Chapitre 3 : Développements limités
|
|
- Serge Lépine
- il y a 5 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Chapitre 3 : Développements limités Table des matières Développement limité 2. Définition et eistence Propriétés DL des fonctions usuelles en 0 à l ordre n Opérations sur les développements limités 6 2. Somme et produit Composition Quotient Applications des développements limités 3. Calcul de limites Position d une courbe par rapport à sa tangente Développement asymptotique 2 A Eercices 4 Dans ce chapitre, pour n importe quelle fonction, nous allons trouver le polynôme de degré n qui approche le mieu la fonction autour d un point. Plus précisément, on cherchera à décomposer toute fonction suffisamment régulière f autour d un point a donné sous la forme : f() = T n () + R n (), où T n est un polynôme de degré inférieur ou égal à n et R n est une fonction qui vérifie lim a R n () = 0. Décomposer de cette façon une fonction autour d un point a, c est faire un développement limité (DL) de cette fonction au point a à l ordre n. Le polynôme T n est appelé partie polynomiale du DL et la fonction R n est appelée le reste du DL.
2 Notations : Soient I R un intervalle ouvert, f I R une fonction et n N. Si f est dérivable et si la fonction f I R est aussi dérivable, on note f = (f ) la dérivée seconde de f. Plus généralement, on note pour tout n dans N f (0) = f, f () = f, f (2) = f... et f (n+) = (f (n) ). f est de classe C 0 sur I si f est continue sur I. On note f C 0 (I). f est de classe C n sur I si f est n fois dérivable sur I et si f (n) est continue sur I. On note f C n (I). f est de classe C sur I si n N, f C n (I). On note f C (I). On remarquera que pour tout n dans N, C (I) C n (I). Pour tout n dans N, on définit la factorielle de n par n! = 2... (n ) n avec la convention 0! =. Remarques ) Pour tout n dans N, on a les inclusions C n+ (I) C n (I) et C (I) C n (I). 2) Pour tout n dans N, n! = (n )! n. Développement limité. Définition et eistence Soient I un intervalle ouvert et f I R une fonction. Définition Pour a I et n N, on dit que f admet un développement limité au point a et à l ordre n si il eiste (n + ) réels c 0, c,..., c n et une fonction ɛ I R vérifiant lim ɛ() = 0 tels que pour tout a dans I f() = c 0 + c ( a) + c 2 ( a) 2 + c 3 ( a) c n ( a) n Partie polynomiale du DL + ( a) n ɛ(). Reste du DL Proposition Soient I un intervalle ouvert et a I. Si f est de classe C n sur I alors f admet un DL au point a à l ordre n, qui provient de la formule suivante dite de Taylor-Young : f() = f(a) + f (a)( a) + f (a) ( a) f (n) (a) ( a) n + ( a) n ɛ(), 2! n! où la fonction ɛ I R vérifie lim a ɛ() = 0. Remarque Le DL d une fonction f au point 0 à l ordre n s écrit de la façon suivante à l aide de la formule de Taylor-Young : où lim ɛ() = 0. f() = f(0) + f (0) + f (0) 2 2! f (n) (0) n n! + n ɛ(). C est à dire de la forme ], a[, ]a, b[ ou ]b, + [ de R, avec a, b R, a < b. 2
3 Eemples. Soient a R et n N fiés. Donner le DL au point a et à l ordre n de la fonction f e. f() =... f(a) =..., f () =... f (a) =..., f () =... f (a) =..., f (n) () =... f (n) (a) =... R, e = f(a) + f (a)( a) + f (a) ( a) f (n) (a) ( a) n + ( a) n ɛ() 2! n! = Donner le DL de la fonction f ln( + ) au point 0 et à l ordre 4. f() =... f(0) =..., f () =... f (0) =..., f () =... f (0) =..., f (3) () =... f (3) (0) =..., f (4) () =... f (4) (0) =... f() = f(0) + f (0) + f (0) 2 2! + f (3) (0) 3 3! + f (4) (0) 4 4! + 4 ɛ() =... =... Les premiers polynômes de Taylor du DL de f en 0 sont : T 0 () =..., T () =..., T 2 () =..., T 3 () =..., T 4 () =... T 0, T, T 2, T 3, T 4 sont appelés respectivement polynômes de Taylor d ordre 0,, 2, 3 et 4. Notation : Le terme ( a) n ɛ() où ɛ() 0 est souvent noté o a(( a) n ) (se prononce «petit a o a» de ( a) n ). Cela signifie que o a (( a) n ) est une fonction qui vérifie la propriété : o a (( a) n ) lim = 0. a ( a) n La notation «petit o a» simplifie beaucoup les écritures. Lorsque a = 0, on écrit «o» plutôt que «o 0». Eemples. Pour tout dans R, 3 peut s écrire 3 = o( 2 ). En effet, lim 3 = lim = Le reste n ɛ() du DL d une fonction f au point 0 à l ordre n peut aussi s écrire n ɛ() = o( n ). 3
