x tend vers 0. Nottion : lim x 0 f(x) = + On observe que lorsque x tend vers 0, l courbe de f devient infiniment proche de l xe des ordonnées (Oy). Nous dirons que (Oy) est symptote C f en 0. Deuxième exemple : f(x) = x et = 0. C f 0. Si x > 0 : lorsque x prenddes vleurs proches de 0 en étnt à droite de 0, les vleurs de f(x) deviennent infiniment grndes. Nous dirons donc que f dmet + comme limite à droite lorsque x tend vers 0. Nottion : lim x 0 x>0 f(x) = + ou bien lim x 0+ f(x) = + 2. Si x < 0 : lorsque x prend des vleurs proches de 0 en étnt à guche de 0, les vleurs de f(x) deviennent infiniment petites. 28

30 De même, nous dirons que f dmet comme limite à guche lorsque x tend vers 0. Nottion : lim x 0 x<0 f(x) = ou bien lim f(x) = x 0 Là encore, lorsque x tend vers 0, l courbe de f devient infiniment proche de l xe des ordonnées (Oy) : (Oy) est symptote C f en 0. Définition Soit f une fonction définie sur un intervlle [ r;[ ou ];+r], vec r > 0.. lim x f(x) = + lorsque tout intervlle ]A;+ [ contient toutes les vleurs de f(x) dès que x est ssez proche de. 2. lim x f(x) = lorsque tout intervlle ] ;B[ contient toutes les vleurs de f(x) dès que x est ssez proche de. II.2 Quelques limites en 0 Théorème. Les fonctions x, x x x2, et x vec n pir ont + pour limite en 0. xn 2. Les fonctions x x, x x3, et x vec n impir ont + pour limite à xn droite en 0, et pour limite à guche en 0. Si l limite d une fonction en existe, lors elle est unique. En prticulier, si f dmet deux limites différentes à droite et à guche en, on considère que f n ps de limite en. Pr exemple, l fonction inverse n ps de limite en 0 cr lim = et lim 0 x 0+ II.3 Asymptote verticle x = + Définition Dès que l on est dns l une des situtions suivntes, on dit que l droite d éqution x = est symptote verticle à C f en : lim f(x) = + ou, x lim f(x) = + ou, x x> lim f(x) = + ou. x x< 29

31 Quelques situtions illustrées : : x = C f C f : x = C f : x = lim f(x) = x lim f(x) = + x + lim f(x) = x lim f(x) = + x (sur les symptotes). Une vleur interdite pour l fonction donne très souvent une symptote verticle pour s courbe. 2. On étudie l position reltive de l courbe et de son symptote uniquement dns le cs des symptotes horizontles ou obliques. II.4 Exemple de clcul de limite à droite et à guche d un réel L méthode est l suivnte :. clculer l limite du numérteur, 2. dresser le tbleu de signe du dénominteur, 3. en déduire l limite du dénominteur. 4. conclure vec les opértions (voir III). Exemple : f(x) = x 5 3 x L fonction f est définie sur R\{3} mis n est ps définie en 3. On peut chercher ses limites à droite et à guche de 3. Au numérteur, lim x 3 x 5 = 3 5 = 2 < 0. Le tbleu de signe de 3 x est : x x + 0 lim 3 x = 0+ x 3 On en déduit, pr quotient, que lim De même, lim 3 x = 0 x 3+ De même, pr quotient, lim x 3 x>3 x 3 x<3 f(x) = +. f(x) =. 30

32 Onpeutendéduirequelcourbedef dmet poursymptote verticle ldroited éqution x = 3. III Limites et opértions Tous les résultts suivnts sont dmis. f et g sont des fonctions qui dmettent une limite en, ( désigne un nombre réel, ou +, ou ). l et l sont des nombres réels. III. Limite d une somme Exemple : lim + 2x+ x Si f pour limite en l l l + + Si g pour limite en l + + Alors f +g pour limite en III.2 Limite d un produit Si f pour limite en l l > 0 l > 0 l < 0 l < Si g pour limite en l Alors f g pour limite en Exemple : lim 3x2 x + III.3 Limite d un quotient cs où l limite de g n est ps nulle ou Si f pour limite en l l ou Si g pour limite en l 0 + l > 0 l < 0 l > 0 l < 0 + ou ou Alors f g pour limite en 3

33 cs où l limite de g est nulle Si f pour limite en l > 0 l > 0 l < 0 l < 0 0 ou + ou + ou ou Si g pour limite en en restnt en restnt en restnt en restnt positive négtive positive négtive Alors f g pour limite en Exemple : lim x + 4 3x2, lim x 0 4 3x 2 (Récpitultif des formes indéterminées) Les 4 formes indéterminées sont donc : +, ± 0, ± ±, et 0 0. Dns tous les utres cs, on peut conclure directement vec les opértions. III.4 Quelques indictions pour lever les indétermintions. Forme indéterminée du type 0 0 : Reconnître l définition du nombre dérivé d une fonction. sinx lim x 0 x, lim cos(x). x 0 x 2. Trnsformer l écriture : développer ou fctoriser. Lorsque x tend vers l infini, mettre en fcteur les plus grndes puissnces de x possibles u numérteur et u dénominteur. 3. Il existe un théorème sur les polynômes et frctions rtionnelles qui s pplique lorsque x ± (voir ci-dessous). IV Théorèmes sur les limites de fonctions IV. Limites à l infini des polynômes et frctions rtionnelles Théorème (Polynômes et frctions rtionnelles). Un polynôme l même limite en + (resp. ) que son terme de plus hut degré. 2. Une frction rtionnelle l même limite en + (resp. ) que le quotient simplifié de ses termes de plus hut degré. Exemples :. P(x) = 3x 5 4x 3 +x 2. Alors limp = lim3x 5 =. 2. f(x) = 2x3 +x 2 +4x 5 5x 4 +3x x 3 2 Alors limf = lim 5x 4 = lim 5x = 0. 32

34 IV.2 Limite pr comprison Dns cette prtie,, b et l peuvent désigner des nombres réels, ou + ou. Théorème. Théorème des gendrmes Si, pour x ssez voisin de, on l encdrement u(x) f(x) v(x), et si u et v ont l même limite l en, lors lim f(x) = l. x 2. Cs d une limite infinie Si, pour x ssez voisin de, on l inéglité u(x) f(x), et si lim u(x) = + lors x lim f(x) = +. x (Énoncé nlogue vec f(x) v(x) et lim x v(x) =, lors lim f(x) = ) x Exemple : Étudier le comportement de x x 2sinx en +. Comme sinx, 2 2sinx 2, et donc f(x) x 2. Or, lim x 2 = +. x + Pr comprison, lim f(x) = +. x + IV.3 Limite d une fonction composée Définition Soient f : I J et g : J R deux fonctions. L fonction g f est lors définie sur I pr : pour tout x I, (g f)(x) = g[f(x)]. Pour que g f soit bien définie, il fut que pour tout x I, f(x) J. Dns g f, l ordre des fonctions son importnce. Exemple : f(x) = x 2 +6, g(x) = 2x+3. Déterminer les expressions de g f et de f g. Comprer. Théorème (limite d une fonction composée) Si lim f(x) = b et si lim g(x) = l, lors lim(g f)(x) = l. x x b x Exemple : Étudier l limite en + de f(x) = x 2 +x+ et g(x) = (Réponses : lim + f = +, lim + g = 2) 2+ 3 x. 33

35 V Continuité, théorème des vleurs intermédiires V. Continuité Définition Soit f une fonction définie sur un intervlle I.. Soit I. On dit que f est continue en lorsque lim x f(x) = f(). 2. On dit que f est continue sur I si elle est continue en tout réel de I. On peut trcer l courbe d une fonction continue sns lever le cryon, lors que c est impossible vec une fonction discontinue. Exemple : L prtie entière d un nombre réel x est le plus grnd entier inférieur ou égl à x. On l note E(x). Pr exemple, E(27,3) = E(π) = E(6) = E( 5,) = L fonction prtie entière n est ps continue sur R (elle est discontinue en tout nombre entier ) Exercice 5 Montrer que l fonction prtie entière n est ps continue en 2. lim E(x) = lim E(x) = x 2 x>2 x 2 x<2 Donc Propriété (dmise) Si f est dérivble sur I, lors f est continue sur I. Corollire Les fonctions polynômes sont continues sur R. Les fonctions frctions rtionnelles (quotient de polynômes) sont continues sur leur ensemble de définition. 34

36 L réciproque de l propriété précédente est fusse : il existe des fonctions qui sont continues en et qui ne sont ps dérivbles en. Pr exemple, l fonction vleur bsolue x x est continue sur R (donc en 0), mis elle n est ps dérivble en Exercice 6 En revennt à l définition du nombre dérivé, montrer que l fonction vleur bsolue n est ps dérivble en 0. { x si x 0 L fonction vleur bsolue est définie pr f(x) = x si x < 0. Théorème (opértions sur les fonctions continues) Soient u et v deux fonctions continues sur un intervlle I.. Les fonctions (u+v), (u v) et u n (n ) sont continues sur I. 2. Les fonctions v et u sont continues sur les intervlles où elles sont définies (lorsque v v(x) 0). 3. L composée de deux fonctions continues est une fonction continue. V.2 Théorème des vleurs intermédiires Théorème (des vleurs intermédiires : TVI) Soit f une fonction continue sur un intervlle [;b]. Alors pour tout k compris entre f() et f(b), il existe u moins un réel c [;b] tel que f(c) = k. f(b) C f k f() 0 c c 2 c 3 b 35

37 Corollire Soit f une fonction continue et strictement monotone sur [; b]. Alors pour tout k compris entre f() et f(b), l éqution f(x) = k dmet une unique solution x 0 dns [;b]. f(b) k C f f() x 0 0 b f() k f(b) C f x 0 0 b. Enprticulier,sif etdérivbleetf > 0sur[;b],lorsf estcontinueetstrictement croissnte sur [, b] et les hypothèses du corollire sont vérifiées. De même les hypothèses du corollire sont vérifiées si f < 0 sur [;b]. 2. On utilise souvent ce corollire vec f() et f(b) de signes contrires. Alors, l éqution f(x) = 0 dmet une unique solution dns [;b]. Exemple détillé : On cherche à étudier l éqution x 3 +3x 7 = 0 sur [;2]. Notons f(x) = x 3 +3x 7.. Étudier les vritions de f sur R. L fonction f est dérivble sur R et pour tout x R : f (x) = 3x 2 +3 > 0. On en déduit que f est strictement croissnte sur [;2]. 2. Montrer que l éqution f(x) = 0 dmet une unique solution α dns [;2]. On remrque que f() = 3 et f(2) = 7. D près le théorème précédent, l éqution f(x) = 0 une unique solution dns [;2]. 3. Utiliser le tbleur de l clcultrice pour déterminer un encdrement de α d mplitude 0 3. Après quelques mnipultions, on obtient sur l clcultrice le tbleu de vleurs suivnt : x f(x)

38 On en déduit que.406 < α <.407. On peut générliser le théorème des vleurs intermédiires et son corollire u cs où f est continue sur un intervlle I non borné [A;+ [, ] ;A], ou ] ;+ [. V.3 Algorithme de dichotomie (voir pge 53) On se plce dns le cs où l on peut ppliquer le corollire du théorème des vleurs intermédiires : l fonction f est continue et strictement monotone sur [;b], vec f() et f(b) de signes contrires (ce qui s écrit f() f(b) < 0). Alors, l éqution f(x) = 0 une unique solution α dns l intervlle [;b]. Pour pprocher cette solution α, l lgorithme de dichotomie consiste à découper l intervlle [;b] en 2 utnt de fois qu il le fut pour tteindre l précision souhitée. À chque étpe, on clcule le nombre m = +b, centre de l intervlle [;b]. 2 Si f() f(m) 0, lors f() et f(m) sont de signes contrires. On en déduit donc que α [;m]. On recommence lors le procédé vec l intervlle [; m]. Sinon, f() et f(m) sont de même signe, donc α [m;b]. On recommence vec l intervlle [m; b]. Illustrtion vec f strictement croissnte sur [; b] : C f C f m b m b f() f(m) 0. Alors α [;m] f() f(m) > 0. Alors α [m;b]. Algorithme renvoynt les bornes et b d un intervlle [; b] ynt une mplitude inférieure à e et contennt α. Sisir, b, e Tnt que b e m prend l vleur +b 2 Si f() f(m) 0 Alors b prend l vleur m Sinon prend l vleur m Fin Si Fin Tnt que 37

39 Afficher et b. Algorithme TI (en entrnt l fonction f dns Y ). : Prompt A,B,E : While B-A E : (A+B)/2 M : If Y (A)*Y (M) 0 : Then : M B : Else : M A : End : End : Disp A,B Attention, on trouve Y dns vr, puis VAR-Y=. Ne ps tper Y. Algorithme Csio (en entrnt l fonction f dns Y ).? A? B? E While B-A E (A+B)/2 M A X Y F M X Y G If F G 0 Then M B Else M A IfEnd WhileEnd A B Pour pprocher l solution de l éqution f(x) = k, on utilise l fonction g définie pr g(x) = f(x) k à l plce de l fonction f. En effet, f(x) = k équivut à g(x) = 0. Exemple : Exercice 20 pge 62. On montre que l éqution x 3 2x 2 +x = dmet une unique solution α dns [;2]. On rentre g(x) = x 3 2x 2 +x dns Y. Pour une vleur pprochée de α à 0,0 près pr défut, on cherche un encdrement d mplitude inférieure à 0,0. On entre donc dns l lgorithme =, b = 2, et e = 0,0. Il renvoie =,75, et b =, Donc,75 < α <,76. Pr défut à 0,0 près, α,75. Attention, il fut prfois entrer une vleur de e inférieure à l mplitude de l encdrement souhité : Pour un encdrement de α d mplitude 0 3, si l on lnce l lgorithme vec e = 0,00, on obtient : =, et b =, Cel ne permet ps de conclure. Avec e = 0,000, =, et b =, Donc,754 < α <,

40 Chpitre 5 Compléments sur l dérivtion I Dérivées de u et u n. Théorème. Si u est une fonction dérivble sur I et si pour tout x I u(x) > 0, lors l fonction u est dérivble sur I et ( u) = u 2 u. 2. Si u est une fonction dérivble sur I, lors pour tout entier n, l fonction u n est dérivble sur I et (u n ) = n u n u, Démonstrtion. Soient I, et h un réel tel que + h I. Le tux d ccroissement de l fonction u entre et +h est : u(+h) u() r(h) = h = ( u(+h) u())( u(+h)+ u()) h( u(+h)+ u()) = u(+h) u() h( u(+h)+ u()) = u(+h) u() h u(+h)+ u() Comme l fonction u est continue en, lim = h 0 u(+h)+ u() u(+h) u() Comme l fonction u est dérivble en, lim = u (). h 0 h Pr produit des limites, u(+h) u() lim = u () h 0 h 2 u(). Donc l fonction u est dérivble en et le nombre dérivé en est 2 u(). u () 2 u(). Lfonction uestdérivbleentoutréeldei elleestdoncdérivblesuri et( u) = u 2 u. 39

41 2. On risonne pr récurrence. Soit u une fonction dérivble sur un intervlle I. On veut montrer l propriété P(n) : Pour tout n, u n est dérivble et (u n ) = nu n u. Initilistion : Pour n =, u = u est dérivble sur I, et (u ) = u. u u = u. Donc P() est vrie. Hérédité : Soit k. On suppose que l propriété P(k) est vrie. Montrons que P(k +) est vrie. L fonction u k+ = u k u est dérivble sur I pr produit de fonctions dérivbles (HR pour u k ). Pr dérivtion d un produit et vec l hypothèse de récurrence, (u k+ ) = (u k u) = (u k ) u+u k u = ku k u u+u k u = k u k u +u k u = (k +)u k u Donc P(k +) est vrie. Pr récurrence, on donc montré que l fonction u n est dérivble pour tout n et (u n ) = nu n u. Exercice 7 Dériver les fonctions suivntes : f(x) = ( 2x+3) 5. g(x) = 3x 9. Si u est une fonction dérivble sur I et qui ne s nnule ps (u(x) 0 sur I), lors formule (u n ) = n u n u est ussi vrie lorsque n est un entier négtif. Tous ces résultts sont des cs prticuliers d une seule et unique propriété : l dérivée d une fonction composée. II Dérivée d une fonction composée Théorème (dmis) Soient u : I J et g : J R des fonctions dérivbles. Alors l fonction f : x g(u(x)) (qui est bien définie) est dérivble sur I et pour tout x I, f (x) = g [u(x)] u (x). L fonction f se note g u (prononcer g rond u ). L formule précédente s écrit : (g u) = (g u) u 40

