ELECTRICITE. Analyse des signaux et des circuits électriques. Michel Piou

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1 LCTICIT nalyse des sgnax et des crcts électrqes Mchel Po Chaptre 2 Los générales de l électrcté en régme contn. Théorèmes de sperposton, Thévenn et Norton. dton 11/03/2014

2 Table des matères 1 POUQUOI T COMMNT? MODLISTION D UN SOUC NON-IDL DONT L CCTISTIQU ST UN DOIT FFIN Observaton de la caractérstqe d dpôle Schémas éqvalents a dpôle THOM D SUPPOSITION THOMS D THVNIN T D NOTON N GIM CONTINU XMPL D PPLICTION DS THOMS: XCICS SU LS SUX LINIS N COUNT CONTINU...8 Chap 2. xercce 1 : Théorème de Thévenn...8 Chap 2. xercce 2 : Théorèmes de Thévenn et Norton...8 Chap 2. xercce 3 : Théorèmes de sperposton...9 Chap 2. xercce 4 : Problème de méthode:...9 Chap 2. xercce 5 : Problème de méthode...10 Chap 2. xercce 6 : Traval avec des schémas sccessfs...10 Chap 2. xercce 7 : Transformaton Thevenn-Norton Chap 2. xercce 8 : Transformaton Thevenn-Norton Chap 2. xercce 9 : Sorce de corant commandée C QU J I TNU D C CHPIT PONSS UX QUSTIONS DU COUS...13 Temps de traval estmé por n apprentssage de ce chaptre en atonome : 8 heres xtrat de la ressorce en lgne sr le ste Internet Copyrght : drots et oblgatons des tlsaters L ater ne renonce pas à sa qalté d'ater et ax drots morax q s'y rapportent d fat de la pblcaton de son docment. Les tlsaters sont atorsés à fare n sage non commercal, personnel o collectf, de ce docment et de la ressorce aselecpro notamment dans les actvtés d'ensegnement, de formaton o de losrs. Tote o parte de cette ressorce ne dot pas fare l'objet d'ne vente - en tot état de case, ne cope ne pet pas être factrée à n montant spérer à cel de son spport. Por tot extrat de ce docment, l'tlsater dot mantenr de façon lsble le nom de l ater Mchel Po, la référence à aselecpro et a ste Internet IUT en lgne. La dffson de tote o parte de la ressorce aselecpro sr n ste nternet atre qe le ste IUT en lgne est nterdte. Une verson lvre est dsponble ax édtons llpses dans la collecton Technosp sos le ttre ÉLCTICITÉ GÉNÉL Les los de l électrcté Mchel PIOU - grégé de géne électrqe IUT de Nantes France D même ater : MagnlecPro (électromagnétsme/transformater) et PowerlecPro (électronqe de pssance)

3 Chaptre 2 - Los générales de l électrcté en régme contn - 1 LOIS GNLS D L LCTICIT N GIM CONTINU. 1 POUQUOI T COMMNT? L électrcté q agt dans n ensemble d éléments électrqes obét à certanes los de la physqe. Celles-c ont été progressvement étables à partr de mltples expérences a cors des derners sècles. jord h, la connassance de ces los est ndspensable à tot électrcen o électroncen. Préreqs : Les notons de «corant» et de «tenson» (o dfférence de potentel) sont spposées connes ans qe la lo d Ohm «U =.I», la lo des nœds et la lo des malles. Objectfs : pprentssage de qelqes los de l électrcté, afn de calcler l état d n résea électrqe. Dans le concret, la mse en œvre de ces los est qelqefos dffcle. lle nécesste de la patence, de l entraînement et ne certane dose d ntton q on pet favorser avec de la méthode. Méthode de traval : Les los et les théorèmes énoncés dovent être conns par cœr le pls rapdement possble. la fn d chaptre, la rbrqe «Ce qe j a reten d chaptre» est destnée à fare le pont à ce sjet. La compréhenson des phénomènes électrqes fat largement appel à l tlsaton de schémas. Por ben les «vor», l est très mportant de fare des schémas propres, assez grands et en coler! Il fat se convancre qe l absence de schéma o la réalsaton d n schéma tot grs et rabogr est sorce de perte de temps et d errers. Traval en atonome : Por permettre ne étde d cors de façon atonome, les réponses ax qestons d cors sont données en fn de docment. Corrgés en lgne : Por permettre ne vérfcaton atonome des exercces, conslter «aselecpro» (chercher «baselecpro accel» sr Internet avec n moter de recherche) IUT en lgne - aselecpro

