Séquence 9. Lois normales, intervalle de fluctuation, estimation. Sommaire

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1 Séquece 9 Lois ormales, itervalle de fluctuatio, estimatio Sommaire 1. Prérequis. Lois ormales 3. Itervalles de fluctuatio 4. Estimatio 5. Sythèse de la séquece Séquece 9 MA0 1 Ced - Académie e lige

2 Das le chapitre, après le rappel et l approfodissemet des résultats cous sur les lois biomiales, le théorème de Moivre-Laplace est éocé. O itroduit alors la loi ormale réduite cetrée, loi à desité sur R, et les autres lois ormales. X Das le chapitre 3, o étudie des itervalles de fluctuatio des variables aléatoires F =, fréqueces des variables aléatoires biomiales X de paramètres et p. O étudie quelques exemples de prise de décisio. Das le chapitre 4, o aborde l estimatio d ue proportio icoue à partir de celle d u échatillo. Cette séquece pourra vous paraître difficile au premier abord. Le mode des probabilités et des statistiques est différet des autres par so sujet et ses méthodes. Il faut vous y ploger et, au fur et à mesure, vous vous familiariserez avec ces otios. Les premiers exercices vot motrerot commet utiliser les résultats du cours et les calculs sot souvet simples à réaliser. Séquece 9 MA0 Ced - Académie e lige

3 1 Prérequis A Foctios Les lois ormales sot des lois à desité, o utilisera doc les résultats des séqueces précédetes sur les foctios et le calcul itégral. B Probabilité 1. Espérace et écart-type d ue variable aléatoire O rappelle que, das le cas fii, o a la propriété suivate. Propriété Soit X ue variable aléatoire et deux ombres réels a et b. O a alors : E( ax + b) = ae( X ) + b et σ( ax + b) = a σ( X ). Sigalos que l o dit aussi «moyee» pour désiger l espérace d ue variable aléatoire.. Loi biomiale Défiitio Soit X la variable aléatoire défiie par le ombre de succès obteus quad o répète fois de faço idépedate ue expériece ayat deux résultats possibles, réussite de probabilité p et échec de probabilité 1 p. La loi de probabilité de X est la loi biomiale de paramètres et p, otée B( ; p). Séquece 9 MA0 3 Ced - Académie e lige

4 Propriétés La loi biomiale O a PX k k p k p k ( = ) = ( ) 1 pour tout etier k tel que 0 k, le ombre k est u coefficiet biomial qui se lit «k parmi» et qu o peut détermier avec ue calculatrice. O a E( X) = p et σ( X) = p( 1 p). Exemple Représetatio graphique d ue loi biomiale 0,50 =0 et p=0,7 P(X=k) 0,00 probabilité 0,150 0,100 0,050 0, k Utiliser ue calculatrice ou u tableur. Avec u tableur Soit X ue variable aléatoire suivat la loi biomiale de paramètres et p. La sytaxe LOI.BINOMIALE(k ; ; p ; FAUX) ou LOI.BINOMIALE(k ; ; p ; 0) revoie la probabilité P( X= k). La sytaxe LOI.BINOMIALE(k ; ; p ; VRAI) ou LOI.BINOMIALE(k ; ; p ; 1) revoie la probabilité cumulée P( X k). Avec ue calculatrice TI (84, mais aussi 83 et 8 avec des modificatios mieures) Pour calculer P( X= k) lorsque X suit la loi biomiale B( ; p), o utilise l istructio biomfdp( (que l o obtiet par l istructio DISTR (touches ND VARS) et la touche 0) que l o complète aisi : biomfdp(, p, k). Ces calculatrices doet aussi les probabilités PX ( k) par l istructio biomfrepdp(. Avec ue calculatrice Casio (graph 35+ ou plus) Pour calculer P( X= k) lorsque X suit la loi biomiale B( ; p), o utilise le meu STAT, o choisit DIST (touche F5) puis BINM (touche F5), Bpd (touche F1) et Var (touche F). O reseige la boîte de dialogue : Data : variable ; valeur désirée : k ; Numtrial : ; probabilité : p. Avec ue calculatrice Casio graph 5+Pro, pour calculer P( X= k), il faut taper la formule ou avoir implémeté u programme. 4 Séquece 9 MA0 Ced - Académie e lige

5 3. Loi à desité Défiitio O dit qu ue foctio f, défiie sur u itervalle I de R, est ue desité de probabilité sur I lorsque : la foctio f est cotiue sur I ; la foctio f est à valeurs positives sur I ; l aire sous la courbe de f est égale à 1 u.a. Défiitio Soit f ue foctio, défiie sur I, qui est ue desité de probabilité sur I. O dit que la variable aléatoire X suit la loi de desité f sur l itervalle I lorsque, pour tout évéemet J iclus das I, la probabilité de l évéemet ( X J) est la mesure, e uités d aire, de l aire du domaie : { ( ) } M x ; y ; x Jet 0 y f( x). j O c i d Propriété d Pour tout itervalle J = [ c ; d] de I, o a : P( c X d)= f( x) dx. c Pour tout réel α de I, o a : P X =α = 0. ( ) Séquece 9 MA0 5 Ced - Académie e lige

6 Défiitio Pour deux itervalles J et J, iclus das I, tels que J J =, o a : ( ) ( ) ( ) P X J J = P X J + P X J. Propriété ( ) ( ) Soit J u itervalle, o a : P X J = 1 P X J. C Échatilloage E statistiques, u échatillo de taille est la liste des résultats obteus par répétitios idépedates de la même expériece aléatoire. Ici l expériece répétée est ue épreuve de Beroulli, c est-à-dire qu elle e pred que deux valeurs : échec / réussite, oui / o, homme / femme, 0 / 1 Par exemple, u échatillo de taille 100 du lacer d u dé dot o observe l apparitio ou o de la face 6 est la liste des résultats obteus e laçat 100 fois le dé. Pour chaque lacer la probabilité de réussir (d obteir la face 6) est p, la probabilité de l échec (e pas obteir 6) est 1 p (p = 1 si le dé est bie équilibré). 6 Le ombre de réussites das u échatillo de taille suit la loi biomiale B( ; p). O appelle f la fréquece du ombre de réussites das l échatillo. Défiitio U itervalle de fluctuatio au seuil de 95 %, relatif aux échatillos de taille, est u itervalle où se situe la fréquece f observée das u échatillo de taille avec ue probabilité supérieure à 0,95. Commetaire O a vu e Secode que : L itervalle p p 1 ; + est u itervalle de fluctuatio approché au seuil de 95 %, relatif aux échatillos de taille. Das certais cas, la probabilité que la fréquece appartiee à l itervalle p p 1 ; + est très proche de 0,95 mais e état iférieure, c est pourquoi o dit que ce sot des itervalles de fluctuatio «approchés». 6 Séquece 9 MA0 Ced - Académie e lige

7 Cela a été admis après avoir observé des exemples obteus, par exemple, par simulatio. Das la pratique, o utilise l itervalle p p 1 ; + pour des probabilités p comprises etre 0, et 0,8 et des échatillos de taille supérieure à 5. Séquece 9 MA0 7 Ced - Académie e lige