4 .2 Propriétés Proposition Si une fonction f admet un DL en un point, alors ce DL est unique. Proposition. Si f est paire alors la partie polynomiale de son DL en 0 ne contient que des monômes de degrés pairs (c est à dire : 0, 2, 4,..., 2n, n N).. Si f est impaire alors la partie polynomiale de son DL en 0 ne contient que des monômes de degrés impairs (c est à dire :, 3, 5,... 2n+, n N). Eemple On considère la fonction f cos() qui est de classe C (R). Elle admet donc un DL en 0 à l ordre 5 que nous allons déterminer. Pour tout proche de 0, on a : f() =... f(0) =..., f (2) () =... f (2) (0) =..., f (4) () =... f (4) (0) =..., f () =... f (0) =..., f (3) () =... f (3) (0) =..., f (5) () =... f (5) (0) =..., f() = f(0) + f (0) + f (0) 2 2! + f (3) (0) 3 3! + f (4) (0) 4 4! + f (5) (0) 5 5! + 5 ɛ() = Commentaire : Comme f est paire, la partie polynomiale de son DL ne contient que des monômes de degrés pairs comme annoncé dans la proposition. 4
5 .3 DL des fonctions usuelles en 0 à l ordre n e = ! + 3 n n ! n! + o(n ) = k k=0 k! + o(n ). ln( + ) = n ( )n+ 3 n + o(n ) = α R, ( + ) α = + α + α(α ) ! + = ( ) n n + o( n ) = = n + o( n ) = n k= k+ k ( ) k + o(n ). α(α )...(α n + ) n + o( n ). n! n k=0 n k=0 ( ) k k + o( n ). k + o( n ). sin() = 3 3! + 5 5! ( )n 2n+ (2n + )! + o(2n+2 ) = cos() = 2 2! + 4 2n ( )n 4! (2n)! + o(2n+ ) = tan() = o(6 ). n k=0 n k=0 ( ) k 2k+ (2k + )! + o(2n+2 ). 2k ( ) k (2k)! + o(2n+ ). Proposition Une fonction f admet un DL au voisinage d un point a si et seulement si la fonction f( + a) admet un DL au voisinage de 0. Eemples. Donner le DL de f e en à l ordre n N. La fonction f est de classe C (R), elle admet donc un DL en tout point de R, à tout ordre n N. De plus, pour tout proche de, on a e = e + = e e = e e h en posant h =..., si est proche de, alors h est proche de... = e = =
6 2. Donner le DL de g sin() en π 2. La fonction g est de classe C (R), elle admet donc un DL en tout point de R, à n importe quel ordre n N. De plus, pour tout proche de π 2, on a : sin() = sin ( π 2 + π 2 ) = sin ( π 2 ) cos (π 2 ) + sin (π 2 ) cos ( π 2 ) = cos ( π ) = cos(h) en posant h =... proche de... lorsque proche de... 2 = = Opérations sur les développements limités 2. Somme et produit Définition Soit n, p N avec n < p. Tronquer un polynôme de degré p à l ordre n consiste à conserver seulement les monômes de degrés n. Eemples. Tronquer le polynôme P à l ordre 5. On notera T 5 le polynôme obtenu. T 5 () = Tronquer le polynôme ( )( ) à l ordre 2. On notera T 2 () le polynôme obtenu. ( )( ) =... =... On a donc T 2 () =... Proposition On considère deu fonctions f et g qui admettent des DL en 0 à l ordre n : f() = c 0 +c +...+c n n + n ɛ () et g() = d 0 +d +...+d n n + n ɛ 2 (), avec lim ɛ () = lim ɛ 2 () = 0. Alors :. f + g admet un DL en 0 à l ordre n qui est donné par : où lim ɛ() = 0. f() + g() = (c 0 + d 0 ) + (c + d ) (c n + d n ) n + n ɛ(), 6
7 . f g admet un DL en 0 à l ordre n qui est donné par où lim ɛ() = 0 et T n () est le polynôme f() g() = T n () + n ɛ(), (c 0 + c c n n ) (d 0 + d d n n ) tronqué à l ordre n. Eemples. Calculer le DL en 0 à l ordre 2 de f e + ln( + ). Les fonctions e et ln( + ) sont de classe C au voisinage de 0, on peut donc écrire leur DL en 0 à l ordre 2 : e =... et ln( + ) =... f() =... = Calculer le DL en 0 à l ordre 2 de g cos() +. Les fonctions cos() et ( + ) sont de classe C au voisinage de 0, on peut donc écrire leur DL en 0 à l ordre 2 : cos() =... et + =... En notant C() et D() les parties polynomiales des DL de f et g on a : C() D() =... =... =... En tronquant le produit C() D() à l ordre 2, on obtient : g() = Calculer le DL en 0 à l ordre 3 de la fonction h + ln( + )
