M P. Lycée Chrestien de Troyes Mathématique. Chapitre 7 Matrices par blocs et sous-espaces stables. David BLOTTIÈRE

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1 M P Lycée Chrestien de Troyes Mathématique Chapitre 7 Matrices par blocs et sous-espaces stables David BLOTTIÈRE 1

2 Table des matières 1 Matrices définies par blocs : sommes et produits 3 2 Déterminant d une matrice carrée définie par blocs 4 3 Généralités sur les sous-espaces stables 5 4 Sous-espaces stables d un espace vectoriel de dimension finie 6 5 Droites stables Droites stables versus valeurs propres et leurs vecteurs propres associés Recherche de droites stables en dimension finie Droite ou plan stable pour un R-espace vectoriel de dimension finie 10 7 Premiers résultats sur la réduction des endomorphismes Endormorphismes diagonalisables Endormorphismes trigonalisables Une sélection d exercices 15 2

3 1 Matrices définies par blocs : sommes et produits C7. 1. Notation. Dans cette partie, la lettre K-désigne un sous-corps de C. C7. 2. Remarque (Découpage d une matrice en blocs). Soient n 2, p 1, n 1. Il est parfois utile de considérer une matrice de M n (K) comme une matrice par blocs : Å A C ã B D où A M p (K), B M p,n p (K), C M n p,p (K) et D M n p,n p (K). C7. 3. Théorème (Somme et produit de matrices par blocs). Les matrices par blocs s additionnent et se multiplient comme des matrices 2 2. Plus précisément, soient Å ã Å ã A1 B M 1 = 1 A2 B et M D 2 = 2 1 D 2 C 1 avec A 1, A 2 M p (K), B 1, B 2 M p,n p (K), C 1, C 2 M n p,p (K) et D 1, D 2 M n p,n p (K). Alors : Å ã Å ã A1 + A M 1 + M 2 = 2 B 1 + B 2 A1 A et M C 1 + C 2 D 1 + D 1 M 2 = 2 + B 1 C 2 A 1 B 2 + B 1 D 2. 2 C 1 A 2 + D 1 C 2 C 1 B 2 + D 1 D 2 C 2 C7. 4. Remarque. On peut généraliser ces formules à une décomposition en un nombre arbitraire de blocs. C7. 5. Exercice (Puissances d une matrice diagonale par blocs). Soient n 1,..., n p des nombres entiers naturels non nuls. Soient A 1 Mat n1 (K),...,A p Mat np (K). Y a-t-il un lien entre les puissances de la matrice diagonale par blocs : è et les puissances des matrices A 1,..., A p? M = Ö A1... A p C7. 6. Exercice (Inversibilité et inverse d une matrice triangulaire par blocs). Å ã Soient M GL n (K) 1 L et L M 1,n (K). Notons M la matrice définie par blocs par P =. Démontrer que P est 0 M inversible et exprimer P 1 en fonction de M 1 et L. 3

4 2 Déterminant d une matrice carrée définie par blocs C7. 7. Théorème (Déterminant d une matrice triangulaire par blocs). Å ã A B 1. Soit M =, où A M 0 D p (K), B M p,n p (K), D M n p (K). Alors det(m) = det(a) det(d). 2. Plus généralement, si n 1,..., n p sont des nombres entiers naturels non nuls, si á ë A1... M = A p où A 1 Mat n1 (K),...,A p Mat np (K), alors det(m) = det (A 1 )... det (A p ). C7. 8. Remarque. Ce théorème est valable pour des matrices triangulaires inférieures par blocs. C7. 9. Exercice (Démonstration du Théorème C7.7). 1. Soit A M p (K), soit B M p,n p (K). Démontrer : Å ã Å ã In p 0 A B det = det = det(a). 0 A 0 I n p Å ã A B 2. En écrivant judicieusement comme un produit de deux matrices, démontrer la première assertion du Théorème 0 D C En déduire la deuxième assertion du Théorème C7.7. 4