4 Chaptre 2 - Los générales de l électrcté en régme contn MODLISTION D UN SOUC NON-IDL DONT L CCTISTIQU ST UN DOIT FFIN. (1) Po Sorce nondéale L objectf est de décrre n dpôle «sorce non-déale», dont la caractérstqe = f ( ) est ne drote affne représentée c contre (2). Dans n premer temps, nos décrerons cette caractérstqe et dans n second temps, 0 Io nos rechercherons des «schémas éqvalents» q décrvent n dpôle ayant le même comportement qe cette sorce non déale ve de ses dex bornes. Uo 2.1 Observaton de la caractérstqe d dpôle. Qelle est la valer de la tenson lorsqe la sorce est «à vde» ( = 0 )? (éponse 1:) Qelle est la valer d corant lorsqe la sorce est «en cort-crct» ( = 0 )? ( éponse 2:) xprmer l éqaton de en foncton de et des constantes Uo et Io. (Penser à l éqaton d ne drote «y = a.x + b» dans laqelle on a remplacé x par et y par ) (éponse 3:) (1 ) Le mot «sorce» est parfos remplacé par le mot «générater». (2 ) ttenton ce dpôle n est pas ne résstance ohmqe car n est pas proportonnel à. IUT en lgne - aselecpro

5 Chaptre 2 - Los générales de l électrcté en régme contn Schémas éqvalents a dpôle Por qe ces schémas (o modèles) soent effectvement «éqvalents» à la sorce non déale, l fat q ls décrvent la même relaton = f ( ) en tlsant les mêmes orentatons (c en conventon générater) On va montrer q on pet modélser cette sorce non-déale précédente sos forme d schéma éqvalent dt de «Thévenn» (c-dessos): Po Sorce nondéale n Uo xprmer la relaton = f ( ) d dpôle constté d ne sorce de tenson «Uo» en sére avec ne résstance «n». Por qe ce dpôle sot éqvalent la sorce non-déale précédente, l fat q l at la même relaton = f ( ). n dédre l expresson de la «résstance nterne» «n» en foncton de Uo et Io por qe ce schéma sot éqvalent à la «sorce non-déale» précédente. (éponse 4:) On va montrer q on pet modélser cette sorce non-déale sos forme d schéma éqvalent dt de «Norton» (c-dessos): Po Sorce nondéale Io n xprmer la relaton = f ( ) d dpôle constté d ne sorce de corant «Io» en parallèle avec ne résstance «n». Por qe ce dpôle sot éqvalent la sorce non-déale précédente, l fat q l at la même relaton = f ( ). n dédre l expresson de la «résstance nterne» «n» en foncton de Uo et Io por qe ce schéma sot éqvalent à la «sorce non-déale» précédente. (éponse 5:) On en dédt donc qe les dex schémas éqvalents modélsent la même «sorce non-déale» à condton de respecter la relaton Uo = n.io. Il est donc possble d tlser ndfféremment l n o l atre de ces schémas. Qelle est la résstance nterne d ne sorce de tenson déale? (éponse 6:) Qelle est la résstance nterne d ne sorce de corant déale? (éponse 7:) IUT en lgne - aselecpro

