BROCHURE D'EXERCICES D'ANALYSE MATHEMATIQUE 2

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1 MINISTERE DE L 'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR FACULTE DES SCIENCES. DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES OSMANOV Hmid KHELIFATI Sddek BROCHURE D'EXERCICES D'ANALYSE MATHEMATIQUE PARTIE : INTEGRATION. INTEGRALE INDEFINIE et INTEGRALE DEFINIE vec rppels de cours, réponses et certins corrigés. EDITION

2 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr Chpitre VIII. Intégrle indéfinie. Clcul intégrl. L intégrle indéfinie est le prolème inverse de l recherche de l dérivée d une fonction donnée.. Primitives. Intégrle indéfinie. VIII..Notion de primitives d une fonction. Soit f une fonction définie sur un intervlle I R. On cherche une fonction F définie et dérivle sur I vérifint: F f, I. () Définition. On ppelle primitive de f sur I toute fonction F définie et dérivle sur I, vérifint l éqution (). Théorème. Si f dmet une primitive, lors elle en dmet une infinité et si F,G sont deu primitives de f sur I, lors il eiste une constnte c R telle que : F G c, I. VIII.. Intégrle indéfinie. Définition. On ppelle intégrle indéfinie de f sur I R l ensemle des primitives de f sur I, si elles eistent, qu on note f, I. Si F est une primitive de f, lors on écrit : f F c, c R. En prtique, on désigne souvent pr l intégrle indéfinie une certine fonction primitive u lieu de l ensemle des primitives de f. VIII.. Eistence de l intégrle indéfinie. Pour l eistence de l intégrle indéfinie d une fonction f, c est à dire d une primitive, on l condition suffisnte suivnte: Théorème. Toute fonction continue sur un intervlle dmet une primitive sur cet intervlle. Conséquence. Les fonctions élémentires réelles dmettent toutes des primitives. Remrque. Il eiste des fonctions n dmettnt de primitives u sens de l définition donnée..clcul intégrl.

3 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr L opértion de recherche de l intégrle indéfinie est ppelée intégrtion ou primitivistion et pour cel, on dit souvent intégrer une fonction u lieu de clculer son intégrle indéfinie. VIII.. Propriétés fondmentles de l intégrle indéfinie. Les propriétés suivntes sont vries: i) f g f g ; ii) f f, R; iii) f f ou d f f; iv) df F c; v) si f F c, lors f F c. VIII.5. Tle des principles intégrles indéfinies. A prtir de l tle des dérivées des fonctions élémentires, on étlit l tle suivnte des primitives de fonctions élémentires: i) c ; ii) c, R,, iii) log c, ; e e c, R; iv) log c ; v) sin cos c ; cos sin c, R; vi) cos tg c, k; sin ctg c, k, k Z; vii) rcsin c, rccos c,, ; viii) rctg c, rcctg c,, R ;

4 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr i) sh ch c, R; ch sh c, R; ) ch th c, R; sh cth c, ; i) log c rgsh c, R; ii) log c ; iii) log c rgth c, rgcth c.. VIII.6. Méthode directe d intégrtion. Cette méthode consiste, grâce u propriétés des intégrles et u trnsformtions sur l fonction à intégrer, à utiliser l tle des principles primitives. Eemples. sin sin cos rctg c. VIII.7. Méthode du chngement de vrile. Prmi les méthodes d intégrtion les plus effectives, il y l méthode du chngement de vrile qui consiste à écrire l fonction à intégrer f sous l forme f g.. On le théorème suivnt: Théorème. Soient f g., et t définie et dérivle sur un intervlle I R. Si l fonction t y gt dmet une primitive Gt sur un intervlle I t tel que I I t, lors l fonction f g dmet une primitive sur I et on f g. G c, c R. () En prticulier le théorème est vri si g, et sont continues. Méthode prtique. Soit à clculer f qui peut se mettre sous l forme f g telle que g dmet une primitive G, lors, d près le théorème, on

5 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr pose t, dt. Dns ce cs, on f gtdt Gt c G c. Eemple. Clculer F sin.cos. Remrquons tout d ord que sin.cos sin sin sin dsin. Ainsi, en posnt t sin, on otient : sin.cos t dt t/ c sin/ c. Prfois le chngement de vrile n est ps visile et on peut, dns certins cs, poser t. Plus précisément, on le théorème suivnt: Théorème. Soient f une fonction continue sur I et : J I une fonction inversile telle que C J. Alors, en posnt t, on otient l formule f ft tdt gtdt Gt c, () vec t, tdt et G une primitive de g. On revient ensuite à l vrile en remplçnt t, d où f G c. () Cette méthode est dite méthode de sustitution. Eemple. Clculer. Dns cet eemple, le chngement de vrile n est ps / visile et il est préférle d utiliser le théorème en fisnt le chngement suivnt: t tgt. Dns ce cs, on dt cos t, /, cos t et en remplçnt dns l intégrle, on otient, près quelques trnsformtions trigonométriques: cos t / cos t dt cos tdt sint c. Comme t rctg, lors on l résultt: / sinrctg c c. Remrques. ) Le choi du chngement de vrile doit être judicieu et seule l prtique du clcul intégrl permet de le déterminer. ) Comme dt d dns le théorème, il est préférle d écrire l intégrle sous l forme: f gd F c. ) Nous conseillons u lecteur de vérifier les résultts otenus en clculnt leurs dérivées qui

6 5 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr doivent être égles u fonctions à intégrer. VIII.8. Méthode d intégrtion pr prties. Un grnd nomre d intégrles se clculent pr l méthode d intégrtion pr prties qui est donnée pr le théorème suivnt: Théorème. Soient u, v deu fonctions dérivles sur un intervlle I R telles que l fonction u v dmet une primitive sur I. Alors l fonction uv dmet une primitive sur I et on : uv uv u v. (5) En prticulier le théorème est vri si u,v C I. Symoliquement, on écrit: u dv u.v v du. Remrques. ) Le choi de cette méthode n de sens que si l intégrle figurnt dns le memre de droite de l formule (5) est fcile à clculer. ) Le choi des fonctions u et v doit être judicieu et ce n est que pr l prtique des eercices que l on pourr plus fcilement fire ce choi. ) L prtique montre qu un on nomre d intégrles susceptiles d être clculées pr l méthode d intégrtion pr prties peuvent être clssées en trois groupes: ) f log, f rcsin, f rccos, frctg, frccos, frctg,...dns le cs où f dmet une primitive;. P cos, P sin, Pe où P est un polynôme R, dns ce cs, on pose u P; c. e cos, e sin, R, sinlog, coslog,, R. Eemples. Comme pour les eemples précédents, l constnte ritrire est désignée pr l lettre c R. ) rctg. Posons u rctg et v. Alors on

7 6 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr u et v et, d près l formule d intégrtion pr prties: rctg rctg rctg rctg rctg rctgc c rctg c. ) I n log n. Posons u log et v n. Alors on : u n, v et d près l formule d intégrtion pr prties: n n log n n log n n n n log c. n ) Etlissons une formule récurrente pour clculer l intégrle I n dt t, n. n On, en intégrnt pr prties : I n dt t t n t n t dt n t n t t n t dt t n t n t ni n n n I n, d où l on déduit l formule de récurrence suivnte: I n t t n n k I n, n. Comme I n se clcule en fonction de I n, I n en fonction de I n et insi de suite, lors il revient, en fin de compte, à clculer I qui est égle à: I dt t rctg t c.. Intégrtion de frctions rtionnelles. Les frctions rtionnelles forment une clsse importnte de fonctions dont l intégrle se clcule pr les méthodes précédentes et dont l intêret réside dns le fit que: / l intégrtion de nomreuses fonctions non rtionnelles se rmène à celle de frctions rtionnelles pr des chngements de vriles; / il eiste une méthode générle d intégrtion d une frction rtionnelle qui consiste, près l voir trnsformée, à intégrer une somme finie de frctions plus simples. Pour cel, rppelons le théorème sur l décomposition d une frction rtionnelle réelle en une somme finie de frctions, ppelées éléments simples.

