MA401 : Probabilités TD3

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1 MA : Probabilités Exercice Ue compagie aériee étudie la réservatio sur l u de ses vols. Ue place doée est libre le jour d ouverture de la réservatio et so état évolue chaque jour jusqu à la fermeture de la réservatio de la maière suivate : si la place est réservée le jour k, elle le sera ecore le jour k + avec la probabilité 9. Si la place est libre le jour k, elle sera réservée le jour k + avec la probabilité. Pour k etier positif, o ote r k la probabilité que la place soit réservée le jour k. O suppose que r =.. Exprimer r k+ e foctio de r k.. E déduire l expressio explicite de r k e foctio de k et calculer lim + r = r. Exercice Deux ures U et U cotieet des boules blaches et oires. L ure U cotiet boules blaches et 5 boules oires, l ure U cotiet boules blaches et boules oires. O effectue u premier tirage das ue ure choisie au hasard et o remet la boule obteue das so ure d origie. Si l o obtiet ue boule blache (resp. oire), le ème tirage se fait das U (resp. U ). Au ième tirage, si la boule obteue est blache (resp. oire), le (i+)ème tirage se fait das U (resp. U ). Soit B i l évèemet : o obtiet ue boule blache au ième tirage.. Calculer P (B ) et P (B ).. Exprimer P (B ) e foctio de P (B ).. Motrer que la suite P (B ) coverge et détermier sa limite. Iterprétatio. Exercice Soit a u réel apparteat à ], [. Das ue bourse de valeurs, u titre doé peut moter, rester stable ou baisser. Das u modèle mathématique, o cosidère que : le premier jour le titre est stable. si u jour le titre mote, le jour +, il motera avec la probabilité a, restera stable avec la probabilité a et baissera avec la probabilité a. si u jour le titre est stable, le jour + il motera avec la probabilité a, restera stable avec la probabilité a et baissera avec la probabilité a. si u jour le titre baisse, le jour + il motera avec la probabilité a, restera stable avec la probabilité a et baissera avec la probabilité a. O ote M (resp. S, resp. B ) l évéemet le titre doé mote (resp. reste stable, resp. baisse) le jour.. O pose p = P (M ), q = P (S ) et r = P (B ). (a) Expliciter p + (resp. q + ) e foctio de p, q, r. (b) Que vaut p + q + r? E déduire l expressio de r e foctio de p et q.. Motrer que les suites p et q sot arithmético-géométrique.. E déduire p, q puis r e foctio de. Doer la limite de ces trois suites et iterpréter le résultat. Exercice Deux pièces A et B sot reliées etre elles par ue porte ouverte. Seule la pièce B possède ue issue vers l extérieur. Ue guêpe iitialemet das la pièce A voudrait sortir à l air libre. So trajet obéit aux règles suivates : Lorsqu elle est e A au temps t =, alors, au temps t = +, elle reste e A avec ue probabilité égale à, ou elle passe e B avec ue probabilité égale à Lorsqu elle est e B au temps t =, alors, au temps t = +, elle retoure e A avec ue probabilité égale à, ou elle reste e B avec ue probabilité égale à, ou elle sort à l air libre avec ue probabilité égale à. Au temps t =, la guêpe est e A. Lorsqu elle est sortie, elle e reviet plus. O ote A (resp. B, resp. S ) les évéemets : A à l istat t =, elle est e A B : à l istat t =, elle est e B S : à l istat t =, elle sort et a, b, s leurs probabilités respectives.. Calculer a, b, s, a, b, s.. (a) Exprimer a + et b + e foctio de a et b. L Mathématiques et Iformatique 9- FST - Uiversité Paul Cézae