5 3 Généralités sur les sous-espaces stables C Notation. Dans cette partie, on note E un K-espace vectoriel, où K est un sous-corps de C. C Définition (Sous-espace stable par un endomorphisme). Soient u L (E) et F un sous-espace vectoriel de E. On dit que F est stable par u, ou que u stabilise F, si u(f ) F, i.e. si : x F u(x) F. C Remarque. Les sous-espaces vectoriels {0 E } et E sont stables par tout endomorphisme de E. C Définition (Endomorphisme induit). Soient u L (E) et F un sous-espace vectoriel de E, qui est stable par F. L application u F définie par : u F F F x u(x) est un endomorphisme de F, appelé endomorphisme de F induit par u. C Exercice (Un endormorphisme de R 3 stabilisant un plan)). 1. Démontrer que le plan F de R 3 d équation x + y + z = 0 est stable par l endomorphisme : u R 3 R 3 (x, y, z) (2x + y + z, x + 2y + z, x + y + 2z) 2. Déterminer la matrice de u F dans la base ((1, 1, 0), (1, 0, 1)) de F. 3. Reconnaître l endomorphisme u F de F? C Exercice (Un sous-espace stable n admet pas nécessairement un supplémentaire stable). Soit f l endomorphisme de R 2 dont la matrice dans la base canonique B 0 = (e 1, e 2 ) est : Mat B0 (f) = Å ã Déterminer toutes les droites de R 2 stables par f. 2. Soit D une droite stable par f. Justifier que D ne possède aucun supplémentaire stable par f.. 5

6 C Exercice (Endomorphisme de R 2 ne possédant pas de sous-espace stable non trivial). Donner un exemple d endomorphisme de R 2 ne possédant aucun sous-espace stable non trivial. 4 Sous-espaces stables d un espace vectoriel de dimension finie C Notation. Dans cette partie, on note E un K-espace vectoriel de dimension finie n 1, où K est un sous-corps de C. C Définition (Base adaptée à un sous-espace vectoriel). Soit F un sous-espace vectoriel de E, de dimension finie p 1. Une base (e 1,..., e n ) de E est dite adaptée à F si (e 1,..., e p ) est une base de F. C Remarque (Existence et constuction d une base adaptée à un sous-espace vectoriel). Soient (f 1,..., f p ) une base de F et (e 1,..., e n ) une base de E. D après le théorème de la base incomplète, il existe (n p) entiers 1 i 1 < i 2 <... < i n p n tels que la famille B := ( f 1,..., f p, e i1,..., e in p ) soit une base de E. Le base B de E ainsi construite est adaptée à F. C Définition (Base adaptée à une décomposition en somme directe). Soient des sousespaces vectoriels de E notés E 1, E 2,..., E p, de dimensions respectives n 1 1, n 2 1,..., n p 1, tels que p p E = E i. Une base (e 1,..., e n ) de E est dite adaptée à la décomposition en somme directe E = E i si : i=1 (e 1,..., e n1 ) est une base de E 1 (e n1 +1,..., e n1 +n 2 ) est une base de E 2 ( en1 +n n k +1,..., e n1 +n n k +n k+1. ) est une base de Ek+1. ( en1 +n n p 1+1,..., e n1 +n n p 1+n p = e n ) est une base de Ep. i=1 C Remarque (Existence et construction d une base adaptée à une décomposition en somme directe). Pour tout k 1, p, soit B k = (e k,1,..., e k,nk ) une base de F k. Alors la famille B := ( e 1,1,..., e 1,n1, e 2,1,..., e 2,n2,..., e p,1,..., e p,np ) obtenue en concaténant les familles B 1,..., B p est une base de E, qui est adaptée à la décomposition en p somme directe E = E i. i=1 6