8 7 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr VIII.9. Décomposition d une frction rtionnelle en éléments simples. Théorème fondmentl de décomposition. Soient P Q une frction rtionnelle telle que degp degq et Q m m... k m k p q n p q n... p l q l n, vec,,..., k, p, q, p, q,..., p, q R, m, m,..., m k, n, n,..., n N et i p i q i, i,,...,. Alors l frction rtionnelle P Q se décompose en une somme finie unique d éléments simples de première et deuième espèces comme suit: P Q A A... A m m A A... A m m... A k k M N p q M N p q A k k... A kmk k m k M N p q... M n N n p q n M N p q... M n N n p q n... M N p q M N p q... M n N n p q n. vec A,A,...,A kmk, M,N,M,N,...,M n,n n R, i p i q i, i,,...,. De mnière condensée, cette décomposition s écrit k P Q i m i j A ij i j i n i j M ij N ij p i q i j. VIII.. Méthode des coefficients indéterminés. Eemple. Pour déterminer les coefficients A ij, M ij et N ij, on une méthode générle, dite méthode des coefficients indéterminés qu on illustre pr l eemple suivnt: soit à décomposer l frction régulière P Q. D près le théorème, on l formule de décomposition suivnte :

9 8 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr A B M N A B M N A M B N M B M N A B N. En identifint coefficients dns les numérteurs, on otient le système d équtions linéires suivnt: A M B M N B M N A B N. Ce système dmet une solution unique : A, B, M et N. D où l décomposition :. Remrque. L méthode des coefficients indéterminés peut s vérer longue et prfois il vut mieu ppliquer l méthode d élimintion dns le cs où le dénominteur Q n dmet que des rcines réelles: Q m m... k m k, i j si i j. Dns ce cs, les coefficients A ij sont données pr l formule suivnte A ij m i j! d m ij P Q i m i i, i,...,k, j,...,m i. VIII.. Méthode d intégrtion d une frction rtionnelle. Soit à intégrer une frction rtionnelle P Q. Premier cs: si P est régulière (i.e.. degp degq, lors, d près le théorème Q fondmentl, on l décompose en une somme finie d éléments simples qui sont de l forme: A m, M N p q, A,,M,N R, m,n N, n p q. En fonction de m et n, intégrer une frction rtionnelle régulière revient à clculer qutre types d intégrles, à svoir: type I : A A log c cs m ; type II: A m A c cs m ; m m type III: M N cs n ; p q

10 9 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr type IV: M N cs n. n p q Algorithme de clcul des intégrles de types III et IV. Schnt que p q q p et en posnt q p, on peut écrire : p q p q p p. Pour le clcul des intégrles de types III et IV, on pose t p et on dt. VIII.. Eemple. Clculer. L frction rtionnelle P Q étnt régulière, on peut l décomposer en éléments simples suivnt l formule : A B C M N Pr l méthode des coefficients indéterminés, on otient: A, B, C, M, N, R, S. D où: R S.. Pour les intégrles de types I et II, on otient : log c, c, c. Pour les intégrles de types III et IV, écrivons d ord : 9 t. En posnt t et et, on otient t t dt t t dt logt rctg t c, dt t

11 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr t t dt t t dt dt t. L dernière intégrle se clcule d près l formule de récurrence de l eemple ) du n o VIII.8. Finlement, on trouve près rrngement des termes que log 9 rctg log c. Deuième cs. Si degp degq, lors en fisnt l division euclidienne, on otient P Q S Q R, degr degq, telle que S est un polynôme et R une frction rtionnelle régulière et, lors on Q P Q S R Q.. Intégrtion de certines clsses de fonctions irrtionnelles. Certines fonctions irrtionnelles peuvent se rmener à une intégrtion de frctions rtionnelles pr un chngement de vrile. VIII.. Polynôme et frction rtionnelle de deu vriles. Définition. On ppelle polynôme de deu vriles u, v de degré n toute epression de l forme: Pu,v u v u uv v... n u n où,,..., n R. n, u n v... n v n, Définition. On ppelle frction rtionnelle de deu vriles u, v tout rpport de deu polynômes des vriles u et v. Une frction rtionnelle est donc une epression de l forme Ru,v Pu,v Qu,v,

12 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr où P, Q sont des polynômes des deu vriles u, v. Dns le cs où u, v sont des fonctions de l vrile, lors R, est dite frction rtionnelle de et. Eemples. Ru,v u uv 5v u v u ; R, 5, u, v ; Rsin,cos cos sin cos sin cos sin 6. Remrques. Dns l eemple, l fonction R R, est une fonction irrtionnelle de l vrile seulement. 5 VIII.. Intégrles de l forme fonction R est irrtionnelle en. Posons On otient, près clcul: d où R, n t n c d, c d R, n t n dtn ct n, R où R est une frction rtionnelle en t. c d c d. dtn ct n,t, d c. Dns ce cs, l nd ctn ct n nd ct n ct n dt, dt R tdt, Eemple. Clculer l intégrle I. En posnt t, on otient près clcul t t, 6t t dt, d où... 6 t t t dt t t dt. L dernière intégrle est une intégrle d une frction rtionnelle en t qu on peut résoudre pr l méthode eposée précédemment. Le résultt trouvé est:

13 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr log t t t rctg t c, vec t. Remrque. L méthode précédente peut se générliser u intégrles de l forme: m m m k n, n,..., n k, R, c d c d c d en posnt t r c d, où r PPCMn,n,...,n k, c est à dire le plus petit commun multiple de n,n,...,n k. Eemple. Clculer l intégrle. Dns ce cs, on 5 d, c, n, n 5 et PPCM,5. En posnt t, on otient, près clcul t 5, 5 t, t 9 dt, d où 5 dt t 5 t. L résolution de cette intégrle d une frction rtionnelle donne 5 log 5 5 c. 5 5 VIII.5. Intégrles de différentielles inômiles de l forme m n p, où m, n, p sont des nomre rtionnels et, des nomres réels. On démontre que ces intégrles peuvent être rmenées à des intégrles de fonctions rtionnelles dns les trois cs suivnts ) Si p est entier, lors on pose z k où k est le dénominteur commun des frctions m et n. ) Si m est entier et p frctionnire, lors on pose n z k où k est le n dénominteur de p. ) Si m n et p sont des nomres frctionnires mis l somme m n p est un nomre entier, lors on pose n n z k, où k est le dénominteur de l frction p. Remrque. En dehors de ces trois cs cités, l intégrle d une différentielle inômile ne peut être eprimée à l ide de fonctions élémentires. VIII.6. Intégrles de l forme R, c. Dns ce cs, y c vec, et l fonction R est une fonction irrtionnelle en.