42 Théorème I J Soient u : une fonction ffine, et v une fonction dérivble sur l intervlle x x+b J. Alors l fonction f définie sur I pr f(x) = v(x+b) est dérivble sur I et pour tout x I, f (x) = v (x+b). Rppelons les formules de dérivées qui utilisent ce théorème : Soit u une fonction dérivble sur I.. Si u ne s nnule ps sur I, ( u 2. Si u > 0 sur I, ( u) = u 2 u. ) = u u Pour tout entier n, (u n ) = nu n v. 4. Si f(x) = u(x+b), lors f (x) = u (x+b). III Exercice Exercice 8 (distnce d un point à une courbe) Soit f l fonction rcine crrée, dont on considère l courbe C dns un repère orthonormé. 3 C 2 M 2 A On considère le point fixe A(4;0), et le point mobile M pprtennt à C et d bscisse x. Ainsi, pour tout x 0, M(x; x). L objectif est de déterminer l vleur de x pour lquelle l distnce AM est minimle.. À l ide d un logiciel de géométrie, que peut-on conjecturer sur le minimum de l distnce AM lorsque x décrit [0;+ [? 2. Soit x 0. Exprimer l distnce AM en fonction de x. On ppelle d cette fonction qui à x ssocie l distnce AM. 3. Étudier les vritions de l fonction d, et démontrer l conjecture précédente. 4. Justifier qu u point M 0 qui rend l distnce AM minimle, l tngente à l courbe de l fonction f est orthogonle u vecteur AM 0. 4

43 Exercice 9 Soit ABC un tringle isocèle en A, de périmètre 20. On pose BC = x vec 0 x 0.. Montrer que l ire du trigle ABC est f(x) = x x, pour 0 x 0. 2.() Étudier les vritions de f sur [0;0]. (b) Pour quelle vleur de f l ire est-elle mximle? Quelle est lors l nture du tringle? (c) Déterminer x tel que l ire du tringle soit 0. 42

44 Chpitre 6 L fonction exponentielle I Définition Propriété (dmise) I J Soient u : une fonction ffine, et v une fonction dérivble sur l intervlle x x+b J. Alors l fonction f définie sur I pr f(x) = v(x+b) est dérivble sur I et pour tout x I, f (x) = v (x+b). Théorème Il existe une unique fonction f dérivble sur R telle que f = f et f(0) =. Démonstrtion (unicité, à connitre) On dmet qu il existe une telle fonction. On montre l unicité.. On montre qu une telle fonction ne s nnule ps sur R. Soit Φ l fonction définie sur R pr Φ(x) = f(x) f( x). Pr produit (et composée), Φ est dérivble sur R. L dérivée de x f( x) est x f ( x). D près l formule de dérivée d un produit, (uv) = u v +uv, pour tout x R, Or, f = f, ce qui donne Φ (x) = f (x) f( x) f(x)f ( x) Φ (x) = f(x) f( x) f(x)f( x) = 0 Comme Φ = 0 sur l intervlle R, l fonction Φ est constnte. Or, f(0) =, donc Φ(0) = f(0) 2 =. Φ est l fonction constnte égle à. Pr suite, pour tout x R, f(x) f( x) =. L fonction f ne s nnule ps sur R. 2. Démonstrtion de l unicité de l fonction f. Considérons une utre fonction g définie et dérivble sur R, telle que g = g et g(0) =. Alors g ne s nnule ps sur R (d près.). 43

45 Pr quotient de fonction dérivbles, l fonction f est dérivble sur R et pour tout x R, g ( ) f (x) = f (x)g(x) g (x)f(x) g [g(x)] 2 = f(x)g(x) g(x)f(x) [g(x)] 2 = 0 On en déduit que l fonction f est constnte sur R. ( ) g f Or, (0) = f(0) g g(0) =. Donc f est l fonction constnte égle à. g Pour tout x R, f(x) = g(x). Conclusion : il existe une unique fonction f dérivble sur R telle que f = f et f(0) =. Définition On ppelle fonction exponentielle et on note exp l unique fonction dérivble sur R, telle que f = f et f(0) =. Propriété. L fonction exponentielle est continue et dérivble sur R. 2. Pour tout x R, exp (x) = exp(x). 3. exp(0) =. On rppelle que toute fonction dérivble sur R est continue sur R. 2. On montré u cours de l démonstrtion du théorème que l fonction exponentielle ne s nnule ps sur R. Propriété (reltion fonctionnelle) Pour tous réels et b, exp(+b) = exp() exp(b). Démonstrtion Soient et b deux réels. Posons g(x) = f(+b x) f(x) où f est l fonction exponentielle. L fonction x f(+b x) pour dérivée x f (+b x) = f(+b x). Pr produit de fonctions dérivbles, g est dérivble sur R. Pour tout x R, g (x) = f (+b x)f(x)+f(+b x)f (x) = f(+b x)f(x)+f(+b x)f(x) = 0 Donc g est constnte sur R. g(0) = f(+b)f(0) = f(+b). g(b) = (+b b)f(b) = f() f(b). Comme g est constnte, g(0) = g(b), soit f(+b) = f() f(b). Conclusion : pour tous réels et b, exp(+b) = exp() exp(b). 44

46 Propriété. L fonction exponentielle est strictement positive : pour tout R, exp() > L fonction exponentielle est strictement croissnte sur R. Démonstrtion. Première méthode : Pr définition, l fonction exp est continue (cr dérivble) sur R, vec exp(0) =. Or, on vu que l fonction exp ne peut ps s nnuler sur R (voir l démonstrtion de l unicité). Donc pour tout x R, exp(x) > 0. Deuxième méthode : Soit R, = ( exp() = exp 2 + ( 2) ( = exp exp 2) 2) [ ( )] 2 = exp 0. 2 Donc exp() 0. Or, on vu que l fonction exp ne peut ps s nnuler (voir l démonstrtion de l unicité du premier théorème, première prtie). Donc exp() > Pour tout x R, exp (x) = exp(x) et exp(x) > 0, donc l fonction exponentielle est strictement croissnte sur R. II Propriétés de l fonction exponentielle Propriété Pour tous réels et b,. exp( ) = exp() 2. exp( b) = exp() exp(b) 3. pour tout entier n Z, exp(n) = (exp()) n Démonstrtion Soit R.. exp( ) exp() = exp( +) = exp(0) =. De plus, l fonction exponentielle ne s nnule ps sur R. Donc exp( ) = exp(). 2. On en déduit que exp( b) = exp() exp(b) = exp() exp(b). 3. Démonstrtion pr récurrence. Soit R. On veut montrer l propriété P(n) : pour tout entier n 0, exp(n) = 45

47 (exp()) n. Initilistion Pour n = 0, exp(0 ) = exp(0) =, et (exp()) 0 =. Donc P(0) est vrie. Hérédité Soit k 0. On suppose que P(k) est vrie : exp(k) = (exp()) k. Montrons P(k +). exp((k +)) = exp(k+) = exp(k) exp() = (exp()) k exp() = (exp()) k+ Donc L propriété est vrie u rng k +. Conclusion Pr récurrence, on montré que pour tout entier n 0, exp(n) = (exp()) n. Soit mintennt n un entier négtif, lors n > 0, et donc exp(n) = exp( n) = (exp()) n = (exp()) n Donc pour tout entier reltif n (n Z), exp(n) = (exp()) n. Définition L imge de pr l fonction exponentielle se note e, c est-à-dire exp() = e. e D près l propriété ci-dessus, pour tout entier n, On générlise cette écriture à tout réel x. exp(n) = exp( n) = [exp()] n = e n Définition (Nottion) Pour tout x réel, on note e x l imge de x pr l fonction exponentielle : exp(x) = e x. Avec l nouvelle nottion, les propriétés déjà vues s écrivent 46

48 Propriété. L fonction x e x est dérivble sur R, et s dérivée est elle-même. 2. e 0 =. 3. Pour tout x R, e x > Pour tous réels et b, et pour tout entier reltif n : () e +b = e e b. (b) e = e. (c) e b = e e b. (d) (e ) n = e n. Théorème (éqution et inéqution) Pour tous réels et b,. e = e b équivut à = b. 2. e < e b équivut à < b. Démonstrtion. Si = b, lors e = e b. Réciproquement, si e = e b, lors e e b =, soit e b =. Or, l fonction exponentielle est strictement croissnte sur R, vec e 0 =. Donc b = 0. En effet, si on vit b < 0, on urit e b < e 0, ce qui n est ps. De même, si on vit b > 0, on urit e b > e 0, ce qui n est ps. Donc b = 0, = b. 2. Si < b, lors, comme l fonction exponentielle est strictement croissnte sur R, e < e b. Réciproquement, supposons que e < e b. Si on vit b, toujours vi l croissnce de l fonction exponentielle sur R, on urit e e b, contrdiction. Donc < b. Exercice 20 Appliction à l résolution d équtions et d inéqutions : Résoudre dns R e 2x+ < e 3x 3. Résoudre de même e (x2) < e 4. III Étude de l fontion exponentielle Propriété. lim x + ex = lim x ex = 0. 47

49 Démonstrtion (à connître). Limite en +. Posons f(x) = e x x. L fonction f est dérivble sur R, et f (x) = e x. Comme e 0 = et l fonction exponentielle est croissntesur R, il s ensuit que f (x) = e x est positif pour tout x 0. Donc f est croissnte sur [0;+ [. f(0) = e 0 0 = 0 = > 0. x 0 + f (x) 0 + f(x) Donc pour tout x 0, f(x). A fortiori, pour tout x 0, f(x) 0, soit e x x. Comme lim x = +, on peut conclure, pr comprison, que lim x + x + ex = Limite en. Posons Y = x, lorsque x tend vers, Y tend vers +. On lors x = Y. lim x ex = lim Y + e Y = lim = 0, cr lim Y + ey Y + ey = +. On vu que l fonction exponentielle est strictement croissnte sur R. x 0 + exp + + exp 0 + Courbe représenttive 48

50 6 5 4 C exp 3 e 2 j i Comme lim x ex = 0, l xe des bscisses (d éqution y = 0) est symptote horizontle à l courbe de x e x en. -4 Théorème (Quelques limites importntes) e x. lim x + x = lim x xex = 0. e x 3. lim =. x 0 x Démonstrtion e x. Montrons lim x + x = +. Soit f l fonction définie sur [0;+ [ pr f(x) = e x x2 2. Les fonctions f et f sont dérivbles, et on f (x) = e x x et f (x) = e x. Or, on vu que pour tout x 0, e x (l fonction exp est croissnte sur R et e 0 = ). Donc pour tout x 0, f (x) 0. Pr conséquent, f est croissnte sur [0;+ [. Comme f (0) = e 0 0 =, il est clir que pour tout x 0, f (x) 0. Donc f est croissnte sur [0;+ [. 49

51 Or, f(0) = e =, on montré que pour tout x 0, f (x) > 0. x 0 + signe de f + vritions de f signe de f + vritions de f Ainsi, pour tout x > 0, e x > x2 2. Comme x > 0, cel s écrit ussi ex x > x 2. x De plus, lim x + 2 = +. Donc, pr comprison de limites, on en déduit que lim x + 2. Montrons lim x xex = 0. Pour tout x R, xe x = x e x. Si x tend vers, Y = x tend vers +. Pr composée de limites, lim x xex = lim x x = lim e x Y Y + e Y = 0. e x x En effet, on vient de montrer lim x + e x 3. Montrons lim =. x 0 = +, et donc lim x + x L fonction exponentielle est dérivble sur R, et exp = exp. Elle est donc dérivble en prticulier en 0. Le nombre dérivé de l fonction x e x en 0 est e 0 =. e x x = +. x e x = 0. e x Pr définition du nombre dérivé, lim =. x 0 x IV Exponentielle d une fonction IV. e u Dns ce prgrphe, u est une fonction définie sur un intervlle I, et on considère l fonction e u (fonction composée exp u), qui, à tout réel x de I ssocie le réel (positif) e u(x). Exemple : f(x) = e 3x 5, où u(x) = 3x 5. e u : I R x e u(x) 50

52 Théorème (Dérivée de e u ) Si u est dérivble sur I, lors e u est dérivble sur I et (e u ) = u e u. En prticulier, si u(x) = x+b (fonction ffine) (e x+b ) = e x+b. Conséquence (sens de vrition) Soit u une fonction dérivble sur un intervlle I. Alors u et e u ont le même sens de vrition sur I. Démonstrtion Comme (e u ) = u e u et que pour tout x I, e u(x) > 0, il est clir que (e u ) et u ont le même signe. Exercice 2 Dériver les fonctions : f(x) = e 2x+ +2. g(x) = 5e x2 +. Théorème (limites de e u ) désigne un nombre réel ou + ou. Soit u une fonction définie u voisinge de. Si lim u(x) = + lors lim e u(x) = +. x x Si lim u(x) = lors lim e u(x) = 0. x x IV.2 Étude des fonctions x e kx, k > 0 Soit k > 0. Posons f k (x) = e kx. L fonction f k est définie sur R.. Signe Une exponentielle est toujours strictement positive. Pour tout x R, e kx > Vritions Prcomposéedefonctionsdérivbles,f k estdérivblesurretf k (x) = ke kx < 0 (cr k > 0). Donc f k est strictement décroissnte sur R. 3. Limites kx = +. lim x lim X + ex = +. Pr composée, lim f k(x) = +. x lim kx =. x + lim X ex = 0. Pr composée, lim f k(x) = 0. x + 5

53 4. Tbleu de vrition x + f k (x) f k (x) Courbe représenttive 6 5 C j i : f k (0) = e 0 =. Comme lim x + f k(x) = 0, l xe des bscisses est symptote horizontle à l courbe de l fonction f k. IV.3 Étude des fonctions x e kx2, k > 0 Soit k > 0. Posons g k (x) = e kx2. L fonction g k est définie sur R.. Signe Une exponentielle est toujours strictement positive. Pour tout x R, e kx2 > Vritions Pr composée de fonctions dérivbles, g k est dérivble sur R et g k (x) = 2kxe kx2. Donc g k le même signe que 2kx (soit le signe contrire de x). x 0 + g k (x) + 0 L fonction g k est strictement croissnte sur ] ;0] et strictement décroissnte sur [0;+ [. Elle dmet un mximum en 0. 52

54 3. Limites lim x kx2 =. lim X ex = 0. Pr composée, lim x g k(x) = 0. lim x + kx2 =. lim X ex = 0. Pr composée, lim g k(x) = 0. x + 4. Tbleu de vrition g k (0) = e 0 =. x 0 + g k (x) + 0 g k (x) Courbe représenttive 2 j i C : -. Comme lim x ± g k(x) = 0, l xe des bscisses est symptote horizontle à l courbe de l fonction g k en + et en. 2. Pour tout x R, g k ( x) = g k (x) (l fonction g k est pire). Cel se trduit grphiquement pr le fit que l courbe de g k est symétrique pr rpport à l xe des ordonnées. 53

55 Chpitre 7 Géométrie dns l espce I Positions reltives de droites et plns de l espce I. Positions reltives de deux droites Propriété Deux droites de l espce sont soit coplnires, soit non coplnires. d et d 2 sont coplnires (dns un même pln) d et d 2 sont prllèles d et d 2 sécntes strictement prllèles d d 2 d confondues d d 2 d 2 A d et d 2 non coplnires d 2 d d 2 = d d 2 = d d d 2 = {A} d d 2 = d I.2 Positions reltives d une droite et d un pln Définition Une droite est prllèle à un pln si elle est prllèle à une droite de ce pln. Propriété Une droite et un pln de l espce sont soit prllèles, soit sécnts. 54

56 d et P sont prllèles d et P strictement prllèles d est incluse dns P d d et P sont sécnts d P d P A P d P = d P = d d P = {A} I.3 Positions reltives de deux plns Propriété Deux plns de l espce sont soit prllèles, soit sécnts. P 2 Les plns P et P 2 sont prllèles P et P 2 strictement prllèles P et P 2 confondus P et P 2 sont sécnts P 2 P P P P P 2 = P P 2 = P P P 2 = d d Exercice 22 Soit un cube ABCDEFGH. On note J le centre de l fce (BCGF), K le centre de l fce (CDHG), et I le milieu de [AB]. Étudier les positions reltives des droites : (KJ) et (DB) (AE) et (IF) (AB) et (FC) F E G H J K B I A C D 55

57 II Prllélisme dns l espce II. Prllélisme de droites Propriété. Si deux droites sont prllèles, lors toute droite prllèle à l une est prllèle à l utre. 2. Si deux droites sont prllèles, lors tout pln qui coupe l une coupe l utre. d d 2 P A B II.2 Prllélisme de plns Propriété (dmise). Si deux plns sont prllèles, lors tout pln prllèle à l un est prllèle à l utre. 2. Soient P et P 2 deux plns prllèles. Si R est une pln sécnt vec P, lors R est ussi sécnt vec P 2, et les droites d intersection de R vec P et P 2 sont prllèles. R P 2 P II.3 Prllélisme d une droite et d un pln Théorème (théorème du toit) Si les droites d et d 2 sont prllèles, d est contenue dns P, d 2 est contenue dns P 2, les plns P et P 2 sont sécnts suivnt une droite, lors, l droite d intersection de P et P 2 est prllèle à d et à d 2. 56