8 2.2 Composition Proposition On considère deu fonctions f et g qui admettent des DL en 0 à l ordre n : f() = c 0 + c c n n + n ɛ () et g() = d 0 + d d n n + n ɛ 2 (), =C() =D() avec lim ɛ () = lim ɛ 2 () = 0. Si g(0) = 0 (c est à dire d 0 = 0) alors la fonction f g admet un DL en 0 à l ordre n dont la partie polynomiale est le polynôme tronqué à l ordre n de la composition C(D()). Remarque De façon plus générale, si g admet un DL en 0 à l ordre n et si f admet un DL en g(0) à l ordre n alors f g admet un DL en 0 à l ordre n. Il est obtenu en remplaçant le DL de g dans celui de f et en ne gardant que les termes de degrés inférieurs ou égau à n. Eemple Calculer le DL en 0 à l ordre 2 de la fonction h cos(ln( + )). On pose ici f u cos(u) et g ln( + ).On a bien (f g)() =... =... et g(0) =... =..., f g admet donc un DL en 0 à l ordre 2. On écrit le DL en 0 à l ordre 2 de f et g : f(u) = cos(u) =... et g() = ln( + ) =... donc les parties polynômiales du DL en 0 à l ordre 2 de f et g sont respectivement : C(u) =... et D() =... C(D()) =... =... f(u) = cos(u) =... =... Le polynôme tronqué à l ordre 2 de C(D()) est donné par T 2 () =...et finalement le DL de h en 0 à l ordre 2 est donné par h() = Quotient On considère deu fonctions f et g qui admettent des DL en 0 à l ordre n : f() = c 0 + c c n n + n ɛ () et g() = d 0 + d d n n + n ɛ 2 (), avec lim ɛ () = lim ɛ 2 () = 0. Pour calculer le DL du quotient f g nous allons utiliser le DL de + u = u + u2 u ( ) n u n + o(u n ) et la formule pour la composition de DL. On a 3 cas possibles : 8
9 Cas : Si d 0 =, on pose u = d d n n + n ɛ 2 () et le quotient s écrit f g = f + u. Cas 2 : Si d 0 0 et d 0, alors on se ramène au cas précédent en écrivant g() = d 0 + d d dn d 0 n + n ɛ 2. () d 0 Cas 3 : Si d 0 = 0 alors on factorise par k (pour un certain k) afin de se ramener à l un des cas précédents. Eemples. Calculer le DL de h tan() en 0 à l ordre 3. On pose f() = sin() et g() = cos(). On écrit le DL de f et g en 0 à l ordre 3 : f() = sin() =... = B() + o( 3 ) et g() = cos() =... cos() f() = sin() = = f 2 g + u en posant u =... dont la partie polynomiale est D() =... =... = C(u) + o(...) C(D()) =... =... En tronquant C(D()) à l ordre 3 on obtient le polynôme T 3 () donné par T 3 () =... cos() = T 3 () + o( 3 ) =... B() T 3 () =... =... En tronquant B() T 3 () à l ordre 3 on obtient le polynôme T 3 () donné par T 3 () =... et finalement h() = T 3 () + o( 3 ) =... 9
10 2. Calculer le DL de h + en 0 à l ordre 4. On pose pour tout dans R f() = + et 2 + g() = 2 +. f et g sont des polynômes de degré... et on a : 2 + = = 2 + u en posant u =... lorsque est proche de 0, u est proche de... + u =... On remplace à présent u dans la partie polynomiale par... et le reste o(u 4 ) par o(...) : 2 + =... comme on veut un DL à l ordre... on ne garde que les termes de degrés... Finalement =... h() =... =... = Calculer le DL de h sin() sh() en 0 à l ordre 3. On a sin() =... = c 0 + c + c c ɛ () sh() =... = d 0 + d + d d ɛ 2 () Comme d 0 =... et c, d 0 on va faire un DL de sin() et sh() à l ordre 3 + = 4. En effet, Le premier terme du DL de sh() est de degré, on a donc factorisé le dénominateur par. Comme on vise un DL d ordre 3, on fait un DL d ordre 3 + car on sait que l on va diviser par et perdre un ordre. sin() sh() =... =... =... =... en posant u =... 0
11 + u =... =... =... sin() sh() =... =... =... 3 Applications des développements limités 3. Calcul de limites On cherche à calculer lim a f(). Si f admet un DL en a à l ordre n, alors et donc f() = c 0 + c ( a) c n ( a) n + ( a) n ɛ() lim f() = lim (c 0 + c ( a) c n ( a) n + ( a) n ɛ()) a a = c 0. arctan() Eemple Calculer lim sin(). On a arctan() sin() =... =... = Position d une courbe par rapport à sa tangente Proposition Soit f I R une fonction admettant un DL en un point a I f() = c 0 + c ( a) + c k ( a) k + ( a) k ɛ(), où k est le plus petit entier 2 tel que le coefficient c k soit non nul. Alors une équation de la tangente à la courbe de f (notée C f ) en a est y = c 0 + c ( a) et la position de C f par rapport à la tangente pour proche de a est donnée par le signe de f() y : Si c k ( a) k > 0 alors C f est au dessus de sa tangente. Si c k ( a) k < 0 alors C f est en dessous de sa tangente. Si le signe de c k ( a) k change lorsque l on passe de < a à > a, alors la tangente traverse C f au point d abscisse a. On dit que a est un point d infleion.