7 C Proposition (Matrice d un endomorphisme dans une base adaptée). 1. Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension p 1. Soit u L (E). Alors F est stable par u si et seulement si pour toute base B de E adaptée à F : Å ã A C Mat B (u) = 0 D où A M p (K), C M p,n p (K) et D M n p (K). 2. Soient E 1,..., E p des sous-espaces vectoriels de E de dimensions respectives n 1 1, n 2 1,..., n p 1, p tels que E = E i. Soit u L (E). i=1 Alors chacun des espaces E 1,..., E p est stable par u si et seulement si pour toute base B adaptée à la p décomposition E i = E : i=1 Ö è A1 0 où pour tout k 1, p, A k M nk (K). Mat B (u) =... 0 A r 5 Droites stables 5.1 Droites stables versus valeurs propres et leurs vecteurs propres associés C Notation. Dans cette partie, K désigne un sous-corps de C, E un K-espace vectoriel non réduit à {0 E } et u est un endomorphisme de E. C Proposition (Une CNS pour qu une droite soit stable). Soit x un vecteur non nul de E. La droite Vect (x) est stable par u si et seulement s il existe λ K tel que u(x) = λ.x. C Définition (Valeur propre et vecteur propre). Soit λ K. S il existe un vecteur x non nul de E tel que u(x) = λ.x, alors : 1. λ est appelé valeur propre de u ; 2. x est appelé vecteur propre de u associé à la valeur propre λ. C Remarque (Une méthode pour rechercher les éventuelles droites stables par u). D après la Proposition C7.24, la recherche des droites stables par u se ramène à déterminer les λ K tels que l équation u(x) = λ.x d inconnue x E, possède une solution différente de 0 E. 7

8 C Exercice (Droites stables par l opérateur de dérivation sur C (R, R)). Soit D l application définie par : D C (R, R) C (R, R) f f. Déterminer les droites de C (R, R) stables par D. C Exercice. Pour tout f C 0 (R, R), on note u(f) l application définie par : u(f) 1. Montrer que pour tout f E, u(f) E. 2. Montrer que l application u définie par est un endomorphisme de E. 3. Montrer que 0 n est pas valeur propre de u. R R f(0) si x = 0 x 1 x f(t) dt si x 0. x u 0 E E f u(f) 4. Soit F le sous-espace vectoriel de E défini par F = {f E : x R, f(x) = 0}. (a) Montrer que F est stable par u. (b) On note v l application définie par : Déterminer les éléments propres de v. v F F f u(f). 5.2 Recherche de droites stables en dimension finie C Notation. Dans cette partie, K désigne un sous-corps de C, E un K-espace vectoriel de dimension finie n 1 et u est un endomorphisme de E. C Rappel (Déterminant d un endomorphisme de E). Si v est un endomorphisme de E et si B est une base de E, alors le scalaire det (Mat B (v)) est indépendant de la base B de E. On l appelle déterminant de v et on le note det(v). 8

9 C Proposition (Critère pour qu un scalaire soit valeur propre de u). Soit λ K. Alors : λ est valeur propre de u det (λ. id E u) = 0. C Définition-Proposition (Polynôme caractéristique de u). L application χ u définie par : χ u K K λ det (λ. id E u) est polynomiale. Le corps K étant infini, elle est associée à un unique polynôme, à coefficients dans K, que l on note également χ u et que l on appelle polynôme caractéristique de u. C Remarque (Valeurs propres de u versus racines de son polynôme caractéristique). La Proposition C7.31 se reformule comme suit. Soit λ K. λ est valeur propre de u λ est racine de χ u. C Exercice (Recherche des valeurs propres et des droites stables d un endormorphisme de R 3 ). Soit f l endormophisme de R 3 dont la matrice dans la base canonique B 0 = (e 1, e 2, e 3 ) est : Ñ 1 2 é 1 Mat B0 (f) = Justifier que f n est pas un automorphisme de R 3. En déduire une valeur propre de f. 2. Déterminer toutes les valeurs propres de f. 3. Déterminer toutes les droites de R 3 qui sont stables par f. C Exercice. 1. Ici, E désigne un C-espace vectoriel de dimension finie n 1 et u est un endomorphisme de E. Justifier qu il existe une droite de E stable par u. 2. Ici, E désigne un R-espace vectoriel de dimension finie impaire n 1 et u est un endomorphisme de E. Justifier qu il existe une droite de E stable par u. 9