14 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr Méthodes de sustitution d Euler. On une méthode générle d intégrtion pour clculer ce type d intégrle qu on peut trnsformer en une intégrle d une frction rtionnelle pr des chngements de vrile de trois types. i Première sustitution d Euler. Cs. On pose lors c t. Etudions le cs c t. En élevnt u crré les deu epressions et en simplifint les clculs, on otient t c t, t t c c, t t c dt. t t En remplçnt ces epressions dns l intégrle, on otient R t c t, t t c t t c t t où R est une frction rtionnelle en t. Les utres cs se tritent de l même mnière. dt R tdt, ii Deuième sustitution d Euler. Cs c. On pose lors c t c. Etudions le cs c t c. Après clcul, on otient c t, c t t c c, c t t c t t t En remplçnt ces epressions dns l intégrle, on otient R c t c t t c, c t t c dt R t t t tdt, où R est une frction rtionnelle en t. dt. iii) Troisième sustitution d Euler. Cs où le trinôme c deu rcines réelles distinctes, c est à dire que c et donc c. On pose lors c t ou t. Etudions le cs c t. Après clcul, on otient t, t c, t t En remplçnt ces epressions dns l intégrle, on otient t t dt.

15 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr t t où R est une frction rtionnelle en t., t t t t dt R tdt, Remrque. L méthode des sustitutions d Euler est générle pour ces types d intégrles, mis elle peut mener à des clculs fstidieu. Il peut eister des méthodes plus simples et plus judicieuses pour l résolution de certines intégrles de ce type (voir VIII. 7, cs V). Eemple. Clculer l intégrle I. Dns cet eemple, on c. Fisons l première sustitution d Euler en posnt t. Elevons les deu epressions u crré et simplifions les termes identiques t t t t t t t, d où t t t t, t t t dt, tt t. En remplçnt ces epressions dns l intégrle I et près simplifiction, on otient t t dt dt tt t t t t tt t dt log t log t c. t t d où log c. 5. Intégrtion de certines clsses de fonctions trnscendntes. VIII.7. Intégrles de l forme: Rsin,cos, où Rsin,cos étnt une fonction trnscendnte en. Pour ce type d intégrle, on peut fire le chngement de vrile universel : t tg rctgt. On dns ce cs: tg tg sin t, cos tg t tg t t, dt t.

16 5 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr En remplçnt ces epressions dns l intégrle, on otient: R t t, t t dt R t tdt, où R est une frction rtionnelle en t. Eemple. Clculer I 5 cos. Posons t tg. On cos t t, dt. En remplçnt ces epressions dns l intégrle I, on otient t 5 cos 5 t t dt dt t rctg tg c. t Remrque. L méthode générle eposée pour ce type d intégrle peut mener à des clculs prfois très longs. Pour cel, il eiste des méthodes plus efficces et plus simples pour clculer ces intégrles si l fonction R possède certines propriétés. Voici quelques cs: I. ) Si R sin,cos Rsin,cos, on peut poser t cos, ) Si Rsin,cos Rsin,cos, on peut poser t sin, ) Si R sin,cos Rsin,cos, on peut poser t tg. Ce dernier cs est vlle si on Rsin,cos. II. Intégrles de l forme sin m cos n. Cs m,n Q. En posnt u sin ou u cos, on se rmène à une intégrle de différentielle inômile. Cs m,n Z. ) Si l un des deu eposnts est pir et l utre impir, on peut poser t cos. ) Si m k et n, lors on peut poser t cos et l intégrle devient t t k dt. k ) Si m k, n, lors on peut poser t tg et on se rmène u cs I.), ou ien comme sin cos, cos cos lors l intégrle devient sin p cos q p q cos cos. En développnt l epression sous l dernière intégrle, on otient des intégrles suivnt les puissnces pires et impires de cos. Alors, on peut ppliquer le cs )., Eemple.. On pose t tg et lors sin cos cos tg t, sin t t, dt t. En remplçnt dns l intégrle, on otient:

17 6 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr sin cos t dt t t t dt t tg tg C. tg t t C III. Intégrles de l forme sin cos. Dns ce cs, on pplique les formules de trigonométrie suivntes: sin cos sin sin, sin sin cos cos, cos cos cos cos. IV. Intégrles de l formes sin n et cos n. Dns ce cs, on peut linériser les fonctions à intégrer suivnt les formules: n N, cos n n cos n C n cosn...cosn, n n p, sin n n cos n C n cosn n C n cosn... cosn n n p, sin n n sin cos n C n cosn C n cosn... où C k n n! k!n k!. Eemple. Clculer cos. On cos cos cos cos Eemple. Clculer I cos cos sin sin C. 8 sin cos sin sin. En posnt cos sin t t t t tg, on otient dt t tdt t

18 7 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr dt t rctgt c rctg(tg ) c. V. Intégrtion des intégrles éliennes de l forme R, c à l ide de trnsformtrions trigonométriques si et c. On peut montrer que cette intégrle se rmène à une intégrle de l forme R sint,cos tdt comme suit: ) Si et c, lors R, c R, c Rt, m t n dt, où m, n c. En posnt mt n tgz, on otient une intégrle de l forme R sinz,cos zdz. ) Si et c, lors R, c Rt, m t n dt. En posnt t n mcos z, on otient une intégrle de l forme R sinz,cos zdz. ) Si et c, lors R, c Rt, n m t dt. En posnt t m n sinz, on otient une intégrle de l forme R sinz,cos zdz. ) Lorsque et c, lors l fonction à intégrer n ucun sens. otient Eemple. Clculer l intégrle cos tdt 6 cos 6 t dt cos t. En posnt sint, cos tdt, on C C. tgt C sint cos t VIII.9. Intégrle de fonctions trnscendntes de l forme Re. Dns ce cs, on pose t e, et lors on dt e t dt. En remplçnt ces t epressions dns l intégrle, on otient

19 8 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr où R est une frction rtionnelle en t. Re Rt t dt Rtdt, Remrque. L même méthode peut s ppliquer u cs où R est une frction rtionnelle en sh, ch, th, cth. (Voir ussi n o suivnt). Eemple. Clculer e e. En posnt t e, on otient, près trnsformtion: e e t t dt t... log e c. VIII.. Intégrle de fonctions trnscendntes de l forme Rsh,ch. Comme pour les intégrles des frctions de fonctions trigonométriques, on peut fire le chngement de vrile universel pour ce type d intégrles en posnt: t th pour se rmener à une intégrle d une frction rtionnelle en t. En effet, on dns ce cs sh t, ch t et t t t dt. Alors Rsh,ch R t t, t t dt t. Remrque. Comme pour les intégrles de l forme sin m cos n, on peut ppliquer les mêmes remrques pour clculer sh m ch n. Pr eemple si m,n sont des nomres rtionnels, lors on se rmène à une intégrle d une différentielle inômile en posnt t sh ou t ch. VIII.. Fonctions dont les primitives ne sont ps des fonctions élémentires. Certines intégrles de fonctions élémentires simples ne peuvent être clculées pr les méthodes eposées précédemment. Comme pr eemple, les intégrles e, cos, sin, log, cos, sin, eistent, mis elles ne peuvent ps être eprimées sous forme de fonctions élémentires, contrirement u dérivées de fonctions élémentires qui sont ussi élémentires. Dns ces cs, ces intégrles définissent de nouvelles fonctions réelles, dites fonctions définies pr une intégrles.