8 Lois ormales A Objectifs du chapitre O observe d abord, das ue activité, des représetatios graphiques de lois biomiales, puis de lois biomiales cetrées et réduites. Le théorème de Moivre-Laplace est éocé. Ce théorème théorise les observatios de l activité et motre l utilité de la loi ormale N (0 ; 1) de moyee 0 et d écart-type égal à 1. O étudie doc la loi ormale N (0 ; 1) qui est la loi ormale de référece. O termie par la défiitio des autres lois ormales et des exemples d utilisatio. B Activité 1 Pour débuter Cetrer et réduire Défiitio 1 O dit qu ue variable aléatoire est cetrée et réduite lorsque so espérace est ulle et so écart-type égal à 1. Soit X ue variable aléatoire preat u ombre fii de valeurs, d espérace m= E( X), de variace V( X ) et d écart-type σ 0 = V( X ) o ul. Démotrer que : la variable aléatoire ( X m) a ue espérace ulle ; X m la variable aléatoire Z = est ue variable aléatoire cetrée et réduite. σ 0 Activité Approche de la loi ormale cetrée et réduite O motre das cette activité la démarche qui, e partat des lois biomiales, amèe à la loi ormale cetrée et réduite. O fait cette approche e trois étapes. 8 Séquece 9 MA0 Ced - Académie e lige

9 Observatio des représetatios graphiques des lois biomiales O doe ci-dessous deux représetatios graphiques des probabilités obteues par des lois biomiales B( ; p). Il s agit de diagrammes e bâtos, le logiciel OpeOffice dessiat les bâtos u peu épais. Il e faut pas cofodre avec des histogrammes. probabilité P(X=K) 0,18 0,16 0,14 0,1 0,1 0,08 0,06 0,04 0,0 0 Loi biomiale =40 p=0, Valeurs de k probabilité P(X=K) 0,140 0,10 0,100 0,080 0,060 0,040 0, Loi biomiale =50 p=0, Valeurs de k Les lois, doc les représetatios graphiques, dépedet des valeurs des paramètres et p, mais o observe, ici et aussi sur la représetatio doée das les prérequis, ue grade ressemblace etre ces graphiques. Toutes les représetatios graphiques des lois biomiales sot aalogues. Il semble que la probabilité maximum (le bâto de plus grade ordoée) est obteue pour la valeur moyee, pour l espérace qui vaut p. O associe à chacue de ces lois B( ; p) ue autre loi, cetrée et réduite. O utilise pour cela le résultat de l activité 1. Aisi, à la variable aléatoire X, o associe la variable aléatoire cetrée et réduite X m Z = σ, X p soit Z = p( 1 p). Loi de Z Z=(X p)/rac(p(1 p)) =50 p=0,7 0,15 10,8 10,18 9,57 8,95 8,33 7,7 7,1 6,48 5,86 5,5 4,63 4,01 3,39,78,16 1,54 0,93 Valeurs de Z 0 0,93 1,54,16,78 3,39 4,01 4,63 Toutes les variables aléatoires Z cetrées réduites défiies à partir d ue loi biomiale ot des représetatios graphiques qui ot la même allure. Elles sot seulemet plus ou mois «étalées», le maximum est plus ou mois grad. Séquece 9 MA0 9 Ced - Académie e lige

10 Chagemet de représetatio Les sommets des bâtos semblet dessier ue courbe, qui est de plus e plus «visible» quad gradit. Pour défiir cette courbe, puis utiliser ue probabilité à desité, o chage de représetatio. O passe des diagrammes e bâtos où les probabilités sot représetées par la hauteur des bâtos, à des rectagles où les probabilités sot représetées par les aires des rectagles. Les deux représetatios sot illustrés ci-dessous sur u exemple où est pas très grad. loi de X : B(,p) = 0 et p = 0,7 Z = (X 14)/ 4, 0, loi de probabilité de Z : ordoées des bâtos O 1 Le rectagle correspodat au bâto e couleur est aussi e couleur sur la représetatio suivate (aalogue à u histogramme). L axe des ordoées permet de repérer les desités, comme o l a vu das la séquece 8 (Lois à desité). desité loi de probabilité de Z : aires des rectagles loi de X : B(,p) = 0 et p = 0,7 Z = (X 14)/ 4, probabilité : 0,05 O 1 Chaque bâto est remplacé par u rectagle. La mesure de l aire du rectagle est égale à la probabilité. Comme toutes les bases des rectagles ot la même logueur, les aires des rectagles sot proportioelles aux hauteurs de ces rectagles et doc les hauteurs des rectagles sot proportioelles aux hauteurs 10 Séquece 9 MA0 Ced - Académie e lige

11 des bâtos. Les bords supérieurs des rectagles ot doc la même allure que les extrémités supérieures des bâtos. Les bords supérieurs des rectagles fot apparaître ue courbe régulière et symétrique. Le mathématicie Abraham de Moivre, protestat fraçais émigré e Agleterre après la révocatio de l édit de Nates, a motré e 1733, das u cas particulier, que cette courbe est la courbe représetative de la foctio défiie sur R par t 1 ft () e = π. Ce résultat a été gééralisé par Pierre-Simo de Laplace (das Théorie aalytique des probabilités (181). Activité 3 Étude de la foctio défiie sur R par f( x) = (complémet de l exercice 16 de la séquece 7 ). Motrer que cette foctio est paire. Étudier la limite de f e + et e. x 1 e π Séquece 9 MA0 11 Ced - Académie e lige

12 Étudier les variatios de f et doer la représetatio graphique de la foctio f. 10 Doer ue valeur approchée de f( x) d x. Quelle cojecture peut-o 10 faire pour la mesure de l aire (e uités d aire) sous la courbe représetat f tout etière? Justifier que f semble doc être ue desité de probabilité. C Cours 1. Théorème de Moivre-Laplace Le paramètre p est fixé, l etier varie, les variables aléatoires X suivet les lois biomiales B( ; p). O utilise les variables aléatoires cetrées et réduites correspodates Z. la largeur des rectagles est de plus e plus petite ; les aires des rectagles, c est-à-dire les probabilités, devieet de plus e plus proches des aires correspodates limitées par la courbe représetat la foctio f et l axe des abscisses : les probabilités P( a Z b) sot de plus x b 1 e plus proches de π e a d x. 0,5 p = 0,34 = 99 0,4 0,3 0, 0, Voici doc l éocé du théorème de Moivre-Laplace, qui théorise les observatios et qui est fodametal e statistiques. Ce théorème est admis e Termiale S. 1 Séquece 9 MA0 Ced - Académie e lige

13 Théorème 1 : Théorème de Moivre-Laplace Soit p u ombre réel de l itervalle 0; 1. ] [ ( ) où chaque variable aléatoire X Soit ue suite de variables aléatoires X suit la loi biomiale B( ; p). X p O pose Z = p( 1 p), variable cetrée et réduite associée à X. Alors, pour tous réels a et b tels que a< b, o a : x b 1 lim P a Z b x e ( ) = d. + a π La motivatio commue à Beroulli (qui a éocé le premier la loi des grads ombres), Moivre et Laplace était de détermier le plus fiemet possible la fluctuatio des valeurs prises par ue variable aléatoire suivat ue loi biomiale autour de so espérace. Il s agissait esuite d utiliser ces résultats pour estimer ue probabilité icoue. Le théorème permet cela et ous verros commet das les chapitres suivats. Mais auparavat, il coviet d étudier la loi qui apparaît das le théorème de Moivre-Laplace. O l appelle la loi ormale cetrée réduite que l o ote N (0 ; 1).. Loi ormale cetrée réduite N (0 ; 1) a) Défiitio x 1 e est ue desité de proba- π Propriété 1 La foctio défiie sur R par f( x)= bilité. La foctio a été étudiée das l activité 3. C est ue foctio cotiue à valeurs positives, o admet que l aire sous la courbe est égale à 1u.a. 1 / 0,4 O 1 Cette courbe est souvet appelée «courbe de Gauss» ou «courbe e cloche». Séquece 9 MA0 13 Ced - Académie e lige