58 d 2 d Conséquence Si une droite est prllèle à deux plns sécnts, lors elle est prllèle à l droite d intersection des deux plns. Démonstrtion Les plns P et P 2 sont sécnts suivnt une droite. d est une droite de P et d 2 est une droite de P 2. Les droites d et d 2 sont prllèles. On veut montrer que est prllèle à d et à d 2. Notons u un vecteur directeur de et v un vecteur directeur de d et d 2. On risonne pr l bsurde. Supposons que et d ne soient ps prllèles. Alors u et v sont deux vecteurs non colinéires du pln P. Donc u et v sont deux vecteurs directeurs du pln P. De même, et d 2 ne sont ps prllèles. Donc u et v sont ussi deux vecteurs directeurs du pln P 2. Comme les plns P et P 2 ont des vecteurs directeurs communs, ils sont prllèles, ce qui est contrdiction vec les données. Donc et d sont prllèles. est prllèle à d et à d 2. III Orthogonlité dns l espce III. Droites orthogonles Définition On dit que deux droites de l espce sont orthogonles si leurs prllèles respectives menées pr un même point sont perpendiculires. Deux droites perpendiculires sont à l fois orthogonles et sécntes. Propriété Si deux droites sont prllèles, lors toute droite orthogonle à l une est orthogonle à l utre. III.2 Orthogonlité entre une droite et un pln Définition Une droite est perpendiculire à un pln si elle est orthogonle à deux droites sécntes de ce pln. 57

59 Théorème Une droite est perpendiculire à un pln si et seulement si elle est orthogonle à toutes les droites de ce pln. P d 2 d d Démonstrtion (à connître) On montre l équivlence suivnte : Une droite est perpendiculire à un pln si et seulement si elle est orthogonle à toutes les droites de pln. L démonstrtion utilise le produit sclire.. Impliction directe : Si une droite est orthogonle à deux droites sécntes d un pln, lors elle est orthogonle à toutes les droites de ce pln. Soient d et d 2 deux droites sécntes d un pln P, et une droite orthogonle à d et à d 2. Considérons des vecteurs directeurs u de d, u 2 de d 2 et v de. Comme d, on v u, et donc v u = 0. De même, d 2, d où v u 2, et donc v u 2 = 0. Comme d et d 2 sont sécntesdns P, les vecteurs u et u 2 sont des vecteurs non colinéires de P. Autrement dit ( u ; u 2 ) est une bse de P (fmille de vecteurs directeurs). Soit d une droite quelconque de P, montrons que d. Considérons w un vecteur directeur de d (donc w 0 ). Comme w, u et u 2 sont coplnires, w peut s écrire comme une combinison linéire de u et de u 2 : Alors, pr linérité du produit sclire, Il existe des réels et b tels que w = u +b u 2. v w = v ( u +b u 2 ) = v u +b v u 2 = 0+b 0 = 0 Ainsi, v w. Comme les doites et d ont des vecteurs directeurs orthogonux, elles sont orthogonles. d. 2. Réciproque : Si une droite est orthogonle à toutes les droites d un pln, lors elle est orthogonle à deux droites sécntes de ce pln. Cette réciproque est évidente. Pour montrer que deux droites sont orthogonles, on peut montrer que l une est orthogonle à un pln contennt l utre. 58

60 Propriété. Il existe une unique droite pssnt pr un point A donné et perpendiculire à un pln donné. 2. Il existe un unique pln perpendiculire à une droite donnée et pssnt pr un point donné. 3. Si deux droites sont perpendiculires à un même pln, lors elles sont prllèles entre elles. 4. Si deux droites sont prllèles, tout pln perpendiculire à l une est perpendiculire à l utre. 5. Si deux plns sont prllèles, toute droite perpendiculire à l un est perpendiculire à l utre. d 2 d d P A B P 2 P III.3 Pln méditeur de deux points distincts Définition Soient A et B deux points distincts de l espce. Le pln méditeur d un segment [AB] est le pln pssnt pr le milieu I de [AB] et perpendiculire à l droite (AB). A P I B Propriété Le pln méditeur du segment [AB] est l ensemble des points équidistnts de A et de B. C est l extension à l espce de l méditrice d un segment dns le pln. Exercice 23 (Étude du tétrèdre régulier) On considère un tétrèdre régulier ABCD (les rêtes sont toutes de même longueur). On note I le milieu de [CD] et J le milieu de [AB].. Montrer que (AB) (CD) : () sns utiliser l notion de pln méditeur, 59

61 (b) en utilisnt un pln méditeur. 2. Montrer que (IJ) est l perpendiculire commune ux droites (AB) et (CD). 3. Qu -t-on montré u cours de cet exercice? Si deux droites d et d 2 sont non coplnires, lors il existe une unique perpendiculire commune à d et d 2. III.4 Plns perpendiculires L orthogonlité entre deux plns n est ps u progrmme de Terminle S. Définition Deux plns sont perpendiculires si l un contient une droite orthogonle à l utre. Exemple : Dns le cube ci-contre, l droite (CG) est perpendiculire u pln (ABCD). Tout pln contennt l droite (CG) est un pln orthogonl u pln (ABCD). En prticulier, les plns (HGCD) et (ABCD) sont orthogonux (mis ussi (EGCA) et (ABCD)). F E G H B A C D IV Vecteurs, droites et plns de l espce IV. Droites Définition (Rppel). Deux vecteurs non nuls u et v sont colinéires s il existe k R tel que v = k u. On considère que le vecteur nul est colinéire à tout vecteur. 2. Les points A, B et C sont lignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéires. 3. Les droites (AB) et (CD) sont prllèles (A B et C D) si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéires. 60

62 Conséquence (Crctéristion d une droite) Soient A et B deux points distincts de l espce. L droite (AB) est l ensemble des points M pour lesquels il existe k R tel que : AM = k AB M 2 A B M IV.2 Plns Définition Soient A, B et C trois points non lignés. Le pln (ABC) est l ensemble des points M pour lesquels il existe des réels x et y tels que AM = x AB +yac. C M P A B x AB y AC Pour définir un pln, il suffit de donner : trois points non lignés A, B et C, ou un point A et deux vecteurs u et v non colinéires. On dit lors que ( u; v ) est un couple de vecteurs directeurs du pln. Définition Des vecteurs sont coplnires si et seulement si leurs représentnts, de même origine A, ont leurs extrémités dns un même pln pssnt pr A.. Deux vecteurs sont toujours coplnires. 2. Reformultion pour trois vecteurs : Les vecteurs u, v et w sont coplnires lorsque les points A, B, C et D tels que u = AB, v = AC et w = AD sont coplnires (c est-à-dire dns un même pln). 6

63 Propriété. Trois vecteurs u, v et w sont coplnires si et seulement si il existe un triplet de réels (,b,c) (0;0;0) tel que u +b v +c w = u, v et w sont non coplnires si et seulement si le seul triplet de réels (,b,c) tel que u +b v +c w = 0 est le triplet (0,0,0). Propriété (Méthode utile en exercice) Soient u et v deuxvecteursnoncolinéires. Alorslesvecteurs u, v et w sontcoplnires si et seulement si il existe des réels x et y tels que w = x u +y v.. Dns l propriété précédente, lorsque u, v et w sont coplnires, le couple de réels (x;y) est unique. 2. Deux plns dirigés pr un même couple de vecteurs non colinéires sont prllèles.. Quelques évidences : Deux points sont toujours lignés. Trois points, deux vecteurs sont toujours coplnires. Trois vecteurs, dont deux sont colinéires, sont toujours coplnires. 2. Tout vecteur de l espce peut s écrire comme combinison linéire de 3 vecteurs non coplnires, et l décomposition est unique. Autrement dit Soient i, j et k 3 vecteurs non coplnires de l espce. Aors, pour tout vecteur U, il existe un unique triplet de réels (x;y;z) tel que U = x i +y j +z k Propriété. Une droite D est prllèle à un pln P si et seulement si un vecteur directeur de D est contenu dns P. 2. Deux plns P et P sont prllèles si et seulement si deux vecteurs non colinéires de P sont respectivement égux à deux vecteurs du pln P. Autre formultion : Sideuxdroitessécntes d unplnp sontrespectivementprllèles àdeuxdroites(sécntes) d un pln P 2, lors les plns P et P 2 sont prllèles. 62

64 P 2 2 d 2 P d 63

65 Chpitre 8 Repérge dns l espce I Repère de l espce Propriété Soient i, j, et k trois vecteurs non coplnires de l espce. Pourtoutvecteur u,ilexisteununiquetriplet(x;y;z)deréelstelque u = x i +y j +z k. Démonstrtion. Existence. Soient O et A deux points tels que u = OA. L droite pssnt pr A dirigée pr k coupe le pln (O, i ; j ) en un point H. Comme H et O sontdnsle pln(o; i ; j ), ilexiste desréelsx, y tels que OH = x i +y j. Comme A et H pprtiennent à l droite (dirigée pr k ), il existe un réel z tel que HA = z k. u = OA = OH + HA = x i +y j +z k 2. Unicité. Considérons deux combinisons linéires d un même vecteur u : u = x i +y j +z k = x i +y j +z k. Pr soustrction, on lors (x x ) i +(y y ) j +(z z ) k = 0. Comme les vecteurs i, j, et k ne sont ps coplnires, on en déduit que x x = 0 y y = 0, d où (x = x, y = y, et z = z ). z z = 0 L décomposition de u suivnt les vecteurs i, j et k est unique. (vocbulire) Si i, j et ( i ) k sont non coplnires, on dit que ; j ; k Le triplet (x;y;z) est le triplet des coordonnées de u dns l bse est une bse de l espce. ( i ) ; j ; k. 64

66 Définition ( Un repère de l espce est un qudruplet O; i ; j ; ) k où O est un point, et i, ( i ) j, et k sont trois vecteurs non coplnires de l espce ( ; j ; k une bse). ( Le repère O; i ; j ; ) k est orthonormé si les vecteurs de bse sont de norme et orthogonux deux à deux ( i j, i k, et j k ). Définition Dns le repère ( O; i ; j ; ) k, les coordonnées d un point M de l espce sont l unique triplet de réels (x;y;z) tels que : OM = x i +y j +z k, c est-à-dire que M les mêmes coordonnées que le vecteur OM. On dit que x est l bscisse de M, y son ordonnée et z s cote (sns ccent). Propriété x x Soient u y et v y z z deux vecteurs dns un un repère. u = v si et seulement si (x = x, y = y et z = z ). x+x 2. Le vecteur u + v pour coordonnées u + v y +y. z +z kx 3. Pour tout k R, le vecteur k u pour coordonnées k u ky. ( O; i ; j ; ) k de l espce. kz Propriété Soient A et B deux points donnés pr leurs coordonnées A(x A ;y A ;z A ) et B(x B ;y B ;z B ) ( dns le repère O; i ; j ; ) k. Alors :. Le vecteur AB pour coordonnées : x B x A AB y B y A. z B z A 2. Le milieu du segment [AB] pour coordonnées : ( xa +x B ; y A +y B ; z ) A +z B

67 I. Distnce dns l espce Théorème ( Soit O; i ; j ; ) k un repère orthonormé de l espce. L norme du vecteur u(x;y;z) est : u = x 2 +y 2 +z 2. Conséquence (distnce entre deux points) Dns un repère orthonormé, AB = (x B x A ) 2 +(y B y A ) 2 +(z B z A ) 2. Exemple : Soient A(;3; ), B(3;6; 2) et C(0;4;0). Quelle est l nture du tringle ABC? Appliction : Déterminer une éqution de l sphère S de centre Ω(;2; ) et de ryon 3. M S si et seulement si ΩM = 3. (x ) 2 +(y 2) 2 +(z +) 2 = 3 (x ) 2 +(y 2) 2 +(z +) 2 = 9 Propriété (Éqution d une sphère) Dns un repère orthonormé, l sphère de centre Ω(;b;c) et de ryon r pour éqution : (x ) 2 +(y b) 2 +(z c) 2 = r 2 Démonstrtion M S ssi ΩM = r. Comme c est une églité entre deux nombres positifs, cel équivut encore à ΩM 2 = r 2. En pssnt ux coordonnées, (x ) 2 +(y b) 2 +(z c) 2 = r 2. 66

68 II Représenttions prmétriques II. Représenttion prmétrique d une droite Définition (et théorème) Soient A(x A ;y A ;z A ) un point et u b un vecteur non nul. c L droite D pssnt pr A et dirigée pr u est l ensemble des points M(x;y;z) pour lesquels il existe un réel t tel que : x = x A +t y = y A +tb z = z A +tc Ce dernier système est ppelé une éqution prmétrique de l droite D. Le réel t s ppelle le prmètre. Démonstrtion M(x;y;z) D ssi AM et u sont colinéires. Donc M D si et seulement s il existe t R tel que AM = t u. or, AM D où x x A y y A z z A x x A = t y y A = tb z z A = tc, et t u, et donc t tb tc. x = x A +t y = y A +tb z = z A +tc. t = 3/2 M 2 t = t = 0 u B A t = 3 M. À tout réel t, il correspondununiquepoint surl droite D (pr exemple, le point de prmètre t = 0 est A), et réciproquement à chque point de l droite correspond une seule vleur de t. 2. Il existe une infinité d équtions prmétriques pour une même droite (ni le point A, ni le vecteur directeur u ne sont uniques). 3. Il est possible de prmétrer des prties de droite. x = x A +t Pr exemple, vec les nottions précédentes, y = y A +tb, t [0;] est une z = z A +tc représenttion du segment [AB] où B est le point de prmètre. 67

69 x = x A +t Le sytème y = y A +tb z = z A +tc, t 0 représente l demi-droite [AB). Propriété Réciproquement, pour tous réels α, β, γ, et, b, c vec (;b;c) (0;0;0), le système x = α+t y = β +tb, t R z = γ +tc est une représenttion prmétrique de l droite pssnt pr A(α;β;γ) et dirigée pr u b. c Un système d éqution prmétrique étnt donné, on peut lire fcilement les coordonnées d un point de l droite, et les coordonnées d un vecteur directeur. Exemple : Le système x = 2 t y = +3t z = 2 4t, t R est une éqution prmétrique de l droite pssnt pr le point A(2; ;2) et dirigée pr le vecteur u 3. 4 II.2 Représenttion prmétrique d un pln Théorème (et définition) Soit P le pln pssnt pr A(x A ;y A ;z A ) et dirigé pr les vecteurs u b et v c Ainsi, u et v sont donc deux vecteurs non colinéires de P. Un point M(x;y;z) pprtient à P si et seulement s il existe des réels t et t tels que x = x A +t+t y = y A +tb+t b z = z A +tc+t c b c. On dit que ce système est une représenttion prmétrique du pln P. 68

70 Propriété Réciproquement, soient x 0, y 0, z 0,, b, c,, b, et c des réels tels que (;b;c) ne soit ps proportionnel à ( ;b ;c ). Alors le système x = x A +t+t y = y A +tb+t b, t R, t R z = z A +tc+t c est une représenttion prmétrique du pln pssnt pr A(x 0 ;y 0 ;z 0 ) et dirigé pr les vecteurs u b et v b. c c Un pln une infinité de représenttions prmétriques. 69

71 Chpitre 9 Fonctions trigonométriques I Fonctions cosinus et sinus I. Périodicité Définition Soient f une fonction définie sur R, et T > 0 un nombre strictement positif. On dit que f est périodique de période T (ou T-périodique) lorsque pour tout x réel : f(x+t) = f(x) Conséquence grphique Lorsqu une fonction est T-périodique, s courbe représenttive est invrinte pr l trnsltion de vecteur T i (et ussi 2T i, 3T i,..., T i,...). Il suffit lors de connître s courbe sur n importe quel intervlle de longueur T (pr exemple [0; T]) pour pouvoir l compléter entièrement pr des trnsltions f périodique de période

72 I.2 Étude des fonctions cos et sin Théorème. Les fonctions sin et cos sont définies sur R et 2π-périodiques. Pour tout x R, cos(x+2π) = cos(x) sin(x+2π) = sin(x) 2. L fonction cos est pire et l fonction sin est impire. Pour tout x R, 3. Tbleux de vrition sur [0; 2π]. cos( x) = cos(x) sin( x) = sin(x) x 0 π 2π cosx x 0 π/2 3π/2 2π sinx 0 0 2π π π 2 π 2 π 2π x sinx x cosx. L 2π-périodicité des fonctions cos et sin donne de fçon plus générle : Pour tout k Z, cos(x+2kπ) = cos(x) et sin(x+2kπ) = sin(x). 2. Pour tout x R, cos( x) = cos(x). L fonction cosinus est pire. L courbe de l fonction cosinus est symétrique pr rpport à l xe des ordonnées. 3. Pour tout x R, sin( x) = sin(x). L fonction sinus est impire. L courbe de l fonction sinus est symétrique pr rpport u point O. 4. L courbe de l fonction sin s obtient à prtir de celle de l fonction cos pr l trnsltion de vecteur π i. 2 ( π ) ( En effet, pour tout x réel, sinx = cos 2 x = cos x π ). 2 On utilisé l reltion cos( X) = cos(x) ppliquée à X = x π ( 2. Comme sinx = cos x π ), l courbe de l fonction sin s obtient à prtir de celle de 2 l fonction cos pr l trnsltion de vecteur π 2 i. 7

