AAN Lundi 05 Mars Contrôle Continu 1, Semestre 2

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1 LICENCE 3 - Mathématiques La Mi-Voix - ULCO AAN Lundi 5 Mars - Contrôle Continu, Semestre Durée de l épreuve : 3h Documents interdits. Calculatrice autorisée. (Les trois exercices sont indépendants. Un soin tout particulier sera apporté à la rédaction des réponses) Exercice La courbe des puissances classées d un service d électricité représente la proportion de l année où la demande d électricité atteint ou dépasse un niveau de puissance donné. Plus la puissance est grande, plus petite est la proportion de l année où la demande dépasse cette valeur. Cette courbe est donc par définition décroissante. Pour une année donnée, on dispose des données et de la table de différences divisées suivantes : i x i f(x i ) f[x i, x i ] f[x i, x i, x i ] f[x i, x i, x i, x i 3 ], 3, -,, 9, -, -5, 566,667, 4, 83,33-6,67-87,3 3,5 9,, -3,33-9,7 4,8 8, -4,67 -, -36,67 5,9 6, -7, -6, 6,,. Donnez une approximation de f(, 3) à l aide du polynôme d interpolation de Newton de degré 3 passant par les 4 premiers points. Est-ce que cette approximation vous semble acceptable? Justifiez votre réponse.. Donnez une approximation de l erreur d interpolation commise à la question. et indiquez les chiffres significatifs de l approximation de f(, 3) obtenue à la question.. 3. Donnez les expressions des polynômes de Lagrange L (x), L (x), L (x) et L 3 (x) de degré 3 qui permettent de calculer une approximation de f(, 3). Cette approximation doit être la plus précise possible. (On ne calculera pas cette approximation). Correction :. De la table de différences divisées on déduit : p 3 (x) = 3 x x(x, ) + 566, 667x(x, )(x, ), ce qui donne p 3 (, 3) = 8, 4. La valeur de f(, 3) n est pas acceptable car pour cette valeur la fonction n est plus décroissante.. On peut estimer la valeur de l erreur par E 3 (x) a 4 x(x, )(x, )(x, 5) où a 4 = 87, 3 566, 667 = 87, 463. Cette erreur prend la valeur, 98 en x =, 3., 8 L approximation p 3 (, 3) = 8, 4 possède chiffre significatif. 3. Il faut choisir les abscisses les plus proches de x =, 3 à savoir x =,, x =, 5, x =, et x =,. Les polynômes de Lagrange sont (x, 5)(x, )x L (x) =,, 5)(,, ),, L (x, )(x, )x (x) = (, 5, )(, 5, ), 5 (x, )(x, 5)x L (x) = (,, )(,, 5), et L (x, )(x, 5)(x, ) 3(x) = (,, )(,, 5)(,, ). /6

2 Exercice On rappelle la définition suivante : Soit E un espace vectoriel réel. On dit qu une application ϕ : E E R (x, y) (x y) est un produit scalaire si elle est : bilinéaire : ϕ est linéaire relativement à chaque argument (l autre étant fixé). symétrique : (x, y) E (y x) = (x y) positive : x E (x x) définie : (x x) = x =,. Montrez que l application (P, Q) < P Q >= (pour <.. >) sur R [X].. Donnez une base orthonormée (pour <.. >) de R [X]. Correction : ( t)p (t)q(t)dt définit un produit scalaire. La fonction t t étant à valeurs strictement positives sur ]; [, il est facile de vérifier que <.. > est un produit scalaire.. En utilisant l algorithme de Gram-Schmidt, on définit la base orthonormée (P i ) i par : Q =, Q = ( t)dt =, P =, Q = x < x P > P = x 3, Q =< Q x >= 4 9, P = 3 x, Q = x < x P > P < x P > P = x 8 5 x + 5, Q =< Q x >= , P = 4 (5x 8x + ). Une base orthonormée de R [X] est donc : (, 3 ) 6 x, 4 (5x 8x + ). Exercice 3 On note E l espace vectoriel des applications continues de [ ; ] dans R. On désigne par E n l espace vectoriel des fonctions polynomiales de [ ; ] dans R de degré inférieur ou égal à n où n est un entier naturel. On pourra confondre les expressions polynôme et fonction polynomiale. Si f est un élément de E, on pose f = f(x). On rappelle les résultats suivants : sup x [ ;] /6