14 Défiitio Ue variable aléatoire X suit la loi ormale cetrée réduite N (0 ; 1) si sa foctio de desité est la foctio défiie sur R par f( x) = O a alors pour tous réels a et b tels que a< b, x b b 1 P a X b f( x)dx x a a e ( ) = = π d. x 1 e π. Propriété Soit X ue variable aléatoire qui suit la loi ormale N (0 ; 1), o a : pour tout réel u positif, P( X u)= P( X u) ; 1 P( 0 X)= P( X 0)=. Démostratio La foctio de desité de la loi ormale N (0 ; 1) est paire, doc, par symétrie, les mesures des aires égales aux probabilités P( X u) et P( X u) sot égales, P( X u)= P( X u). P(X u) f P(X u) u O u Remarque Pour u = 0, o a P( X 0)= P( X 0 ) et, comme 1= PX ( 0) + PX ( < 0) = PX ( 0) + PX ( 0), o obtiet 1= PX ( 0). 1 O e déduit P( 0 X)= P( X 0)=. Calculs La foctio de desité de la loi ormale N (0 ; 1) a pas de primitive coue, c est-à-dire qu il est impossible de l exprimer algébriquemet (somme, produit ) à partir des foctios usuelles (polyômes, expoetielle, logarithme ). Les calculatrices et les tableurs permettet de calculer des valeurs approchées des itégrales (voir le cours d itégratio), mais ils permettet aussi d obteir direc- 14 Séquece 9 MA0 Ced - Académie e lige

15 temet des valeurs approchées de certaies probabilités liées à la loi ormale. Les calculs des probabilités de la forme Pa ( X b), PX ( c) et P( X c), a, b et c état des ombres réels doés, serot expliqués das la partie où sot étudiées toutes les lois ormales. b) Espérace et écart-type de la loi ormale cetrée et réduite O gééralise la défiitio de l espérace d ue variable aléatoire à desité qui a été vue pour les lois uiformes et les lois expoetielles. Ici la variable aléatoire est défiie sur R. Remarque O emploie souvet le mot «moyee» pour désiger l espérace. Défiitio 3 Si la variable aléatoire X suit la loi ormale N (0 ; 1), l espérace E( X ) de la variable aléatoire X est défiie par : 0 x E( X) = lim tft ( )dt + lim tft ( )dt y y x + 0 où f est la foctio de desité de la loi ormale N (0 ; 1). Propriété 3 L espérace (ou la moyee) de la loi ormale N (0 ; 1) est égale à 0. Démostratio Soit x u ombre réel positif, o a : t x x t tf()d t t = t π e 0 0 d x t t x 1 x 1 = = π π 1 = π + t e dt e e O étudie d abord la limite lim x tf ( t ) d t par compositio. x + 0 x La foctio x e x est la composée de x et de X X e, or x lim = X et lim e = 0, o peut doc écrire x + X x lim e X x = lim e = 0 par compositio avec X = x + X. Séquece 9 MA0 15 Ced - Académie e lige

16 Doc x lim tf( t)dt = x π. De même, o trouve tf()d t t = y O coclut fialemet : E( X ) = 0. 0 y 1 e 1 π 0 et lim tf( t)dt = y y 1 π. Propriété 4 La variace V( X ) de la loi ormale N (0 ; 1), défiie par ( ) V( X) = E ( X E( X), est égale à 1. Cette propriété est admise. O e déduit que l écart-type de la loi ormale N (0 ; 1) est aussi égal à 1. c) Répartitio des valeurs de X Das le théorème qui suit apparaît u ombre ommé α. Le choix de α das ] 0; 1[ correspod au choix d ue probabilité. Das la pratique il est itéressat de choisir α proche de 0 (0,05 ou 0,01 ou ). Le ombre 1 α est lui aussi das 0; 1, ; tel que la probabilité que X soit e dehors ; soit égale à α (0,05 ou 0,01 ou ) et doc que la ; soit égale à 1 α (0,95 ou 0,99 ou ). Le choix de α aura pour coséquece que la probabilité que X appartiee à ; sera proche de 1 (voire très proche) et la probabilité que X appar- ] [ il est alors proche de 1 (0,95 ou 0,99 ou ). O cherche u itervalle [ u u] de cet itervalle [ u u] probabilité que X appartiee à [ u u] [ u u] tiee pas à [ u ; u] sera faible (voire très faible). P( u X u) = 1 P(X u) f P(X u) u O u Théorème Lorsque la variable aléatoire X suit la loi ormale N (0 ; 1), pour tout ombre α de l itervalle 0; 1, ] [ il existe u uique ombre réel positif u α tel que ( ) P uα X uα = 1 α. 16 Séquece 9 MA0 Ced - Académie e lige

17 Démostratio D après la symétrie de la courbe de la desité de la loi ormale, pour tout réel u positif o a : u P( u X u)= P( 0 X u)= f x x = H u 0 ( ) d ( ), où H est la primitive de la foctio f sur R qui s aule e 0. La foctio H est doc cotiue et strictemet croissate sur R. O a H( 0)= 0 et lim Hu ( ) = lim P( 0 X u)= P( 0 X)= 1 =. u + u + 1 O obtiet le tableau de variatio de la foctio H : u 0 u α + 1 H( u) 0 1 α À savoir Remarque ] [ le ombre 1 α appartiet aussi à ] [ et doc, d après le corollaire du théorème des valeurs itermédiaires, il Pour tout ombre α de l itervalle 0; 1, 0; 1 existe u uique réel u α tel que Hu ( α ) = 1 α c est-à-dire tel que P( uα X uα)= 1 α. Valeurs particulières O a u 005, 196, d où : P( 196, X 196, ) 0, 95. O a u 001, 58, et P( 58, X 58, ) 099,. Comme les valeurs de u 005, et u 001, e sot pas des valeurs exactes, il e est de même pour les probabilités. O obtiet ue boe idée de la répartitio des valeurs de X. Eviro 95% des réalisatios de X se trouvet etre 196, et 1,96 et 99% des réalisatios de X se trouvet etre, 58 et 58,. O appelle «réalisatio d ue variable aléatoire X» la valeur observée quad o réalise cocrètemet l expériece aléatoire. 3. Loi ormale N ( µ ; σ ) a) Défiitio, espérace, écart-type Défiitio 4 Ue variable aléatoire X suit ue loi ormale N ( µ ; σ ) si la variable X µ aléatoire Z = suit la loi ormale N (0 ; 1). σ Séquece 9 MA0 17 Ced - Académie e lige

