Probabilités et Statistiques MATH-F-315. Simone GUTT

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1 Probabilités et Statistiques MATH-F-315 Simoe GUTT 2012

2 Das la vie, ous sommes cotiuellemet cofrotés à des collectios de faits ou doées. Les statistiques formet ue brache scietifique qui fourit des méthodes pour orgaiser et résumer les doées (statistiques descriptives) et pour utiliser l iformatio des doées afi de tirer des coclusios. Fréquemmet, o veut des coclusios à propos d ue populatio etière costituée de tous les idividus ou objets d u type particulier (par exemple, la populatio peut être costituée de toutes les todeuses à gazo fabriquées par la compagie X e 2004, ou cela peut être la collectio de tous les idividus ayat reçu u vacci cotre la grippe d u certai type, ou cela peut être l esemble des uiversités européees... ) Les doées dot o dispose cosistet fréquemmet e u sous-esemble de la populatio; o appelle u tel sous-esemble u échatillo. L iférece statistique fourit des méthodes pour tirer des coclusios cocerat ue populatio etière à partir d u échatillo. L iférece statisique s est développée à partir du début du 20 eme siècle. La théorie des probabilités est ue théorie mathématique ayat pour but de décrire et d iterpréter les phéomèes das lesquels le hasard iterviet. Cette théorie permet de compredre commet les procédures iféretielles sot développées et utilisées et quelles e sot les limites. Das u problème de probabilité, o suppose coues les propriétés d ue populatio et o répod à des questios cocerat u échatillo prélevé das cette populatio. Das u probléme de statistique, ce sot les caractéristiques d u échatillo qui sot coues et cette iformatio sert à tirer des coclusios à propos de la populatio. Probabilités statistiques probabilités populatio échatillo Statistiques 1

3 Exemple(Sciece 167, p ) Le rapport de la masse de la terre à la masse de la lue a été mesuré au cours de différets vols das l espace; les résultats mesurés sot: 81, 3001 (Marier 2) 81, 3015 (Marier 4) 81, 3006 (Marier 5) 81, 3011 (Marier 6) 81, 2997 (Marier 7) 81, 3005 (Pioeer 6) 81, 3021 (Pioeer 7) Ces ombres diffèret à cause des erreurs de mesure. E probabilités, o peut supposer que la distributio de toutes les mesures possibles a ue forme de cloche cetrée e 81,3035 et o peut poser la questio: Quelle est la probabilité que sept mesures effectuées soiet toutes iférieures à 81,3035?. E statistiques, coaissat les sept résultats plus haut, o peut poser la questio: Quel est otre degré d assurace pour dire que le rapport réel des masses est compris etre 81,2998 et 81,3018?. Das cet exemple, la populatio est coceptuelle et existe pas vraimet: elle est costituée de toutes les mesures qui pourraiet être faites das des coditios expérimetales semblables. 2

4 Coteu 0.1 Histogrammes et diagrammes Mesures du cetre d u esemble de doées Mesures de la dispersio d u esemble de doées I PROBABILITES 17 1 Défiitios de base Défiitios Exemples Récréatio: Le paradoxe de Simpso Probabilités coditioelles Défiitio Théorèmes Variables aléatoires Variable aléatoire discrète La variable biomiale La loi de Poisso Foctio de répartitio Espérace mathématique-variace Foctio d ue variable aléatoire Variables aléatoires (absolumet) cotiues La loi ormale stadard La loi ormale Distributio joite et corrélatio de deux variables aléatoires Espérace d ue foctio de deux variables aléatoires

5 4.2 Idépedace de deux variables aléatoires Corrélatio de deux variables aléatoires Quelques théorèmes importats 73 II STATISTIQUE 76 6 Echatillos-Estimateurs Echatillos aléatoires simples Estimateurs Estimatio d ue probabilité ou d ue proportio estimateurs o biaisés, estimateurs de la moyee et de la variace méthode du maximum de vraisemblace Itervalles de cofiace itervalle de cofiace pour ue proportio ou ue probabilité Moyee d ue gradeur, grad échatillo Moyee d ue gradeur distribuée suivat ue ormale, avec u petit échatillo (variable de Studet) Tests d hypothèses Tests sur ue probabilité ou ue proportio Test 1 au iveau α ; H 0 : p = p 0 (H 1 : p p 0 ) Test 2 au iveau α ; H 0 : p p 0 (H 1 : p < p 0 ) Test 3 au iveau α ; H 0 : p p 0 (H 1 : p > p 0 ) Tests sur la moyee d ue gradeur exemple de test sur la moyee d ue populatio ormale Tests sur la moyee d ue gradeur Comparaisos de deux populatios Comparaiso de deux proportios Le modèle lors d ue comparaiso de deux proportios Itervalle de cofiace pour p 1 p Tests d hypothèse pour p 1 p Comparaiso de deux moyees Itervalle de cofiace au iveau (1 α) pour µ 1 µ Test au iveau α pour µ 1 µ

6 10 Tests chi-carré (X 2 ) Variables ormales, chi-carré et de Studet Les tests X 2 d ajustemet Tests d ajustemet avec paramètres Les tests X 2 d homogééité Les tests X 2 d idépedace Le modèle de régressio liéaire simple Estimatio des paramètres Méthode des moidres carrés (Gauss ) Estimateurs pour β 0, β 1 et σ Distributio des estimateurs das le cas gaussie Itervalle de cofiace et Tests d hypothèse pour β 1 das le cas gaussie Itervalle de cofiace pour β Test d hypothèse pour β Corrélatio ANOVA à u facteur 146 5

7 ANALYSE DES DONNEES 0.1 Histogrammes et diagrammes Soit le ombre d observatios das u esemble de doées. O représete les observatios par x 1, x 2,..., x. Das de ombreux cas, x i est la ième observatio obteue par l expérimetateur. Suppossos que chaque x i soit u ombre. Commet représeter visuellemet les doées? O divise la droite réelle, etre la plus petite et la plus grade valeur observée, e u certai ombre d itervalles de logueur égale (u petit ombre d itervalles si le ombre d observatios est petit, u plus grad ombre d itervalles s il y a beaucoup de doées). O compte le ombre d observatios dot le résultat appartiet à u itervalle : c est la fréquece de l itervalle. E dessiat au-dessus de chaque itervalle u rectagle dot la hauteur est proportioelle au ombre d observatios à valeurs das l itervalle (=la fréquece), o obtiet l histogramme des doées. La fréquece relative correspodat à u itervalle est obteue e divisat la fréquece par le ombre total d observatios (). [Remarquos qu ici ous avos regardé le cas où u ombre est associé à chaque élémet de l échatillo. Das de ombreux exemples, si o a u échatillo d idividus ou d objets, o associe à chacu d eux plusieurs ombres (x 1, y 1, z 1,...)(x 2, y 2, z 2,...)... (x, y, z,...). O parle alors d aalyse multivariée.] Exemple 0.1 Les mesures de cadmium das des coquilles S t Jacques prélevées 6

8 e Atlatique Nord ot doé les résultats suivats (cf Evirometal Cocetratio ad toxicology): 5,1 14,4 14,7 10,8 6,5 5,7 7,7 14,1 9,5 3,7 8,9 7,9 7,9 4,5 10,1 5,0 9,6 5,5 5,1 11,4 8,0 12,1 7,5 8,5 13,1 6,4 18,0 27,0 18,9 10,8 13,1 8,4 16,9 2,7 9,6 4,5 12,4 5,5 12,7 17,1 Défiissos les itervalles 0 x < 4 4 x < 8... Tableau de fréqueces Fréquece Fréquece relative [0, 4) 2 2/40 = 5/100 = 0,05 [4, 8) 14 14/40 = 35/100 = 0,35 [8, 12) 11 11/40 = 275/100 = 0,275 [12, 6) 8 8/40 = 2/10 = 0,20 [16, 20) 4 4/40 = 1/10 = 0,10 [20, 24) 0 0/40 = 0 [24, 28) 1 1/40 = 25/1000 = 0,025 Total: 40 1,000 7