2 MA : Probabilités (b) Vérifier que la suite u défiie par, u = a b est costate. (c) Motrer que la suite v défiie par, v = a + b est géométrique de raiso 5. E déduire l expressio de v e foctio de. (d) Doer l expressio de a et b e foctio de. Justifier que, s = b. E déduire s e foctio de. Exercice 5 Ue boite A cotiet deux jetos portat le uméro et ue boite B cotiet deux jetos portat le uméro. O tire au hasard u jeto das chaque boite et o les échage. O recommece cette opératio fois. O s itéresse à la somme des jetos coteus das l à l istat t =. Pour cela, o itroduit les évèemets : P : la somme des jetos coteus das l à l istat t = vaut Q : la somme des jetos coteus das l à l istat t = vaut R : la somme des jetos coteus das l à l istat t = vaut O pose égalemet p = P (P ), q = P (Q ) et r = P (R ).. Calculer p, q, r, p, q, r.. Exprimer p + (resp. q +, resp. r + ) e foctio de p, q, r. Motrer que, q + = q + + q.. E déduire l expressio de q e foctio de puis celle de p et de q. 5. Détermier les limites des trois suites. Iterprétatio. L Mathématiques et Iformatique 9- FST - Uiversité Paul Cézae

3 MA : Probabilités PHEC Correctio feuille d exercices -5 correctio de l exercice. O itroduit l évèemet R k : " la place est réservée le jour k " et doc p(r k ) = r k : Le système (R k ; R k ) est u système complet d évèemets et l o a : p(r k+ ) = p(r k \ R k+ ) + p(r k \ R k+ ) = p(r k )p Rk (R k+ ) + p(r k )p Rk (R k+ ) = 9 p(r k) + p(r k) Justi catio des calculs de probabilités coditioelles : p Rk (R k+ ) : l évèemet R k est réalisé, doc la place est réservée le jour k; et l o souhaite que la place soit ecore 9 réservée le jour k + : D après l éocé, la probabilité de réalisatio de cet évèemet est : p Rk (R k+ ) : l évèemet R k est réalisé, doc la place est libre le jour k; et l o souhaite que la place soit réservée le jour k + : D après l éocé, la probabilité de réalisatio de cet évèemet est E remarquat esuite que p(r k ) = r k et p(r k ) = p(r k ) = r k ; o obtiet k N; r k+ = 9 r k + ( r k) = r k La suite r est arithmético-géométrique. Recherche de la costate L : L = L + 5, L = 5, L = 5 = 5 O itroduit alors la suite u dé ie par : k N; u k = r k 5, r k = u k + 5 : k N; u k+ = r k+ 5 = r k + 5 La suite u est géométrique de raiso ; ce qui ous permet d écrire 5 = (u k + 5 ) 5 = u k k N; u k = k u, r k 5 = k r, r k = 5 5 et r = lim 5 k r k = k!+ 5 Remarque : r k! k!+ 5 sigi e qu à log terme, c est-à-dire après u grad ombre de jours, la probabilité qu ue place doée soit réservée est eviro égale à = : autremet il y a eviro % de chace pour qu ue place 5 doée soit réservée. correctio de l exercice. Calcul de P (B ) : Pour obteir la boule blache au premier tirage, o doit déjà choisir l ure. Etat doé que l o a le choix de l ure U ou U ; o itroduit les évèemets A : " piocher das l ure U " et B " piocher das l ure U " Il s agit clairemet d u système complet d évèemets et l o a : P (B ) = P (A \ B ) + P (B \ B ) = P (A)P A (B ) + P (B)P B (B ) = + = 9 ) P (B ) = 9 Justi catio des calculs de probabilités : P (A) et P (B) : Le choix de chaque ure état équiprobable doc P (A) = P (B) = P A (B ) : l évèemet A est réalisé, c est-à-dire que l o a choisi l ure U pour piocher la boule, et l o souhaite piocher ue boule et que cette boule soit blache. Autremet dit, il s agit de calculer la probabilité de piocher ue boule blache e u tirage das l ure U qui cotiet boules blaches et 5 boules oires doc P A (B ) = + 5 = P B (B ) : l évèemet B est réalisé, c est-à-dire que l o a choisi l ure U pour piocher la boule, et l o souhaite piocher ue boule et que cette boule soit blache. Autremet dit, il s agit de calculer la probabilité de piocher ue boule blache e u tirage das l ure U qui cotiet boules blaches et boules oires doc P B (B ) = + = Calcul de P (B ) : Pour obteir ue boule blache au secod tirage, o doit savoir das quelle ure o doit piocher au secod tirage, autremet dit, o doit savoir qu elle est la boule piochée au premier tirage (o pioche soit ue boule /9 abdellah bechata L Mathématiques et Iformatique 9- FST - Uiversité Paul Cézae