18 Exemple Exemples Voici u premier exemple de modélisatio d u phéomèe cocret par ue loi ormale. Le poids e kilos des ouveau-és à la aissace est ue variable aléatoire qui peut être modélisée par ue variable aléatoire suivat la loi ormale de moyee µ=33, et d écart-type σ = 05,. La probabilité qu u ouveau-é pèse mois de,5 kg à la aissace est doc : PX ( < 5, ). Avec ue calculatrice (l explicatio est doée u petit peu plus loi), o trouve P( X<, 5) 0, 054 à 10 3 près par défaut. Aisi, le risque qu u ouveau-é soit d u poids iférieur à,5 kg est u peu supérieur à 5 %. O a représeté ci-dessous les courbes des foctios de desité de ciq lois ormales. (3;0,5) (0;1) (1;1) (0;4) (1;4) O 1 O observe que chaque courbe est symétrique par rapport à la droite d équatio x = µ. Propriété 5 O admet que, si ue variable aléatoire X suit la loi ormale N ( µ ; σ ), alors so espérace est égale à µ et so écart-type à σ : E( X ) =µ et σ( X ) = σ. b) Utilisatio des calculatrices À savoir La variable aléatoire X suivat la loi ormale N ( µ ; σ ), il faut savoir calculer des probabilités de la forme : Pa ( X b), P( X c) et P( X c), a, b et c état des ombres réels doés. 18 Séquece 9 MA0 Ced - Académie e lige

19 Il faut aussi savoir détermier le ombre x tel que P( X x) = p, p état ue probabilité doée. O doe d abord les explicatios pour toutes les calculatrices TI et les calculatrices Casio pour les modèles Graph 35 et plus. O doe esuite les explicatios pour la calculatrice Casio 5+Pro. Pa ( X b) Sauf la calculatrice Casio 5+Pro, les calculatrices étudiées ici fot le calcul directemet. Par exemple P( 1 X 1, 5) 0, où X suit la loi N (3 ; 4). Texas Casio Graph 35 O choisit Distr (par d Var) puis ormalcdf (ou, e fraçais, ormalfrep). O idique les doées das l ordre a, b, µ et σ (attetio à e pas cofodre σ et σ ). Voici u exemple avec a = 1 b = 15, µ = 3 et σ = : Das le meu Stat, o choisit Distr, puis NormCD. O idique les doées das l ordre a, b, σ et µ (attetio à e pas cofodre σ et σ ). Voici u exemple avec a = 1 b = 15, µ = 3 et σ = : PX ( c) Les calculatrices étudiées e fot pas le calcul directemet. O dispose de deux méthodes. O utilise l approximatio P( X c) P( X c) où o églige PX ( < ). Ou bie o utilise des égalités, mais elles dépedet de la positio de c par rapport à µ. Les égalités sot obteues e écrivat la probabilité d ue réuio d évéemets icompatibles. O mémorise visuellemet ces égalités qui s iterprètet avec des aires. P(X ) f P( X c) c Si c µ : 1 PX ( c) = PX ( < µ ) + P( µ X c) = + P( µ X c) Séquece 9 MA0 19 Ced - Académie e lige

20 P(X c) P(c X ) f c Si c µ : 1 PX ( c) = PX ( µ ) Pc ( < X µ ) = Pc ( X µ ). Remarque Exemple O a PX ( c) = 1 PX ( < c) (évéemets cotraires) et aussi PX ( c) = PX ( c) à cause de la symétrie de la courbe de la foctio de desité. O a :P( X 8) 0, où X suit la loi N (3 ; 4). Détermier x tel que P( X x) = p, p état ue probabilité doée. La plupart des calculatrices permettet de trouver directemet le résultat. Texas O choisit Distr (par d Distr) puis ivnorm (ou, e fraçais, FracNorm), puis o doe p, µ et σ. Voici u exemple avec p = 01, µ=3 et σ = : Casio graph 35 et plus Das le meu Stat, o choisit Distr, puis Iverse Normal. O idique les doées das l ordre p, σ et µ. Voici u exemple avec p = 01, µ=3 et σ = : Cas particulier de la calculatrice Casio 5+Pro Cette calculatrice doe seulemet les probabilités de la forme P( Z c) où Z suit la loi ormale cetrée réduite N (0 ; 1). Pour accéder à cette foctioalité, o utilise : OPTN PROB P( Aisi OPTN PROB P() doe P( Z ) 0, Pour calculer P( X c) où X suit la loi ormale N ( µ ; σ ), o se ramèe à X µ la loi N (0 ; 1) e utilisat Z = σ. La probabilité P( X 8 ) où X suit la loi N (3 ; 4) s obtiet par OPTN PROB P(( 8 3) / ) et o trouve P( X 8) 0, O a P( a X b) = PX ( b) PX ( a) car PX ( < a) + Pa ( X b) = PX ( b) (probabilité de l uio de deux évéemets icompatibles ou aire de l uio de deux esembles disjoits). 0 Séquece 9 MA0 Ced - Académie e lige

21 Exemple 1 Solutio Pour détermier x tel que P( X x) = p, p état ue probabilité doée, la seule possibilité est de commecer par tâtoer. O cherche d abord z tel que PZ ( z) = p, Z suivat la loi ormale N (0 ; 1) puis utiliser l équivalece X Z z µ z X σ z+ µ. σ O e déduit x = σ z+ µ. Par exemple, pour détermier x tel que P( X x) =01, où X suit la loi N (3 ; 4), o trouve d abord e tâtoat z 1, 81, puis x ( 1, 81) + 3 d où x 0, 438. Pour s etraîer La variable aléatoire suit la loi ormale N (1; 9). Calculer : a) P( 8 X 18) b) P( X 3 ) c) x tel que P( X x) =07,. a) P( 8 X 18) 0, 159 b) P( X 3) 0, 5 c) x, 573. c) Itervalles «u, deux, trois sigmas» O a représeté ci-dessous les foctios de desité de trois lois ormales N ( µ ; σ ) de même espérace µ et d écarts-types différets : σ =, σ = 1 et σ = 05,. ( ;0,5) ( ;1) ( ;4) O O sait que l écart-type σ mesure la dispersio des valeurs prises par la variable aléatoire autour de so espérace µ. L ifluece de l écart-type sur la courbe est très visible : plus il est importat, plus la courbe est «étalée». Les résultats suivats doivet être cous, ils doet ue idée de la répartitio, autour de so espérace µ, d ue variable aléatoire X qui suit ue loi ormale N ( µ ; σ ). Séquece 9 MA0 1 Ced - Académie e lige

22 Propriété 6 O a : P( µ σ X µ+σ) 0,68 (à 10 près) ; P( µ σ X µ+ σ) 0,95 (à 10 près) ; P( µ 3σ X µ+ 3 σ) 0,997 (à 10 3 près). 0,68 µ µ µ+ 0,95 µ µ µ+ 0,997 µ 3 µ µ+3 Séquece 9 MA0 Ced - Académie e lige