9 Histogramme de la distributio des fréqueces: Histogramme de la distributio des fréqueces relatives: 0,4 0,35 0,35 0,3 0,275 0,25 0,2 0,2 0,15 0,1 0,1 0,05 0,05 0, (Ces deux histogrammes sot les mêmes sauf l échelle sur l axe vertical!) 8

10 Ue maière simple et rapide d écrire ue liste de doées a été itroduite par le statisticie Joh Tukey; c est la méthode Stem-ad-leaf Si l observatio est représetée par u ombre à au mois deux chiffres, o écrit ue première coloe (la marge) avec les premiers chiffres, de faço à diviser l esemble des doées e 5 à 20 paquets (ces premiers chiffres das la marge costituet le Stem ) et o écrit à la droite de chacu de ces chiffres e marge, tous les chiffres supplémetaires d ue observatio commeçat par ces chiffres (les ouveaux chiffres costituet le leaf ). O écrit doc, à droite d ue stem doée, toutes les leaves lui correspodat. Exemple 0.2 Les taux d octae de différetes esseces pour moteur ot été mesurés (Techométries, vol 19) et doet les résultats suivats: 88,5 87,7 83,4 86,7 87,5 91,5 88,6 100,3 95,6 93,3 94,7 91,1 91,0 94,2 87,8 89,9 88,3 87,6 86,7 88,2 90,8 88,3 98,8 94,2 92,7 84,3 93,2 91,0 90,3 93,4 88,5 90,1 89,2 88,3 85,3 87,9 88,6 90,9 89,? 96,1 93,3 91,8 92,3 90,4 90,1 93,0 88,7 89,9 89,8 89,6 87,4 88,? 88,9 91,2 89,3 94,4 92,7 91,8 91,6 90,4 91,1 92,6 89,8 90,6 91, 90,4 89,3 89,7 90,3 91,6 90,5 93,7 92,7 92,2 91,2 91,0 92,2 92,? 90,0 90,7 Il y a aisi 80 observatios; la plus petite est 83,4, la plus grade 100,3. O choisit comme stem les valeurs

11 O obtiet alors la représetatio Tout esemble de mesures a deux propriétés importates : la valeur cetrale et la dispersio. Grade dispersio Cetre à peu près ici Petite dispersio 10

12 0.2 Mesures du cetre d u esemble de doées Défiitio 0.1 La moyee d échatillo, x, d u esemble de ombres x 1,..., x est doée par x := x 1 + x x = 1 x i. i=1 (Remarquos que x représete la valeur moyee des observatios das u échatillo; o peut peser calculer la moyee de toutes les valeurs de la populatio; c est appelé la moyee de populatio et elle est otée µ). Défiitio 0.2 Etat doé u échatillo, o réarrage les observatios x 1,..., x e ordre croissat. La médiae d échatillo est doée par { la valeur au milieu de la liste des xi ordoés si est impair. x = la moyee des 2 valeurs au milieu de la liste des x i ordoés si est pair. (O défiit de même la médiae µ d ue populatio.) La médiae est souvet utilisée pour décrire des reveus ou des salaires, car elle est pas fort ifluecée par u petit ombre de très gros salaires! La médiae divise les doées e deux parts de tailles égales; o peut diviser l esemble des doées e 100 parts égales e utilisat les percetiles: le 99ème percetile sépare le 1% des résultats les plus hauts des 99 % restats etc... Ue moyee troquée est u compromis etre la moyee et la médiae: ue moyee troquée à 10% est obteue e élimiat les plus petits 10 % et les plus grads 10 % de l échatillo et e faisat la moyee des résultats restats. Exemple 0.3 Voici 20 observatios, écrites das l ordre croissat, de la durée de vie, e heures, d u certai type d ampoules: La moyee est x = 1 20 ( 20 i=1 x i) = 965, 0 11

13 La médiae est x = = 1009, 5 La moyee troquée à 10% est la moyee de toutes les doées dot o a retiré les 2 (=10% de 20) plus petites et les 2 plus grades. Elle est doc égale à 1 ( ) = 979, Mesures de la dispersio d u esemble de doées La quatité x i x est appelée la déviatio de la ième observatio par rapport à la moyee. Remarque 0.1 La moyee des déviatios est ulle 1 (x i x) = 1 x i 1 x = x 1 (x) = 0. i=1 i=1 Défiitio 0.3 La variace d échatillo de l esemble {x 1,..., x } d observatios umériques, otée S 2, est défiie par S 2 = 1 1 i=1 (x i x) 2! O divise par ( 1); o obtiet u ombre u peu plus grad que la moyee des carrés des déviatios. Défiitio 0.4 La déviatio stadard (ou écart-type) d échatillo, otée S, est la racie positive de la variace d échatillo. Remarque 0.2 O défiira la variace σ 2 et la déviatio stadard σ d ue populatio. Quad la populatio est fiie et cosiste e {y 1,..., y N }, o défiit σ 2 = 1 N N ( (y i µ) 2 ) i=1 i=1 12

14 et σ sa racie carrée positive. Nous verros que x (la moyee d échatillo) servira à estimer µ (la moyee de la populatio). Comme µ est pas cou, pour estimer σ o se sert des carrés des déviatios avec x mais x i est gééralemet plus proche de x que de µ et o compese cela e divisat par ( 1) das S 2 pour estimer σ 2. Nous reviedros sur ce poit de maière précise ultérieuremet! Propositio 0.1 La variace échatillo est: Preuve: S 2 = i=1 x2 i 1 ( i=1 x i) 2. 1 ( 1)S 2 = = = = = (x i x) 2 i=1 (x 2 i 2x i x + x 2 ) i=1 x 2 i 2x i=1 x i + x 2 i=1 x 2 i 2x(x) + x 2 i=1 x 2 i x 2 = x 2 i 1 ( x i ) 2 i=1 i=1 i=1 Propositio 0.2 Si C est ue costate ajoutée (ou soustraite) de chacue des doées, la variace e chage pas. Si chacue des doées est multipliée par ue costate D, la variace est multipliée par D 2. E d autres termes: Soit {x i,..., x } u échatillo. Soiet C et D des costates. 1. Si y 1 = x 1 + C,..., y = x + C, alors Sy 2 = Sx; 2 2. Si z 1 = Dx 1,..., z = Dx, alors Sz 2 = D 2 Sx. 2 Exemple 0.4 Le ombre de mutats de la bactérie E.Coli qui résistet au virus T 1, observé das différetes cultures (où ue même méthode particulière de culture a été chaque fois appliquée) est : 14, 15, 13, 21, 15, 14, 26, 16, 20,

15 La moyee est x = ( ) = = 16, 7 La variace est S 2 = 1 9 (2 (3, 7)2 + 2 (2, 7) (1, 7) 2 + (0, 7) 2 + (3, 3) 2 + (4, 3) 2 + (9, 3) 2 ) = 1 (27, , , , , , , 49) = 18, et doc o a aussi 10 i=1 x 2 i = ( x i ) 2 = 2788, 9 i=1 x 2 i 1 10 ( x i ) 2 = S 2 i=1 i=1 Histogramme Très dispersé!!