3 L unique polynôme T à coefficients réels de degré n vérifiant la propriété θ R, T (cos θ) = cos(nθ) est le polynôme de Tchebychev d indice n est noté T n. On peut définir alors une fonction polynomiale sur [ ; ] par Le polynôme T n vérifie les propriétés suivantes : x [ ; ], T n+ (x) = xt n (x) T n (x) n x [ ; ], T n (x) = n (x cos θ k ) où θ k = x [ ; ], T n (x) = cos(narcos(x)). (k + )π. n ( ) k= kπ Si on pose c k = cos pour k {,,..., n}, alors n k {,,..., n}, T n (c k ) = T n et k {,,..., n }, T n (c k+ ) = T n (c k ). Les n + réels c, c,..., c n sont appelés points de Tchebychev.. Montrez que pour toute fonction h de E, l application t h(t) est intégrable sur ] ; [. t Pour f et g éléments de E, on pose < f g >=. (a) Soit h une fonction positive de E, montrez que si nulle. f(t)g(t) t dt. h(t) dt = alors h est la fonction t (b) Montrez que <.. > définit un produit scalaire sur E. Ceci nous permet de définir une norme euclidienne sur E. Pour tout élément h de E, on pose h = < h h >. 3. Calculez < T n T m > selon les valeurs des entiers naturels m et n. En déduire pour tout entier naturel n que la famille (T, T,..., T n ) est une base orthogonale (pour <.. >) de E n. Dans toute la suite, f désignera un élément de E et n un entier naturel. On pose d (f, E n ) = inf{ f Q, Q E n }. 4. (a) Énoncez un théorème justifiant l existence et l unicité d un vecteur t n(f) dans E n tel que f t n (f) = d (f, E n ). (b) Exprimez t n (f) à l aide des polynômes de Tchebychev (qui, on le rappelle, forment une base orthogonale - mais pas orthonormée - de E n ). On dit que t n (f) est le polynôme de meilleure approximation quadratique de f sur E n. 5. Montrez que d (f, E n ) = f < f T k > T k. (On utilisera le théorème de Pythagore.) 6. (a) Déduisez-en que la série k (b) Que pensez-vous de la limite de k= < f T k > T k est convergente. condition nécessaire de convergence de la série précédente.) 7. (a) Soit h un élément de E, montrez que h π h. f(t)t n (t) dt lorsque n tend vers +? (On considérera la t (b) Montrez en utilisant un théorème de Weierstrass que lim f t n(f) =. n + 8. (a) Déduisez-en que f = < f T k > T k k. 3/6

4 (b) Application : un théorème des moments. Que peut-on dire d une fonction h de E telle que pour tout entier naturel n, h(t)t n (t) t dt =? Soit f E. On note d (f, E n ) = inf{ f Q, Q E n }. On dit qu un élément P de E n est un polynôme de meilleure approximation (PMA) au sens de Tchebychev de f d ordre n s il vérifie une des deux conditions équivalentes : (i) f P = d (f, E n ) (ii) Q E n, f P f Q. On pose K = {Q E n, f Q f }. On admettra que K est une partie compacte non vide de E n. 9. (a) Montrez que d (f, E n ) = d (f, K) (b) Déduisez-en qu il existe un élément P de E n tel que f P = d (f, E n ). P est donc un PMA d ordre n de f. (On a prouvé l existence d un PMA d ordre n pour f.) Soit h un élément de E. On dit que h équioscille sur k + points s il existe k + réels x < x <... < x k de l intervalle [ ; ] tels que i {,,..., k}, h(x i ) = h et i {,,..., k }, h(x i+ ) = h(x i ). (on dit que les extréma sont alternés). Exemples. (a) Dessinez le graphe d une fonction Φ de E telle que Φ = et Φ équioscille sur 4 points. (On ne cherchera pas à expliciter une telle fonction.) (b) Montrez que le polynôme T n+ de Tchebychev d indice n + équioscille sur n + points.. Le but de cette question est de montrer le résultat suivant : Si P est un élément de E n tel que f P équioscille sur n + points alors P est un PMA d ordre n de f. Soit P un élément de E n tel que f P équioscille sur n+ points que l on note x < x <... < x n+. Soit Q un élément de E n tel que f Q < f P. (a) Soit i {,,..., n + }. Montrez que si f(x i ) P (x i ) > alors Q(x i ) P (x i ) >. On a de même que si f(x i ) P (x i ) < alors Q(x i ) P (x i ) <. (b) Déduisez-en que P = Q et concluez.. On considère dans cette question, pour x [ ; ], f(x) = x n+ et on pose : Montrez que q n est un PMA d ordre n de f. q n (x) = x n+ n T n+ (x). 3. Déduisez-en que pour tout polynôme P unitaire de degré n +, on a n T n+ P. 4. (a) Dans cette question, f est un polynôme de degré n +. Déterminez un PMA d ordre n de f. (b) Application : déterminez un PMA d ordre de f(x) = 5x 3 + x 3. Il n existe pas de formule générale qui donne l expression du PMA d une fonction quelconque. On peut cependant utiliser un algorithme (de Remez) qui fournit une suite de polynômes qui converge vers le PMA (cf. Master MEM...). 4/6

