SPE PSI DEVOIR LIBRE N 9 pour le 04/01/12. Phénomènes d induction et conversion électromécanique:

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1 SPE PSI DEVOIR LIBRE N 9 pour le 04/01/12 Phénomènes d nducton et converson électromécanque: 1/ Inductance propre et nductance mutuelle. 11/ Défntons et proprétés : 11a/ Défnr l'nductance propre L d un crcut flforme. 11b/ Soent deux crcuts flformes orentés que l on note ( I ) et ( 2 ). Lorsque le crcut ( 1 ) est parcouru par un courant d ntensté 1 l crée un champ magnétque, dont le flux à travers le crcut ( 2 ) a pour expresson 1/ 2 M121. Défnr le coeffcent M c/ Quelle relaton le M 12, M 21 et l nductance mutuelle M des deux crcuts? 11d/ Deux spres crculares orentées ( 1 ) et ( 2 ) sont placées successvement selon les deux dspostons d1 et d2 c-dessous ( fgure 1 ). Ces spres sont perpendculares au plan de la fgure, la parte en gras étant stuée en avant de ce plan. Dans d1 et d2, les deux spres sont coaxales. Fgure 1 Indquer le sgne de M dans chacun des cas. 12/ On consdère une bobne placée dans l ar et comportant N = spres, pratquement crculares, enroulées sur un manchon non magnétque de rayon R = 10 cm et de damètre d = 4 cm. Calculer son nductance propre L en l assmlant à un solénoïde très long dsposé dans le vde. 13/ On dspose de deux bobnes dentques S 1 et S 2, chacune d nductance propre L et de résstance ohmque r = 8. On repère les bornes par les lettes C et D. Les deux bobnes sont placées à proxmté l une de l autre comme l ndque la fgure 2 et on les connecte en sére sans les déplacer créant ans un nouveau dpôle. La connexon se fat selon les deux possbltés suvantes : - Dpôle (a) équvalent à une bobne S a : la borne D de S 1 est relée à la borne C de S 2. L nductance mutuelle entre les deux bobnes S 1 et S 2 est notée M dans cette confguraton. - Dpôle (b) équvalent à une bobne S b : la borne D de S 1 est relée à la borne D de S 2.

2 Fgure 2 On almente successvement chacun des deux dpôles (a) et (b) par un courant snusoïdal de fréquence f = 2 khz. La mesure du module de l mpédance donne Z a = 375 pour la bobne S a et Z b = 225 pour la bobne S b. 13a) Exprmer les nductances propres respectves L a et L b des bobnes S a et S b en foncton de L et M. 13b) Exprmer Z a ( resp. Z b ) en foncton de r, L a ( resp L b ) et f. 13c) Calculer L et M. 2/ Inducton et converson d énerge : 21/ Echange d énerge entre une bobne et une résstance. On réalse le montage de la fgure 3 comprenant un générateur de tenson de fem E = 2 V, une bobne d nductance propre L = 100 mh et de résstance ohmque r = 10, une résstance ohmque R o de 10, un nterrupteur K et une résstance ohmque R de 200. L nterrupteur K étant fermé depus longtemps, on l ouvre à un nstant qu sera consdéré comme l orgne du temps t. 21a) Calculer l ntensté o du courant électrque dans la bobne et la valeur u o de la tenson à ses bornes avant l ouverture de K. 21b) Etablr l expresson de l ntensté (t) du courant électrque dans la bobne en foncton du temps t pour t > 0, ans que celle de la tenson u(t) à ses bornes. 21c) Tracer les courbes représentatves de (t) et u(t) pour t varant de 0,5 ms à 2,5 ms. 21d) Par un rasonnement énergétque clar et ne nécesstant pratquement pas de calculs, détermner l énerge électrque W J (R) consommée par la résstance R entre t = 0 et t =. 21e) Retrouver la valeur de W J (R) par un calcul drect. Calculer numérquement W J (R). R o = 10 K E = 2 V Bobne u R = 200 Fgure 3