73 Théorème (Dérivtion) Les fonctions sin et cos sont dérivbles sur R et pour tout x R, on : sin (x) = cos(x) et cos (x) = sin(x). Propriété Soient et b deux réels, et f, g les fonctions définies sur R pr f(x) = cos(x + b) et g(x) = sin(x+b). Alors f et g sont dérivbles sur R et pour tout x R, f (x) = sin(x+b) g (x) = cos(x+b) Démonstrtion On utilise le théorème de dérivtion de v(x+b). [v(x+b)] = v (x+b) Pour f(x) = cos(x+b), on v(x) = cosx et v (x) = sinx. f (x) = cos (x+b) = [ sin(x+b)] = sin(x+b). Pour f(x) = sin(x+b), on v(x) = sinx et v (x) = cosx. f (x) = sin (x+b) = cos(x+b). Propriété (à connître) sinx lim x 0 x = Démonstrtion On sit que l fonction sinus est dérivble sur R et que sin = cos (on dmis ce résultt). En prticulier, l fonction sin est dérivble en 0, et d près l définition du nombre dérivé, sinx lim x 0 x = lim x 0 sinx sin0 x 0 = sin (0) = cos(0) = Les fonctions cos et sin n ont ps de limite en +, ni en. Exercice 24 cosx En remrqunt un tux d ccroissement, montrer que lim = 0. x 0 x II Formules de trigonométrie Pour tous réels, b, x, on les formules suivntes. 72

74 Le théorème de Pythgore dns le cercle trigonométrique cos 2 +sin 2 = Angles ssociés. À svoir lire sur le cercle trigonométrique cos( x) = cos(x) sin( x) = sin(x) cos(x+π) = cos(x) sin(x+π) = sin(x) cos(π x) = cos(x) sin(π x) = sin(x) ( π ) cos 2 x = sin(x) ( π ) sin 2 x = cos(x) ( π ) cos 2 +x = sin(x) ( π ) sin 2 +x = cos(x) π x π x+π π π 2 +x 2 π 2 x sinx O 3π 2 x cosx 0 x Formules d ddition cos(+b) = coscosb sinsinb sin(+b) = sincosb+sinbcos Formules de soustrction cos( b) = coscosb+sinsinb sin( b) = sincosb sinbcos On les retrouve en remplçnt b pr ( b) dns les formules d ddition. Formules de dupliction cos(2) = cos 2 sin 2 = 2cos 2 = 2sin 2 sin(2) = 2sincos On les retrouve en remplçnt b pr dns les formules d ddition. Formules de linéristion cos 2 = +cos(2) 2 sin 2 = cos(2) 2 C est l formule de dupliction de cos(2) écrite utrement. 73

75 Vleurs remrqubles x 0 π 6 π 4 π 3 π 2 π + π 2 π 3 π 4π 6 cos(x) sin(x) π O π 2 II. Équtions cos(x) =, sin(x) =, R. Éqution cos(x) =, R. Si < ou si >, on remrque que l éqution n ps de solution. En effet, pour tout x R, cosx. Sinon, ( ), il existe α R tel que cos(α) =. cos(x) = cos(x) = cos(α). π En étudint le cercle trigonométrique, on obtient lors : x = α+k2π, k Z cos(x) = cos(α) ou x = α+k2π, k Z + π 2 j O 3π 2 i α 0 α Éqution sin(x) =, R. De même que précédemment, si < ou si > l éqution n ps de solution. En effet, pour tout x R, sinx. π α Sinon, ( ), il existe α R tel que sin(α) =. sin(x) = sin(x) = sin(α). π En étudint le cercle trigonométrique, on obtient lors : x = α+k2π, k Z sin(x) = sin(α) ou x = π α+k2π, k Z + π 2 j O 3π 2 i α 0 74

76 III Complément : l fonction tngente Définition On ppelle tngente et on note tn l fonction définie pr tnx = sinx cosx. Elle est définie en tout nombre réel x tel que cos(x) 0. Son ensemble de définition est D tn = R\{ π 2 +kπ, k Z}. Propriété L fonction tngente est impire et π-périodique. Théorème L fonction tngente est dérivble sur D tn et on pour tout x π 2 +kπ : tn x = +tn 2 x = cos 2 x Démonstrtion Ces résultts sont en prtie démontrés dns le devoir mison. IV Exercices Exercice 25 Soit f(x) = e x sinx. On note C s courbe représenttive.. Montrer que lim f(x) = 0. Interpréter grphiquement. x + 2. Étudier l position de C pr rpport à (Ox) sur [0;2π]. 3. Montrer que f (x) = ( 2e x cos x+ π ) Dresser le tbleu de vrition de f sur [0;2π]. Exercice 26 ( (Symbole p 243) f(t) = 5cos 4t π ). Dresser le tbleu de vrition de f sur 3 Exercice 27 (Symbole 30 p 248) f est définie sur R pr f(t) = 2 ( 5 cos 3t+ π ). 6. Montrer que f n est ni pire ni impire. 2. Montrer que f est périodique de période 2π 3. [ 3. Résoudre l éqution f (t) = 0 dns I = 0; 2π 3 4. Dresser le tbleu de vrition de f sur I. ]. [ 0; π ]. 2 75

77 Chpitre 0 Logrithmes I L fonction logrithme népérien L fonction exponentielle est continue et strictement croissnte de R dns ]0; + [ C exp 3 e 2 j i x 0 + exp + + exp 0 + D près le corollire du théorème des théorème des vleurs intermédiires, pour tout k > 0, il existe un unique réel tel que e = k. Ceci permet de définir une nouvelle fonction, l fonction logrithme népérien. I. Définition Définition L fonction logrithme népérien, notée ln est définie sur ]0;+ [ de l fçon suivnte : pour tout k > 0, lnk est l unique solution de l éqution d inconnue e = k. Autre formultion : pour tout k > 0, lnk est l unique ntécédent de k pr l fonction exponentielle. 76

78 Exemple : Comme exp(0) =, lors ln() = 0. Comme exp() = e, lors ln(e) =. Propriété Pour tout x > 0 et pour tout y R, y = lnx x = e y On dit que ln est l fonction réciproque de l fonction exponentielle. Les courbes représenttives des fonctions ln et exp sont symétriques pr rpport à l droite d éqution y = x e C exp y = x 2 C ln j i - 2 e

79 I.2 Propriétés Propriété. L fonction ln est définie et continue sur ]0;+ [. 2. Pour tout x R, ln(e x ) = x. 3. Pour tout x > 0, e lnx = x. 4. ln = 0 et lne =. 5. L fonction ln est dérivble sur ]0;+ [, et pour tout x > 0, ln (x) = x. 6. L fonction ln est strictement croissnte sur ]0; + [. () lnx < 0 si et seulement si 0 < x <. (b) lnx > 0 si et seulement si x >. 7. Pour tous et b strictement positifs, () ln = lnb si et seulement si = b. (b) ln < lnb si et seulement si < b. Démonstrtion. On dmet l continuité de ln sur ]0;+ [. 2. L propriété se déduit directement de l définition. 3. ln = 0 cr e 0 =, et lne = cr e = e 4. Soient > 0 et x > 0, vec x. On forme le tux d ccroissement de ln entre et x, et on cherche s limite lorsque x tend vers. r(x) = lnx ln x = lnx ln e lnx e ln = e lnx e ln lnx ln Comme ln est continue, lim x lnx = ln. Posons X = lnx, Pr définition du nombre dérivé de l fonction exponentielle en ln, e lnx e ln lim x lnx ln e X e ln = lim X ln X ln = exp (ln) = e ln = lnx ln Ainsi, lim r(x) = lim =. L fonction ln est dérivble sur ]0;+ [ et pour tout x x x x > 0, ln (x) = x. 5. Pour tout x > 0, ln (x) = x > 0. Donc l fonction logrithme népérien est strictement croissnte sur ]0; + [. 78

80 6. Soit x > 0. Comme ln est strictement croissnte sur ]0;+ [, x < implique lnx < ln = 0, et de même x > implique que lnx > 0. Réciproquement, si ln(x) < 0, lors 0 < x < ( x > 0 cr sinon lnx n est ps défini). En effet, si on vit x, on obtiendrit lnx 0, en contrdiction vec lnx < 0. De même, on montre pr l bsurde que lnx > 0 implique x >. 7. Ces équivlences découlent de l stricte croissnce de ln sur ]0; + [. I.3 Reltion fonctionnelle Théorème (Règles de clcul) Pour tous et b strictement positifs, et pour tout entier reltif n :. ln( b) = ln+lnb, ( ) 2. ln = ln, ( 3. ln = ln lnb, b) 4. ln( n ) = n ln, 5. ln( ) = 2 ln. Démonstrtion. e ln( b) = b, et e ln+lnb = e ln e lnb = b. Donc e ln( b) = e ln+lnb, soit ln( b) = ln()+ln(b). 2. Soit > 0. Comme =, ( ln ) = ln+ln ln() = ln+ln 0 = ln+ln 3. Donc ln ( ) = ln. ( ln b) ( = ln ) b = ln+ln b = ln lnb 4. () Cs des entiers positifs. On risonne pr récurrence. On v montrer que pour tout n 0, ln( n ) = n ln. Notons P(n) l propriété ln( n ) = n ln. Initilistion Pour n = 0,ln( 0 ) = ln = 0, et 0 ln = 0. Donc P(0) est vrie. 79

81 Hérédité Soit k 0. Supposons P(k). Montrons P(k +). ln( k+ ) = ln( k ) = ln( k )+ln = k ln+ln = (k +)ln Donc P(k +) est vrie. L propriété est héréditire. Conclusion Pr récurrence, on montré que pour tout n 0 ln( n ) = n ln. (b) Cs des entiers négtifs. Soit n < 0, lors n > 0. n = vec n > 0. n ln( n ) = ln n = ln( n ) = ( n)ln = nln 5. On 2ln( ) = ln( 2 ) = ln. Donc ln( ) = 2 ln. I.4 Limites liées à l fonction logrithme népérien Propriété. lim x 0 x>0 lnx =, et lim lnx = +. x + 2. Le tbleu de vrition de ln est le suivnt : x 0 + ln (x) = x + + lnx 0 + Démonstrtion. Montrons que lim lnx = +. x + Soit A > 0. On doit montrer qu il existe un réel tel que pour tout x >, lnx > A. Or, lnx > A revient à e lnx > e A, soit x > e A. Donc = e A convient. On en déduit que lim lnx = +. x + 2. Montrons que lim lnx =. x 0 x>0 Pour tout x > 0, lnx = ( lnx) = ln 80 ( ). x

82 On lim = +, et on vient de montrer que lim x 0 x x>0 Donc pr composée, lim ln x 0 x>0 ( ) = +. x Comme, pour tout x > 0, lnx = ln résultt : lim lnx =. x 0 x>0 X + lnx = +. ( ), les opértions sur les limites donnent le x 3 2 y = lnx j - 0 i - 2 e Comme lim x 0 lnx =, l droite d éqution x = 0 (l xe des ordonnées) est symptote verticle à C ln. Propriété ln(+x). lim x 0 x 2. lim x + lnx x = 0. =. Démonstrtion. On remrque que ln(+h) h cr ln = 0. Donc ln(+h) ln h est le tux d ccroissement de l fonction ln entre et +h = ln(+h). h L fonction ln est dérivble sur ]0;+ [, et ln (x) = x. En prticulier, ln est dérivble en et ln () = =. ln(+h) ln() Pr définition du nombre dérivé, on lim =. h 0 h ln(+x) Ainsi, lim =. x 0 x 2. Pour tout x > 0, lnx x = lnx = 8 e lnx ( ) e lnx lnx

83 e X Or, lim lnx = +, et lim x + x + X = +. Pr composition des limites, lim x + En pssnt à l inverse, il vient lim x + e lnx lnx = +. lnx x = 0. Exercice 28 Montrer que lim x 0 xlnx = 0. Indiction : se rmener à lim x + lnx x = 0. II Logrithme d une fonction Dns ce prgrphe, u est une fonction définie sur un intervlle I et strictement positive sur I, c est-à-dire que u est à vleurs dns ]0;+ [ : pour tout x I, u(x) > 0. On étudie l fonction ln(u), notée lnu. L fonction { lnu est lors bien définie sur I. I R lnu : x ln(u(x)) Exemple : Prenons u(x) = 2x 6. On s intéresse donc à l fonction f(x) = ln(2x 6). Déterminons son domine de définition. Pour que f(x) existe, il fut que u(x) = 2x 6 > 0. 2x 6 = 0 donne x = 3. x 3 + 2x Donc l fonction f(x) = ln(2x 6) est définie sur ]3;+ [. Théorème (Dérivée de ln u) Soit u une fonction dérivble et strictement positive sur I. Alors l fonction lnu est dérivble sur I et s dérivée est (lnu) = u u. Conséquence Soit u une fonction dérivble et strictement positive sur I. Alors u et lnu ont même sens de vrition sur I. Sur l exemple précédent, f(x) = ln(2x 6) et u(x) = 2x 6, comme u est croissnte sur ]3;+ [, lors f est églement croissnte sur ]3;+ [. 82

84 (Cs prticulier) Soit u une fonction ffine d expression u(x) = x + b prennt des vleurs strictement positives sur I. Alors, l fonction f définie pr f(x) = ln(x+b) est dérivble sur I et pour tout x I Exemple : f(x) = ln( 2x+3). 2x+3 > 0 si x ] ;,5[. Pour tout x <,5, f (x) = u (x) u(x) = f (x) = 2 2x+3. x+b Biln des formules de dérivées qui utilisent le théorème de dérivtion d une fonction composée : Rppel : Soient u : I J et g : J R des fonctions dérivbles. Alors l fonction f : x g(u(x)) (qui est bien définie) est dérivble sur I et pour tout x I, f (x) = g [u(x)] u (x). Soit u une fonction dérivble sur un intervlle I. ( ). Si u ne s nnule ps sur I, = u u u Si u > 0 sur I, u est dérivble sur I et ( u) = u 2 u. 3. Pour tout entier n, (u n ) = nu n u. 4. L fonction e u est dérivble sur I et (e u ) = e u u. 5. Si u > 0 sur I, l fonction lnu est dérivble sur I et (lnu) = u u. 6. Soient v une fonction dérivble sur R, et et b des réels. Si f(x) = v(x+b), lors f (x) = v (x+b). III Fonction logrithme déciml Définition Onppellefonction logrithmedéciml lfonctionnotée logdéfiniesur]0;+ [ prlogx = lnx ln0. Pour tout entier n, log0 n = ln(0n ) ln0 = nln0 ln0 = n. 83

85 Propriété. log0 = et log = L fonction log des dérivble sur ]0;+ [, et pour tout x > 0, log (x) = xln0. 3. L fonction log est strictement croissnte sur ]0; + [. 4. Pour tous réels et b strictement positifs, et pour tout entier n, () log( b) = log()+log(b), ( (b) log = log() log(b), b) (c) log( n ) = n log() IV Exercices de logrithmes sur Euler Appliquer les propriétés de clcul sur les logrithmes : ressource 24 ressource 243 ressource 245 ressource 269 ressource 267 ressource 235 Équtions vec des logrithmes : ressource 77 ressource 272 ressource 27 Inéqutions vec des logrithmes : ressource 295 ressource 297 ressource

86 Chpitre Nombres complexes (ère prtie) I Forme lgébrique d un nombre complexe Définition (et théorème) Il existe un ensemble noté C, ppelé ensemble des nombres complexes, qui possède les propriétés suivntes :. L ensemble R des nombres réels est inclus dns C. 2. L ddition et l multipliction des nombres réels se prolongent ux nombres complexes et les règles de clcul restent les mêmes; 3. C contient un nombre noté i tel que i 2 =. 4. Tout nombre complexe z s écrit de fçon unique z = +ib, vec et b réels. Définition L écriture z = +ib vec et b réels s ppelle l forme lgébrique du nombre complexe z. est l prtie réelle de z, elle est notée Re(z). b est l prtie imginire de z, elle est notée Im(z).. Lorsque b = 0, z est un nombre réel. 2. Lorsque = 0, ont dit que z est imginire pur. Exercice 29 Montrer que (+ib)( ib) = 2 +b 2. 85

87 Propriété (opértions dns C) Soient z = +ib et z = +ib deux nombres complexes sous leur forme lgébrique (, b,, b réels).. Somme : 2. Produit : 3. Inverse : si z 0, 4. Quotient : si z 0, z +z = (+ib)+( +ib ) = (+ )+i(b+b ) zz = (+ib)( +ib ) = bb +i(b +b ) z = +ib = ib 2 +b 2 z z = +ib +ib = (+ib) +ib Pour l écriture lgébrique d un nombre complexe, on ne lisse ps de i u dénominteur. Si le dénominteur est (+ib), on multiplie u numérteur et u dénominteur pr son conjugué ( ib). Le dénominteur devient (+ib)( ib) = 2 +b 2. Exercice 30 Mettre sous forme lgébrique 3i et +2i +i On i 2 =, i 3 = i, et i 4 =. On en déduit que pour tout entier n Z, i 4n =, i 4n+ = i, i 4n+2 =, et i 4n+3 = i. En prticulier, i = i. Propriété (églité de deux nombres complexes) Deux nombres complexes sont égux si et seulement si, ils ont l même prtie réelle et l même prtie imginire. Autrement dit, si z = +ib et z = +ib vec, b,, b réels, lors z = z ( = et b = b ) Conséquence Soit z = +ib vec et b réels. Alors, z = 0 si et seulement si ( = 0 et b = 0). II Conjugué d un nombre complexe Définition Soit z = +ib, vec, b réels. Le conjugué de z est le nombre complexe z = ib. 86