23 Démostratio X µ O a µ σ X µ + σ σ X µ σ 1 1. σ X µ Doc P( µ σ X µ + σ) = P P( Z ) 1 1 = 1 1 et, comme la σ variable aléatoire X µ Z = suit la loi ormale N (0 ; 1), la calculatrice permet σ de faire le calcul et o trouve eviro 0,68. De même : X µ P( µ σ X µ + σ) = P P( Z ), = 0 95 et σ X µ P( µ 3σ X µ + 3σ) = P P( Z ), 3 3 = σ Aisi, eviro 68 % des réalisatios d ue variable aléatoire suivat la loi ormale N ( µ ; σ ) se trouvet das l itervalle [ µ σ ; µ + σ],eviro 95 % se trouvet das l itervalle [ µ σ ; µ + σ] et eviro 99,7 % das l itervalle µ 3σ ; µ + 3σ. [ ] D Exercices d appretissage Exercice 1 Exercice Exercice 3 Plusieurs exercices de cette séquece sot issus de documets ressources de l Éducatio atioale. Das les exercices 1 et, o doera des valeurs approchées à 10 4 près par défaut. Soit X ue variable aléatoire suivat la loi ormale cetrée réduite. Calculer : a) P( 05, X 13, ); b) P( X 1 ); Détermier le réel x tel que P( X x) =08,. c) P( X 18, ). Soit X ue variable aléatoire suivat la loi ormale N (1 ; 9). Calculer : a) P( 10 X 14) ; b) P( X 13 ); Détermier le réel x tel que P( X x) =09,. c) P( X 7). O doe ci-dessous les représetatios graphiques des foctios desité de probabilité des lois ormales N (7 ; 1), N (7 ; ), N (5 ; 1) et N (5 ; 0,5 ). Associer chaque courbe à la loi correspodate. Proposer ue valeur pour la moyee µ et pour l écart-type σ de la loi ormale N ( µ ; σ ) dot la foctio desité de probabilité est représetée par la courbe C. Séquece 9 MA0 3 Ced - Académie e lige

24 1 1 3 O 1 4 Exercice 4 Exercice 5 Exercice 6 Soit X ue variable aléatoire suivat la loi ormale N ( µ ; σ ). Si µ=15 et P( X< 1) = 0, 4, combie vaut σ? Si σ = 05, et P( X< 7) = 0, 3, combie vaut µ? Ue etreprise produit e grade quatité des pièces cylidriques. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque pièce prélevée au hasard das la productio, associe so diamètre, e millimètres. O admet que la variable aléatoire X suit la loi ormale de moyee 61,5 mm et d écart-type 0,4 mm. Détermier, das ces coditios, la probabilité qu ue pièce, tirée au hasard, ait u diamètre compris etre 60,7 mm et 6,3 mm. Ue pièce est déclarée défectueuse si so diamètre est soit iférieur à 60,7 mm, soit supérieur à 6, 3 mm. Calculer la probabilité qu ue pièce tirée au hasard soit défectueuse. Sachat qu ue pièce est pas défectueuse, quelle est la probabilité que so diamètre soit iférieur à 61 mm? La productio laitière auelle e litres des vaches laitières de la race «Fraçaise Frisoe Pie Noir» peut être modélisée par ue variable aléatoire suivat la loi ormale de moyee µ = 6000 et d écart-type σ = 400. Calculer la probabilité qu ue vache de cette race produise etre et 6 00 litres par a. Calculer la probabilité qu ue vache de cette race produise mois de litres par a. Calculer la probabilité qu ue vache de cette race produise plus de litres par a. Doer ue iterprétatio cocrète du ombre x tel que P( X< x) =030,. Détermier x. Calculer la productio miimale prévisible des 0 % de vaches les plus productives du troupeau. 4 Séquece 9 MA0 Ced - Académie e lige

25 Exercice 7 Ue cofiserie produit des plaques de chocolat. O admet que la variable aléatoire égale au poids d ue plaquette de 15 g suit ue loi ormale d espérace µ=15 et d écart-type σ = 05,. La plaquette est jugée coforme lorsque so poids est compris etre µ 3σ et µ+3σ. Calculer la probabilité qu ue plaquette prélevée aléatoiremet au hasard e fi de chaîe soit o coforme. Pour cotrôler le réglage de la machie, o détermie des poids d alerte µ h et µ+h tels que P( µ h X µ + h) =099,. Ces poids d alerte sot iscrits sur ue carte de cotrôle et correspodet à ue marge de sécurité e lie avec des ormes de coformité. Calculer ces poids d alerte. Séquece 9 MA0 5 Ced - Académie e lige

26 3 Itervalles A de fluctuatio Objectifs du chapitre Quad o réalise ue expériece aléatoire, o observe bie sûr que les résultats obteus e sot pas toujours les mêmes, c est la fluctuatio d échatilloage. Mais o observe aussi que, quad o répète ue expériece u grad ombre de fois, il y a ue régularité des résultats. Le théorème de Moivre-Laplace permet de mathématiser ces observatios. O défiit des itervalles de fluctuatio. O pourra alors décider si o cosidère que des résultats obteus lors d ue expériece sot dus au hasard (c est-à-dire à la fluctuatio d échatilloage), ou si o cosidère qu ils sot statistiquemet sigificatifs d ue différece avec le modèle choisi. B Activité 4 Pour débuter Rappel E statistiques, u échatillo de taille est la liste des résultats obteus par répétitios idépedates de la même expériece aléatoire. Ici l expériece répétée est ue épreuve de Beroulli, c est-à-dire qu elle e pred que deux valeurs : échec / réussite, oui / o, homme / femme, 0 / 1 Par exemple, u échatillo de taille 100 du lacer d ue pièce où o compte le ombre de fois où o obtiet «pile» est la liste des résultats obteus e laçat effectivemet 100 fois la pièce. Le ombre de réussites das u échatillo de taille suit la loi biomiale B( ; p). Défiitio 5 U itervalle de fluctuatio au seuil de 95 %, relatif aux échatillos de taille, est u itervalle où se situe la fréquece d u échatillo de taille avec ue probabilité supérieure à 0,95. 6 Séquece 9 MA0 Ced - Académie e lige

27 Remarque Remarque Utilisatio Tout itervalle qui cotiet u itervalle de fluctuatio au seuil de 95 % est lui aussi u itervalle de fluctuatio à ce même seuil. [ ] cotiet toutes les fréqueces, il vérifie la coditio de la défi- L itervalle 0; 1 itio 5, mais il est sas itérêt. O cherchera des itervalles de fluctuatio correspodat à des probabilités supérieures à 0,95 et aussi très proches de 0,95 e particulier das les prises de décisio. Il y a plusieurs sortes d itervalle de fluctuatio. O peut choisir des itervalles de fluctuatio cetrés e p comme ceux vus e Secode, ou pour lesquels la probabilité que la fréquece soit à l extérieur de l itervalle à gauche soit égale à la probabilité que la fréquece soit à l extérieur de l itervalle à droite comme ceux vus e Première, ou Par exemple, pour p = 0, et = 100, l itervalle de fluctuatio vu e Secode est 01, ; 03,, ;,. [ ] et celui obteu e Première est [ 01 08] Propriété admise e Secode L itervalle p p 1 ; + est u itervalle de fluctuatio approché au seuil de 95%, relatif aux échatillos de taille. Das la pratique, o utilise l itervalle p p 1 ; + pour des probabilités p comprises etre 0, et 0,8 et des échatillos de taille supérieure à 5. O dispose d u dé bie équilibré, o gage quad o obtiet 1 ou 6. Détermier u itervalle de fluctuatio au seuil de 95 % de la fréquece des lacers gagats das les échatillos de taille 100. O sait qu e moyee 51 % des ouveau-és sot des garços. Détermier u itervalle de fluctuatio au seuil de 95 % de la fréquece des garços ouveau-és das des échatillos de taille 5. Que peut-o e déduire pour le ombre de garços parmi 5 ouveau-és? Prise de décisio O a découvert ue pièce aciee et o se demade si elle est bie équilibrée. Commet faire? O lace fois la pièce et o ote la fréquece f d apparitio de «pile». O détermie u itervalle de fluctuatio I au seuil de 95 % de la fréquece d apparitio de «pile» das des échatillos de taille. Règle de décisio : si f appartiet à l itervalle I, o décide que la pièce est équilibrée ; si f appartiet pas à l itervalle I, o décide que la pièce est pas équilibrée. Das chacu des deux cas suivats, quelle est la décisio prise? = 100 et f = 056, = 1000 et f = 0, 560. Séquece 9 MA0 7 Ced - Académie e lige