20 9 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr Enoncés des eercices du chpitre VIII. Eercice 8.. Vérifier que l fonction F k cos k, k,k, k Z, est une primitive de l fonction f sin, R. Eercice 8.. i) Trouver l primitive de l fonction f, R pssnt pr le point de coordonnées,. ii) Trouver l erreur dns le risonnement suivnt: log c log c. Eercice 8.. Soit F une primitive de l fonction f : R R. Démontrer les reltions suivntes: ) si f est impire, lors F est pire; ) si f est pire, lors F F est impire; ) si f est périodique de période T, F FT, lors l fonction F est périodique de période T sur R. Eercice 8.. i) Soit F C,, c, et f :, R continue u point c. Supposons que F est une primitive de l fonction f sur chcun des intervlles,c et c,. Démontrer que F est une primitive de f sur,. ii) Montrer que l fonction sgn, n dmet ps de, primitive sur,.(comprer vec i)). Eercice 8.5. i) En utilisnt l tle des intégrles, clculer : ) n m.. ) e. cos cos. 5) tg. 6. 7). 8 cos sin. ii) Mettre les intégrles suivntes sous l forme fd, ensuite les clculer: 9) ) sin. 7.

21 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr ) ln m. ln. 5) e. 6 e. 7) cos. 8 sin. 9). cos sin. cos ) cos cos. e e. ) 5) th. 6 cth. 7) e ) Eercice 8.6. A l ide d un chngement de vrile, clculer: ). ).. ). 5. 6). 7. 8). 9 e e. ) e. ln ln tg. ) ln sincos. ) poser, ou tg t. t ). 5. 6) ). 9. ) ) ) ). 7 ln. 8) sin 6 cos. 9 cos.

22 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr ) sin. sin cos. ) rctg. rccos. ) ln rccos rccos. 5 rcctg. Eercice 8.7. Trouver l erreur dns le risonnement suivnt: du, u v, dv. Eercice 8.8. En intégrnt pr prties, clculer: ) n ln n. rctg. ) rccos. rctg. 5) cos. 6 rctg 7) rcsin. 8 ln. 9).. ) e. sin. ) cos. ln. 5) ln 6 e sin 5. 7). 8 rccos. 9) tg. rcsin. ) sin. rctg. ) 6 e. rcsin. 5) ln. 6. 7) e sin. 8) sin ln ; 9 e rccos. cos e. Eercice 8.9. Trouver les formules de récurrence pour les intégrles I n n N suivntes: ) I n n e,. I n ln n. ) I n ln n,. I n n, n. 5) I n sin n, n. 6 I n cos n, n. 7) I n sh n, n. 8 I n ch n, n.

23 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr 9) I n sin n, n. ) I n, n N,. n I n ch n, n. Eerice 8.. A l ide de l méthode de décomposition des fonctions rtionnelles en éléments simples, clculer les intégrles suivntes: ),. ) 9, ) 5 8, 6. 7) 6 5, 8. 9) 5 5 6, 5 6. ),. ), ), 6. 7) , 8. 9),. ),. ) 5,. 5), 6. : 7), ),. Eercice 8.. Clculer les intégrles de fonctions irrtionnelles suivntes: ).. ).. 5). 6. 7) )..

24 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr Eercice 8.. (Intégrtion de différentielles inômiles de l forme m n p. ).. ).. 5) ) ).. ). ) Eercice 8.. Clculer les intégrles suivntes pr l méthode de sustitutions d Euler: ).. ).. 5). 6. 7). 8. 9).. ) ).. 5). Eercice 8.. Clculer les intégrles des fonctions trigonométriques: ) sin cos. sin cos. ) cos sin. sin cos. 5) sin. 6 sin cos. 7) sin cos. 8 cos6. 9) tg 5. tg 8.

25 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr ) sin cos. cos sin cos sin. ) sin cos.. 5 cos 5) cos sin. 6 5 sin. 7) 5 sin cos. 8 sin tg. 9). sin sin. ) sin ; cos. ) cos sin 5 ; cos sin ; : 5) cos ; 6 sin cos ; 7) tg ; 8 ctg. Eercice 8.5. Clculer les intégrles des fonctions hyperoliques suivntes: ) sh ; ch ; ) th ; sh ch ; 5) sh.ch ; 6 ch ; 7) th. Eercice 8.6. Trouver une primitive de chcune des fonctions suivntes dns les prties indiquées: ) f e, R; ) f cos, R; ) f log,,; ) f E sin ; 5) f si et f si ; 6) f. Eercice 8.7. (Eercices divers). Clculer les intégrles suivntes en indiqunt l méthode utilisée: ) ; ) sincos ; ) e ; ln cos cos ; 5 ; 6 5 ; 6 7) e ; 8 e e ; 9) ; ; ) sin ; ln ; ) ; cos sin tg cos ;

26 5 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr 5) ; 6) sin cos 5 ; 7) ; 8) ; 9) ; 7 ; ) 5 ; 9 e 5. 6 e e ; e sin cos ; 5 ; 6) sin cos ; 7 ; 8) 5 cos ; 9 ; ln ln ; ) ; ) e e ; ) ; ) sin cos sin ; 5) 7 ; 6) 6 ; : 7) e ln ; 8) 5 ; 9 ; ) sin cos 6 ; ) ; ) ; ) rctgn ; cos sin ; 5) cos sin ; 6 ctg ln sin ; 7) ; 8 5 ; 9) sin sin ; 5) m, ; 5) 9 ; 5) cos5 ; 5 cos ; 5) ; sin 55). Eercice 8.8. Soit f une fonction monotone, continue et f son inverse. i) Montrer que si f F c, lors f f Ff c. ii) Etudier les eemples suivnts:

27 6 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr ) f n n ; f e ; f rcsin ; f rgth.

28 7 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr Réponses u eercices du chpitre VIII. Eercice 8.. i) F rctg, R. Eercice 8.5. ) n m n mn n C; ) 5 C; 5 ) C e ln ; ) tg C 5) tg C; 6) rctg C; 7) tg C. 8) ln rctg C; 9) 8 C ) 5 8 /5 C; ) cos C; ) ln 7 C; ) lnln C; ) ln m m C; 5) e C; 6) e C; 7) sin C; 8) sin C; 9) ctg C; ) 8 cos cos C; ) sin sin5 C; ) e e C; ) rctgc; ) 6ln C; 5) th C; 6) cth C; 7) ln e C; 8) ln 5 5 ln C; 9) rcsin ln C; ) C. Eercice 8.6. ) ln C; ) C ) C; ) ln C. 5) rctg C; 6) rctg C; 7) ln C; 8) ln 6 C; 9) e e e C; ) ln e C; ) ln ln ln ln ln C ) ln tg C ; ) C; ) rcsin C;

29 8 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr 5) 7) 9 9 C; 6) C; 8) ln 9) rcsin C; ) ln 7 C; ) ln 5 5 rcsin C; C rctg C; ) 5 C; ) 5 ln C; ) C; 5) ln C; 8 5 6) C; 7) ln C; 8) sin 7 C; 9 7 9) sin C; ) cos C; ) ln cos C; ) rctg C; ) 6 rccos C; ) ln rccos C; 5) rcctg C. Eercice 8.8. ) n n ln n C; ) rctg C; ) rccos C; ) rctg rctg C; 5) sin cos C; 8 6) rctg ln C; 7) rcsin C; 8) ln rctg C; 9) rctg C; ) C; ) e C; ) cos sin 6sin 6 cos C; ) 6 sin cos sin C; 8 ) ln ln C; 5) ln ln C; 6) e sin cos C; 7) ln C; 8) rccos rccos. C; 9) tg ln cos C; ) rcsin C; 6