12 Eemple On considère f Déterminer l équation de la tangente de f au point d abscisse 2 et donner la position de la courbe de f par rapport à sa tangente. On a f () =..., f () =..., donc f ( ) =... et k =... 2 On en déduit le DL de f en /2 par la formule de Taylor-Young : f() = =... La tangente en 2 a donc pour équation y =... La position du graphe de f par rapport à y est donnée par le signe de... donc C f est... de y. 4 Développement asymptotique Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I =] 0, + [. On dit que f admet un DL en + à l ordre n s il eiste n + réels c 0, c,..., c n et une fonction ɛ I R tels que où lim + ɛ( ) = 0. f() = c 0 + c + c c n n + n ɛ( ) Eemple On considère la fonction f ln (2 + ). Admet-elle un DL en +? On remarque que f() = ln(2) + ln ( + 2 ) = ln(2) + ln( + u) en posant u =... quand est proche de... alors u est proche de... = ln(2) +... = ln(2) +... = ln(2) +... Le DL en + d une fonction nous permet d avoir une idée du comportement de celle-ci au voisinage de +. Lorsque + on a f() = ln(2) + ln ( + ) 2 ln(2). Comme le premier terme non nul après ln(2) dans le DL de f est positif pour grand, on en déduit que la courbe représentative C f de f est au dessus de son asymptote horizontale y = ln(2). 2
13 Remarques. Un DL en + s appelle aussi un développement asymptotique. 2. Dire qu une fonction f() admet un DL en + à l ordre n est équivalent à dire que la fonction h f( h ) admet un DL en 0+ à l ordre n. Proposition On suppose que la fonction f() f() = a 0 + a + a k k + k ɛ( ) où k est le plus petit entier 2 tel que le coefficient soit non nul. k admet un DL en + (ou en ) donné par lim f() (a 0 + a ) = 0 et + lim f() (a 0 + a ) = 0. La droite d équation y = a 0 + a est une asymptote à la courbe C f en + et en. La position de C f par rapport à son asymptote est donnée par le signe du terme a k. k 3
14 A Eercices Remarque Les eercices et questions précédés du symbole sont facultatifs et ne seront pas prioritairement corrigés en séance. Eercice.. Donner le DL en 0 à l ordre 4 des fonctions suivantes f cos(), f 2 ep( ) et f 3 e e Donner le DL en 0 à l ordre 3 de la fonction f Donner le DL en à l ordre 2 de la fonction f Donner le DL en 0 à l ordre 3 de f 6 e Donner le DL en 0 à l ordre 3 de f Donner le DL en 0 à l ordre 5 de f 8 e + e. 2 Eercice 2.. Donner le DL en 2 à l ordre 2 de f. 2. Donner le DL en à l ordre 7 du polynôme P 4. Eercice 3. Donner le DL en 0 à l ordre 4 de f Eercice 4. On considère f ], [ R définie par : Donner le DL en 0 à l ordre 3 de f. Eercice 5. f() = arctan ( ).. Calculer le DL en 0 à l ordre 3 de f + 2 cos(). sin(2) tan(). 2. Calculer le DL en 0 à l ordre 3 de f 2 ep( + 2 cos()). 3. Calculer le DL en 0 à l ordre 3 de f 3 ln( + sin()). 4. Calculer le DL en 0 à l ordre 3 de f 4 e Calculer le DL en 0 à l ordre 6 de f 5 (ln( + 2 )) Calculer le DL en 0 à l ordre 3 de f 6 ln( + 2 ) 2 + tan(2 3 ). 7. Calculer le DL en 0 à l ordre 5 de f 7 ln( + 3 ) Calculer le DL en 0 à l ordre 4 de f 8 cos(sin()). Eercice 6. Pour chacune des fonctions suivantes : f ep(), g cos(2) et h cos() sin(2), + donner une équation de la tangente à la courbe C f en 0 puis déterminer la position de la tangente par rapport à C f au voisinage de 0. 4
15 Eercice 7. Pour chacune des fonctions suivantes : f ep() + e e 2 et g e e. 2 donner une équation de la tangente à la courbe C f en 0 puis déterminer la position de la tangente par rapport à C f au voisinage de 0. Eercice 8. Donner la limite en 0 de la fonction f définie sur ]0, [ par : f() = e 2. Eercice 9. Calculer les limites suivantes : lim sin() sin() lim + cos() sin() cos() lim 2 lim 2 tan() tan(2) sin 2 () e lim 2 cos 2 lim tan 2 () 2 lim 2 sin() Eercice 0.. Calculer la limite de ln() lorsque tend vers. 2. Calculer la limite de ln(sin()) (π 2) 2 lorsque tend vers π 2. Eercice.. Calculer le DL en + à l ordre 5 de f Calculer le DL en + à l ordre 2 de g ( + ) Calculer le DL en + à l ordre 6 de h 2 +. Eercice 2. Calculer les limites suivantes : lim lim + 2 (e e + ) lim lim ( + + ) lim + Eercice 3. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer une équation de leurs asymptotes en ± et préciser la position de leurs graphes par rapport à ces asymptotes. 3 + f g h k 2 arctan ( ) ϕ ( + 2) ψ ξ arctan() 5