28 Activité 5 Sur le tableur Ope Office, o a simulé 100 échatillos de lacers d u dé tétraédrique bie équilibré. O a détermié les fréqueces où la face marquée 1 est la face cachée ( p = 05, ), elles sot idiquées e ordoées sur le graphique. Das chacu des trois cas, détermier : le pourcetage des fréqueces apparteat à l itervalle p p 1 ; + ; le pourcetage des fréqueces apparteat à p 196, p( 1 p) p( 1 p) ; p + 196,. Premier cas 0,4 Fluctatio 100 échatillos = 50 p = 0,5 0,35 0,3 0,5 fréquece 0, 0,15 0,1 0, Séquece 9 MA0 Ced - Académie e lige

29 Deuxième cas fréquece 0,4 Fluctatio 100 échatillos = 100 p = 0,5 0,35 0,3 0,5 0, 0,15 0,1 0, Troisième cas fréquece 0,35 Fluctatio 100 échatillos = 00 p = 0,5 0,3 0,5 0, 0,15 0,1 0, Séquece 9 MA0 9 Ced - Académie e lige

30 C Cours 1. Itervalles de fluctuatio asymptotique Das ce qui suit, o cosidère des variables aléatoires X suivat chacue ue loi biomiale B( ; p) (exemple : o lace fois ue pièce équilibrée, X est le ombre de «pile» obteus, X suit la loi B( ;0,5)). X La variable aléatoire F = doe doc la fréquece du ombre de «succès». Propriété 7 X La variable aléatoire F = : 1 pred +1 valeurs : 0,,,..., ; vérifie E X p = et σ X p( 1 p) =. Démostratio La variable aléatoire X preat les +1 valeurs : 0, 1,,,, o e déduit celles de F. O sait que E( X )= p et σ ( X )= p( 1 p), o sait aussi que E( ax + b) = ae( X ) + b et σ( ax + b) = a σ( X ), doc o divise l espérace et l écart-type par et o obtiet les valeurs aocées. Les fréqueces F ot pour espérace p qui e déped pas de. p( 1 p) Les fréqueces F ot pour écart-type qui dimiue quad augmete. Les résultats observés ot tedace à se resserrer autour de l espérace p quad augmete. C est cette cocetratio des valeurs les plus probables autour de p qui permet d améliorer la prise de décisio à partir des observatios. Défiitio 6 X U itervalle de fluctuatio asymptotique de la variable aléatoire F = au seuil 1 α est u itervalle détermié à partir de p et de et qui cotiet F avec ue probabilité d autat plus proche de 1 α que est grad. 30 Séquece 9 MA0 Ced - Académie e lige

31 Exemple O motrera plus loi que l itervalle p p 1 ; + est u itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % ( α= 0,05). E classe de Secode, cela a été éocé sous forme simplifiée, le caractère asymptotique e pouvat pas être itroduit. Des exemples ot été doés das l activité 4. Das le théorème qui suit, le ombre u α est celui qui est défii das le chapitre : l uique réel tel que P( uα Z uα ) = 1 α, la variable aléatoire Z suivat la loi ormale N (0 ;1). Théorème 3 Soit p u ombre réel fixé de l itervalle 0; 1. ] [ ( ) chaque variable aléatoire X ] ; [, o a Soit ue suite de variables aléatoires X suivat la loi biomiale B( ; p), alors, pour tout réel α das 0 1 lim P X I = 1 α, où I est l itervalle + p(1 p) p(1 p) p uα ; p+ uα. Démostratio La variable aléatoire X suit la loi biomiale B( ; p), doc E( X )= p et σ ( X )= p( 1 p). X p La variable aléatoire Z défiie par Z = est la variable cetrée et réduite associée à X p( 1 p). D après le théorème de Moivre-Laplace, pour tous réels a et b tels que a< b, o a : x b 1 lim P a Z b x e ( ) = d. + a π Or : X p P a Z b P a ( )= b p( 1 p) ( ) ( ( 1 ) ( 1 )) = P a p( 1 p ) X p b p( 1 p ) = P p + a p p X p + b p p = P p+ a p ( 1 p ) X p + b p ( 1 p). Doc P p a p p X p b p p x (1 ) (1 ) 1 lim b + x e + = d. + a π E remplaçat a et b par u α et u α o obtiet : P p u p p X p u p p x (1 ) lim (1 ) u 1 x e + = α α α d = 1 α, + u α π c est-à-dire : lim P X I = 1 α. + Séquece 9 MA0 31 Ced - Académie e lige

32 Propriété 8 p(1 p) p(1 p) L itervalle I = p uα ; p+ uα est u itervalle de X fluctuatio asymptotique au seuil 1 α de la variable aléatoire F =. Démostratio À savoir Remarque Remarque Remarque Exemple Solutio C est ue coséquece immédiate du théorème précédet car la suite P X X I coverge vers 1 α. L itervalle I cotiet bie F = avec ue probabilité d autat plus proche de 1 α que est grad. p(1 p) p(1 p) L itervalle J = p 1,96 ; p + 1,96 est u itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % (p désige la proportio das la populatio). E effet, pour α= 0,05, o sait que u 005, 196,. Les itervalles I et J sot des itervalles de fluctuatio asymptotiques car il y a la coditio «d autat plus proche de que est grad». O peut cosidérer que I et J sot des itervalles de fluctuatio «approchés», la probabilité que F appartiee à I ou à J est pas forcémet supérieure à 0,95 mais si elle est pas supérieure à cette valeur, elle e est proche. E pratique das les exercices, la taille de l échatillo est fixée, l itervalle de fluctuatio asymptotique J correspodat sera l itervalle de fluctuatio utilisé. Coditios d utilisatio Les exigeces habituelles de précisio pour utiliser cette approximatio sot : 30, p 5 et ( 1 p) 5. Das l activité 5, o a pu faire des observatios cohéretes avec ces résultats. Mais la défiitio d u itervalle de fluctuatio est exprimée avec ue probabilité. Si vous faites d autres simulatios avec le fichier qui est sur le site, il se peut que quelques observatios doet des pourcetages évetuellemet u peu éloigés de 95 %. Détermier u itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % lorsque = 100 et p = 05,. O a p = 50 et ( 1 p) = 50 doc les trois coditios sot réalisées et o peut utiliser l itervalle J. O obtiet : 0,5 0,5 0,5 0,5 J100 = 0,5 1,96 ;0,5+ 1,96 soit [ 0, 40 ; 0, 598] Cet exemple modélise 100 lacers d ue pièce équilibrée. O peut doc dire que, pour eviro 95 % des séries de 100 lacers, la fréquece du ombre de «pile» obteus se situe das l itervalle 0, 40 ; 0, 598. [ ] 3 Séquece 9 MA0 Ced - Académie e lige