16 Ue règle empirique La moyee et la déviatio stadard résumet très bie les propriétés d histogrammes assez symétriques ayat ue forme de moticule: Das ce cas, eviro 68% des doées sot à mois d ue déviatio stadard de la moyee et 95% des doées sot à mois de deux fois la déviatio stadard de la moyee (doc das l itervalle (x 2 s, x + 2 s)). Exemple Les poids (e livres!) d ue classe d étudiats de Pe state sot les suivats: 95,102,108,108,110,110,112,115,115,116,116,118,118,118,120,120,120,121,122, 123,125,125,125,125,125,125,130,130,130,130,130,131,133,135,135,135,136,138, 138,140,140,140,140,142,145,145,145,145,145,148,10 x(150),153,10 x(155),157, 4 x(160),164,165,4 x(170), 2 x(175), 3 x(180),185,4 x(190),195,215 15

17 Comme les étudiats ot souvet arrodi leur poids à 5 ou 10 preos les itervalles. Itervalles Fréquece 87,5-102, ,5-117, ,5-132, ,5-147, ,5-162, ,5-177, ,5-192, ,5-207, ,5-222, Moyee ( 92 étudiats ) Fréqueces ,5 102,5 117,5 132,5 147, ,5 177,5 192,5 207,5 222,5 Moyee Moyee x = 145, 15 livres Médiae=145 livres - Ecart-type (= déviatio stadard) s 23, 7 livres 64 % etre (x s) et (x + s) = 59 étudiats sur % etre (x 2s) et (x + 2s) = 89 étudiats sur 93 16

18 Partie I PROBABILITES 17

19 L étude des probabilités est ue brache des mathématiques qui a plus de 300 as et dot l origie est liée à des questios de jeux. Aisi le Chevalier De Mere posa la questio suivate à so ami, le géie Blaise Pascal ( ): Qu est-ce qui a le plus de chace de se produire: - obteir au mois ue fois u 6 e jetat u dé 4 fois ou - obteir au mois ue fois u double 6 e jetat ue paire de dés 24 fois Répose..? 18

20 Chapitre 1 Défiitios de base 1.1 Défiitios Ue expériece aléatoire est ue expériece dot o e peut prévoir le résultat avec certitude. Il faut avoir précisé ce qu o eted par résultat; pour cela o défiit l espace fodametal, Ω, qui est l esemble des résultats possibles. U élémet ω ɛ Ω est appelé résultat élémetaire.! Le choix de Ω déped des idées qu o a (et de ce qui ous itéresse) à propos de l expériece aléatoire. Par exemple, si l expériece cosiste à jeter ue pièce de moaie, o peut predre pour espace fodametal: Ω 1 ={Pile, Face} Ω 2 ={Pile, Face, Trache} Ω 3 = R 3 ou partie de R 3 ={(x, y, z) coordoées du cetre de gravité de la pièce retombée}... U évéemet est aléatoire si, ue fois l expériece effectuée, o peut dire si cet évéemet a été réalisé ou o. [Par exemple, si o lace u dé, u évéemet aléatoire peut-être: obteir u 6 ou obteir u résultat pair ou obteir u résultat 4... ]. U évéemet aléatoire A peut-être idetifié à la partie de Ω dot les élemets réaliset A. [Par exemple, si o lace u dé et qu o est itéressé par le ombre obteu, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; l évéemet A= obteir u résultat pair 19

21 peut être idetifié au sous-esemble {2, 4, 6}...]. U évéemet est doc u sous-esemble de Ω.! L esemble de toutes les parties de Ω est e gééral trop grad pour que l o puisse le probabiliser de maière itéressate, e particulier si Ω = R. O regarde ue classe A de parties de Ω et o réservera le om d évéemet aléatoire (ou évéemet tout court) à ue partie de Ω qui appartiet à la classe A. La classe des évéemets, A, est ue algèbre de Boole de parties de Ω. Défiitio 1.1 Ue classe A de parties d u esemble Ω est ue algèbre de Boole ssi elle vérifie les 4 propriétés suivates: 1) Si A et B A, alors A B A Ω A. B. /////// A U B (A B est l évéemet costitué de tous les résultats qui sot das A, das B ou das les deux évéemets. A B représete A ou B; l évéemet A ou l évéemet B ou les deux ot lieu). 2) Si A et B A, alors A B A (A B est l évéemet costitué de tous les résultats qui sot à la fois das A et das B; A B représete A et B 20

22 Ω A. B. /////// A I B 3) Si A A, alors le complémetaire de A, oté A c, A Ω A. c /////// A (A c est l évéemet costitué de tous les résultats qui e sot pas das A, A c = Ω\A; A c représete o A) 4) Ω A (doc l esemble de tous les résultats possibles est u évéemet). Remarque 1.1 L esemble vide, oté, est toujours das la classe A car = Ω c. Remarque 1.2 Si Ω est u esemble fii, o peut predre (et o predra!) comme classe des évéemets la classe de toutes les parties de Ω, doc A = P(Ω), et tout sous-esemble de Ω peut-être vu comme u évéemet; il e est de même si Ω est déombrable. 21

23 Remarque 1.3 O verra plus tard que les uios déombrables d évéemets sot des évéemets (e étedat -ce qui est toujours possible- A). Remarque 1.4 Si Ω = R, o predra pour A l esemble des uios fiies ou déombrables d itervalles ouverts, fermés, semi-ouverts ou semi-fermés de R. O veut défiir ce qu est la probabilité d u évéemet Si Ω est u esemble fii et si tous les résultats élémetaires sot égalemet probables, alors la probabilité d u évéemet A P(Ω) est doée par Nombre de cas favorables Nombre de cas possibles! Cette défiitio est tautologique puisqu o utilise ue otio d égalemet probables pour défiir la probabilité. Cette otio e peut doer des résultats que pour u esemble fii. Exemples d espaces fodametaux, évéemets et probabiliteés Expérieces aléatoires Espace fodametal Ω 1. Lacer d ue pièce ue fois Ω = {P, F } = {0, 1} 2. Lacer d ue pièce jusqu au 1 er pile Ω = {P, F P, F F P, F 3 P,...} 3. Choix d ue carte das u jeu de 52 cartes Ω = {As, 2,...} 4. Chroométrage de la durée de vie d ue ampoule Ω = R + 5. Sodage avat u référedum d u échatillo Ω = {Oui, No} 100 de 100 votats 22

24 Evéemets 1. Quatre évéemets {P } {F } Ω. 2. Nombre ifii d évéemets par ex: A 1 = ombre pair de lacer ={F P, F F F P, F 5 P,...} ou A 2 = plus de 10 lacers = {F 10 P, F 11 P, F 12 P,...}. 3. Il y a 52 résultats élémetaires, doc 2 52 évéemets. 4. Nombre ifii d évéemets, par exemple A 1 = vie x =[x, ) évéemets. (Rappel: si Ω cotiet élémets, il y a 2 parties de Ω). Probabilités 1. P roba (F ) = 1/2(si la pièce est pas truquée ; par symétrie) P roba ( ) = 0 P roba (P ) = 1/2 P roba (Ω) = 1 3. Proba (choisir ue dame)= 4 52 = 1 13 Exemple 1.1 E supposat que les dates d aiversaire, pour ue aée de 365 jours (oublios les aées bisextiles!) soiet toutes égalemet probables, quelle est la probabilité pour qu au mois deux idividus das u groupe de 23 persoes aiet le même aiversaire? Combie de faços d avoir 23 aiversaires disticts: Parmi combie de possibilités: (365 22) (365) 23 P [au mois 2 persoes parmi les 23 aiet le même aiversaire]= (365) (365 22) (365) 23 0, 51 23