88 Exemple : 3+5i = 3 5i.. z = z. 2. z +z = 2Re(z). 3. z z = 2Im(z). Propriété Soient z et z deux nombres complexes.. z +z = z +z. 2. z z = z z. 3. Pour tout entier n 0, z n = z n. ( ) 4. Si z 0, z = ( z ) et z z = z. z 5. zz = (+ib)( ib) = 2 +b z est un nombre réel si et seulement si z est égl à son conjugué. z R z = z 7. z est imginire pur si et seulement si z est égl à l opposé de son conjugué. z ir z = z Démonstrtion. (+ib)+( +ib ) = (+ )+i(b+b) = + i(b+b ) = ( ib)+( ib ) = z +z. 2. On procède de même en pssnt ux formes lgébriques. 3. On risonne pr récurrence. 4. On procède comme pour. 5. Soit z = +ib un nombre complexe sous forme lgébrique ( et b réels). z R si et seulement si b = 0. Or, z = z si et seulement si +ib = ib, ce qui équivut à b = 0. On vu que deux nombres complexes sont égux ssi ils ont l même prtie réelle et l même prtie imginire. 6. z est imginire pur si et seulement si = 0. 87

89 III Éqution du second degré à coefficients réels Propriété Soit l éqution z 2 +bz +c = 0, vec, b et c réels, 0. Le discriminnt de l éqution est = b 2 4c.. Si > 0, l éqution deux solutions réelles distinctes : z = b 2 et z 2 = b Si = 0, l éqution une solution double réelle z 0 = b Si < 0, l éqution dmet deux solutions complexes conjuguées distinctes (non réelles) : z = b i 2 et z 2 = b+i. 2 Démonstrtion On montre le résultt du 3. Les points. et 2. ont été vus en première. [ ( On prt de l forme cnonique, P(z) = z + b ) ] Si < 0, lors > 0, et l on peut écrire = ( ) 2. Ainsi, = ( ) 2 = i 2 2 = ( i ) 2. On peut lors fctoriser le polynôme P(z) vi une identité remrquble à l ide de fcteurs complexes : [ ( P(z) = z + b ) ] [ ( = z + b ) 2 ( ) 2 ] i [ ( = z + b ) 2 ( ) 2 ] i 2 ( = z + b+i 2 Donc l éqution P(z) = 0 équivut à z = b i 2 2 )( z + b i 2 ) ou z = b+i. 2 Exercice 3 Modifier le progrmme de résolution des équtions du second degré à l clcultrice vu en première pour qu il renvoie l forme lgébrique des solutions complexes lorsque < 0 (Penser à utiliser l fonction Mth Frc). 88

90 Chpitre 2 Clcul intégrl I Intégrle d une fonction positive I. Définition Définition (. Dns un repère orthogonl O; i ; ) j, on ppelle unité d ire l ire du rectngle de côtés [OI] et [OJ]. 2. Soient f une fonction continue et positive sur [; b] et C s courbe représenttive dns un repère orthogonl. C j D O i b On ppelle intégrle de f de à b l ire, exprimée en unités d ires, du domine démilité pr l courbe C, l xe des bscisses, et les droites d éqution x = et x = b. Cette intégrle se note b f(x) dx et se lit intégrle de à b de f. L vrible x peut être remplcée pr n importe quelle utre vrible : b On dit que l vrible est muette. f(x) dx = b f(t) dt. (Reltion de Chsles sur les intégrles) Soit f une fonction continue et positive sur I. Pour tous réels, b et c de I vec < b < c, 89

91 b f(x) dx+ c b f(x) dx = c f(x) dx. C j O i b c I.2 Méthode des rectngles pour encdrer une intégrle On suppose que l fonction f est continue, positive, et monotone sur l intervlle [; b]. Pour pprocher l intégrle de à b de f, on prtge l intervlle [;b] en n intervlles de même longueur h = b n. On pose x 0 =, et pour 0 k n x k = +k b n = x 0 +k h. h x 0 x k x k+ x n b Sur chcun de ces intervlles [x k ;x k+ ], on peut encdrer l ire sous l courbe de f pr des ires de rectngles. Dns le cs où f est croissnte sur [x k ;x k+ ], on h f(x k ) xk+ x k f(t) dt h f(x k+ ) C f(x k+ ) f(x k ) x 0 x k x k+ b x n D près l reltion de Chsles, b n f(t) dt = k=0 xk+ x k f(t) dx. L ire sous l courbe de f sur [;b] est lors comprise entre l somme des ires des rec- 90

92 tngles sous l courbe et l somme des ires des rectngles u-dessus de l courbe. Toujours dns le cs où f est croissnte sur l intervlle [; b], on obtient l encdrement soit n k=0 b n b n f(x k) n f(x k ) k=0 b b f(t) dt n k=0 f(t) dt b n b n f(x k+) n f(x k+ ) k=0 Algorithme ssocié à l méthode des rectnges : Début Entrer f,, b, n. h prend l vleur b n x prend l vleur U prend l vleur 0 V prend l vleur 0 Pour k vrint de 0 à n U prend l vleur U +h f(x) x prend l vleur x+h V prend l vleur V +h f(x) Fin pour Afficher U, V Fin. Dns le cs où f est croissnte sur l intervlle [;b], on 9

93 U b f(t) dt V. Si f est décroissnte sur [;b], l lgorithme reste vlble et on cette fois V b f(t) dt U. 2. L méthode des rectngle et l lgorithme restent vlbles dns le cs où f est seulement continue et monotone sur [; b] (f de signe quelconque, voir prgrphe IV). Progrmmtion de l lgorithme à l clcultrice Texs L fonction f étnt entrée dns Y. Prompt A,B,N (B A)/N H A X 0 U 0 V For(K,0,N ) U +H Y (X) U X +H X V +H Y (X) V End Disp U,V Attention : Y s obtient pr vr, VAR-Y, Fonction, Y. Csio L fonction f étnt entrée dns Y.? A? B? N (B A)/N H A X 0 U 0 V For 0 K To N U +H Y (X) U X +H X V +H Y (X) V Next U V II Primitives d une fonction continue Théorème (fondmentl) Si f est une fonction continue et positive sur [;b], l fonction F définie sur [;b] pr F(x) = x f(t) dt est dérivble sur [;b] et pour dérivée f. On donc pour tout x [;b], F (x) = f(x). Démonstrtion (cs où f est croissnte) On se limite u cs où f est croissnte pour l démonstrtion. On suppose que f est continue, positive, et croissnte sur [;b]. Soit x 0 [;b], et h un réel tel que x 0 +h [;b]. er cs : si h > 0. D près l reltion de Chsles, c est-à-dire F(x 0 +h) F(x 0 ) = x0+h x0+h x 0 f(t) dt = f(t) dt. x0 Comme f est croissnte sur [,b], on peut encdrer f(t) dt+ x0+h x0+h x 0 x 0 f(t) dt pr : f(t) dt, 92

94 h f(x 0 ) x0+h x 0 f(t) dt h f(x 0 +h) On encdré l ire sous l courbe pr les ires des rectngles de lrgeur x 0 +h x 0 = h et de huteurs respectives f(x 0 ) et f(x 0 +h). f(x 0 +h) C f(x 0 ) x 0 x 0 +h b Comme h > 0, on donc h f(x 0 ) x0+h x 0 f(t) dt h f(x 0 +h) h f(x 0 ) F(x 0 +h) F(x 0 ) h f(x 0 +h) f(x 0 ) F(x 0 +h) F(x 0 ) f(x 0 +h) h Comme f est continue sur [;b], lim f(x 0 +h) = f(x 0 ). h 0 D près le théorème des gendrmes, si h > 0, on lim h 0 h>0 F(x 0 +h) F(x 0 ) h 2ème cs : si h < 0. On étblit de même l encdrement f(x 0 +h) F(x 0 +h) F(x 0 ) f(x 0 ) h Il vient toujours d près le théorème des gendrmes, lim h 0 h<0 F(x 0 +h) F(x 0 ) = f(x 0 ). h 0 On donc montré que lim F(x 0 +h) F(x 0 ) h = f(x 0 ). = f(x 0 ). h Donc F est dérivble en x 0 et F (x 0 ) = f(x 0 ). On montré ce résultt pour un réel x 0 quelconque de l intervlle [;b], donc F est dérivble sur [;b] et F = f. On dmet le théorème dns le cs générl. Définition Soit f une fonction continue sur un intervlle I. On ppelle primitive de f sur I toute fonction F dérivble sur I et dont l dérivée est f. Ainsi, pour tout x I, F (x) = f(x). Théorème Toute fonction continue sur un intervlle I dmet des primitives sur I. Démonstrtion Pour l démonstrtion, on se limite u cs où I = [;b] et où f dmet un minimum m sur I. L fonction g définie pr g(x) = f(x) m est continue et positive sur [;b]. 93

95 D près le théorème fondmentl, elle dmet pour primitive l fonction G : x x g(t) dt. Alors, l fonction F définie pr F(x) = G(x)+mx est une primitive de f sur [;b]. En effet, F est dérivble sur [;b] et F (x) = G (x)+m = g(x)+m = f(x) m+m = f(x). Donc f dmet des primitives sur [;b]. On dmet le théorème dns le cs générl. L fonction x exp( x 2 ) est continue sur R, donc elle dmet des primitives sur R, mis on n en connît ps de formule explicite. Propriété Soit f une fonction continue sur un intervlle I.. Si F est une primitive de f sur I, lors toutes les primitives de f sont les fonctions G définies pr G(x) = F(x)+k, où k est une constnte. 2. Soit x 0 I et y 0 R. Il existe une unique primitive G de f telle que G(x 0 ) = y 0. Démonstrtion. Pour tout k R, l fonction G définie pr G(x) = F(x)+k est églement une primitive de f cr c est bien une fonction dérivble sur I (pr somme de fonctions dérivbles), etpour tout x I, G (x) = F (x)+0 = f(x). Réciproquement, soit G une utre primitive de f. Alors (G F) = G F = f f = 0. Donc l fonction (G F) est constnte sur l intervlle I, c est-à-dire qu il existe une constnte k R telle que G(x) = F(x)+k pour tout x I. 2. Soit G(x) = F(x)+k une primitive de f sur I. Pour que G(x 0 ) = y 0, il fut et il suffit que F(x 0 )+k = y 0, ce qui détermine une unique vleur pour l constnte k (k = y 0 F(x 0 )). Donc il esite une unique primitive G de f telle que G(x 0 ) = y 0. 94

96 III Recherche de primitives III. Primitives des fonctions usuelles Fonction f Une primitive F Intervlle de vlidité f(x) =, ( R) F(x) = x R f(x) = x F(x) = 2 x2 R f(x) = x 2 F(x) = 3 x3 R f(x) = x n n entier différent de 0 et F(x) = n+ xn+ R si n > 0, ] ;0[ ou ]0;+ [ si n < 0 f(x) = x 2 F(x) = ] ;0[ ou ]0;+ [ x f(x) = F(x) = lnx ]0;+ [ x f(x) = e x F(x) = e x R f(x) = x F(x) = 2 x ]0;+ [ f(x) = cosx F(x) = sinx R f(x) = sinx F(x) = cosx R f(x) = cos(x+b), 0 F(x) = sin(x+b) R f(x) = sin(x+b), 0 F(x) = cos(x+b) R III.2 Opértions sur les primitives Propriété Soient f et g deux fonctions continues sur I, de primitives respectives F et G.. Une primitive de f +g est F +G. 2. Pour toute constnte k R, une primitive de kf est kf. Démonstrtion. (F +G) = F +G = f +g. 2. (kf) = kf = kf. Attention, F G n est ps en générl une primitive de f g cr (FG) = F G+FG = fg+fg. 95

97 Propriété (composée) Soit u une fonction dérivble sur I.. Une primitive de u e u est e u. 2. Une primitive de u u n vec n est n+ un+. 3. Pour n < et vec u ne s nnulnt ps sur I, une primitive de u u n est n+ un+. 4. Si u(x) > 0 sur I, une primitive de u u est lnu. 5. Si u(x) > 0 sur I, une primitive de u u est 2 u. Démonstrtion. (e u ) = u e u. ( ) 2. n+ un+ = n+ (n+)un u = u u n. 3. Idem. 4. (lnu) = u u. 5. (2 u) = 2 u 2 u = u u. IV Intégrle d une fonction continue Propriété Soit f une fonction continue et positive sur un intervlle [;b]. Si F est une primitive de f sur I, lors b f(x) dx = F(b) F(). Démonstrtion On sit que l fonction G définie pr G(x) = x f(t) dt est une primitive de f sur [;b]. De plus, si F est une primitive de f sur [;b], lors il existe une constnte k telle que F(x) = G(x)+k. On en déduit que F(b) F() = G(b) G(). Or, G(b) = b f(t) dt, et G() = 0, donc F(b) F() = b f(t) dt. Cette formule s étend ux fonctions continues de signes quelconques sur un intervlle I, vec et b quelconques dns I, et l on peut lors définir l intégrle d une fonction continue de signe quelconque. 96

98 Définition Soient f une fonction continue sur un intervlle I, F une primitive de f sur I, et et b deux réels quelconques de I. On ppelle intégrle de f de à b l différence F(b) F(). On note b f(x) dx cette intégrle. On peut donc clculer l vleur excte d une intégrle dès que l on connît une primitive de l fonction. Propriété Soient f et g deux fonctions continues sur un intervlle I,, b, c trois réels de I, et k un réel quelconque.. 2. b f(x) dx = 0. f(x) dx = b f(x) dx. 3. Linérité de l intégrle : () (b) b b kf(x) dx = k b (f(x)+g(x)) dx = f(x) dx. b 4. Reltion de Chsles : b f(x) dx+ 5. Positivité de l intégrle : f(x) dx+ c b b g(x) dx. f(x) dx = Si < b et pour tout x [;b] f(x) 0, lors 6. Croissnce de l intégrle. Si pour tout x [;b], f(x) g(x), lors Démonstrtion Soient F une primitive de f et G une primitive de g.. 2. b f(x) dx = F() F() = 0. b f(x) dx = F() F(b) = (F(b) F()) = 3. Linérité de l intégrle : () L fonction kf est une primitive de kf, donc b b c f(x) dx. f(x) dx 0. f(x) dx b f(x) dx. b kf(x) dx = (kf)() kf(b) = k(f(b) F()) = k b f(x) dx g(x) dx. 97

99 (b) L fonction F +G est une primitive de f +g, donc b = 4. Reltion de Chsles b (f(x)+g(x)) dx = (F +G)(b) (F +G)() f(x) dx+ c b = F(b) F()+G(b) G() b f(x) dx+ b g(x) dx f(x) dx = F(b) F()+F(c) F(b) = F(c) F() = b f(x) dx 5. Ce résultt se déduit directement de l définition de l intégrledns le cs où f est positive. 6. Sif(x) g(x)sur[;b],lors(f g) 0,etdonc,veclepointprécédent, 0. Pr linérité de l intégrle, on b f(x) dx b b g(x) dx. (f(x) g(x)) dx 98

100 V Applictions du clcul intégrl V. Clculs d ires Propriété. Si f est une fonction continue et négtive sur [;b], lors l ire, exprimée en unités d ires, du domine délimité pr l courbe C, l xe des bscisses, et les droites d équtions x = et x = b est b f(x) dx. O C b 2. Si f et g sont deux fonctions continues sur [;b] et telles que pour out x [;b], f(x) g(x). Alors l ire de l surfce comprise entre les deux courbes et les droites d équtions x = et x = b est b (g(x) f(x)) dx. C g O b C f V.2 Vleur moyenne Définition Pour toute fonction f continue sur un intervlle [;b], on ppelle vleur moyenne de f sur [;b] le réel m tel que m = b f(x) dx. b Cette églité s écrit ussi m(b ) = b f(x) dx. Ainsi, pour une fonction positive, m est l huteur du rectngle de lrgeur (b ) qui 99

101 l même ire que l ire b f(x) dx. Exemple : Clculons l vleur moyenne de l fonction crré sur [0;2]. m = t 2 dt = [ ] t3 0 = ( ) = 4 3 L ire sous l courbe de f sur [0;2] est égle à l ire du rectngle de huteur 4 3 lrgeur 2. 5 et de

102 Chpitre 3 Lois de probbilité à densité I Lois de probbilité à densité Jusqu à présent, on toujours rencontré des vribles létoires qui ne peuvent prendre qu un nombre fini de vleurs (vrible discrète). Pr exemple, une vrible létoire X suivnt l loi binomile B(n; p) prend ses vleurs dns {0;;...;n}. Vocbulire : On dit qu une vrible létoire est continue lorsqu elle peut prendre toutes les vleurs d un intervlle I de R. Exemple : On choisit u hsrd un nombre réel dns l intervlle [0; ]. L vrible létoire X correspondnt u nombre obtenu est continue. Les vleurs possibles pour X sont tous les réels de [0;]. Définition. On ppelle fonction de densité de probbilité sur l intervlle I toute fonction définie sur I, continue et positive sur I, et telle que l intégrle de f sur I soit égle à. 2. Une vrible létoire à densité X sur un intervlle I est définie pr l donnée d une fonction de densité de probbilité f définie sur I. Alors, l probbilité pour que X pprtienne à un intervlle [;b] de I est égle à l ire sous l courbe de f sur [;b], soit b f(t) dt. y C f 0 b x 0