6 3 THOM D SUPPOSITION. Chaptre 2 - Los générales de l électrcté en régme contn - 4 Ce théorème ne sera pas démontré. Son énoncé est à connaître par cœr même s l est dffcle à comprendre dans n premer temps. L exemple c-après est destné à le précser de manère magée. Dans n résea électrqe lnéare, le corant (o la tenson) dans ne branche qelconqe est égal à la somme algébrqe des corants (o des tensons) obtens dans cette branche sos l effet de chacne des sorces ndépendantes prse solément, totes les atres sorces ndépendantes ayant été remplacées par ler résstance nterne. Le théorème de sperposton permet d étder n résea électrqe complqé en le remplaçant par ne somme de réseax électrqes pls smples. Dans ce chaptre, nos ne traterons qe des exemples avec des sorces contnes. o V Io xemple: o = 12 V ; Io = 2 ; = 5 Ω. Calcler V par le théorème de sperposton. (éponse 8:) emarqe : Lors de l applcaton d théorème de sperposton, avec pls de dex sorces ndépendantes, on pet effecter des regropements en sos-ensembles. (s cette démarche permet de smplfer la résolton d problème). xemple : 1 I 2 J 3 3 r I 1 r I 2 r 1 2 J 3 I 3 3 r 2 1 I 1 I 3 r 2 2 J 3 3 r 3 2 I = I1 + I2 + I3 = I' + I3 IUT en lgne - aselecpro

7 Chaptre 2 - Los générales de l électrcté en régme contn THOMS D THVNIN T D NOTON N GIM CONTINU. ésea lnéare ésea électrqe Sot n résea électrqe lnéare (3) consttant n dpôle, ms en relaton avec n atre résea électrqe (lnéare o non) par l ntermédare de dex nœds et. On porrat montrer (on ne le démontrera pas) qe la caractérstqe ( ) de ce dpôle lnéare est d type : 0 On en dédt, d après le 2 qe ce dpôle lnéare pet être modélsé par n dpôle éqvalent de Thévenn o par n dpôle éqvalent de Norton : eq ésea lnéare TH I cc eq TH eq 0 V 0 TH vde : en n est relé ax bornes TH est la tenson ve entre les dex bornes et lorsqe le dpôle est à vde. (résea lnéare non relé a second résea électrqe). TH 0 0 I cc est le corant de cort-crct entre les dex I cc 0 V eq I cc bornes et. n cort-crct, le corant dans eq est nl 0 I cc (3 ) Vor le chaptre 1. IUT en lgne - aselecpro

8 Chaptre 2 - Los générales de l électrcté en régme contn - 6 Les modèles de Thévenn et de Norton sont relés par la relaton I TH cc = (vor 2.2 ) eq Par allers, on porrat démontrer (on ne le démontrera pas) qe : eq est la résstance ve entre les dex bornes d dpôle lorsqe totes ses sorces ndépendantes sont remplacées par ler résstance nterne. n résmé : Le théorème de Thévenn affrme qe : Tot résea lnéare consttant n dpôle en régme contn pet être remplacé par n dpôle éqvalent constté d ne sorce de tenson TH en sére avec ne résstance eq tels qe : TH est la tenson ve entre les dex bornes d dpôle lorsq l est à vde. (dpôle lnéare non relé a second dpôle électrqe). eq est la résstance ve entre les dex bornes d dpôle lorsqe totes ses sorces ndépendantes sont remplacées par ler résstance nterne. Le théorème de Norton affrme qe : Tot résea lnéare consttant n dpôle en régme contn pet être remplacé par n dpôle éqvalent constté d ne sorce de corant ndépendant en parallèle avec ne résstance tels qe : I cc est le corant de cort-crct entre les dex bornes de ce dpôle. eq est la résstance ve entre les dex bornes d dpôle lorsqe totes ses sorces ndépendantes sont remplacées par ler résstance nterne. Ces théorèmes sont à connaître par cœr même s l est dffcle de ben les comprendre dans n premer temps. I cc eq IUT en lgne - aselecpro