30 9 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr ) sin cos C; 8 ) rctg C; e ) 8 9 C; ) rcsin ln C; 5) ln ln ln C; 6) 8 8 ln C; 7) sin cos e C; sin ln cos ln 8) C; 9) e rccos C; ) sin cos e 8 C. Eercice 8.9. ) I n n e n I n; ) I n ln n ni n ; ) I n ln n 5) I n cos sinn n n n 7) I n chshn n n n n n n I n ; I n ; 6) I n sincosn n n n I n ; n I n; ) I n n 9) I n cos n sin n n ) I n ) I n n sh n ch n n n I n; I n ; 8) I n shchn n n n I n. n I n; n n n I n. Eercice 8.. ) ln C; ) 5 ln C; ) ln 5 C; 7 ) ln ln ln C; 5) ln 5ln ln C; 6) ln 7 6 ln 6 9 ln C; 7) ln 6ln 5ln 5 C;

31 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr 8) ln C; 9) ln ln C; ) 6 ln 9 ln 8 ln C; ) 6 ln C; ) ln C; ) ln ln C; ) ln C; 5) ln C; 6) ln C; 7) 5 ln 7 ln ln C; 8) C; 9) ln C; ) ln rctg C; ) ln ) rctg ln rctg C; 5 ) ln rctg C; ) ln rctg C; 5) ln rctg C; 6) ln ln C; 7) ln rctg 7 C; 8) ln rctg rctg C; 9) rctg C; ) 8 rctg ; ln C. Eercice 8..

32 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr ) ln C; ) 6t t t t 6 5 t5 6 7 t7 ln t 6rctgt C, t 6. ) ln rctg 6 C; 7 ) C; 5) t t ln t 5 8 lnt t 7 rctg t C, t ; ) ln C; 7) ln 5 5 C; 5 5 8) ln ln rctg C; 7 9) ) ln rctg C. Eercice 8.. ) C; ) ln C; ) ln ln rctg ) 6 ln z z z C; rctg z 5) ln rctg C; 6) C; 7) ln C; 8) 7 C; 9) rctg C, z ;

33 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr ln C; ) t t 6 ln t t t rctg t C, t ; ) ln C, ; 8 ) rctg 6 C; ) 6 ln t t ln t t t t rctg t z C, t 6 6. Eercice 8.. ) rccos C; ) ln ) rcsin C; ) C ln ; 5) ln C; 6) C ln ; 5 7) ln C; 8) ln C; 9) C ln ln ; ) ln C; ) 5 5 5ln 5 C; ) ln 5 C; ) ln ln C; ) C; 5) t ln t t C, t. C; Eercice 8..

34 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr ) cos 5 cos 5C; ) cos cos C; ) sin ln tg C; ) tg sin C; 5) C sin cos ln tg ; tg tg tg 6) C; tg 7) C cos ; 8) 5 sin cos 6 5 cos 5 C; 8 9) tg tg ln cos C; ) 7 ctg7 5 ctg5 ctg ctg C; ) tg ctg ln tg C; ) ln tg sin C; tg ) ln tg 8 C; rctg tg 5) ln cos rctg tg C; 6) rctg 5 tg C; 7) C tg ; cos cos sin 8) 9) rctg tg C; ) tg ) cos cos C; sin sin 8 C; ln cos sin C; ) 6 sin6 8 sin8 C sin6 9 6 sin 6 sin 6 C; 5) tg tg C; 6 sin cos ln sin cos lncos C; cos 7) tn tn C; 8 cot lnsin C. C; rctg tg C; Eercice 8.5. ) ch ch C; sh C;

35 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr ) C th ln th ln th ; rctg(sh C; 5) sh 8 C; 6 sh sh 8 C; 7) rgth th rctg th C. Eercice 8.6 ) F e C si et F e C si ; ) F sgncos.sin E ; ) F log C si et F log C si ; ) F E E E cos, ; 5) F si et sgn si ; 6 6) F. Eercice 8.7. ) C; ) sin cos C; 8 ) e C; ) tg.lncos tg C; 5) ln rctg 6) C ln 6 ; C; 7) e C si, e C si ; 8) C ln e ; 9) C; ) ln C; ) sin sin 8 C; ) ln C; ) C ctg rctg tg ; ) tg C; 5) 5 8t 6t ln t 6 ln t ln t C, t ; 6) C ctg tg tg ln tg ;

36 5 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr 7) ln 6 C; 8) si, si, 8 si 9) ln C; ) ln ln C ) ln 9 6 C; ) e C; ) e C; 9 ) e cos C; t 5) ln t t rctg t C, t ; 6) C rctg ctg; 7) 5 t 5 9 t9 C, t 5 ; 8) sin cos ln tg C; 9) 8 ln rctg C; ) C ln ln ; ) ln rctg C; ) e C; ) C; 6 ) sin rctgsin C; 5) ln C; 6) rctg 6 C; 7) e C; 8) t t 5 t5 C, t ; 9) t t ) tg 5 C; 5 t ln t t ) ln t t rctgt C, t ) t 8 rctg t ; t t t t t ln t C, t. C, t ;

37 6 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr rctg ) n C si n et ln rctg C si n ; n ) cos ln tg C; 5) ln ctg cos cos sin C; 6) ln ln sin C; 7) ln C; 8) C ln 5 ; 9) cos sgnsin E ; 5) si, sgn si ; 5) 9 9 ln 9 C; 5) sin sin 5 sin C; 8 5) sin ct C; 5) C 5 55) ln ln C

38 7 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr Corrigés détillés de certins eercices du chpitre VIII. Eercice 8.5. ) 5 5 C 5 C. ) cos cos cos cos cos tg C. 8) ln rctg C. ) d C C. 6) e e e C. 7) e e e lne e C ln e. 9) 6. rcsin ln C. Eercice 8.6. ). Posons t, lors on : t et tdt. En remplçnt ces epressions dns l intégrle donnée, on otient: t tdt t t dt t t t 6 dt t t 6 5 t5 7 t7 C

39 8 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr C C. 7). Posons t. Alors on t et t dt. En remplçnt ces epressions dns l intégrle donnée, on otient: t dt t t dt t t t dt t t ln t C ln C. 9) e e. Posons t e. Alors on e dt et dt t. En remplçnt ces epressions dns l intégrle donnée, on otient: e e t dt t t t t dt t t dt t t C e e C. ) ln ln. Posons t ln. Alors on ln t, e t et te t dt. En remplçnt ces epressions dns l intégrle donnée, on otient: ln t.te t ln e t.t dt t t dt t dt t dt t ln t ln t C t ln ln ln ln ln C. 5). Posons tgt. Alors on dt et tg t cos t cos t. En remplçnt ces epressions dns l intégrle donnée, on otient: Comme sint cos t.tgt cos t tg t. dt cos t tgt tg t cos t dsint dt sin t sin t, lors C. sin t C.