103 . Avec [;b] I, P( X b) = 2. P(X I) = cr f(t) dt =. I b f(t) dt. Exercice 32. Soit f(x) =. Vérifier que f est une fonction de densité de probbilité sur [;e]. x 2. Soit g(x) = x2. Déterminer k pourqueg soit unefonction de densité sur l intervlle [ ] 2 ;k. Propriété Pour tous réels et b pprtennt à I :. P(X = ) = P(X ) = P(X < ) (on peut échnger inéglités lrges et strictes). 3. P(X > ) = P(X ) = P(X < ). 4. P( < X < b) = P(X < b) P(X ). Définition (espérnce) Soit X une vrible létoire continue de fonction de densité f sur l intervlle [; b]. L espérnce mthémtique de X est le réel E(X) = b tf(t) dt. On fer le lien vec l espérnce d une vrible létoire discrète : E(X) = r x i P(X = x i ). i= II Loi uniforme sur [; b] Définition Soient, b deux réels tels que < b. L loi uniforme sur [;b] est l loi ynt pour densité de probbilité l fonction constnte f définie sur [;b] pr f(t) = b. Exercice 33 Vérifier que f : [;b] R t b est bien une fonction de densité de probbilité sur [;b]. 02

104 y b C f 0 b x Propriété Soit X une vrible létoire suivnt l loi uniforme sur [;b]. Alors, pour tout v [;b], P( X v) = v b. y b C f 0 v b x Démonstrtion L densité de probbilité de X est définie sur [;b] pr f(t) = b. Une primitive de f est donnée pr F(t) = t b. v v P( X v) = dt = F(v) F() = b b.. Pour tous réels u et v tels que u v b, P(u X v) = v u b. 2. Pour tout u [;b], P(X u) = b u b. Ces résultts se montrent de l même fçon que l propriété précédente. Propriété (espérnce de l loi uniforme) Soit X une vrible létoire suivnt l loi uniforme sur l intervlle [; b]. Démonstrtion E(X) = +b 2. E(X) = = b b t b dt b t dt 03

105 Or, en posnt g(t) = t, une primitive de g sur [;b] est l fonction G définie pr G(t) = t2 2. Donc E(X) = ( ) b 2 b 2 2 = b (b ) = (b )(b+) = +b 2(b ) 2. III Loi exponentielle Définition Soit λ un réel strictement positif (λ > 0). Une vrible létoire suit l loi exponentielle de prmètre λ si s densité de probbilité est l fonction f définie sur [0;+ [ pr f(x) = λe λx. y λ 0 C f x. f(0) = λ. 2. f est décroissnte sur [0; + [ (on le montre fcilement en dérivnt). 3. On dmet que lim x + x 0 λe λt dt =. Propriété Si T suitl loi exponentielle deprmètre λ, lors, pourtous réels et b tels que0 b, P( T b) = e λ e λb. En prticulier, P(T b) = e λb et P(T > ) = e λ. y λ C f 0 b x Démonstrtion L fonction F : x e λx est une primitive de f sur [0;+ [. P( T b) = b λe λx dx = F(b) F() = e λb ( e λ ) = e λ e λb 04

106 En prticulier, P(T b) = P(0 T b) = e λb. Pr suite, P(T > ) = P(T ) = e λ. Propriété Si T suit une loi exponentielle, lors pour tous réels positifs t et h, P T t (T t+h) = P(T h). Cel trduit le fit que l loi exponentielle est sns mémoire. Démonstrtion Notons A l événement T t+h et B l événement T t. Il est clir que A B, donc A B = A. P B (A) = P(A B) P(B) = P(A) P(B) P(T t+h) = P(T t) = e λ(t+h) e λt = e λt e λh e λt = e λh = P(T h) Théorème (définition) L espérnce mthémtique d une vrible létoire T suivnt l loi exponentielle de prmètre λ > 0 est λ. Y Y E(T) = lim xf(x) dx = lim xλe λx dx = Y + 0 Y + 0 λ Démonstrtion (à connître) Soit g l fonction définie sur [0;+ [ pr g(x) = xf(x) = λxe λx. On cherche une primitive de g sous l forme G(x) = (x+b)e λx vec et b réels. Pour tout x 0, G (x) = e λx +(x+b) ( λ)e λx = ( λx+ λb)e λx L fonction G est une primitive de g sur [0;+ [ ssi G = g, c est-à-dire λxe λx = ( λx+ λb)e λx. 05

107 Il suffit de choisir et b de sorte que λ = λ et λb = 0. Ainsi, = et b = λ = ( λ. D où G(x) = x ) e λx. λ Alors, pour tout réel positif Y, Y 0 xf(x) dx = Y 0 xλe λx dx = G(Y) G(0) ( = Y ) e λy + λ λ = λ ( λye λy e λy +) Or, lim λy =, et lim Y + X XeX = 0. Pr composée, lim Y + λye λy = 0. Comme lim λy =, et lim Y + X ex = 0, il vient pr composée lim Y + e λy = 0. Pr somme, lim Y + ( λye λy e λy +) =. Finlement, lim Y + Y 0 xλe λx dx = λ, soit E(T) = λ. 06

108 Chpitre 4 Nombres complexes et géométrie I Affixe, module et rgument I. Représenttion géométrique d un nombre complexe Le pln est muni d un repère orthonorml direct (O; u; v ). Il est insi ppelé pln complexe. Définition À tout nombre complexe z = +ib (vec, b réels), on ssocie un unique point du pln, le point M(;b). Réciproquement, à tout point point M(;b), on ssocie le le nombre complexe z = +ib. On dit que M est l imge du nombre complexe z, et que z est l ffixe du point M (z est ussi l ffixe du vecteur OM. Propriété. z AB = z B z A. 2. z w+ w = z w +z w. 3. Pour tout k R, z k w = kz w. 4. Si I est le milieu de [AB], z I = z A +z B. 2. AB pour coordonnées (xb x A ;y B y A ). Donc z AB = x B x A +i(y B y A ) = x B +iy B (x A +iy A ) = z B z A. 2. On risonne de même en pssnt ux coordonnées pour montrer les points 2., 3. et

109 I.2 Module et rgument d un nombre complexe Définition Soient z = +ib vec, b réels unnombrecomplexe et M son imge dnsle plncomplexe.. Le module de z, noté z est l distnce OM, soit z = 2 +b Si z est non nul, un rgument de z, noté rgz est une mesure de l ngle orienté de vecteurs ( u; OM). Pour z 0, rgz = ( u; OM). b + M(z) z v O rgz u. z = 0 équivut à z = Un nombre complexe non nul dmet une infinité d rguments : si θ est une mesure de l ngle ( u; OM), lors les utres mesures de cet ngle sont les réels θ + k2π, k Z. 3. Le nombre 0 n ps d rgument cr l ngle de vecteurs ( u; OM) n est ps défini si M = O. Propriété. z 2 = zz 2. z R + si et seulement si rgz = 0 [2π]. 3. z R si et seulement si rgz = π [2π]. 4. Un nombre complexe z non nul est imginire pur de prtie imginire strictement positive si et seulement si rgz = π [2π] Un nombre complexe z non nul est imginire pur de prtie imginire strictement négtive si et seulement si rgz = π [2π]. 2 Propriété. Pour tous points A et B d ffixes respectives z A et z B, AB = z B z A. 2. Pour tous points distincts A et B, ( u; AB) = rg(zb z A ) [2π]. Démonstrtion. Soit M le point tel que OM = AB. Alors l ffixe de M est zb z A. Pr conséquent, AB = z B z A. 2. Soit M le point tel que OM = AB. M O cr A B. ( u; AB) = ( u; OM) = rg(zb z A ) [2π]. 08

110 I.3 Forme trigonométrique d un nombre complexe non nul Définition Pour tout nombre complexe z non nul, z = r(cosθ+isinθ) vec r = z et θ = rgz. Cette écriture est ppelée une forme trigonométrique de z. Un nombre complexe non nul dmet une infinité de formes trigonométriques cr rg z est défini à 2π près (pr contre le module est unique). Propriété. Deux nombres complexes non nuls sont égux si et seulement si ils ont le même module et le même rgument à un multiple de 2π près. 2. Si z = r(cosθ+isinθ) vec r > 0, lors z = r et rgz = θ [2π]. Propriété Soit z un nombre complexe non nul de forme lgébrique z = + ib, vec r = z et θ = rgz. Alors, Pssge de l forme lgébrique à l forme trigonométrique : r = 2 +b 2 cosθ = r Pssge de l forme trigonométrique à l forme lgébrique : = rcosθ b = rsinθ sinθ = b r Ceci permet de retrouver θ. I.4 Propriétés du module et de l rgument Propriété Pour tout nombre complexe z,. z = z, et z = z. 2. Avec z non nul, rg(z) = rgz [2π] rg( z) = rg(z) + π [2π]. 09

111 Propriété. Somme : pour tous nombres complexes z et z, z +z z + z (inéglité tringulire). 2. Produit : pour tous nombres complexes z et z, Si de plus z et z sont non nuls, zz = z z. rg(zz ) = rgz +rgz [2π]. 3. Quotient : Pour tous nombres complexes z et z, vec z 0, z z = z z. Pour tous z et z non nuls, ( z ) rg z = rgz rgz [2π]. 4. Puissnce : pour tout z C, pour tout n N Si de plus z est non nul, z n = z n. rg(z n ) = nrgz [2π]. Démonstrtion. C est l formultion vec des nombres complexes d une inéglité sur les distnces. u + v u + v où u et v sont des vecteurs d ffixes respectives z et z. 2. z et z étnt non nuls tous les deux, on peut considérer leurs formes trigonométriques. z = r(cosθ +isinθ), et z = r (cosθ +isinθ ). zz = rr (cosθ +isinθ) (cosθ +isinθ ) = rr [cosθcosθ sinθsinθ +i(sinθcosθ +sinθ cosθ)] = rr [cos(θ +θ )+isin(θ +θ )] On insi obtenu une forme trigonométrique de zz, ce qui implique zz = z z et rg(zz ) = rgz +rgz [2π]., si z ou z est nul, l églité zz = z z est évidemment vrie. 3. On risonne pr récurrence. 4. On pose Z = z z, d où z = z Z, et on pplique les résultts sur le produit. Il n y ps de formule générle donnnt le module d une somme de deux nombres complexes. On ne peut rien dire en générl sur rg(z +z ). 0

112 Conséquence Si A(), B(b), C(c), D(d) sont des points du pln tels que A B et C D, lors CD. AB = d c b = d c b ( ) ( ) d c 2. AB; CD = rg [2π]. b Démonstrtion. C est direct puisque AB = b et d près l propriété 2. Comme A B et C D, l ngle ( ) AB; CD ( ) AB; CD est bien défini. = = ( ( AB; u )+ u; ) CD ( u; ( CD ) u; ) AB z z = z z. [2π] [2π] = rg(d c) rg(b ) [2π] ( ) d c = rg [2π] b II Nottion exponentielle et ppliction Onvuquepourtous et bréels, (cos+isin)(cosb+isinb) = cos(+b)+isin(+b). En posnt f(x) = cosx+isinx, on donc f() f(b) = f(+b). L fonction f possède une propriété de l fonction exponentielle. Définition Pour tout θ R, on pose e iθ = cosθ +isinθ. e iθ = et rge iθ = θ [2π]. Définition Pour tout nombre complexe z non nul, on ppelle nottion exponentielle de z toute écriture z = re iθ où r = z et θ = rg(z) [2π].. Comme pour l forme trigonométrique, l nottion exponentielle n est ps unique cr rgz est seulement défini modulo 2π. 2. Pour clculer des sommes de nombres complexes, l forme lgébrique (z = +ib) est l plus ppropriée. Pour clculer des produits, quotients, puissnces de nombres complexes, l forme trigonométrique ou exponentielle est l plus ppropriée.

113 Propriété Pour tous réels θ et θ,. e iθ e iθ = e i(θ+θ ). 2. e iθ = e iθ = e iθ. e iθ 3. = e i(θ θ ). e iθ 4. Pour tout n N, ( e iθ) n = e inθ (formule de Moivre).. L formule de Moivre s écrit ussi pour tout θ R, pour tout n N, (cosθ +isinθ) n = cos(nθ)+isin(nθ) 2. Pour tout réel θ, e iθ = cosθ +isinθ, et e iθ = cosθ isinθ. En ddtionnnt et soustrynt ces églités, on obtient les formules d Euler : Conséquence (formules d Euler) Pour tout θ R, cosθ = eiθ +e iθ 2 sinθ = eiθ e iθ. 2i Rppel : tringle de Pscl pour les coefficients binomiux Pr exemple, ( ) 4 = 6, et 2 n k ) = 20. ( 6 3 Les coefficient binomiux interviennent dns l formule qui donne le développement de (+b) n : Pour tous complexes et b, et pour tout entier n, (+b) n = n k=0 ( b) n = ( ) n k b n k = k n k=0 n k=0 ( ) n ( ) k n k b k k ( ) n n k b k k 2

114 Exemple : ( b) 3 = b+3b 2 b 3 Exercice 34 π Linériser cos 3 4 x, en déduire cos 3 (x) dx 0 Exercice 35 π Linériser sin 3 4 x, en déduire sin 3 (x) dx. 0 L nottion exponentielle permet de retrouver des formules de trigonométrie. Sur les formules d ddition pr exemple, pour tous réels et b, e i(+b) = e i e ib cos(+b)+isin(+b) = (cos+isin)(cosb+isinb) D où, en identifint les prties réelles et imginires, = coscosb+icossinb+isincosb sinsinb = (coscosb sinsinb)+i(sincosb+sinbcos) cos(+b) = coscosb sinsinb sin(+b) = sincosb+sinbcos Quelques situtions géométriques clssiques. Soient A, B C trois points distincts d ffixes, b et c respectivement. c. b = eiπ 2 = i si et seulement si (AB = AC et ( π AB; AC) = 2 ). Cel équivut à dire que le tringle ABC est direct, rectngle isocèle en A. c 2. b = eiπ 3 si et seulement si (AB = AC et ( π AB; AC) = 3 ). Cel équivut à dire que le tringle ABC est équiltérl direct. Exercice 36 (lieux géométriques) Soient A() et B(b) deux points distincts. Montrer les ssertions suivntes :. L ensemble des points M(z) tels que z b R est l droite (AB) privée du point z A. 2. L ensemble des points M(z) tels que z b ir est le cercle de dimètre [AB] z privé du point A. 3. L ensemble des points M(z) tels que z b z = est lméditrice dusegment [AB].. Réponses : pour tout x R, sin 3 (x) = 4 sin(3x)+ 3 4 sinx, puis π sin 3 (x) dx =

115 Chpitre 5 Produit sclire dns l espce I Produit sclire dns l espce Deux vecteurs de l espce sont toujours coplnires. Définition Soient u et v deux vecteurs de l espce, le produit sclire de u et de v est le produit sclire u v clculé dns un pln contennt u et v. Cette définition est indépendnte du pln choisi et des représentnts choisis pour u et v. 4

116 Propriété (Rppels : expressions du produit sclire). Formule du projeté orthogonl. Soient u, v des vecteurs non nuls, et v le projeté orthogonl de v sur u. Alors, u v = u v v v v v v v v u v u Lorsque u ou v est le vecteur nul, on pose u v = Formule du cosinus : Soient u et v deux vecteurs non nuls. Alors, u v = u v cos( u; v ) v v v ( u; v ) v u 3. Expressions vec les normes : Pour tous vecteurs u et v, Si u ou v est nul, lors u v = 0. u v = ( u 2 + v 2 u v 2) 2 u v = ( u + v 2 u 2 v 2) 2 (cs des vecteurs colinéires non nuls) Soient u et v deux vecteurs colinéires non nuls. Le produit sclire de u et v est le nombre réel noté u v défini pr : Si u et v ont même sens, lors u v = u v. Si u et v sont de sens contrires, lors u v = u v. 5

117 Définition On dit que deux vecteurs sont orthogonux s ils dirigent des droites orthogonles. Le vecteur nul est orthogonl à tout vecteur de l espce. Propriété (Vecteurs orthogonux) Deux vecteurs sont orthogonux si et seulement si leur produit sclire est nul. Théorème ( (Expression dns un repère orthonormé) Soit O; i ; j ; ) k un repère orthonormé de l espce. Soient u et v des vecteurs de coordonnées u(x;y;z) et v (x ;y ;z ). Alors, u v = xx +yy +zz Corollire (Lien entre distnce et produit sclire). u 2 = u 2 = u u = x 2 +y 2 +z 2. D où u = x 2 +y 2 +z Distnce entre deux points A(x A ;y A ;z A ) et B(x B ;y B ;z B ) : AB = (x B x A ) 2 +(y B y A ) 2 +(z B z A ) 2 Démonstrtion Les coordonnées de AB sont (xb x A ;y B y A ;z B z A ). L orthogonlité des vecteurs u(x;y;z) et v (x ;y ;z ) se trduit de fçon nlytique pr : u v xx +yy +zz = 0 II Applictions du produit sclire Définition (rppel) Une droite est perpendiculire à un pln si elle est orthogonle à deux droites sécntes de ce pln. Théorème Une droite est perpendiculire à un pln si et seulement si elle est orthogonle à toutes les droites de ce pln. P d 2 d d 6