9 Chaptre 2 - Los générales de l électrcté en régme contn - 7 xemple d applcaton d théorème de Thévenn : Soent tros dpôles lnéares en sére remplacés par ler dpôle éqvalent de Thévenn : n applqant le théorème de Thévenn, détermner le dpôle éqvalent de Thévenn de l ensemble d dpôle. (éponse 9:) n conclson : Lorsqe des dpôles sont en sére, l est consellé d tlser le Théorème de Thévenn s on n a pas d dée pls astcese. xemple d applcaton d théorème de Norton : Soent tros dpôles lnéares en parallèle remplacés par ler dpôle éqvalent de Norton : I 1 1 I 2 2 I 3 3 n applqant le théorème de Norton, détermner le dpôle éqvalent de Norton de l ensemble d dpôle. (éponse 10:) n conclson : Lorsqe des dpôles sont en parallèle, l est consellé d tlser le Théorème de Norton s on n a pas d dée pls astcese. 5 XMPL D PPLICTION DS THOMS: 1 2 On vet détermner n schéma éqvalent a dpôle. Nos dsposons mantenant de plsers otls q pevent grandement smplfer l étde des réseax lnéares : I 2 1 solton: Calcler et par la lo des malles et des nœds. n dédre TH. eq I cc (éponse 11:) 2 solton: Convertr le dpôle, 1 en son éqvalent de Norton, ps convertr l ensemble obten en éqvalent de Thévenn. n dédre TH. 3 solton: Calcler TH à partr de la défnton de la tenson éqvalente de Thévenn et d n fléchage correct des tensons. IUT en lgne - aselecpro

10 Chaptre 2 - Los générales de l électrcté en régme contn XCICS SU LS SUX LINIS N COUNT CONTINU Chap 2. xercce 1 : Théorème de Thévenn. Objectf: mettre en œvre le théorème de Thévenn. applqer la formle d pont dvser de tenson = 10 V, 2 = 5 V 1 = 15 Ω, 2 = 10 Ω et 3 = 5 Ω On vet exprmer le corant 2 en foncton des éléments d montage. Por ce fare, on pet remplacer tot le montage par n schéma pls smple, saf la branche q content 2 : a) Calcler le schéma éqvalent de Thévenn d dpôle (constté de, 1 et 3 ). (Penser a pont dvser de tenson...). b) près avor remplacé, 1 et 3 par ce dpôle éqvalent, en dédre la valer de 2 par la lo des malles Comparer cette solton avec la résolton d même exercce effectée précédemment par les los de Krchhoff (a chaptre 1). Chap 2. xercce 2 : Théorèmes de Thévenn et Norton. Objectf: mettre en œvre les théorèmes de Thévenn et Norton. On vet exprmer 3, en foncton de, 2, 1, 2, et = 10 V, 2 = 5 V 1 = 15 Ω, 2 = 10 Ω et 3 = 5 Ω Por ce fare, on pet remplacer tot le montage par n schéma éqvalent pls smple, saf la branche q content 3. Calcler le schéma éqvalent de Norton d dpôle (constté de, 2, 1 et 2 ). n dédre le schéma éqvalent de Thévenn de ce dpôle. n dédre la valer de 3. Comparer cette solton avec la résolton d même exercce effectée précédemment par les los de Krchhoff (a chaptre 1). IUT en lgne - aselecpro

11 Chaptre 2 - Los générales de l électrcté en régme contn - 9 Chap 2. xercce 3 : Théorèmes de sperposton. Objectf: Mettre en œvre le théorème de sperposton. pplqer la formle d pont dvser de corant. 1 2 On vet exprmer 3, en foncton de, 2, 1, 2, et Por ce fare, on pet applqer le théorème de sperposton : = 10 V, 2 = 5 V 1 = 15 Ω, 2 = 10 Ω et 3 = 5 Ω Calcler 1. n dédre 3 par la formle d pont dvser de corant. Procéder de même por calcler 3. n tlsant le théorème de sperposton, en dédre la valer de 3. Chap 2. xercce 4 : Problème de méthode: Por le schéma c-dessos, détermner par applcaton d théorème de THVNIN, le dpôle éqvalent entre les bornes et. Cet exercce pet paraître complqé et + - c est volontare. Il est destné à mettre l accent sr la nécessté d avor ne approche méthodqe. epérer les dpôles en sére et les remplacer par ler schéma éqvalent de Thévenn. + + Le résltat demandé s obtent alors - - sans acn calcl IUT en lgne - aselecpro