25 (Pour 2 persoes, c est persoes, c est 1!!) 365 0, 003; pour 22 persoes, c est 0, 48; pour Que fait-o si Ω est ifii ou si les résultats élémetaires e sot pas égalemet probables? Regardos la otio fréquetielle de probabilité. Cosidéros ue expériece aléatoire E, l espace fodametal Ω des résultats possibles et u évéemet A( A P(Ω)). Répétos l expériece fois et mesuros le ombre (A) de fois que l évéemet A se réalise (doc que le résultat de l expériece soit das A); o a bie sûr que (A) est le ombre de fois que l évéemet A c se réalise. Costatatio expérimetale: la fréquece relative (A) ted, lorsque ted vers l ifii, vers ue costate qui déped du choix de l évéemet A et que l o ote P (A). Remarque 1.5 Ce ombre P (A) est ituitivemet la probabilité de A. O raccroche ici la otio de probabilité à l expériece, mais faire tedre vers l ifii est impossible expérimetalemet. Il ous faudra doc ue défiitio plus mathématique, qui tiedra compte des propriétés de cette otio expérimetale de probabilité. Propriétés: Pour tout évéemet A 0 P (A) 1 ; P (Ω) = 1, P (A) + P (A c ) = 1 Si A B = φ P (A B) = P (A) + P (B) Si Ω est fii Ω = {ω 1,..., ω k }, o peut écrire Ω = {ω 1 }... {ω k } (Uio disjoite), doc k P (Ω) = P ({ω i }) = 1. i=1 Si les résultats élémetaires sot équiprobables, o a doc P ({ω i }) = 1/k k et o retrouve les résultats classiques: si A = {ω i,..., ω ir }, P (A) = r (r = #A, k = #Ω). k Défiitio 1.2 Si o s est doé u espace fodametal Ω et la classe des évéemets A P(Ω), ue mesure de probabilité est ue applicatio qui associe à tout évéemet A A u ombre P (A), appelé probabilité de A 24

26 de maière telle que: 0 P (A) 1 (1.1) P (Ω) = 1 (1.2) Si A 1 eta 2 sot deux évéemets disjoits P (A 1 A 2 ) = P (A 1 ) + P (a 2 ) (1.3) Plus gééralemet, si A 1, A 2,... est ue suite d évéemets disjoits 2 à 2 et si leur uio est u évéemet, alors P (A, A 2 A 3...) = P (A 1 ) + P (A 2 ) + P (A 3 ) +... (1.3 ) Défiitio 1.3 Ue famille A de sous-esemble de Ω est appelée tribu ou σ-algèbre si: Ω A A A A c A A 1, A 2... A A 1 A 2... A O peut motrer que toute algèbre de Boole de parties de Ω, A, est coteue das ue σ-algèbre dite egedrée par A; si o a ue mesure de probabilité sur A elle s éted e ue mesure de probabilité sur cette σ-algèbre. La propriété (1.3 ) est appelée la σ-additivité de la mesure de probabilité. Das la suite, ous supposeros qu o cosidère toujours ue classe d évéemets A qui est ue σ-algèbre; doc les uios et les itersectios déombrables d évéemets sot des évéemets. Défiitio 1.4 Le triple (Ω, A, P ) est u espace probabilisé, quad Ω est u esemble (appelé l esemble des résultats possibles), quad A est ue tribu de parties de Ω (ces parties sot appelées les évéemets) et quad P : A R est ue mesure de probabilité sur A. Propriétés: P (A c ) = 1 P (A) évéemet A (Car Ω est l uio disjoite de A et A c doc P (A) + P (A c ) = P (Ω) = 1) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) évéemets A et B 25

27 Ω A. B. E effet, o les uios disjoites suivates: A = (A\B) (A B) B = (B\A) (A B) A B = (A\B) (B\A) (A B) P ( ) = Exemples 1) Si Ω est fii, Ω = {w 1,..., w k }, o pred A = P(Ω) et o peut défiir P (A) = 1#A A P(Ω) k (probabilité correspodat à des évéemets équiprobables). 2) Si Ω est (fii ou) déombrable Ω = {w 1, w 2,...}, o pred A = P(Ω) et o peut défiir P ({w i }) = p i avec i=1 p i = 1 alors P (A) = w i A p i Par exemple, si Ω = {P, F P, F F P, F F F P,...} (lacer d ue pile jusqu au 1 er pile): P ({P }) = 1/2, P ({F P }) = 1/4, P ({F F P }) = 1/8,..., k fois { }} { P ({ F...F P }) = 1,... 2 k+1 26

28 3) Problème du Chevalier de Mere L expériece 1 cosiste à lacer 4 fois u dé. Doc Ω = {(a, b, c, d) avec 1 a, b, c, d 6} et tous les résultats sot égalemet probables. Soit A, l évéemet: avoir au mois u 6. # cas favorable= = 671 # cas possibles= 6 4 = 1296 doc P (A 1 ) = 671 0, Remarquos qu il est plus facile de calculer P (A c )! A c 1= avoir aucu 6 doc # cas favorables à A c 1 = 5 4 P (A c i) = 54 0, Doc, o obtiet égalemet aisi P (A 1 ) = 1 P (A c 1) = 0, 518. L expériece 2 cosiste à lacer 24 fois u double dé. L évéemet A 2 est : avoir au mois u double 6. Il est de ouveau plus aisé de calculer la probabilité de A c 2. A c 2= avoir aucu double 6 # cas favorables à A c 2 = (35) 24 # cas possibles =(36) 24 Doc P (A c 2) = , et P (A 2 ) = 1 P (A c 2) = 0, 491 4) Expériece de l aiguille de Bouffo (1777) O jette ue aiguille de logueur 1 sur u placher dot les plaches sot de largeur 1. Quelle est la probabilité que l aiguille touche ue lige etre deux plaches? O regarde la plache où se trouve le milieu de l aiguille. Si l aiguille fait u agle θ avec les liges etre les plaches, la probabilité que l aiguille touche ue lige est P θ = si θ car l aiguille touchera ue lige ssi le cetre de l aiguille est à ue distace au plus égale à 1 si θ de la lige. 2 Quad o laisse tomber l aiguille, la valeur de l agle qu elle forme avec la lige des plaches est u ombre pris de maière uiforme sur [o, π[ doc P = 1 π π 0 P θ dθ = 1 π π 0 si θ dθ = 1 π [cos θ]π 0 = 2 π Cette expériece doe ue estimatio de π! = 0,

29 1.2.1 Récréatio: Le paradoxe de Simpso O étudie deux méthodes de traitemet des calculs réaux, l ue par chirurgie, l autre par éphrolithotomie. O pred u groupe de 700 patiets. La moitié d etre eux, 350, sot traités par chirurgie (C), l autre moitié par éphrolithotomie (N). Parmi ceux traités par (C), la proportio de guériso est de 273 0, Parmi ceux traités par (N), la proportio de guériso est de 289 0, La éphrolithotomie semble plus efficace...mais si o cosidère la taille du calcul o a les résultats suivats: { la proportio de guériso de grad calcul est de 0, 93 Parmi ceux traités par (C) la proportio de guériso de petit calcul est de 0, 73 { la proportio de guériso de grad calcul est de 0, 87 Parmi ceux traités par (N) la proportio de guériso de petit calcul est de 0, 69 Doc, aussi bie pour les petits calculs que pour les grads calculs, la chirurgie semble plus efficace!! COMMENT EST-CE POSSIBLE? Rie d étoat pourtat! U exemple ou l objectif est d extraire ue boule rouge prise au hasard das ue ure où il y a des boules rouges et des boules blaches. Das l ure C il y a 11 boules rouges et 9 boules blaches. Das l ure N, il y a 12 boules rouges et 9 boules blaches. Das l ure C la probabilité de tirer ue boule rouge est = Das l ure N la probabilité de tirer ue boule rouge est = Il vaut mieux piocher das l ure N. Divisos maiteat l ure C e deux ures C 1 coteat 5 boules rouges et 6 boules blaches et C 2 coteat 6 boules rouges et 3 boules blaches. Divisos égalemet l ure N e ue ure N 1 coteat 3 boules rouges et 4 boules blaches et ue ure N 2 coteat 9 boules rouges et 5 blaches. 28