118 Démonstrtion (à connître) On montre l équivlence suivnte : Une droite est perpendiculire à un pln si et seulement si elle est orthogonle à toutes les droites de pln. L démonstrtion utilise le produit sclire.. Impliction directe : Si une droite est orthogonle à deux droites sécntes d un pln, lors elle est orthogonle à toutes les droites de ce pln. Soient d et d 2 deux droites sécntes d un pln P, et une droite orthogonle à d et à d 2. Considérons des vecteurs directeurs u de d, u 2 de d 2 et v de. Comme d, on v u, et donc v u = 0. De même, d 2, d où v u 2, et donc v u 2 = 0. Comme d et d 2 sont sécntesdns P, les vecteurs u et u 2 sont des vecteurs non colinéires de P. Autrement dit ( u ; u 2 ) est une bse de P (fmille de vecteurs directeurs). Soit d une droite quelconque de P, montrons que d. Considérons w un vecteur directeur de d (donc w 0 ). Comme w, u et u 2 sont coplnires, w peut s écrire comme une combinison linéire de u et de u 2 : Alors, pr linérité du produit sclire, Il existe des réels et b tels que w = u +b u 2. v w = v ( u +b u 2 ) = v u +b v u 2 = 0+b 0 = 0 Ainsi, v w. Comme les doites et d ont des vecteurs directeurs orthogonux, elles sont orthogonles. d. 2. Réciproque : Si une droite est orthogonle à toutes les droites d un pln, lors elle est orthogonle à deux droites sécntes de ce pln. Cette réciproque est évidente. Définition Un vecteur n non nul est dit norml à un pln s il dirige une droite orthogonle à ce pln. Propriété Soient n un vecteur non nul et A un point de l espce. L unique pln pssnt pr A et de vecteur norml n est l ensemble des points M tels que AM n = 0. Démonstrtion Soient M un point du pln P et (d) une droite de vecteur directeur n. L droite (AM) est lors une droite du pln P. Comme (d) est orthogonle à toutes les droites du pln P, (d) (AM). Donc AM n = 0. Réciproquement, soit M un point de l espce tel que AM n = 0. Alors M est confondu vec A ou le droite (AM) est orthogonleà l droite pssnt pr A et dirigée pr n, donc M pprtient u pln pssnt pr A et de vecteur norml n. 7

119 Propriété On se plce dns un repère orthonormé de l espce.. Un pln P de vecteur norml n(;b;c) (nécessirement non nul) dmet une éqution de l forme x+by +cz +d = Soient, b, c, d qutre réels, vec (;b;c) (0;0;0). Alors x+by +cz +d = 0 est l éqution d un pln de vecteur norml n(;b;c). Démonstrtion (à connître). Soit A(x 0 ;y 0 ;z 0 ) un point du pln P et M(x;y;z) un point de l espce. Alors AM(x x 0 ;y y 0 ;z z 0 ), et AM n = (x x 0 )+b(y y 0 )+c(z z 0 ). M P AM n = 0 (x x 0 )+b(y y 0 )+c(z z 0 ) = 0 x+by +cz (x 0 +by 0 +cz 0 ) = 0 Enposntd = (x 0 +by 0 +cz 0 ), leplnp estcrctériséprl équtionx+by+cz+d= Réciproquement, on considère l ensemble(e) des points M(x; y; z) tels que x+by+cz+d = 0, vec (;b;c) (0;0;0). Comme, b et c ne sont ps tous nuls, on peut supposer pr exemple que 0. ( d ) ;0;0 Il est clir que le point A L éqution de (E) x+by +cz +d = 0 équivut à pprtient à (E) (donc (E) est non vide). ( x+ d ) +by +cz = 0, c est-à-dire AM n = 0 où n(;b;c). Donc l ensemble (E) est le pln pssnt pr A et de vecteur norml n(;b;c). Le plns (xoy), (yoz) et (xoz) ont respectivement pour éqution z = 0, x = 0 et y = 0. III Intersections de droites et de plns III. Intersection d une droite et d un pln Propriété Soient (d) une droite pssnt pr un point A et de vecteur directeur u, et P un pln de vecteur norml n.. (d) et P sont prllèles si et seulement si u et n sont orthogonux. Alors, si A P, (d) est incluse dns P ; si A / P, (d) et P sont strictement prllèles. 2. (d) et P sont sécnts si et seulement si u et n ne sont ps orthogonux. En prticulier, d P si u et n sont colinéires. 8

120 n P (d) III.2 Intersection de deux plns Propriété Soient P et P deux plns de vecteurs normux respectifs n et n. Alors P et P sont prllèles si et seulement si n et n sont colinéires. Lorsque deux plns de l espce ne sont ps prllèles, ils sont sécnts et leur intersection est une droite. Conséquence On se plce dns un repère orthonormé de l espce. Soient P et P les plnsd équtions respectives x+by+cz+d = 0et x+b y+c z+d = 0.. Les plns P et P sont prllèles si et seulement si (;b;c) et ( ;b ;c ) sont proportionnels. 2. Si (;b;c) et ( ;b ;c { ) ne sont ps proportionnels, lors l ensemble des points M(x;y;z) vérifint x+by +cz +d = 0 x+b y +c z +d = 0 est une droite (intersection de P et P ). III.3 Plns perpendiculires Définition Deux plns sont perpendiculires si l un contient une droite perpendiculire à l utre. Propriété Soient P et P deux plns de vecteurs normux respectifs n et n. Alors P et P sont perpendiculires si et seulement si n et n sont orthogonux. Exercice 37 Soit un cube ABCDEFGH. 9

121 F E G H B A C D. Citer deux plns perpendiculires. Justifier. 2. Citer deux plns qui ne sont ps perpendiculires. Justifier. 20

122 Chpitre 6 Lois normles I Introduction : le théorème de Moivre-Lplce Rppel : Si X suit l loi binomile B(n;p), lors E(X) = np, et σ(x) = np( p). Théorème (Théorème de Moivre-Lplce) Soit p ]0;[. On suppose que pour tout entier non nul n, l vrible X n suit l loi binomile de prmètres n et p. Soit Z n l vrible létoire Z n = X n np. np( p) Alors, pour tous réels et b tels que < b, lim P( Z n b) = n + b 2π e t2 2 dt. L démonstrtion est dmise. Ce théorème un rôle fondmentl : il permet, lorsque le nombre d épreuves est ssez grnd, d pprocher une loi binomile pr une loi normle. Exercice 38 Cet exercice revient sur une propriété vue en première. Soit X une vrible létoire discrète d espérnce µ et décrt-type σ. Soient et b des nombres réels, on considère l vrible létoire Y = X +b.. Montrer que E(Y) = E(X)+b = µ+b. 2. Montrer que V(Y) = 2 V(X) = 2 σ 2. On dit que l espérnce est linéire. L vrince est invrinte pr trnsltion V(Y + b) = V(Y), et qudrtique V(Y) = 2 V(Y). Exercice 39 Soit X une vrible létoire suivnt l loi binomile B(n; p). Alors, on E(X) = np et σ(x) = np( p). On pose Z = X np np( p).. Déterminer E(Z). 2. Déterminer σ(z). 2

123 II L loi normle centrée réduite II. Définition Définition L loi normle centrée réduite notée N (0;) est l loi continue ynt pour densité de probbilité l fonction f définie sur R pr f(t) = 2π e t2 2. y C f 0, 0 x. f est bien une fonction de densité : il est clir que f est positive et continue sur R. on dmet que l ire sous l courbe est : f(t) dt =. 2. f(0) = 2π 0, on étudié les fonctions g k : x e kx2, vec k > 0 à l fin du chpitre sur l fonction exponentielle. On montré que g k (x) = 2kxe kx2, est du signe de ( x). g k (0) =, l xe des bscisses est symptote en + et, et l courbe est symétrique pr rpport à l xe des ordonnées. x 0 + R g k (x) + 0 g k (x) 0 0 Courbe repésenttive pour k =. g (x) = e x2. 2 j C g i

124 II.2 Propriétés de l loi normle centrée réduite Propriété. f est continue sur R. 2. Pour tous réels et b, P( X b) = b f(x) dx. 3. L ire totle sous l courbe est. Elle représente P(X ] ;+ [). 4. L fonction f est pire, donc l courbe de f est symétrique pr rpport à l xe des ordonnées. Pr conséquent, P(X 0) = Pour tout nombre réel, () P(X ) = P(X ) (symétrie) (b) P(X ) = P(X ) y C f 0, P(X 0) = 2 0 x. L courbe de f est ppelée courbe de Guss (courbe en cloche). 2. Son mximum est tteint en Comme elle est symétrique pr rpport à l xe des ordonnées, on P(X 0) = P(X 0) = 2. (utilistion de l clcultrice) Les clcultrices proposent une instruction pour clculer P( < X < b). Syntxe Csio Optn, STAT (F5), DIST (F3), NORM (F) Texs Distrib (2nde vr) P( < X < b) choisir Ncd : NormCD(,b) normlfrep(,b) ou normlcd(,b) Nombreréelktelque P(X < k) = c choisir InvN : InvNormCD(c) Exemple : Soit X une vrible suivnt l loi normle centrée réduite N(0;). P( < X < 0,2) 0,42. FrcNormle(c) 23

125 Les commndes normlpdf (ou normlfdp version frnçise) pour Texs, ou Npd pour Csio), permettent d obtenir les vleurs prises pr l fonction densité f(t) = e t2 2. 2π Pr exemple, normlfdp(0) clcule f(0) = 2π 0,3989. Appliction ux clculs de probbilités du type P(X < ) ou P(X > ). Probbilité P(X < ) pour < 0 P(X < ) pour > 0 P(X > ) pour < 0 P(X > ) pour > 0 y y y y C f C f C f C f Grphique 0 x 0 x 0 x 0 x Clcul 2 P( < X < 0) 2 +P(0 < X < ) P( < X < 0)+ 2 P(0 < X < ) 2 Exemple : Dns le cs du clcul de P(X > ) vec > 0, on D où P(X > ) = P(0 < X < ). 2 P(0 < X < )+P(X > ) = P(X > 0) = 2 Propriété Posons Φ(t) = P(X t). On dit que Φ est l fonction de réprtition ssociée à l loi de X suivnt l loi normle centrée réduite N (0;). Alors, pour tout réel,. Φ( ) = Φ(). 2. P( < X < ) = 2Φ(). 3. L fonction Φ est croissnte sur R. Théorème Si X suit l loi normle centrée réduite N (0;), lors pour tout réel α ]0;[, il existe un unique réel strictement positif u α tel que P( u α X u α ) = α. y α 2 α C f α 2 u α u α 0 x 24

126 Démonstrtion (à connître) Soit u 0. Pr symétrie de l courbe de f, on P( u X u) = 2P(0 X u) = 2 u 0 f(x) dx = 2G(u) oùgest l primitive def qui s nnuleen 0 (comme f est continuesur R, elle dmetdes primitives). G est continue et strictement croissnte (G = f > 0) sur [0;+ [. En outre, lim G(u) = cr cel correspond à l ire sous l courbe de f sur [0;+ [. u + 2 L fonction 2G est donc continue et strictement croissnte sur [0; + [ vec le tbleu de vrition suivnt : u 0 + 2G 0 Pour tout α ]0;[, on α ]0;[. D près le corollire du théorème des vleurs intermédiires, pour tout α ]0; [, il existe un unique u α > 0 tel que 2G(u α ) = α. Conclusion : Pour tout α ]0;[, il existe un unique u α > 0 tel que P( u α X u α ) = α. Propriété. Une vleur pprochée de u 0,05 est, Une vleur pprochée de u 0,0 est 2,58. Interpréttion : si X suit l loi N (0;), lors. P(,96 X,96) 0, P( 2,58 X 2,58) 0,99. Propriété L espérnce mthémtique d une vrible létoire suivnt l loi normle centrée réduite est 0 et son écrt-type est de. Démonstrtion. Espérnce. L fonction densité est définie sur R pr f(t) = 2π e t2 2 Donc g(t) = tf(t) = t 2π e t2 2. L fonction G définie sur R pr G(t) = e t2 2 est une primitive de g sur R. 2π + On veut montrer que E(X) = tf(t) dt = 0, soit tf(t) dt = 0. R Pour psser à l limite sur les bornes d intégrtion, on montre que les intégrles et + 0 Pour tout < 0, tf(t) dt convergent. 0 tf(t) dt = G(0) G(). Or, lim G() = 0 (pr composée et produit) tf(t) dt

127 Donc lim 0 De même, pour tout b > 0, tf(t) dt = G(0) =. 2π b Comme lim G(b) = 0, lim b + b + 0 E(X) = tf(t) dt = G(b) G(0). b 0 tf(t) dt = G(0) = 2π. lim 0 = 2π + 2π = 0 tf(t) dt+ lim b + b 0 tf(t) dt 2. On dmet le résultt sur l écrt-type. III Lois normles Définition Soient µ un nombre réel et σ > 0. Une vrible létoire X suit l loi normle N (µ;σ 2 ) si et seulement si l vrible Y = X µ suit l loi normle centrée réduite. σ Propriété Si X suit l loi normle N (µ;σ 2 ), lors son espérnce est µ et son écrt-type est σ.. Si X suit l loi N (µ;σ 2 ), µ est ussi l médine cr P(X < µ) = 0,5 (et P(X > µ) = 0,5). 2. Soit f l fonction de densité de l loi N (µ;σ 2 ). L courbe représenttive de f est une courbe en cloche symétrique pr rpport à l droite d éqution x = µ, d utnt plus resserrée utour de son xe de symétrie que σ est petit. Utilistion de l clcultrice Syntxe Csio Optn, STAT (F5), DIST (F3), NORM (F) P( < X < b) choisir Ncd : NormCD(,b,σ,µ) Nombreréelktelque P(X < k) = c choisir InvN : InvNormCD(c,σ,µ) Texs Distrib (2nde vr) normlfrep(,b,µ,σ) FrcNormle(c,µ,σ) Comme pour l loi normle centrée réduite, on peut lors déterminer n importe qu elle probbilité du type P(X > ) ou P(X < ). On utilise là ussi l symétrie de l courbe : P(X > µ) = P(X < µ) = 2. 26

128 Probbilité P(X < ) pour < µ P(X < ) pour > µ P(X > ) pour < µ P(X > ) pour > µ y y y y C f C f C f C f Grphique µ x µ x µ x µ x < µ > µ < µ > µ Clcul 2 P( < X < µ) 2 +P(µ < X < ) P( < X < µ)+ 2 P(µ < X < ) 2 Propriété. P(µ σ X µ+σ) 0, P(µ 2σ X µ+2σ) 0, P(µ 3σ X µ+3σ) 0,997. Démonstrtion Les trois cs se montrent de l même mnière. Montrons le dernier cs. µ 3σ X µ+3σ 3σ X µ 3σ 3 X µ 3 σ Donc P(µ 3σ X µ+3σ) = P( 3 Y 3) où Y suit l loi normle centrée réduite N (0;). Ainsi, en posnt Φ(t) = P(Y t), P(µ 3σ X µ+3σ) = P( 3 Y 3) = 2Φ(3) 0, 997 à l clcultrice, Φ(3) = P(Y 3) = +P(0 < Y < 3). 2 27

129 Chpitre 7 Échntillonnge et simultion I Rppels des nnées précédentes I. Notion d intervlle de fluctution d une fréquence On nomme p l proportion d un crctre dns une popultion. Soit n un entier strictement positif. Soit X n l vrible ltoire qui chque chntillon de tille n prlev dns cette popultion ssocie le nombre d individus possdnt le crctre tudi. L vrible ltoire X n suit l loi binomile B(n;p). L vrible ltoire frquence ssocie est F n = X n n. Définition Soit α un rel de ]0;[. Tout intervlle I tel que P(F n I) α est un intervlle de fluctution de l frquence F n u seuil de α. Cs α = 0,05 : Dire qu un intervlle I est un intervlle de fluctution de l frquence F n u seuil de % signifie que :... I.2 Intervlle de fluctution vu en seconde Propriété (intervlle de fluctution d une fréquence) Soit un crctère dont l proportion dns une popultion donnée est p. Lorsque n 25 et 0,2 p 0,8, u moins 95 % des échntillons de tille n issus de cette popultion sont tels que l fréquence f du crctère dns l échntillon pprtient à l intervlle [ p L intervlle I = ;p+ ]. [ n n p ;p+ ] est ppelé intervlle de fluctution u seuil de 95 %. n n 28

130 I.3 Intervlle de fluctution ssocié à l loi binomile, ère S probbilités vleurs de X moins de 2,5 % u moins de 95 % moins de 2,5 % Définition Soit X une vrible létoire suivnt l loi binomile B(n; p). On note f l fréquence ssociée à un échntillon létoire de tille n de X. L intervlle de fluctution u seuil de 95 % de l fréquence f est lintervlle pr : est le plus petit entier tel que P(X ) > 0,025, b est le plus petit entier tel que P(X b) 0,975. [ n ; b n ], défini. On donc P( X b) 0, Comme les vleurs prises pr X sont des nombres entiers (X suit B(n;p), donc les vleurs de X vont de 0 à n), on ussi : est le plus grnd entier tel que P(X < ) 0,025, b est le plus petit entier tel que P(X > b) 0,025 On peut noter pr exemple que P(X ) = P(X < +). 3. Cet intervlle de fluctution s pplique à des échntillons de vribles létoires suivntuneloi binomile,et cequellesquesoient lesvleursdenetp,contrirement à l intervlle de fluctution [ vu en seconde. 4. L intervlle de fluctution n ; b ] n est ps nécessirement centré sur p. n Il n y ps de formule donnnt directement les bornes n et b n. Exercice 40 Monsieur Z, chef du gouvernement d un pys lointin, ffirme que 52 % des électeurs lui font confince. On interroge 00 électeurs u hsrd (l popultion est suffismment grnde pour considérer qu il s git de tirges vec remise) et on souhite svoir à prtir de quelles fréquences, u seuil de 95 %, on peut mettre en doute le pourcentge nnoncé pr Monsieur Z, dns un sens, ou dns l utre.. On fit l hypothèse que Monsieur Z dit vri et que l proportion des électeurs qui lui font confince dns l popultion est 0,52. Montrer que l vrible létoire X, correspondnt u nombre d électeurs lui fisnt confince dns un échntillon de 00 électeurs, suit l loi binomile de prmètres n = 00 et p = 0, On donne ci-contre un extrit de l tble des probbilités cumulées P(X k) où X suit l loi binomile de prmètres n = 00 et p = 0,52. 29