12 Chaptre 2 - Los générales de l électrcté en régme contn - 10 Chap 2. xercce 5 : Problème de méthode On consdère le résea représenté par le schéma c-contre: 1 2 n tlsant le théorème de Thévenn, calcler le corant dans la résstance On donne: = 3 V. 1 = 2 = 3 = 2Ω. 2 = 1 V. = 5 Ω. 3 = 2 V. Méthode : Indqer les valers nmérqes drectement sr le schéma (C est possble c car les valers sont smples et l y a pe de composants). Identfer les dpôles en parallèle et les dpôles en sére et tlser la dalté Thévenn Norton. Détermner le modèle éqvalent de Thévenn d dpôle, ps tlser la lo des malles Chap 2. xercce 6 : Traval avec des schémas sccessfs. Par applcaton d théorème de THVNIN, calcler le modèle éqvalent entre les bornes et à l ensemble d résea dont le schéma encadré est c-dessos. n dédre le corant I I Méthode : vancer en smplfant le schéma de proche en proche en partant de la gache : Détermner le schéma éqvalent a dpôle à gache de 11. Fare de même avec 22. Ps fare de même avec. IUT en lgne - aselecpro

13 Chaptre 2 - Los générales de l électrcté en régme contn - 11 Chap 2. xercce 7 : Transformaton Thevenn-Norton I Calcler le corant dans la résstance 1 en foncton de, I, et I I 1 1 Méthode : Por smplfer les dpôles en parallèle, les mettre sos forme de schémas éqvalents de Norton. Por smplfer les dpôles en sére, les mettre sos forme de schémas éqvalents de Thévenn Chap 2. xercce 8 : Transformaton Thevenn-Norton 2 2. I I 4. n applqant la transformaton THVNIN NOTON et ne lo des malles, calcler le corant I1 en foncton de, I,. I 1 Chap 2. xercce 9 : Sorce de corant commandée. v b b b c c a) v b et c sont des sorces ndépendantes (q ne dépendent d acn élément d schéma). Détermner la résstance éqvalente d dpôle ccontre. v b b b e β. b c b) Le coeffcent β est constant. ttenton la sorce de corant dépendante! β. b est lnéarement Calcler la tenson éqvalente de Thévenn et le corant e éqvalent de Norton d dpôle c-contre (ensemble d montage saf e ). n dédre la résstance éqvalente d dpôle. Porqo est-elle dfférente de celle d dpôle? n tlsant le modèle éqvalent de Thévenn d dpôle, xprmer e en foncton de v b, b, e et β. etrover ce résltat en applqant la lo des malles. IUT en lgne - aselecpro

14 Chaptre 2 - Los générales de l électrcté en régme contn C QU J I TNU D C CHPIT. L objectf de ce qestonnare est d ader l étdant à évaler l-même sa connassance d cors. Il est consellé de répondre sr ne felle de paper et de ne pas se contenter d sentment d avor «entend parler». 1. Sot ne sorce «réelle» dont la caractérstqe () est ne drote. Fare fgrer sr celle-c le corant de cort-crct Icc et la tenson à vde U o. eprésenter son modèle éqvalent de Thévenn et son modèle éqvalent de Norton. Précser la valer de sa résstance nterne, de sa tenson éqvalente de Thévenn et de son corant éqvalent de Norton I. Th eq No 0 2. crre le théorème de sperposton. (Le théorème dot être énoncé sans obler n sel des mots ms en gras dans le texte d cors) (l est consellé d llstrer cel-c par n pett exemple). 3. crre la défnton de la tenson éqvalente de Thévenn, de la résstance éqvalente et d corant éqvalent de Norton. Qelle relaton exste entre ces tros granders? Des tests nteractfs sont dsponbles sr le ste «1377» o «1406». Dans l onglet «ressorces», ndqer o sr le ste GII/lectrcté/ Crcts et composants lnéares en contn IUT en lgne - aselecpro