3 22/ Echange d énerge entre une bobne et une machne tournante. Le crcut électrque de la fgure 3 comprend un générateur de tenson déal de fem E = 10 V en sére avec une résstance ohmque R 1 = 20, un nterrupteur Int, une bobne d nductance propre L = 5 H et de résstance ohmque r L = 20, une dode déale et une pette machne tournante. La dode déale a une tenson seul nulle, est traversée par un courant nul quand elle est bloquée et possède une résstance nterne nulle lorsqu elle est passante. R 1 = 20 Int B Machne tournante. E = 10 V Bobne L = 5 H r L = 20 u Fgure 4 m = 200 g La fgure 5 décrt la lason entre la machne tournante et une poule par l ntermédare d un réducteur de vtesse. S la vtesse de rotaton de l arbre de la machne tournante est, celle de la poule à la sorte du réducteur est 1 telle que = C 1 avec un rapport de réducton C = 20. Fgure 5 Sur la poule de rayon a = 2 cm est enroulé un fl nextensble auquel est suspendue une masselotte de masse m = 200 g. On prendra g = 10 m.s -2 pour l ntensté du champ pesanteur. La machne tournante comporte un rotor soldare de l arbre de rotaton. Sur ce rotor, se trouve bobné un fl électrque relé au crcut par des contacts glssants. Le déplacement de ce conducteur dans le champ magnétque d un amant permanent appelé stator provoque l apparton d une fem ndute. Du pont de vue électrque, la machne tournante est équvalente à la fem e = K en sére avec la résstance ohmque r m. On prendra K = 0,03 V.s.rad -1 et r m = 50. Le schéma correspondant se trouve fgure 6.

4 Par conventon l axe de rotaton est orenté de façon à ce que la masselotte monte lorsque > 0. e r m = 50 Fgure 6 Quand le bobnage du rotor est parcouru par le courant d ntensté, le champ magnétque de l amant permanent provoque l apparton sur ce rotor de forces magnétques dont le moment par rapport à l axe de rotaton orenté est = K.. Le coeffcent K est le même que celu ntrodut dans l expresson de e. 22a) L nterrupteur Int étant fermé depus longtemps et le rotor mmoblsé, donner la valeur o de l ntensté B du courant électrque qu traverse la bobne. Quelle est la valeur de, ntensté du courant électrque dans le rotor de la machne tournante? 22b) A l nstant t = 0, on ouvre l nterrupteur Int. A cet nstant, le rotor de la machne tournante est mmoble, la masse m reposant sur un support que l on enlève mmédatement. On pose r = r L + r m. d ( t) Etablr l équaton dfférentelle électrque lant (t), et (t) avec L, r et K comme paramètres. dt L état de la dode pour t > 0 est supposé être le même qu à l nstant suvant l ouverture de Int. 22c) La machne tournante forme un système mécanque ( S ) soums aux actons de pesanteur ( transmse par la poule et le réducteur ) et aux actons des forces électromagnétques. Le moment d nerte de ( S ) par rapport à son axe de rotaton est noté J et vaut : J = kg.m 2. Tous les frottements sont néglgés. Sans fare de calcul, justfer que la masse m va d abord monter. 22d) En utlsant le fat que le réducteur ne consomme aucune pussance, justfer que le moment des mga actons exercées par la force de pesanteur sur l arbre moteur est au cours de la phase C ascendante. En applquant au système ( S ) le théorème du moment cnétque ( théorème que vous appelez peutêtre théorème du moment dynamque en SI ), établr l équaton dfférentelle lant (t) et avec d ( t) dt K, J, m, g, a et C comme paramètres. 22e) Détermner alors l équaton dfférentelle (DIFF) vérfée par (t) avec L, K, J, m, g, a et C comme paramètres. d d 22f) Sans résoudre (DIFF) exprmer lttéralement ( 0 ), ( 0 ) et u(0 + ). dt dt

5 22g) Explquer pourquo (t) tend vers une lmte lm lorsque t devent grand. Calculer alors lttéralement pus numérquement les valeurs lmtes lm, lm et u lm. 22h) La résoluton de l équaton (DIFF) permet de tracer les courbes suvantes où sont représentées les grandeurs (t) en ma et (t) en rad.s -1 pour t varant de 0 à 2 s. Fgure 7 Identfer chaque courbe en justfant la réponse. 22) Précser sur quels ntervalles de temps la machne tournante se comporte sot en moteur, sot en génératrce de courant. 22j) Explquer qualtatvement le fonctonnement du dspostf en effectuant par exemple un rasonnement sur les transformatons de l énerge se produsant au cours de l ntervalle de temps [ 0, + [.