30 11 R 9 B 12 R 9 B Ure C Ure N 5 R 6 B 3 R 4 B 6 R 3 B 9 R 5 B Ure C Ure N Ure C Ure N Das C 1 la proba est 5/11 Das C 2 proba= 6/9=2/3 Das chaque cas, il vaut Das N 1 la proba est 3/7 Das N 2 proba= 9/14 mieux piocher das l ure C! a 1 =#boules rouges das la 1ere petite ure C 1 (= 5) b 1 =#boules (R ou B) das la 1ere petite ure C 1 (= 11) c 1 =#boules rouges das la 1ere petite ure N 1 (= 3) d 1 =#boules (R ou B) das la 1ere petite ure N 1 (= 7) a 1 b 1 = proba de piocher R das la 1re petite ure C 1 =5/11 c 1 d 1 = proba de piocher R das la 1re petite uren 1 =3/7 de même a 1 b 1 > c 1 d 1 a 2 b 2 > c 2 d 2 29

31 (Le 2 réfère aux deuxièmes petites ures)(a 2 = 6, b 2 = 9, c 2 = 9, d 2 = 14) Mais a 1 + a 2 = # boules rouges das les ures C réuies (11) b 1 + b 2 = # boules R ou B das les ures C réuies (20) c 1 + c 2 = # boules rouges das les ures N réuies (12) d 1 + d 2 = # boules R ou B das les ures N réuies (21) et o a Proba de pioche R das C = a 1+a 2 b 1 +b 2 < c 1+c 2 d 1 +d 2 ) ( < ) C est la même situatio pour les guérisos (boules rouges) avec le traitemet C ou avec le traitemet N!! 30

32 Chapitre 2 Probabilités coditioelles 2.1 Défiitio Jetos deux dés (o truqués!). Quelle est la probabilité que la somme des 1 dés soit 2? Répose:. 36 Supposos avoir déjà jeté u dé avec le résultat 1; laços l autre dé. Quelle est la probabilité que la somme des dés soit 2? Répose : 1. 6 O l appelle la probabilité coditioelle de l évéemet A (obteir ue somme de 2 e jetat deux dés), état doé qu ue coditio C est réalisée (que le premier dé lacé ait doé 1). O la ote P (A B) et o dit: probabilité de A, état doé C. Autre exemple: preos ue carte au milieu d u paquet de 52 cartes. Quelle est la probabilité de tirer u as? 4 = Quelle est la probabilité de tirer u as, sachat que la carte du bas du paquet est l as de pique? 3 = Approche fréquetielle: Cosidéros ue expériece E, des évéemets A et B. Supposos P (B) 0. Faisos répétitios de l expériece E et comptos la fréquece (A) où l évéemet A se réalise, et de même (B), (A B). Alors: (A) coverge vers P (A) quad coverge vers, (B) coverge vers P (B) quad coverge vers, (A B) coverge vers P (A B) quad coverge vers. 31

33 Itéressos ous aux seules répétitios de E où l évéemet B s est réalisé (il y e a (B)), et parmi celles-là, regardos le ombre de fois que A s est aussi réalisée: c est (A B). La fréquece relative de A sachat B est doc (A B) (B) = (A B)/ (B)/ qui coverge vers P (A B) P (B) quad Aisi la probabilité coditioelle de A sachat B, qui est la limite de (A B) (B) quad ted vers l, est doée par P (A B) P (B) Défiitio 2.1 Soit B u évéemet tel que P (B) 0. La probabilité coditioelle d u évéemet A sachat B (ou sous la coditio B), otée P (A B) est défiie par P (A B) := P (A B)/P (B) (2.1) Remarque 2.1 Si P (A B) est très différet de P (A), cela veut dire qu il y a u lie importat etre A et B. Ituitivemet, si P (A B) = P (A) (avec P (B) 0) la probabilité de A sous la coditio de B est la même que la probabilité de A, doc A est idépedat de B. Défiitio 2.2 Deux évéemets A et B sot dits idépedats si P (A B) = P (A).P (B) (2.2) Plus gééralemet, les évéemets A 1, A 2, A 3,..., A sot dits idépedats si P (A i1 A i2... A ik ) = P (A i1 ).P (A i2 )... P (A ik ) (2.3) pour tout k avec 2 k et pour toute suite i 1 < i 2... < i k d etiers apparteat à {1,..., }. Exemple 2.1 O jette ue pièce de moaie 3 fois (pièce o truquée!) L évéemet A est: obteir pile au 3ème lacer P (A) = 1/2 L évéemet B est: obteir pile aux 1 er et 2ème lacers P (B) = 1/4 La probabilité d obteir pile au 3ème lacer, sachat qu o a eu pile aux 1 er et 2ème lacer est P (A B) = P (A B) = 1/8 = 1/2 = P (A). Le résultat au 3ème P (B) 1/4 lacer est idépedat des résultats précédets! 32

34 2.2 Théorèmes Théorème 2.1 (Théorème de multiplicatio) Soit (Ω, A, P ) u espace probabilisé. Soiet A et B deux évéemets tels que P (B) 0. Alors P (A B) = P (A B)P (B). (2.4) Plus gééralemet, si A 1,... A A sot tels que P (A 2... A ) 0, alors P (A 1 A 2 A 3 ) = P (A 1 A 2 A 3 )P (A 2 A 3 )P (A 3 ) (2.5) P (A 1 A 2... A ) = P (A 1 A 2... A ) (2.6) P (A 2 A 3... A )... P (A 1 A ) P (A ) Théorème 2.2 (Théorème des probabilités totales) Soit (Ω, A, P ) u espace probabilisé. Soiet A, B deux évéemets, tels que 0 < P (B) < 1. Alors, P (A) = P (A B).P (B) + P (A B c )P (B c ). (2.7) Plus gééralemet, soit {B 1, B 2,...} A u système exhausif d évéemets, c est-à-dire tels que i B i = Ω (2.8) B i B j = i j (2.9) P (B i ) 0 i (2.10) Alors, P (A) = i P (A B i ).P (B i ) Démostratio P (A) = P (A (B B c )) = P ((A B) (A B c )) = P (A B) + P (A B c ) car les évéemets A B et A B c sot disjoits = P (A B).P (B) + P (A B c ).P (B c ). 33

35 Applicatio: (paradoxe de Lewis Caroll) O remplit ue ure avec 2 boules Blaches ou Noires e tirat au hasard, avec chaque fois P (B) = 1/2, P (N) = 1/2. O tire esuite ue boule au hasard das l ure. Quelle est la probabilité d avoir ue boule oire? P (boule oire) = P (N 2B).P (2B) + P (N 1B, 1N) + P (N 2N).P (2N) = 0 + 1/2(1/4 + 1/4) + 1.1/4 = 1/2 Si o ajoute aux 2 boules de l ure, 1 boule oire avat de tirer la boule au hasard, que deviet la probabilité d avoir ue boule oire? P (boule oire) = P (N 2B1N)1/4 + P (N 1B2N)1/2 + P (N 3N)(1/4) = 1/3 1/4 + 2/3 1/2 + 1/4 = 2/3 Raisoemet erroé: P (boule oire) = 2/3 l ure cotiet (2N, 1B) au départ elle coteait (1N, 1B)!! Théorème 2.3 (Théorème de Bayes ou Probabilité des causes) Soit (Ω, A, P ) u espace probabilisé. Soiet A et B deux évéemets, avec P (B) 0, P (A) 0, P (A) 1. Alors, P (A B) = P (B A).P (A) P (B A).P (A) + P (B A c ).P (A c ). (2.11) Plus gééralemet, soit {B 1, B 2,...} A u système exhausif d évéemets, (doc tels que i B i = Ω, B i B j = i j, P (B i ) 0 i) et soit A A tel que P (A) 0. Alors, pour tout j fixé P (B j A) = P (A B j).p (B j ) i P (A B i).p (B i ). (2.12) Démostratio O a P (A B) = P (A B) P (B A).P (A) = et, par le théorème P (B) P (B) des proba totales, P (B) = P (B A).P (A) + P (B A c ).P (A) c. 34