33 Remarque Ces itervalles de fluctuatio asymptotique sot plus faciles à détermier que ceux du cours de Première qui écessitaiet l utilisatio de tableurs ou d algorithmes.. Exemple d utilisatio : prise de décisio O utilise u itervalle de fluctuatio lorsque l o veut détermier si la proportio f observée das u échatillo est compatible ou o avec u modèle de Beroulli, c est-à-dire si elle peut être u résultat obteu par ue variable aléatoire X F =, où X suit ue loi biomiale de paramètres et p, la valeur p état coue ou supposée das la populatio. Quad X suit ue loi biomiale de paramètres et p, u itervalle de fluctuatio asymptotique I au seuil de 95 % est u itervalle où se situe la fréquece X F = avec ue probabilité d autat plus proche de 0,95 que est grad. L itervalle I cotiet doc eviro 95 % des fréqueces observées das les échatillos de taille suffisammet grade. Des fréqueces (eviro 5%)de certais échatillos e sot pas das I, c est la fluctuatio d échatilloage. E foctio de l apparteace ou o de la fréquece observée f à l itervalle I, o décide si l échatillo est coforme ou o au modèle. La règle de décisio adoptée est la suivate : si la fréquece observée f das u échatillo appartiet à u itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 %, o cosidère que l échatillo est compatible avec le modèle ; sio, o cosidère que l échatillo est pas compatible avec le modèle. Remarque Exemple 3 Avec cette règle, la fluctuatio d échatilloage amèe à rejeter, à tort, les 5% (eviro) d échatillos qui suivet le modèle de Beroulli et qui e sot pas das I. Das les exemples, les tirages sot effectués sas remise. La taille des échatillos cosidérés état faible par rapport à la taille de la populatio totale, o assimile les tirages réalisés à des tirages avec remise et o peut alors appliquer les résultats précédets. (D après documet ressources de l Éducatio atioale) Le resposable de la maiteace des machies à sous d u casio doit vérifier qu u certai type de machie est bie réglé sur ue fréquece de succès de 0,06. Il décide de régler chaque machie pour laquelle il aura observé, das l historique des jeux, ue fréquece de succès se situat e dehors d u itervalle de fluctuatio au seuil de 95 %. Lors du cotrôle d ue machie, le techicie costate qu elle a fouri 9 succès sur 85 jeux. Séquece 9 MA0 33 Ced - Académie e lige

34 Détermier la fréquece observée f de succès de cette machie. Détermier u itervalle de fluctuatio asymptotique du cours au seuil de 95 %. Le techicie va-t-il modifier le réglage de la machie? Quelle aurait été sa décisio s il y avait eu 1 succès sur 00 jeux? Solutio Remarque O a f = , 106. O a = 85, p = 006,, p = 51, et ( 1 p) = 79, 9, doc les coditios sot remplies pour utiliser l itervalle de fluctuatio asymptotique du cours 006, 094, 006, 094, 006, 196, ; p + 196, Comme 0,009 est ue valeur approchée par défaut de 006, 094, 006, 196, et 0,111 est ue valeur approchée par , 094, excès de 006, + 196,, alors [ 0, 009 ; 0, 111] cotiet , 094, 006, 094, 006, 196, ; p + 196, et [ 0, 009 ; 0, 111] est doc u itervalle de fluctuatio légèremet plus large que celui du cours. La fréquece observée f se situe das l itervalle de fluctuatio, doc le réglage de la machie est pas modifié. 1 Das ce deuxième cas, la fréquece observée est f = = 0, 105 et l itervalle de fluctuatio est eviro égal à [ 0, 07 ; 0, 093]. La fréquece f du 00 ombre de succès observée est pas das l itervalle car elle est trop grade, doc le techicie va modifier le réglage de la machie. O remarque que, das les deux cas, les fréqueces f sot presque les mêmes mais les décisios prises sot différetes car les itervalles de fluctuatio sot différets. L amplitude de l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % du cours p( 1 p) est égale à 196,. Pour ue valeur de p doée, cette amplitude dimiue quad la taille de l échatillo augmete. 3. Complémet sur les itervalles p 1 p 1 ; + a) O peut retrouver l itervalle de fluctuatio qui a été doé e classe de Secode. 1 Pour tout p das ] 0; 1[, l iégalité p( 1 p) est vérifiée (la foctio polyôme 4 du secod degré p p( 1 p) = p + p admet u maximum car le coefficiet de p est égatif, ce maximum est atteit pour p = 1 et il vaut doc = ) Séquece 9 MA0 Ced - Académie e lige

35 1 O e déduit que 196, p( 1 p) 196, 1. 4 Remarquos que cette iégalité a déjà été démotrée (exemple 1 de la séquece, Gééralités sur les foctios). O peut alors élargir l itervalle de fluctuatio J doé das le cas particulier : 1 p( 1 p) p( 1 p) 1 p p 196, p + 196, p +. Doc l itervalle J est iclus das l itervalle p p 1 ; +, ce qui prouve que P X 1 X J P p 1 p +. Coclusio L itervalle p p 1 ; + est bie u itervalle de fluctuatio asymptotique de X à u seuil au mois égal à celui de J, c est-à-dire 95 %. b) Théorème Le théorème suivat fourit ue iégalité à la place des mots «eviro», «proche de». Il sera utilisé das le chapitre suivat. Théorème 4 Soit u réel p de l itervalle ] 0; 1[et ue suite de variables aléatoires ( X ) où chaque variable aléatoire X suit la loi biomiale B( ; p). Il existe u etier 0 tel que : si 0 alors P X p p 1 + ; 095,. Démostratio La démostratio est proposée ci-dessous e exercice résolu. Elle fait iterveir le théorème de Moivre-Laplace, la défiitio d ue suite covergete, la majoratio de p( 1 p) vue ci-dessus. Exercice résolu Démotrer que p p X P p p p X p P p + p ( 1 ) ( 1 ) p( 1 p) X p p O pose a = P p ( 1 ) p +. Démotrer que X p a P = p( 1 p) vers ue limite L telle que 095, < L < 096,. et e déduire que la suite ( a ) est covergete Séquece 9 MA0 35 Ced - Académie e lige

36 E déduire qu il existe u etier 0 tel que : si 0 alors P X p p 1 + ; 095,. Solutio O fait avec ce que l o a fait pour 1,96. Pour tout réel p de l itervalle ] 0; 1[, o a p( 1 p) O obtiet : p 1 p( 1 p) p( 1 p) 1 p p + p +. p p X Doc P p p p X p P p + p ( 1 ) ( 1 ) 1 1. O a : p p( 1 p) X p( 1 p) p + p p( 1 p) X p + p( 1 p) X p. p( 1 p) Doc p( 1 p) X p p X p P p ( 1 ) p + P a. p( 1 p) D après le théorème de Moivre-Laplace x X lim a lim P p = + + p( 1 p) 1 π e dx = L. Le calcul de L doe L 0, ,doc 095, < L < 096,. ( ) coverge vers L, doc il existe u rag 0 à partir duquel tous ( ) sot das l itervalle ] 095, ; 096, [. (Remarque : La suite a les termes de la suite a 0 déped de p.) O e déduit que si 0 alors 095, < a. 1 X À la questio, o a motré que a P p 1 p +. O e 1 X 1 déduit que si 0 alors 095, < a P + p p d où P X p p 1 + ; 095,. Remarque Le ombre 0 déped de p. U algorithme de calcul motre que sa plus grade valeur est obteue pour p = 1 (la variace est alors maximale) et o obtiet alors 0 = Séquece 9 MA0 Ced - Académie e lige