10 6 Droite ou plan stable pour un R-espace vectoriel de dimension finie C Lemme (Existence d une droite stable vs. existence d une valeur propre sur K). Soit E un K-espace vectoriel, où K est un corps commutatif. Soit u L (E). Les deux propriétés suivantes sont équivalentes. 1. L endormorphisme u de E possède une valeur propre dans K. 2. Il existe une droite vectorielle de E, qui est stable par u. Démonstration. 1 2 Supposons que u possède une valeur propre dans K. Soit λ une telle et soit x un vecteur propre pour u, associé à la valeur propre λ. L espace vectoriel D := Vect (x) est stable par u. Soit y D. Alors il existe k K tel que y = k x. On calcule : u(y) = u(k x) = k u(x) = k λ x = λ k x = λy Donc u(y) Vect (x). L espace vectoriel D := Vect (x) est de dimension 1. Par définition de D, la famille (x) est génératrice de D. Comme x 0 E, puisque vecteur propre, la famille (x) est également libre. Ainsi (x) est une base de D et donc dim(d) = Supposons qu il existe une droite vectorielle D de E, qui est stable par u. Soit (x) une base de D. Le vecteur x est non nul, puisque la famille (x) est libre. Comme x D et D est stable par u, le vecteur u(x) appartient à D = Vect (x). Ainsi, il existe λ K tel que : u(x) = λx Des deux résultats précédents, nous déduisons que λ est une valeur propre de u. Q.E.D. C Proposition (Existence d une droite stable par argument d imparité sur R). Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie n 1. Soit u L (E). Si n est impair, alors il existe une droite vectorielle de E, qui est stable par u. Démonstration. Le polynôme caractéristique de u, noté χ u, est un polynôme à coefficients réels, unitaire, de degré impair. Donc, en identifiant χ u et la fonction polynomiale de R dans R qui lui est canoniquement associée (R étant un corps infini, aucune ambiguïté n est à craindre) : Donc il existe un nombre réel a tel que : χ u (x) x et χ u(x) x + + x a, χ u (x) 1 et il existe un nombre réel b, que l on peut supposer strictement plus grand que a, tel que : x b, χ u (x) 1 10

11 En particulier χ u (a) < 0 et χ u (b) > 0. La restriction de la fonction polynomiale χ u au segment [a ; b] est continue, prend une valeur négative en a et une valeur positive en b. D après le théorème des valeurs intermédiaires, la fonction χ u s annule sur ]a ; b[. Le polynôme χ u possède une racine réelle et donc l endomorphisme u une valeur propre réelle. D après le Lemme C7.36, il existe une droite vectorielle de E, qui est stable par u. Q.E.D. C Théorème (Existence d une droite ou d un plan stable d un R-e.v. de dim. finie). Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie n 3. Soit u L (E). Alors il existe un sous-espace vectoriel F de E, qui est stable par u et de dimension 1 ou 2. Démonstration. 1 er cas : u possède une valeur propre réelle Supposons que u possède une valeur propre réelle. Alors, d après le Lemme 1, il existe une droite vectorielle de E, qui est stable par u. 2 ème cas : u ne possède aucune valeur propre réelle Supposons que u ne possède aucune valeur propre réelle. Remarquons que d après la Proposition C7.37, la dimension n de E est nécessairement paire. Nous allons prouver qu il existe un plan de E, stable par u, en étendant les scalaires de R à C. Pour cela, nous allons considérer une matrice représentant u dans une base de E (nous pourrions procéder de manière plus intrinsèque, i.e. sans choisir une base de E, en considérant l endomorphisme u id C du C-espace vectoriel E R C, qui est le complexifié de E, mais cette notion n est pas au programme). Extension des scalaires de R à C, via une matrice représentant u dans une base de E Soit B = (e 1,..., e n ) une base de E. Posons : M := Mat B (u) M n (R) Nous allons, dans la suite, considérer M comme un élément de M n (C). Introduction d une valeur propre complexe et d un vecteur propre de M, appartenant à M n,1 (C) Les polynômes caractéristiques de M et u, notés respectivement χ M et χ u, sont des polynômes à coefficients réels, qui sont égaux. Comme u ne possède aucune valeur propre réelle, χ M = χ u ne possède aucune racine réelle. D après le théorème de d Alembert-Gauß, χ M = χ u, de degré n 1, se scinde sur C. Soit donc λ C une racine de χ M = χ u dans C. Ainsi λ est une valeur propre de la matrice M, vue comme élément de M n (C), et d après le paragraphe qui précède : λ C \ R (1) Soit X M n,1 (C) un vecteur propre de la matrice M, vue comme élément de M n (C), qui est associé à la valeur propre λ. Ainsi : M X = λ X (2) 11