4 MA : Probabilités PHEC Correctio feuille d exercices -5 blache, soit ue boule oire ce qui est la même chose que de piocher ue boule o blache). O itroduit alors le système complet d évèemets (B ; B ) ce qui ous doe P (B ) = P (B \ B ) + P (B \ B ) = P (B )P B (B ) + P (B )P B (B ) = 9 + ( 9 ) 7 99 = 7 Justi catio des calculs de probabilités coditioelles : P B (B ) : l évèemet B est réalisé, c est-à-dire qu ue boule blache est piochée au premier tirage doc o pioche la secode boule das l ure U ; et o souhaite piocher ue boule blache au secod tirage. Aisi il s agit de calculer la probabilité de piocher ue boule blache das l ure U doc P B (B ) = P B (B ) : l évèemet B est réalisé, c est-à-dire qu ue boule oire est piochée au premier tirage doc o pioche la secode boule das l ure U ; et o souhaite piocher ue boule blache au secod tirage. Aisi il s agit de calculer la probabilité de piocher ue boule blache das l ure U doc P B (B ) =. Pour obteir ue boule blache au -ième tirage, o doit savoir das quelle ure o doit piocher au -ième tirage, autremet dit, o doit savoir qu elle est la boule piochée au ( )-ième tirage (o pioche soit ue boule blache, soit ue boule oire). O itroduit alors le système complet d évèemets (B ; B ) ce qui ous doe P (B ) = P (B \ B ) + P (B \ B ) = P (B )P B (B ) + P (B )P B (B ) = P (B ) + P (B ) = P (B ) + ( P (B )) = P (B ) + = 5 9 P (B ) + = 5 9 P (B ) + 5 et l expressio de P (B ) e foctio de P (B ) est N; P (B ) = 5 9 P (B ) + 5. La suite (P (B )) N est arithmético-géométrique. Calcul de la costate L : L = 5 9 L + 5, 5 9 L = 5, L = = 9 O itroduit la suite u dé ie par : N; u = P (B ) u + = P (B + ) 9 = 5 9 P (B ) , P (B ) = u = 5 9 u = 5 9 u La suite u est géométrique de raiso 5 doc o a 9 5 N ; u = u, P (B ) = 9 P (B ) 9, P (B ) = ) lim 9 P (B ) =!+ 9 Remarque : o exprimer u e foctio de u et o de u car P (B ) est pas dé ie mais P (B ) a u ses et est dé ie. Iterprétatio : Après u ombre su sammet grad de tirages, la probabilité de piocher ue boule blache à u tirage quelcoque est eviro égale à 9 ' : ; c est-à-dire qu après u ombre su sammet grad de tirages, o a eviro, % de chace de piocher ue boule blache à u tirage correctio de l exercice. (a) L évolutio du titre à l istat t = + dépedat clairemet de l évolutio du titre à l istat t = ; o itroduit L Mathématiques et Iformatique 9- FST - Uiversité Paul Cézae /9 abdellah bechata