131 k P(X k) 40 0, , , , , , , ,9897 Déterminer et b tels que : est le plus petit entier tel que P(X ) > 0,025; b est le plus petit entier tel que P(X b) 0,975. [ 3. En déduire l intervlle de fluctution n ; b ] u seuil de 95 % pour une fréquence n f de personnes lui fisnt confince. 4. Comprer cet intervlle à l intervlle de fluctution [ p ;p+ ] vu en se- n n conde. 5. Sur les 00 électeurs interrogés u hsrd, 43 déclrent voir confince en Monsieur Z.Peut-onconsidérer, useuilde95%,l ffirmtion demonsieurz commeexcte? Exercice 4 (sécurité u crrefour) Un groupe de citoyens demnde à l municiplité dune ville l modifiction d un crrefour en ffirmnt que 40 % des utomobilistes tournent en utilisnt une muvise file. Un officier de police constte que sur 500 voitures prises u hsrd, 90 prennent une muvise file.. Déterminer, en utilisnt l loi binomile sous l hypothèse p = 0, 4, l intervlle de fluctution u seuil de 95 %. 2. D près l échntillon, peut-on considérer, u seuil de 95 %, comme excte l ffirmtion du groupe de citoyens? Éléments de réponse. I = [0,358;0,444]. 2. f = 0,38. f I. On ne peut ps rejeter l ffirmtion. II Théorème de Moivre-Lplce Rppel : Si X suit l loi binomile B(n;p), lors E(X) = np, et σ(x) = np( p). 30

132 Théorème (Théorème de Moivre-Lplce) Soit p ]0;[. On suppose que pour tout entier non nul n, l vrible X n suit l loi binomile de prmètres n et p. Soit Z n l vrible létoire Z n = X n np. np( p) Alors, pour tous réels et b tels que < b, lim P( Z n b) = n + b 2π e x2 2 dx. III Intervlle de fluctution symptotique Rppel (reltif à l loi norml centrée réduite) : Si X suit l loi normle centrée réduite N (0;), lors pour tout réel α ]0;[, il existe un unique réel strictement positif u α tel que P( u α X u α ) = α. Soit X n une vrible létoire suivnt l loi binomile B(n;p). On note F n l vrible létoire F n = X n correspondnt à l fréquence de succés dns l répétition indépendnte n de n épreuves de Bernoulli de prmètre p. Propriété Si l vrible létoire X n suit l loi binomile B(n;p), lors, pour tout α ]0;[, ( ) [ ] lim P Xn p( p) p( p) n + n I n = α où I n est l intervlle p u α ;p+u α n n Démonstrtion (à connître) X n n I n p u α p( p) n np u α n p( p) n X n p( p) n p+u α n X n np+u α n p( p) n en posnt Z n = X n np np( p). np u α np( p) Xn np+u α np( p) u α Z n u α D près le théorème de Moivre-Lplce, P( u α Z n u α ) tend vers uα u α 2π e x2 2 dx lorsque n tend vers +. ( ) uα Donc lim P Xn n + n I n = lim P( u α Z n u α ) = e x2 2 dx. n + u α 2π Or, cette dernière intégrle est égle à P( u α Y u α ) où Y est une vrible létoire suivnt l loi normle centrée réduite N (0;). Comme P( u α Y u α ) = α (pr définition de u α ), on montré que ( ) lim P Xn n + n I n = α. 3

133 Définition On dit que l intervlle I n = [ ] p( p) p( p) p u α ;p+u α n n est un intervlle de fluctution symptotique u seuil de confince α de l vrible létoire F n = X n n.. Cet intervlle contient les fréquences F n = X n n α lorsque n tends vers l infini. vec une probbilité qui tend vers 2. Il est toujours centré sur p. ( ) Xn 3. Ondmetquepourn 30,np 5etn( p) 5,onpeutpprocherP n I n pr α. On convient donc d utiliser l intervlle de fluctution symptotique lorsque les conditions suivntes sont remplies : n 30, np 5, n( p) 5. Dns le cs où α = 0,05, α = 0,95 et on vu que u α,96. On en déduit un intervlle de fluctution symptotique u seuil de 95 %. Propriété L intervlle de fluctution symptotique u seuil de 95 % de l fréquence F n d uncrctère dns un échntillon de tille n est : [ p( p) p( p) I n = p,96 ;p+,96 ]. n n III. Détermintion prtique de l intervlle de fluctution u seuil de 95 % Si n 30, np 5 et n( p) 5, lors on utilise l intervlle de fluctution symptotique [ p( p) p( p) I n = p,96 ;p+,96 ]. n n [ Sinon, on utilise l intervlle n ; b ] vu en première, où : n est le plus petit entier tel que P(X ) > 0,025, b est le plus petit entier tel que P(X b) 0,975. III.2 Autres seuils possibles. Intervlle de fluctution u seuil de 99 % (vec un risque de %). u 0,0 2,58, ce qui donne l intervlle [ p( p) p( p) I n = p 2,58 ;p+2,58 ]. n n 32

134 2. Cs générl : intervlle de fluctution u seuil α (risque α) : [ ] p( p) p( p) I n = p u α ;p+u α n n où u α est tel que P( u α X u α ) = α vec X suivnt N (0;). IV Prise de décision à prtir d un échntillon Théorème (prise de décision) On fit une hypothèse sur l vleur de p (proportion d un crctère dns l popultion). On clcule l frquence observe f du crctre tudi dns un chntillon de tille n. Aprs s tre ssur des conditions d pproximtion lies l intervlle de fluctution symptotique, on dtermine celui-ci. Si l fréquence observée f n pprtient ps à l intervlle de fluctution symptotique u seuil de 95 %, lors on rejette l hypothèse fite sur p, vec un risque de 5 % (de rejeter à tort une hypothèse vrie). si l fréquence observée f pprtient à l intervlle de fluctution symptotique, lors on ne peut ps rejeter l hypothèse fite sur p (éviter de dire qu on l ccepte).. Dns le cs où f I n, le risque d erreur n est ps quntifié. 2. le risque de 5% signifie que l probbilit que l on rejette tort l hypothse fite sur l proportion p lors qu elle est vrie est pproximtivement gle 5%. C est une probbilit conditionnelle. 33

135 V Intervlle de fluctution simplifié Propriété Soit p ]0;[. Soit, pour tout entier n > 0, X n une vrible létoire suivnt l loi binomile B(n;p). Alors, il existe un entier n 0 tel que pour tout n n 0, ( P p X n n n p+ ) > 0,95. n Démonstrtion Soit p un nombre rel de ]0;[. Soit, pour tout n entier strictement positif, une vrible ltoire X n suivnt une loi binomile de prmtres n et p. [ Posons, pour tout n de N, J n = p ;p+ ]. n n Soit, pour tout n de N, Z n l vrible ltoire centre rduite ssocie X n. Rppel : Z n = X n np. np( p) [ Posons, pour tout n de N, I n = p 2 p( p) p( p) ;p+2 ]. n n ( ). Soit ( n ) l suite dfinie pr, pour tout n de N Xn, n = P n I n. () Dmontrer que, pour tout n de N, n = P( 2 Z n 2). (b) Dmontrer que l suite ( n ) est convergente et que s limite l vrifie : l 0, prs pr dfut. (c) Justifier qu il existe un entier strictement positif n 0 tel que, si l entier n vrifie n n 0, lors n 0, () Dterminer le mximum de l fonction g dfinie sur [0;] pr g(x) = x( x). (b) Montrer que, pour tout entier strictement positif n, I n J n. 3. Conclure. VI Estimtion d une proportion L proportion p de crctère dns l popultion est inconnue. On essie d estimer p prtir de l frquence d un chntillon. Propriété Soit p un nombre rel de ]0;[. Soit, pourtoutnentier strictement positif,unevribleltoire X n suivntlloi binomile B(n;p) et F n = X n n. Il existe un entier strictement positif n 0 tel que, pour tout n n 0, ( P F n p F n + ) 0,95. n n 34

136 Démonstrtion F n = X n et d près l propriété précédente, pour n ssez grnd, n ( [ P F n p ;p+ ]) 0,95. n n Or, F n [ p ;p+ ] n n p F n p+ n n F n p F n + n n ( Donc, pour n ssez grnd, P F n p F n + ) 0,95. n n Définition Soit f l fréquence d un crctère observée sur un échntillon de tille n d une popultion dns lquelle l proportion [ du crctère est p. Alors l intervlle f ;f + ] est un intervlle de confince de l proportion p u n n seuil de 95 %. On utilise cet intervlle dès que n 30, nf 5 et n( f) 5. 35

137 Deuxième prtie Compléments 36

138 Chpitre 8 Limites et comportement symptotique I Asymptote oblique Dns certins cs, lorsque lim x + de l courbe d une fonction ffine. f(x) = ±, il semble que l courbe de f se rpproche C f 0 : y = x+b Définition Soient f une fonction et et b deux réels. Si lim x + f(x) (x+b) = 0, lors on dit que l droite d éqution y = x+b est symptote C f en +. On une définition nlogue pour une symptote en. Lorsque C f dmet une symptote oblique en +, f dmet une limite infinie en +. Le signe de f(x) (x+b) détermine l position de l courbe de f pr rpport à :. Lorsque f(x) (x+b) > 0, C f est u-dessus de. 2. Lorsque f(x) (x+b) < 0, C f est en-dessous de. Exemple : f(x) = x+2+ 5 x. f(x) ( x+2) = 5 x. 5 Comme lim x + x = 0 l droite d éqution y = x + 2 est symptote oblique à C f en +. 5 D illeurs, on églement lim = 0, et cette même droite d éqution y = x+2 x x 37

139 est ussi symptote à C f en. Étudions l position de C f pr rpport à. f(x) ( x+2) = 5 x. f(x) ( x+2) > 0 x > 0 x >. Donc sur l intervlle ];+ [, C f est u-dessus de, et sur ] ;[ C f est en-dessous de. : y = x+2 C f 0 On remrque pr illeurs que l droite d éqution x = est symptote verticle à l courbe. II Pln d étude de fonctions Pour étudier une fonction f on procède comme suit :. On détermine le domine de définition de f. 2. On étudie l dérivbilité de f. On clcule l dérivée de f, qu on cherche à obtenir sous forme fctorisée fin d étudier son signe. 3. On étudie le signe de f. 4. On détermine les limites de f ux bords de son domine de définition et les vleurs clés qui doivent pprître dns le tbleu de vrition de f. 5. On dresse le tbleu de vrition de f, en complétnt toutes les informtions possibles : limites, extrem locux, vleurs interdites éventuelles... : on ne met dns le tbleu que des vleurs exctes, ps de vleurs pprochées. 6. On cherche quelques points fciles à construire (si possible), on montre prfois l existence d un centre ou d un xe de symétrie. 7. On cherche d éventuelles symptotes à l courbe de f. 8. On trce l courbe de f, en commençnt pr les points clés, les tngentes horizontles, et les symptotes. 38

140 III Exercice corrigé : étude d une fonction Enoncé Soit f l fonction définie pr f(x) = x2 x.. Donner l ensemble de définition de f. 2. Rechercher des réels, b, et c tels que f(x) = x+b+ c x. 3. Clculer l dérivée de f, et étudier son signe. 4. Déterminer les limites de f ux bornes de son ensemble de définition. 5. Dresser le tbleu de vrition de f. 6. Étudier les brnches infinies de f, c est-à-dire rechercher les symptotes. On préciser l position de l courbe pr rpport ux symptotes obliques. 7. Représenter grphiquement l courbe de f le plus prcisément possible. Correction. On divise pr x, on donc un problème de définition lorsque x = 0 soit x =. D f =] ;[ ];+ [. 2. L méthode consiste à tout mettre u même dénominteur puis à identifier les coefficients des polynômes ux numérteurs : f(x) = x+b+ c x f(x) = (x+b)(x )+c x f(x) = x2 +(b )x+(c b) x Pr illeurs, l énoncé donne f(x) = x2 x. Pr identifiction des coefficients, on obtient = b = 0 c b = 0 Finlement, pour tout x, f(x) = x++ x. = d où b = c = 3. On commence pr justifier que f est dérivble pour tout x : Les fonction u : x x 2 et v : x x sont des polynômes, donc dérivbles sur R. Comme pour tout x, x 0, f est dérivble sur ] ;[ et sur ];+ [. Pour dériver f, on peut prtir de l expression de déprt ou de celle du 2. Pour tout x, f (x) = 2x(x ) x2 (x ) 2 = x2 2x (x ) 2 = x(x 2) (x ) 2. Une fois l expression de f (x) fctorisée, il est isé de trouver son signe. Comme le dénominteur est toujours positif (un crré), le signe de f (x) est le signe de 39

141 x(x 2), qui est positif l extérieur des rcines (0 et 2). x f (x) D f =] ;[ ];+ [. On doit étudier les limites de f ux bornes de son ensemble de définition. On donc qutre clculs de limite à fire. On exploite le 2. : f(x) = x++ x. Limites à l infini. lim x+ =, et lim x x x = 0. Pr somme, lim f(x) =. x De même, lim x+ = +, et lim x + x + f(x) = +. Pr somme, lim x + Limites à droite et à guche de. x+ = 2. lim x Donc lim x x =. Pr somme, lim f(x) =. x De mme, lim x + x Pr somme, lim x + x = 0. x + x 0 + = +, et l on toujours lim x+ = 2. x f(x) = Il est nécessire pour remplir complètement le tbleu de vrition de f de clculer quelques imges : f(0) = 0 et f(2) = 22 2 = 4 = 4. x f (x) f(x) On vu que f dmet des limites infinies à droite et guche de. Donc l droite d éqution x = est symptote verticle à l courbe de f. Pr illeurs, f(x) = x++, et il est clir que lim x x + x = 0. 40

142 L droite D d éqution y = x+ est symptote oblique à C f en +. De même, lim x x = 0 et donc l droite D est ussi symptote à C f en. De plus, est du signe de x : x Si x >, x > 0. Donc C f est u-dessus de D sur ];+ [. Si x <, x < 0. Donc C f est en-dessous de D sur ] ;[. 7. Le trcé. On construit D et, on plce les points remrqubles du tbleu de vrition : l courbe dmet une tngente horizontle en O(0;0) et en A(2;4). 6 C f 5 D 4 A 3 2 j O i IV Définitions d une limite Soit f une fonction définie sur I. 4

143 Définition Limite réelle en + Soit f une fonction définie sur un intervlle I = [k;+ [. Soit l R. On dit que lim f(x) = l lorsque : x + Pour tout ε > 0, A R tel que x I, x > A f(x) l < ε. Limite infinie en + Soit f une fonction définie sur un intervlle I = [k;+ [. On dit que lim f(x) = + lorsque : x + Pour tout M > 0, A R tel que x I, x > A f(x) > M. Limite réelle en un réel Soit f une fonction définie sur un voisinge de (intervlle contennt ou de l forme ]c;[ ];b[). Soit l R. On dit que lim x f(x) = l lorsque : Pour tout ε > 0, α > 0 tel que x I, x < α f(x) l < ε. Limite infinie en un réel Soit f une fonction définie sur un voisinge de de l forme ]c;[ ];b[. On dit que lim x f(x) = + lorsque : Pour tout M > 0, α > 0 tel que x I, x < α f(x) > M. Rppels : signifie pour tout signifie il existe f(x) l < ε signifie que l écrt entre f(x) et l est strictement inférieur à ε. Autrement dit, l ε < f(x) < l+ε. Pour ε > 0 très proche de 0, cel signifie que f(x) est très proche de l. 42

144 Chpitre 9 Fonctions exponentielles de bse ( > 0 et ) I Définition Définition Soit un nombre strictement positif et différent de. L fonction x x, dite exponentielle de bse est définie sur R pr : pour tout x R, x = e xln.. 0 = 0, et =. 2. Les règles de clcul hbituelles sur les puissnces s ppliquent. ( x+y = x y,...) 3. Pour tout x R, x > 0. II Fonction x x vec > x + + x 0 43

145 6 5 4 y = e x y = 2 x 3 e 2.3 j. y =.3 x i Fonctions exponentielles de bse, >. III Fonction x x vec 0 < < x + + x 0 6 y = 0.2 x 5 y = 0.6 x i IV Exercices sur Euler Propriétés de clcul ressource 723 Équtions et inéqutions ressource Fonctions exponentielles de bse, 0 < <. 44

146 ressource 889 ressource 895 ressource