12 Construction des deux vecteurs x et y qui formeront une base d un plan stable par u Nous allons à présent redescendre de C à R. Pour cela, introduisons la partie réelle et la partie imaginaire de λ (resp. X) : λ = a + i b et X = A + i B où (a, b) R 2 et (A, B) M n,1 (R) 2. Soient x (resp. y) le vecteur de E, dont les coordonnées dans la base B sont données par A M n,1 (R) (resp. B M n,1 (R)). Ainsi : Liberté de la famille (x, y) sur R Mat B (x) = A et Mat B (y) = B Nous allons montrer que la famille (x, y) est libre sur R. Raisonnons par l absurde. Soit (α, β) R 2 \ {(0, 0)} tel que : α x + β y = 0 E (3) En passant aux matrices de coordonnées dans la base B, i.e. en appliquant l application linéaire Mat B ( ) à chaque membre de l identité (3), il vient : α A + β B = 0 Mn,1 (R) (4) En multipliant par α chacun des membres de l identité (2), qui se réécrit : on obtient : d où : qui s écrit encore : Comme (α, β) (0, 0), nous en déduisons : M (A + i B) = λ (A + i B) (5) M (α A + i α B) = λ (α A + i α B) M ( β B + i α B) = λ ( β B + i α B) ( β + i α) M B = ( β + i α) λ B M B = λ B (6) Si B 0 Mn,1 (R), nous déduisons de l identité (6) que λ R, car M et B sont des matrices à coefficients réels, d où une contradiction (cf. (1)). Donc B = 0 Mn,1 (R). Alors l identité (5) se réécrit : M A = λ A (7) Si A 0 Mn,1 (R), nous déduisons de l identité (7) que λ R, car M et A sont des matrices à coefficients réels, d où une contradiction (cf. (1)). Donc A = 0 Mn,1 (R). Nous avons finalement établi que X = A + i B est le vecteur nul, ce qui contredit le fait que X est un vecteur propre. La famille (x, y) est donc libre. Ainsi, Vect (x, y) est un plan vectoriel de E. 12

13 Stabilité du plan vectoriel Vect (x, y) de E par u L identité (5) se réécrit : M (A + i B) = (a + i b) (A + i B) d où : M A }{{} M n,1 (R) + i M B }{{} M n,1 (R) = a } A {{ b B } + i (b A + a B) }{{} M n,1 (R) M n,1 (R) puis, par unicité de la partie réelle et de la partie imaginaire : ß M A = a A b B M B = b A + a B (8) Comme M = Mat B (u), la première ligne du système (8) livre : Mat B (u) Mat B (x) = a Mat B (x) b Mat B (y) d où : Mat B (u(x)) = Mat B (a x b y) Les coordonnées des vecteurs u(x) et a x b y dans la base B sont identiques. Donc ces vecteurs de E sont égaux : u(x) = a x b y Vect (x, y) De manière analogue la deuxième ligne de (8) produit l identité : u(y) = b x + a y Vect (x, y) Comme les vecteurs u(x) et u(y) appartiennent à Vect (x, y), le plan Vect (x, y) est stable par u. Nous avons donc établi que E possède un plan stable par u. Q.E.D. 7 Premiers résultats sur la réduction des endomorphismes C Notation. Dans cette partie, K désigne un sous-corps de C, E désigne un K-espace vectoriel de dimension finie n 1 et u est un endomorphisme de E. 7.1 Endormorphismes diagonalisables C Définition (Endomorphisme diagonalisable). On dit que u est diagonalisable s il existe une base B de E telle que Mat B (u) est diagonale. C Théorème (Endomorphisme diagonalisable versus sous-espaces stables). L endomorphisme u est diagonalisable si et seulement si E se décompose en somme directe de droites stables par u. 13