5 MA : Probabilités PHEC Correctio feuille d exercices -5 aturellemet le système complet d évèemets (M ; S ; B ); ce qui ous doe P (M + ) = P (M \ M + ) + P (S \ M + ) + P (B \ M + ) = P (M )P M (M + ) + P (S )P S (M + ) + P (B )P B (M + ) = ( a)p (M ) + ap (S ) + ap (B ) P (S + ) = P (M \ S + ) + P (S \ S + ) + P (B \ S + ) = P (M )P M (S + ) + P (S )P S (S + ) + P (B )P B (S + ) = ap (M ) + ( a)p (S ) + ap (B ) P (B + ) = P (M \ B + ) + P (S \ B + ) + P (B \ B + ) = P (M )P M (B + ) + P (S )P S (B + ) + P (B )P B (B + ) = ap (M ) + ap (S ) + ( a)p (B ) ce qui ous fourit les relatios de récurrece demadées N; < : p + = ( a)p + aq + ar q + = ap + ( a)q + ar r + = ap + aq + ( a)r Justi catio des calculs de probabilités coditioelles : P M (M + ) : l évèemet M est réalisé, doc le titre a moté le jour ; et l o souhaite la réalisatio de l évèemet M + ; c est-à-dire que le titre mote le jour + : Autremet dit, il s agit de calculer la probabilité que, si le titre a moté le jour t = ; le cours mote le jour + : Cette probabilité vaut ( a) d après l éocé. Les autres probabilités se calculet de la même faço et elles e poset aucue di culté. (b) Puisque le système d évèemets (M ; S ; B ) est complet, o a P (M ) + P (S ) + P (B ) =, p + q + r = ) r = p q. La combiaiso des idetités démotrées aux questios ()a. et ().b ous fourisset les idetités suivates p+ = ( a)p + aq + a( p q ) q + = ap + ( a)q + a( p q ), p+ = ( q + = ( a)p + a a)q + a. Puisque p et q véri et la même relatio de récurrece, ous allos simplemet e ectuer le calcul pour p et ous doeros directemet le résultat pour q Recherche de la costate L L = ( a)l + a, al = a, a= L = a a = O itroduit la suite u dé ie par N; u = p, p = u + O a alors u + = p + = ( a)p + a = ( a)(u + ) + a = ( a)u La suite u est géométrique de raiso a; ce qui ous permet d écrire N; u = ( a) u, p = ( a) (p ), N; p = + ( a) (p ) et par coséquet, Détermiatio des di éretes limites : D après l éocé, o a < a <, ce qui ous doe N; q = + ( a) (q ) < a <, < a <, < a <, < a <, < a < L Mathématiques et Iformatique 9-5 FST - Uiversité Paul Cézae /9 abdellah bechata

6 MA : Probabilités PHEC Correctio feuille d exercices -5 Puisque a ] ; [; la suite (( a) ) coverge vers et o e déduit immédiatemet que lim p = lim q =!+!+ et comme N; r = p q ; o obtiet que lim!+ r = = doc lim p =!+ lim q =!+ lim!+ r = Iterprétatio : Après u ombre su sammet grad de jours, il y a équiprobabilité de hausse, de stagatio ou de hausse du titre. correctio de l exercice. Puisqu au temps t = ; la guêpe se trouve das la pièce A; o a évidemmet a = p(a ) = ; b = s = : D autre part, à l istat t = ; o itroduit le système complet d évèemets (A ; B ; S ) (la positio de la guêpe déped de sa positio à l istat t = ) ce qui ous doe a = P (A ) = P (A \ A ) + P (B \ A ) + P (S \ A ) = P (A )P A (A ) + + = + + = : Par la même méthode, o obtiet b = + + = et s = + + = doc a = ; b = ; s =. (a) O itroduit le système complet d évèemets (A ; B ; S ) ce qui ous doe ce qui ous permet d écrire P (A + ) = P (A \ A + ) + P (B \ A + ) + P (S \ A + ) = P (A )P A (A + ) + P (B )P B (A + ) + = P (A ) + P (B ) a + = a + b : Justi catio des calculs de probabilités : P A (A + ) : l évèemet A est réalisé, c est-à-dire que la guêpe est das la pièce A à l istat t =, et l o souhaite que la guêpe soit das la pièce A à l istat t = + : D après l éocé, cette probabilité est égale à. P B (A + ) : l évèemet B est réalisé, c est-à-dire que la guêpe est das la pièce B à l istat t =, et l o souhaite que la guêpe soit das la pièce A à l istat t = + : D après l éocé, cette probabilité est égale à. P (S \A + ) : d après l éocé, lorsque la guêpe sort, elle e peut plus retrer. Par coséquet, si la guêpe sort à l istat t = ; elle e peut être das la pièce A à l istat t = + doc l évèemet S \ A + est impossible et P (S \ A + ) =. E utilisat le système complet d évèemets (A ; B ; S ), o a ce qui ous permet d écrire P (B + ) = P (A \ B + ) + P (B \ B + ) + P (S \ B + ) = P (A )P A (B + ) + P (B )P B (B + ) + = P (A ) + P (B ) b + = a + b : Justi catio des calculs de probabilités : P A (B + ) : l évèemet A est réalisé, c est-à-dire que la guêpe est das la pièce A à l istat t =, et l o L Mathématiques et Iformatique 9- FST - Uiversité Paul Cézae /9 abdellah bechata