Développements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailDérivation : cours. Dérivation dans R
TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détailDérivation : Résumé de cours et méthodes
Dérivation : Résumé de cours et métodes Nombre dérivé - Fonction dérivée : DÉFINITION (a + ) (a) Etant donné est une onction déinie sur un intervalle I contenant le réel a, est dérivable en a si tend vers
Plus en détailEtude de fonctions: procédure et exemple
Etude de fonctions: procédure et exemple Yves Delhaye 8 juillet 2007 Résumé Dans ce court travail, nous présentons les différentes étapes d une étude de fonction à travers un exemple. Nous nous limitons
Plus en détailDéveloppements limités
Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Développements limités Bernard Ycart Les développements limités sont l outil principal d approximation locale des fonctions. L objectif de ce chapitre
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailNombre dérivé et tangente
Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailBaccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 5 points 1. Réponse d. : 1 e Le coefficient directeur de la tangente est négatif et n est manifestement pas 2e
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailFactorisation Factoriser en utilisant un facteur commun Fiche méthode
Factorisation Factoriser en utilisant un facteur commun Fiche méthode Rappel : Distributivité simple Soient les nombres, et. On a : Factoriser, c est transformer une somme ou une différence de termes en
Plus en détailCours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
Plus en détailDéfinition 0,752 = 0,7 + 0,05 + 0,002 SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS = 7 10 1 + 5 10 2 + 2 10 3
8 Systèmes de numération INTRODUCTION SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS Dans un système positionnel, le nombre de symboles est fixe On représente par un symbole chaque chiffre inférieur à la base, incluant
Plus en détailDÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )
DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailMaple: premiers calculs et premières applications
TP Maple: premiers calculs et premières applications Maple: un logiciel de calcul formel Le logiciel Maple est un système de calcul formel. Alors que la plupart des logiciels de mathématiques utilisent
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailIV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations
IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation
Plus en détailDéveloppements limités usuels en 0
Développements limités usuels en 0 e x sh x ch x sin x cos x = + x! + x! + + xn n! + O ( x n+) = x + x3 3! + + xn+ (n + )! + O ( x n+3) = + x! + x4 4! + + xn (n)! + O ( x n+) = x x3 3! + + ( )n xn+ (n
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailO, i, ) ln x. (ln x)2
EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On
Plus en détailFonctions de deux variables. Mai 2011
Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs
Plus en détailComplément d information concernant la fiche de concordance
Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours
Plus en détailFonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Plus en détailDérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES
Capitre 4 Dérivation Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Dérivation Nombre dérivé d une fonction en un point. Tangente à la courbe représentative d une fonction dérivable
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailMais comment on fait pour...