15 Chaptre 2 - Los générales de l électrcté en régme contn PONSS UX QUSTIONS DU COUS éponse 1: éponse 2: éponse 3: U à vde = Uo retor I en cort-crct = Io retor = (Uo/Io). + Uo retor éponse 4: = n. + Uo Par dentfcaton avec l éqaton «= (Uo/Io). + Uo», on en dédt qe la résstance nterne n dot avor la valer n = Uo/Io por qe le schéma de Thévenn sot éqvalent a dpôle «sorce non-déale» précédemment décrte. retor éponse 5: Par la lo des nœds : = Io / n = n. + n.io Par dentfcaton avec l éqaton «= (Uo/Io). + Uo», on en dédt qe la résstance nterne n dot avor la valer n = Uo/Io por qe le schéma de Norton sot éqvalent a dpôle «sorce non-déale» précédemment décrte. retor éponse 6: Une sorce de tenson déale pet être modélsée par n schéma éqvalent de Thévenn à condton de fare dsparaître sa résstance nterne en sére (en la remplaçant par n cort-crct ; c est à dre n smple condcter), donc : n = Uo U = Uo n = 0 La résstance nterne d ne sorce de tenson déale est nlle. retor éponse 7: Une sorce de corant déale pet être modélsée par n schéma éqvalent de Norton à condton de fare dsparaître sa résstance nterne en parallèle (en la remplaçant par n crct overt (c est à dre ne résstance nfne)). Io La résstance nterne d ne sorce de corant déale est nfne. n = U est ndéfn retor IUT en lgne - aselecpro

16 Chaptre 2 - Los générales de l électrcté en régme contn - 14 éponse 8: o V Io o o/2 2.Io Io o 12 5 V =. Io =. 2 = 1V retor La sorce de corant est remplacée par n crct overt La sorce de tenson est remplacée par n cort-crct éponse 9: vde (I = 0) : TH = S, 2 et 3 sont remplacées par ler résstance nterne (c est à dre ne résstance nlle) : eq = retor éponse 10: I 1 0 I 2 0 I 3 0 n cort-crct (V = 0) : I cc I cc = I 1 - I 2 + I 3 S I 1, I 2 et I 3 sont remplacées par ler résstance nterne (c est à dre ne résstance nfne) : ( ) 1 retor eq 1 = = IUT en lgne - aselecpro

17 Chaptre 2 - Los générales de l électrcté en régme contn - 15 éponse 11: 1 solton : Calcl de eq : n applqant la défnton de la résstance éqvalente On remplace les dex génératers ndépendants par ler résstance nterne : est remplacé par n cort-crct et I 2 par n crct overt. (vor la fgre 1). On obtent : eq = I 2 - I cc 1 2 eq 1 2 I cc I 2 Fg 1 Fg 2 Calcl de I cc :Le corant de cort-crct est le corant q passe entre les bornes et lorsq elles sont «cort-crctées» (c est à dre q elles sont relées par n smple condcter). Par la lo des malles on obtent (vor la fgre 2) : + 1 ( I 2 Icc ) = 2. Icc 1 + 1I 2 Icc = n conséqence : TH = eq. Icc = I2 2 solton : I I I2.1 n applqant l éqvalence Thévenn Norton (transformatons sccessves d schéma), on obtent presqe sans calcl: eq = et TH = I 2. 3 solton : 0 I I I 2 TH La tenson éqvalente de Thévenn est la tenson ax bornes d dpôle lorsq l est à vde c est à dre lorsqe ren n est relé à l extérer des bornes. Par la lo des malles, on obtent : TH = I 2 n conclson, l n exste pas ne méthode nqe por résodre n problème de réseax lnéares. Por fare les chox les pls jdcex, l convent de s entraîner. retor IUT en lgne - aselecpro