36 Applicatio Supposos que le taux d icidece d ue maladie rare soit de Soit T u test fiable tel que: P (T + = test positif S = avoir la maladie)=0,99 P (T + = test positif S c = e pas avoir la maladie)=0,002 (les faux positifs!) Quelle est la probabilité P (S) d avoir la maladie si le test est positif? P (S T + ) = Pas de quoi s affoler! = = P (T + S) P (S) P (T + S).P (S) + P (T + S c ).P (S c ) 0, , , 99 0, , , = 0, , 988 0,

37 Chapitre 3 Variables aléatoires L espace fodametal Ω des résultats possibles d ue expériece est u esemble amorphe ; il a i ordre, i otio de somme, produit,... O désire avoir des mesures quatitatives liées à des résultats d expériece; o veut doc associer u (ou plusieurs) ombre(s) au résultat ω de l expériece. O regarde aisi ue applicatio: X : Ω R : ω X(ω). Mais toute applicatio X est pas adéquate; o veut pouvoir doer u ses à l expressio quelle est la probabilité que la valeur de X soit das l itervalle (a, b)? Il faut doc que {ω ɛ Ω X(ω)ɛ(a, b)} appartiee à la classe A des évéemets. Défiitio 3.1 Soit (Ω, A, P ) u espace probabilisé. O appelle variable aléatoire réelle toute applicatio mesurable pour P, c est-à-dire telle que x R, X : Ω R ω X(ω) (3.1) X 1 (], x]) := { ω Ω X(ω) x} A. (3.2) Remarque 3.1 Observos qu alors X 1 (I) A pour tout itervalle I R car tout itervalle est obteu à partir des itervalles { ], x] x R } par des uios ou itersectios déombrables et des passages aux complémetaires. 36

38 Exemple 3.1 Coteu d u gobelet de café, sodage préélectoral, variable qui vaut 1 sur l u des ω et 0 ailleurs, total obteu e laçat 3 dés... Défiitio 3.2 O appelle loi de probabilité de la variable aléatoire X (ou distributio de probabilité de X) la mesure de probabilité P X iduite par X sur R défiie par P X (I) := P {ω Ω X(ω) I} (3.3) pour tout itervalle I de R (e se rappelat que l esemble des évéemets sur R est l esemble des uios fiies ou déombrables d itervalles de R). Remarque 3.2 La distributio de probabilité d ue variable aléatoire X est etièremet détermiée par les P (X 1 ( ], x])) = P X ( ], x]) x R. Défiitio 3.3 Soit X ue variable aléatoire. La foctio de répartitio de la variable X, otée F X, est la foctio sur R à valeurs das R défiie par: F X (x) := P [X x] = P X ( ], x]) = P ({ ω Ω X(ω) x}) Propriétés x R (3.4) 1) x R 0 F X (x) 1 2) La foctio F X est mootoe o décroissate, cotiue à droite 3) lim x F X (x) = 0 ; lim x + F X (x) = Variable aléatoire discrète O regarde ici ue variable aléatoire qui e pred qu u ombre fii ou déombrable de valeurs: x 1, x 2,..., x,... Défiitio 3.4 Ue foctio X : Ω {x 1, x 2,...} R qui associe à tout résultat possible ω d ue expériece aléatoire, u ombre X(ω) apparteat à ue liste doée, fiie ou déombrable, de ombres réels, et telle que X 1 {x i } A i N, est ue variable aléatoire discrète sur Ω. Remarque 3.3 Si Ω est fii ou déombrable et A = P(Ω), toute foctio X : Ω R est ue variable aléatoire discrète sur Ω. 37

39 Remarque 3.4 La loi de probabilité P X d ue valeur aléatoire discrète X : Ω {x 1, x 2,...} R est etièremet détermiée par les ombres: p X (x i ) := P [ X = x i ] := P ({ω Ω X(ω) = x i }) pour i = 1, 2,... Défiitio 3.5 O appelle foctio de probabilité de la variable aléatoire discrète X la foctio {x 1,..., x } R x i p X (x i ) = P [ X = x i ] = P ({ω Ω X(ω) = x i }). (3.5) O a car Ω est l uio disjoite des X 1 {(x i }). De plus p X (x 1 ) + p X (x 2 ) +... = 1 (3.6) P X ((a, b]) = P ({ω Ω a < X(ω) b}) = a<x i b p X (x i ). (3.7) O représete la foctio de probabilité par u diagramme e bâtoets: p(x 4 ) p(x 1 ) p(x 2 ) x 1 x 2 p(x 3 ) x 3 x 4 38

40 Exemple 3.2 L expériece cosiste à jeter 3 pièces. O a Ω = {ppp, ppf, pfp, fpp, pff, fpf, ffp, fff} et o cosidère toute partie A de Ω comme u évéemet. O cosidère X : Ω R ω X(ω) := le ombre de fois qu o a eu face. Doc X est à valeur das {0, 1, 2, 3} p X (0) = P ({ω Ω X(ω) = 0}) = P ({ppp}) = 1/8 p X (1) = P ({ω Ω X(ω) = 1}) = P ({ppf, pfp, fpp}) = 3/8 p X (2) = P ({ω Ω X(ω) = 2}) = P ({pff, fpf, ffp}) = 3/8 p X (3) = P ({ω Ω X(ω) = 3}) = P ({fff}) = 1/8 P X ((0, 2]) = P {ω Ω 0 < X(ω) 2} = P {ω Ω X(ω) = 1} + P {ω Ω X(ω) = 2} = p X (1) + p X (2) = = 3 4 La foctio de probabilité de X associe à x R, la probabilité que la variable X pree la valeur x; doc elle est ulle si x / {0, 1, 2, 3}, elle vaut p X (0) = 1/8 si x = 0, p X (1) = 3/8 si x = 1, p X (2) = 3/8 si x = 2 p X (3) = 1/8 si x = 3. So diagramme e bâtoets est 3/8 3/8 1/8 1/8 lr

41 Exemple 3.3 O jette ue pièce o truquée jusqu à avoir u pile. O a Ω = {p, fp, ffp, fffp, ffffp,...} et o cosidère A = P(Ω). Soit X : Ω N 0 = {1, 2, 3,...} R la variable aléatoire qui associe à u élémet ω Ω le ombre X(ω) := le ombre de fois que l o a du lacer la pièce. Aisi, X(p) = 1, X(fp) = 2, X(ffp) = 3... La foctio de probabilité associée à X est ulle e tout poit x R \ N 0 et vaut p X () pour N 0 avec p X () = P X ({}) = P ({ω Ω X(ω) = }) = P ({f...f p) = 1 } {{ } 2 1 Clairemet, N 0 p X () = p X (0) + p X (1) +... = = 1 Le diagramme e bâtoets correspodat est 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 2 1/64 1/128 1/ /2 1/