Mais comment on fait pour... Toutes les méthodes fondamentales en Maths Term.S Édition Salutπaths Table des matières 1) GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS...13 1.Comment déterminer l'ensemble de définition
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailExprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %
23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailChapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique :
Chapitre Chapitre. Séries de Fourier Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction - périodique : c c a0 f x dx c an f xcosnxdx c c bn f xsinn x dx c L objet de
Plus en détailExercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part
Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version
Plus en détailExercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part
Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version
Plus en détailMathématiques I Section Architecture, EPFL
Examen, semestre d hiver 2011 2012 Mathématiques I Section Architecture, EPFL Chargé de cours: Gavin Seal Instructions: Mettez votre nom et votre numéro Sciper sur chaque page de l examen. Faites de même
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailCours d Analyse I et II
ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Cours d Analyse I et II Sections Microtechnique & Science et génie des matériaux Dr. Philippe Chabloz avril 23 Table des matières Sur les nombres. Les nombres
Plus en détailavec des nombres entiers
Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailUnion générale des étudiants de Tunisie Bureau de l institut Préparatoire Aux Etudes D'ingénieurs De Tunis. Modèle de compte-rendu de TP.
Union générale des étudiants de Tunisie Modèle de compte-rendu de TP Dipôle RC Ce document a été publié pour l unique but d aider les étudiants, il est donc strictement interdit de l utiliser intégralement
Plus en détailPartie 1 - Séquence 3 Original d une fonction
Partie - Séquence 3 Original d une fonction Lycée Victor Hugo - Besançon - STS 2 I. Généralités I. Généralités Définition Si F(p) = L [f(t)u (t)](p), alors on dit que f est l original de F. On note f(t)
Plus en détailFiche PanaMaths Calculs avec les fonctions sous Xcas
Fiche PanaMaths Calculs avec les fonctions sous Xcas Cette fiche destinée aux élèves des classes de Terminale requiert un premier niveau de connaissance du logiciel Xcas. Définition d une fonction Fonctions
Plus en détailn N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t
3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détailFonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur
Service Commun de Formation Continue Année Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau 321 - Institut Élie
Plus en détailBaccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé.
Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. L usage d une calculatrice est autorisé Durée : 3heures Deux annexes sont à rendre avec la copie. Exercice 1 5 points 1_ Soit f la
Plus en détailBaccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008
Baccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats f est une fonction définie sur ] 2 ; + [ par : 4 points f (x)=3+ 1 x+ 2. On note f sa fonction dérivée et (C ) la représentation
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détailFONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0.
FONCTION EXPONENTIELLE I. Définition Théorème : Il eiste une unique fonction f dérivable sur R telle que f ' = f et f (0) =. Démonstration de l'unicité (eigible BAC) : L'eistence est admise - Démontrons
Plus en détailDérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.
Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une
Plus en détailGlossaire des nombres
Glossaire des nombres Numérisation et sens du nombre (4-6) Imprimeur de la Reine pour l'ontario, 008 Nombre : Objet mathématique qui représente une valeur numérique. Le chiffre est le symbole utilisé pour
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailwww.h-k.fr/publications/objectif-agregation
«Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se
Plus en détailAngles orientés et fonctions circulaires ( En première S )
Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble
Plus en détailChap 4. La fonction exponentielle Terminale S. Lemme : Si est une fonction dérivable sur R telle que : = et 0! = 1 alors ne s annule pas sur R.