7 MA : Probabilités PHEC Correctio feuille d exercices -5 souhaite que la guêpe soit das la pièce B à l istat t = + : D après l éocé, cette probabilité est égale à. P B (B + ) : l évèemet B est réalisé, c est-à-dire que la guêpe est das la pièce B à l istat t =, et l o souhaite que la guêpe soit das la pièce B à l istat t = + : D après l éocé, cette probabilité est égale à. P (S \B + ) : d après l éocé, lorsque la guêpe sort, elle e peut plus retrer. Par coséquet, si la guêpe sort à l istat t = ; elle e peut être das la pièce B à l istat t = + doc l évèemet S \ B + est impossible et P (S \ B + ) =. (b) U calcul direct ous doe N; u + = a + b + = a + b a + b = doc pour tout etier ; u + = et e e ectuat le chagemet de variable m = + ; o e déduit que (c) U calcul direct ous doe N; v + = a + + b + = v + = a + b m N ; u m =, N ; u = = (a + b ) = La suite v est géométrique de raiso 5 doc N; v = 5 v = a + b a + b 5 a + b = 5 = 5 + a + b = a + b = v ) v + = 5 v 5 ) v = 5 5 (d) D après les questios ()b. et ()c., o a : N ; u = v = 5 5, a b = a + b = 5 5, a = b = 5 L L + L, 5 L L L a = 5 5 b = Par coséquet, o e déduit que N ; a = 5 5 b = 5 5. Pour commecer, la guêpe e peut e aucu cas sortir à l istat t = ou t = et elle peut sortir à compter de l istat t = : Soit Nf; g; e utilisat le système complet d évèemets (A ; B ; S ), o a P (S ) = P (A \ S ) + P (B \ S ) + P (S \ S ) = + P (B )P B (S ) + = P (B ) ce qui ous permet d écrire Nf; g; s = b : Justi catio des calculs de probabilités : P (A \ S ) : si la guêpe est das la pièce A à l istat t = ; à l istat t = elle e peut se trouver que das L Mathématiques et Iformatique 9-7 FST - Uiversité Paul Cézae 5/9 abdellah bechata

8 MA : Probabilités PHEC Correctio feuille d exercices -5 la pièce A ou la pièce B et doc elle e peut sortir à l istat t =. Par coséquece, l évèemet A \ S est impossible et P (A \ S ) = P B (S ) : l évèemet B est réalisé, c est-à-dire que la guêpe est das la pièce B à l istat t =, et l o souhaite que la guêpe sorte à l istat t = : D après l éocé, cette probabilité est égale à. P (S \ S ) : si la guêpe est sortie à l istat t = ; elle e peut sortir à l istat t = (sortir à l istat t = sigi e qu elle est das la pièce A ou B à l istat t = ; ce qui est pas le cas). Par coséquece, l évèemet S \ S est impossible et P (S \ S ) = : E utilisat la questio () d. aisi que l égalité s = b ; o e déduit que Nf; g; s = 5 5 = 5 5 correctio de l exercice 5. Si l o e ectue opératio, autremet si l o cosidère l état iitial des boites, l cotiet deux jetos uméro ; doc la somme des jetos de l est égale à. Il est dès lors immédiat que p = ; q = ; r = E e ectuat ue fois l opératio, o est obligé de choisir u jeto de l et u jeto de l et de les échager doc à la de l opératio, l cotiet écessairemet u jeto uméro et u jeto uméro ; ce qui implique que la somme des jetos das l après ue opératio est égale à : Par coséquet, il est immédiat que p = ; q = ; r =. Pour coaitre la somme des jetos coteat das l après (+) opératios, il est idispesable de coaitre le coteu de chaque ure après opératios, ou, ce qui reviet au même, le coteu de l ou ecore, la somme des jetos de l à après opératios. Par coséquet, o itroduit aturellemet le système complet d évèemets (P ; Q ; R ); ce qui ous doe p(p + ) = p(p \ P + ) + p(q \ P + ) + p(r \ P + ) = + p(q )p Q (P + ) + = p(q ) p(q + ) = p(p \ Q + ) + p(q \ Q + ) + p(r \ Q + ) = p(p )p P (Q + ) + p(q )p Q (Q + ) + p(r )p R (Q + ) = p(p ) + p(q ) + p(r ) p(r + ) = p(p \ R + ) + p(q \ R + ) + p(r \ R + ) = + p(q )p Q (R + ) + = p(q ) O obtiet aisi p + = q N; q + = p + q + r r + = q Justi catio des calculs de probabilités : le mieux est de faire u dessi p(p \ P + ) : état des ures après ( + ) opératios réalisatio de P réalisatio de P + L évèemet P \ P + est clairemet impossible puisque l o doit écessairemet échager u jeto de l et u jeto de l doc p(p \ P + ) = L Mathématiques et Iformatique 9- FST - Uiversité Paul Cézae /9 abdellah bechata

