CHAPITRE 7 : DIPOLE R,L

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1 CHAPIT 7 : DIPO, I. D QUOI ON PA On nrodu dans ce chapre un dpôle déjà vu en premère : la bobne. e raemen mahémaque es rès smlare à ce qu a éé vu dans le chapre précéden. Une bobne es consuée d un fl conduceur enroulé sur lu-même en N spres. Son symbole es : () () Noer la convenon récepeur pour la bobne. e comporemen d une bobne es révélé par l expérence suvane : A orsqu on ferme l nerrupeur, l éablssemen du couran n es pas nsanané : l présene un reard qu es dû à la présence de la bobne. De même, lorsqu on éen le généraeur (qu se compore alors comme un cour-crcu), du couran connue à crculer dans le crcu pendan une coure durée. Une bobne s oppose donc aux varaons de couran dans le crcu. n régme connu, la bobne se compore comme un fl conduceur. De plus, elle es capable de socker de l énerge pendan le régme ransore où l nensé du couran vare, qu elle rend au crcu après l arrê du généraeur. 1/8

2 II. INDUCTANC D UN BOBIN 1. elaon consuve d une bobne déale On a vu dans l expérence précédene que le comporemen de la bobne éa lé aux varaons de l nensé du couran dans le crcu. Plus précsémen, s on enregsre la enson à ses bornes lorsque le crcu es raversé par un couran pérodque rangulare, on oben : a enson aux bornes de la bobne es donc consane es posve lorsque d d es consane es posve e consane es négave lorsque d d es consane e négave. nducance d une bobne déale (.e. de réssance nerne néglgeable), exprmée en Henry (H), es la consane de proporonnalé enre la enson à ses bornes e la varaon emporelle de l nensé du couran : d() u() = d Cee relaon es appelée relaon consuve de la bobne déale. On vo c que 1 H = 1 V.s²/C. uné usuelle de l nducance es le mllhenry : mh. 2. Bobne réelle Dans une bobne réelle, le conduceur qu la consue présene une cerane réssance au passage du couran (réssance nerne r nulle dans le cas d une bobne déale e que l on peu néglger s elle es rès fable devan les aures réssances du crcu). On schémase une bobne réelle en mean en sére une bobne déale e une réssance : () r () a relaon enson-couran d une bobne réelle es donc : d() u() = + r () d 2/8

3 III. DIPO, 1. ablssemen du couran On s néresse au dpôle, : K u 1.1. quaon dfférenelle Applquons la lo d addvé des ensons au crcu : = u+ u Nous cherchons une équaon dfférenelle pour l nensé dans le crcu. n effe, comme la bobne s oppose aux varaons de couran, le couran dans le crcu es connu. Donc, comme = 0 avan la fermeure de K, on aura encore = 0 juse après sa fermeure : on connaî la condon nale nécessare pour rouver la soluon d une équaon dfférenelle. Applquons la lo d Ohm au conduceur ohmque e la relaon consuve de la bobne à la enson : d d d = + r + = + ( r+ ) = + d d d en posan = + r. Comme d habude, arrangeons l équaon afn que la foncon nconnue n a pas de faceur dans l équaon dfférenelle. On oben : d d + = + = (1) d d 1.2. ude qualave On vor mmédaemen sur (1) que la quané / a les dmensons d une durée : le phénomène décr par (1) aura donc une durée caracérsque d évoluon /. n régme permanen, les grandeurs élecrques ne varen plus, on a donc : d 0 = = = lorsque d n régme nal, l nensé du couran es quas-nulle, on a donc : d 0 = lorsque d 3/8

4 D où l allure de la courbe : y () = / / 1.3. Soluon On a renconré l équaon dfférenelle dans le chapre précéden. Sa soluon générale es () A Be = + Grâce à la condon nale (0) = 0, on rouve B = A. D aure par en régme permanen d/d = 0 donc ( ) = / d où A = /. a soluon de l équaon dfférenelle es donc : () = ( 1 e ) eporons ce résula dans l équaon dfférenelle pour obenr la valeur de : d 1 = e / d d 1 / / 1 1 / e e + = + = + e d équaon dfférenelle (1) es donc ben vérfée s e seulemen s = = C es à dre s es égal à la durée caracérsque lue drecemen dans l équaon dfférenelle. Monrons que a ben les dmensons d une durée par analyse dmensonnelle, en ulsan la lo d Ohm e la relaon consuve de la bobne : U U = = 1 I Q.T U 1 Q.T T 2 U U = = Q.T U = = 2 d d Q.T 4/8

5 e graphque suvan représene pluseurs courbes d éablssemen du couran dans un dpôle, soums à un échelon de enson : dmnue s on augmene e augmene s on augmene. / 0,63 / a consane de emps peu se rouver géomérquemen par les méhodes habuelles Tenson aux bornes de la bobne Manenan que l on connaî, l es facle d en dédure la enson aux bornes de la bobne. Plaçons nous afn de smplfer le calcul dans le cas où la bobne es déale : sa réssance nerne es néglgeable e on a =. d 1 / / On a = e = e. d D où d() / / u() = = e = e d a enson aux bornes de la bobne es donc dsconnue dans le crcu à l éablssemen du couran : 0,37 5/8

6 2. upure du couran e crcu éan en régme permanen ( ( = 0) = / ), on ouvre l nerrupeur du crcu suvan dans lequel la bobne es consdérée déale : K u 2.1. quaon dfférenelle a bobne peu donc se décharger grâce à la branche mune d une dode (qu ne lasse pas passer le couran an que le généraeur es connecé). addvé des ensons s écr c : u + u = 0 d où l équaon dfférenelle : d + = 0 d d + = 0 + = 0 d d d 2.2. ude qualave Durée caracérsque d évoluon : / égme permanen : = 0 d égme nal : = 0 d Allure de la courbe : Tangene à l orgne d équaon y () = / 6/8

7 2.3. Soluon C es la même équaon dfférenelle que pour la décrossance radoacve e pour la décharge d un condensaeur dans une réssance, avec une consane de emps = /. Sa soluon es : () Ae e = = avec = la enson aux bornes de la bobne s écr, pendan la décharge : d / d() 1 u = = e pusque = e = e. d d lle présene à nouveau une dsconnué. a enson es négave car la bobne se compore comme un généraeur, alors que le dpôle es orené en convenon récepeur. / = / = / Inensé dans le crcu Tenson aux borne de la bobne IV. ASPCTS NGTIQUS Comme on l a vu dans l expérence d nroducon, la bobne es capable de socker de l énerge pendan l éablssemen du couran, qu elle resue après la rupure du couran. a pussance ulsée par la bobne supposée déale s écr : 2 d d p = u = = 2 d d 2 car ( u ) = 2uu. 7/8

8 a pussance es une énerge par uné de emps : p = d d. n comparan les deux formules, on oben l expresson de l énerge magnéque ε m sockée dans une bobne : ε 1 2 () = m () 2 On vo ans plus précsémen pourquo le couran dans le crcu es oujours connu : l énerge éan conservée, elle ne peu pas êre dsconnue. Dans le crcu de décharge de la bobne, mulplons l addvé des ensons par : u + u = 0 p + p = 0 e blan de pussance pendan la décharge s écr donc : Pussance ulsée par la bobne + Pussance ulsée par la réssance = 0 So : 2 p = ( p es négave pendan la décharge, pusque la bobne fourn de l énerge alors qu elle es orenée en convenon récepeur). 8/8