37 D Exercice 8 Exercice 9 Exercice 10 Exercices d appretissage (D après documet ressources de l Éducatio atioale) Les efats sot dits prématurés lorsque la durée gestatioelle est iférieure ou égale à 59 jours. La proportio de ces aissaces est de 6 %. Des chercheurs suggèret que les femmes ayat eu u travail péible pedat leur grossesse sot plus susceptibles d avoir u efat prématuré que les autres. Il est décidé de réaliser ue equête auprès d u échatillo aléatoire de 400 aissaces correspodat à des femmes ayat eu pedat leur grossesse u travail péible. Les chercheurs décidet a priori que si la proportio d efats és prématurés das cet échatillo est supérieure à la bore supérieure d u itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 0,95, alors leur hypothèse sera acceptée. Fialemet, le ombre d efats prématurés est de 50. Quelle est doc la coclusio? Das le mode, la proportio de gauchers est 1 %. Das u club de teis, il y a 1 gauchers parmi les 103 liceciés. Détermier la fréquece de gauchers das ce club. Détermier u itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 %. Peut-o dire que ce club est «représetatif» de la proportio de gauchers das le mode? O souhaite utiliser l itervalle de fluctuatio asymptotique p( 1 p) p( 1 p) J = p 196, ; p + 196,. Pour p = 00,, détermier la plus petite valeur de vérifiat les coditios d utilisatio : 30, p 5 et ( 1 p) 5. Détermier esuite la plus petite valeur de pour laquelle l amplitude de l itervalle de fluctuatio est iférieure à 0,1. Séquece 9 MA0 37 Ced - Académie e lige

38 14 Estimatio A Objectifs du chapitre O souhaite coaître, das ue populatio, la valeur d ue proportio p (proportio des pièces défectueuses parmi les pièces fabriquées par ue usie, proportio des gauchers e Frace, itetios de vote pour u référedum ). Pour des raisos matérielles, fiacières ou autres (par exemple, o e peut pas tester le bo foctioemet de toutes les allumettes d ue productio car das ce cas tester ue allumette amèe à la détruire!), o e peut pas toujours réuir les doées cocerat la populatio tout etière. O va doc estimer la proportio p que l o cherche à partir de la fréquece f observée das u échatillo. Mais o sait que cette fréquece observée va varier d u échatillo à l autre, c est la fluctuatio d échatilloage autour de p. Il est doc écessaire de teir compte de cette fluctuatio e doat u résultat sous forme d u itervalle, appelé «itervalle de cofiace» e précisat aussi le iveau de cofiace que l o accorde à cette répose. Das ce chapitre, o motre commet o peut détermier u itervalle de cofiace avec u iveau de cofiace de 95 %. Cet itervalle dépedat de la taille de l échatillo, o détermie la taille de l échatillo qui est suffisate pour obteir ue précisio doée (qui déped de l amplitude de l itervalle de cofiace), le iveau de cofiace état toujours 95 %. B Pour débuter Das ce chapitre, vous appredrez à répodre à des questios aalogues à la suivate. O cosidère ue ure coteat u très grad ombre de petites billes de couleur blache ou oire, la proportio p de billes oires est icoue. O cherche à estimer p à partir d u échatillo de taille. O effectue 100 tirages idépedats et o obtiet 71 billes oires et 9 billes blaches, à combie peut-o estimer p? Même questio sachat qu o a effectué 1000 tirages et obteu 693 billes oires et 307 billes blaches. 38 Séquece 9 MA0 Ced - Académie e lige

39 C Cours 1. Résultat prélimiaire Solutio Remarque Démotrer que, pour tous réels x et y et pour tout réel r positif, o a : x r y x + r y r x y + r. x r y x y r x r y x + r + y r x y + r. y x + r y r x La double iégalité x r y x + r équivaut à r y x r qui peut s iterprétér avec ue valeur absolue : y x r. La distace etre les deux ombres x et y est iférieure à r, les deux ombres x et y jouat le même rôle.. Exemple de référece Avat d aborder les défiitios et les propriétés bie mises e forme mais u peu difficiles au premier abord, ous allos étudier u exemple. O cosidère ue ure coteat u très grad ombre de petites billes de couleur blache ou oire, la proportio p de billes oires est icoue. O cherche à estimer p à partir d u échatillo de taille. La probabilité d obteir ue bille oire quad o fait u tirage au hasard est égale à la proportio p. O sait doc que, parmi tous les échatillos de taille qu o peut obteir, eviro 95 % d etre eux ot ue fréquece f qui appartiet à l itervalle de fluctuatio p p 1 ; +. Le résultat prélimiaire du prouve que : p 1 f p+ 1 f 1 p f + 1, ce qui permet de déduire que : f p p 1 ; + est équivalet à p f f 1 ; +. Doc, parmi tous les échatillos de taille qu o peut obteir, eviro 95 % sot tels que l itervalle associé f f 1 ; + cotiet le ombre p que l o cherche à estimer. O réalise doc u échatillo de taille e effectuat tirages idépedats (tirages au hasard avec remise). O calcule la fréquece f de billes oires das l échatillo obteu et o détermie l itervalle f f 1 ; +. O dit alors que p appartiet à f f 1 ; + avec u iveau de cofiace de 95 % et que l itervalle f f 1 ; + est u itervalle de cofiace au iveau 95 %. Séquece 9 MA0 39 Ced - Académie e lige

40 Exemple 4 Solutio O effectue 100 tirages idépedats et o obtiet 71 billes oires et 9 billes blaches. Doer u itervalle de cofiace au iveau de 95 % pour la proportio p de billes oires. Même questio sachat qu o a effectué 1000 tirages et obteu 693 billes oires. O trouve f = 071,. Comme = 100, l itervalle f f 1 ; + est l itervalle , ;, +, 100 soit [ , ;, ]. La proportio p de billes oires appartiet à [ 0, 61; 0, 81] avec u iveau de cofiace de 95 %. O dit aussi que la proportio de billes oires est estimée à 0,71 avec l itervalle de cofiace de , ;, O a ici f = 0, 693. [ ] au iveau 95 %. U itervalle de cofiace au iveau 95 % est doc , ;, Pour doer u itervalle dot les bores sot des ombres décimaux ayat trois chiffres après la virgule, o détermie ue valeur approchée par excès de la bore de droite et ue valeur approchée par défaut de la bore de gauche : o obtiet 0, 661; 0, 75. [ ] La proportio de billes oires est estimée à 0,693 avec l itervalle de cofiace de [ 0, 661; 0, 75]au iveau de 95 %. Il est clair qu ue fois l échatillo réalisé, l itervalle f f 1 ; + est détermié et il y a alors que deux possibilités : p appartiet ou appartiet pas à cet itervalle (de même quad o a lacé ue pièce, o a obteu «pile» ou o a obteu «face»). C est pourquoi o e s exprime plus e termes de probabilité. Pour exprimer l idée qu o a obteu u itervalle et qu eviro 95 % des itervalles qu o peut obteir aisi cotieet la proportio cherchée, o a choisi le mot «cofiace». 3. Défiitio Comme das le chapitre précédet, o cosidère ue suite de variables aléatoires ( X ) où chaque variable aléatoire X suit la loi biomiale B( ; p) (exemple : o lace fois ue pièce et X est le ombre de «pile» obteus). La variable X aléatoire F = doe doc la fréquece du ombre de «succès». O dit qu u itervalle est aléatoire lorsque ses bores sot défiies par des variables aléatoires. La réalisatio d u itervalle aléatoire est l itervalle obteu après avoir réalisé l expériece aléatoire (après avoir lacé 500 fois ue pièce, iterrogé 1000 persoes ). 40 Séquece 9 MA0 Ced - Académie e lige