Lemme : Si est une fonction dérivable sur R telle que : = et 0! = 1 alors ne s annule pas sur R. Démonstration : Soit la fonction %:& %&!= &!, elle est dérivable sur R et & R, %. &!= &! = &! = %&! gaelle.buffet@ac-montpellier.fr
Plus en détailSYSTEMES LINEAIRES DU PREMIER ORDRE
SYSTEMES LINEIRES DU PREMIER ORDRE 1. DEFINITION e(t) SYSTEME s(t) Un système est dit linéaire invariant du premier ordre si la réponse s(t) est liée à l excitation e(t) par une équation différentielle
Plus en détailExercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point (x 0,y 0,z 0 ) donné :
Enoncés : Stephan de Bièvre Corrections : Johannes Huebschmann Exo7 Plans tangents à un graphe, différentiabilité Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point
Plus en détailEquations différentielles linéaires à coefficients constants
Equations différentielles linéaires à coefficients constants Cas des équations d ordre 1 et 2 Cours de : Martine Arrou-Vignod Médiatisation : Johan Millaud Département RT de l IUT de Vélizy Mai 2007 I
Plus en détailTable des matières. I Mise à niveau 11. Préface
Table des matières Préface v I Mise à niveau 11 1 Bases du calcul commercial 13 1.1 Alphabet grec...................................... 13 1.2 Symboles mathématiques............................... 14 1.3
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailLicence Sciences et Technologies Examen janvier 2010
Université de Provence Introduction à l Informatique Licence Sciences et Technologies Examen janvier 2010 Année 2009-10 Aucun document n est autorisé Les exercices peuvent être traités dans le désordre.
Plus en détailBaccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats 1. Réponse c : ln(10)+2 ln ( 10e 2) = ln(10)+ln ( e 2) = ln(10)+2 2. Réponse b : n 13 0,7 n 0,01
Plus en détailAide - mémoire gnuplot 4.0
Aide - mémoire gnuplot 4.0 Nicolas Kielbasiewicz 20 juin 2008 L objet de cet aide-mémoire est de présenter les commandes de base pour faire rapidement de très jolis graphiques et courbes à l aide du logiciel
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailBaccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé
Baccalauréat S/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé A. P. M.. P. XRCIC 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. L arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : 0,3 0,6 H
Plus en détailExo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.
Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3
Plus en détailQuelques contrôle de Première S
Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage
Plus en détailFctsAffines.nb 1. Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008. Fonctions affines
FctsAffines.nb 1 Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008 Fonctions affines Supports de cours de mathématiques de degré secondaire II, lien hpertete vers la page mère http://www.deleze.name/marcel/sec2/inde.html
Plus en détailLa persistance des nombres
regards logique & calcul La persistance des nombres Quand on multiplie les chiffres d un nombre entier, on trouve un autre nombre entier, et l on peut recommencer. Combien de fois? Onze fois au plus...
Plus en détailAnnexe 1 Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Annexe 1 Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Physique, chimie et sciences de l ingénieur (PCSI) Discipline : Mathématiques Première année Classe préparatoire
Plus en détailIII- Raisonnement par récurrence
III- Raisonnement par récurrence Les raisonnements en mathématiques se font en général par une suite de déductions, du style : si alors, ou mieux encore si c est possible, par une suite d équivalences,
Plus en détailBien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction
Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses
Plus en détailBACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES
BACCALAUREAT GENERAL FEVRIER 2014 MATHÉMATIQUES SERIE : ES Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) 7(spe ES) Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformement à la
Plus en détailExercice 3 (5 points) A(x) = 1-e -0039' -0 156e- 0,039x A '() -'-,..--,-,--,------:-- X = (l_e-0,039x)2
Les parties A et B sont indépendantes. Partie A Exercice 3 (5 points) Commun à tous les candidats On considère la fonction A définie sur l'intervalle [1 ; + 00 [ par A(x) = 1-e -0039' ' x 1. Calculer la
Plus en détailF411 - Courbes Paramétrées, Polaires
1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013
Plus en détailNOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Plus en détailPuissances d un nombre relatif
Puissances d un nombre relatif Activités 1. Puissances d un entier relatif 1. Diffusion d information (Activité avec un tableur) Stéphane vient d apprendre à 10h, la sortie d une nouvelle console de jeu.
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détail