40 9 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr 7) 9. Posons t. Alors on t dt et 9 t. En remplçnt ces epressions dns l intégrle donnée, on otient: 9 t dt dt t 9 9 t t 9 9 t d 8 d t t 9 t C 9 C 9 9 C. 9). Posons sint. Alors on cos tdt. En remplçnt ces epressions dns l intégrle donnée, on otient: sin t sin t cos tdt 6sin t cos tdt sin tdt cos tdt t sint C t sint cos t C t sintcos tcos t sin t C rcsin C. ) Posons 7 t. Alors on 6 7 dt. En remplçnt ces epressions dns l intégele donnée, on otient: ) dt t ln t C ln 7 C.. Trnsformons l fonction à intégrer de l fçon suivnte: J 5 J. Clculons séprément J et J. Pour clculer l première intégrle, posons t. Alors on 8 dt. En remplçnt dns J, on otient J dt t C C. t L deuième intégrle se clcule directement comme suit: J Ainsi: ln C ln C. 5 ln C.

41 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr 6). Posons t. Alors on dt. En remplçnt ces epressions dns l intégrle donnée, on otient: t dt 9 t C 9 C. ) rccos. Posons t rccos. Alors on : dt. En remplçnt dns l intégrle donnée, on otient: rccos t dt t C 6 rccos C. Eercice ) cos. Avnt d intégrer pr prties trnsformons d ord l intégrle comme suit: cos. cos cos cos. Clculons mintennt cos. Posons pour cel: u et cos dv. D où du et v sin et, lors: cos sin sin sin cos C. Ainsi cos sin cos C. 8 ). Posons u et dv. Alors on du et v d, et d C. ) ln. Posons ln u et dv. Alors on du ln, ln ln. ln ln ln. En ppliqunt encore une fois cette méthode pour l intégrle ln,on otient ln ln ln. ln ln C. 7). Posons u et dv. Alors on du, v et v et

42 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr D où. ln C. ln C ln C. ) rctg. Posons u rctg et dv. Alors on du, v et rctg rctg rctg rctg rctg rctg C. 7) e sin,. Posons e u et sin dv. Alors on du e, v cos et e sin e cos e cos. On pplique mintennt l même méthode pour clculer l intégrle e cos en posnt e u, cos dv. Alors du e, v sin et e cos e sin e sin. Ainsi on otient e sin e cos e sin e sin C. D où e sin e cos e sin C e sin e cos e sin C e sin cos C. Eercice 8.9. ) J n n e,,n. Posons n u et e dv. Alors on du n n, v e et J n n e e n n n e n n e n e n J n.

43 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr Ainsi J n n e n J n vec J e e c. ) J n ln n,, n. Posons ln n u et dv. Alors on du n lnn, v et: J n.lnn n lnn. lnn n ln n. lnn n J n. Donc J n. lnn n J n. 5) J n sin n, n. Posons sin n u et sin dv. Alors on du n sin n cos, v cos et J n sin n cos sin n n sin n cos cos sin n n sin n sin cos sin n n sin n n sin n cos sin n n J n n J n, c est à dire que J n n J n cos sin n n J n et donc J n cos sinn n n n J n. ) J n ch n, n. Tout d ord on trnsforme l intégrle donnée et puis on pplique l formule d intégrtion pr prties: Posons ensuite sh u et du ch, J n ch n ch sh ch n ch n sh ch n sh J n sh. ch n. v dch ch n Donc J n n n J n J n J n sh ch n dv. Alors on n ch n et sh n ch n n J n ch n sh n ch n n J n n n J n sh n ch n. sh n ch n.

44 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr Eercice 8.. 5) 5 8 euclidienne, on otient. L frction 5 8 n est ps régulière. En fisnt l division Décomposons l frction rtionnelle régulière 6 8 en éléments simples de type I. On l formule de décomposition: 6 8 B D. A En réduisnt l frction du second memre u même dénominteur et en églisnt les numérteurs, on otient 6 8 A B D. Cette églité est une idendité en. En donnnt à l vrile les vleurs,,, on peut déterminer coefficients A, B, D. On 8 A A. 8B B 5. 8D D. Ainsi on otient l décomposition suivnte: D où ln 5ln ln C. ) 5 8. Tout d ord fctorisons le dénominteur Q 5 8. Nous vons Dns ce cs, l frction rtionnelle se décompose en éléments simples de types I et II. B. 5 8 A A En réduisnt l frction du second u même dénominteur et églisnt les numérteurs, on otient A A B. En églisnt les coefficients, on otient le système d équtions suivnt : A B A A B A A B

45 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr L résolution de ce système donne: A, A, B et l décomposition est: 5 8. Ainsi 5 8 ln C. 5).Le dénominteur possède deu rcines réelles simples, et une complee simple. Dns ce cs, l frction rtionnelle décompose en éléments simples de types I et III. On A B M N. En réduisnt l frction du second memreu même dénominteur et églisnt les numérteurs, on otient A B M N et A, B B. Pour trouver les coefficients M et N, églisons les coefficients de et. On otient A B M A B N. L résolution du système donne M et N. Pr conséquent. D où ln ln ln ln ln rctg C. ). Le dénominteur comporte deu rcines complees doules. L frction rtionnelle se décompose en éléments simples de types III et IV. Nous vons M N M N. En réduisnt l frction du second memre u même dénominteur et églisnt les numérteurs, on otient M N M N. En églisnt les coefficients de,,,, on otient le système d équtions suivnt:, se M N M M En résolvnt ce système, on otient N N M, N, M, N. Pr

46 5 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr conséquent D où. ln ln. Clculons mintennt l intégrle séprément. On. Posons u et et Donc rctg.. dv. On lors du et v rctg rctg rctg. ln rctg 8 rctg C. Eercice 8. ). Comme le plus petit commun multiple (ppcm) de et est 6, lors on peut poser t 6. Ce qui donne t 6, 6t 5 dt. En remplçnt dns l intégrle donnée, nous otenons t t.6t5 dt 6 t8 t 5 t dt 6t 6 t t t t t t dt 6 7 t7 6 5 t5 t t t 6t dt 6 t t 6 6 ln 6 6rctg 6 C. dt t

47 6 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr 6). Tout d ord trsformons l fonction à intégrer sous l forme R,. On c d. Posons lors t. Ce qui donne t t et tdt t. En sustitunt dns l intégrle donnée, on otient tdt t t. Décomposons mintennt l frction rtionnelle régulière t en éléments t t simples. On t t t A B t t B t B t. t At B t B t t B t t. t A 8. t B. En églisnt les coefficients de t et t, on déduit t : A B B 8. t : A B B B B. Ainsi nous vons tdt t t 8 dt t. dt t dt t 8 dt t 8 ln t. t. t ln t C 8 8 ln t t t t C. Donc vec t tdt t t ln t t t t C,. En remplçnt t, on otient log C. 8). On : ppcm,,, lors on pose t, et donc