9 MA : Probabilités PHEC Correctio feuille d exercices -5 p P (Q + ) : état des ures après ( + ) opératios réalisatio de P réalisatio de Q + L évèemet P est réalisé doc o certai que l évèemet Q + se réalise puisque l o doit écessairemet échager u jeto de l et u jeto de l doc p P (Q + ) = p(p \ R + ) : état des ures après ( + ) opératios réalisatio de P réalisatio de R + L évèemet P \ R + est clairemet impossible puisque l o e peut échager les deux jetos de l et les deux jetos de l doc p(p \ R + ) = p Q (P + ) : état des ures après ( + ) opératios réalisatio de Q réalisatio de P + L évèemet Q est réalisé doc pour que P + se réalise, il faut et il su t échager le jeto de l (probabilité ) avec le jeto de l (probabilité ) doc p Q (P + ) = = : p Q (Q + ) : état des ures après ( + ) opératios réalisatio de Q réalisatio de Q + L évèemet Q est réalisé doc pour que Q + se réalise, il faut et il su t échager le jeto de l (probabilité ) avec le jeto de l (probabilité ) ou le jeto de l (probabilité ) avec le jeto de l (probabilité ) doc p Q (Q + ) = + = : p Q (R + ) : état des ures après ( + ) opératios réalisatio de Q réalisatio de R + L Mathématiques et Iformatique 9-9 FST - Uiversité Paul Cézae 7/9 abdellah bechata

10 MA : Probabilités PHEC Correctio feuille d exercices -5 L évèemet Q est réalisé doc pour que Q + se réalise, il faut et il su t échager le jeto de l (probabilité ) avec le jeto de l (probabilité ) doc p Q (R + ) = = : p(r \ P + ) : état des ures après ( + ) opératios réalisatio de R réalisatio de P + L évèemet P \ R + est clairemet impossible puisque puisque l o e peut échager les deux jetos de l et les deux jetos de l doc p(r \ P + ) = p R (Q + ) : état des ures après ( + ) opératios réalisatio de R réalisatio de Q + L évèemet R est réalisé doc l évèemet Q + se réalise écessairemet (tous les échages possibles covieet) p R (Q + ) = : p(r \ R + ) : état des ures après ( + ) opératios réalisatio de R réalisatio de R + L évèemet P \ R + est clairemet impossible puisque puisque l o est obligé d échager u jeto de l avec u jeto de l doc p(r \ R + ) =. O procède par u calcul direct e utilisat les égalités obteues à la questio () q + = p + + q + + r + = q + q + + q = q + + q ) q + = q + + q. La suite q est récurrete liéaire d ordre : Equatio caractéristique : x = x +, x x = dot les racies sot x = Par coséquet, il existe deux réels et tels que et x = : N; q = + = + Détermiatio des costates et : + = q, + = q + = + =, = = L L L L L + L, = = L Mathématiques et Iformatique 9- FST - Uiversité Paul Cézae /9 abdellah bechata

11 MA : Probabilités PHEC Correctio feuille d exercices -5 Aisi, la suite q est dé ie par N; q = + Esuite, e utilisat la questio (), o obtiet N; p + = q r + = q, N ; p = q r = q, N ; " p = " r = # + # + Nous avos aisi expliciter les trois suites p; q et r par N ; p = " q = " r = + # + + # et < : p = q = r = 5. Puisque ] ; [; la suite coverge vers doc lim p =!+ = ; lim q =!+ ; lim!+ r = = Après u ombre su sammet grad d échage, la probabilité que la somme des jetos de l soit égale à vaut eviro vaut eviro vaut eviro L Mathématiques et Iformatique 9- FST - Uiversité Paul Cézae 9/9 abdellah bechata