42 3.1.1 La variable biomiale Supposos qu o ait ue expériece aléatoire avec seulemet deux résultats possibles: otos les S (pour succès ) et F (pour échec ); il peut s agir de lacer ue pièce de moaie pour avoir pile ou face, de voir si l équipe de football belge gage ou perd u match, de tester si ue pièce sortat d ue chaîe de fabricatio est boe ou mauvaise... Supposos que la probabilité d obteir le résultat S soit p (où p est u ombre réel apparteat à [0, 1]), doc celle d obteir F est 1 p. O répète cette expériece fois. Défiitio 3.6 O parle de schéma de Berouilli si o répète aisi fois ue expériece et si chaque fois le résultat de l expériece est S ou F ; la probabilité p d obteir le résultat S est la même à chacue des répétitios; le résultat de chaque expériece est idépedat des résultats précédets. Défiitio 3.7 La variable aléatoire biomiale X mesure le ombre de succès obteus das u schéma de Berouilli où l o répète fois ue expériece pour laquelle la probabilité d u succès vaut p; la loi biomiale de paramètre et p, B(, p), est la loi de probabilité correspodate. O ote X B(, p). Propositio 3.1 La variable biomiale X B(, p) est ue variable aléatoire discrète preat les valeurs {0, 1, 2,..., } et la foctio de probabilité de X est doée par p X (k) = P [ X = k ] = probabilité d avoir k succès das les essais! = k!( k)! pk (1 p) k pour 0 k, k etier (rappel: 0! =1) (3.8) E effet, la probabilité d ue séquece d expérieces qui comporte k succès et ( k) échecs est de p k (1 p) k ; le ombre C k =! est le ombre k!( k)! de séqueces différetes de expérieces qui comportet k succès et( k) échecs. Exemple 3.4 Quelle est la probabilité d avoir deux fois u 5 e laçat 4 fois u dé? { p = avoir u 5 e laçat u dé = 1/6 1 p = 5/6 41

43 X mesure le ombre de fois qu o obtiet 5 das = 4 lacers de dé P [ X = 2 ] = 4! 2!2! (1/6)2 (5/6) 2 = = Exemple 3.5 Quelle est la probalité d avoir ciq fois pile e laçat 10 fois ue pièce o truquée? p=avoir pile e laçat la pièce=1/2 X mesure le ombre de fois qu o obtiet pile das = 10 essais. P [ X = 5 ] = 10! 5!5! (1/2)5 (1/2) 5 = = = /4 Diagramme e bâtoets pour B(5, 1/2) /32 10/32! 5/32 5/32 1/32 1/ p X (1) = P [ X = 1 ] = 5! 4! (1/2)5 = = px (4) p X (2) = P [ X = 2 ] = 5! 3!2! (1/2)5 = = px (3) p X (0) = [ X = 0 ] = 1 32 = px (5) 42

44 Diagramme e bâtoets pour B(5, 1/4) 405/ / / / /1024 1/ p X (0) = ( 3 4 )5 = p X (3) = = p X (1) = (3 4 )4 = p X (4) = = p X (2) = = p X (5) = 1 4 = La loi de Poisso Défiitio 3.8 Ue variable aléatoire X suit ue loi de Poisso de paramètre λ, où λ est u ombre réel > 0, si X e pred que des valeurs etières 0 et si p X λ λ () = e pour tout etier 0. (3.9)! Remarque 3.5 Cosidéros u évéemet qui se produit plusieurs fois à des istats aléatoires après l istat t = 0 (par exemple l émissio d ue particule α par u corps radioactif). Soit N(t) le ombre d évéemets das l itervalle [0, t], et N(0) = 0. O dit que ces évéemets costituet u processus de Poisso lorsque: 1) les ombres d évéemets se produisat das des itervalles de temps disjoits sot idépedats; 2) la loi de probabilité de N(t + t) N(t) e déped que de t (et pas de t); 3) lim t 0 P [N( t)=1] t = λ > 0 4) lim t 0 P [N( t)=2] t = 0. 43

45 Alors o peut motrer (o e le fera pas ici!), que pour u processus de Poisso, la loi de probabilité de la variable aléatoire N(t) est ue loi de Poisso de paramètre λt Foctio de répartitio Si X est ue variable aléatoire discrète, preat les valeurs x 1,..., x,... avec les probabiltés p X (x 1 ),..., p X (x )..., alors sa foctio de répartitio vaut, F X (x) = P [ X x ] = x i x p(x i ). (3.10) O obtiet aisi ue foctio e escalier. E rageat les x 1 < x 2 < x 3... x < x de maière croissate, la foctio F X est costate et vaut k j=1 px (x j ) pour x [x k, x k+1 [. F X (x) P(x i +1) F x (x i " 2)! p(x i "1) p(x i )!!!! x i"1 x i x i+1!!! Exemple 3.6 Cosidéros la loi de Dirac, c est à dire celle d ue variable aléatoire X qui e pred qu ue seule valeur c R. O a doc p X (c) = 1 et p X (x) = 0 x c doc, 44

46 1 F X (x)! 0 c a Exemple 3.7 Si X est le ombre de faces obteues e jetat trois pièces (o truquées!), o a, doc p X (0) = 1/8 = p X (3) p X (1) = 3/8 = p X (2) F X 7/ /8! 0 0 1/ Exemple 3.8 Si X est le ombre de fois qu o doit lacer ue pièce o truquée pour obteir u pile pour la première fois, o a p X () = 1 2 et doc, 45

47 F X 3/4 7/8 15/16 etc! 0 0 1/ Exemple 3.9 Pour ue expériece de Berouilli, ayat 2 résultats possibles (S avec la probabilité p et F avec la probabilité 1 p), si X est le ombre de succès (S) après ue expériece, o a O a, p X (0) = 1 p p X (1) = p et p X (x) = 0 x / {0, 1} F X 1! 0 1-p p 1-p Espérace mathématique-variace Soit X ue variable aléatoire discrète preat les valeurs {x 1, x 2,..., x,...} avec les probabilités p X (x 1 ), p X (x 2 ),..., p X (x )... 46

48 Défiitio 3.9 L espérace de X, E[X] est doée par E[X] := i x i p X (x i ) (O la ote aussi µ ou µ X ) (3.11) quad cette série est absolumet covergete! C est doc la moyee podérée des valeurs prises par X avec les poids de podératio défiis par les probabilités. O l appelle parfois aussi la moyee de la variable aléatoire X. Exemple 3.10 Cosidéros u jeu où l o jette 2 dés (o truqués); il faut payer 1 euro pour jouer et l o reçoit 4 euros si le total des dés vaut 5. Soit X la variable aléatoire défiie par le gai. Alors X pred les valeurs 1 (si le total des dés e vaut pas 5) et 3 (si le total des dés vaut 5). L espérace de gai est doée par E[X] = 1.p X ( 1) + 3p X (3) = 1.P [la somme des 2 dés e vaut pas 5] + 3P [la somme des 2 dés vaut 5] = = 5 9!!! A partir de quelle somme reçue si le total des dés vaut 5 le jeu vaut-il la peie d être joué? Défiitio 3.10 La variace V ar[x], égalemet otée σ 2 X ou σ2 d ue variable aléatoire discrète X preat les valeurs {x 1, x 2,..., x,...} avec les probabilités p X (x 1 ), p X (x 2 ),..., p X (x )... est V ar[x] := i (x i µ) 2 p X (x i ) (3.12) et l écart-type (ou déviatio stadard), oté σ X ou σ est la racie carrée de σ 2 X. Exemple 3.11 Soit X ue variable aléatoire biomiale de paramètre et p; X pred doc des valeurs etières 0 k avec les probabilités p X (k) =! k!( k)! pk (1 p) k. Alors o a : 47