48 7 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr t, t dt. En remplçnt dns l intégrle, on otient t dt t 8 t 6 t t t t dt t 5 t t t t 6t 8 t t dt t6 6 t t t t t 6t 8 t t dt t 6 t 8t 6t 8t t 6t 8 t t dt. Pour clculer l dernière intégrle, on l décompose en éléments simples. On t 6t 8 t 6t 8 t t t t t et t 6t 8 t t t t t t t 6t 8 At t Mt Nt. t : A M t : 6 A M N t : 8 A N. En résolvnt ce système on otient A, M D où il découle Donc t 7,N 7 t 6t 8 t t t t t t t. t 6t 8 t t t dt t dt t t t dt ln t ln t 8 t t t dt 57 8 ln t 8 ln t t 57 7 A t Mt N t t.. Ainsi on trouve t t t dt dt t 7 rctg t 7 t 6 t 8t 6t 8t t 6t 8 t t dt t 6 t 8t 6t 8t ln t ln t t 7 rctg t C ln ln rctg 7 C. Eercice 8.. ). On m, n, p, c est à dire on est dns le premier cs (voir cours n o VIII.5. On pose lors z 6 et on 6z 5 dz. Il vient lors que

49 8 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr z z.6z 5 dz 6z 8 z 6z z 6 z 8 dz 6z 8 z 6z z z 6 dz z9 z 6 En remplçnt z 6, on trouve z 8 5 z5 6 7 z7 C C. ). On m, n, p, m n et m n p est un entier. On est dns le troisième cs (voir cours n o VIII.5. On pose lors z. Ce qui donne z et z dz z. En remplçnt dns l intégrle donnée, nous otenons z z. z dz z z z dz. Décomposons l frction rtionnelle régulière z en éléments simples. On z z z z z z z A z Mz N z z z Az z Mz Nz. Eglisons les coefficients de z,z,z. z : A M z : A N M z : A N En résolvnt ce système, on trouve A, M, N. Alors on z z z z z z. z z dz z dz z z z dz ln z z dz z z ln z z dz 6 z z dz z z ln z 6 ln z z dz z ln z 6 ln z z rctg z C. De cette fçon nous vons trouvé que 6 ln z z rctg z C z vec z.

50 9 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr 8). On m, n, p, m n On est dns le deuième cs (voir cours n o VIII.5. Posons lors z z, z z dz. En sustitunt dns l intégrle donnée, on otient z.z.z dz z z dz z 7 z7 z C 7 7 C 7 C. Eercice 8.. ). : rctnh sustitution d Euler en posnt: t t D où il découle t. Ce qui donne t t t, t t t t t t t. t rctg t C rctg On peut ppliquer l première dt et t t t dt t t t. t t C. dt t ). Appliquons l première sustitution d Euler. t t t t t, t t dt, t t t t t t. t En remplçnt dns l intégrle donnée, on otient t t t dt t t vec t. t t t. t t t dt dt t ln t t 6). Le polynôme dmet deu rcines réelles C

51 5 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr et. On peut ppliquer l troisième sustitution d Euler en posnt t.. Ce qui donne t, 8tdt, t t t et 5 t t t. En sustitunt dns l intégrle, on trouve 8tdt t vec t. dt t t t. t dt t 5 t t 5 ln t 5 C 9). On pplique l première sustitution d Euler en posnt t. Ce qui donne t t t t t t dt, t. t En remplçnt dns l intégrle, on trouve t t t dt t t t t t dt. Décomposons l frction rtionnelle t t en éléments simples. On t t t t A B t t t t B t t t A t B t t B t. En donnnt certines vleurs à l vrile t, on détermine les coefficients inconnues: t A. t B B. t 9A B B B. Donc, nous vons D où t t t t t t t. t t t t t t t ln t ln t t C,

52 5 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr vec t. Eercice 8.. ) sin cos sin cos sin cos cos sin. Posons cos t. Ce qui donne sin dt. En remplçnt dns l dernière intégrle, on otient sin cos t t dt t t5 5 C cos cos5 5 C. ) On sin cos cos cos cos cos tg cos tg sin C. 5) sin sin cos cos. cos sin sin sin. Clculons les deu intégrles séprément. Pour l première, on sin cos sin cos tg dtg tg ln tg C. Pour clculer l deuième intégrle, nous llons ppliquer l méthode d intégrtion pr prties. Posons pour cel: cos u et cos dv. Ce qui donne sin du sin et v dsin sin sin, et cos. cos cos sin sin sin sin cos sin cos sin ln tg C. En cominnt les deu résultts, on otient sin cos sin ln tg C. sin 7) sin. Posons cos t. On lors sin dt et en remplçnt dns cos l intégrle donnée, on otient sin dt cos t t cos. ) tg 8 ctg8. Posons ctg t. Ce qui donne rcctg, dt t et en remplçnt dns l intégrle, on otient tg 8 t 8 t dt t6 t t t dt t7 7 t5 5 t t rcctgt C

53 5 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr ctg7 7 ctg5 5 ctg ctg C. ) cos sin cos sin cos sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin C ln tg ln tg tg sin cos cos cos cos sin C sin C. ). Pour clculer cette intégrle, ppliquons l sustitution universelle en 5 cos posnt: tg t. Ce qui donne rctgt, dt, cos t t t. En remplçnt dns l intégrle donnée, on otient dt 5 cos t 5 dt t 8t t dt t rctgt C rctgtg C. Eercice 8.. 6). Cette intégrle peut se clculer pr l sustitution universelle en posnt 5 sin tg t. Ce qui donne dt, sin t et t t dt 5 sin t 5 8t 5t 8t 5 5 dt t rctg 5t t dt 5 dt t C rctg 5tg ). On peut clculer cette intégrle en ppliqunt l sustitution suivnte: sin tg t. Ce qui donne rctgt, dt, cos t tg, t sin cos.tg t t. En remplçnt ces epressions dns l intégrle, on otient C.

54 5 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr dt sin t t t t t rctg t C tg t dt t rctg tg C. Eercice 8.6 5). L frction rtionnelle régulière se décompose en éléments simples de types I, II et III. A A M N Comme précédemment, on otient A A M N. : A M : A M : A N M : A A N. L résolution de ce système donne A, A, M, N, et,donc: ln ln rctg C. 9). (intégrle d une fonction irrtionnelle de l forme R,,. On pose dns ce cs t 6. Ce qui donne: t 6 et 6t 5 dt. En remplçnt dns l intégrle, on otient: t6 t.6t 5 dt 6t t 6 t dt t 6t 5 t 9 t t 6 dt t6 6 5 t t 6 7 t6 C. D où C. 6) sin cos 5 cos 8 sin cos 5 cos 8 tg. cos 6. cos.

55 5 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr Posons tg t. Alors on cos dt, cos tg t. En remplçnt ces epressions dns l dernière intégrle, on trouve sin cos 5 t dt t t t 6 dt t t dt dt tdt t t t dt t ln t t t C ctg tg tg ln tg C. 7) 5. On m, n, 5 p, m 5 n. On est dns le premier cs. Posons lors z 5. Ce qui donne et 5 z 5, 5z dz z 5 5 z5 z. z dz z z9 5 z C vec z 5. 5z z 5 dz ). L frction rtionnelle se décompose en éléments simples de l fçon suivnte: A M N M N. Déterminons mintennt les coefficients. On A M N M N. En églisnt les coefficients de,,,, on otient le système d équtions suivnt: : A M : M N : A M N M : N M M N : A N N En résolvnt ce système nous otenons A, M, M, N, N. et donc ln rctg ln rctg C.