5 Correction :. La fonction t b est intégrable sur ] ; [ car elle est positive et t a Arcsina π pour tout [a; b] ] ; [. h(t) t h donc t h(t) t sur ] ; [. t dt = Arcsinb t est aussi intégrable. (a) Par positivité stricte de l intégrale pour les fonctions continues, h est nulle sur ] ; [. Par continuité en et en, h est nulle sur [ ; ]. (b) L application <.. > est bien définie sur E E d après., elle est bilinéaire par linéarité de l intégrale et évidemment symétrique et positive. Plus précisément, elle est définie positive d après (a), c est donc un produit scalaire sur E. 3. La définition de <.. > et le changement de variable t = cos θ donnent : < T n T m >= D où < T n T m >= π T n (t)t m (t) dt = t π T n (cos θ)t m (cos θ)dθ = (cos(n + m)θ + cos(n m)θ)dθ = π cos nθ cos mθdθ. π si m = n = π/ si m = n si m n. (T k ) k n est donc une famille orthogonale de n + vecteurs non nuls de l e.v. E n, qui est de dimension n +. C est par conséquent une base orthogonale de E n. 4. (a) E n est un sous-e.v. de dimension finie de l espace préhilbertien ( E, <.. >) donc, par le théorème de projection, la distance de f à E n est atteinte en un unique élément de E n, à savoir le projeté orthogonal de f sur E n. ( ) Tk (b) La famille est une base orthonormale de E n donc, d après le cours et les T k questions 3. et 4.(a) : t n (f) = k= k n ( Tk Tk, f = T k T k π < T, f > T + < T k, f > T k ). 5. f = t n (f)+(f t n (t)) et t n (f) f t n (f) donc f = t n(f) + f t n(f) = t n(f) +d (f, E n ). Mais d après 4.(b) et l expression de la norme en base orthonormale, t n (f) < f, T k > = T k= k d où le résultat. 6. (a) < f, T k > T k est une série à termes positifs dont les sommes partielles sont, selon 5., majorées par f. Elle est donc convergente. (b) La série < f, T k > T k k est convergente. Son terme général tend donc vers zéro. Or pour k >, on a < T k, T k >= π (question 3.), donc par produit, la suite de terme général < f, T k > converge vers zéro donc celle de terme général < f, T k > aussi. Ainsi, la suite de terme général f(t) T n (t) dt tend vers zéro. t 7. (a) h = h(t) dt t h k= t dt = h [Arcsint] = π h, d où le résultat. (b) Soit ε R +. D après le théorème de Weierstrass, il existe un polynôme p tel que f p d où il résulte, d après (a), que f p ɛ. Fixons un tel p et notons N son degré. Pour n N, p appartient à E n, donc f t n (f) f p ɛ. Cela démontre, par retour à la définition, que la suite ( f t n (f) ) converge vers, ou encore que la suite ( t n (f) ) converge vers f pour la norme. ɛ π 5/6

6 8. (a) Il suffit de faire tendre n vers l infini dans l égalité du 5., puisque d (f, E n ) = f t n (f). (b) Pour une telle fonction h, le (a) donne h = c est-à-dire h =. 9. (a) K E n, donc d (f, E n ) d (f, K). Pour Q E n \ K, f Q > f d (f, K). On a donc f Q d (f, K) pour tout Q E n, et par suite d (f, K) d (f, E n ). (b) L application Q f Q de K dans R est continue. Comme K est compact et non vide, elle admet un minimum global. Soit P un élément de K en lequel ce minimum est atteint, on a : f P = min Q K f Q = inf Q K f Q = d (f, K) = d (f, E n ).. (a) D après les rappels, Φ = T 3 / a pour norme Φ = / et équioscille sur les 4 points x l = cos(lπ/3) avec l variant de à 3. (b) On a établi cette propriété en TD (qui est rappelée dans l énoncé). Les points recherchés sont (n + k)π les x k = cos avec k {,..., n + }. n +. (a) Q(x i ) P (x i ) = Q(x i ) f(x i ) + f(x i ) P (x i ) = Q(x i ) f(x i ) + f P f P f Q >. (b) Les inégalités du (a) et le théorème des valeurs intermédiaires montrent que le polynôme Q P possède au moins n + racines. Comme son degré est au plus n, c est le polynôme nul, donc Q = P. Cela contredit l hypothèse initiale sur Q. On a donc f Q f P pour tout Q E n. Autrement dit, P est un PMA d ordre n de f.. D abord, q n appartient à E n, puisque T n+ est de degré n + et de coefficient dominant n. Ensuite, f(x) q n (x) = n T n+ (x) donc, selon.(b), f q n équioscille sur n + points. D après le rappel de la question., q n est un PMA d ordre n de la fonction f : x x n+. 3. Soit P un tel polynôme. Gardons les notations précédentes et posons r n (x) = x n+ P (x). r n E n donc d après., f q n f r n ce qui se réécrit n T n+ P. 4. (a) Notons α le coefficient dominant de f et posons P = f n αt n+. Par construction, P appartient à E n. De plus, f P = n αt n+, qui équioscille sur n + points, donc P est un PMA d ordre n de f. (b) L application à f de la formule du (a) fournit le PMA d ordre x 5x 3 + x (4x3 3x) = 3 4 x 3. 6/6