14 7.2 Endormorphismes trigonalisables C Définition (Endomorphisme trigonalisable). On dit que u est trigonalisable s il existe une base B de E telle que Mat B (u) est triangulaire supérieure. C Remarque. u est trigonalisable si et seulement s il existe une base B de E telle que Mat B (u) est triangulaire inférieure. C Définition (Drapeau de E et drapeau stable de E). 1. On appelle drapeau de E une famille (F k ) 1 k n de sous-espaces vectoriels de E telle que : (a) pour tout k 1, n 1, F k F k+1 ; (b) pour tout k 1, n, dim (F k ) = k. 2. Un drapeau (F k ) 1 k n de E est dit stable par u si chacun des sous-espaces F 1, F 2,..., F n est stable par u. C Exercice. Soit B 0 = (e 1, e 2,..., e n ) la base canonique de K n. Donner un drapeau de K n, construit à l aide des vecteurs de B 0. C Théorème (Endomorphisme trigonalisable versus sous-espaces stables). L endomorphisme u est trigonalisable si et seulement si E admet un drapeau stable par u. C Théorème (Tout endomorphisme d un C-espace vectoriel est trigonalisable). Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie n 1. Soit u un endormorphisme de E. Alors u est trigonalisable. C Exercice (Trigonalisabilité d une matrice complexe). Soit n 2 et A M n (C). Démontrer qu il existe une matrice triangulaire supérieure T M n (C) et une matrice P GL n (C) telles que : A = P T P 1. C Théorème (Tout endomorphisme nilpotent est trigonalisable). Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n 1. Soit u un endormorphisme nilpotent de E. Alors u est trigonalisable. Démonstration. Cf. Corrigé de la Partie 3 du devoir surveillé n 3. Q.E.D. 14

15 C Exercice (Trigonalisabilité d une matrice nilpotente). Soit n 2 et N M n (K) une matrice nilpotente. Démontrer qu il existe une matrice triangulaire supérieure stricte T M n (K) et une matrice P GL n (K ) telles que : N = P T P 1. 8 Une sélection d exercices C Exercice. Å Soient ã A GL p (K), C M p,n p (K), D GL n p (K). A C Démontrer que M = est inversible et exprimer son inverse en fonction de A 0 D 1, D 1 et C. C Exercice. Soient è A 1 GL n1 (K),..., A p GL np (K) et soit M la matrice diagonale par blocs M = Ö A1.... Démontrer que M est inversible et calculer son inverse. A p Å A C Exercice. Soit A M n (K) une matrice de rang r. Déterminer le rang de B = A ã A. A C Exercice. Soient A, B, C, D M n (K) telles que C et D commutent et D soit inversible. Démontrer que : Å ã A B det = det(ad BC). C D Å ã AD BC B Indication : on pourra écrire la matrice comme un produit de deux matrices. 0 D C Exercice. Soit A M n (C). Démontrer que I n A et I n + A le sont. Å In A ã A I n est inversible si et seulement si C Exercice. Soit A M n (C). Démontrer que I n A et I n + A le sont. Å In A ã A I n est inversible si et seulement si 15

16 ã B par i et effectuer des opéra- A C Exercice. Soient A, B M n (R). Å ã A B 1. Démontrer que : det = det(a + B) det(a B). B A Å ã A B 2. Démontrer que : det = det(a + ib) det(a ib). B A Å A Indication : On pourra multiplier certaines lignes et colonnes de B tions sur les lignes et les colonnes. Å ã A B 3. Démontrer que : det 0. B A 4. Supposons que AB = BA. Démontrer que : det (A 2 + B 2 ) Démontrer que l inégalité de la question 4 ne vaut pas nécessairement, lorsque A et B ne commutent pas. C Exercice (Endomorphismes qui commutent, stabilisation des noyaux et des images). Soient u, v L (E) tels que u v = v u. Démontrer que Ker (u) et Im (u) sont stables par v. C Exercice (Sous-espaces de K[X] stables par dérivation). Soit D l opérateur de dérivation sur K[X] défini par : D K[X] K[X] P P. 1. Soit n N. Démontrer que K n [X] est un sous-espace vectoriel de K[X] stable par dérivation. 2. Soit F un sous-espace vectoriel de K[X] stable par dérivation. On suppose que F contient un polynôme P non nul et on pose n = deg(p ) N. Démontrer K n [X] F. 3. Soit F un sous-espace vectoriel de K[X] stable par dérivation. On suppose que F est distinct de { 0 K[X] } et de K[X]. Démontrer qu il existe n N tel que F = Kn [X]. Indication on pourra considérer le maximum de { deg(p ) : P F \ { 0 K[X] }}, après avoir justifié son existence. 4. Déterminer tous les sous-espaces vectoriels de K[X] stables par dérivation. 16