49 ! E(X) = k!( k)! pk (1 p) k k = k=0 = p k=1 1 = p k =0 k=1 ( 1)!p k 1 (1 p) (( 1) (k 1)) (k 1)!(( 1) (k 1))! ( 1)!p k (1 p) ( 1 k ) k!( 1 k )! k!p k (1 p) k k!( k)! = p(p + (1 p)) 1 = p (3.13) Doc l espérace - ou la moyee - d ue variable biomale de loi B(, p) vaut p. σ 2 X = = = = p X (k)(k p) 2 = k=0 k=0 k=1 k=2 2 = k =0 1 + p k 2!p k (1 p) k k!( k)!! k!( k)! (k2 2kp + 2 p 2 )p k (1 p) k k=0 2p k!p k (1 p) k (k 1)!( k)! 2 p 2 (k 1)!p k (1 p) k (k 1)!( k)! + k=0 k=1 k!p k (1 p) k k!( k)! ( 2)!p k (1 p) ( 2 k ) ( 1)p 2 k!( 2 k )! k =0 ( 1)!p k (1 p) 1 k k!( 1 k )! + 2 p 2!p k (1 p) k (k 1)!( k)! 2 p 2 2 p 2 = p 2 ( 1 + p = p(1 p). (3.14) Doc la variace d ue variable biomale de loi B(, p) vaut p(1 p) et so écart-type p(1 p). Par exemple, si o jette 46 fois ue pièce o truquée, l espérace (=la moyee) du ombre de piles sera de 23!!! Exemple 3.12 Si o cosidère ue variable aléatoire X suivat ue loi de Poisso de paramètre λ; alors X pred des valeurs etières 0 avec les 48

50 probabilités p X () = e λ λ! E(X) = 0. Dès lors, doc l espérace de X vaut λ et o a λ λ e! = λe λ 1 σx 2 = e λ λ ( λ) 2 =! 0 1 e λ λ 2 ( 2)! + 1 = λ 2 2 = λ 2 + λ λ 2 = λ λ 1 ( 1)! = λ (3.15) e λ λ ( 1)! λ2 e λ λ ( 1)! λ2 Doc la variace de X vaut λ et so écart-type σ X = λ Foctio d ue variable aléatoire Propositio 3.2 Soit g : R R ue foctio mesurable (par exemple ue foctio cotiue) et cosidéros Y = g(x). Doc, Y : Ω R ω Y (ω) := g(x(ω)) ω Ω. (3.16) Si X est ue variable aléatoire discrète preat les valeurs {x 1, x 2,...} avec les probabilités {p X (x 1 ), p X (x 2 ),...} alors Y est aussi ue variable aléatoire discrète preat les valeurs (o écéssairemet distictes!) {g(x 1 ), g(x 2 ),...}. L espérace de Y vaut E[y] = i g(x i )p X (x i ) (3.17) quad cette série est absolumet covergete. E effet Y pred les valeurs {y 1, y 2,...} = {g(x 1 ), g(x 2 ),...} et p Y (y j ) := P Y ({y j }) = P X ({x i }) i g(x i )=y j ; doc y j p Y (y j ) = i g(x i )=y j g(x i )p X (x i ) 49

51 et E[Y ] = j y j p Y (y j ) = i g(x i )p X (x i ). E particulier la variace σ 2 X de X est égale à σ 2 X = E[(X µ) 2 ] où µ = E(X) Propositio 3.3 La variace d ue variable aléatoire discrète X est égale à σ 2 X = E[X 2 ] µ 2 (3.18) où µ = E(X). Dém: σ 2 X = i (x i µ) 2 p(x i ) = i (x 2 i 2µx i + µ 2 )p(x i ) = i x 2 i p(x i ) 2µ i x i p(x i ) + µ 2 i p(x i ) = E(X 2 ) 2µ.µ + µ 2 = E(X 2 ) µ 2 Propositio 3.4 Soiet X et Y des variables aléatoires discrètes sur u espace probabilisé. Quad les espéraces E[ ] existet, o a E[a + bx + cy ] = a + be[x] + ce[y ] a, b, c R (3.19) Si P [X = c] = 1 où c R alors E[X] = c. O a toujours (E[X]) 2 E[X 2 ] car σ 2 X 0 et σ2 X = E[X2 ] (E[X]) 2 ). Défiitio 3.11 O appelle momet d ordre k d ue valriable aléatoire X, le ombre µ k := E[Xk ] (quad cela existe) et momet cetré d ordre k de X µ k := E[(X µ 1) k ]; µ 1 = µ est la moyee et µ 2 = σx 2 est la variace. 3.2 Variables aléatoires (absolumet) cotiues Défiitio 3.12 Soit X ue variable aléatoire défiie sur u espace probabilisé (Ω, A, P ): X : Ω R 50

52 et soit F X la foctio de répartitio associée F X : R R x F X (x) = P [X x] = P X (], x]). O dit que X est ue variable aléatoire cotiue s il existe ue foctio f : R R x f(x), o égative, telle que F X (x) = x La foctio f est appelée desité de probabilité de X. Propriétés 1) P [a < X b] = F X (b) F X (a) = b f(t)dt; a 2) f(t)dt = 1; f(t)dt x R (3.20) f(x) f(a) f(b) 0 a b 51

53 ! F X (x)! 1 F X (b) " a b f (t)dt F X (a)!!! a b 3)Presque partout F X est dérivable et, presque partout F (x) := df (x) = f(x) = lim dx x 0 P [x < X x + x] ; x ( 4)P [X = a] = lim ε 0 P [a ε/2 < X a + ε/2] = ) a+ε/2 f(t)dt εf(a) = a ε/2 0. Défiitio 3.13 Soit X ue variable aléatoire cotiue. O défiit l espérace de X, E[X], appelée aussi moyee et otée aussi µ ou pour plus de précisio µ X : µ := E[X] = quad l itégrale coverge absolumet! O défiit la variace de X, otée aussi σ 2 ou σ 2 X : σ 2 := V ar[x] := E[(X µ) 2 ] = xf(x)dx (3.21) (x µ) 2 f(x)dx = 52 x 2 f(x)dx µ 2, (3.22)

54 et l écart-type (ou déviatio stadard) de X, σ := σ X := σ 2 (3.23) Propositio 3.5 Soit X ue variable aléatoire cotiue. Soit g : R R ue foctio mesurable (par exemple cotiue). Cosidéros la variable aléatoire Y = g(x). So espérace est égale à: E[Y ] = g(x)f(x)dx. (3.24) La variace d ue variable aléatoire discrète X est égale à σ 2 X = E[X 2 ] (E(X)) 2. (3.25) Soiet X et Y des variables aléatoires cotiues sur u espace probabilisé. Quad les espéraces E[ ] existet, o a E[a + bx + cy ] = a + be[x] + ce[y ] a, b, c R (3.26) Exemple 3.13 (La loi uiforme) O dit qu ue variable aléatoire X suit ue loi de probabilité uiforme sur l itervalle [α, β] si c est ue variable aléatoire cotiue avec desité de probabilité doée par { 1 f(x) = pour α x β β x 0 ailleurs Le graphe de la foctio de répartitio de X est doé par:! f(x) F X (x)! 1 " 1 " x " " x!!!! 53

55 µ = E[X] = xf(x)dx = 1 β xdx = β2 α 2 B α α 2(β α = 1/2(α + β) σ 2 = E[X 2 ] µ 2 = x 2 f(x)dx 1/4(α + β) 2 = 1 β x 2 dx 1/4(α + β) 2 β α α = 1 β 3 α 3 3 β α 1 4 (α2 + 2αβ + β 2 ) = 1 12 (4β2 + 4βα + 4α 2 3α 2 6αβ 3β 2 ) = β2 2αβ + α 2 (β α)2 = Exemple 3.14 ( La loi triagulaire) La foctio desité de probabilité de la loi triagulaire est x pour 0 x 1 f(x) = 2 x pour 1 x 2 0 ailleurs! -1 1 x O a bie f(t)dt = 1 0 tdt+ 2 1 (2 t)dt = [ t2 2 ]1 0 [ (2 t)2 2 ] 2 1 = 1/2+1/2 = 1 La foctio de répartitio vaut: F (x) = x f(t)dt doc 0 pour x 0 x 2 F (x) = pour 0 x 1 2 x2 + 2x 1pour 1 x pour 2 x 54