56 55 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr 8) 5. On m 5, n,p, m n. On est dns le deuième cs. On pose lors z. Ce qui donne z, zdz et z 5 z 5 z. zdz z z dz dz z dz z dz z z 5 z5 C. En remplçnt z, on otient 5 5 C. ). On peut ppliquer l deuième sustitution d Euler en posnt t. Ce qui donne t t t t t t dt, tt. t t En remplçnt dns l intégrle donnée, on otient t t tt t dt. On décompose l frction rtionnelle en éléments simples de l fcon suivnte: t t tt t A B t Mt N t t t t At t Bt t Mt Ntt. t A. t B. En églisnt les coefficients de t, t, on détermine les vleurs de M et N. t : A B M M. t : A M N N. t t tt t dt t dt t dt dt ln t rctgt C t t vec t. 5) cos sin cos. cos. Appliquons l méthode d intégrtion pr prties, en sin posnt cos u, du cos sin, cos sin dv, v sin. D où il découle cos sin cos sin cos sin

57 56 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr cos sin sin sin cos sin sin sin cos sin ln tg cos C.

58 57 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr Chpitre IX. Intégrle définie (de Riemnn) L intégrle définie (ou de Riemnn) est un puissnt outil mthémtique dont les pplictions sont nomreuses telles que le clcul des ires, le trvil d une force, le clcul de limites de suites etc.. Construction de l intégrle de Riemnn. IX.. Définition de l intégrle définie. Soient f une fonction définie sur un segment, et... n, une sudivision finie quelconque de, qu on désigner pr D. Formons les sommes suivntes, ppelées sommes intégrles de n Riemnn, D; i f i i où les points i, i i i sont choisis ritrirement et i i i i, i,,...,n. Définition. Le nomre I R est ppelé intégrle définie ou intégrle de Riemnn de f sur le segment, si On note dns ce cs,, D, i I f : D D, I. et on dit que f est intégrle sur, si le nomre I eiste (indépendmment du choi des. Remrques. ) On définit ussi cette intégrle pr I n lim i f i i vec m i, i,,...,n, c est à dire l limite des sommmes intégrles de Riemnn, indépendmment du choi des i qund (dns ce cs n. On désigne pr R, l ensemle des fonctions réelles intégrles u sens de Riemnn sur, : f R, f est intégrle sur,. ) On peut construire l intégrle de Riemnn suivnt une utre démrche en construisnt d ord l intégrle de fonctions dites en escliers (ou étgées), ensuite on l générlise à des fonctions plus générles. Une fonction est dite en escliers sur, s il eiste une sudivision D... n de, telle que f c i, i, i, c i R, i,,...,n. ) Il eiste d utres types d intégrles: intégrle de Stieljes-Riemnn, intégrle de Leesgue etc. ) Comme l intégrle de Riemnn ne dépend ps du choi des i, lors dns l suite de ce cours, on noter les sommes intégrles de Riemnn liées à l sudivision D pr D u lieu de D,.

59 58 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr Eemple. Montrons à l ide de l définition que c R, c c. En effet, dns ce cs f c,, et pour toute sudivision D de, et pour tous points i, on n D f i i i c. i i i i c... n n c n c, c est à dire que toutes les sommes intégrles de Riemnn sont constntes, égles à c. En prticulier,. n. Conditions d intégrilité d une fonction. Dns ce prgrphe, on étlit des conditions d intégrlité d une fonction sous forme de théorèmes qu on dmettr. IX.. Condition nécessire. Théorème. Toute fonction intégrle sur, est nécessirement ornée sur ce segment. Remrques. ) L réciproque est fusse. Pr eemple, l fonction de Dirichlet définie sur, pr: f, Q,,, Q,, est ornée, mis ps intégrle sur, voir eercice 9.5). ) D près le théorème, toute fonction non ornée n est ps intégrle u sens de Riemnn. IX.. Sommes de Drou. Propriétés. Pour étlir des conditions nécessires et suffisntes d intégrilité u sens de Riemnn, on introduit dns ce n o l notion de sommes intégrles de Drou qui ser nécessire pour l suite. Soit f une fonction ornée sur, et soit D,,..., n une sudivision finie de,. Comme f est ornée sur chque segment i, i i,,...,n, lors sur chcun d eu, m i inff et M i supf eistent. Définition. Les sommes : S D M M...M n n M i, n i

60 59 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr S D m m...m n n m i i. sont ppelées respectivement, sommes supérieure et inférieure de Drou, correspondnt à l sudivision D de,. n i IX.. Propriétés des sommes de Drou. Les propriétés suivntes sont vries. Propriété ). Pour toute sudivision D de, et pour tous les i, on : S D D S D. Propriété ). Pour toute sudivision fie D de, et pour tout, on peut choisir les i tels que l on it: S D D. De même, on peut choisir les i tels que : D S D. Conséquence. S D sup D; i ; S D inf D; i. i Propriété ). Pour toutes sudivisions quelconques D et D i S D S D et S D S D. de,, on toujours: Conséquence. L ensemle des sommes inférieures ( resp. supérieures) de Drou est mjoré ( resp. minoré). Définition. Les nomres I inf S D et I sup S D qui eistent et sont ppelés D D respectivement les intégrles supérieure et inférieure (de Drou) de f sur,. Propriété 5. I I. Conséquence. D, S D I I S D. Propriété 6. n S D S D i f i, i oscilltion de f sur le segment i, i. où i f sup," i, i f f" est ppelée Lemme de Drou. Le lemme suivnt joue un rôle importnt pour étlir des conditions d intégrilité: Lemme. Ī lim S D D et I lim S D. D IX.5. Théorème fondmentl d intégrilité. Dns ce n o, on étlit des conditions nécessires et suffisntes d intégrilité d une fonction, regroupées dns le théorème fondmentl suivnt: Théorème fondmentl. Soit f une fonction définie et ornée sur le segment

61 6 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr,, lors les propositions suivntes sont équivlentes: ) f est intégrle sur, ; ) lim S D S D ; D ), il eiste une sudivision D de, telle que S D S D ; ) Ī I. Corollire. Pour qu une fonction f soit intégrle sur le segment,, il fut et il suffit que n lim i f i. D i. Clsses de fonctions intégrles. Dns ce, on étlit des conditions suffisntes d intégrilité pour certines clsses concrètes de fonctions, qui pr leurs propriétés stisfont à l condition suffisnte du corollire précédent.. IX.6. Conditions suffisntes d intégrilité. Théorème (Intégrilité des fonctions continues. Toute fonction continue sur le segment, est intégrle sur ce segment. Certines fonctions ornées présentnt des points de discontinuité sur un segment peuvent être intégrles. Pour cel, introduisons l terminologie suivnte: on dit qu un intervlle I R recouvre le point R ou est un recouvrement du point R si I. On le théorème suivnt. Théorème. (Intégrilité de certines fonctions discontinues). Si f est une fonction définie et ornée sur un segment, et si, il eiste un nomre fini d intervlles recouvrnt tous les points de discontinuité de f dont l somme de leurs longueurs est inférieure à, lors l fonction f est intégrle sur,. Corollire. Toute fonction ornée et continue sur un segment,, suf en un nomre fini de points, est intégrle sur ce segment. En prticulier, toute fonction continue pr morceu sur un segment est intégrle. Conséquence. Si deu fonctions f, g, définies sur un segment,, diffèrent en un nomre fini de points, lors si l une est intégrle sur,, l utre l est ussi et on : f g. Théorème. (Intégrilité des fonctions monotones). Toute fonction monotone sur un